2019-2020年中考数学第三轮压轴题突破重难点突破4二次函数与几何函数综合题类型3探究图形面积数量关系的存
2020年九年级数学中考二轮复习：《二次函数综合》压轴题专题训练(含答案)
《二次函数综合》压轴题专题训练
1．定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．
例如：y＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y＝﹣（x﹣1）2+2．
（1）满足什么条件的抛物线与其“同轴对称抛物线”的顶点重合： ．
（2）求抛物线y＝﹣x2+x+1的“同轴对称抛物线”．
（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B′、C′，连接BC、CC′、B′C′、BB′，设四边形BB′C′C的面积为S（S＞0）．
①当四边形BB′C′C为正方形时，求a的值．
②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．
2．已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线C2：y＝x2．
（1）直接写出抛物线C1的解析式
；
（2）如图1，已知抛物线C1与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点P（，t）在抛物线C1上，QB⊥PB交抛物线于点Q．求点Q的坐标；
（3）已知点E，M在抛物线C2上，EM∥x轴，点E在点M的左侧，过点M的直线MD与抛物线C2只有一个公共点（MD与y轴不平行），直线DE与抛物线交于另一点N．若线段NE＝DE，设点M，N的横坐标分别为m，n，直接写出m和n的数量关系（用含m的式子表示n）为 ．
3．如图1，抛物线y＝x2+bx+c过点A（4，﹣1），B（0，﹣），点C为直线AB下方抛物线上一动点，M为抛物线顶点，抛物线对称轴与直线AB交于点N．
（1）求抛物线的表达式与顶点M的坐标；
（2）在直线AB上是否存在点D，使得以C，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出D点坐标；
二次函数与三角形的综合-中考数学函数考点全突破
二次函数与三角形的综合-中考数学函数考点全突破
一、考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题
2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。
一解决此类题目的基本步骤与思路
1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标
2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式
3.根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。
注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。
5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。
二、二次函数问题中三角形面积最值问题
（一）例题演示
1.如图，已知抛物线(a为常数，且a＞0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)P为直线BD下方的抛物线上的一点，连接PD、PB,求△PBD面积的最大值．
D
B O
A
y
x
C
解答：(1)抛物线令y＝0，解得x＝－2或x＝4，∴A(－2，0)，B(4，0)．
∵直线经过点B(4，0)，∴，解得，∴直线BD解析式为：
当x＝－5时，y＝3，∴D(－5，3)
∵点D(－5，)在抛物线上，∴，∴．
∴抛物线的函数表达式为：．
(2)设P(m,)
∴
∴△BPD面积的最大值为．
中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题及答案解析
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.
(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
【答案】（1）足球飞行的时间是85s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能.
【解析】
试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．
解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，
∴当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，
∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，
∴他能将球直接射入球门．
考点：二次函数的应用．
2．抛物线2yxbxc（b，c为常数）与x轴交于点1,0x和2,0x，与y轴交于点A，点E为抛物线顶点。
（Ⅰ）当121,3xx时，求点A，点E的坐标；
（Ⅱ）若顶点E在直线yx上，当点A位置最高时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ）若11,0xb，当(1,0)P满足PAPE值最小时，求b的值。
初中数学《二次函数综合压轴题》常考知识点含答案解析
12025年中考数学复习：二次函数综合压轴题常考热点试题汇编
1.如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A-1，0，C2，3两点，与y轴交于点N．其顶点
为D．
(1)求抛物线及直线AC的函数表达式；
(2)设点M3，m，求使MN+MD的值最小时m的值；
(3)若点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，求PQ的最大
值．
【答案】(1)解：由抛物线y=-x2+bx+c过点A-1，0，C2，3得-1-b+c=0
-4+2b+c=3
，
解得b=2
c=3
，
∴抛物线为y=-x2+2x+3；
设直线为y=kx+n过点A-1，0，C2，3，得-k+n=0
2k+n=3
，
解得k=1
n=1
，
∴直线AC为y=x+1；
(2)解：∵y=-x2+2x+3=-x-12+4，
∴D1,4，
令y=0，则0=-x2+2x+3，
解得x=-1或x=3，即抛物线与x轴的另一个交点为3，0，
作直线x=3，作点D关于直线x=3的对称点D，
得D坐标为5，4，如图，
连接ND交直线x=3于点M，
此时N、M、D三点共线时，NM+MD最小，即NM+MD最小，
设直线ND的关系式为：y=ax+b，
把点N0,3
和
D5,4代入得b=3
5a+b=4
，
得a=1
5，b=3，
2∴直线NM的函数关系式为：y=1
5x+3，
当x=3时，y=18
5，
∴m=18
5；
(3)解：如图，
∵PQ⊥x轴交AC于点Q，
∴设Qx，x+1，则Px，-x2+2x+3，
∴PQ=-x2+2x+3-x+1=-x2+x+2
