07第七章-压电材料和电致伸缩3总结
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 所有这些成果使压电材料在机电换能、传感计测、 频率选择和控制等方面实现了广泛的应用。
电致伸缩 (electrostriction)
• 电致伸缩(electrostriction)是电介质另一种电弹效 应(electro-elastic effect)。它反映的是应变与电场 强度平方之间的正比关系，因此电致伸缩系数是 一个四阶张量。
量个数减少。晶体对称性越高，独立分量的个数越少。各 个点群晶体可能有的各种物性张量矩阵形式列于附录Ⅱ。
在式(7.16)-(7.18)和类似的状态方程中，i，j＝1-6，m，n ＝1-3，下标i和j是双下标的简写。
按照约定双下标与单下标的对应关系如下表所列
7.1.2 压电方程和压电常量
• 压电体在工作过程中不可避免地要发热， 难以保持等温条件但热交换通常可以忽 略，即满足绝热条件，因此要研究绝热 条件下压电体的性质。
•
D m D S m XdSdm SiX im Sn ,XE n
（7.24）
• d Tc T E ,Xd S X T i EX i E T m XE （m7.25）
• 在应用绝热条件下，得出（压电方程 ）
xi siEj X j dmiEm,
(7.26a)
Dm dmi Xi mXnEn, • 式中已省去代表绝热的上标S。
第七章 压电材料和电致伸缩
• 压电效应(piezoelectric effect)：1880年居里两 兄弟在研究热电性与晶体对称性关系时，发现 压力可产生电效应，即在某些晶体特定方向加 压力时，相应的表面上出现正或负的电荷，而 且电荷密度与压力大小成正比。例：铁电体酒
石酸钾钠() ，在科学界引起很大兴趣。
•
2G XiT
E
2G TXi
E
xi T
X,E
S Xi
T,E
aiE
•
X i2G Xj T,E X 2xji T,EsiE j,T
•
E m 2 G EmT,X D Em nT,Xm Tn ,X
• •
T 2G 2X,E T SX,EcTE,X
（7.11）
（7.12）
（7.13） （7.14） （7.15）
• 1947年发现BaTiO3陶瓷强直流电场作用后也具有 压电性，结束压电材料局限于单晶的局面。这一 阶段成果在Mason的经典著作《压电晶体及其在 超声中的应用》有全面的论述。
• 后来陆续出现了新型压电晶体和以PZT为主性能 优异压电陶瓷，并出版了关于压电陶瓷的专著。
• IRE(以及后来的IEEE)制订和发布一系列关于压 电晶体的标准，推动测量方法的规范化和现代化。
三斜和单斜晶系以外，λmn＝1／εmn。
• 式 (7.26a)-(7.29a) 是 压 电 方 程 ， 也 称 为 压 电 本 构 方 程 (piezoelectric constitutive equation)。
• 可见压电方程就是弹性电介质在绝热条件的线性状态方程。 由于选作独立变量的力学量和电学量不同，压电方程有四 种不同的形式。
S Xi
T,E
• 其物理意义：正效应与逆效应相等。例如上面第一
式表示压电常量等于逆压电常量，第二式表示热电
系数等于电热系数。由其他特征函数出发，也可得 类似关系式，它们统称为麦克斯韦关系式。
• 虽然上面各式都是采用矩阵记法，但表示物理性能的线性
响应系数以及它们所联系的物理量都是张量，这些响应系
• 第二，1918年Cady通过对罗息盐晶体在机械谐 振频率附近特异的电性能研究发明了谐振器。
• 前者是最早的压电换能器，后者则为压电材料 在通信技术和频率控制等方面的应用奠定基础。
• 压电效应早期研究主要针对罗息盐和石英晶体进 行。全面反映在Cady经典著作《压电性》。1930 年 代 出 现 铁 电 体 KDP 系 列 晶 体 ( 包 括 反 铁 电 体 ADP)。1940年代出现BaTiO3。
