平均数的参数估计与显著性检验

值之差的抽样分布 需考虑的问题：
– 相关样本还是独立样本 – 两总体方差σ12和σ22是否已知；如果未知, 是 否满足σ12 = σ22 ； – 两总体是否正态分布； – 两样本为大样本还是小样本。
两样本均数之差的抽样分布
• 总体正态，方差已知，样本均数之差服从 正态分布。 • 总体正态，方差未知，且方差齐，样本均 数之差服从df=（n1+n2-2）的t分布；方差 不齐，则近似服从t’分布。 • 总体非正态，大样本时，样本均数之差近 似服从正态分布。 • 样本均数之差的平均数等于总体平均数之 差，其方差的计算依独立（相关），方差 齐（不齐）而定。
两相关样本平均数差异的 显著性检验
• 如果两个样本是相关样本，则有
t
( X1 X 2 ) D Di / n i 1 i 1 n(n 1)
n 2 i n 2
其中D＝X1－X2
例题（P126）
• 为了比较两种不同教学法的效果，随机 抽取了10名小学生，记录下他们使用两 种教学法的成绩如下。问两种教学法有 无显著差异？
例题6-9（P123）
• 为了比较两种教学法的效果，对照组和 实验组各20名学生，记录下他们的成绩。 问两种教学法有无显著差异？
两独立样本均值之差的抽样分布 2 2 σ1 和σ2 未知，且 不等
• 若两个总体均为正态分布总体，但是两 总体方差未知，且知道σ12≠σ22 ，则有：
t'
( X 1 X 2 ) ( 1 2 ) S S n1 n2
样本均值的抽样分布 2 ——正态总体、σ 未知时
X t ~ t n 1 S/ n
2 ( X X ) i i 1 n
S
n 1
t 分布的特征
• t 分布与正态分布的相似之处： – t 分布基线上的t值从－∞～＋∞；
– 从平均数等于0处，左侧 t 值为负，右侧 t 值为正；
– 曲线以平均数处为最高点向两侧逐渐下降，尾部 无限延伸，永不与基线相接，呈单峰对称形。 • 区别之处在于： – t 分布的形态随自由度（ df=n-1 ）的变化呈一簇 分布形态（即自由度不同的 t 分布形态也不同）。 – 自由度逐渐增大时，t 分布逐渐接近正态分布。
例题（P117）
• 已知总体标准差为3.5。N=40，平均分为 79，总体分布为负偏。试估计总体平均 的99%置信区间。
例题（P118）
• 采用新教法的全班n=26，平均数为74， 估计的标准差为10。全年级的平均分为 70.问新教法是否提高了教学效果。
例题（P119）
• 全省物理竞赛成绩，总平均为61。某市 学生168人，平均为59.4，估计标准差为 18.7。问该市平均与全省平均有无差异。
两独立样本均值之差的抽样分布 σ12和σ22已知
• 若 X 1 是独立地抽自总体X1~N(μ1，σ12)的一个容 量为n1的样本的均值， X 2 是独立地抽自总体 X2~N(μ2，σ22)的一个容量为n2的样本的均值， 则有：
X1 X 2 ~ N , 1 2 n1 n2
2 1 2 2
~ t df '
非正态总体，大样本时
( X 1 X 2 ) ( 1 2 ) S S n1 n2
2 1 2 2
Z'
相关样本
• 两个样本内个体之间存在着一一对应的关系， 这两个样本称为相关样本。 • 常见的两种情况：
– 用同一测验对同一组被试在试验前后进行两次测 验 ， 所 获 得 的 两 组 测 验 结 果 ； ----repeated measures design – 根据某些条件基本相同的原则，把被试一一匹配 成对，然后将每对被试随机地分入实验组和对照 组，对两组被试施行不同的实验处理之后，用同 一测验所获得的测验结果。----matched-group design
例题（P114）
• 锻炼时间。n=61，平均数为26，估计总 体方差为25。试估计全校学生的平均锻 炼时间。
例题（P115）
• 高二年级英语水平测试。12人成绩分别 为83,91,62,50,74,68,70,65,85,71,58,63。试 估计该年级考生测试成绩的平均数。 • 总体平均数的95%C.I为[62.42,77.58] • 已知去年学生的平均分为65，问今年学 生的平均分与去年学生有无差异？
例题（P115）
• 高二年级英语水平测试。12人成绩分别 为83,91,62,50,74,68,70,65,85,71,58,63。试 估计该年级考生测试成绩的平均数。
样本均值的抽样分布 ——总体非正态时
• 总体非正态、总体方差已知时 大样本时，样本均数近似服从正态分布 • 总体非正态、总体方差σ2未知时 当总体为非正态分布时，若总体方差未 知，样本为大样本，可以利用 t 分布或 正态分布近似求解；样本为小样本时无 解。
• 甲省是否高于乙省？
两独立样本均值之差的抽样分布 2 2 σ1 和σ2 未知，且相等
• 如果σ12＝σ22 ，则有：
t
( X 1 X 2 ) ( 1 2 ) (n1 1) S (n2 1) S 1 1 ( ) n1 n2 2 n1 n2
2 1 2 2
~ tn1 n2 2
第六章 平均数的参数估计与 显著性检验
样本平均数的抽样分布特点
• 样本平均数的平均数等于总体平均数， 样本平均数的方差等于总体方差除以n • 总体正态，方差已知，样本均数服从正态 • 总体正态，方差未知，样本均数服从df=n1的t分布 • 总体非正态，方差已知，大样本时样本均 数近似服从正态 • 总体非正态，方差未知，大样本时样本均 数近似服从df=n-1的t分布，或近似服从正 态
2 1 2 2
Z
( X 1 X 2 ) ( 1 2 )

2 1
n1


2 2
~ N (0,1 )
2
n2
例题6-7（P122）
• 甲乙两校100名16岁男生的智商。平均分 分别为115和111。总体标准差为15. • 两校学生智商是否有差异？
例题6-8（P122）
• 一年级语文。甲省抽180人，平均分为82， 总体标准差为11.5；乙省抽160人，平均 分为78.42，总体标准差为10.5. • 两省成绩有无显著差异？
学生号 A法成绩 B法成绩 1 2 3 4 83 83 5 79 85 6 94 87 7 74 57 8 77 49 82 58 88 72 61 69