凸集和凸函数和凸规划-完整ppt课件
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1-2凸集与凸函数
值.
所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点的线段
总是位于曲线弧的上方．
2020/3/1
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凸函数的性质
(1)设 f x 是凸集 D Rn 上的凸函数,实数 k 0 ,则 kf x 也
是 D 上的凸函数.
(2)设 f1 x , f2 x 是凸集 D Rn 上的凸函数,实数 , 0 , 则 f1 x f2 x 也是 D 上的凸函数.
则称 f x 为凸集 D 上的凸函数。
定义1.5 严格凸函数
注:将上述定义中的不等式反向,可以得到凹函数的定义。
例: 设 f x x 12 ,试证明 f x 在 , 上是严格凸
函数.
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9
证明: 设 x, y R ,且 x y, 0,1 ,都有
a2
不等式要取等号，必须 y z a ,
且 y, z y z , 容易证明 y z x ,
根据定义可知 x 为极点．
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8
三、凸函数
定义 1.4: 设函数 f x 定义在凸集 D Rn 上,若对任意的
x, y D, 0,1,都有:
f x 1 y f x 1 f y,
元函数 t 在0,1 上为凸函数. (2) 设 x, y D, x y , 若 t 在 0,1 上 为 严 格 凸 函 数 , 则 f x 在 D 上为严格凸函数.
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该定理的几何意义是：凸函数上任意两点 之间的部分是一段向下凸的弧.
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L
x2 xn
所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点的线段
总是位于曲线弧的上方．
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凸函数的性质
(1)设 f x 是凸集 D Rn 上的凸函数,实数 k 0 ,则 kf x 也
是 D 上的凸函数.
(2)设 f1 x , f2 x 是凸集 D Rn 上的凸函数,实数 , 0 , 则 f1 x f2 x 也是 D 上的凸函数.
则称 f x 为凸集 D 上的凸函数。
定义1.5 严格凸函数
注:将上述定义中的不等式反向,可以得到凹函数的定义。
例: 设 f x x 12 ,试证明 f x 在 , 上是严格凸
函数.
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证明: 设 x, y R ,且 x y, 0,1 ,都有
a2
不等式要取等号，必须 y z a ,
且 y, z y z , 容易证明 y z x ,
根据定义可知 x 为极点．
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三、凸函数
定义 1.4: 设函数 f x 定义在凸集 D Rn 上,若对任意的
x, y D, 0,1,都有:
f x 1 y f x 1 f y,
元函数 t 在0,1 上为凸函数. (2) 设 x, y D, x y , 若 t 在 0,1 上 为 严 格 凸 函 数 , 则 f x 在 D 上为严格凸函数.
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该定理的几何意义是：凸函数上任意两点 之间的部分是一段向下凸的弧.
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L
x2 xn
凸集与凸函数ppt课件
多面体(polyhedral set)是有限闭半空间的交. (可表为 Axb ). x1
x5
x
x2
x4
y
x3
14
2. 凸集与凸函数
命题2.3若集合S ¡ n为凸集，则它的闭包S也是凸集。 Df 2.10设有集合C ¡ n,若对每一点x C,当取 任何非负数时，都有x C,称C为锥,又若C为凸 集，则称C为凸锥.
24
2. 凸集与凸函数
（2）pT (y x) pT (y x x x) pT (y x) pT (x x) = (y x)(x x)
推论2.1设C为¡ n中的非空闭凸锥集，y C,则 存在p( 0)S,使得pTy 0 pTx
| | 1 1,因否则导出y S,矛盾。
21
2. 凸集与凸函数
Th2.6.设S ¡ n的非空闭凸集，y S,则点x S为极小化问题 (2.4)的最优解当且仅当( y - x)T (x x) 0
设S为闭凸集，y S,H {x | pTx }为超平面。 H分离点y 若pTy ,则pTx ，x S. 令pTy ，则y与S分离可表为
6
2. 凸集与凸函数
命题2.1 下述断言相互等价. (1) ¡ n中的向量组{x0 , x1 ,..., xm}仿射无关;
(2)¡ n中的向量组{x1 x 0 ,..., xm x 0 }线性无关;
(3)¡ n1中的向量组{(x0 ,1),(x1 ,1),...(xm,1)}线性无关.
