巧解高考数学压轴题(6)——拉格朗日(lagrange)中值定理证明
3 拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理拉格朗日（Lagrange ）中值定理ξ()()(,) , () .f b f a a b f b a ξξ-'∃∈=-则使得(1) () [,] ;f x a b 在连续(2) () (,) ,f x a b 在可导定理xyaABbOξ'拉格朗日中值定理Lagrange (法)1736-1813xyabOξ'ξ)(='ξf 罗尔中值定理ABOxy)(x f y =ξξabAB切线与弦线AB 平行()()()()AB f b f a y f a x a b a-=+--弦的方程：如何利用罗尔定理来证明？分析()() ()()()()f b f a x f x f a x a b aφ-=----令()() ()()()()f b f a x f x f a x a b aφ-=----令则由已知条件可得：()([, ]) ,x C a b φ∈() (, ) ,x a b φ在内可导 ()()0 .a b φφ==且故由罗尔中值定理，至少存在一点(, ) , a b ξ∈使得()()()()0.f b f a f b aφξξ-''=-=- ()()()().f b f a f b a ξ'-=-即分析证z()()(())(), (01).f b f a f a b a b a ,θθ'-=+--∈定理的证明方法很多,例如,可作辅助函数()(()())()()F x f b f a x b a f x =---1 a b a b <>不论还是定理中的公式均可写成()()()() ( , )f b f a f b a a b ξξ'-=-在之间23拉格朗日有限增量公式()()() (01)f x x f x f x x x θθ'+∆-=+∆∆<<() ( )y f x x x x ξξ'∆=∆+∆在与之间拉格朗日中值定理告诉我们, 在t=a 到t=b 的时间段内, 连续运动的物体至少会在某一时刻达到它的平均速度.()() () .s b s a v t b a-=-z由拉格朗日中值定理可以得出其它的什么结论？()()() ()f b f a f b a ξ'-=-2121()()() ()f x f x f x x ξ'-=-(1) ()0 (, ).f x x a b '=∈().f x =常数(2) |()| .f x M '≤00|()()| ||.f x f x M x x -≤-(3) ()0 (0).f x '≥≤() ()f x ↑↓()f ξ'???z12 ()0 , I . , I ,f x x x x '=∈∀∈若则有1212()()()()0 ,f x f x f x x ξ'-=-= ()0 , I , () , I .f x x f x C x '=∀∈=∈若则12()() .f x f x =推论1证z推论2证 ()() I , ()() I .f xg x x f x g x C x ''=∈=+∈若则(C 为常数)(()())()(),f xg x f x g x '''-=-因为 ()() I , f x g x x ''=∈若则 (()())0 , I , f x g x x '-=∈故()() , I .f xg x C x -=∈z推论3证|()|, (, ), f x M x a b '≤∈且则|()()|||.f b f a M b a -≤- () [, ] ,f x a b 若在上满足拉格朗日中值定理条件 |()| ( () ) ,f x M f x ''≤若即有界 |()()| |()||| || .f b f a f b a M b a ξ'-=-≤-则用来证明一些重要的不等式.z推论4证用来判断函数的单调性.() I , ()0 (()0) ,f x f x f x ''≥≤若在区间可导且 () I ()f x 则在区间上单调增加减少．1221,I , .x x x x ∀∈>不妨设212112()()()() ()f x f x f x x x x ξξ'-=-<<21 ()0 I , ()() ,f x x f x f x '>∈>若则21 ()0 I , ()() .f x x f x f x '<∈<若则z推论5证用来证明不等式.() , () I , ()()( I ) .f xg x f a g a a =∈设在区间内可导且 ()() (, )I ,f x g x x a b ''>∈⊂若则()() , (, ) .f xg x x a b >∈ ()()() , ()0, ()0.x f x g x x a φφφ'=->=令则再由推论4 , 即得命题成立.z() (, ) ()() ,f x f x f x '-∞+∞=证明：若在内满足关系式(0) 1 , ().x f f x e ==且则() 1 , (, ) xf x x e⇔≡∈-∞+∞() (), (, ),x f x x x e φ=∈-∞+∞令 ()x C φ=问题转化为证明2()() ()xxxf x e f x e x eφ'-'=0, (, ), x =∈-∞+∞证 (), (, ).x C x φ∴=∈-∞+∞ (0) 1 ,f =又() () 1.x f x x e φ==0(0) (0) 1.f e φ==故 1 . C =从而(), (, ) .xf x e x =∈-∞+∞例分析问题的条件,改写结论的形式，作出辅助函数是解题的关键.如果曲线用参数方程表示，拉格朗日中值定理的结论会变成怎样的形式？。