• 考虑以温度T、应力X和电场E为独立变量时，相应 特征函数为吉布斯自由能G。
• 假设温度、应力和电场分别发生小变化dT、dX和
dE，且初始态应力和电场为零，故dX=X，dE＝E。
这些变化足够小时，可用泰勒级数展开G，只取到
二次项
G
G
G
G G0 T dT X i X i Em Em
1 2
2G T 2
2 G 2 G 2 G
•
（7.8） D m E m T X d T E m X i TX i E m E n T ,X E m
•
（7.9） d S T 2 G 2 X ,E d T T 2 G X i E X i T 2 G E m X E m
• 1881Lippman应用热力学原理预言逆压电 效应(converse piezoelectric effect)，即电 场可引起与之成正比的应变。这一预言 被居里兄弟用实验所证实。
压电材料的实用化
• 压电材料实用化是进一步研究压电效应推动力。 实用化方面早期有两个奠基性的工作：
• 第一，1916年朗之万发明了用石英晶体制作的 水声发射器和接收器，并用于探测水下的物体。
• 式(7.26a) - (7.29a)中c是弹性刚度，与弹性顺度
s的关系为
cij
(1)ij ij
(7.34)
式中Δ是s矩阵行列式，Δij是去掉第i行和第j列后 的余子式。
• λ是介电隔离率，它与电容率ε的关系是
mn
(1)mnmn
(7.34)
式中Δ是s矩阵的行列式，Δmn是去掉第m行和
第n列后的余子式。由ε矩阵的形式可知，除
(7.32)
emi D ximEE Xm i X
• 单位为N(Vm)－1，或C／m2。
(7.33)
• 压电常量是反映力学量(应力或应变)与电学量 (电位移或电场)间相互耦合的线性响应系数。 独立变量不同时，相应的压电常量也不相同。
• 实用中由dmi可计算单位电场引起的应变，由 gmi可计算一定长度的压电元件中单位应力引起 的电压，所以前者称为压电应变常量，后者称 为压电电压常量。emi给出单位电场引起的应力， hmi表示造成单位应变所需的电场，所以分别称 为压电应力常量和压电刚度常量。
为线性响应系数，它们是电介质物性参量。上标标
明响应过程中保持不变的量。由式(7.10)-(7.15)可
知，这些线性响应系数是特征函数展开式中二次方
项系数，表明特征函数展开式到二次方项等效于在
线性范围描写电介质，二次方项的系数就是相应的
物性参量。
• 上面共出现6个物性参量，它们反映弹性 电介质中六种线性效应，现分述如下:
(dT )2
1 2
2G X iX
j
XiX j
1 2
2G EmEn
Em En
2G T X i
X idT
2G T Em
EmdT
2G X iEm
X iEm
• 因为
d G S d T x id X i D m d E m (7.2)
• 所以 G TS, X G i xi, E G mD m (7.3) • 将dS，x和D看成dT，X和E函数，在零应力和零
• 应力X和应变x之间弹性效应用弹性顺度s 描写；电位移D和电场E之间介电效应用电 容 率 E 描 写 ； 应 力 X( 或 应 变 x) 与 电 位 移 D(或电场E)之间的压电效应用压电常量d 描写；温度T(或熵S)与应变x(或应力X)之
间热膨胀效应用热胀系数α描写；温度
T(或熵S)与电位移D(或电场E)之间热电效
弹性电介质的线性状态方程
• 于是式（7.7）—（7.9）成为
•
x i a iE d T siE j,T X j d m T iE m （7.16）
•
• •
这就D d 是S m 弹 性p cT m 电X Ed ,X 介T d质 Td 的m T a i 线X iEX 性i i状m T p 态n ,m X X 方E E m n 程。（ （方77程..11中87） ）的系数
Em gmi Xi mXnDn.