设仿射集M aff {x0, x1,...xm},L是平行于M的子空间,则
7
2. 凸集与凸函数
仿射无关向量组{x0, x1,..., xm}称为仿射集M的一个 重心坐标系. Df 2.6 设S ¡ n是非空集合, x S, N (x)表示x的 - 邻域。 若N (x) I affS S,则x称为S的一个相对内点.S的相对 内点的全体称为它的相对内部,记为riS
x5
x
x2
x4
y
x3
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2. 凸集与凸函数
命题2.3若集合S ¡ n为凸集，则它的闭包S也是凸集。 Df 2.10设有集合C ¡ n,若对每一点x C,当取 任何非负数时，都有x C,称C为锥,又若C为凸 集，则称C为凸锥.
24
2. 凸集与凸函数
（2）pT (y x) pT (y x x x) pT (y x) pT (x x) = (y x)(x x)
推论2.1设C为¡ n中的非空闭凸锥集，y C,则 存在p( 0)S,使得pTy 0 pTx
| | 1 1,因否则导出y S,矛盾。
21
2. 凸集与凸函数
Th2.6.设S ¡ n的非空闭凸集，y S,则点x S为极小化问题 (2.4)的最优解当且仅当( y - x)T (x x) 0
设S为闭凸集，y S,H {x | pTx }为超平面。 H分离点y 若pTy ,则pTx ，x S. 令pTy ，则y与S分离可表为
6
2. 凸集与凸函数
命题2.1 下述断言相互等价. (1) ¡ n中的向量组{x0 , x1 ,..., xm}仿射无关;
(2)¡ n中的向量组{x1 x 0 ,..., xm x 0 }线性无关;
(3)¡ n1中的向量组{(x0 ,1),(x1 ,1),...(xm,1)}线性无关.
设仿射集M aff {x0, x1,...xm},L是平行于M的子空间,则
7
2. 凸集与凸函数
仿射无关向量组{x0, x1,..., xm}称为仿射集M的一个 重心坐标系. Df 2.6 设S ¡ n是非空集合, x S, N (x)表示x的 - 邻域。 若N (x) I affS S,则x称为S的一个相对内点.S的相对 内点的全体称为它的相对内部,记为riS
第3讲凸集凸函数凸规划
证法：在Young不等式中令
(b)凹函数
P41 2.37
凸函数
例：设
试证明
上是严格凸函数．
证明: 设
且
在 都有：
因此,
在
上是严格凸函数．
凸函数
例：试证线性函数是 上的凸函数．
证明: 设
则
故,
是凸函数．
类似可以证明
也是凹函数.
性质
定理1 设
凸函数
是凸集
上的凸函数充要条件
不等式应用: 设
詹生(Jensen)不等式 ，证明:
P41 2.36
性质
定理2
凸函数
正线性组合
凸函关于数 的水平集.
定理3
设 是凸集
上的凸函数，则对任意
，水平集
是凸集．
注：定理3 的逆命题不成立.
凸函数
下面的图形给出了凸函数
的等值线的图形，可以看出水平集是凸集.
凸函数
凸函数
凸函数的判别定理
定理1: 设 是定义在凸集
f(αx1+(1-α)x2 ) f(X1)
X
X1
αx1+(1-α)x2 X2
f(X) f(X2)
f(αx1+(1-α)x2 ) f(X1)
X
X1
αx1+(1-α)x2 X2
f(X) f(X2) αf( x1 ) +(1- α) f( x2) f(αx1+(1-α)x2 )
f(X1)
X1
αx1+(1-α)x2
(2) 若 是凸集
上的严格凸函数，
且凸规划问题
局部极小点x*存在，
则x*是唯一的全局极小点．
定理 凸规划的任一局部最优解都是它的整体最优解。 证明：设x*是凸规划的一个局部解，则存在δ>0,使 如果x*不是整体最优解，则 又因为f是凸函数，所以
(b)凹函数
P41 2.37
凸函数
例：设
试证明
上是严格凸函数．
证明: 设
且
在 都有：
因此,
在
上是严格凸函数．
凸函数
例：试证线性函数是 上的凸函数．
证明: 设
则
故,
是凸函数．
类似可以证明
也是凹函数.
