不等式章末归纳整合3

[思路探索] 由于 7＞ 3，但 10＜ 14，所以此题不便直接 比较 7＋ 10与 3＋ 14两数的大小．因此，同学们一般都是 根据不等式性质利用比较法来求解的．
解 法一 ∵( 7＋ 10)2＝17＋2 70，
( 3＋ 14)2＝17＋2 42，而 70＞ 42， ∴17＋2 70＞17＋2 42，即( 7＋ 10)2＞( 3＋ 14)2 ∴ 7＋ 10＞ 3＋ 14.
【例3】 解关于 x 的不等式 x
解
2
1 －a＋ x＋1＞0(a∈R，且 a
a≠0)．
1 x－ ＞ 0，易求得方程 (x－ 原 不等式可变形 为(x－ a)· a
1 x－ ＝0 a)· a
1 的两个解分别为 x1＝a 和 x2＝ ，所以 a
1 (1)当 a＞ ，即 a∈(－1,0)∪(1，＋∞)时，原不等式的解集为 a
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规律方法 根据问题所给的可行域的情况，一个目标函数 的最值可能有一个或多个，也可能没有．如果目标函数存 在一个最优解，则最优解通常在可行域的顶点处取得；如 果目标函数存在多个最优解，则最优解一般在可行域的边 界上．
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命题趋势
1．高考中，对不等式关系的考查，主要放在不等式的性质 上．题型多为选择或填空题，属容易题．单独命题的情况 偶有出现，但更多综合考查，将不等式的性质与充要条件 结合起来，这种命题方式及难度，一般不会改变． 2．基本不等式高考命题，重点考查的是基本不等式，单纯对 基本不等式的命题，主要出现在选择或填空题中，重点用 于求函数的最值，一般难度不大，但如果考查基本不等式 的变形，难度会大幅度提升．上述命题方式，近几年，不 会有大的变化．
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法二
比较 7＋ 10与 3＋ 14两数的大小，
就相当于比较 7－ 3与 14－ 10两数的大小，即 7－ 3 4 4 4 4 ＝ ， 14－ 10＝ ，而 ＞ ， 7＋ 3 14＋ 10 7＋ 3 14＋ 10 所以 7－ 3＞ 14－ 10，即 7＋ 10＞ 3＋ 14.
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【例2】 设关于x的一元二次方程ax2＋x＋1＝0(a＞0)有两个 实根x1，x2，求证：x1＜－1且x2＜－1.
证明 令 f(x)＝ax2＋x＋1(a＞0)，
1 1 由 Δ＝1－4a≥0，得 0＜2a≤ ，∴－ ≤－2＜－1， 2 2a 1 ∴抛物线 f(x)的对称轴 x＝－ 在直线 x＝－1 的左侧， 2a
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解 设分别生产 A、B 两种产品 x 吨、y 吨，利润为 z 万元，则 3x＋10y≤300， 9x＋4y≤360， 4x＋5y≤200， x≥0，y≥0，
z＝7x＋12y作出可行域，如图阴 影所示． 当直线7x＋12y＝0向右上方平 行移动时，经过M(20,24)时z取 最大值．∴该企业生产A、B两 种产品分别为20吨和24吨时， 才能获得最大利润．
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【例6】 某企业生产A、B两种产品，生产每一吨产品所需的 劳动力、煤和电耗如下表： 产品品种 A产品 劳动力(个) 3 煤(吨) 9 电(千瓦) 4
B产品
10
4
5
已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利 润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个， 煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业生产 A、B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？ [审题指导]
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近几年绝大多数试卷考查了上述内容(1)部分试卷考查了 (2)(3)．估计本节内容以稳定为主，今后几年仍然会这样 考． 5．对综合问题的考查，多与集合、函数、数列有联系．三种 题型均可出现．一旦命题，将略有难度，尤其要注意，不 等式的知识在实际问题上的应用．
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规律方法 上述这种先平方后比较大小，然后再利用开方 回到原数的方法不能不说是聪明之举，可谓是辗转比较两 数大小的一种妙法．然而，此题如果要是能想到分子有理 化的技巧，其实求解会更加简单．
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专题二
一元二次不等式的解法与三个“二次”之 间的关系
一元二次方程、二次函数、一元二次不等式这三部 分内容是高中数学中应用最广泛的知识点，也是初高中数 学的衔接点．这三个二次式之间无论是在知识上还是在方 法上都是相互关联、相互依存的．在解决有关问题时，相 互转化，则可化难为易、化繁为简，现举例说明如下．
1 xx＜a或x＞ a .
