质数的个数公式
质数的性质
当 n+1 为合数时，π(n+1)＝π(n) 当 n+1 为素数时，π(n+1)﹥π(n) 故无论 n+1 为合数或是素数，总有π(n+1)≥π(n) 所以π(n)是不减函数，所以π(n+1)－π(n) ≥0 引理 2：
已知质数 p 是不超过 n ( n ≥ 4 ) 的最大质数。 求证 n <p 2
故1− 2
k=
⎛ 1⎞ ⎜ 1 − ⎟ < 0 ，所以 pi ⎠ x1 < i < x2 ⎝
∏
x2 − x1 x2 − x1 = x <0 x2 1 ⎛ ⎛ 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞⎡ 1 ⎞⎤ ⎜1 − ⎟ − 2∏ ⎜ 1 − ⎟ ∏ ⎜1 − ⎟ ⎢1 − 2 ∏ ⎜1 − ⎟ ⎥ ∏ pi ⎠ pi ⎠ i =1 ⎝ pi ⎠ ⎣ pi ⎠ ⎦ i =1 ⎝ i =1 ⎝ x1 < i ≤ x2 ⎝
证明：当 n ≥ 152 = 225 时， n ≥ 15 > 8 + 4 3 ，所以
(
n −8
)
2
= 48 ，展开可以得到 3n 。 4
n n − 16 n + 16 > 0 ，所以 − 4 n + 4 > 0 ，也即是， 4
又因为 n − 2 < ⎡ n − 1⎤ < ⎡ n ⎤ ≤
(
n −2
)
2
证明：当 n = 2k 时，即 k < p 假设结论不成立， ∃k , 使得p ≤ k ，那么 π ( p ) ≤ π ( k ) 。又因为 p 是不超过 2k 的最大质数， 所以 π ( p ) = π ( 2k ) ， 所以可以得到 π ( 2k ) ≤ π ( k ) 。 又因为 2k > k ， 根据质数的个数公式是不减函数，所以 π ( 2k ) ≥ π ( k ) 再根据假设可以得到
小学数学公式大全：质数与合数
小学数学公式大全：质数与合数
质数与合数：
质数：
一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。
合数：
一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。
质因数：
如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数：
把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
通常用短除法分解质因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：
N= ，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1<a 2<a3<……<an。
求约数个数的公式：
P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)
互质数：
如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。
质数
质数五（四）薛雅元质数又称素数。
指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。
换句话说，只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数。
比1大但不是素数的数称为合数。
1和0既非素数也非合数。
合数是由若干个质数相乘而得到的。
所以，质数是合数的基础，没有质数就没有合数。
这也说明了前面所提到的质数在数论中有着重要地位。
历史上曾将1也包含在质数之内，但后来为了算术基本定理，最终1被数学家排除在质数之外，而从高等代数的角度来看，1是乘法单位元，也不能算在质数之内，并且，所有的合数都可由若干个质数相乘而得到。
F5=4294967297=641×6700417，它并非质数，而是一个合数！更加有趣的是，以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数，全部都是合数。
目前由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。
现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495。
