初三九年级数学一元二次方程
九年级数学上册一元二次方程
【考点】一元二次方程的定义．等号两边都是整式,只含一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做一元一次方程。
方程特点；（1）该方程为整式方程。
（2）该方程有且只含有一个未知数。
（3）该方程中未知数的最高次数是2。
一元二次方程的一般形式：它的特征是:等式左边是一个关于未知数x的二次多项式,等式右边是零，其中 ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数;c叫做常数项.1．下列方程中,关于x的一元二次方程是（）A．(x+1）2=2（x+1) B．1x2+1x−2=0 C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣1【解答】下列方程中，关于x的一元二次方程是（x+1)2=2（x+1），故选A．2．下列方程中，一元二次方程共有（)个①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③1x2+3x﹣5=0; ④﹣x2=0；⑤（x﹣1）2+y2=2；⑥（x﹣1)（x﹣3)=x2A．1 B．2 C．3 D．4【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3)是整式方程；(4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．【解答】①x2﹣2x﹣1=0，符合一元二次方程的定义；②ax2+bx+c=0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义；③1x2+3x﹣5=0不是整式方程，不符合一元二次方程的定义；④﹣x2=0,符合一元二次方程的定义；⑤（x﹣1）2+y2=2，方程含有两个未知数,不符合一元二次方程的定义;⑥(x﹣1)(x﹣3）=x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．1．若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax+1）2，则M与N的大小关系正确的为（)A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定【分析】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=﹣c,作差法比较可得．【解答】∵x是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，∴ax02+2x+c=0,即ax2+2x=﹣c，则N﹣M =(ax0+1）2﹣(1﹣ac） = a2x2 + 2ax+ 1﹣1+ ac= a（ax02+2x）+ac = ﹣ac + ac = 0∴M=N，故选:B．【点评】本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．2．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值是（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1或0【分析】将x=0代入关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0即可求得a的值．且二次项系数a﹣1≠0．【解答】∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，∴（a﹣1）×0+0+a2﹣1=0,且a﹣1≠0，解得a=﹣1;故选A．3．若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m = 0的一个根是x = 1,则m的值是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．2【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入一元二次方程可得到关于m的一元一次方程,然后解一次方程即可．【解答】把x=1代入x2﹣x﹣m=0得1﹣1﹣m=0，解得m=0．故选B．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．4．若关于x的方程x2+(m+1)x+12=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是（)A．﹣52 B．12C．﹣52或12D．1【分析】由根与系数的关系可得:x1+x2=﹣（m+1），x1•x2 = 12，又知一个实数根的倒数恰是它本身,则该实根为1或﹣1，然后把±1分别代入两根之和的形式中就可以求出m的值．【解答】由根与系数的关系可得： x1+x2=﹣（m+1），x1•x2=12,又∵一个实数根的倒数恰是它本身，∴实根为1或﹣1，若是 1时，即1+x2=﹣（m+1），而x2=12，解得m=﹣52；若是﹣1时，则m=12．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要会把代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．5．