微积分定理归纳.doc
第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有 f(x) ≥则K1函数 f(x)在定义域上有下界， K1 为下界；如果有 f(x) ≤，K2则有上界， K2 称为上界。
函数 f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理 (极限的唯一性 )数列 {xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理 (收敛数列的有界性 )如果数列 {xn}收敛，那么数列 {xn}一定有界。
如果数列 {xn}无界，那么数列 {xn}一定发散；但如果数列 {xn}有界，却不能断定数列 {xn}一定收敛，例如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理 (收敛数列与其子数列的关系 )如果数列 {xn}收敛于 a，那么它的任一子数列也收敛于 a.如果数列 {xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列 {xn}是发散的，如数列 1，-1，1，-1， (-1)n+1中子数列 {x2k-1}收敛于 1，{xnk}收敛于 - 1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中 0<|x-x0| 表示 x≠ x0，所以 x→ x0时 f(x)有没有极限与 f(x)在点 x0 有没有定义无关。
定理 (极限的局部保号性 )如果 lim(x →x0)时 f(x)=A，而且 A>0(或 A<0)，就存在着点那么 x0 的某一去心邻域，当 x 在该邻域内时就有 f(x)>0(或 f(x)>0)，反之也成立。
函数 f(x)当 x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即 f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则 limf(x)不存在。
一般的说，如果 lim(x →∞ )f(x)=c，则直线 y=c 是函数 y=f(x)的图形水平渐近线。
如果 lim(x →x0)f(x)= ，∞则直线 x=x0是函数 y=f(x)图形的铅直渐近线。
4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果 F1(x) ≥F2(x)，而 limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么 a≥b.5、极限存在准则两个重要极限lim(x→ 0)(sinx/x)=1；lim(x→∞ )(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列 {xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤ xn≤且zn limyn=a，limzn=a，那么 limxn=a，对于函数该准则也成立。
单调有界数列必有极限。
6、函数的连续性设函数 y=f(x)在点 x0 的某一邻域内有定义，如果函数 f(x) 当x→x0时的极限存在，且等于它在点 x0 处的函数值 f(x0)，即lim(x→ x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点 x0 处连续。
不连续情形：1、在点 x=x0 没有定义；2、虽在 x=x0 有定义但 lim(x→ x0)f(x)不存在；3、虽在 x=x0 有定义且 lim(x → x0)f(x)存在，但 lim(x → x0)f(x) ≠时f(x0)则称函数在 x0 处不连续或间断。
如果 x0 是函数 f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0 为函数f(x)的第一类间断点 (左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。
非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。
定理有限个在某点连续的函数的和、积、商 (分母不为 0)是个在该点连续的函数。
定理如果函数f(x)在区间 Ix 上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间 Iy={y|y=f(x) ，x∈Ix}上单调增加或减少且连续。
反三角函数在他们的定义域内都是连续的。
定理 (最大值最小值定理 )在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。
如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。
定理 (有界性定理 )在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即m≤ f(x) ≤定M理. (零点定理 )设函数 f(x)在闭区间 [a，b]上连续，且 f(a)与 f(b)异号(即 f(a) × f(b)<0)，那么在开区间 (a，b)内至少有函数 f(x)的一个零点，即至少有一点ξ(a<ξ<b）。
推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值 m 之间的任何值。
第二章导数与微分1、导数存在的充分必要条件函数 f(x)在点 x0 处可导的充分必要条件是在点 x0 处的左极限 lim(h →-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h 及右极限 lim(h → +0)[f(x0+h)-f(x0)]/h 都存在且相等，即左导数 f-′(x0)右导数 f+ ′(x0)存在相等。
2、函数 f(x)在点 x0 处可导 =>函数在该点处连续；函数f(x)在点 x0 处连续≠>在该点可导。
即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。
3、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。
4、函数 f(x)在点 x0 处可微 =>函数在该点处可导；函数 f(x)在点 x0 处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。
第三章中值定理与导数的应用1、定理 (罗尔定理 )如果函数 f(x)在闭区间 [a，b] 上连续，在开区间 (a，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即 f(a)=f(b)，那么在开区间 (a，b)内至少有一点ξ(a<ξ<b），使的函数 f （x）在该点的导数等于零：f’（ξ）=0.2、定理 (拉格朗日中值定理 )如果函数 f(x)在闭区间 [a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么在开区间 (a，b)内至少有一点ξ(a<ξ<b），使的等式 f（b）-f（ a）=f ’ξ）（（ b-a）成立即 f ’（ξ）= [f（b）-f（a）]/ （b-a）。