这可是个超级天文数字，其位数多达10^10584位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。
质数和费马开了个大玩笑！这又是一个合情推理失败的案例！梅森素数17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：2^p-1 ，当p是质数时，2^p-1是质数。
他验算出了：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明p=31时，2^p-1是质数。
p=2，3，5，7时，2^p-1都是素数，但p=11时，所得2047=23×89却不是素数。
还剩下p=67、127、257三个梅森数，由于太大，长期没有人去验证。
梅森去世250年后，美国数学家科勒证明，2^67-1=193707721×761838257287，是一个合数。
这是第九个梅森数。
20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。
质数排列得这样杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了困难。
现在，数学家找到的最大的梅森数是一个有9808357位的数：2^32582657-1。
判断质数的函数公式
判断质数的函数公式
质数的定义：
1.质数又称素数，是大于1的自然数，它有两个特点：第一，除了1和
它本身以外不再有其他因数；第二，它无法被任何数整除。
2.定义可判断是否质数的函数：
（1）利用逐一判断法：
设定一整数n，首先判断n是否为1或者2，若是，则直接判断n
是质数，否则令k=3，然后依次判断k<n/2的所有整数条件，若存在整
数i使得n/i小于i，且n mod i=0，则n不是质数，否则 n为质数。
（2）利用埃氏筛法：
设定一整数n，从2开始遍历小于n的正整数（假设n=X），将序
列中不能被2整除的数构成新的序列，将新序列中不能被3整除的数
构成新的序列，依次类推，最终剩下的数就是n以内的质数。
（3）利用lagrange定理：
令p为质数，当 lacgrange 恒等式 2^(p-1)=1 mod p 成立的情况下，
质数p满足定理。
因此，利用lagrange定理来判断某一整数是否是质数，无需遍历它的因数，只要求出2^(p-1) mod p值，然后判定它是否等于1。
质数个数公式
质数个数公式
质数个数公式，也称欧拉公式，是用来计算小于等于某个数的质数个数的公式。
它的表达式如下：
π(x) = Li(x) - ∑p ≤x ln(p) + O(√x log(x))
其中，π(x)表示小于等于x的质数个数；Li(x)表示x的自然对数的积分；ln(p)表示p的自然对数；∑p ≤x表示p从2到x的所有质数的和；O(√x log(x))表示x趋近于无穷大时的误差项，通常被称为“大O符号”。
这个公式的意义是，我们可以用数学方法计算出小于等于某个数x的所有质数的个数π(x)，而无需逐个遍历判断每个数是否为质数。
虽然这个公式包含了一定的误差项，但随着x的增大误差会逐渐变小，因此可以用来快速估算质数的个数。
数字的质数和合数
数字的质数和合数数字是数学中最基本的概念之一，人类在日常生活和各个领域中都会用到数字。
数字可以分为很多种类，其中最重要的两类是质数和合数。
质数和合数在数学中有着重要的地位和性质，下面将详细介绍这两类数字的概念和特点。
一、质数的定义和性质1. 质数的定义质数是指大于1且只能被1和自身整除的正整数。
换句话说，质数是只有1和它本身两个因数的数。
例如，2、3、5、7、11等都是质数。
2. 质数的性质（1）质数只有两个因数，即1和它本身。
这是质数的最重要的性质，也是质数与其他数字最显著的区别。
（2）质数不能被其他数字整除，也就是说，质数除了能被1和自身整除外，不能被其他数字整除。
这使得质数在数学中有着独特的地位。
（3）质数的个数是无穷的。
我们可以找到无穷多个质数，这一结论是由欧几里得在公元前300年提出的。
二、合数的定义和性质1. 合数的定义合数是指除了1和自身外，还有其他因数的正整数。
简单地说，合数是不是质数就是合数。
例如，4、6、8、9、10等都是合数。
2. 合数的性质（1）合数有多于两个的因数，至少包括1、自身和其他因数。
（2）合数可以被其他数字整除，也就是说，合数除了能被1和自身整除外，还可以被其他数字整除。
（3）合数的个数是无穷的。
三、质数与合数的关系质数与合数是数字集合中两个不同的子集。