=-x-1
22+9
4，
∵-1<0，
∴PQ有最大值，最大值为9
4．
2.如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为-1,0，且OA=OC=5OB，抛物线y=ax2+bx+
ca≠0图象经过A，B，C三点．
(1)求A，C两点的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
2019-2020年中考数学复习专题_综合解答题(3)
2019-2020年中考数学复习专题_综合解答题（3）
一、解答题
1．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？
（2）求一次函数解析式及m的值；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．
（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）
（2）求证：OD=OE；
（3）求证：PF是⊙O的切线．
3．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；
（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；
（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．
4．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
重庆市大足区双路 2022年中考数学第三轮压轴题：二次函数 综合复习
重庆市大足区双路中学2022年中考数学第三轮压轴题：二次函数 综合复习
1、已知二次函数223yaxax的最大值为4，且该抛物线与y轴的交点为C，顶点为D．
（Ⅰ）求该二次函数的解析式及点C，D的坐标；
（Ⅱ）点(,0)Pt是x轴上的动点，
①求||PCPD的最大值及对应的点P的坐标；
②设(0,2)Qt是y轴上的动点，若线段PQ与函数2||2||3yaxax的图象只有一个公共点，求t的取值范围．
2、在平面直角坐标系中，关于x的函数y＝ax2﹣6ax﹣4x+8a+12（a为常数且a≠0）的图象记为G．
（1）求证：G与x轴恒有两个交点．
（2）当2＜x＜4时，关于x的函数y＝ax2﹣6ax﹣4x+8a+12（a为常数且a≠0）的值随着x的增大而减小时，求a的取值范围．
（3）当a＞0时，
①设G与直线y＝4的两个交点为A、B，求线段AB长度的取值范围．
②设横、纵坐标都是整数的点为“整点”，当G与x轴围成的封闭图形的内部纵坐标大于﹣4的“整点”恰好有6个时，直接写出a的取值范围．
3、已知函数y＝，记该函数图象为G． （1）当m＝2时，
①已知M（4，n）在该函数图象上，求n的值；
②当0≤x≤2时，求函数G的最大值．
（2）当m＞0时，作直线x＝m与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若∠POQ＝45°时，求m的值；
（3）当m≤3时，设图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作BC⊥BA交直线x＝m于点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，求m的值．
4、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B．抛物线y＝﹣x2+bx+c过A、B两点．
（1）点A，B的坐标分别是A ，B ；
（2）求抛物线的解析式；
（3）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上一动点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积．
专题03 二次函数与面积有关的问题(知识解读)-备战2023年中考数学《重难点解读专项训练》
1
专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）
【专题说明】
二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。特别是 在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。
与面积有关的问题，更是常见。本节介绍二次函数考试题型种，与面积问题的常用解法。 同学们，只要熟练运用解法，炉火纯青，在考试答题的时候，能够轻松答题。
【知识点梳理】
类型一：面积等量关系
类型二：面积平分
方法一：利用割补
将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD解法不简便。）
2 方法二： 铅锤法
铅锤高水平宽21S
方法三 ：其他面积方法
如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．
如图2，同底三角形的面积比等于高的比．
如图3，同高三角形的面积比等于底的比．
如图1 如图2 如图3
【典例分析】
【类型一：面积等量关系】
【典例21】（2022•盘锦）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．点P在抛物线上，连接BC，BP．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段BC上，连接PD并延长交x轴于点E，
3 连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；
【变式1】（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．
（1）求a，c的值；
（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；
（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
2020中考数学专题训练 代数与几何综合题二次函数压轴题.docx
代数与几何综合题
类■©一 初点■©探究裁
1.如图①，已知RtA ABC中，ZC=90°, AC=8 cm, BC=6 cm,点F由B出发沿BA方 向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s. 以AQ. PQ为边作四边形AQPD,连接DQ,交AB于点E.设运动的时间为/(单位：s)(0
(1) 用含有t的代数式表示AE=—；
(2) 如图②，当/为何值时，四边形AQPD为菱形；
(3) 求运动过程中，四边形AQPD的面积的最大值.
解：(1)5—f；
【解法提示】I,在RtAABC中，ZC= 90°, AC=8 cm, BC=6 cm, A由勾股定理得：AB =10 cm, I.点F由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2 cm/s, :.BP=2t cm, :.AP =AB—BP=I0—2t, I.四边形 AQPD 为平行四边形，:.AE=^AP=5~t.
