abaqus中的动态分析方法

ABAQUS

线性动态分析

如果你只对结构承受载荷后的长期响应感兴趣，静力分析（static analysis）是足够的。然而，如果加载时间很短（例如在地震中）或者如果载荷在性质上是动态的（例如来自旋转机械的荷载），你就必须采用动态分析（dynamic analysis）。本章将讨论应用ABAQUS/Standard进行线性动态分析；关于应用ABAQUS/Explicit进行非线性动态分析的讨论，请参阅第9章“非线性显式动态分析”。

7.1 引言

动态模拟是将惯性力包含在动力学平衡方程中：

+P

u

M&&

I

-

=

其中

M结构的质量。

u&&结构的加速度。

I在结构中的内力。

P 所施加的外力。

在上面公式中的表述是牛顿第二运动定律（F = ma）。

在静态和动态分析之间最主要的区别是在平衡方程中包含了惯性力（M u&&）。在两类模拟之间的另一个区别在于内力I的定义。在静态分析中，内力仅由结构的变形引起；而在动态分析中，内力包括源于运动（例如阻尼）和结构的变形的贡献。

7.1.1 固有频率和模态

最简单的动态问题是在弹簧上的质量自由振动，如图7-1所示。

图7–1 质量－弹簧系统

在弹簧中的内力给出为ku ，所以它的动态运动方程为

mu ku P &&+-=0 这个质量－弹簧系统的固有频率（natral frequency ）（单位是弧度/秒（rad/s ））给出为 k m

ω= 如果质量块被移动后再释放，它将以这个频率振动。若以此频率施加一个动态外力，位移的幅度将剧烈增加，这种现象即所谓的共振。

实际结构具有大量的固有频率。因此在设计结构时，非常重要的是避免使可能的载荷频率过分接近于固有频率。通过考虑非加载结构（在动平衡方程中令0P =）的动态响应可以确定固有频率。则运动方程变为

Mu I &&+=0 对于无阻尼系统，I Ku =，因此有

Mu Ku &&+=0 这个方程的解具有形式为

t i e u ωφ=

将此式代入运动方程，得到了特征值（eigenvalue ）问题

K M φλφ=

其中2λω=。 该系统具有n 个特征值，其中n 是在有限元模型中的自由度数目。记j λ是第j 个

特征值；它的平方根j ω是结构的第j 阶模态的固有频率（natural frequency ），而j φ是相应的第j 阶特征向量（eigenvector ）。特征向量也就是所谓的模态（mode shape ）（也称为振型），因为它是结构以第j 阶模态振动的变形形状。

在ABAQUS/Standard 中，应用频率的提取过程确定结构的振型和频率。这个过程应用起来十分容易，你只要指出所需要的振型数目或所关心的最高频率即可。

7.1.2 振型叠加

在线性问题中，可以应用结构的固有频率和振型来定性它在载荷作用下的动态响应。采用振型叠加（modal superposition ）技术，通过结构的振型组合可以计算结构的变形，每一阶模态乘以一个标量因子。在模型中的位移矢量u 定义为

∑∞==1i i

i u φα

其中i α是振型i φ的标量因子。这一技术仅在模拟小变形、线弹性材料和无接触条件的情况下是有效的，换句话说，即线性问题。

在结构的动力学问题中，结构的响应往往被相对较少的几阶振型控制，在计算这类系统的响应时，应用振型叠加成为特别有效的方法。考虑一个含有10,000个自由度的模型，对动态运动方程的直接积分将在每个时间点上同时需要联立求解10,000个方程。如果通过100个振型来描述结构的响应，则在每个时间增量步上只需求解100个方程。更重要的是，振型方程是解耦的，而原来的运动方程是耦合的。在计算振型和频率的过程中，开始时需要一点成本，但是，在计算响应时将会节省大量的计算花费。

如果在模拟中存在非线性，在分析中固有频率会发生明显的变化，因此振型叠加法将不再适用。在这种情况下，只能要求对动力平衡方程直接积分，它所花费的时间比振型分析昂贵得多。

必须具备下列特点的问题才适合于进行线性瞬态动力分析：

•

系统应该是线性的：线性材料行为，无接触条件，以及没有非线性几何效应。 • 响应应该只受相对少数的频率支配。当在响应中频率的成分增加时，诸如是打击和

碰撞的问题，振型叠加技术的效率将会降低。

•

载荷的主要频率应该在所提取的频率范围之内，以确保对载荷的描述足够精确。 •

应用特征模态，应该精确地描述由于任何突然加载所产生的初始加速度。 • 系统的阻尼不能过大。

7.2 阻尼

如果允许一个无阻尼结构做自由振动，则它的振幅会是一个常数。然而在实际中，能量被结构的运动耗散，振动的幅度减小直至振动停止。这种能量耗散被称为阻尼（damping ）。通常假定阻尼为粘滞的，或者正比于速度。包含阻尼的动力平衡方程可以重新写为

Mu I P I Ku Cu &&&+-==+0 其中

C 是结构的阻尼矩阵

&u 是结构的速度。

能量耗散来自于诸多因素，其中包括结构连接处的摩擦和局部材料的迟滞效应。阻尼是一种很方便的方法，它包含了重要的能量吸收而又无需模拟具体的效果。

在ABAQUS/Standard 中，特征模态的计算是关于无阻尼系统的。然而，大多数工程问题都包含某种阻尼，尽管阻尼可能很小。对于每个模态，在有阻尼和无阻尼的固有频率之间的关系是

ωωξd =-12

其中 d ω

是阻尼特征值， 0c c =

ξ 是临界阻尼比， c

是该振型的阻尼， 0c 是临界阻尼。