关于“矩阵的行列式不等式”的几点注记
矩阵与行列式算法初步知识点
矩阵与行列式算法初步知识点矩阵与行列式是线性代数的基础概念之一、矩阵可以看作是一个二维数组，具有行和列的属性。
矩阵最常见的应用是线性方程组的求解。
例如，对于一个m×n的矩阵A和一个n×1的向量x，可以通过矩阵乘法Ax=b来求解线性方程组。
行列式是矩阵的一个重要属性，可以用来判断矩阵是否可逆。
一个矩阵的行列式为0表示该矩阵不可逆，否则可逆。
行列式还可以用于求解特征值和特征向量。
特征值和特征向量是矩阵在线性变换下的不变性质，对于很多机器学习和深度学习算法都有重要的应用。
算法是计算机科学中的基础概念，是一种解决问题的方法或步骤。
算法设计的核心目标是解决问题的效率和正确性。
常见的算法设计技巧包括递归、分治、动态规划等。
常见的算法包括排序、图算法等。
排序算法可以将一组数据按照一定的规则进行排序，常见的排序算法有冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序等。
算法用于在一组数据中查找目标元素，常见的算法有线性、二分等。
图算法用于解决图结构相关的问题，常见的图算法有深度优先、广度优先、最短路径算法等。
在实际应用中，矩阵与行列式经常用于数据表示和运算。
例如，在机器学习中，数据通常以矩阵的形式进行表示，通过矩阵运算可以进行特征提取、模型训练等操作。
行列式的性质可以帮助我们优化计算过程，例如通过LU分解来求解线性方程组，可以减少计算量。
在计算机图形学中，矩阵与行列式用于表示和变换物体的位置和形态。
通过矩阵运算可以实现物体的平移、旋转、缩放等操作。
算法的设计与分析是计算机科学中的重要内容。
好的算法可以大大提高程序的执行效率，减少资源的使用。
算法的设计过程包括问题分析、算法设计、编码实现和性能评估等步骤。
在设计算法时，我们要考虑问题的规模、输入数据的特征以及算法的复杂度等因素。
通常，我们希望算法在求解问题时具有较高的时间和空间效率，并且给出符合问题要求的正确结果。
总之，矩阵与行列式、算法初步是计算机科学和线性代数中的重要知识点。
矩阵行列式的概念与运算
知识点总结： 一、矩阵的概念与运算1、 矩阵111213212223a a a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭中的行向量是()111213a a a a =r ，()212223b a a a =r；2、 如：1112131112111221222321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，111112211112122211131223211122212112222221132223a c a c a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++⎛⎫=⎪+++⎝⎭矩阵加法满足交换律和结合律，即如果,,A B C 是同阶的矩阵，那么有：,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。
同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。
实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。
矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB ==()()AB C A BC =3、 矩阵乘法不满足交换率，如1111111122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≠⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。
二、行列式概念及运算 1.用记号2211b a b a 表示算式1221b a b a -,即2211b a b a =1221b a b a -,其中2211b a b a 叫做二阶行列式;算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线2211b a b a 可把二阶行式写成它的展开式,这种方法叫做二阶行列式展开的对角线法则;即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积. 2.二元一次方程组的解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a (其中2121,,,b b a a 不全为零);记2211b a b a 叫做方程组的系数行列式;记=x D 2211b c b c ,2211c a c a D y =即用常数项分别替换行列式D 中x 的系数或y 的系数后得到的.(1) 若D ,0≠则方程组有唯一一组解,DD y D D x y x==, ; (2) 若0=D ,且y x D D ,中至少有一个不为零,则方程组无解;(3) 若0===y x D D D ,则方程组有无穷多解. 3。