3、定理(柯西中值定理)如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且F’(x)在(a，b)内的每一点处均不为零，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ，使的等式 [f(b)-f(a)]/[F(b)- F(a)]=f ’( ξ))/F成立’。
(ξ4、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、∞ / ∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等形式。
5、函数单调性的判定法设函数f(x)在闭区间 [a，b]上连续，在开区间 (a，b) 内可导，那么：(1)如果在 (a，b)内 f ’ (x)>0，那么函数 f(x)在[a，b]上单调增加；(2)如果在 (a，b)内 f ’ (x)<0，那么函数 f(x)在[a，b]上单调减少。
如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程f ’(x)=0的根及f ’(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，就能保证f ’(x)在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f(x)在每个部分区间上单调。
6、函数的极值如果函数 f(x)在区间 (a，b)内有定义， x0 是(a，b)内的一个点，如果存在着点 x0 的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点 x，f(x)f(x0)均成立，就称 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值。
在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻点 (导数为 0 的点)，但函数的驻点却不一定是极值点。
定理 (函数取得极值的必要条件 )设函数 f(x)在 x0 处可导，且在 x0 处取得极值，那么函数在 x0 的导数为零，即 f ’(x0)=0.定理 (函数取得极值的第一种充分条件)设函数 f(x)在 x0 一个邻域内可导，且 f ’(x0)=0，那么：(1)如果当 x 取 x0 左侧临近的值时， f ’恒(x)为正；当 x 去 x0 右侧临近的值时， f ’(x)恒为负，那么函数 f(x)在 x0 处取得极大值；(2)如果当 x 取 x0 左侧临近的值时， f ’恒(x)为负；当 x 去 x0 右侧临近的值时， f ’(x)恒为正，那么函数 f(x)在 x0 处取得极小值；(3)如果当 x 取 x0 左右两侧临近的值时， f ’恒(x)为正或恒为负，那么函数 f(x) 在 x0 处没有极值。
定理 (函数取得极值的第二种充分条件 )设函数 f(x)在 x0 处具有二阶导数且f ’ (x0)=0，f ’’ (x0)那么≠0：(1)当 f ’’ (x0)时，函数<0 f(x)在 x0 处取得极大值；(2)当 f ’’ (x0)时，函数>0 f(x)在 x0 处取得极小值；驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。
7、函数的凹凸性及其判定设 f(x)在区间 Ix 上连续，如果对任意两点 x1，x2恒有 f[(x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x1)]/2 ，那么称 f(x)在区间 Ix 上图形是凹的；如果恒有f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2 ，那么称 f(x)在区间 Ix 上图形是凸的。
定理设函数 f(x)在闭区间 [a，b]上连续，在开区间 (a，b)内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在 (a，b)内 f ’’ (x)>0，则 f(x)在闭区间 [a，b]上的图形是凹的；(2)若在 (a，b)内 f ’’ (x)<0，则 f(x)在闭区间 [a，b]上的图形是凸的。
判断曲线拐点 (凹凸分界点 )的步骤(1)求出 f ’’；(x)(2)令 f ’’ (x)=0，解出这方程在区间 (a，b)内的实根；(3)对于(2)中解出的每一个实根x0，检查 f ’’在(x)0 左右两侧邻近的符号，如果f’’在(x)0 左右两侧邻近分别保持一定的符号，那么当两侧的符号相反时，点(x0，f(x0))是拐点，当两侧的符号相同时，点(x0，f(x0))不是拐点。
在做函数图形的时候，如果函数有间断点或导数不存在的点，这些点也要作为分点。
第四章不定积分1、原函数存在定理如果函数 f(x)在区间 I 上连续，那么在区间 I 上存在可导函数 F(x)，使对任一 x∈I 都有 F’(x)=f(x)；简单的说连续函数一定有原函数。
分部积分发如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为 u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。
微积分定理归纳
第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。
定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。
函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。
一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。
如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。
4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sin x/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。
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第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x) 2则K1函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)W, K2则有上界，K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列｛xn｝不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列｛xn｝收敛，那么数列｛xn｝—定有界。