拉格朗日中值定理证明及其应用
拉格朗日中值定理证明及其应用拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，它是勒让德-拉格朗日定理的一个特例。
它是用来描述在一个闭区间内可微函数的平均变化率的存在性及其应用。
在本文中，我们将从拉格朗日中值定理的证明入手，然后介绍其应用场景，以及它在实际问题中的应用。
让我们从拉格朗日中值定理的表述入手。
设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，那么存在ξ∈(a, b)，使得：f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a)其中f'(ξ)表示函数f(x)在点ξ处的导数。
这个定理表明了在一个闭区间内可微函数的平均变化率存在。
接下来，让我们来证明拉格朗日中值定理。
证明的思路是构造一个辅助函数来辅助完成证明。
我们定义一个函数g(x) = f(x) - [f(b) - f(a)] / (b - a) * (x - a)。
很容易证明g(x)在闭区间[a, b]上满足罗尔定理的条件，即g(a) = g(b) = f(a) - [f(b) - f(a)] / (b - a) * (b - a) = f(a)，g(a) = g(b) = f(b) - [f(b) - f(a)] / (b - a) * (b - a) = f(b)。
根据罗尔定理，存在ξ∈(a, b)，使得g'(ξ) = 0。
即g'(ξ) = f'(ξ) - [f(b) - f(a)] / (b - a) = 0，整理得到f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a)。
拉格朗日中值定理得到证明。
接下来，让我们来探讨一下拉格朗日中值定理的应用。
在实际问题中，拉格朗日中值定理常常会被用来表示平均变化率、速度、斜率等概念。
当我们需要计算一个函数在某一区间内的平均变化率时，就可以使用拉格朗日中值定理。
又当我们需要计算一个曲线在某一点的切线斜率时，也可以使用拉格朗日中值定理。
这个定理在实际问题中有着广泛的应用。
拉格朗日（Lagrange）中值定理的构造性证明
理学、教育学的相关书籍，了解认知主义、建构主义以及有意义的接受学习等学习观，提高自己的教育理论水平。
这样，教师才容易理解和接受新课程的理念，并且在科学理论的指导下，设计和组织三角函数的教学过程，实现对学生的最有利培养。
2.突显探究教学对课堂效率的提升作用。
“合作交流，自主探究”是新课程提倡的学习方式，但是在三角函数教学中，很多教师的教学是“多练少讲”和“以讲解为主”。
他们主要是担心“探究教学”会降低课堂效率。
探究教学真的会降低课堂效率吗？什么叫课堂效率？课堂效率是指在课堂规定的教学时间内所取得的教学效果的大小，其中教学效果包括数量与质量。
而所谓的高效课堂，不仅有量，还要有质（即学生对知识的理解程度和学生能力的培养）。
如果按照传统的教学方式进行教学，虽然教师噼里啪啦讲了很多知识，但是学生真正理解的又有多少。
一些教师认为这没什么，我们可以通过题海战术来巩固提高。
这样对于学生能力的培养有用吗？没用，只会解题不是新课程对学生培养的目标。
而三角函数的内容很特殊，是建立在图形的基础上，形象直观，非常适合用来培养学生的探究、发现、归纳等数学能力，培养学生自主学习的能力。
所以，教师应该充分发挥三角函数的这一优势，利用探究教学，引导学生去探索和归纳，经历三角函数知识的再创造过程。
这样，学生才能从本质上理解这些知识，同时还能提高数学能力，这样的课堂才是真正、高效的课堂。
而学生学起来轻松，才会有学习数学的兴趣，积极性才高，学习也会更有效率。
所以在三角函数课堂中，探究教学可以提升课堂效率。
3.明确三角函数新定义在教学中的中心地位。
新教材对三角函数采用的是单位圆定义，明确提出了单位圆在三角函数学习中的中心地位，可以帮助学生形成一个以单位圆为中心的知识体系，便于理解三角函数知识的来龙去脉。
但是，如果利用单位圆定义进行三角函数求值运算，过程非常烦琐，而利用终边定义法，运算就非常简捷。
那么我们能否找到一种方法，将这两种定义的优势结合起来，取长补短呢？新课程改革并不等于革命，并不是彻底的推倒重建，我们不仅要反思以前课程的弊端，同时还要反思它的优势。
拉格朗日(Lagrange)中值定理的几何证明
拉格朗日(Lagrange)中值定理的几何证明
冯潞强
【期刊名称】《长治学院学报》
【年(卷),期】2001(018)003
【摘要】文章应用几何上的转轴公式,讨论了拉格朗日中值定理的一种几何证明方法.