简单地说，一个数要么是质数，要么是合数。
这是由数字的定义所决定的。
质数和合数在数学中有着各自的性质和特点。
质数是数学中的基本单元，没有质数就没有合数。
质数的个数是无穷的，而且无法通过一般的公式或规律来计算出质数的个数。
而合数则包含了众多的数字，它们可以被其他数字整除，有规律可循。
对于一个给定的数字，我们可以通过判断它是否能被其他小于它的数字整除，来确定它是质数还是合数。
因此，质数和合数在实际问题中经常被用来解决因子分解、数据加密等相关的数学问题。
总结起来，质数是只有1和自身两个因数的数字，而合数是除了1和自身外还有其他因数的数字。
质数计算公式
计算质数的公式有很多种，以下是一些常见的方法：
1.试除法：对于一个大于等于2的正整数n，从2开始到根号n为止依次试除n，若都不能整除，则n是质数。
2.埃氏筛法：先将2~n之间的数全部写出来，然后将其中最小的质数2的倍数（除了2自己）标记成合数，再找到下一个未被标记的数p（p>2），把它的倍数都标记成合数。
重复以上步骤直到p^2>n时才停止，那么此时所有未被标记为合数的数就是质数。
3.欧拉筛法：先按埃氏筛法筛选出质数，但在标记合数时不仅仅只用当前素数的倍数，而是将每个合数都标记了且只标记一次。
相比埃氏筛法，其时间复杂度更低。
ler-Rabin素性检验：该方法不是一种准确求解质数的算法，而是用随机算法对数进行检测是否可能为质数。
简单来说，如果一个大数n是质数，那么在模n意义下，a^(n-1) ≡1 (mod n)，其中a为小于n的任意一个正整数。
该方法的时间复杂度接近O(k log^3 n)，其中k为检验次数，通常要求k≥10。
注：以上算法均有优化方式，可进一步提高效率。
质数的一系列知识很全
最小的素数是2， 他也是唯一的偶素数。 最前面的素数依次排列为：2，3，5，7，11，13，17，...... 不是质数且大于1的正整数称为合数。 质数表上的质数请见素数表。 依据定义得公式： 设A=n2+b=(n-x)(n+y),除n-x=1以外无正整数。故有： y=（b+nx)/(n-x) (x<N-1)无正整数，则A为素数。 因为x<N-1,而且N-X必为奇数，所以计算量比常规少很多。 100以内的质数（素数）：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97 （共25个）
编辑本段基本定理
算术基本定理： 任何大于1的正整数n可以唯一表示成有限个素数的乘积: n=p_1p_2...p_s, 这里p_1≦p_2 ≦...≦p_s是素数。 这一表达式也称为n的标准分解式。 算术基本定理是初等数论中最基本的定理。由此定理， 我们可以重新定义两个整数的最大公因子和最小公倍数等等概念。 1不能称作素数，是因为要确保算术基本定理所要求的唯一性成立。这一解释可参看华罗庚《数论导引》
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质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。换句话说，只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数。比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非素数也非合数。素数在数论中有着很重要的地位。
1000” |168 |16.8% “10000” |1229 |12.29% “100000” |9592 |9.592% “1000000” |78498 |7.8498% “2000000” |148933 |7.44665% “10000000” |664579 |6.64579% “100000000” |5761455 |5.761455% “200000000” |11078937 |5.5394685% “300000000” |16252325 |5.41744167% “400000000” |21336336 |5.334084% “500000000” |26355877 |5.2711754% “600000000” |31324713 |5.2207855 % “700000000” |36252941 |5.17899157% “800000000” |41146189 |5.143273625% “900000000” |46009225 |5.1121361% “1000000000” |50847544 |5.0847544% 可以看出，越往后质数比例愈小，但总数却是增多， 可以看出素数的个数是无限的，这一结论已经被古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中用反证法证明。