如果数列｛xn｝无界，那么数列｛xn｝—定发散；但如果数列｛xn｝有界，却不能断定数列｛xn｝—定收敛，例如数列1, -1, 1, -1, (-l)n+l该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列｛xn｝收敛于a,那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列｛xn｝有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列｛xn｝是发散的，如数列1,-1, 1,-1, (-l)n+l中子数列｛x2k-l｝收敛于1, ｛xnk｝收敛于-1, ｛xn｝却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中0<lx-x0l表示xH xO,所以x—xO时f(x)有没有极限与f(x)在点xO有没有定义无关。
定理(极限的局部保号性)如果lim(x ->x0)时f(x)=A,而且A>0(或A<0),就存在着点那么xO的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0),反之也成立。
函数f(x)当x-*xO时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(xO-O)=f(xO+O),若不相等则limf(x)不存在。
一般的说，如果lim(x —00 )f(x)=c,则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。
如果lim(x -*xO)f(x)= ,00则直线x=xO是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。
4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果Fl(x)2F2(x),而limF 1 (x)=a, limF2(x)=b,那么a2b.5、极限存在准则两个重要极限lim(x f O)(sinx/x)=l ；lim(x -*00 )(l + l/x)x=1.夹逼准则如果数列｛xn｝、｛yn｝、｛zn｝满足下列条件：ynW xnW且znlimyn=a, limzn=a,那么limxn=a,对于函数该准则也成立。
微积分学基本定理
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是时
间间隔[T1 ,T2 ]上t 的一个连续函数，且v(t ) 0 ，
求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T2 v(t )dt
T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
F (b)
F (a)
F ( x)ba
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a ) 仍成立.
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2 x
解 当 x 0时，1 的一个原函数是ln | x |,
x
1
2
1dx x
ln |
x
|
1 2
ln1 ln 2 ln 2.
例 4 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
计算: (1)
21 dx;
1x
3
1
(2) 1 (2x x2 )dx
(3)0 sin xdx;
2
(4) sin xdx;
2
(5)0 sin xdx;
例1
求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
微积分公式定理整理
微分积分公式整理一、导数1. 基本导数公式（1）()0='C （2）()1-='μμμx x（3）()x cos x sin =' （4）()x sin x cos -=' （5）()x sec x tan 2=' （6）()x csc x cot 2-=' （7）()x tan x sec x sec ⋅=' （8）()x cot x csc x csc ⋅-='（9）()x x e e =' （10）()a ln a a x x ='（11）()xx ln 1=' （12）()aln x x log a1=' （13）()211x x arcsin -=' （14）()211x x arccos --='（15）()211x x arctan +=' （16）()211x xcot arc +-='2. 导数的四则运算法则（1）()v u v u '±'=± （2）()v u v u uv '+'='（3）2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛ 3. 常用等价无穷小代换： 当x →0时，xx sin →xx tan →xx arcsin →xx arctan →2211xx cos →- a ln x a x →-1 x e x →-1()x x ln →+1()abxbx a →+-11()nx x n1111→-+()a ln x x log a →+1 4. 高阶导数公式（1）()()[]()()()()()n n n x v x u x v x u ±=± （2）()[]()()x cu x cu n n = （3）()[]()()()b ax u a b ax u n n n +=+（4）莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑5.基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!x x n n= （2）()()bax n n bax ea e ++⋅= （3）()()a ln a a n x n x=（4）()[]()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++=+2x n b ax sin a b ax sin n n （5）()[]()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++=+2x n b ax cos a b ax cos n n （6）()()()111++⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n nn b ax !n a b ax（7）()[]()()()()nn n n b ax !n a b ax ln +-⋅-=+-1116. 中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
微积分学基本定理
x ln x ln a
x
(8) sin xdx cos x C (9) cos xdx sin x C
计算不定积分:
(1) ( x 3)( x 2)dx;
(2)
( x 1)( x 2)dx; x
(3)
cos 2x dx cos x sin x
b a
f
( x)dx
F ( x) |ba
F (b)
F (a)
计算定积分的方法:
b
f ( x)dx
a
(1)定 义 法
( 2)面 积 法(曲 边 梯 形 面 积)
(3)公式法(微积分基本定理)F / ( x) f ( x)
b a
f
( x)dx
F ( x) |ba
F (b)
例1:计算由曲线y2=x,y=x2所围图形 的面积S
例2:计算由直线y=x-4,曲线 y 2 x
以及x轴所围图形的面积S.