【总页数】2页(P53-54)
【作者】冯潞强
【作者单位】晋东南师专数学系,长治,046011
【正文语种】中文
【中图分类】O174.21
【相关文献】
1.拉格朗日（Lagrange）中值定理的构造性证明 [J], 丁显峰
2.拉格朗日（Lagrange）中值定理应用的分类剖析 [J], 陈天明
3.拉格朗日(Lagrange)中值定理的推广 [J], 张玉莲;杨要杰
4.拉格朗日(Lagrange)中值定理在高考数学中的应用 [J], 何兴兴
5.关于拉格朗日(Lagrange)中值定理的逆定理问题 [J], 陈建威
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巧解高考数学压轴题(6)——拉格朗日(lagrange)中值定理证明
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这里仅以⑵为例给出拉格朗日中值定理的证明. 显然， 函数 x 满足条件：1 在闭区间 a, b 上连续；2 在
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3.4 转轴法
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w.
由拉格朗日中值定理的几何图形可知，若把坐标系 xoy 逆时针旋 转适当的角度 ，得新直角坐标系 XOY ，若 OX 平行于弦 AB ，则在新
显 然 ， 函 数 x 在 闭 区 间 a, b 上 连 续 ， 在 开 区 间 a, b 内 可 导 ，
a b 0 ，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点 a, b ，使 watermark a-pdf watermark a-pdf watermark
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拉格朗日(lagrange)中值定理 若函数 f x 满足如下条件：1 在闭区间 a, b 上连续；2 在开区间
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如图 4 过点 a, O 作直线 A' B ' ∥ AB ，直线 A' B ' 的方程为：
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使得 Y sin f ' cos 0 ，即 f ' tan
高考数学复习考点题型专题讲解46 拉格朗日中值定理
高考数学复习考点题型专题讲解专题46 拉格朗日中值定理1.拉格朗日中值定理：若f(x)满足以下条件：(1)f(x)在闭区间[a，b]内连续；(2)f(x)在开区间(a，b)上可导，则∃ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝f（b）－f（a）b－a.2.几何意义：弦AB的斜率＝f（b）－f（a）b－a＝f′(ξ1)＝f′(ξ2)，在曲线弧AB上至少有一点，在该点处的切线平行于弦AB.类型一证明不等式所证不等式的特征：既有两自变量的差，又有两自变量的函数(或导数)值的差.例1 已知函数f(x)＝x2＋2x＋a ln x(x>0)，f(x)的导函数是f′(x)，对任意两个不相等的正数x1，x2，证明：当a≤4时，|f′(x1)－f′(x2)|>|x1－x2|.证明 由f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x 得，f ′(x )＝2x －2x 2＋ax，令g (x )＝f ′(x )，则由拉格朗日中值定理得：|f ′(x 1)－f ′(x 2)|＝|g (x 1)－g (x 2)|＝|g ′(λ)(x 1－x 2)|.下面只要证明：当a ≤4时，任意λ>0，都有g ′(λ)>1， 则有g ′(x )＝2＋4x 3－ax2>1，即证a ≤4时，a <x 2＋4x恒成立.这等价于证明x 2＋4x的最小值大于4，由x 2＋4x ＝x 2＋2x ＋2x≥334，当且仅当x ＝32时取到最小值，又a ≤4<334，故a ≤4时，2＋4x 3－ax2>1恒成立.所以由拉格朗日中值定理得： |f ′(x 1)－f ′(x 2)|>|x 1－x 2|.训练1 设0<y <x ，p >1，证明：py p －1(x －y )<x p －y p <px p －1(x －y ). 证明 设f (t )＝t p ，显然f (t )在[y ，x ]满足拉格朗日中值定理的条件，则∃ξ∈(y ，x )，使得f ′(ξ)＝f （x ）－f （y ）x －y ，即p ξp －1＝x p －y p x －y. 