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A =n
在公式的推导中
A1 ∩ A2∩
m m
∩ Am简记∩ Ai
i =1
m
m
A1 ∪ A2 ∪
；
m
∪ Am简记∪ Ai
i =1
m
∪ Ai = ∑ Ai − ∑ Ai ∩ Aj +
i =1 i =1 i〈 j m
i〈 j〈k
∑
Ai ∩ Aj ∩ Ak
+
+ ( −1)
m −1
∩A
i =1
i
∪A
i =1
m
i
= N − ∑ Ai + ∑ Ai ∩ Aj −
i =1 m i〈 j
m
m
i〈 j〈k
∑
m
Ai ∩ Aj ∩ Ak
+
+ ( −1)
∩A
i =1
m
i
记 A1 ={不大于Ｎ能被质数 P1 整除的数}，A2={不大于Ｎ能被质数 P2 整除的数}……Am ={不大于Ｎ能被质数 Pm 整除的数}, P1、P2、……Pm 表示Ｎ的前部质数，且 P1、P2、…… Pm 为连续质数。｜Ai｜=[N/ Pi]表示 Ai 中能 Pi 整除的个数。 ｜A1｜=[N/ P1], ｜A2｜=[N/ P2],……,｜Ai｜=[N/ Pi]，
i =1 i〈 j m m
∩A
i =1
m
i
m ⎡ ⎤ = ⎢ N / ∏ Pi ⎥ i =1 ⎣ ⎦ 即：
i〈 j〈k
∑⎡ ⎣N / p p
i
m
j
pk ⎤ ⎦
+
m ⎡ ⎤ + (−1) m ⎢ N / ∏ pi ⎥ − 1 i =1 ⎣ ⎦
所以不大于Ｎ的所有质数的个数 π (N) ＝ m+j＝ m+
∪ Ai = ∑ Ai − ∑ Ai ∩ Aj +
i =1 i =1 i〈 j m
m
m
m
i〈 j〈k
∑
m
Ai ∩ Aj ∩ Ak
+
+ ( −1)
m −1
∩A
i =1
i
其中
∪A
i =1
m
i
表 示正整数 Ｎ中能被 P1 或
P2 或……或 Pm 整除的所有整数的个数，即不大于Ｎ的所有合数和前部质数之和的个数。
m ⎡ ⎤ A = N / Pi ⎥ ∩ ∏ i ⎢ ⎤ Ai ∩ Aj ∩ Ak = ⎡ ⎤ i =1 Ai ∩ Aj = ⎡ i j⎦ i jP k⎦ i =1 ⎣ N / PP ⎣ N / PP ⎣ ⎦ ， ， m
质数的个数公式定理 定 理
m
：
所
m
有
不
大
于
Ｎ
的
后
部
质
m
数
的
i
个
数
j(N)
＝
N − ∑ Ai + ∑ Ai ∩ Aj −
j≦ N
时，Ｑ1，Ｑ２……Ｑj 表示正整数 N 的后部质数，j 为后部质数的个数。所以 π (N) ＝ 连续质数：由小到大不间断的质数称作连续质数。例如：２、3、5、7、11……还可以
m+j 。 表示为：P1、P2、P3、……Pi……其中 Pi 为质数 i=1、2、3、……表示质数由小到大的次序。 “集合”是一种数学语言，关于集合的详细概念，我就不多说了，我们只定义一下我们 要用的概念：集合元素的个数。若集合 A 中有 n 个元素，记作： 还要用到一个集合的原理，容斥原理：
i
m
j
pk ⎤ ⎦
+
m ⎡ ⎤ + (−1) m ⎢ N / ∏ pi ⎥ − 1 i =1 ⎣ ⎦
，所有不大于Ｎ的质数的个
数 π (N) ＝ m+j ＝ m+
N − ∑ Ai + ∑ Ai ∩ Aj −
i =1 i〈 j m
m
m
i〈 j 〈k
∑
m
Ai ∩ Aj ∩ Ak +
m m
+ ( −1)
m
∩A
N − ∑ Ai + ∑ Ai ∩ Aj −
i =1 i〈 j
m
m
i〈 j 〈k
∑
m
Ai ∩ Aj ∩ Ak +
+ ( −1)
m
∩A
i =1
m
i
−1
即：
π ( N ) = m + N − ∑ [ N / pi ] + ∑ ⎡ ⎣ N / pi p j ⎤ ⎦− ∑ ⎡ ⎣ N / pi p j pk ⎤ ⎦
-4-