作业:P67A#1(注意画图)
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智,或者仅存最高等级の六品妖智,全部双眼血红,丧失了理智,只是知道将眼前の人类撕成碎片.十万白家军更是全部精锐,在刀山火海中走出来の强者,悍不畏死. 战争没有丝毫の情面可讲,不是你呀死就是俺亡,无比惨烈,漫山遍野都是鲜血,都是残尸,天空更是一片腥风血雨.炽火城外,处处 是战场,神力在四面八方飙射,无比灿烂. 白重炙神识扫了一下,放心下来,这十万白家军估计是雷震这数百年时候召集の,白重炙不清楚战力如何.此刻交战已经不咋大的半个时辰了,但是死伤却并不多,妖智已经被斩杀了数十万万,却只是死伤了数百人,并且还是受伤居多.彻底放心下来,和妖 姬两人化作道道残影,专对六品妖智下手.这漫山遍野の妖智虽然多,但
微积分基本定理
§3微积分基本定理()baf x dx ⎰＝()ba f t dt ⎰． [,]x ab ∀∈．()()x aF x f t dt =⎰．在[,]a b 有定义．定理1 若[,]f R a b ∈，()()xaF x f t dt =⎰，则（１） ()F x 是[,]a b 上的连续函数．（２） 若()f x 在[,]a b 上连续，则()F x 是[,]a b 上可微，且()()F x f x '=． 证明：（１）0[,]x a b ∀∈，00()()()()()xx xaax F x F x f t dt f t dt f t dt -=-=⎰⎰⎰．[,]m M η∃∈．00()()()0F x F x x x η-=-→．（２）00()()()()F x F x f x x ξ-=-．00000()()limlim ()()x x x F x F x f f x x x ξξ→→-==-． 推论 ()()()()()(())()(())()x x F x f t dt f x x f x x ϕψϕϕψψ''''==-⎰．证明：设()()uaG u f t dt =⎰．()(())()x aG x f t dt ϕϕ=⎰．()(())()x aG x f t dt ψψ=⎰． ()()G u f u '=．((()))(())()G x G x x ϕϕϕ'''=． ()()()()()x x aaF x f t dt f t dt ϕψ=-⎰⎰．例１：232002sin 2limlim 33x x x x x x x ++→→==⎰． ()f x 的积分上限给出()f x 的一个原函数，即()()xaf x dx f t dt C =+⎰⎰()()xad f t dt f x dx =⎰ 若()()uaF u f t dt =⎰()u x ϕ=，则()(())()()[()]()x af t dt F u x f x x ϕϕϕϕ''''==⎰．同理，()()()[()]()[()]()x x d f t dt f x x f x x dxϕψϕϕψψ''=-⎰． 例：求极限2032000sin 22sin 2limlim lim 333x x x x x x x x x x +++→→→⋅===⎰． 二．微积分基本定理定理２ 设()f x 在[,]a b 上连续，()F x 是()f x 在[,]a b 上的一个原函数，则成立()()()()bba af x dx F b F a F x =-⎰．证明：()()xaf t dt F x c =+⎰，()0F a c +=．()()()xaf t dt F x F a ∴=-⎰． ()()()baf t dt F b F a ∴=-⎰．例２：111lim 122n n n n →∞⎛⎫+++⎪++⎝⎭1111111lim lim 121111nn x i n i n n n n n n→∞→∞=⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥=+++=⋅ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥++++ ⎪⎣⎦⎝⎭∑ 110011lim ()ln 1ln 21ni i x i f x dx x n ξ→∞==∆==+=+∑⎰． 例３：121limsin sin sinn n n n n n πππ→∞-⎛⎫+++ ⎪⎝⎭1lim ()ni i x i f x ξ→∞==∆∑1sin xdx =⎰11cos x ππ-=＝112πππ+=．