矩阵行列式规则_概述说明以及解释
矩阵行列式规则概述说明以及解释1. 引言1.1 概述矩阵行列式是线性代数中的重要概念之一，它在各个方面都有着广泛的应用。
矩阵行列式规则是对于矩阵行列式计算过程中的一些基本操作和规律的总结和概括。
通过研究和了解矩阵行列式规则，我们可以更好地理解矩阵与行列式的关系，推导出更多的定理和性质，并将其应用于实际问题求解、判断矩阵可逆性等领域。
1.2 文章结构本文主要分为五个部分：引言、矩阵与行列式、矩阵行列式规则、解释矩阵行列式规则的意义以及结论。
其中，在引言部分将对整篇文章进行概述；在矩阵与行列式部分，将介绍基本的矩阵与行列式的定义和性质；在矩阵行列式规则部分，将详细讲解常用的几个运算规则；在解释矩阵行列式规则的意义部分，将探讨它们在线性方程组求解、判断矩阵可逆性以及几何变换中的应用；最后，在结论中对矩阵行列式规则及其重要性进行总结，并提出未来的研究方向或应用领域。
1.3 目的本文的目的是对矩阵行列式规则进行概述、说明和解释。
通过本文的阐述，读者将能够了解到什么是矩阵和行列式，以及它们之间的关系；掌握常用的矩阵行列式规则，并了解其运用于线性方程组、矩阵可逆性判断和几何变换等领域；认识到矩阵行列式规则在数学领域中的重要性，以及未来可能深入探索和扩展该领域的方向。
通过本文的学习，读者将能够更加准确地理解和应用矩阵行列式规则，从而提升自己在相关数学问题上的能力。
2. 矩阵与行列式2.1 矩阵概念矩阵是由m行n列的数字排成的矩形阵列，可以用来表示线性方程组、向量空间的线性变换以及图像处理等问题。
一个矩阵可以用大写字母表示，如A，并且可以表示为以下形式：A = [a11, a12, ..., a1n;a21, a22, ..., a2n;...,am1, am2, ..., amn]其中，a_ij代表第i行第j列的元素。
2.2 行列式概念行列式是矩阵中一个非常重要的数值指标。
对于一个n阶矩阵A，它的行列式记作|A|或det(A)，其计算方式为：|A| = a11C11 + a12C12 + ... + a1nC1n= ∑(-1)^(i+j)a_ij*Cij其中，a_ij表示第i行第j列的元素，Cij是代数余子式。
不定矩阵行列式-概述说明以及解释
不定矩阵行列式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以包括以下信息：在线性代数中，矩阵是一种重要的数学工具，广泛应用于各个科学领域。
矩阵的行列式是矩阵的一个重要性质，它在多个数学理论和应用中起着关键的作用。
在传统的数学教育中，我们通常学习的是定矩阵的行列式，即方阵的行列式。
然而，在实际应用中，我们也会遇到非方阵的矩阵，即行数和列数不相等的矩阵。
这种矩阵被称为不定矩阵。
不定矩阵的行列式是指在行数和列数不相等的情况下，如何定义和计算矩阵的行列式。
不定矩阵的行列式具有一些特殊的性质和计算方法。
本文将着重介绍不定矩阵的行列式的定义、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和运用这一概念。
首先，我们将探讨不定矩阵行列式的定义及其数学性质，包括行列式的展开公式和性质。
然后，我们将介绍一些特殊的不定矩阵，如长方形矩阵和奇异矩阵，它们在行列式计算中具有一些特殊的性质和应用。
最后，我们将给出一些计算不定矩阵行列式的实例，并探讨其在实际问题中的应用。
通过深入研究和理解不定矩阵行列式的概念和计算方法，我们可以更好地应用线性代数的知识解决实际问题。
不定矩阵行列式作为矩阵理论的重要组成部分，具有广泛的应用前景。
本文旨在为读者提供一个全面的介绍和理解不定矩阵行列式的基础，帮助读者在实际问题中运用该概念解决复杂的数学和工程问题。
1.2文章结构文章结构部分的内容：文章的结构是指文章所包含的各个部分的组织方式和关系。
一个清晰的结构有助于读者理解文章的主旨和逻辑。
本文的结构如下：第一部分为引言部分，包括概述、文章结构和目的。
在概述部分，将对不定矩阵行列式进行简单介绍，引起读者的兴趣。
然后在文章结构部分，详细介绍了整篇文章的组织和分段，并说明每个部分的主题和内容。
最后，在目的部分，明确表达了本文的目的和意义。
第二部分为正文部分，包括第一个要点和第二个要点。
在第一个要点中，将详细介绍不定矩阵行列式的定义、性质和计算方法等相关内容。
正定矩阵和的行列式不等式
m
( b1 …bn )
1
m
n
1
r
的次[ 3 ] .