当 N=8 时，[ 8 ] =2，m=1，j=8-[8/2]-1=3(｜A1｜=[8/ 2] ) π (8) ＝ m+j =4 当 N=9 时，[ 9 ] =3，m=2， (｜A1｜=[9/ 2], ｜A2｜=[9/ 3] J=9-[9/ 2]- [9/ 3]+ [9/2* 3]-1=9-4-3+1-1=2 π (9) ＝ m+j =4 当 N=10 时，[ 10 ] =3，m=2， (｜A1｜=[10/ 2], ｜A2｜=[10/ 3] J=10-[10/ 2]- [10/ 3]+ [10/2* 3]-1=10-5-3+1-1=2 π (10) ＝ m+j=4 当 N=11 时，[ 11 ] =3，m=2， (｜A1｜=[11/ 2], ｜A2｜=[11/ 3] J=11-[11/ 2]- [11/ 3]+ [11/2* 3]-1=11-5-3+1-1=3 π (11) ＝ m+j=5 当 N=12 时，[ 12 ] =3，m=2， (｜A1｜=[12/ 2], ｜A2｜=[12/ 3] J=12-[12/ 2]- [12/ 3]+ [12/2* 3]-1=12-6-4+2-1=3 π (12) ＝ m+j=5 当 N=13 时，[ 13 ] =3，m=2， (｜A1｜=[13/ 2], ｜A2｜=[13/ 3] J=13-[13/ 2]- [13/ 3]+ [13/2* 3]-1=13-6-4+2-1=4 π (13) ＝ m+j=6 当 N=14 时，[ 14 ] =3，m=2， (｜A1｜=[14/ 2], ｜A2｜=[14/ 3] J=14-[14/ 2]- [14/ 3]+ [14/2* 3]-1=14-7-4+2-1=4 π (14) ＝ m+j=6 当 N=15 时，[ 15 ] =3，m=2， (｜A1｜=[15/ 2], ｜A2｜=[15/ 3] J=15-[15/ 2]- [15/ 3]+ [15/2* 3]-1=15-7-5+2-1=4 π (15) ＝ m+j=6 当 N=25 时，[ 25 ] =5，m=3， (｜A1｜=[25/ 2], ｜A2｜=[25/ 3] , ｜A3｜=[25/ 5] ) J=25-[25/2]-[25/3]-[25/5]+[25/2*3]+[25/2*5] + [25/3*5]- [25/2* 3*5]-1=25-12-8-5+4+2+1-0-1=6 π (25) ＝ m+j=9 ) ) ) ) ) ) )
i =1 i〈 j i〈 j〈k
m
m
m
+
m ⎡ ⎤ + (−1) m ⎢ N / ∏ pi ⎥ − 1 i =1 ⎣ ⎦
命题证毕。
例子： 当 N=2 时，[ 2 ]=1，m=0，j=1 由定义可以知道 π (2) ＝ m+j =1 当 N=3 时，[ 3 ] =1，m=0，j=2 由定义可以知道 π (3) ＝ m+j =2 当 N=4 时，[ 4 ] =2，m=1，j=4-[4/2]-1=1(｜A1｜=[4/ 2] ) π (4) ＝ m+j =2 当 N=5 时，[ 5 ] =2，m=1，j=5-[5/2]-1=2(｜A1｜=[5/ 2] ) π (5) ＝ m+j =3 当 N=6 时，[ 6 ] =2，m=1，j=6-[6/2]-1=2(｜A1｜=[6/ 2] ) π (6) ＝ m+j =3 当 N=7 时，[ 7 ] =2，m=1，j=7-[7/2]-1=3(｜A1｜=[7/ 2] ) π (7) ＝ m+j =4
i =1 i〈 j
i〈 j 〈k
∑
m
Ai ∩ Aj ∩ Ak +
+ ( −1)
∩A
i =1
m
−1
即：
-2-
j ( N ) = N − ∑ [ N / pi ] + ∑ ⎡ ⎣ N / pi p j ⎤ ⎦−
i =1 i〈 j
m
m
i〈 j〈k
∑⎡ ⎣N / p p
-1-
以及怎么判断一个数是不是质数的问题。 对于正整数 N ，定义 π (N) 为不大于 N 的素数总个数。 N 表示 N 的算术平方根， m 为整数， 当 2≦ P1 ， P2 ……Pm≦[√N]时， P1 ， P2 …… [ N ]表示不超过 N 的最大整数。 Pm 表示正整数Ｎ的前部质数，m 为前部质数的个数；j 为整数，当[ N ]﹤Ｑ1，Ｑ２……Ｑ
i =1 i〈 j
m
m
i〈 j 〈k
∑
m
Ai ∩ Aj ∩ Ak +
+ ( −1)Biblioteka m∩Ai =1
m
i
−1
又因为
｜A1｜=[N/ P1], ｜A2｜=[N/ P2],……,｜Ai｜=[N/ Pi]，
-3-
⎤ Ai ∩ Aj ∩ Ak = ⎡ ⎤ Ai ∩ Aj = ⎡ i j⎦ i jP k⎦ ⎣ N / PP ⎣ N / PP ， ， j ( N ) = N − ∑ [ N / pi ] + ∑ ⎡ ⎣ N / pi p j ⎤ ⎦−