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+32ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（）A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4【分析】把x=﹣2代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．【解答】∵根据题意，将x=﹣2代入方程x2+32ax﹣a2=0，得:4﹣3a﹣a2 = 0, 即a2+3a﹣4=0，左边因式分解得:（a﹣1）(a+4）=0，∴ a﹣1=0,或a+4=0，解得：a=1或﹣4,故选：C．6．若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0的一个根是x=1，则m的值是0 ．【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入一元二次方程得到关于m的一次方程，然后解此一元一次方程即可得到m的值．【解答】把x=1代入方程x2﹣x﹣m=0得1﹣1﹣m=0,解得m=0．故答案为：0；7．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m= 6 ．【分析】根据m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，通过变形可以得到2m2﹣4m值，本题得以解决．【解答】∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根,∴m2﹣2m﹣3=0，∴m2﹣2m=3，∴2m2﹣4m=6，故答案为：6．【点评】本题考查一元二次方程的解,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件．8．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是．【分析】根据一元二次方程的解的定义,将x=0代入已知方程就可以求得a的值．注意，二次项系数a﹣1≠0．【解答】∵关于x的一元二次方程(a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，∴x=0满足该方程，且a﹣1≠0．∴a2﹣1=0，且a≠1．解得a=﹣1．故答案是：﹣1．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．9．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)的一个解是x=1，则2016﹣a﹣b的值是．【分析】先根据一元二次方程的解的定义把x=1代入ax2+bx+5=0得a+b=﹣5,再变形2016﹣a﹣b得到2016﹣(a+b)，然后利用整体代入的方法计算．【解答】∵把x=1代入ax2+bx+5=0得a+b+5=0，∴ a+b=﹣5，∴ 2016﹣a﹣b=2016﹣（a+b）=2016﹣(﹣5)=2021．故答案为2021．【点评】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．10．己知m是关于x的方程x2﹣2x﹣7=0的一个根，则2（m2﹣2m）= 14 ．【分析】把x=m代入已知方程来求（m2﹣2m)的值．【解答】∵把x=m代入关于x的方程x2﹣2x﹣7=0，得m2﹣2m﹣7=0，∴ m2﹣2m=7，∴ 2（m2﹣2m）=2×7=14．故答案是：14．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．11．若a是方程x2﹣2x﹣2015=0的根,则a3﹣3a2﹣2013a+1= ﹣2014 ．【分析】把x=a代入程x2﹣2x﹣2015=0得到a2﹣2a=2015,a2=2015+2a，然后将其代入整理后的所求代数式进行求值即可．【解答】∵a是方程x2﹣2x﹣2015=0的根,∴a2﹣2a﹣2015=0,∴a2﹣2a=2015, a2=2015+2a,∴a3﹣3a2﹣2013a + 1 = a（a2﹣2013）﹣3a2+1= a（2a+2015﹣2013）﹣3a2+1= 2a2+2a﹣3a2+1=﹣(a2﹣2a）+1=﹣2015+1 = ﹣2014．故答案是：﹣2014．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．根据题意将所求的代数式变形是解题的难点．12．设a 是方程x 2﹣2006x+1=0的一个根，求代数式a 2﹣2007a+a 2+12006的值．【分析】先把x=a 代入方程，可得a 2﹣2006a+1=0,进而可得可知a 2﹣2006a=﹣1，进而可求a 2﹣2007a=﹣a ﹣1，a 2+1=2006a ，然后把a 2﹣2005a 与a 2+1的值整体代入所求代数式求值即可．【解答】∵把x=a 代入方程，可得:a 2﹣2006a+1=0，∴a 2﹣2006a=﹣1，a 2+1=2006a, ∴a 2﹣2007a=﹣a ﹣1， ∴a 2﹣2007a+a 2+12006= ﹣a ﹣1+2006a 2006 =﹣1，即a 2﹣2007a+a 2+12006=﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是注意解与方程的关系,以及整体代入．13．已知关于x 的方程ax 2＝b 的两根分别为m －1和2m ＋7，则方程两根为（ B )A ．±2B ．±3C ．