λ| A | m + μ| B | ≥ λ λ ai 且等号成立当且仅当 = , 即 A = B. μb i μ
m
|λ A +μ B|
m
1
第3期
王厂文 ,等 : 正定矩阵和的行列式不等式
m
・353 ・
1
p- 1 r
引理 5 当 r ≥n , 且 r 是有理数时 , 定理 1 结论 成立 . 证明 [ 6 ] 当 r = n 时已证 , 设 r = 为正整数且 ( p , q) = 1 , 则
m j =1
∑
| Aj + B j |
m
p n
1
p
≥
m
理3得 λ( A E) + μ( B E) = (λ (λ + μ ) E = A +μ B) ( Q′ E) [ (λ (λ + μ ) E] ( Q H 1 + μH 2 ) E) 其中 : Q 为 n ×n 阶可逆矩阵 ; E 为 ( m - n) ×( m - n) 阶单位矩阵 ; H1 , H2 同前 . 由于 | Q′ E | = | Q′ | =| Q|
r
而 λ| A |
m
1
= | λ( A | λ( Q′
m
= E) ( Q = λ| Q |
2
m
E) ( H1 | H1 |
m
E) |
2
m
1
=
m
(λ + μ )
r- n r
|λ A +μ B|
1
1
矩阵和行列式复习知识点(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】矩阵和行列式复习知识梳理9.1矩阵的概念： 矩阵：像[27]，[4202]，[945354]的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写字母A 、B 、C…表示三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵；① 矩阵行的个数在前。
② 矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。
行向量、列向量单位矩阵的定义：主对角线元素为1，其余元素均为0的矩阵 增广矩阵的含义及意义：在系数矩阵的右边添上线性方程组等号右边的值的矩阵。
通过矩阵变换，解决多元一次方程的解。
9.2矩阵的运算 【矩阵加法】不同阶的矩阵不可以相加；记11122122A A A A A =⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11122122B B B B B =⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=+2222212112121111B A B A B A B A B A ，【矩阵乘法】，[A 1A 2]×[A 1A 2]=11122122A B A B A B A B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=22221221212211212212121121121111B A B A B A B A B A B A B A B A AB 【矩阵的数乘】().ij kA Ak ka ==【矩阵变换】相似变换的变换矩阵特点：k [1001]等轴对称变换的变换矩阵：[−1001]、[100−1]、[0110]等旋转变换的变换矩阵：[0−110]等9.3二阶行列式【行列式】行列式是由解线性方程组产生的一种算式； 行列式是若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。
行列式行数、列数一定相等；矩阵行数、列数不一定相等。
二阶行列式的值a d D ac bd bc==-展开式ac - bd【二元线性方程组】 对于二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩，通过加减消元法转化为方程组xy D x D D y D ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩其中111111222222,,x y a b c b a c D D D a b c b a c ===方程的解为{A =A A A A =AAA用行列式来讨论二元一次方程组解的情况。
高考数学中的行列式解析技巧
高考数学中的行列式解析技巧在高考数学中，行列式是一个比较重要的概念。
它不仅在数学上有极大的用处，同时也广泛应用于物理、工程等领域。
在高考中，行列式的解析技巧是非常关键的。
本文将从理论与实践两方面来介绍高考数学中的行列式解析技巧。
一、行列式的定义与性质在数学中，一个n阶行列式是由n行n列的矩阵构成的，其中每一个元素都是实数或者复数。
通过对这些元素的排列和相乘，得到一个标量值。
行列式的定义可以用以下方式表达：左乘右减法则一个n阶行列式可以表示为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... &a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n}\\... & ... & ... & ... \\a_{n1} & a_{n2} & ...&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum\limits_{j_1,j_2,...j_n}(-1)^TA_{1j1}A_{2j2}...A_{njn}$$其中，$A_{ij}$表示将第i行第j列元素去掉后所剩的(n-1)阶行列式。
而上述式子中的$\sum\limits_{j_1,j_2,...j_n}$则表示对所有有序排列$j_1,j_2,...j_n$进行求和。
行列式还具有以下性质：（1）交换两行或列，行列式相反；（2）行列式中的一列(行)乘以k，等于在原行列式中的值乘以k；（3）行列式的某一列(行)可分解为两列(行)相加或相减。
以上仅仅是行列式定义与性质的基本介绍。
下面，我们将详细介绍高考数学中常用的行列式解析技巧。
二、数学上的行列式解析技巧（1）三阶行列式的计算对于3阶行列式A：$$A=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}$$其中的元素$a_{ij}$可以按任意一行(列)展开，得到：$$A=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22} & a_{23}\\a_{32} &a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21} & a_{23}\\a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21} &a_{22}\\a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}$$这一结论显然是成立的。