(7.29a)
• 上面四组方程中引入4个压电常量，它们的
定义及其在SI单位制中的单位如下：
• 单位为C／dmiN或D Xmm i ／EV;Exm i X
(7.30)
hmi E xm i DD Xm i X
• 单位为N／C或V／m;
(7.31)
• 单位为gVmim ／NE Xm i或Dm2／D xCim;X
• 引入
• （7.10） X i2 G E m T E m 2 G X i T E xm i T ,X DXmi
T,E
dmTi
E m 2 G T X T 2 G E m X D T m X ,E E S m T ,X p m X
应 用 热 电 系 数 pmD m/T 或 电 热 系 数
（ S/Em）描写；温度T与熵S改变量的
关系用比热c描写。
• 在式(7.10)—(7.12)中，利用特征函数G的二次
偏微商与微商次序无关的原理，得到如下的
关系式：
Exm i
T,X
DXmi
T,E
DTm
T,E
ESm
T,X
x源自文库i
X,E
电场附近作泰勒展开，取近似只保留一次项
•
xi x T i X ,Ed T X xij T ,EX j E xm i T ,XE m
（7.4）
• •
D m D T m X ,Ed T D X m i T ,EX i D E m n T ,XE n
• 上面压电方程是用矩阵元形式写的，如果用一个符号表示 整个矩阵，则压电方程为
x=sEX +d tE, D=dX+ XE,
(7.26b)
X=cD x-h tD,
E = -h x + X D , (7.28b)
X =cEX -e tE , D =ex+ XE,
（7.5）
•
d S T S X ,Ed T X S i T ,EX i E S m T ,XE m（7.6）
• 利用式（7.3），此三式成为
•
（7.7） x i X 2 iG T E d T X i2 G X j T ,E X j X i2 G E m TE m
• 虽然电致伸缩效应通常很弱，但在某些铁电体中 稍高于居里点时却相当强，而且铁电相压电常量 与电致伸缩系数有关，因此，研究电致伸缩也有 实用和理论两方面的意义。
§ 7．1 压电效应
7.1.1 线性状态方程和线性响应系数 • 处理电介质平衡性质的基本理论是线性
理论。该理论成立的条件是系统的状态 相对其初始态的偏离较小，在特征函数 对独立变量的展开式中可忽略二次以上 的高次项，而在热力学量对独立变量的 展开式中可以只取线性项。
• 以应变x和电场E为独立变量时，相应的方程为
Xi ciEj xj emiEm,
Dm
emi xi
X mn
En.
(7.27a)
• 以应变和电位移为独立变量时，相应的方程为
Xi ciDj xj hmiDm,
Em hmixi mXnDn.
(7.28a)
• 以应力和电位移为独立变量时，相应的方程为
xi siDj Xj gmiDm,
数称为物性张量。物性张量的阶决定于它所联系的物理量 张量的阶。矢量和标量分别是一阶和零阶张量。将一个p 阶张量与一个q阶张量联系起来的张量是一个n＝p+q阶的 张量。三维空间中的一个n阶张量共有3n个分量，这些分 量要用有n个附标(通常为下标)的符号来表示。
• 如果张量对称则独立分量个数减少。热电系数是一阶张量 (即矢量)，有3个独立分量。电容率和热胀系数都是对称 二阶张量有6个独立分量。压电常量联系二阶张量(应力或 应变)与一阶张量(电位移或电场)的三阶张量，因为应力或 应变是对称二阶张量，故压电常量只有18个独立分量。弹 性系数是联系两个二阶张量(应力或应变)的四阶张量，因 为应力和应变都是对称二阶张量，故弹性系数只有36个独 立分量。晶体对称性对这些张量施加了限制，使实际的分
• 先讨论以应力和电场为独立变量情况。 因为
d H T d S x id X i D m d E m(7.22) • 所以相应的特征函数是焓H。
