最优化算法实验5-模式搜索法
最优化方法 直接法
一、模式搜索法 Hooke & Jeeves(1961)方法计算流程 设目标函数为f(x), xEn.坐标方向
e j (0,...,0,1,0,...,0) , j 1,..., n
T j
给定初始步长,加速因子.任取初始点x(1)作为第1个基点.
x(j) : 第j个基点. y(j) : 沿 ej 探测的出发点。
再从y(2)出发,沿d(2)作探测移动.得y(3) .按此方式探测 下去,直至沿d(n)探测,得到y(n+1) 进行下一轮探测.往复下去,至某一轮沿n个方向的 探测均失败,.第k次迭代的探测结束时,得到的点 记为 x(k+1)= y(n+1)
一、模式搜索法
构造新的搜索方向
设d1 ,..., d n是线性独立单位模向量，且这些向量是 彼此正交的，即diT d j (i j )正交,从当前向量x ( k )开始， 目标函数f 沿每个方向迭代地极小化，导出点x(k 1)， 特别，x(k 1) x(k ) i di , 其中 j 是沿方向d j 移动的距离。
q( j )
再单位化
j 2
d ( j)
q( j ) ( j) q
即可得到下次迭代对应的试探方向。
二、Powell 法 Powell方法 基本Powell方法 基本思想：Powell方法主要由基本搜索、加速搜索和调 整搜索方向三个部分组成。基本搜索包括从基点出发 沿着已知的n个搜索方向进行一维搜索，确定一个新基 点；加速搜索是沿着相邻的两个基点的连线方向进行 一维搜索，使函数下降更快；最后用基点连线方向代 替已知的n个搜索方向之一，构造新的搜索方向组并进 行下一步迭代。 也可以认为： Powell方法是把整个计算过程分成若干 个阶段,每一阶段(一轮迭代)由n+1次一维搜索组成的直 接方法。
五种最优化方法精编版
五种最优化方法1. 最优化方法概述1.1最优化问题的分类1）无约束和有约束条件；2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）；3）线性优化与非线性优化（目标函数和约束条件是否线性）；4）静态规划和动态规划（解是否随时间变化）。
1.2最优化问题的一般形式（有约束条件）：式中f(X)称为目标函数(或求它的极小，或求它的极大)，si(X)称为不等式约束，hj(X)称为等式约束。
化过程就是优选X，使目标函数达到最优值。
2.牛顿法2.1简介1）解决的是无约束非线性规划问题；2）是求解函数极值的一种方法；3）是一种函数逼近法。
2.2 原理和步骤3. 最速下降法（梯度法）3.1最速下降法简介1）解决的是无约束非线性规划问题；2）是求解函数极值的一种方法；3）沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向；3.2 最速下降法算法原理和步骤4. 模式搜索法(步长加速法)4.1 简介1）解决的是无约束非线性规划问题；2）不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。
3）模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。
轴向移动的目的是探测有利的下降方向，而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。
4.2模式搜索法步骤5.评价函数法5.1 简介评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。
在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下：min (f_1(x),f_2(x),...,f_k(x))s.t. g(x)<=0传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。
常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。
选取其中一种线性加权求合法介绍。
5.2 线性加权求合法6. 遗传算法智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，进而达到优化的一种方法，主要有人工神经网络法，遗传算法和模拟退火法等。
最优化算法实验报告