关于“矩阵的行列式不等式”的几点注记
关于“矩阵的行列式不等式”的几点注记摘要本文给出了实矩阵的若干行列式不等式的证明，并在复数域上针对正定矩阵建立了行列式不等式。
针对实矩阵，主要给出了五个命题阐述其行列式不等式，同时对有些命题作出了引申与进一步说明；针对复正定矩阵，给出了三个命题，在这三个命题的证明过程中用到了Schur定理和Holder不等式。
关键词实矩阵；复正定矩阵；行列式；不等式Several Notes for “Inequalities on the Determinant of Matrix”Abstract In this paper, several determinantal inequalities on real matrix are proved. As applications, some inequalities on determinants of positively definite matrices are established in complex number field. For the real matrix, five propositions are given to explain its determinantal inequalities, and some time, extensions and further states are made for some propositions. For the complex positively definite matrix, three propositions are given, in the process of the proof of the three propositions, the Schur theorem and Holder inequality are used.Key words real matrix; complex positively definite matrix; determinant; inequality目录1 引言与记号....................................................................... .. (1)2 实矩阵的若干行列式不等式及证明 (1)3 复数域中矩阵的若干行列式不等式 (5)4 结论（结束语） (9)5 参考文献 (9)6 致谢 (10)一 引言与记号复（实）矩阵是数学理论中的一个重要知识点，无论是对其应用上还是在进修考察中，都具有重要地位。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
关于“矩阵的行列式不等式”的几点注记摘要本文给出了实矩阵的若干行列式不等式的证明，并在复数域上针对正定矩阵建立了行列式不等式。
针对实矩阵，主要给出了五个命题阐述其行列式不等式，同时对有些命题作出了引申与进一步说明；针对复正定矩阵，给出了三个命题，在这三个命题的证明过程中用到了Schur定理和Holder不等式。
关键词实矩阵；复正定矩阵；行列式；不等式Several Notes for “Inequalities on the Determinant of Matrix”Abstract In this paper, several determinantal inequalities on real matrix are proved. As applications, some inequalities on determinants of positively definite matrices are established in complex number field. For the real matrix, five propositions are given to explain its determinantal inequalities, and some time, extensions and further states are made for some propositions. For the complex positively definite matrix, three propositions are given, in the process of the proof of the three propositions, the Schur theorem and Holder inequality are used.Key words real matrix; complex positively definite matrix; determinant; inequality目录1 引言与记号....................................................................... .. (1)2 实矩阵的若干行列式不等式及证明 (1)3 复数域中矩阵的若干行列式不等式 (5)4 结论（结束语） (9)5 参考文献 (9)6 致谢 (10)一 引言与记号复（实）矩阵是数学理论中的一个重要知识点，无论是对其应用上还是在进修考察中，都具有重要地位。
而矩阵的行列式、矩阵的行列式不等式是矩阵理论的基础知识。
基于此文中给出了实矩阵的若干行列式不等式，并在复数域上针对正定矩阵建立了行列式不等式。
关于文中的符号，矩阵M 的转置记为'M ；方阵M 的共轭转置记为'M ；方阵M 的行列式记为M 或M det ，其模记为M det ；()M t j 表示矩阵M 的特征值。
二 实矩阵的若干行列式不等式及证明命题1 对于实数域上的n n ⨯阶矩阵P 、Q ，若他们是正定矩阵，则Q P Q P +≥+.为了方便证明命题1，我们先证明命题（*）：在实数域上，对于n n ⨯阶矩阵M 、N ，若M 是正定矩阵，N 是对称矩阵，则存在可逆矩阵T ，满足()T N M T +'是对角阵。
证明 由M 的正定性知，M 与单位矩阵E 合同，则有MA A E '= （1） 成立，这里A 是实可逆矩阵。
又由于N 是对称矩阵，则NA A '是对称阵。
从而存在正交矩阵B ，满足()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=''n t t t B NA A B 21 （2） 这里i t 是NA A '的特征值，n i ,,2,1 =. 下令AB T =，则有()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=+'n t t t T N M T 11121 （3） 证毕。