±4D ．±71．如果关于x 的方程（m ﹣3）x m 2−7﹣x+3=0是关于x 的一元二次方程,那么m 的值为( ）A ．±3B ．3C ．﹣3D ．都不对【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0；（3)是整式方程；（4)含有一个未知数． 据此即可得到m 2﹣7=2，m ﹣3≠0,即可求得m 的范围．【解答】 由一元二次方程的定义可知{m 2−7=2m −3≠0,解得m=﹣3． 故选C ．【点评】要特别注意二次项系数m ﹣3≠0这一条件，当m ﹣3=0时，上面的方程就是一元一次方程了．2．若方程（m ﹣3)x n +2x ﹣3=0是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．m=3,n ≠2 B ．m=3，n=2C ．m ≠3，n=2D ．m ≠3，n ≠2【分析】根据一元二次方程未知数的最高次数是2和二次项的系数不等于0解答即可．【解答】∵方程(m ﹣3）x n +2x ﹣3=0是关于x 的一元二次方程，∴m ﹣3≠0,n=2， ∴解得,m ≠3，n=2， 故选：C ．【点评】本题考查的是一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0)．特别要注意a≠0的条件．3．已知（m﹣1）x|m｜+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程,则m= ﹣1 ．【分析】直接利用一元二次方程的定义得出｜m｜+1=2，m﹣1≠0，进而得出答案．【解答】∵方程(m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，∴|m｜+1=2，m﹣1≠0,解得：m=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握未知数的次数与系数是解题关键．4．已知方程：（m2﹣1）x2+(m+1）x+1=0，求：(1）当m为何值时原方程为一元二次方程．（2）当m为何值时原为一元一次方程．【分析】（1）根据是整式方程中含有一个未知数且未知数的最高次的次数是二次的方程，且一元二次方程的二次项的系数不能为零，可得答案;(2)根据一元一次方程是整式方程中含有一个未知数且未知数的最高次的次数是一次的方程，可得二次项系数为零，一次项系数不能为零,可得答案．解（1）∵当m2﹣1≠0时,（m2﹣1）x2+(m+1）x+1=0是一元二次方程，解得m≠±1，∴当m≠±1时，（m2﹣1)x2+(m+1）x+1=0是一元二次方程；(2)∵当m2﹣1=0,且m+1≠0时,（m2﹣1）x2+(m+1）x+1=0是一元一次方程，解得m=±1，且m≠﹣1,m=﹣1（不符合题意的要舍去)，m=1．∴当m=1时，(m2﹣1）x2+(m+1）x+1=0是一元一次方程．【点评】本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．5．向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)x m2+1+（m﹣2）x﹣1=0提出了下列问题：(1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值,并解此方程;（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得{m 2+1=2m +1≠0，可求得m 的值，进一步可求出方程的解;（2）当m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程,求出m 的值，进一步解方程即可．解:（1）∵根据一元二次方程的定义可得{m 2+1=2m +1≠0, ∴解得m=1,∴此时方程为2x 2﹣x ﹣1=0,解得x 1=1,x 2=﹣12； （2）∵由题可知m 2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程∴当m 2+1=1时，解得m=0，∴此时方程为﹣x ﹣1=0，解得x=﹣1， ∴当m+1=0时,解得m=﹣1，∴此时方程为﹣3x ﹣1=0,解得x=﹣13．【点评】本题主要考查一元二次和一元一次方程的定义,对（2）中容易漏掉m2+1=1的情况．6．当m 是何值时，关于x 的方程（m 2+2）x 2+（m ﹣1)x ﹣4=3x 2（1）是一元二次方程；（2）是一元一次方程；（3）若x=﹣2是它的一个根，求m 的值．【分析】（1)根据二次项系数不为0解答；（2）根据二次项系数为0,一次项系数不为0解答；（3）根据题意列出关于m 的一元二次方程，解方程即可．解：∵原方程可化为（m 2﹣1）x 2+(m ﹣1）x ﹣4=0，∴（1）当m 2﹣1≠0,即m ≠±1时，是一元二次方程；（2）当m 2﹣1=0，且m ﹣1≠0,即m=﹣1时，是一元一次方程； (3)x=﹣2时,原方程化为：2m 2﹣m ﹣3=0， 解得，m 1=32，m 2=﹣1(舍去）．【点评】本题考查的是一元一次方程的定义、一元二次方程的定义和一元二次方程的解法，掌握概念、正确解出一元二次方程是解题的关键．直接开平方法解一元二次方程利用平方根的意义直接开平方来求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法 形如或 的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。