由p >1知t p －1在[y ，x ]上单调递增，py p －1<p ξp －1<px p －1，从而有py p －1(x －y )<p ξp －1(x －y )<px p －1(x －y )，即有py p －1(x －y )<x p －y p <px p －1(x －y ). 类型二 由不等式恒成立求参数的取值范围1.分离常数.2.构造成f （b ）－f （a ）b －a的形式，求其最值(范围).例2 已知函数f (x )＝e x －e －x ，若对任意x ≥0都有f (x )≥ax ，求实数a 的取值范围. 解 (1)当x ＝0时， 对任意a ，都有f (x )≥ax ； (2)当x >0时，问题转化为a ≤e x －e －xx对任意x >0恒成立.令g (x )＝e x －e －xx＝f （x ）－f （0）x －0，由拉格朗日中值定理知在(0，x )内至少存在一点ξ(ξ>0)，使得f ′(ξ)＝f （x ）－f （0）x －0，即g (x )＝f ′(ξ)＝e ξ＋e －ξ，由于f ″(ξ)＝e ξ－e －ξ>e 0－e －0＝0(ξ>0)，故f ′(ξ)在(0，x )上是增函数，则g (x )min ＝f ′(ξ)min >f ′(0)＝2， 所以a 的取值范围是(－∞，2]. 训练2 已知函数f (x )＝sin x2＋cos x，如果对任意x ≥0都有f (x )≤ax ，求a 的取值范围.解 当x ＝0时，显然对任意a ，都有f (x )≤ax ； 当x >0时，f （x ）x ＝f （x ）－f （0）x －0， 由拉格朗日中值定理，知存在ξ∈(0，x )，使得f （x ）x ＝f （x ）－f （0）x －0＝f ′(ξ)，又f ′(x )＝2cos x ＋1（2＋cos x ）2，从而f ″(x )＝2sin x （cos x －1）（2＋cos x ）3.令f ″(x )≥0得，x ∈[(2k ＋1)π，(2k ＋2)π]，k ∈N ； 令f ″(x )≤0得，x ∈[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈N .所以在[(2k ＋1)π，(2k ＋2)π]，k ∈N 上，f ′(x )的最大值f ′(x )max ＝f ′[(2k ＋2)π]＝13，在[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈N 上，f ′(x )的最大值f ′(x )max ＝f ′(2k π)＝13. 从而函数f ′(x )在[2k π，(2k ＋2)π]，k ∈N 上的最大值是f ′(x )max ＝13，由k ∈N 知，当x >0时，f ′(x )的最大值为f ′(x )max ＝13，所以，f ′(ξ)的最大值f ′(ξ)max ＝13.为了使f ′(ξ)≤a 恒成立，应有f ′(ξ)max ≤a . 所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞.一、基本技能练1.已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋(a －1)ln x ，若1<a <5，证明：对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2，有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>－1.证明 由题意知，f ′(x )＝x －a ＋a －1x， 要证f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>－1成立，由拉格朗日中值定理易知存在ξ∈(x 1，x 2)，使f ′(ξ)＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2，则即证f ′(ξ)＝ξ－a ＋a －1ξ>－1，又ξ∈(x 1，x 2)，x 1，x 2∈(0，＋∞)，故ξ>0，只需证ξf ′(ξ)＝ξ2－a ξ＋(a －1)>－ξ， 令g (ξ)＝ξ2－(a －1)ξ＋a －1，则其Δ＝(a －1)2－4(a －1)＝(a －1)(a －5). 由于1<a <5，所以Δ<0， 从而g (ξ)>0在R 上恒成立. 也即ξ2－a ξ＋a －1>－ξ.则ξ2－a ξ＋a －1ξ>－1，即f ′(ξ)＝ξ－a ＋a －1ξ>－1，也即f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>－1.2.已知函数f (x )＝x 2＋2x＋a ln x (x >0)，f (x )的导函数是f ′(x )，对任意两个不相等的正数x 1，x 2， 证明：当a ≤0时，f （x 1）＋f （x 2）2>f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 证明 不妨设0<x 1<x 2，即证f (x 2)－f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－f (x 1). 