数列通项公式、前n项和求法总结(全)
一.数列通项公式求法总结：
1.定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。
特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）．
例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.
变式练习：
1.等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==求{}n a 的通项公式
2. 在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和.
2.公式法
求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-2111n S S n S a n n
n 求解。 特征：已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系
例2.已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。
（1）13-+=n n S n 。 （2）12-=n s n
变式练习：
1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S =2n 2+n ，n ∈N ﹡，数列{b }n 满足n a =4log 2n b +3，n ∈N ﹡.求n a ，n b 。
2. 已知数列{}n a 的前n 项和212
n S n kn =-
+（*k N ∈）,且S n 的最大值为8，试确定常数k 并求n a 。
3. 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n n S n ，2
2.求数列{}n a 的通项公式。
3.由递推式求数列通项法
类型1 特征：递推公式为)(1n f a a n n +=+
对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。
11
变式练习：
1. 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
2.已知数列： 求通项公式
类型2 特征：递推公式为 n n a n f a )(1=+ 对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n
n =+，利用累乘法求解。 例4. 已知数列{}n a 满足321=
a ，n n a n n a 1
1+=+，求n a 。
变式练习： 1.已知数列{}n a 中，12a =，13n n n a a +=，求通项公式n a 。
1112n n n a a a +==+,
2.设{}n a 是首项为1的正项数列，且()221110n n n n n a na a a +++-+=（n =1，2， 3，…）
，求数列的通项公式是n a
类型3 特征：递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数）
对策：（利用构造法消去q ）把原递推公式转化为由q pa a n n +=+1得1(2)n n a pa q n -=+≥两式相减并整理得
11
,n n n n a a p a a +--=-构成数列{}1n n a a +-以21a a -为首项，以p 为公比的等比数列.求出{}1n n a a +-的通项再转化为类型1（累加法）便可求出.n a
例5. 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
变式练习：
1. 数列{a n }满足a 1=1，0731=-++n n a a ,求数列{a n }的通项公式。
2. 已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.证明{}
12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式。
类型4特征：递推公式为1()n n a pa f n +=+（其中p 为常数）
对策：（利用构造法消去p ）两边同时除以1n p +可得到111()n n n n n a a f n p p p +++=+，令n n n a b p =，则11
()n n n f n b b p ++=+，再转化为类型1（累加法），求出n b 之后得n n n a p b =
例6．已知数列{}n a 满足1112431n n n a a a -+=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。
变式练习：已知数列{}n a 满足11=a ，123-+=n n n a a )2(≥n ，求n a ．
二.数列的前n 项和的求法总结
1.公式法
（1）等差数列前n 项和：11()(1)22
n n n a a n n S na d ++=
=+ （2）等比数列前n 项和：
q=1时，1n S na = ()1111n n a q q S q -≠=
-， 例1. 已知3
log 1log 23-=
x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和.
变式练习： 1.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知26,a =13630,a a +=求n a 和n S .
2.设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项均为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=。
（1）求n a ，n b ；
（2）求数列{
}n n
b a 的前n 项和n S 。
2.错位相减法
①若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则数列{}n n a b ?的求和就要采用此法.
②将数列{}n n a b ?的每一项分别乘以{}n b 的公比，然后在错位相减，进而可得到数列{}n n a b ?的前n 项和.
例2.求2311234n x x x nx
-+++++……的和
变式练习：
1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n S =22n n +,n ∈N ﹡,数列{}n b 满足24log 3n b n a =+n ∈N ﹡. (1)求n a ,n b ;
(2)求数列{}n n a b ?的前n 项和n T .
2.若公比为c 的等比数列{}n a 的首项为11a =，且满足12(3,4,...)2
n n n a a a n --+=
=。 （1）求c 的值；（2）求数列{}n na 的前n 项和n S
3.倒序相加法 如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：121...n n a a a a -+=+=
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
S a a a a S a a a a n n n n n n =++++=++++????
?--121121…………相加 ()()()21211S a a a a a a n n n n =++++++-…………
例3.已知，则f x x x
f f f f f f f ()()()()()=+++?? ???++?? ???++?? ???=2211212313414
变式练习： 1. 求222
222222222123101102938
101
++++++++的和．
2. 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值。
4.裂项相消法 一般地，当数列的通项12()()n c a an b an b =
++ 12(,,,a b b c 为常数）时，往往可将n a 变成两项的差，采用裂项相消法求和.
可用待定系数法进行裂项： 设12n a an b an b λλ=-++，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得21
c b b λ=-，从而可得122112
11=().()()()c c an b an b b b an b an b -++-++ 常用裂项形式有：
① 111(1)1n n n n =-++； ② 1111()()n n k k n n k
=-++； ③
2211111()1211k k k k <=---+，211111111(1)(1)1k k k k k k k k k -=<<=-++--； ④ 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)
n n n n n n n =-+++++ ； ⑤
=<<= 例4.求数列
311?，421?，531?，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S.
变式练习：
1. 在数列{a n }中，1
1211++???++++=
n n n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.
2. 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== (I)求数列{}n a 的通项公式.
(II)设 31323log log log ,n n b a a a =++???+求数列1n b ???
???
的前项和.
5.分组求和法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组. 例5.求数列11111246248162n n ++，
，，，，的前n 项和n S ．
变式练习：
1.求数列11111,2,3,4,392781
的前n 项和
2.若数列{}n a 的通项公式231(0)n n a a na a =+-≠，求{}n a 的前n 项和
6.记住常见数列的前n 项和： ①(1)123...;2
n n n +++++= ②2135...(21);n n ++++-= ③2222
1123...(1)(21).6
n n n n ++++=++ 例6.求22222222235721()11212312n n n *+++++∈++++++N 的和．
变式练习：求数列{(1)(21)}n n n ++的前n 项和.