• 利用与上面相似的方法[见式(7.4)－(7.18)] 得到的线性状态方程如下：
•
xi x Si EdTsiE j,SXjdm SiE m
（7.23）
电致伸缩 (electrostriction)
• 电致伸缩(electrostriction)是电介质另一种电弹效 应(electro-elastic effect)。它反映的是应变与电场 强度平方之间的正比关系，因此电致伸缩系数是 一个四阶张量。
量个数减少。晶体对称性越高，独立分量的个数越少。各 个点群晶体可能有的各种物性张量矩阵形式列于附录Ⅱ。
在式(7.16)-(7.18)和类似的状态方程中，i，j＝1-6，m，n ＝1-3，下标i和j是双下标的简写。
按照约定双下标与单下标的对应关系如下表所列
7.1.2 压电方程和压电常量
• 压电体在工作过程中不可避免地要发热， 难以保持等温条件但热交换通常可以忽 略，即满足绝热条件，因此要研究绝热 条件下压电体的性质。
•
D m D S m XdSdm SiX im Sn ,XE n
（7.24）
• d Tc T E ,Xd S X T i EX i E T m XE （m7.25）
• 在应用绝热条件下，得出（压电方程 ）
xi siEj X j dmiEm,
(7.26a)
Dm dmi Xi mXnEn, • 式中已省去代表绝热的上标S。
第七章 压电材料和电致伸缩
• 压电效应(piezoelectric effect)：1880年居里两 兄弟在研究热电性与晶体对称性关系时，发现 压力可产生电效应，即在某些晶体特定方向加 压力时，相应的表面上出现正或负的电荷，而 且电荷密度与压力大小成正比。例：铁电体酒
石酸钾钠() ，在科学界引起很大兴趣。
•
2G XiT
E
2G TXi
E
xi T
X,E
S Xi
T,E
aiE
•
X i2G Xj T,E X 2xji T,EsiE j,T
•
E m 2 G EmT,X D Em nT,Xm Tn ,X
• •
T 2G 2X,E T SX,EcTE,X
（7.11）
（7.12）
（7.13） （7.14） （7.15）
• 1947年发现BaTiO3陶瓷强直流电场作用后也具有 压电性，结束压电材料局限于单晶的局面。这一 阶段成果在Mason的经典著作《压电晶体及其在 超声中的应用》有全面的论述。
• 后来陆续出现了新型压电晶体和以PZT为主性能 优异压电陶瓷，并出版了关于压电陶瓷的专著。
• IRE(以及后来的IEEE)制订和发布一系列关于压 电晶体的标准，推动测量方法的规范化和现代化。
三斜和单斜晶系以外，λmn＝1／εmn。
• 式 (7.26a)-(7.29a) 是 压 电 方 程 ， 也 称 为 压 电 本 构 方 程 (piezoelectric constitutive equation)。
• 可见压电方程就是弹性电介质在绝热条件的线性状态方程。 由于选作独立变量的力学量和电学量不同，压电方程有四 种不同的形式。
S Xi
T,E
• 其物理意义：正效应与逆效应相等。例如上面第一
式表示压电常量等于逆压电常量，第二式表示热电
系数等于电热系数。由其他特征函数出发，也可得 类似关系式，它们统称为麦克斯韦关系式。
• 虽然上面各式都是采用矩阵记法，但表示物理性能的线性
响应系数以及它们所联系的物理量都是张量，这些响应系
• 第二，1918年Cady通过对罗息盐晶体在机械谐 振频率附近特异的电性能研究发明了谐振器。
• 前者是最早的压电换能器，后者则为压电材料 在通信技术和频率控制等方面的应用奠定基础。
• 压电效应早期研究主要针对罗息盐和石英晶体进 行。全面反映在Cady经典著作《压电性》。1930 年 代 出 现 铁 电 体 KDP 系 列 晶 体 ( 包 括 反 铁 电 体 ADP)。1940年代出现BaTiO3。