4/7 AT
(2)如解图①，当四边形AQPD是菱形时，QQ1AF,则COS/BAC=M=桥，
即*=希，解得，=令
25
当，=育时，四边形AQFZ)是菱形；
⑶如解图②，作PMLAC于设平行四边形AQPD的面积为S.
*：PM//BC,
:.AAPM^AABC,
.AP PM 10~2r PM
，，AB=BC,即 10 =-6~, 6 ]2 ] 2' 5 丫
S=AQ'PM=2，g(5~t)= 一+12t= — — I ^―— I +15(0
i o 5
v—<0,.•・当，时，S有最大值，最大值为15 cn?.
第1题解图
2.已知，在RtA ABC中，ZACB=90°, BC=AC, AB=6,。是AB的中点，动点E从点。 出发，在AB边上向左或右运动，以CE为边向左侧作正方形CEFG,直线BG, FE相交于 点N(点E向左运动时如图①，点E向右运动时如图②).
⑴在点E的运动过程中，直线BG与CD的位置关系为；
北京中考压轴二次函数综合分类解析
代数几何综合
一、二次函数压轴题类类型解析
在北京中考中二次函数的重要性不言而喻，稳坐压轴题倒数第三题，数学想上90分的学生，这道题严格意义上来说必须拿下的，基本的布置有三问，前两问比较简单，基本一半以上的学生都能拿下，但最后一问涉及临界点问题，有的题目甚至需要将图像想象成会动的函数来讲，对学生的分析能力来说是一个比较大的挑战。
在二次函数前两问中，通常考查函数的对称轴，与x轴的交点坐标，顶点坐标，求函数解析式，或者带点计算的基本能力。
常见考点：
1． 顶点（-b2a，4ac−b24a），对称轴是直线x=-b2a
2． 与x轴交点坐标（−b+√b2−4ac2a，0）（−b−√b2−4ac2a，0）
3． 顶点式求函数解析式
4． 函数图像平移以及翻折问题，平移规律左加右减，上加下减，函数图像关于x轴翻折图像类似M或W。
5． 抛物线中对称性与距离问题
6． 抛物线常见的定点函数。
最后一问的解答过程中，一般情况从六个方面确定函数的图像的基本性质。
1. 分析开口方向和大小，有的函数需要分类讨论
2. 分析抛物线的对称轴 3. 分析定点坐标
4. 分析抛物线与x轴的交点坐标
5. 分析抛物线与y轴的交点坐标
6. 分析抛物线的其它定点
总的来说，给定的条件中，一定能确定二次函数某些性质，例如：开口大小固定，过固定点，与x轴交点固定，截x轴的线段长度固定等，具体情况还是要具体分析，但基本上都离不开对图像的分析。
一、公共点类型
线段或直线与抛物线有交点时，考察类型较多，也是模拟考试中的重点内容，根据函数图像的性质，分析临界点，代数即可。
易（房山）26．在平面直角坐标系xOy中，二次函数2yxmxn的图象经过点 A(−1，a)，B(3，a)，且顶点的纵坐标为 -4．
（1）求 m，n 和 a 的值；
（2）记二次函数图象在点 A，B 间的部分为 G (含 点A和点B )，若直线 2ykx与 图象G
二次函数与几何综合压轴题题型归纳
学生： 科目： 数 学 教师： 刘美玲
一、二次函数和特殊多边形形状
二、二次函数和特殊多边形面积
三、函数动点引起的最值问题
四、常考点汇总
1、两点间的距离公式：22BABAxxyyAB
2、中点坐标：线段AB的中点C的坐标为：22BABAyyxx，
直线11bxky（01k）与22bxky（02k）的位置关系：
（1）两直线平行21kk且21bb （2）两直线相交21kk
（3）两直线重合21kk且21bb （4）两直线垂直121kk
3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：
① 用和参数的其他要求确定参数的取值范围；
② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）
③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。
例：关于x的一元二次方程01222＝－mxmx有两个整数根，5＜m且m为整数，求m的值。
4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。（方法同上）
例：若抛物线3132xmmxy与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定课 题 函数的综合压轴题型归类
教学目标 1、 要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系
2、 掌握特殊图形面积的各种求法
重点、难点 1、 利用图形的性质找点
2、 分解图形求面积
教学内容
此抛物线的解析式。
5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：
已知关于x的方程23(1)230mxmxm（m为实数），求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根。
解：当0m时，1x；
当0m时，032m，mmx213，mx321、12x；