九年级上册数学一元二次方程解实际问题公式
九年级上册数学一元二次方程解实际问题公式九年级上册数学一元二次方程解实际问题公式在九年级上册数学学习中，解决一元二次方程实际问题是重要的一环。
一元二次方程是由一次项、二次项和常数项组成的方程，其一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b和c分别为实数且a≠0。
在解决实际问题时，可以利用一元二次方程的公式来求解。
一元二次方程的解可以通过公式来求解，即二次方程的求根公式：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a这个公式是通过将一元二次方程化简后得到的，其中 b² - 4ac 被称为判别式。
判别式的值会决定方程的解的情况。
根据判别式的不同情况，可以得到方程有两个实根、有一个实根还是无实根。
当判别式的值大于0时，即 b² - 4ac > 0，方程有两个实根。
此时，可以使用上述公式来求解，并计算出两个不同的解。
当判别式的值等于0时，即 b² - 4ac = 0，方程有一个实根。
此时，也可以使用公式来求解，并计算出唯一的解。
当判别式的值小于0时，即 b² - 4ac < 0，方程无实根。
在这种情况下，方程无法用公式求解。
需要注意的是，当方程无实根时，我们可以通过观察方程的系数来判断其解的情况。
例如，当二次项系数a大于0时，方程图像开口向上，无实根；当二次项系数a小于0时，方程图像开口向下，也无实根。
在实际问题中，我们可以将问题抽象为一元二次方程，然后利用上述的公式来求解。
例如，某个问题要求解一个运动员从起点出发，在给定的速度和时间内到达终点的距离问题。
我们可以通过设定一个未知变量来表示距离，然后建立一元二次方程，利用公式来求解出这个未知变量的值。
总之，九年级上册的数学学习中，解决一元二次方程实际问题是一个重要的内容。
掌握一元二次方程的解法，并理解公式的原理和应用场景，能够帮助我们更好地解决实际问题，提高数学解题的能力。
九年级数学 一元二次方程的定义
一元二次方程的定义
•定义：
•只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
•
•一元二次方程的一般形式：
•它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
•方程特点；
•（1）该方程为整式方程。
•（2）该方程有且只含有一个未知数。
•（3）该方程中未知数的最高次数是2。
•
•判断方法：
•要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程。
若是，再对它进行整理。
如果能整理为(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
•点拨：
•①“a≠0”是一元二次方程的一般形式的重要组成部分，当a=0，b≠0时，她就成为一元一次方程了。
反之，如果明确了是一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件；
•②任何一个一元二次方程，经过整理都能化成一般形式，在判断一个方程是不是一元二次方程时，首先化成一般形式，再判断；
•③二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以咋确定一元二次方程各项的系数时，应首先将方程化为一般形式；
•④项的系数包括它前面的符号。
如：x2+5x+3=0的一次项系数是5，而不是5x；3x2+4x-1=0的常数项是-1而不是1；
•⑤若一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。
人教版九年级数学：一元二次方程知识点总结及基础题型
一元二次方程知识点一：一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数〔一元〕，并且未知数的最高次数是2〔二次〕的方程叫做一元二次方程，一般形式是),,,0(02为常数c b a a c bx ax ≠=++类型：()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠=++≠=+≠=+≠=000000002222a c bx ax a c ax a bx axa ax ④③②①判断一元二次方程的步骤例1：1.以下方程时一元二次方程的是 ①2032=+x x ；①04322=+-xy x ；①412=-x x ；①02=x ；①0332=+-xx ⑥x 2﹣1=y ⑦〔x+2〕〔x+1〕=x 2 ⑧ 6x 2=5 ⑨⑩2x +3x +y=0 ；⑪ x+y+1=0 ；⑫ 213122+=+x x ； ⑬ 0512=++x x⑭；⑮3y 2﹣2y=﹣1；⑯2x 2﹣5xy+3y 2=0；⑰⑱ 2x 2+3=3；⑲ x 2+5x =0；⑳ x 2+4xy?10=0；① √x +2x =3；① 2x (x −3)=2x 2+1； ① 1x +2x =x?6；① 2x 2+1=12x ；① abx 2+(a +b )x +1=0；① x 2−3√3x +4=0；1.把方程化成一般形式),,,0(02为常数c b a a c bx ax ≠=++2.最高次数=2① px 2+qx +m =0〔p ≠0〕．2．关于x 的方程mx 2+3x=x 2+4是一元二次方程，那么m 应满足条件是 _________ ．3．关于x 的一元二次方程ax 2﹣3x+2=0中，a 的取值范围是 _________ ．4．