13个球称重问题
趣味数学——称重找不同
④三鬼三人过河,船只能一次运 2 人,规则是两岸的鬼不能比人多,怎么才能安全 去对岸呢? 1、两个鬼过去，一个鬼回来 2、两个鬼过去，一个鬼回来 3、两个人过去，一人一鬼回来 4、两个人过去，一个鬼回来 5、两个鬼过去，一个鬼回来 6、两个鬼过去，完
⑤有三个食人族的父亲 带着三个孩子准备过河(孩子一旦离开自己的父亲就会 被别的大人吃掉，小孩不会吃小孩),三个大人都会划船，但只有一个小孩会划船。 船只有一艘,每次只能载两人,问怎么过河？ 设：父亲 A 和他的孩子 a ；父亲 B 和他的孩子 b ；父亲 C 和他的孩子 c 。小 孩 c 会划船 第一步：A 和 a 过河，把 a 留在对岸，A 划船回来 第二步：B 和 b 过河，B 不下船，b 下船，B 把船划回来 第三步：C 和 c 过河，C 不下船，c 下船，C 把船划回来
经典智力题解法：十二个乒乓球称重三次
经典智力题解法:十二个乒乓球称重三次有十二个大小、形状都相同的乒乓球,要求用没砝码的天秤称三次,找出其中唯一的异常球,并且知道它是重了还是轻了。
乒乓球称重智力题分析经典智力题之所以经典,除了需要开动脑筋思考外,它不受人种、年龄、学历等因素限制,这道题,一小时之内某些大学生解不出,而某些小学生却能解出来,不是什么奇怪的事情。
有部分人认为分三组,每组4个乒乓球解不出来,往往是思维卡在了一个地方。
有部分人认为分两组,每组6个乒乓球能解出来,往往忽略了一个因素,或者无视了这个因素。
最终能找到正确方法的人,当然会分析下先称6个,因为这种方法很明显、很简单。
下面我们先来分两组尝试下称重,并找出失败的所在,要总结,失败是成功之母。
似是而非的分两组误解(6-6)将12个乒乓球分为两组,每组6个。
我们标记②③④⑤⑥为一组,⑦⑧⑨⑩⑾⑿为另一组。
第一次称重,②③放一边,④⑤⑥放另一边。
1、如果第一次称重不平衡,则异常球在②③中,或在④⑤⑥当中,这里有两种情况:a、②③比④⑤⑥重;b、②③比④⑤⑥轻。
1.1、第二次称重,我们将④放一边,②⑤放另一边,即去掉③和⑥,②④互换。
1.1.1如果平衡,则异常球是③或者是⑥,第三次称重,我们将③与⑥之外的任意一个z4c4e 明升正常球进行称重。
1.1.1.1如不平衡,则可断定③为异常球c、如果第一次称,左端重(情况a),则③比其他球更重d、如果第一次称,右端重(情况b),则③比其他球更轻1.1.1.2、如平衡,则可断定⑥为异常球,e、如果第一次称,左端重(情况a),则比⑥其他球更轻。
f、如果第一次称,右端重(情况b),则比⑥其他球更重。
1.1.2如果不平衡,则异常球是④或者是②⑤,这里同样有两种平衡结果1.1.2.1、如果②⑤互换后,平衡结果跟第一次称重一样,则②⑤为正常球,④里有一个为异常球。
我们拿与除④外的任意一球进行第三次称重。
g、如果第三次平衡,第一次左端重(情况a),则④为异常球,比其他球更轻。
十三个小球找坏球的详细解决方案
（一）.问题是十三个小球，其中有一个坏球，不知道坏球是较轻还是较重；有一个没有砝码的天平可用。
探求最少的称量比较次数找到坏球。
Step1.将十三个小球分别编号为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13Step2.将十三个小球随机分为四组：A：1，2，3，4；B：5，6，7，8；C：9，10，11，12；D：13Step3.比较A组和B 组小球的重量；比较A组和C组的小球的重量a)两次比较均为平衡。
那么坏球为13号小球。
【两次】b)两次比较一次平衡，一次不平衡。
则A组全部是好球，将与A组平衡的组赋值为B组，将与A组不平衡的组赋值为C组。
坏球一定在C组中。
i.若A>C，则坏球是质量较轻（参数Huai=0）ii.若A<C，则坏球是质量较重（参数Huai=1）c)两次比较都不平衡。
则坏球在A组中；B组和C组以及D组都是好球i.若A<B，则坏球是质量较轻（参数Huai=0）ii.若A>B，则坏球是质量较重（参数Huai=1）（二）.问题转化为四个小球，其中有一个坏球，已知坏球轻重（参数H），并且还有九个好球可用。
Step1.将这组赋值为X组，四个小球编号为：X1，X2 ，X3，X4。