性质
定理1 设
凸函数
是凸集
上的凸函数充要条件
不等式应用: 设
詹生(Jensen)不等式 ，证明:
P41 2.36
性质
定理2
凸函数
正线性组合
凸函关于数 的水平集.
定理3
设 是凸集
上的凸函数，则对任意
，水平集
是凸集．
注：定理3 的逆命题不成立.
凸函数
下面的图形给出了凸函数
的等值线的图形，可以看出水平集是凸集.
凸函数
凸函数
凸函数的判别定理
定理1: 设 是定义在凸集
f(αx1+(1-α)x2 ) f(X1)
X
X1
αx1+(1-α)x2 X2
f(X) f(X2)
f(αx1+(1-α)x2 ) f(X1)
X
X1
αx1+(1-α)x2 X2
f(X) f(X2) αf( x1 ) +(1- α) f( x2) f(αx1+(1-α)x2 )
f(X1)
X1
αx1+(1-α)x2
(2) 若 是凸集
上的严格凸函数，
且凸规划问题
局部极小点x*存在，
则x*是唯一的全局极小点．
定理 凸规划的任一局部最优解都是它的整体最优解。 证明：设x*是凸规划的一个局部解，则存在δ>0,使 如果x*不是整体最优解，则 又因为f是凸函数，所以
线性规划 凸集凸函数
与 x(2) 的线段仍属于D；换言之，对 " x(1)，x(2)∈D，"a
∈[0,1]恒有 ax (1) +(1- a ) x(2) ∈D 则称D为凸集。ax (1)+ (1- a ) x(2)称为 x(1)和 x(2)的凸组合。
精品PPT
例
精品PPT
{ } 定义为
(i) 超平面 H = x PT x = b 为凸集。
凸规划是非线性规划中的一种(yī zhǒnɡ)重要特殊情形，它具 有很好的性质。
定理4：（1)凸规划的任意局部极小点就是整体极小点，且极小 点集合是凸集。
(2)如果凸规划的目标函数是严格凸函数，又存在(cúnzài) 极小点，则它的极小点还是唯一的。
精品PPT
性质2 设D是R n中一个凸集，f 是定义在D上的一个凸函数， 则f 在D 的内部连续。
精品PPT
性质3 设D是Rn 中一个非空凸集，f 是定义在D上的一个凸函数，
则水平集
Da = {x x D, f (x) a}
是凸集。
f (x)
a
x
性质(xìngzhì)4： f(x)是凸集D上的凹函数的充要条件是-f(x) 是D 上的凸函数。
k
i =1
i=1
则称X为X(1)，X(2)，…，X(k)的凸组合。
定义3 极点（顶点）：设D是凸集, 若D中的点x 不能成为D中 任何(rènhé)线段上的内点，则称x为凸集D的极点。 设D为凸集，X∈D,若X不能用X(1)∈D,X(2)∈D两点的
一个凸组合表示为X=αX(1)+ (1-α)X(2),其中0<α<1 ， 则称X为D的一个极点。
精品PPT
凸函数的判断
设(p函àn数dufà(nx))存在一阶偏导数，x∈R n，向量
∈[0,1]恒有 ax (1) +(1- a ) x(2) ∈D 则称D为凸集。ax (1)+ (1- a ) x(2)称为 x(1)和 x(2)的凸组合。
精品PPT
例
精品PPT
{ } 定义为
(i) 超平面 H = x PT x = b 为凸集。
凸规划是非线性规划中的一种(yī zhǒnɡ)重要特殊情形，它具 有很好的性质。
定理4：（1)凸规划的任意局部极小点就是整体极小点，且极小 点集合是凸集。
(2)如果凸规划的目标函数是严格凸函数，又存在(cúnzài) 极小点，则它的极小点还是唯一的。
精品PPT
性质2 设D是R n中一个凸集，f 是定义在D上的一个凸函数， 则f 在D 的内部连续。
精品PPT
性质3 设D是Rn 中一个非空凸集，f 是定义在D上的一个凸函数，
则水平集
Da = {x x D, f (x) a}
是凸集。
f (x)
a
x
性质(xìngzhì)4： f(x)是凸集D上的凹函数的充要条件是-f(x) 是D 上的凸函数。
k
i =1
i=1
则称X为X(1)，X(2)，…，X(k)的凸组合。
定义3 极点（顶点）：设D是凸集, 若D中的点x 不能成为D中 任何(rènhé)线段上的内点，则称x为凸集D的极点。 设D为凸集，X∈D,若X不能用X(1)∈D,X(2)∈D两点的
一个凸组合表示为X=αX(1)+ (1-α)X(2),其中0<α<1 ， 则称X为D的一个极点。
精品PPT
凸函数的判断
设(p函àn数dufà(nx))存在一阶偏导数，x∈R n，向量
第二章凸性(Convexity)
凸集-----性质
推论： 设 Di , i 1,2,, k 是凸集， 则 i Di 也是凸集， 其中 i 是实数．
i 1 k
(4) S 是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸 组合仍然在S中.