当m= _________ 时，方程〔m 2﹣1〕x 2﹣mx+5=0不是一元二次方程．5．假设关于x 的方程〔k ﹣1〕x 2﹣4x ﹣5=0是一元二次方程，那么k 的取值范围是__________ 例2：当=m 时，方程072)1(1=-+-+x x m m 为一元二次方程 6．假设是关于x 的一元二次方程，那么a= _________ ．7．假设关于x 的方程〔m ﹣1〕﹣mx ﹣3=0是一元二次方程，那么m= _________ ．8．当k= _________ 时，〔k ﹣1〕﹣〔2k ﹣1〕x ﹣3=0是关于x 的一元二次方程．9．方程〔m+2〕x |m|+3mx+1=0是关于x 的一元二次方程，那么m=__________10．关于x 的方程〔m ﹣2〕x |m|﹣mx+1=0是一元二次方程，那么m=___________ 知识点二：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是),,,0(02为常数c b a a c bx ax ≠=++，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项①0≠a ；①指出二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号 ①一元二次方程化为一般形式时，假设没出现一次项bx ，并不是没有，而是0=b 例3： 把方程〔1〕()()1231=+-x x 〔2〕x (x −2)=4x 2−3x 〔3〕(x +8)2=4x +(2x −1)2〔4〕x23−x+12=−x−12化为一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是_______________ 142=+xx的二次项系数，一次项系数，常数项分别是3.一元二次方程2x－3x = 4的一般形式是，一次项系数为。
九年级数学一元二次方程公式法
九年级数学一元二次方程公式法数学有时候就像一块难啃的骨头，但相信我，一旦你掌握了它，你会发现解题其实很有趣。
今天，我们来聊聊一个常见的难题——一元二次方程。
别担心，我会用最简单的语言来解释，让你轻松搞懂！1. 什么是一元二次方程？简单来说，一元二次方程就是形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程。
这其中的 ( x ) 是我们要找的未知数，( a )、( b )、( c ) 是给定的数字。
想象一下，如果我们把 ( x ) 看作一个神秘的箱子，( a )、( b )、( c ) 就是箱子的标签，告诉我们箱子里可能有什么东西。
我们要做的，就是通过这些线索找到箱子里的秘密！2. 一元二次方程的解法解这种方程有几种方法，但今天我们重点讲一个非常好用的——公式法。
记住这个公式，就像记住拿铁的配方一样简单！2.1 二次方程的标准公式公式长啥样呢？看这里：[ x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a} ]。
是不是有点复杂？别急，我来给你分解一下：(b)：这个“负号”很重要，它告诉我们要把 ( b ) 的值取反。
(pm)：这个符号告诉我们方程可能有两个解，我们需要考虑两个不同的情况，一个是加，一个是减。
(sqrt{b^2 4ac})：这个部分叫做“判别式”，是用来确定方程解的类型的。
就像看菜谱里的材料清单一样，它告诉我们是否能做这道菜。
(2a)：这是公式的分母，像是菜谱里的量杯，让我们知道要分成多少份。
2.2 判别式的作用判别式 ( b^2 4ac ) 其实有个很重要的作用。
它决定了方程的解的情况：如果 ( b^2 4ac > 0 )，说明方程有两个不同的实数解，就像两种不同口味的冰淇淋，吃一个还想吃另一个。
如果 ( b^2 4ac = 0 )，说明方程只有一个解，像是一碗只需要一种口味的牛奶。
如果 ( b^2 4ac < 0 )，那就没有实数解了，方程就像是没法开口的罐头。
初三数学中考专题复习 一元二次方程 课件(共22张PPT)
• 9、某商场将进货价为30元的台灯以40元售 出，平均每月能售出600个，调查表明：， 这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就 将减少10个，若销售利润率不得高于100% ，为了实现平均每月10000元的销售利润， 这种台灯的售价应定为多少？这时应进台 灯多少个？
• 5、 若x，y为矩形的边长，且(x＋y＋4)(x ＋y＋5)＝42， 则矩形的周长为___．
• 6、如果正整数a是一元二次方程x2－3x＋ m＝0的一 个根，－a是一元二次方程
• x2＋3x－m＝0的一个 根，则a＝____．
• 7、一元二次方程ax2+bx+c=0，若x=1是它 的一个根，则 a+b+c= ___,若a-b+c=0， 则方程必有一根为___
运动与方程
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，
AC=6m，BC=8m，点P、Q同时由A、
B速两点出发分别沿AC，BC方向 A
向点C匀运动，它们的速度都是 P 1m/s，几秒后四边形APQB的面积
为Rt△ACB面积的1\3？
C
QB
几何与方程
1.将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正 方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3, 求原铁皮的边长.