基于Matlab的共轭梯度算法指导老师：姓名：学号：班级：日期：基于Matlab的共轭梯度算法一、实验目的及要求(1)熟悉使用共轭梯度法求解无约束非线性规划问题的原理；(2)在掌握原理的基础上熟练运用此方法解决问题(3)学会利用计算机语言编写程序来辅助解决数学问题；(4)解决问题的同时分析问题，力求达到理论与实践的统一；(5)编写规范的实验报告.实验内容二、实验原理1.基本思想：把共轭性与最速下降方法相结合，利用已知点处的梯度构造一组共轭方向，并沿这组方向进行搜索，求出目标函数的极小点。
根据共轭方向的基本性质，这种方法具有二次终止性。
在各种优化算法中，共轭梯度法是非常重要的一种。
其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。
2.程序流图：三、实验代码通过查阅相关资料，编写一个基于Matlab的共轭梯度算法，具体代码如下：function f=grad_2d(x0,t)%用共轭梯度法求已知函数f(x1,x2)=x1^2+2*x2^2-4*x1-2*x1*x2的极值点%已知初始点坐标：x0%已知收敛精度：t%求得已知函数的极值：fx=x0;syms xi yi a; %定义自变量，步长为符号变量f=xi^2+2*yi^2-4*yi-2*xi*yi; %创建符号表达式ffx=diff(f,xi); %求表达式f对xi的一阶求导fy=diff(f,yi); %求表达式f对yi的一阶求导fx=subs(fx,{xi,yi},x0); %代入初始点坐标计算对xi的一阶求导实值fy=subs(fy,{xi,yi},x0); %代入初始点坐标计算对yi的一阶求导实值fi=[fx,fy]; %初始点梯度向量count=0; %搜索次数初始为0while double(sqrt(fx^2+fy^2))>t %搜索精度不满足已知条件s=-fi; %第一次搜索的方向为负梯度方向if count<=0s=-fi;elses=s1;endx=x+a*s; %进行一次搜索后的点坐标f=subs(f,{xi,yi},x); %构造一元搜索的一元函数φ(a)f1=diff(f); %对函数φ(a)进行求导f1=solve(f1); %得到最佳步长aif f1~=0ai=double(f1); %强制转换数据类型为双精度数值elsebreak %若a=0，则直接跳出循环，此点即为极值点endx=subs(x,a,ai); %得到一次搜索后的点坐标值f=xi^2+2*yi^2-4*xi-2*xi*yi;fxi=diff(f,xi);fyi=diff(f,yi);fxi=subs(fxi,{xi,yi},x);fyi=subs(fyi,{xi,yi},x);fii=[fxi,fyi]; %下一点梯度向量d=(fxi^2+fyi^2)/(fx^2+fy^2);s1=-fii+d*s; %下一点搜索的方向向量count=count+1; %搜索次数加1fx=fxi;fy=fyi; %搜索后终点坐标变为下一次搜索的始点坐标endx,f=subs(f,{xi,yi},x),count %输出极值点，极小值以及搜索次数end四、实验结果在命令窗口输入：f=grad_2d([1,1],0.0000001)输出结果如下：x =4.0000 2.0000f =-8.0000count = 75f =-8.0000当在命令窗口输入如下命令时：f=grad_2d([2,1],0.0000001)x =4.0000 2.0000f =-8.0000count =22f =-8.0000当在命令窗口输入如下命令时：f=grad_2d([2,1],0.001)x = 3.9996 1.9999f =-8.0000count =12f =-8.0000由以上结果可知：（1.）初始点不同搜索次数不同（2.）无论初始点为多少，精度相同时最终结果极值点都是（4.0000,2.0000）（3.）当初始点相同时，若精度不一样搜索次数和最终结果会有差异但大致相同。
最优化理论与方法11
d
1
1 0
,
d2
0 1
初始步长1。 2。 1， 3， 0.5
探测：第一轮（ij沿方向d i进行第j次探测所用步长）
y1
x1
0 0
,
f
(
y1 )
17
沿d 1探测：y1
11d 1
0 0
1
1 0
1 0
f ( y1 11d1) 12 f ( y1) 成功
f ( y2)
故，令y3
y2
e2
3/2 1/ 2
第1轮探测完成，由于f ( y3 ) f ( x1)，
故得第2个基点
x2
y3
3/2 1/ 2
再沿x2 x1进行模式移动，
y1
x2
(x2
x1)
1 1
模式移动后，立即从得到的点y1出发，
进行第2轮探测移动，探测情况如下.
第二轮：
初始数据为
y1
1 0
.