凸集-----性质
注： 和集和并集有很大的区别，凸集的并集 未必是凸集，而凸集的和集是凸集．
f x 1 y f x 1 f y 都有：
则称函数 f x 为 D 上的凸函数．
注：将上述定义中的不等式反向，可以得到 凹函数的定义．
凸函数
严格凸函数 设 D R n 是非空凸集， f x : S R, 若对任意的 x, y D ( x y), 及任意的 0,1 则称函数 f x 为 D
一个可微函数 是凸函数当且 仅当函数图形 上任一点处的 切平面位于曲 面的下方.
凸函数
凸函数的判别定理---二阶条件
定理5:
2 x1 2 f G x 2 f x x x 2 1 2 f x n x1
设在开凸集 D R 内 f x 二阶可微,则 f x 是 D 内的凸函数的充要条件为: 对任意 x D, f x 的Hesse矩阵 G x 半正定, 其中： 2 f 2 f 2 f
称为函数f在集合S上关于数 定理3 设 f x 是凸集 S R n 上的凸函数，则对任意 R ，水平集 S f , 是凸集． 注：定理3 的逆命题不成立.
的水平集.
凸函数
y 2 xy 的等值线的图形，可以看出水平集是凸集.
4 2 4 f x , y x 3 x y 下面的图形给出了凸函数
1-2凸集与凸函数
(2) 设 D R n 为 凸集 f ( x ) 为 D 上 的 严格 凸函数 且 凸 规划 凸集, 严格凸函数 凸函数,且 全局极小点 极小点存在 全局极小点 唯一的 极小点是 问题 min f ( x ) 的全局极小点存在,则全局极小点是唯一的.
x∈D
2010-8-21
21
(2) 设 x , y ∈ D, x ≠ y , 若 ( t ) 在 [ 0,1] 上 为 严 格 凸 函 数 , 则
f ( x ) 在 D 上为严格凸函数. 严格凸函数
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16
该定理的几何意义是： 该定理的几何意义是：凸函数上任意两点 间的部分是一段向下凸的弧. 之间的部分是一段向下凸的弧
则称 f ( x ) 为凸集 D 上的凸函数 。 上的凸函数 凸函数。
定义1.5 严格凸函数 定义
定义中 不等式反向 可以得到 函数的定义。 反向,可以得到凹 注:将上述定义中的不等式反向 可以得到凹函数的定义。 将上述定义
严格凸 例 : 设 f ( x ) = ( x 1) ,试 证明 f ( x ) 在 ( ∞ , +∞ ) 上 是 严格 凸 试
§1.2 凸集与凸函数
2010-8-21
1
一、凸集
定义1.1 定义1.1 设集合 D Rn , 若对于任意两点
x , y ∈ D, 及实数 λ ( 0 ≤ λ ≤ 1) , 都有： 都有：
λx + (1 λ) y ∈ D
凸集． 则称集合 D 为凸集． 注：常见的凸集：空集，整个欧氏空间 Rn 常见的凸集：空集， 常见的凸集 超平面： 超平面： = {x ∈Rn a1x1 + a2 x2 +L+ an xn = b} H
为凸集, 上的凸函数,则称规划 定义 1.6: 设 D R n 为凸集 f ( x ) 为 D 上的凸函数 则称规划 为凸规划问题. 问题 min f ( x ) 为凸规划问题
x∈D
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21
(2) 设 x , y ∈ D, x ≠ y , 若 ( t ) 在 [ 0,1] 上 为 严 格 凸 函 数 , 则
f ( x ) 在 D 上为严格凸函数. 严格凸函数
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该定理的几何意义是： 该定理的几何意义是：凸函数上任意两点 间的部分是一段向下凸的弧. 之间的部分是一段向下凸的弧
则称 f ( x ) 为凸集 D 上的凸函数 。 上的凸函数 凸函数。
定义1.5 严格凸函数 定义
定义中 不等式反向 可以得到 函数的定义。 反向,可以得到凹 注:将上述定义中的不等式反向 可以得到凹函数的定义。 将上述定义