• 考虑以温度T、应力X和电场E为独立变量时，相应 特征函数为吉布斯自由能G。
• 假设温度、应力和电场分别发生小变化dT、dX和
dE，且初始态应力和电场为零，故dX=X，dE＝E。
这些变化足够小时，可用泰勒级数展开G，只取到
二次项
G
G
G
G G0 T dT X i X i Em Em
1 2
2G T 2
2 G 2 G 2 G
•
（7.8） D m E m T X d T E m X i TX i E m E n T ,X E m
•
（7.9） d S T 2 G 2 X ,E d T T 2 G X i E X i T 2 G E m X E m
• 1881Lippman应用热力学原理预言逆压电 效应(converse piezoelectric effect)，即电 场可引起与之成正比的应变。这一预言 被居里兄弟用实验所证实。
压电材料的实用化
• 压电材料实用化是进一步研究压电效应推动力。 实用化方面早期有两个奠基性的工作：
• 第一，1916年朗之万发明了用石英晶体制作的 水声发射器和接收器，并用于探测水下的物体。
• 式(7.26a) - (7.29a)中c是弹性刚度，与弹性顺度
s的关系为
cij
(1)ij ij
(7.34)
式中Δ是s矩阵行列式，Δij是去掉第i行和第j列后 的余子式。
• λ是介电隔离率，它与电容率ε的关系是
mn
(1)mnmn
(7.34)
式中Δ是s矩阵的行列式，Δmn是去掉第m行和
第n列后的余子式。由ε矩阵的形式可知，除
(7.32)
emi D ximEE Xm i X
• 单位为N(Vm)－1，或C／m2。
(7.33)
• 压电常量是反映力学量(应力或应变)与电学量 (电位移或电场)间相互耦合的线性响应系数。 独立变量不同时，相应的压电常量也不相同。
• 实用中由dmi可计算单位电场引起的应变，由 gmi可计算一定长度的压电元件中单位应力引起 的电压，所以前者称为压电应变常量，后者称 为压电电压常量。emi给出单位电场引起的应力， hmi表示造成单位应变所需的电场，所以分别称 为压电应力常量和压电刚度常量。
为线性响应系数，它们是电介质物性参量。上标标
明响应过程中保持不变的量。由式(7.10)-(7.15)可
知，这些线性响应系数是特征函数展开式中二次方
项系数，表明特征函数展开式到二次方项等效于在
线性范围描写电介质，二次方项的系数就是相应的
物性参量。
• 上面共出现6个物性参量，它们反映弹性 电介质中六种线性效应，现分述如下:
(dT )2
1 2
2G X iX
j
XiX j
1 2
2G EmEn
Em En
2G T X i
X idT
2G T Em
EmdT
2G X iEm
X iEm
• 因为
d G S d T x id X i D m d E m (7.2)
• 所以 G TS, X G i xi, E G mD m (7.3) • 将dS，x和D看成dT，X和E函数，在零应力和零
• 应力X和应变x之间弹性效应用弹性顺度s 描写；电位移D和电场E之间介电效应用电 容 率 E 描 写 ； 应 力 X( 或 应 变 x) 与 电 位 移 D(或电场E)之间的压电效应用压电常量d 描写；温度T(或熵S)与应变x(或应力X)之
间热膨胀效应用热胀系数α描写；温度
T(或熵S)与电位移D(或电场E)之间热电效
弹性电介质的线性状态方程
• 于是式（7.7）—（7.9）成为
•
x i a iE d T siE j,T X j d m T iE m （7.16）
•
• •
这就D d 是S m 弹 性p cT m 电X Ed ,X 介T d质 Td 的m T a i 线X iEX 性i i状m T p 态n ,m X X 方E E m n 程。（ （方77程..11中87） ）的系数
Em gmi Xi mXnDn.