适应于左边能分解为两个一次因式的积右边是00的方程一一元二次方程的定义1判断下面方程是不是一元二次方程14xx2023x2y103ax?bxc04853xx13????122方程m2xm3mx40是关于x的一元二次方程则m3方程m21x2m1x2m10当m时是一元二次方程
第二章 一元二次方程 复习
把握住：一个未知数，最高次数是2，
初三数学题一元二次方程计算题
初三数学题一元二次方程计算题一、直接开平方法1. 解方程：(x - 3)^2=16- 解析：- 对于方程(x - 3)^2 = 16，根据直接开平方法，我们得到x - 3=±√(16)。
- 因为√(16) = 4，所以x - 3 = 4或者x - 3=-4。
- 当x - 3 = 4时，解得x=4 + 3=7。
- 当x - 3=-4时，解得x=-4+3=-1。
- 答案：x = 7或x=-1。
二、配方法1. 解方程：x^2+6x - 7 = 0- 解析：- 在方程x^2+6x - 7 = 0中，我们要将方程左边配成完全平方式。
- 对于x^2+6x，我们加上一次项系数一半的平方，即((6)/(2))^2 = 9。
- 方程变为x^2+6x + 9-9 - 7 = 0，也就是(x + 3)^2-16 = 0。
- 移项得到(x + 3)^2=16。
- 然后按照直接开平方法，x + 3=±4。
- 当x + 3 = 4时，x = 1；当x + 3=-4时，x=-7。
- 答案：x = 1或x=-7。
三、公式法1. 解方程：2x^2 - 5x+3 = 0- 解析：- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=(-b±√(b^2 -4ac))/(2a)。
- 在方程2x^2 - 5x + 3 = 0中，a = 2，b=-5，c = 3。
- 先计算判别式Δ=b^2 - 4ac=(-5)^2 - 4×2×3=25 - 24 = 1。
- 把a、b、Δ的值代入求根公式，x=(5±√(1))/(4)。
- 当取正号时，x=(5 + 1)/(4)=(6)/(4)=(3)/(2)；当取负号时，x=(5 - 1)/(4)=1。
- 答案：x = 1或x=(3)/(2)。
四、因式分解法1. 解方程：x^2 - 3x - 10 = 0- 解析：- 对于方程x^2 - 3x - 10 = 0，我们对左边进行因式分解。
人教版九年级上册数学精品教学课件 第21章 一元二次方程 第1课时 传播问题与一元二次方程
x(x 1) 10. 2
解得 x1＝5，x2＝−4(舍去)．∴ x＝5.
答：共有 5 个人参加聚会．
归纳 握手问题及球赛单循环问题要注意重复进行了 一次，所以要在总数的基础上除以 2.
【变式题】某中学组织初三学生开展足球比赛，以班为
单位，采用主客场赛制 (即每两个班之间都进行两场比 赛)，计划安排 72 场比赛，则共有多少个班级参赛？ 解：设共有 x 个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场
第 2 轮传染后人数 x(x + 1) + x + 1
根据示意图，列表如下：
传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数
1
1 + x = (1 + x)1 1 + x + x(1 + x) = (1 + x)2
解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.
