高考文科数学试题及答案解析

北京市高考文科数学试卷逐题解析数 学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷的答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题1. 已知全集U R =，集合{|2A x x =<-或2}x >，则U C A = A. ()2,2- B. ()(),22,-∞-+∞C. []2,2-D. (][),22,-∞-+∞【答案】C 【解析】{|2A x x =<-或}()()2=,22,x >-∞+∞，[]2,2U C A ∴=-，故选C .2. 若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 A. (),1-∞ B. (),1-∞-C. ()1,+∞D. ()1,+-∞【答案】B 【解析】(1)()1(1)i a i a a i -+=++-在第二象限.1010a a +<⎧∴⎨->⎩得1a <-.故选B .3. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 A. 2B. 32C. 53 D .85【答案】C【解析】0,1k S ==. 3k <成立，1k =，2S =21=.3k <成立，2k =，2+13S =22=. 3k <成立，3k =，3+152S =332=. 3k <不成立，输出5S 3=.故选C .4.若,x y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2x y +的最大值为A. 1B. 3C. 5D. 9【答案】D【解析】设2z x y =+，则122z y x =-+，当该直线过()3,3时，z 最大. ∴当3,3x y ==时，z 取得最大值9，故选D .5.已知函数1()3()3xxf x =-，则()f xA. 是偶函数，且在R 上是增函数B. 是奇函数，且在R 上是增函数C. 是偶函数，且在R 上是减函数D. 是奇函数，且在R 上是减函数 【答案】B【解析】11()3()()3()33xx x x f x f x ---=-=-=- 且定义域为R .()f x ∴为奇函数.3xy =在R 上单调递增，1()3xy =在R 上单调递减1()3x y ∴=-在R 上单调递增.1()3()3x x f x ∴=-在R 上单调递增，故选B .6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A. 60B. 30C. 20D. 10【答案】D【解析】由三视图可知三棱锥的直观图如下：S ABC-113541032S ABC V -∴=⨯⨯⨯⨯=，故选D .7.设,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ= ”是“0m n ⋅<”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】存在负数λ，使得m n λ=，且,m n 为非零向量.∴m 与n 方向相反. ∴||||cos ||||0m n m n m n π⋅=⋅⋅=-⋅< ∴“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的充分条件.若0m n ⋅<，则||||cos 0m n m n θ⋅=⋅⋅<，则cos 0θ<.∴(,]2πθπ∈，∴m 与n 不一定反向.∴不一定存在负数λ，使m n λ=.故选A8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010.则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg30.48≈） A. 3310 B. 5310C. 7310D. 9310【答案】D【解析】3613M ≈，8010N ≈，36180310M N ≈，两边取对数36136180803lg lg lg3lg10361lg3809310M N ≈=-=⨯-≈ 9310MN∴≈ 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则sin β=.【答案】13【解析】根据题意得2,k k Z αβππ+=+∈所以1sin sin 3βα==10.若双曲线221y x m-=，则实数m =.【答案】2【解析】根据题意得221,a b m ==且222a b c c e a⎧+=⎪⎨==⎪⎩，解得2m =11.已知0,0x y ≥≥，且1x y +=，则22x y +的取值范围是 .【答案】1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】0,0,1x y x y ≥≥+=[]0,1x ∴∈22222211(1)221222x y x x x x x ⎛⎫∴+=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭∴当12x =时，22x y +取得最小值为12当0x =或1x =时，22x y +取得最大值为1∴22x y +的取值范围为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦12.已知点P 在圆221x y +=上，点A 的坐标为()2,0-，O 为原点，则AO AP ⋅的最大值为_______.【答案】 6【解析】点P 在圆221x y +=上设点P 坐标()00,x y ，满足22001x y +=()2,0AO =，()002,AP x y =+，()002224AO AP x x ⋅=+=+ 011x -≤≤，26AO AP ≤⋅≤AO AP ∴⋅的最大值为613.能够说明“设,,a b c 是任意实数.若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为_______. 【答案】 1,2,3---【解析】取,,a b c 分别为1,2,3---不满足a b c +>，故此命题为假命题 （此题答案不唯一）14.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ( i ) 男学生人数多于女学生人数； (ii ) 女学生人数多于教师人数； (iii) 教师人数的两倍多于男学生人数.① 若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_______； ② 该小组人数的最小值为_______. 【答案】 6,12【解析】 ①若教师人数为4人，则男生人数小于8人，则男生人数最多为7人，女生最多为6人。

②若教师人数为1人，则男生人数少于2人，与已知矛盾 若教师人数为2人，则男生人数少于4人，与已知矛盾 若教师人数为3人，则男生人数少于6人，则男生为5 人，女生4人。