f ( y1) 12, 12 3, 22 0.5
先从 y1出发，沿d1探测：
y1
12 d 1
1 0
3
1 0
4 0
f ( y1 12d1) 9 f ( y1) 令:13 12 9
模式搜索方法
Pattern Search Method
社科李达0903班 李旭彪
指导老师： 彭豪
直接搜索算法(简称为直接法)在迭代过程中要 利用函数值信息，适用于变量较少、目标函 数结构比较复杂或梯度不易计算的情形。常 见的直接法有坐标轮换法射、模式搜索算法、 Nelder-．Mead单纯形调优算法
• 模式搜索法是一种解决最优化问题的直 接方法，在计算时不需要目标函数的导 数，所以在解决不可导的函数或者求导 异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。
寻找某个曲面的最低点，或者形 象的说，相当于从一座山岭的某 处出发，设法走到附近某一盆地 的最低点。
如果能找到一条山谷，沿山谷而行是最好的方法。
模式搜索法是对当前搜索点按固定 模式和步长探索移动(exploratory moves)，以寻求可行下降方向(非最 速下降方向)的直接搜索法．迭代过 程只要找到相对于当前点的改善点， 则步长递增，并从该点开始进入下一 次迭代；否则步长递减，在当前点继 续搜索．
Compass Search
探索移动+模式移动
模 式 搜 索 算 法Fra bibliotek模式搜索的发展
Hooke-Jeeves（霍克和乔维斯）在1961年提出了原始的模式 搜索算法，1997年由Torczon将其加以推 广，引入模式矩阵 的概念(包括基本矩阵和生成矩阵)，提出了GPS算法，并证明 了它关 于无约束最优化问题的收敛性。1999年，Lewis和 Torczon结合正基的性质将GPS算法推广到盒式约束的情形， 进而于2000年推广到有限个线性约束的情形，证明了由这种 算法产生的迭代收敛到问题的稳定点。这种推广主要是要求模 式矩阵必须包括可行域边界附近任意可行点处切锥的生成元。 2001年，Audet和Dcnnis结合过滤的步长接受标准分析研究 GPS算法关于求解广义的混合变量优化问题，并由Mark Aaron Abramson于2002年 将其推广到一般非线性混合变量 的优化问题，得到了一系列的收敛性证明。近年来，模 式搜 索算法与其他方法相结合，一定程度上克服了其在接近稳定点 时不成功的迭代增加 从而使搜索进程变慢的缺陷。例如，在 模式搜索中引入单纯形导数，根据它的信息对搜 索方向进行 编号；利用拟牛顿法中近似计算的Hessian阵作为模式搜索算 法中的一组方向集，以及蚁群算法在模式搜索中的应用等。
五种最优化方法
五种最优化方法 Prepared on 22 November 2020五种最优化方法1. 最优化方法概述最优化问题的分类1）无约束和有约束条件；2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）；3）线性优化与非线性优化（目标函数和约束条件是否线性）；4）静态规划和动态规划（解是否随时间变化）。
最优化问题的一般形式（有约束条件）：式中f(X)称为目标函数(或求它的极小，或求它的极大)，si(X)称为不等式约束，hj(X)称为等式约束。
化过程就是优选X，使目标函数达到最优值。
2.牛顿法简介1）解决的是无约束非线性规划问题；2）是求解函数极值的一种方法；3）是一种函数逼近法。
原理和步骤3. 最速下降法（梯度法）最速下降法简介1）解决的是无约束非线性规划问题；2）是求解函数极值的一种方法；3）沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向；最速下降法算法原理和步骤4. 模式搜索法(步长加速法)简介1）解决的是无约束非线性规划问题；2）不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。
3）模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。
轴向移动的目的是探测有利的下降方向，而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。
模式搜索法步骤5.评价函数法简介评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。
在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下：min (f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)). g(x)<=0传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。
常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。
选取其中一种线性加权求合法介绍。
线性加权求合法6. 遗传算法智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，进而达到优化的一种方法，主要有人工神经网络法，遗传算法和模拟退火法等。
最优化方法实验报告（1）
