从“三角形构成”到“称球问题”

从“三角形构成”到“称球问题”

浙江慈溪实验中学 张利波 315300

关于“三角形构成”有这样一题：

输入一个正整数n ，将该数作为三角形的周长，要求各边均为整数，求所有可以构成三角形的个数及对应各边长。

例：当n=7时，共可以构成2个三角形，边长分别为：3，3，1和3，2，2。 解析：常规思路用穷举法，再结合三角形构成的数学常识，设三角形三边分别为：a,b,c ，则构成条件为(a+b+c=n) and (a+b>c) and (a-b

1、边长范围，初步框定循环边界

由于题目以构成三角形为前提，因此可根据数学知识，初步框定边长的取值范围，以减少不必要的循环。

由题意a+b+c=n ，得c=n-a-b ； 再联立两不等式 a+b>c

a-bn-a-b

a-b

22n a b n <<-(也可以表示2

2n

b a n <<-) 上限倒可以确定，但是下限得依靠另一变量，形成了变量互为约束的结果，还不是我们所希望的，可能需要进一步的条件发掘，希望也能找到不依赖于其他变量的直接表达式，但是这里的a(或b)是三角形中任一边，其下限无法更好标识，唯一的方法就是将其确定三角形中的某一边(如最长边)，以进一步确定边长的下限。

2、边长区分，轻松跨越重复剔除

区分边长可以确定某一边长的界限，同时也可以轻松剔除重复数据，如设置边长条件为a ≥b ≥c ，在符合条件的数据只要执行判断(a>=b) and (b>=c) and (c>=1)，就可以解决。其实要正确出解，两条边的范围得写好，先不妨继续推导最长边a 的界限。

表1

表2

因为a 为最长边，其下限可以选用特殊三角形——等边三角形，各边均匀分配，其数

据必为下限，即

3a ，因此最长边的范围：2

3n

a n <<=，考虑到本题a 为整数，因此可以写成2

13-<=<=n a n 。 同理由式子22n

b a n <<-，可以进一步完善b 的取值范围：2

11-<=<=n b 。

至此，a 、b 边长范围确定，此为本题关键。 参考程序(FreePascal 下通过)。 program CreateTriangle(input,output); const n=7; var

a,b,c,t:integer; begin t:=0;

for a:=n div 3 to (n-1) div 2 do for b:=1 to (n-1) div 2 do begin c:=n-a-b;

if (a>=b) and (b>=c) and (c>=1) then begin t:=t+1;

writeln(t,’: ’,'a=',a,' b=',b,' c=',c); end; end; end.

将一个正整数作为周长构成三角形，本质上将该数拆成三份，结合数学知识，考虑拆分的正确，这个似乎和“称球问题”有点相同，为减少称球次数，该问题也将数据分成三份，

其中两份参与称量，且数量相等。由于天平平衡状态的存在，恰恰说明了不在天平上的另一份数据同样参与了称量过程。称球问题的数据分配如表1所示。具体推导详见笔者发表在《中小学电脑报》(教研版)2006年第37期的文章《称球：数学中的计算机问题》。

不妨列举几例三角形构成和称球问题的数据选取情况，如表2所示，我们不难发现良好的称球策略(称球次数达到最少)必取自三角形构成方案，即称球的数据同样可以构成三角形，由于每次称球必含两个数据相等，因此构成的三角形进一步推导为等腰三角形，那么有没有比等腰三角形更完美的结论？

通过表2的数据显示，发现称球数据必取自各边长差绝对值最小的那一组数据，可以这么说，在分配时，力求各边长数据均匀分配。那么这个结果之后会呈现什么呢？

笔者不由地想到了海伦公式s=

))()((c p b p a p p ---，由于各边均匀分配，绝对值

最小，因此在a+b+c=2p 为定值时，(p-a)(p-b)(p-c)其乘积必然达到最大，s=

))()((c p b p a p p ---也最大，由此构成的三角形面积最大！

由一般三角形内心特点，即构成三角形内切圆，其半径公式p

s

r =

，因为p 为定值，当s 取值最大值，r 达到最大值，即由此产生的内切圆面积最大。

由一般三角形外心，即构成三角形外接圆，其半径公式s

abc

R 4=，将r 和R 相乘，Rr=p

abc

p s s abc R 44==

，因为a+b+c=2p 为定值，a 、b 、c 平均分配，取值最接近32p 时，

abc 乘积必然达到最大，随之222

)(Rr r R πππ=也为最大，此说明该三角形的外接圆和内切

圆面积乘积达到最大！

以上结论，基于三角形各边长差之绝对值最小，此三角形的形态更接近于等边三角形，若将该三角形还原成直线，选最长两边和为折点，则该点所处位置(最长两边和/周长)最接近于黄金分割点！从审美角度，人们看到的该三角形，是否称得上“三角形构成”问题上的那个最美、最“黄金分割”的三角形呢？

最后，请允许我再狂妄猜想一番：这个三角形较其他构成三角形，其内心和外心在距离上应该最接近，由此内切圆对于外接圆圆心(外心)偏离程度应该最小，视觉上两圆更接近同心圆，排除两圆的重叠部分的区域，从形态上更接近于圆环！

备注：本文发表于《Noi 专刊》2008年第4期