严格凸 例 : 设 f ( x ) = ( x 1) ,试 证明 f ( x ) 在 ( ∞ , +∞ ) 上 是 严格 凸 试
§1.2 凸集与凸函数
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1
一、凸集
定义1.1 定义1.1 设集合 D Rn , 若对于任意两点
x , y ∈ D, 及实数 λ ( 0 ≤ λ ≤ 1) , 都有： 都有：
λx + (1 λ) y ∈ D
凸集． 则称集合 D 为凸集． 注：常见的凸集：空集，整个欧氏空间 Rn 常见的凸集：空集， 常见的凸集 超平面： 超平面： = {x ∈Rn a1x1 + a2 x2 +L+ an xn = b} H
为凸集, 上的凸函数,则称规划 定义 1.6: 设 D R n 为凸集 f ( x ) 为 D 上的凸函数 则称规划 为凸规划问题. 问题 min f ( x ) 为凸规划问题
第二节 凸函数和凸规划
2
正定， f 为凸函数。
2 0 0 2 0 半正定， g 1 ( x ) 是凸函数。其他约束条件均为线性。故改（MP）为凸规 0 0 0
而 2 g1 ( x ) 0 划。
故
f ( x ( x x )) f ( x )
1 2 1 1
f (x ) f (x )
2 1
（4.2.3）
由多元函数 Taylor 展开式可知：
f ( x ( x x )) f ( x ) f ( x ) ( x x ) ( ( x x ) )
第二节 凸函数和凸规划
• 凸函数及其性质 • 凸规划及其性质
凸函数和凸规划
1. 凸函数及其性质
定义 4.2.1 有
f ( x
1
设S
2
R
n
是非空凸集，
1
f :S R
，如果对任意的
1 2
( 0 ,1 )
(1 ) x ) f ( x ) (1 ) f ( x ) ， x , x
(MP)
约束集
如果(MP)的约束集X是凸集，目标函数f是X上的 凸函数，则(MP)叫做非线性凸规划，或简称为凸 规划。
凸规划性质
• 凸规划的性质
定理 4.2.5 对于非线性规划(MP)，若 g i ( x ), i
j 1 ,..., q
1 ,..., p
皆为 R n 上的凸函数， h j ( x ),
2 f (x) 2 x1 2 f (x) x 2 x1 f (x) . . 2 f (x) x nx1
2
f (x)
x1 x 2
正定， f 为凸函数。
2 0 0 2 0 半正定， g 1 ( x ) 是凸函数。其他约束条件均为线性。故改（MP）为凸规 0 0 0
而 2 g1 ( x ) 0 划。
故
f ( x ( x x )) f ( x )
1 2 1 1
f (x ) f (x )
2 1
（4.2.3）
由多元函数 Taylor 展开式可知：
f ( x ( x x )) f ( x ) f ( x ) ( x x ) ( ( x x ) )
第二节 凸函数和凸规划
• 凸函数及其性质 • 凸规划及其性质
凸函数和凸规划
1. 凸函数及其性质
定义 4.2.1 有
f ( x
1
设S
2
R
n
是非空凸集，
1
f :S R
，如果对任意的
1 2
( 0 ,1 )
(1 ) x ) f ( x ) (1 ) f ( x ) ， x , x
(MP)
约束集
如果(MP)的约束集X是凸集，目标函数f是X上的 凸函数，则(MP)叫做非线性凸规划，或简称为凸 规划。
凸规划性质
• 凸规划的性质
定理 4.2.5 对于非线性规划(MP)，若 g i ( x ), i
j 1 ,..., q
1 ,..., p
皆为 R n 上的凸函数， h j ( x ),
2 f (x) 2 x1 2 f (x) x 2 x1 f (x) . . 2 f (x) x nx1
2
f (x)
x1 x 2
凸集凸函数凸规划
凸集-----性质
k
推论：设Di , i 1,2,, k是凸集，则 i Di i 1 也是凸集，其中i 是实数．
(4) S 是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸 组合仍然在S中.