三．定积分的计算１．第一类换元法：()()()(())()()u x bb aa f x x dx f u du ϕϕϕϕϕ='=⎰⎰(())()ba f x d x ϕϕ⎡⎤=⎣⎦⎰．例：cos cos cos 10sin cos ()xx x exdx e d x e e e πππ-=-=-=-⎰⎰．或cos 11111t xt te dt e e e =---=-=-=-⎰．２．第二类换元法：()()()()(())()x t baa bf x dx f t t dt ϕβαϕαϕβϕϕ==='=⎰⎰．例：2()11cos x xe x f x x-⎧≥⎪=⎨≤≤⎪+⎩ -1x 0 求：21()f x dx -⎰． 21()f x dx -⎰＝2021011cos x dx xe dx x -++⎰⎰＝20222101cos 1()1cos 2x x dx e d x x --+---⎰⎰ ＝2020111sin 2x ctgx e x --⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＝202101cos 1sin 2x x e x ----＝041sin 111cos 22x e x ---++＝41sin1(1)21cos1e --++． ３．分部积分法：()()()()()()bbba aau x v x dx u x v x v x u x dx ''=-⎰⎰．例：000sin (cos )cos sin x xdx x x xdx x ππππππ=-+=+=⎰⎰．４．利用函数的特殊性质计算积分： 定理３ ()[,]f x R a a ∈-， （１）若()f x 为偶函数，则有0()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰；（２）若()f x 为奇函数，则有()0aaf x dx -=⎰．证明：()()()aa aaf x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰00()()[()()]a aaf t dt f x dx f x f x dx =--+=-+⎰⎰⎰．例：222202(sin )(cos )(sin )()(sin )x t f x dx f x dx f x dt f x dx πππππ=-==-=⎰⎰⎰⎰．例：222000sin cos sin cos 2sin cos sin cos sin cos 2x x x x dx dx A A dx x x x x x x ππππ+==⇒==+++⎰⎰⎰．例：2sin n n xdx I π=⎰，121sin [(1)sin cos ]n n n n xdx I n I x x n--==--⎰ 2201n n n n I II nπ--== 2n ≥． 210sin 1I xdx π==⎰， 02I π=．01131(1)!!22!!2132(1)!!23!!n n n I n n n n n n I n n n π---⎧=⋅⋅⋅=⋅⎪⎪-⎨---⎪=⋅⋅⋅=⎪-⎩ n=偶数 n=奇数例：设21()xt f x e dt -=⎰不能用初等函数表示，221111110000011()()()(1)(1)0(1)22x x f x dx xf x xf x dx f xe dx f e e --'=-=-=+=+-⎰⎰⎰．定理４ ()f x 是以T 为周期的可积函数，则a ∀有0()()a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰．注：计算定积分应该注意的问题（1）换元时，上下限应改变．（2）第二类换元不必一一对应．（3）若积分函数积分区域不连续，应变形去掉不连续点．。
微积分学基本定理
x ln x x (7 ) log a xdx ln a (9) cos xdx sin x C
计算不定积分: (1) ( x 3)( x 2)dx; ( x 1)( x 2) ( 2) dx; x cos 2 x ( 3) dx cos x sin x
10
( 2) ( 2 x 1) dx;
3
( 3) sin 2 xdx (4) cos(3 x 1)dx (5) sin mxdx
2
例1:计算由曲线y2=x,y=x2所围图形 的面积S
例2:计算由直线y=x-4,曲线 y 以及x轴所围图形的面积S.