根据题意，得 (1 + x)2 = 121.
小 分
支
支
x
…… 支干
x2 = −12 (不合题意，舍去).
x
答：每个支干长出 11 个小分支.
主干 1
交流讨论 1. 在分析引例和例 1 中的数量关系时它们有何区别？
每个支干只分裂一次，每名患者每轮都传染.
2. 解决这类传播问题有什么经验和方法？ （1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答； （2）可利用表格梳理数量关系； （3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.
A. x2 = 1980 C. 1 x(x - 1) = 1980
2
B. x(x + 1) = 1980 D. x(x - 1) = 1980
2. 有一根月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支
9年级上册数学一元二次方程
九年级上册数学一元二次方程一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是一个只含有一个未知数（通常表示为x），且未知数的最高次数为2的方程。
其标准形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是常数，且a≠0。
二、一元二次方程的解法配方法：通过配方将方程转化为(x+b)^2=d的形式，然后直接开平方求解。
公式法：根据一元二次方程的根的判别式Δ=b^2-4ac，当Δ≥0时，方程有2个实根。
根为x=(-b±√Δ)/2a。
因式分解法：将方程左边化为两个因式的乘积，右边化为0，然后分别令每个因式等于0求解。
三、一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式Δ=b^2-4ac。
根据判别式的不同取值，一元二次方程的根的情况分为以下三种：当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
当Δ=0时，方程有两个相等的实根（重根）。
当Δ<0时，方程没有实根（称为虚根），但有共轭复数根。
四、一元二次方程的根与系数的关根的和：x1+x2=-b/a。
根的积：x1*x2=c/a。
根的平方和：x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1*x2=(b^2-2ac)/a^2。
的立方：x1^3+x2^3=(x1+x2)(x1^2+x2^2-x1*x2)=-b^3/a^3+c^3/a^3=(c^3-b^3)/a^3。
五、一元二次方程的应用一元二次方程在日常生活和生产实践中有着广泛的应用，如计算几何图形的面积、解决商品利润问题等。
解决这类问题时，需要将实际问题转化为数学模型，即建立一元二次方程，然后求解得到实际问题的答案六、配方法解一元二次方程将一元二次方程化为(x+b)^2=d的形式，然后直接开平方求解。
这种方法适用于所有形式的一元二次方程，但在使用时需要注意运算的准确性。
七、公式法解一元二次方程根据一元二次方程的根的判别式Δ=b^2-4ac，当Δ≥0时，使用公式法可以直接求解出方程的实根。
此方法简洁明了，但需要注意判别式的计算以及实根的存在性。
初三数学一元二次方程教案优秀5篇
初三数学一元二次方程教案优秀5篇数学《一元二次方程》教案设计篇一教学目标1、了解整式方程和一元二次方程的概念；2、知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。
3、通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点和难点：重点：一元二次方程的概念和它的一般形式。
难点：对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定。
教学建议：1、教材分析：1)知识结构：本小节首先通过实例引出一元二次方程的概念，介绍了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程中各项的名称。
2)重点、难点分析理解一元二次方程的定义：是一元二次方程的重要组成部分。
方程，只有当时，才叫做一元二次方程。
如果且，它就是一元二次方程了。
解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：（1)一元二次方程的条件是确定的，如方程( ），把它化成一般形式为，由于，所以，符合一元二次方程的定义。
（2）条件是用“关于的一元二次方程”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。
如“关于的一元二次方程”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。
（3）方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。
如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程；当时，它是一元二次方程，解题时就会有不同的结果。
元二次方程的应用篇二12.6 一元二次方程的应用（三）一、素质教育目标（一）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率问题。
（二）能力训练点：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生用数学的意识。
二、教学重点、难点1.教学重点：学会用列方程的方法解决有关增长率问题。
2.教学难点：有关增长率之间的数量关系。
下列词语的异同；增长，增长了，增长到；扩大，扩大到，扩大了。
三、教学步骤（一）明确目标。