凸集-----性质
注： 和集和并集有很大的区别，凸集的并集
未必是凸集，而凸集的和集是凸集．
例：D1 x,0T x R 表示 x 轴上的点． D2 0, yT y R 表示 y 轴上的点．
x 1 y D,
则称集合 D 为凸集．
常见的凸集：单点集 { x }，空集 ，整个欧氏空间 Rn，
超平面：H x Rn a1 x1 a2 x2 an xn b ,
H
半空间：
x Rn a1x1 a2 x2
= x Rn aT x b
则 D1 D2 表示两个轴的所有点，它不是凸集；
而 D1 D2 R2 凸集．
凸集-----凸包(Convex Hull)
定义 设 S Rn , S 中任意有限个点的所有凸 组合所构成的集合称为S的凸包，记为H(S),即
m
m
H(S) i xi xi S, i 0, i 1,2...,m, i 1, m N
注：将上述定义中的不等式反向，可以得到 凹函数的定义．
凸函数
严格凸函数
设 D Rn 是非空凸集， f x: S R,
若对任意的 x, y D (x y),及任意的 0,1
都有：f x 1 y f x 1 f y
则称函数 f x 为 D 上的严格凸函数．
i 1
i 1
凸组合 (Convex Comb, xi Rn , i 1,2,...m且 i 1.
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X αx1+(1-α)x2 X2
.
23
f(X) f(X1)
αf( x1 ) +(1- α) f( x2)
f(X2)
f(αx1+(1-α)x2 )
X1
αx1+(1-α)x2
X2
X
.
24
f(X) 任意两点的函数值的连线上的点都在曲线的上方
αf( x1 ) +(1- α) f( x2)
f(X2)
f(αx1+(1-α)x2 )
证法：在Young不等式中令
n
n
n
xkyk
n
xkpp
n
ykqq
k1
k1kq
ykq
.
P41 2.37
26
凸函数
例：设fxx12,试证明 f x在,
上是严格凸函数．
证明: 设 x, yR, 且xy, 0 ,1 都有：
.
1
凸集---定义
线性组合 (linear Combination)
m ix i,其i 中 R ,x i R n ,i 1 ,2 ,.m ...
i 1
仿射组合 (Affine Combination)
m
m
ix i,其 i R 中 ,x i R n ,i 1 ,2 ,.m ,.且 . i 1 .
(a)D1D2x1x2|x1D1,x2D2是凸; 集 (b)D1D2x1x2|x1D1,x2D2是凸. 集
.
7
凸集-----性质
k
推论：设D i,i1,2,,k是凸集，则 i D i i1 也是凸集，其中 i 是实数．
(4) S 是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸 组合仍然在S中.P23,定理2.9
.
8
凸集-----性质
注： 和集和并集有很大的区别，凸集的并集
未必是凸集，而凸集的和集是凸集．
例：D 1x ,0 Tx R 表示 x轴上的点． D 20 ,y Ty R 表示 y轴上的点．
则 D1 D2 表示两个轴的所有点，它不是凸集；
而 D1D2 R2凸集．
.