Step2.将四个小球分为两组，分别为XA；XBStep3.比较XA和XB小球的重量，肯定不平衡Step4.将较重的一组命名为XA组，将较轻的一组命名为XB组a)若Huai=0，则坏球在XB中b)若Huai=1，则坏球在XA中（三）.问题转化为两个小球，其中有一个坏球，已知坏球轻重（参数H），并且还有十一个好球可用。
Step1.将这组赋值为X组，两个小球编号为：X1，X2Step2.将两个小球分为两组，分别为XA；XBStep3.比较XA和XB小球的重量，肯定不平衡Step4.将较重的一组命名为XA组，将较轻的一组命名为XB组a)若Huai=0，则坏球在XB中【四次】b)若Huai=1，则坏球在XA中【四次】解题思路：12个标准球，1个非标准球。
“无刻度天平称球找特殊”问题全解
说明这篇文章试图给出称球问题的一个一般的和严格的解答。
正因为需要做到一般和严格，就要考虑许多平时遇不到的特别情形，所以叙述比较繁琐。
如果对读者对严格的证明没有兴趣，可以只阅读介绍问题和约定记号的第一、第二节，以及第三节末尾27个球的例子，和第五节13个球和40个球的解法。
事实上所有的技巧都已经表现在这几个例子里了。
一、问题称球问题的经典形式是这样的："有十二个外表相同的球，其中有一个坏球，它的重量和其它十一个有轻微的（但是可以测量出来的）差别。
现在有一架没有砝码的很灵敏的天平，问如何称三次就保证找出那个坏球，并知道它比标准球重还是轻。
"这可能是网上被做过次数最多的一道智力题了。
它的一种解法如下：将十二个球编号为1-12。
第一次，先将1-4号放在左边，5-8号放在右边。
1.如果右重则坏球在1-8号。
第二次将2-4号拿掉，将6-8号从右边移到左边，把9-11号放在右边。
就是说，把1,6,7,8放在左边，5,9,10,11放在右边。
1.如果右重则坏球在没有被触动的1,5号。
如果是1号，则它比标准球轻；如果是5号，则它比标准球重。
第三次将1号放在左边，2号放在右边。
1.如果右重则1号是坏球且比标准球轻；2.如果平衡则5号是坏球且比标准球重；3.这次不可能左重。
2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号，且比标准球轻。
第三次将2号放在左边，3号放在右边。
1.如果右重则2号是坏球且比标准球轻；2.如果平衡则4号是坏球且比标准球轻；3.如果左重则3号是坏球且比标准球轻。
3.如果左重则坏球在拿到左边的6-8号，且比标准球重。
第三次将6号放在左边，7号放在右边。
1.如果右重则7号是坏球且比标准球重；2.如果平衡则8号是坏球且比标准球重；3.如果左重则6号是坏球且比标准球重。
2.如果天平平衡，则坏球在9-12号。
第二次将1-3号放在左边，9-11号放在右边。
1.如果右重则坏球在9-11号且坏球较重。
第三次将9号放在左边，10号放在右边。
13个小球
13个小球，其中12个为标准球，重量一样，1个为非标准球，重量轻或重，有一个天平，请用三次称量，找出这个非标准球。
为方便说明问题，首先为13个小球标号，分别为1-13.（思路：1. 第一次称量时尽可能的将小球等分成三份，编号为（1、2、3、4）的小球为一组，编号为（5、6、7、8）的小球为一组，编号为（9、10、11、12、13）的小球为一组。
）第一次称量：天平左右两边分别放置（1、2、3、4）和（5、6、7、8），如果天平左右两边平衡，则表示非标准球在（9,10,11,12,13）中。
如果天平左右两边不等，则说明非标准球在（1,2,3,4）或（5,6,7,8）中。
下边按这两种情况分别说明后两次的测量。
第一种，非标准球在（9,10,11,12,13）中，（思路：三个球可以一次测出结果，故从未知中拿出三个球与已知标准球比较）第二次称量：天平左右分别放置（1、2、3）和（9、10、11），如果天平平衡，则表示（9,10,11）为标准球，那么12,13中有非标准球。
第三次称量：天平左右两端分别放置1号球和12号球，平衡则说明13号是非标准球，但不能判断其轻重；不平衡则说明12号是非标准球，12号端下沉则说明12号为重球，12号端上升则说明12号为轻球。
如果在第二次称量时，天平不平衡，则说明（9、10、11）中有非标准球，而且还可以根据天平的倾斜判断吃非标准球的轻重。
如果（9、10、11）端沉，则说明非标准球是重球，反之则为轻球。