由拉格朗日中值定理知，存在ξ1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 1＋x 22，ξ2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 2，则ξ1<ξ2，且f (x 2)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f ′(ξ2)·x 2－x 12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－f (x 1)＝f ′(ξ1)·x 2－x 12.又f ′(x )＝2x －2x 2＋ax(x >0)，f ″(x )＝2＋4x 3－ax 2(x >0)，当a ≤0时，f ″(x )>0，所以f ′(x )在(0，＋∞)上是一个单调递增函数，故f ′(ξ1)<f ′(ξ2)，从而f (x 2)－f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－f (x 1)成立，因此命题获证. 3.已知函数f (x )＝2ln x ＋1，设a >0，讨论函数g (x )＝f （x ）－f （a ）x －a的单调性.解 由拉格朗日中值定理知g (x )＝f （x ）－f （a ）x －a ＝f ′(ξ)＝2ξ，其中0<ξ<a 或a <ξ<＋∞，所以问题转化为讨论f ′(x )＝2x，x ∈(0，a )和(a ，＋∞)上的单调性.因为f ′(x )＝2x在(0，＋∞)上单调递减，所以f ′(x )＝2x在区间(0，a )，(a ，＋∞)上单调递减，从而g (x )在区间(0，a )，(a ，＋∞)上单调递减. 二、创新拓展练4.已知函数f (x )＝x 3＋k ln x (k ∈R )，f ′(x )为f (x )的导函数.当k ≥－3时，证明：对任意x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1>x 2，有f ′（x 1）＋f ′（x 2）2>f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2.证明 由拉格朗日中值定理知，存在ξ∈(x 2，x 1)，使得f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＝f ′(ξ)，只需证明f ′（x 1）＋f ′（x 2）2>f ′(ξ)(1≤x 2<ξ<x 1)即可.由f ′(x )＝3x 2＋k x(x ≥1)，令g (x )＝3x 2＋kx(x ≥1)，即证明g （x 1）＋g （x 2）2>g (ξ)(1≤x 2<ξ<x 1)，只需证明曲线y ＝g (x )，x ∈(x 2，x 1)严格落在点(x 2，g (x 2))和(x 1，g (x 1))的连线的下方， 即证当k ≥－3时，函数g (x )在[1，＋∞)上是下凸的，由g ′(x )＝6x －k x 2，g ″(x )＝6＋2kx 3可知：当x ≥1，k ≥－3时，g ″(x )＝6＋2k x 3＝6x 3＋2kx 3≥0(当且仅当x ＝1，k ＝－3时，g ″(x )＝0)， 所以g （x 1）＋g （x 2）2>g (ξ)(1≤x 2<ξ<x 1)成立，从而当k ≥－3时，对任意x 1，x 2∈[1，＋∞)，x 1>x 2，都有f ′（x 1）＋f ′（x 2）2>f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2.。
证明lagrange定理
证明lagrange定理拉格朗日中值定理（Lagrange's mean value theorem）是微积分中的一个重要定理，它表述了一个可微函数在某个区间内必然存在一个点，使得该点的导数等于函数在区间两个端点处导数的差值比上区间长度。
具体表述如下：设函数f(x)在区间[a,b]内连续，在(a,b)内可导，那么在(a,b)内，至少存在一个点c，使得f′(c)=f(b)−f(a)b−a.现在我们用数学归纳法来证明拉格朗日中值定理。
首先，当区间宽度为0时，即a=b，定理成立。
然后，我们假设当区间宽度为k时，定理成立，即对于任意函数f(x)，若f(x)在[a,a+k]内连续，在(a,a+k)内可导，则存在一个点c∈(a,a+k)，使得f′(c)=f(a+k)−f(a)k,我们需要证明当区间宽度为k+1时，定理也成立。
对于区间[a,a+k+1]，我们可以将其划分为两个子区间，[a,a+(k+1)/2]和[a+(k+1)/2,a+k+1]，它们之间有一个公共点a+(k+1)/2。