2x
作业:P67A#1(注意画图)
b
1 计算 : (1) dx; 1 x 3 1 ( 2) ( 2 x 2 )dx 1 x
2
( 3) sin xdx;
0
(4) sin xdx;
2
(5) sin xdx;
0
2
例1
求 ( 2 cos x sin x 解
原式 2 sin x cos x x 0
2
2 2 x 0 x 1 例2 设 f ( x ) , 求 0 f ( x )dx . 1 x 2 5
3 . 2
解
0
2
f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
1
2
y
在[1,2]上规定当x 1 时， f ( x ) 5 ,
解
面积 A sin xdx
0
y
cos x 2.
0
o
x
计算定积分的方法: f ( x )dx
微积分基本定理_Microsoft_Word_文档
1.6微积分基本定理一：教学目标； 知识与技能目标；通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分过程与方法；通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法情感态度与价值观；通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
二：教学重难点； ；重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
难点 了解微积分基本定理的含义三：教学过程；：1、复习：定积分的概念及用定义计算 2、引入新课我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。
我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T -而()()S t v t '=。
对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有()()()baf x d x F b F a =-⎰若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。
注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则()()()baf x dx F b F a =-⎰证明：因为()x Φ=()xaf t dt ⎰与()F x 都是()f x 的原函数，故；()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤） 其中C 为某一常数。
高等数学微积分公式定理整理
高等数学公式中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=---'=-)(F )()()()()()())(()()(ξξξ曲率：.1;0.)1(lim M s M M :.,13202aK a K y y ds d s K M M sK tg y dx y ds s =='+''==∆∆='∆'∆∆∆==''+=→∆的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。
：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：ααααα定积分的近似计算：⎰⎰⎰----+++++++++-≈++++-≈+++-≈ban n n ban n ba n y y y y y y y y nab x f y y y y n a b x f y y y nab x f )](4)(2)[(3)(])(21[)()()(1312420110110 抛物线法：梯形法：矩形法：定积分应用相关公式：⎰⎰--==⋅=⋅=bab a dt t f a b dxx f a b y k rmm k F Ap F sF W )(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin ududx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
微积分基本定理word版
1.6.1微积分基本定理教材分析本节内容选自数学选修2-2第一章第六节，是在学习了定积分的概念知识后，对求解定积分值的再学习，可以看作是对前面学习过的内容的应用，要求用牛顿莱布尼茨公式求解定积分的值.此外，本节又是定积分应用的起始课，对后续内容的学习起着奠基的作用，本课题的重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分，难点是微积分基本定理的含义及其应用．通过探究公式的由来过程，可以很好地培养学生分析问题、解决问题的能力，要求学生有意识地运用特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想，在解决新问题的过程中，又要自觉的运用化归与转化思想，体现解决数学问题的一般思路与方法.课时分配本节内容用2课时的时间完成，本节课为第一课时主要讲解牛顿莱布尼茨公式的证明及运用公式解决简单的求解定积分的问题.教学目标重点: 微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 难点：微积分基本定理的含义及其应用． 知识点：牛顿---莱布尼茨公式.能力点：如何探寻牛顿---莱布尼茨公式的证明思路，数形结合的数学思想的运用.教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情. 