数值分析第2章习题

一、选择题(每题5分，共计20分)

1、已知方程0523=--x x 在区间[]32，存在唯一正根，若用二分法计算，至少迭

代（ C ）次可以保证误差不超过3102

1-⨯。（二分法二分次数） A 5； B 7； C 10； D 12

2、用一般迭代法求方程()0=x f 的根，将方程表示为同解方程()x x ϕ=，则()0=x f 的根是（C ）（不动点迭代法根的几何意义）

A.x y =与()x y ϕ=的交点

B.x y =与x 轴交点的横坐标

C.x y =与()x y ϕ=交点的横坐标

D.()x y ϕ=与x 轴交点的横坐标

3、分别改写方程042=-+x x 为42+-=x x 和2ln /)4ln(x x -=的形式，

对两者相应迭代公式求所给方程在[1,2]内的实根，下列描述正确的是:（B ）（迭代的收敛性）

A. 前者收敛，后者发散

B. 前者发散，后者收敛

C. 两者均收敛发散

D. 两者均发散

分析：()x ,ϕ<1

4、解非线性方程0)(=x f 的牛顿迭代法的收敛阶为（ D ）。（收敛阶数）

A 线性收敛；

B 局部线性收敛；

C 平方收敛；

D 局部平方收敛。

二、填空题（每小题5分，共计20分）

1、非线性方程0)(=x f 的迭代函数)( x x ϕ=在有解区间满足 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。（迭代函数） 答案：1)(<'x ϕ

2、在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )的二阶导数不变号，则初始点x 0的选取依据为 。（切线法） 答案：0)()(00>'x f x f

3、求方程()x f x =根的牛顿迭代公式是 。（牛顿迭代公式） 答案：()()

n n n n n x f x f x x x ,11---=+ 4、割线法迭代公式是 。（割线法迭代）

答案：

()()()()111--+---

=k k k k k k k x x x f x f x f x x

三、解答题（每题12分，共计60分）

1、用牛顿法求()cos 0f x x x =-=的近似解。（牛顿迭代法）

解：由零点定理，cos 0x x -=在(0,)2

π

内有根。 由牛顿迭代公式1cos 0,1,......1sin n n

n n n x x x x n x +-=-=+ 取04x π=得，12340.73936133;0.7390851780.7390851330.739085133

x x x x ==== 故取*40.739085133x x ≈=

2、用割线法求解方程x-sin x-0.5=0在1.5附近的一个根。（割线法求根） 解：割线法迭代公式为：

)()sin (sin )(5.0sin 1111---+-------=k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x 取初始值x0=1.4，x1=1.6迭代计算，得到：

)4.16.1()4.1sin 6.1(sin )4.16.1(5.06.1sin 6.16.12-⨯------=x

2.0)9854497.09995736.0(2.09995736.01.16.1⨯----

==1.4919426 3x =1.49702，4x =1.49730

3、设a 为常数，建立计算a 的牛顿迭代公式，并求115的近似值，要求计算结果保留小数点后5位。 （牛顿法）

解：令p (x )=x 2－a ，则p (x )=0的解即为a 。其牛顿迭代公式为：

)(212)()(21n

n n n n n n n n x a x x a x x x f x f x x +=--='-=+ 取a ＝115，x n +1= ½(x n + 115/x n )

f (x )=2>0 取x 0=11

x 1=½(11+115/11)=10.72727

x 2=½(10.72727+115/10.72727)= 10.72381

x 2=½(10.72381+115/10.72381)= 10.72381

4、已知函数， 试分析以下两种迭代公式是否可取。（迭代收敛性）

（1） （2） 解:由公式（1）有， 2

5)(3-=x x ϕ 求导得22

3)('x x =

ϕ在[2,3]内1|)('|>x ϕ 所以迭代公式（1）在区间内不收敛，因而不可取。 由公式（2）有，352)(+=x x ϕ

求导得()052132)('32

>+=x x ϕ可知)(x ϕ在区间内单调递增，)('x ϕ在区间内单调递减。故有2 <)2(ϕ<)(x ϕ<)3(ϕ< 3

1392

)2(')('03<=<<ϕϕx

由收敛定理可知，公式（2）在区间[2,3]内收敛，因而可取。

5、0*=x 是0221)(22=---=x x e x f x 的几重根？取,5.00=x 用求重根的修正牛顿公式计算此根的近似值，精确至410)(-≤k x f 。（修正牛顿法）

解：22221)(x x e x f x ---=

0)0(,242)('2'=--=f x e x f x

0)0(,44)(''2''=-=f e x f x

08)0(,8)('''2'''≠==f e x f x

故0*=x 是0221)(22=---=x x e x f x 的3重根，即m=3.

修正牛顿迭代公式为：

2

531-=+k k x x 3152+=+k k x x []3,2,052)(f 3∈

=--=x x x x