9
凸集-----凸包(Convex Hull)
i 1
i 1
凸组合 (Convex Combination)
m
m
ix i,其 i R 中 ,x i R n ,i 1 ,2 ,. m 且 .. i 1 .
i 1
i 1
凸锥组合 (Convex Cone Combination)
m
ix i,其i 中 R ,x i R n,i1 ,2 ,.m ...
设 D Rn 是非空凸集， f x:DR,
若对任意的 x,yD,及任意的 0,1
都有：f x 1 y f x 1 f y 则称函数 f x 为 D 上的凸函数．
注：将上述定义中的不等式反向，可以得到
凹函数的定义．
.
19
凸函数
严格凸函数
设 D Rn 是非空凸集， f x:DR,
定义 设 S SR中n, 任意有限个点的所有凸组合 所构成的集合称为S的凸包，记为H(S),即
m
m
H (S ) ix ix i S ,i 0 ,i 1 ,2 ..m ,., i 1 ,m N
i 1
i 1
定理2.1.4 H(S)是Rn 中所有包含S 的凸集的交集.
H(S)是包含S 的最小凸集.
证明：设 x, y 为超球中的任意两点，01,
则有： x1y
x 1 y
r 1 r r ,
即点x1y属于超球, 所以超球为凸集．
.
6
凸集-----性质
(1) 任意多个凸集的交集为凸集．
(2) 设 D是凸集， 是一实数， 则下面的
集合是凸集： D y y x ,x D
(3) 设D1和D2是Rn上的凸集，则
.
10
凸集-----凸锥 (Convex Cone)
定义 锥、凸锥
设S Rn, x0 S， 如 果 对 一x切 S
及 0,有x0 xS, 则 称S是
以x0为 顶 点 的.锥 如 果S又 是 凸 集 ， 则 称S为 凸 锥.
.
11
凸函数
凸函数(Convex Function) ----定义2.4
第3讲 凸集、凸函数、凸规划
凸性(Convexity)是最优化理论必须涉及到基本概念.具有凸
性的非线性规划模型是一类特殊的重要模型，它在最优化 的理论证明及算法研究中具有非常重要的作用.
• 凸集 (Convex Set)
• 凸函数 (Convex Function) • 凸规划 (Convex Programming)
01表示连接 x 1 ,f x 1 ,x 2 ,f x 2 的线段．
fx 1 1 x 2 表示在点 x 1 1 x 2处的
函数值．
所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点
的线段总是位于曲线弧的上方．
.
21
f(X) f(X1) X1
f(X2)
X X2
.
22
f(X) f(X1) X1
f(X2) f(αx1+(1-α)x2 )
x 1 y D ,
则称集合 D为凸集．
常见的凸集：单点集 { x }，空集 ，整个欧氏空间 Rn，
超平面：H x R n a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n b ,
半空间： HxRna1x1a2x2Lanxnb
=xRnaTx. b
5
凸集----举例
例： 证明超球 x r 为凸集．
i 1
.
2
凸集---定义
例 二维情况下，两点x1, x2的
(a)线性组合为全平面； (b)仿射组合为过这两点的直线； (c)凸组合为连接这两点的线段； (b)凸锥组合为以原点为锥顶并通过这两点的锥.
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3
凸集---定义
凸集---定义
定义1 设集合 D Rn , 若对于任意两点
x,yD, 及实数01,都有：
若对任意的 x,yD(xy),及任意的 0,1
都有：fx 1 y f x 1 f y
则称函数 f x 为 D 上的严格凸函数．
注：将上述定义中的不等式反向，可以 得到严格凹函数的定义．
.
20
凸函数
几何性质
对一元函数 f x,在几何上 f x 1 1 f x 2
f(X1)
X1
αx1+(1-α)x2
X2
X
例4.2.1
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25
该定义的一个应用——证明不等式
例：f(证t)明lnxt凹 1p(yaq1 )凸xp 函Yoqyu数,ng不其 等中 式x ,y (x0 by,)凹p ,xpq 函p 数0 yq,q 1 p q 1 1 .
1
1
推广：Hölder不等式