下面证明命题1：证明 根据（3）式可知，在实数域上存在可逆矩阵T ，满足()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=+'n t t t T Q P T 11121 ， 这里i t 是Q P +的特征值，且0>i t ，n i ,,2,1 =.则()()()n t t t T Q P +++=+111212由命题（*）的（1）式知 12=A P 由命题（*）的（2）式知 n t t t A Q 212= 又因为AB T =,B 是正交矩阵，所以1±=B ,且2222A B A T==由Q 的正定性知，QA A '正定；又因为0>i t ，那么()()()n t t t A Q P +++=+111212n t t t 211+≥ （4） 而 []n t t t A Q P 2121+=+ （5） 结合（4）（5）两式，得Q P Q P +≥+例1 在实数域上，对于n n ⨯阶矩阵P 、Q ，如果P 是正定矩阵，Q 是半正定矩阵，则P Q P ≥+当且仅当0=Q 时取等。
证明 由题设可知Q P +正定，()P Q P -+半正定，P 正定，则根据命题1可知P Q P ≥+.)i 当0=Q 时，P Q P =+;)ii 当0≠Q 时，Q 的秩不小于1，而P 是正定矩阵，那么，存在实可逆矩阵T ，满足PT T E '= （6） ()QT T E T Q P T '+=+' （7） 记QT T A '=,则秩1≥A .记A 的特征值为n t t t ,,,21 ，因为A 的秩不小于1，QT T A '=是半正定矩阵，则至少存在一个0>i t ，n i ,,2,1 =.事实上可设01>t ，则n t t t +++1,,1,121 为E A +的特征值，且111>+t ， 由（7）有()()21211't t E A Q P T T Q P T ++=+=+=+…()n t +1所以21TQ P >+,结合（6）有21TP =,则P Q P >+,综上)i 、)ii ，得证。
例2 对于半正定矩阵M ，若0≠M ，证明：1>+E M . 证明 令E P =、M Q =，则根据例1即有1>+E M 成立。
命题2 若()n n ij t T ⨯=是正定矩阵，则nn t t t T 2211≤. 证明 记⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-nn n n n n n t t t t t t t t t T 2122221112111由矩阵T 的正定性知，1-n T 正定，且0>ii t ，n i ,,2,1 =. 所以nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t T 1,211,12,11,11,222211,112111,21,11,12,21,121,2222111,112110000---------------+=11--=≤n nn n nn T t T t .同理可证1,121----≤n n n n t T T ； 依次进行下去，可得nn t t t T 2211≤. 根据命题2可推出下面的一个命题：命题'2 设n εεε,,,21 是n n ⨯阶方阵T表示列向量i ε的长度，则有=≤ni T 1成立。
注：在实数域上，命题'2的所有平行六面体，体积最大的是长方形。
命题3 若()n n ij t T ⨯=是n 阶实矩阵,且T 的元素ij t 满足λ<ij t （λ是常数），n j i ,,2,1, =.则2det nnn T λ≤.证明 根据题设条件可知T T '是半正定矩阵，而⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=222212222222************'nn nn nn t t t t t t t t t T T（8） 结合命题2可知（8）式中()()()222212222222121212211nn n n n n t t t t t t t t t T T +++++++++≤'n n n n n n 2222λλλλ=⋅≤所以 2det nnn T λ≤. 故得证。
注：该命题中的不等式称为Hadamard 不等式。
命题4 在实数域上，记n n ⨯阶矩阵T 为()n T εεε,,,21⋅⋅⋅=，n εεε,,,21⋅⋅⋅为n 维单位向量，则有1det ≤T 成立，当n εεε,,,21⋅⋅⋅两两正交时取等。
证明 )i 由题设可知，T T '是半正定矩阵，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n n n n T T T εεααεεεεεεεεεεεεεεεεεε''''''''''''1212221212111 这里()121,,,-=n n n nεεεεα . 所以ααεα'-='='11T T T n （9）T α21≤-=则1=≤'T T ，故12≤T ，从而11≤≤-T ，所以1det ≤T . )ii 一方面，当1det =T 时，有1=T 或1-=T .又T T '是半正定矩阵，则TT '是正定矩阵，结合（9）式知 0='αα. 所以()0,=n i εε，1,,2,1-=n i . 根据T T '的正定性可知，T T '的各阶顺序主子式大于零，则()0,=j i εε，j i ≠.故n εεε,,,21⋅⋅⋅两两正交时取等。
另一方面，n εεε,,,21⋅⋅⋅两两正交时，1=='E T T ,则12=T,从而1det =T .命题5 在实数域上，对于n n ⨯阶的正定矩阵P 、Q ，有()λλλλ-≥-+11QP Q P成立，这里[]1,0∈λ.证明 欲证 ()λλλλ-≥-+11QP Q P即证 ()[]λλλλ--≥-+111QP E P Q Q 只需证 ()λλλλ--≥-+111QP E P Q Q只需证 ()λλλλ111--≥-+QP E P Q由Q 的正定性知，1-Q 正定，而P Q 1-的特征值i t 全部大于零，而对于方阵，其行列式与其特征值之和相等，可知()()λλλλ-+∏=-+=-1111i ni t E P Qλλλλi ni t P Q QP 111=--∏==对于每一个固定的i ，当[]1,0∈t 时，有λλλi i t t ≥-+1，则()λλλi ni i n i t t 111==∏≥-+∏，从而()λλλλ111--≥-+Q P E P Q ,综上，得证。