根据归纳假设，对于子区间[a,a+(k+1)/2]，存在一个点c1∈(a,a+(k+1)/2)，使得f′(c1)=f(a+(k+1)/2)−f(a)k+1/2.同理，对于子区间[a+(k+1)/2,a+k+1]，存在一个点c2∈(a+(k+1)/2,a+k+1)，使得f′(c2)=f(a+k+1)−f(a+(k+1)/2)k+1/2.我们可以观察到，c1和c2的值在(a,a+k+1)内变动，且c2-c1=k+1/2>0。
由于f(x)在(a,a+k+1)内可导，因此根据拉格朗日中值定理，存在一个点c∈(c1,c2)，使得f′(c)=f(c2)−f(c1)c2−c1.将c1和c2的表达式代入，得到f′(c)=f(a+k+1)−f(a)k+1.因此，当区间宽度为k+1时，定理也成立。
根据数学归纳法的原理，拉格朗日中值定理对任意区间宽度成立，证明完毕。
拉格朗日(Lagrange)中值定理的构造性证明
微分 中值 定 理 ， 作 为微分 学 中 的重要定 理 ， 是 微分 学应 用的理论基础， 是沟通函数与其导数之间的桥梁， 是微分学 的核心理论 。目前 ， 对微分 中值定理的证明方法， 除了数学
分析或高等数学课本上的之外，还有很多值得学 习借鉴的 方法。 基于微分中值定理的重要意义， 同时为了使学生都能 更加全面 、 深入地理解微分 中值定理， 掌握构造辅助函数证
明 的技巧 ， 本文 从几 何和 分析 角度 加 以分析 证 明。 罗尔定 理 的回顾 与拉 格 朗 日中值定 理 的引入
一
、
我们 简单 回顾一下罗尔定理 的内容 ： 若 函数ｆ （ ｘ ） 满足 下列条件 ： ①在 闭区间 ａ ， ｂ １ 连续 ， ②在开区间（ ａ ， ｂ ） 可导 ， ③ ｆ （ ａ ） ＝ ｆ （ ｂ ） ， 则在 （ ａ ， ｂ ） 内至少存在一点 ∈， 使得ｆ ． （ ∈） ＝ ０ 。 罗尔定理的几何意义大家都清楚了（ 如图１ ） ， 现在我们 把 曲线 ｖ ＝ （ ｘ ） 绕Ａ 在 平 面 内 的逆 时 针旋 转 Ｏ ． ｒ 角， 得 到 新 的 曲线（ 如图２ ） ， 大家看看有什么不 同？
性等 导致 的教 学问题 ， 进而 提高课 堂教 学效 率 。
参 考 文献 ：
要是担心“ 探究教学” 会降低课堂效率 。探究教学真 的会 降 低课堂效率吗？什么叫课堂效率？课堂效率是指在课堂规 定的教学时间内所取得 的教学效果的大小 ，其中教学效果 包括 数 量与 质量 。而 所谓 的高 效课 堂 ， 不仅 有量 ， 还要 有 质 （ 即学 生对 知识 的理解 程度 和学 生能 力 的培养 ） 。如果 按 照 传统的教学方式进行教学 ，虽然教师噼里啪啦讲了很多知 识 ，但 是学 生真 正理 解 的又有 多少 。一 些教 师认 为这 没 什 么， 我们 可 以通过 题海 战术 来巩 固提 高 。 这 样对 于学 生能 力 的培养 有用 吗 ？ 没用 ， 只会解 题不 是新 课程 对学 生培 养 的 目
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显 然 ， 函 数 x 在 闭 区 间 a, b 上 连 续 ， 在 开 区 间 a, b 内 可 导 ，
a b 0 ，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点 a, b ，使 watermark a-pdf watermark a-pdf watermark
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如图 4 过点 a, O 作直线 A' B ' ∥ AB ，直线 A' B ' 的方程为：
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这里仅以⑵为例给出拉格朗日中值定理的证明. 显然， 函数 x 满足条件：1 在闭区间 a, b 上连续；2 在
a-pdf watermark af b bf a
3.4 转轴法
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w.
由拉格朗日中值定理的几何图形可知，若把坐标系 xoy 逆时针旋 转适当的角度 ，得新直角坐标系 XOY ，若 OX 平行于弦 AB ，则在新
dd
2
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形.正因为如此， 我们只须对函数 f x 作适当变形， 便可借助罗尔中值
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值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情
w.