所以小组人数最小值为34512++=人三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15.（本小题13分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，2410a a +=，245b b a =.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++.【解析】（Ⅰ）设{}n a 公差为d ，{}n b 公比为q .则243210a a a +==，即35a =. 故312514a a d -==-=，即2d =.()*1212(1)n n N a n n ∴=+-=∈-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知59a =，即249b b =，则2419b q =，23q =.{}n b 为公比为q 的等比数列.13521,,n b b b b -∴,,构成首项为1，公比为23q =的等比数列. ()1352111331132n n n b b b b -⨯--∴++++==-*()n N ∈.16.（本小题13分）已知函数()22sin cos 3f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求证：当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()12f x ≥-. 【解析】（Ⅰ）()22sin cos 31cos 2sin 2sin 2212sin 22sin 23f x x x xx x xx x x ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭=⋅+-⎭=+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以最小正周期222T πππω===. （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.,4452,366x x πππππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦当236x ππ+=-，即4x π=-时，()f x 取得最小值12-.()12f x ∴≥-得证.17．（本小题13分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)20,30，[)30,40，…，[]80,90，并整理得到如下频率分布直方图：（I ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率； （II ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)40,50内的人数；（III ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.【解析】（I ）由频率分布直方图得： 分数大于等于70的频率为分数在[)70,80和[]80,90的频率之和， 即0.40.20.6+=，由频率估计概率∴分数小于70的概率为10.60.4-=（II ）设样本中分数在区间[)40,50内的人数为x ，则由频率和为1得50.10.20.40.21100100x +++++=解之得5x = ∴总体中分数在区间[)40,50内的人数为540020100⨯=（人） （III ）设样本中男生人数为a ，女生人数为b样本中分数不小于70的人数共有()0.40.210060+⨯=（人）∴分数不小于70的人中男生，女生各占30人∴样本中男生人数为303060a =+=（人）女生人数为1006040b =-=（人）∴总体中男生和女生的比例为32a b =18．（本小题14分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，PA BC ⊥，AB BC ⊥， 2PA AB BC ===，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点.（I ）求证：PA BD ⊥；（II ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（III ）当//PA 平面BDE 时，求三棱锥E BCD -的体积.【解析】（I ）PA AB ⊥，PA BC ⊥，AB BC B =又AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABCPA ∴⊥平面ABC 又BD ⊂平面ABCPA BD ∴⊥（II ）在ABC ∆中，D 为AC 中点又AB BC = BD AC ∴⊥由（I ）知PA BD ⊥，而AC PA A =，PA ，AC ⊂平面PACBD ∴⊥平面PAC又BD ⊥平面PAC 且BD ⊂平面BDE ∴平面BDE ⊥平面PAC（III ）由题知//PA 平面BDEPA ⊂平面PAC ，平面PAC 平面BDE DE =//PA DE ∴PA ⊥平面ABC DE ∴⊥平面ABC 又D 为AC 中点 E ∴为PC 中点112DE PA ∴==，AC ==在ABC ∆中，12DC AC ==BC BA =且90ABC ∠= 45ACB ∴∠=DB DC ∴== 112BCD S DB DC ∆∴=⨯⨯= 1133E BCD BCD V S DE -∆∴=⨯⨯=20．（本小题13分）已知函数()cos x f x e x x =-．（I ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（II ）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【解析】（I ）()cos x f x e x x =-'()cos sin 1x x f x e x e x =--∴ 00'(0)cos 0sin 010f e e =--=又0(0)cos 00=1f e =- ∴()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =（II ）令()'()cos sin 1x xg x f x e x e x ==--， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ '()cos sin (cos sin )2sin x x x x xg x e x e x e x e x e x =--+=- 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴sin 0x ≥而0x e >∴'()0g x ≤∴()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ∴()(0)0g x g ≤=∴'()0f x ≤∴()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减∴当2x π=时，()f x 有最小值2()cos 2222f e πππππ=-=-当0x =时，()f x 有最大值0(0)cos 001f e =-=19．（本小题14分）已知椭圆C 的两个顶点分别为()2,0A -，()2,0B ，焦点在x 轴上，离心率为2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：BDE ∆与BDN ∆的面积之比为4:5. 【解析】（Ⅰ）焦点在x 轴上且顶点为()2,0±2a ∴=c e a ==c ∴=222a b c =+2221b a c ∴=-=∴椭圆的方程为：2214x y +=（Ⅱ）设()0,0D x 且022x -<<，0M y y =，则()()0000,,M x y N x y -， 002AM y k x ∴=+ AM DE ⊥ 1AM DE k k ∴⋅=- 002DE x k y +∴=- ∴直线DE :0002()x y x x y +=-- 002BN y k x =-- ∴直线BN :()0022y y x x =--- 由0000022002()(2)214x y x x y y y x x x y +⎧=--⎪⎪⎪=--⎨-⎪⎪⎪+=⎩ 得0000424,5551||21212124455BDE E BDN N E BDE BDN N E x y S BD y S BD y BD y S S BD y y y ∆∆∆∆⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⋅=⋅⋅∴=⋅-==- ∴得证。