自主探究点：如何运用变速直线运动物体的速度与位移的关系推导出牛顿---莱布尼茨公式. 考试点：通过变速运动的速度与位移间的关系探寻牛顿---莱布尼茨公式、用公式求定积分问题. 易错易混点：当定积分的被积函数较复杂在计算时学生容易在“符号”上出问题. 拓展点：在求解复合函数在给定区间上的积分值时有哪些技巧可寻.教具准备 多媒体课件 课堂模式 学案导学 一、引入新课前面，我们已经学习了微积分学中两个最基本和最重要的概念——导数和定积分，那么这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们可以直接利用定积分的定义来计算130x dx ⎰的值，我们通过分割、近似代替、求和、取极限的“四步曲”来计算此定积分的值，但是过程却比较麻烦.而对于有些定积分，例如211dx x⎰，当我们再用定义去求解时，会出现什么情况呢？21111111lim lim n nn n i i dx =n i x n n in→∞→∞===⋅++∑∑⎰那么该和式的极限值是多少呢？我们可以借助于定积分的几何意义来看一下：由定积分的几何意义结合图像可知该定积分的值不为零，那么该如何计算该定积分的值呢？有没有比定义更简洁、有效的方法求定积分呢？接下来我们就从导数与定积分的内在联系出发去探寻一种求解定积分的值的更简洁有效的方法. 【设计说明】在计算定积分211dx x⎰的值时，让学生自己先按照定义去求，让学生回顾一下定积分的定义及前面所学过的“四步曲”.【设计意图】通过以上应用定义求解定积分的过程出现定义法失效的情况，激发学生去探寻其他的求解定积分的方法.二、探究新知探究：如下图所示，一个做变速直线运动的物体的运动规律是()s s t =，并且()s t 有连续的导数.由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度'()()v t s t =.设这个物体在时间段[,]a b 内的位移为s ，你能分别用(),()s t v t 表示s 吗？α显然，物体的位移s 是函数()s s t =在t b =处与t a =处的函数值之差，即()()S s b s a =-.①另一方面，我们还可以利用定积分，由()v t 求位移s .用分点011i i n a t t t t t b -=<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间：011211[,],[,],,[,],,[,],i i n n t t t t t t t t --每个小区间的长度均为：1i i b at t t n--∆=-=.当t ∆很小时，在1[,]i i t t -上()v t 的变化很小，可以认为物体近似的以速度1()i v t -做匀速运动，物体所做的位移为：''111()()().i i i i i b a S h v t t s t t s t n----∆≈=∆=∆=② 由几何意义上看（如上右图），设曲线()s s t =上与1i t -对应的点为P ，PD 是P 点处的切线，由导数的几何意义知，切线PD 的斜率等于'1()i s t -，于是：'1tan ()i i i s h DPC t s t t -∆≈=∠⋅∆=⋅∆.结合上图，可得物体总位移：'111111()()nnnni i i i i i i i s s h v t t y t t --=====∆≈=∆=⋅∆∑∑∑∑.可以发现，n 越大，即t ∆越小，区间[,]a b 的分割就越细，'1111()()nni i i i v tt y t t --==∆=⋅∆∑∑与s 的近似程度就越好，并且当n →∞时两者之差趋向于0.由定积分的定义有：''1111lim ()lim ()()()nn b b i i a a n n i i b a b a S v t y t v t dt y t dt n n --→∞→∞==--====∑∑⎰⎰. 结合①有：'()()()()bbaaS v t dt y t dt y b y a ===-⎰⎰.上式表明，如果做变速直线运动的物体的运动规律是()s s t =，那么'()()v t s t =在区间[,]a b 上的定积分就是物体的位移()()y b y a -.一般地，如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰.这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿---莱布尼茨公式. 为了方便，我们常常把()()F b F a -记成()ba F x ，即()()()()bba af x dx F x F b F a ==-⎰.微积分基本定理表明，计算定积分()baf x dx ⎰的关键是找到满足'()()F x f x =的函数()F x .通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数四则运算法则从反方向上求出()F x .【设计意图】给学生充分的感性材料,揭示公式的发现过程, 通过学生发现若干特例的共性, 培养学生归纳、概括、提出数学问题的能力（一般性探究）．避免直接将公式抛给学生．三、理解新知分析公式()()()()bba af x dx F x F b F a ==-⎰的结构特点，得到：求解定积分的关键是找到被积函数的一个原函数．【设计意图】为准确地运用新知，作必要的铺垫.四、运用新知例1．计算下列定积分：（1）211dx x ⎰； （2）3211(2)x dx x -⎰. 解：（1）因为'1(ln )x x=，所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x==-=⎰.