作辅助函数
F x f x
显然，函数 F x 满足在闭区间 a, b 上连续，在开区间 a, b 内可导，而 watermark a-pdf watermark a-pdf watermark 且 F a F b ． 于是由罗尔中值定理知道， 至少存在一点 a b ， 使 F ' f '
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x
.c
x f a
f b f a x a f x ba
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4
f b f a x f x ba f b f a x a f x x ba f b f a x b f x x ba
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拉格朗日(lagrange)中值定理 若函数 f x 满足如下条件：1 在闭区间 a, b 上连续；2 在开区间
'
f b f a a, b 内可导；则在 a, b 内至少存在一点 ，使 f a-pdf watermark watermark a-pdf watermark ba
拉格朗日中值定理的几何意义： 函数 y f x 在区间 a, b 上的图形 是连续光滑曲线弧 AB 上至少有一点 C ，曲线在 C 点的切线平行于弦
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.c
使得 Y sin f ' cos 0 ，即 f ' tan
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.由罗尔中值定理知，至
等等.这类能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数显然也有无数个.
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证明
开区间 a, b 内可导；3 a b
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ba f b f a f ' 0 ， 从 而 有 少 存 在 一 点 a, b ， 使 得 ' ba f b f a f ' ，显然可用其它辅助函数作类似的证明. ba
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巧解高考数学压轴题 ( 6 )
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——拉格朗日（lagrange）中值定理证明
本文主要是对拉格朗日中值定理的证明方法进行了一些归纳总
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结. 通过这篇文章主要让大家明白数学并不是纯粹的数字游戏，里面 包含了很多深奥的内容. 而且更重要的是我们应该学会去思考，学会
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O, m 作 A/ B / ∥ AB 得 直 线 为 f b f a y x m， 从而利用 f x 与直
ba
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f b f a x a ，由 f x 与直线函 A' B ' 数之差构成辅助函数 x ， y ba f b f a x a . （证明略） 于是有： x f x ba
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①watermark a-pdf ② ， 从 而
Y x sin y cos x sin f x cos Y x
由 Y a Y b 得
t a n
a sin f a cos b sin f bcos
AB . 如图 2， watermark a-pdf watermark
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从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若 f x 在闭区间 a, b 两
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定理导出拉格朗日中值定理. 证明拉格朗日中值定理 3.1 教材证法 证明
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a-Hale Waihona Puke df watermark.c
如果函数 f x 满足条件： 1 在闭区间 a, b 上连续； 2 在开区间
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罗尔（Rolle）中值定理
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在 C 点的切线平行于 x 轴，如图 1， 注意
定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定
watermark a-pdf watermark a-pdf 成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于 a, b 的watermark ，
使得 f ' 0 . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的.
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w.
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于是 AB 函数之差构成辅助函数 x ， 有： x f x
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f b f a x b . ba
事实上，可过 y 轴上任已知点
也有无数个，显然这些函数也都可以用来证明拉格朗日中值定理 .从 watermark a-pdf watermark a-pdf watermark 几何意义上看，上面的辅助函数是用曲线函数 f x 减去直线函数，反 过来， 用直线函数减曲线函数 f x ， 即可得与之对称的辅助函数如下： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷
f b f a 0 ，即 ba
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得 ' f '
f '
f b f a ba
如图 3 过原点 O 作 OT ∥ AB ， 由 f x 与直线 OT 对应的函
， xwatermark 数之差构成辅助函数 因为直线 OT 的斜率与直线 AB 的斜率相同， watermark a-pdf a-pdf watermark
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f b f a ，取 满足上式即可.由 f x 在闭区间 a, b 上连续，在 ba
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开区间 a, b 内可导，知 Y x 在闭区间 a, b 上连续，在开区间 a, b 内可
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证明
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作转轴变换 x X cos Y sin ， y X sin Y cos ，为求出
，解出 X , Y 得
X x cos y sin x cos f x sin X x
watermark a-pdf watermark a-pdf watermark 的坐标系下 f x 满足罗尔中值定理， 由此得拉格朗日中值定理的证明.
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1
处的纵坐标相等，那么，在弧 AB 上至少有一点 C , f ，曲线
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（ 3 ） f a f b , 则 在 a, b 内 至 少 存 在 一 点 , 使 得 a, b 内 可 导 ；
f b f a f b f a 0 .即 f ' . ba ba
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3.2 用作差法引入辅助函数法 证明 作辅助函数
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fb f a x ba
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f b f a x a x f x f a ba