此时第三次称量只要比较其中两个球，例如9和10，如果平衡则说明11号是非标准球，如果不平衡，且上次称量中得知非标准球的重球的话，则下沉端为非标准球，反之上次称量中得知非标准球的轻球的话，则上浮端为非标准球。
以上为第一种，第一次称量天平平衡的所有情况。
第二种，第一次称量不平衡，假设（1、2、3、4）比（5、6、7、8）沉，（1、2、3、4）比（5、6、7、8）轻的情况与沉的情况类似，不做赘述。
称球问题——经典智力题推而广之三(二)
称球问题——经典智力题推而广之三（二）二、记号我们先不忙着马上着手解决上述问题。
先得给出几个定义，尤其是，要给出比较简单的符号和记法。
大家看到上面给出的解法写起来实在麻烦——想象一下如果我们要用这种方法来描述称40个或1000个球的问题！仍旧考虑十二个球的情况和上面举的解法。
在还没有开始称第一次时，我们对这十二个球所知的信息就是其中有一或较轻，或较重的坏球，所以以下24种情况都是可能的：1. 1号是坏球，且较重；2. 2号是坏球，且较重；……12. 12号是坏球，且较重；13. 1号是坏球，且较轻；14. 2号是坏球，且较轻；……24. 12号是坏球，且较轻。
没有其他的可能性，比如说“1、2号都是坏球，且都较重”之类。
当我们按上面解法“先将1-4号放在左边，5-8号放在右边”称过第一次以后，假设结果是右重，稍微分析一下，就会知道上面的24种情况中，现在只有8种是可能的，就是1. 1号是坏球，且较轻；2. 2号是坏球，且较轻；3. 3号是坏球，且较轻；4. 4号是坏球，且较轻；5. 5号是坏球，且较重；6. 6号是坏球，且较重；7. 7号是坏球，且较重；8. 8号是坏球，且较重。
我们把诸如“1号是坏球，且较重，其他球都正常”和“2号是坏球，且较轻，其他球都正常”这样的情况，称为一种“布局”，并记为：(1重)和(2轻)我们把“先将1-4号放在左边，5-8号放在右边”这样的步骤，称为一次“称量”。
我们把上面这次称量记为(1,2,3,4; 5,6,7,8)或(1-4; 5-8)也就是在括号内写出参加称量的球的号码，并且以分号分开放在左边和放在右边的球号。
在最一开始，我们有24种可能的布局，而在经过一次称量(1-4；5-8)后，如果结果是右重，我们就剩下上述8种可能的布局。
我们的目的，就是要使用尽量少的称量，而获得唯一一种可能的布局——这样我们就知道哪个球是坏球，它是比较重还是比较轻。
这里我们注意到没有必要去考虑两边球数不相等的称量。
称球问题一般解法
一、
天平称重，有两个托盘比较轻重，加上托盘外面，也就是每次称重有3个结果，就是ln3/ln2比特信息。n个球要知道其中一个不同的球，如果知道那个不同重量的球是轻还是重，找出来的话那就是n个结果中的一种，就是有ln(n)/ln2比特信息，
假设我们要称k次，根据信息理论：
k*ln3/ln2>=ln(n)/ln2, 解得k>=ln(n)/ln3
使用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，a、b的取值可能有{0，1}、{1，1}、{1，2}三组，由于还有一个已知的好球，所以不难验证此时命题成立。
②假设当n=k时命题也成立。
③当n=k+1时。我们将A、B两组球分别尽量平均得分为三组，记为A1、A2、A3、B1、B2和B3。不影响一般性，假设这六组球按球数从少到多的排列次序也与前面的顺序一致，且A1有球a1个。则第一次称量时的称量方案与每组球个数的对应关系如下，其中需要注意的是：在带蓝色的两种情况下，必有 ，否则就与命题的前提不符了。
A1
A2
A3
B1
B2
B3
称量方案
a1
a1
a1
a1
a1
a1
A1、B1放左盘；A2、B2放右盘
a1
a1
a1
a1
a1
a1+1
A1、B1放左盘；A2、B2放右盘
a1
a1
a1+1
a1
a1
a1+1
A1、B3放左盘；A3、B1放右盘
a1
a1
a1+1
a1
a1+1
a1+1
A1、B2放左盘；A2、B3放右盘
a1
称重问题基本公式
1、称重问题结论1：1)在以上条件成立的情况下，要保证在m+n个球中找出坏球并知道其轻重，至少需要称{log3(m+n)}次。
现有N个小球，其中有一个坏球不知比标准球轻还是重。
我们令H={log3(2N)}。
1)要保证在N个球中找出坏球并知道其轻重，至少需要称H次。