（2））因为2''211()2,()x x x x==-，所以3332211111(2)2x dx xdx dxxx -=-⎰⎰⎰233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=. 【设计意图】本例为课本上两个例题，属于公式的简单应用，让学生感受一下牛顿---莱布尼茨公式在求解定积分时的应用. 【变式练习】计算：（1）54xdx ⎰，（2）520(2)x x dx -⎰，（3）21(1)x dx -⎰，（4）321(321)x x dx --+⎰，（5）211()x dx x -⎰，（6）2211dx x⎰. 【设计意图】给学生留有充分的练习时间，让学生亲自体会牛顿---莱布尼茨公式在求解定积分时的应用.例2．计算下列定积分：220sin ,sin ,sin xdx xdx xdx ππππ⎰⎰⎰.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论. 解：因为'(cos )sin x x -=， 所以00sin (cos )|(cos )(cos 0)2xdx x πππ=-=---=⎰，22sin (cos )|(cos 2)(cos )2xdx x ππππππ=-=---=-⎰， 22sin (cos )|(cos 2)(cos 0)0xdx x πππ=-=---=⎰.可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0: ( l ）当对应的曲边梯形位于x 轴上方时（图1.6-3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；图1 . 6 - 3（2）当对应的曲边梯形位于x 轴下方时（图 1 . 6 - 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；图1 . 6 -4 图1 . 6 -5 ( 3）当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1 . 6 - 5 ) ，且等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积．【设计意图】本例可以作为当被积函数是三角函数时求解定积分的一种技巧，可让学生从定积分的几何意义的角度去求解定积分的值. 【变式练习】计算：（1）cos xdx π⎰，（2）0sin xdx π-⎰，（3）30sin xdx π⎰.【设计意图】考查学生用定积分的几何意义求解定积分的值.例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车.设汽车以等减速度21.8/a m s =刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间.当0t =时，汽车速度032100032//8.88/3600v km h m s m s ⨯==≈,刹车后汽车减速行驶,其速度为0(t)=t=8.88-1.8t v v a -当汽车停住时,速度(t)=0v ,故从(t)=8.88-1.8t=0v 解得8.88t= 4.931.8≈秒于是在这段时间内,汽车所走过的距离是4.934.93(t)(8.88 1.8t)s v dt dt ==-⎰⎰= 4.93201(8.88 1.8t )21.902-⨯≈米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.【设计意图】定积分的简单实际应用，也是对微积分基本定理的应用.五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？ 学生作答：1．知识：()()()()bba af x dx F x F b F a ==-⎰．2．思想：数形结合的思想、特殊与一般的思想．教师总结: 本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果． 【设计意图】加强对学生学习方法的指导，做到“授人以渔”．六、布置作业1．阅读教材P51—54； 2.书面作业必做题：P55 习题1.6 A 组 1 B 组1，2 选做题：1、求函数0()(4)xF x t t dt =-⎰在[1,5]-上的最大值与最小值.2、 计算221x x dx --⎰.课外思考：求由抛物线24y ax =与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值.【设计意图】设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够运用牛顿---莱布尼茨公式，解决简单的数学问题；课外思考的安排，是让学生理解公式的应用，从而让学生深刻地体会到微积分基本定理的主线作用，培养学生用整体的观点看问题，起到承上启下的作用．七、教后反思1.本教案的亮点是变式训练.在例1的教学中，让学生大量的练习，巩固公式．例2则为利用定积分的几何意义求解定积分的值，既注重了与原问题的联系，又在不知不觉中提高了难度，提高了学生的解题能力．2.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在公式的证明思路的探寻上下足功夫.3.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，并给予针对性地诊断与分析.八、板书设计（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。