规律方法 当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常 数，且与之对应的一元二次方程一定有两解，但不知道两 个解的大小时，需要对解的大小进行讨论．
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专题四
运用基本不等式求最值，把握三个条件
(1)在所求最值的代数式中，各变量均应是正数(如不是， 则需进行变号转换)； (2)各变量的和或积必须为常数，以确保不等式一边为定 值，如不是，则要进行拆项或分解，务必使不等式一边的 和或积为常数； (3)各变量有相等的可能，即相等时，变量有实数解，且 在定义域内，如无，则需拆项、分解以使其满足上述条件 或改用其他方法．
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专】 已知 x＞0，y＞0，lg x＋lg y＝1，求x＋y的最小值．
[思路探索] 由lg x＋lg y＝1知，xy为定值，直接利用基 本不等式求解．
解 ∵lg x＋lg y＝1， 10 ＝2， xy
2 5 ∴xy＝10，∴ ＋ ≥2 x y
2 5 当且仅当 ＝ ，即 x＝2，y＝5 时，等号成立， x y 2 5 故 ＋ 的最小值为 2. x y
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规律方法
此题凑成了等号成立的条件，但要注意保证取等号的
k 一致性．求函数 f(x)＝x＋ (x＞0，k＞0)的最值时，可以考虑先利 x 用基本不等式求，如果等号取不到，再利用函数的单调性(f(x)＝x k ＋ (k＞0)在(－∞，－ k]，[ k，＋∞)上为增函数，在[－ k，0)， x (0， k]上为减函数)去求．
[思路探索] (1)将原函数变形，利用基本不等式求解． (2)利用函数的单调性求解． a 解 (1)把 a＝2 代入 f(x)＝x＋ ， x＋1
2 2 得 f(x)＝x＋ ＝(x＋1)＋ －1， x＋1 x＋1 2 ∵x∈[0，＋∞)，∴x＋1＞0， ＞0， x＋1 2 2 ∴x＋1＋ ≥2 2.当且仅当 x＋1＝ ， x＋1 x＋1
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高考命题中，对不等式及不等式组的解法的考查，若选 3． 择、填空题出现，则或对不等式直接求解，或经常地与集 合运算、充要条件相结合，难度都不大．若在解答题中出 现，一般会与参数有关，或对参数分类讨论，或求参数范 围，难度上以中档题为主，今后几年高考若对本节知识进 行命题，则在方式、方法上不会有太大出入． 4．线性规划问题在命题时多以选择、填空题形式出现，题型 以容易题、中档题为主．考查：(1)求给定可行域的最优解 (包括最大、最小值及最优整数解)；(2)求给定可行域的面 积；(3)给出可行域的最优解，求目标函数中参数的范围．
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专题五
简单的线性规划问题
近年来线性规划的一些基本运算问题成为出题的热点，该部分 知识大多都属于基础题目，属于中低档题目．线性规划的应用题也 是高考的热点，关注“线性规划”问题的各种“变式”：诸如求面 积、距离、参数取值的问题经常出现，①“可行域”由不等式和方 程共同确定(为线段或射线)，②“约束条件”由二次方程的“区间 根”间接提供，③“约束条件”非线性，④目标函数非线性，如： y－b (斜率)， x－a2＋y－b2(距离)等． x－a
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即 x＝ 2－1 时，f(x)取最小值．此时，f(x)min＝2 2－1. a (2)当 0＜a＜1 时，f(x)＝x＋1＋ －1 x＋1 a 若 x＋1＋ ≥2 a， x＋1 则当且仅当 x＋1＝ a 时取等号， x＋1
此时 x＝ a－1＜0(不合题意)， 因此，上式等号取不到．f(x)在[0，＋∞)单调递增， ∴f(x)min＝f(0)＝a.
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专题三
含参数的不等式的解法
对含有参数的不等式的求解，需要根据问题的实际情 况对字母的取值进行分类讨论．含参数的一元二次不等式 可以从下面三个方面考虑分类讨论： (1)二次项系数为正、负、零； (2)判别式Δ的符号； (3)两根的大小．
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规律方法
a＋b 利用基本不等式 ab≤ (a＞0，b＞0)即 a＋b≥ 2
2 ab(a＞0，b＞0)，求 a＋b 的最小值时，必须注意三个条件： 一是 a，b 均为正数；二是 ab 为常数；三是等号必须取到， 三者缺一不可．
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高考真题
a 设函数 f(x)＝x＋ ，x∈[0，＋∞)． 【例5】 x＋1 (1)当 a＝2 时，求函数 f(x) 的最小值； (2)当 0＜a＜1 时，求函数 f(x)的最小值．
1 xx＜ 或x＞a a ；
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1 (2)当 a＝ ，即 a＝± 时， 1 a ①若 a＝1，则原不等式的解集为{x|x≠1}； ②若 a＝－1，则原不等式的解集为{x|x≠－1}； 1 (3)当 a＜ ，即 a∈(－∞，－1)∪(0,1)时，原不等式的解集为 a