(7.29a)
• 上面四组方程中引入4个压电常量，它们的
定义及其在SI单位制中的单位如下：
• 单位为C／dmiN或D Xmm i ／EV;Exm i X
(7.30)
hmi E xm i DD Xm i X
• 单位为N／C或V／m;
(7.31)
• 单位为gVmim ／NE Xm i或Dm2／D xCim;X
• 引入
• （7.10） X i2 G E m T E m 2 G X i T E xm i T ,X DXmi
T,E
dmTi
E m 2 G T X T 2 G E m X D T m X ,E E S m T ,X p m X
应 用 热 电 系 数 pmD m/T 或 电 热 系 数
（ S/Em）描写；温度T与熵S改变量的
关系用比热c描写。
• 在式(7.10)—(7.12)中，利用特征函数G的二次
偏微商与微商次序无关的原理，得到如下的
关系式：
Exm i
T,X
DXmi
T,E
DTm
T,E
ESm
T,X
x源自文库i
X,E
电场附近作泰勒展开，取近似只保留一次项
•
xi x T i X ,Ed T X xij T ,EX j E xm i T ,XE m
（7.4）
• •
D m D T m X ,Ed T D X m i T ,EX i D E m n T ,XE n
• 上面压电方程是用矩阵元形式写的，如果用一个符号表示 整个矩阵，则压电方程为
x=sEX +d tE, D=dX+ XE,
(7.26b)
X=cD x-h tD,
E = -h x + X D , (7.28b)
X =cEX -e tE , D =ex+ XE,
（7.5）
•
d S T S X ,Ed T X S i T ,EX i E S m T ,XE m（7.6）
• 利用式（7.3），此三式成为
•
（7.7） x i X 2 iG T E d T X i2 G X j T ,E X j X i2 G E m TE m
• 虽然电致伸缩效应通常很弱，但在某些铁电体中 稍高于居里点时却相当强，而且铁电相压电常量 与电致伸缩系数有关，因此，研究电致伸缩也有 实用和理论两方面的意义。
§ 7．1 压电效应
7.1.1 线性状态方程和线性响应系数 • 处理电介质平衡性质的基本理论是线性
理论。该理论成立的条件是系统的状态 相对其初始态的偏离较小，在特征函数 对独立变量的展开式中可忽略二次以上 的高次项，而在热力学量对独立变量的 展开式中可以只取线性项。
• 以应变x和电场E为独立变量时，相应的方程为
Xi ciEj xj emiEm,
Dm
emi xi
X mn
En.
(7.27a)
• 以应变和电位移为独立变量时，相应的方程为
Xi ciDj xj hmiDm,
Em hmixi mXnDn.
(7.28a)
• 以应力和电位移为独立变量时，相应的方程为
xi siDj Xj gmiDm,
数称为物性张量。物性张量的阶决定于它所联系的物理量 张量的阶。矢量和标量分别是一阶和零阶张量。将一个p 阶张量与一个q阶张量联系起来的张量是一个n＝p+q阶的 张量。三维空间中的一个n阶张量共有3n个分量，这些分 量要用有n个附标(通常为下标)的符号来表示。
• 如果张量对称则独立分量个数减少。热电系数是一阶张量 (即矢量)，有3个独立分量。电容率和热胀系数都是对称 二阶张量有6个独立分量。压电常量联系二阶张量(应力或 应变)与一阶张量(电位移或电场)的三阶张量，因为应力或 应变是对称二阶张量，故压电常量只有18个独立分量。弹 性系数是联系两个二阶张量(应力或应变)的四阶张量，因 为应力和应变都是对称二阶张量，故弹性系数只有36个独 立分量。晶体对称性对这些张量施加了限制，使实际的分
• 先讨论以应力和电场为独立变量情况。 因为
d H T d S x id X i D m d E m(7.22) • 所以相应的特征函数是焓H。
• 利用与上面相似的方法[见式(7.4)－(7.18)] 得到的线性状态方程如下：
•
xi x Si EdTsiE j,SXjdm SiE m
（7.23）