最优化方法实验报告（1）最优化方法实验报告Numerical Linear Algebra And Its Applications学生所在学院：理学院学生所在班级：计算数学10-1学生姓名：甘纯指导教师：单锐教务处2013年5月实验一实验名称：熟悉matlab基本功能实验时间: 2013年05月10日星期三实验成绩：一、实验目的：在本次实验中，通过亲临使用MATLAB，对该软件做一全面了解并掌握重点内容。
二、实验内容：1. 全面了解MATLAB系统2. 实验常用工具的具体操作和功能实验二实验名称：一维搜索方法的MATLAB实现实验时间: 2013年05月10日星期三实验成绩：一、实验目的：通过上机利用Matlab数学软件进行一维搜索，并学会对具体问题进行分析。
并且熟悉Matlab软件的实用方法，并且做到学习与使用并存，增加学习的实际动手性，不再让学习局限于书本和纸上，而是利用计算机学习来增加我们的学习兴趣。
二、实验背景：(一）0.618法（黄金分割法），它是一种基于区间收缩的极小点搜索算法，当用进退法确定搜索区间后，我们只知道极小点包含于搜索区间内，但是具体哪个点，无法得知。
1、算法原理黄金分割法的思想很直接，既然极小点包含于搜索区间内，那么可以不断的缩小搜索区间，就可以使搜索区间的端点逼近到极小点。
2、算法步骤用黄金分割法求无约束问题min (),f x x R ∈的基本步骤如下：（1）选定初始区间11[,]a b 及精度0ε>，计算试探点：11110.382*()a b a λ=+-11110.618*()a b a μ=+-。
（2）若k k b a ε-<，则停止计算。
否则当()()k k f f λμ>时转步骤（3）。
当()()k k f f λμ≤转步骤（4）。
（3）置11111110.382*()k kk k k k k k k k a b b a b a λλμμ+++++++=??=??=??=+-?转步骤（5）（4）置11111110.382*()k k k k k k k k k k a a b a b a μμλλ+++++++=??=??=??=+-?转步骤（5）（5）令1k k =+，转步骤（2）。
五种最优化方法范文
五种最优化方法范文最优化是一个数学领域，在解决实际问题时，通过寻找最优解的方法，使得目标函数的值最小或最大化。
在最优化问题中，有许多不同的方法可以用来求解。
以下是五种常见的最优化方法。
1.梯度下降法梯度下降法是一种基于梯度信息的迭代算法，用于求解最小化目标函数的最优解。
其基本思想是从初始点开始，根据负梯度方向进行迭代求解，直到达到预定的停止条件或收敛到最优解。
梯度下降法的优点是简单易实现，适用于大规模问题。
缺点是容易陷入局部最优或鞍点，并且收敛速度可能较慢。
2.牛顿法牛顿法是一种基于二阶导数信息的迭代算法，用于求解非线性最优化问题。
其基本思想是通过二阶泰勒展开近似目标函数，以牛顿法的更新方程进行迭代求解。
与梯度下降法相比，牛顿法收敛速度更快。
但牛顿法的缺点是需要计算目标函数的二阶导数矩阵，计算代价较大，并且需要满足一定的收敛条件。
3.拟牛顿法拟牛顿法是一种通过拟合目标函数的局部特征来逼近牛顿法的方法。
常用的拟牛顿法有DFP（Davidon-Fletcher-Powell）方法和BFGS （Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）方法。
拟牛顿法利用目标函数的一阶导数信息来近似目标函数的二阶导数矩阵，从而避免了计算二阶导数的复杂性，且收敛速度比梯度下降法更快。
拟牛顿法的缺点是需要存储和更新一个Hessian矩阵的逆或近似逆。
4.线性规划线性规划是一种最优化问题的形式，其中目标函数和约束条件都是线性的。
线性规划问题可以通过线性规划算法求解，如单纯形法、内点法等。
线性规划问题具有良好的理论基础和高效的求解方法。
线性规划在工业、供应链管理、运输问题等方面有广泛的应用。
5.整数规划整数规划是一种最优化问题的形式，其中决策变量只能取整数值。
整数规划问题可以通过整数规划算法求解，如分支定界法、割平面法等。
整数规划在许多实际情况下具有重要的应用，例如在生产计划、线路设计、货物装载等问题中。
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模式搜索法的MATLAB 实现 实验目的：
1. 掌握宜接法求解最优化问题的基本思想
2. 通过实验掌握模式搜索法的Mat lab 算法的基本步骤 实验要求：
1. 学习MATLAB 编写模式搜索法的程序设计方法。
2. 对问题进行编程和解决问题。
3. 按照格式规范，撰写实验报告 实验内容：
1. 算法步骤：
Stepl 取初始点 小初始步长3,置精度要求£ •令p Step5若&〈 £ ,则停止计算.否则置a=a/2,转step2.
2. 按照上述算法编写模式搜索算法M 文件，并求解最优化问题 Min f(x) = (厂1 厂2+5(
/2- 2Y2 ,取初始点;=(^0，步长 a=l/2. Step2沿坐标轴进行
搜索， 对于i 二1,2 f (
+a )<f( ), 则令 +1 = +a f ( ~a )<f()，则令
+ ；= -a ;否则 Step3 若 f (
+/)<f(),
则令 +1 =
1= +1 + ( +2 - )
f
置 k=k+l,转 step2.
Step4 若 ;丰，则置 1 = ' 转 step2. k 二 1. ,如果 ;否则若。