假设N≠2，我们有2)如果N＜(3H-1)/2，那么称H次就足够了；3)如果N=(3H-1)/2，那么称H次足以保证找到坏球，但不足以保证知道坏球比标准球轻还是重；4)如果N=(3H-1)/2，而且还另有一个标准球，那么称H次足以保证找到坏球和知道，知道坏球比标准球轻还是重。
五、四十个球的例子最后我们来解决一下40个球，没有标准球的问题。
我们知道40 = (34-1)/2所以我们可以称4次找出坏球，但是因为没有标准球，就不一定能知道坏球的轻重。
顺便先考虑13个球，另有一标准球的问题。
13 = (33-1)/2所以称3次可以找出坏球，因为有标准球，我们还可以同时知道坏球的轻重。
【定理】假设N 个球中有一个不标准,且已知是轻的,则可以称{log3(N)}次将非标准球找出来。
现在，在已知坏球轻重的情况下，我们得到了把坏球找出来的最少次砝码问题一端放砝码，需要1，2,4,8,16,32，依次相加二端放砝码，需要1,3,9,27,82，依次相加2014年国考行测备考：拉灯问题思路分析2013年07月29日10:39 华图公务员微博我有话说拉灯问题曾是困惑很多学员的难题，特别是当灯的总数量比较大的时候，如何来确定此类问题最终亮着的或灭掉的灯的数量是此类问题的关键。
华图教育[微博]主要从以下几个题型具体分析解决此类问题的思路。
一、初等拉灯问题---倍数、约数例1：走廊里有10盏电灯，从1到10编号，开始时电灯全部关闭。
有10个学生依次通过走廊，第1个学生把所有的灯绳都拉了一下，第2个学生把2的倍数号的灯绳都拉了一下，第3个学生把3的倍数号的灯绳都拉了一下……第10个学生把第10号灯的灯绳拉了一下。
13球称重问题
已知：有1个标准球，在3次以内找出13个球之中不标准的那个。
建立模型：（a、b、c、d、e）
其中：a表示未知标准与否的球的个数；
b表示已知标准的球的个数；
c表示可能超重的球的个数；
d表示可能过轻的球的个数；
e表示剩余称量次数；
初始条件为：（1,13,0,0,3）
称量过程中：-1表示左边重，0表示一样重，1表示右边重。
注：第二次称量结束后，所有情况归为完全相同的3类，故不做重复说明，仅用“与（x，y）相同”代替，其中的x和y表示第一次和第二次称量的结果。
如：与（1,1）相同，就表示其结果与称量过程中，两次都是右边重的结果一样。
董老师，组织图做得比较小，不然放不下。
建议在300%左右的比例看，效果会好一点。
组织图如下：。
称球问题
这个结果是反复尝试得到的，虽然直觉上三次应该是
最低了，但我们终究不能百分之百的确定.
三、枚举筛选法。 即不重复，不遗漏地将问题中的有限种情况一一枚举，
然后对各种情况逐个检验，排除一些不可能的情况， 逐步归纳树立，找到正确答案。
一般的，我们要解决以下问题：给定任一自然数N， ⑴找出N个球称球问题所需的最小称量次数； ⑵给出最小次数称球的具体方法。
第一次称量
第二次称量
第三次称量 1<9 1=9 3<4
结论 : 坏球为 1 轻 8 重 3 轻 7 重
1,5,6<2,8,9
1,2,3,4 < 5,6,7,8
1,5,6=2,8,9
3=4
3>4
5<6 1,5,6>2,8,9 5=6
4 轻
6 重 2 轻
5>65 重9<109,10<5,11 1,2,3,4 = 5,6,7,8 9=10 9>10 9,10=5,11 1<12
The insight that the outcomes should be as near as
possible to equiprobable makes it easier to search for an optimal strategy. The rst weighing must divide the 24 possible hypotheses into three groups of eight. Then the second weighing must be chosen so that there is a 3:3:2 split of the hypotheses. Thus we might conclude: the outcome of a random experiment is guaranteed to be most informative if the probability distribution over outcomes is uniform.