【高一数学】必修一知识点梳理+习题
2x + 3
2
A． 3
B． − 3
C． 3或 − 3 D． 5或 − 3
24．已知
g(x)
=
1−
2x,
f
[ g ( x)]
=
1− x2 x2
(x
≠
0) ，那么
f
(1) 2
等于（
）
A．15 B．1
C．3 D． 30
25．设函数 y = ax + 2a +1，当 −1 ≤ x ≤ 1时，y 的值有正有负，则实数 a 的范围
§2.1.2、指数函数及其性质
1、 记住图象： y = a x (a > 0, a ≠ 1)
§2.2.1、对数与对数运算
1、 a x = N ⇔ loga N = x ；
2、 a loga N = a .
3、 loga 1 = 0 ， loga a = 1.
4、当 a > 0, a ≠ 1, M > 0, N > 0 时：
{ } =C x | x2 + 2x = − 8 0
满足 A B ≠ φ, ， A C = φ, 求实数 a 的值。
{ } { } 10．设U = R ，集合=A x | x2 + 3x +=2 0 ，=B x | x2 + (m +1)x +=m 0 ；
若 (CU A) B = φ ，求 m 的值。
函数 f (x) 为奇函数.奇函数图象关于原点对称.
第二章、基本初等函数（Ⅰ）
§2.1.1、指数与指数幂的运算
1、 一般地，如果 x n = a ，那么 x 叫做 a n 的 次方根。其中 n > 1, n ∈ N + . 2、 当 n 为奇数时， n an = a ；
当 n 为偶数时， n a n = a .
A B.
3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作： ∅ .并规定：空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合 A 中含有 n 个元素，则集合 A 有 2n 个子集.
§1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集.记
作： A B . 2、 一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A 与 B 的交集.记
必修 1 数学知识点
第一章、集合与函数概念 §1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互
异性、无序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。
3、 常见集合：正整数集合：N * 或 N + ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R .
为 9 ，则这个二次函数的表达式是
。
21．函数 y = (x −1)0 的定义域是_____________________。
x −x
22．已知函数 f (x)= ax2 − 2ax + 3 − b(a > 0) 在[1,3] 有最大值5和最小值 2 ，
求 a 、b 的值。
23．函数 f (x) = cx , (x ≠ − 3) 满足 f [ f (x)] = x, 则常数 c 等于（ ）
C． 任何集合必有一个真子集；
D． 若 S 为全集，且 A B = S, 则 A= B= S,
13．用列举法表示集合： M = {m| 10 ∈ Z, m ∈ Z} =
。
m+1
{ } { } 14．全集=S 1,3, x3 + 3x2 + 2x = ， A {1, 2x −1} ，如果 CS A = 0 , 则这样的
A． ( A C) (B C) B． ( A B) ( A C) C． ( A B) (B C) D． ( A B) C
A
B
C
2．设集合 A = {x − 3 ≤ x ≤ 2}= , B {x 2k −1 ≤ x ≤ 2k +1} ,且 A ⊇ B ，
则实数 k 的取值范围是
。
作： A B . 3、全集、补集？ CU A ={x | x ∈U ,且x ∉U} §1.2.1、函数的概念
1、 设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一
个数 x ，在集合 B 中都有惟一确定的数 f (x) 和它对应，那么就称 f : A → B 为集合 A
解：设 x1, x2 ∈ [a, b]且 x1 < x2 ，则： f (x1 ) − f (x2 )=…
§1.3.2、奇偶性
1、 一般地，如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x ，都有 f (− x) = f (x)，那么就称
函数 f (x) 为偶函数.偶函数图象关于 y 轴对称.
2、 一般地，如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x ，都有 f (− x) = − f (x)，那么就称
<
x
<
2)
，若
f
(x)
=
3 ，则
x
的值是（
）
2x(x ≥ 2)
A．1 B．1或 3
2
C．1， 3 或 ± 3
2
D． 3
18．为了得到函数 =y f (−2x) 的图象，可以把函数=y f (1− 2x) 的图象适当平移，
这个平移是（ ）
A．沿 x 轴向右平移1个单位 B．沿 x 轴向右平移 1 个单位
D． y = −x2 + 4
[ ] 31．设奇函数 f (x) 的定义域为 −5, 5 ，若当 x ∈[0,5] 时， f (x) 的图象如右图,则不等式
f (x) < 0 的解是
32．若函数 f (x) = (k − 2)x2 + (k −1)x + 3是偶函数，则 f (x) 的递减区间是
.
( ) 33．已知函数 f (x) 的定义域为 −1,1 ，且同时满足下列条件：（1） f (x) 是奇函数；
（2） f (x) 在定义域上单调递减；（3） f (1− a) + f (1− a2 ) < 0, 求 a 的取值范围。
34．已知函数 f (x)= x2 + 2ax + 2, x ∈[−5,5] .
{ } = 7．若 A {1= , 4, x}, B 1, x2 且 A B = B ，则 x =
。
8．已知集合 A = {x | ax2 − 3x + 2 = 0}至多有一个元素，则 a 的取值范围
；
若至少有一个元素，则 a 的取值范围
。
{ } { } 9 ． 集 合 =A x | x2 − ax + a2 −1=9 0 ， =B x | x2 − 5x +=6 0 ，
实数 x 是否存在？若存在，求出 x ；若不存在，请说明理由。
15．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）
⑴
y1
=
(x
+ 3)(x − 5) x+3
，
y2
=
x
−5；
⑵ y1 = x +1 x −1 ， y2 = (x +1)(x −1) ；
⑶ f (x) = x ， g(x) = x2 ；
⑷ f = (x) 3 x4 − x3 ， F= (x) x 3 x −1 ；
⇔ 函数 y = f (x)的图象与 x 轴有交点
⇔ 函数 y = f (x)有零点. 2、 性质：如果函数 y = f (x) 在区间 [a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
f (a)⋅ f (b) < 0 ，那么，函数 y = f (x)在区间 (a, b)内有零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得
b
=
1 log b
a
(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) .
§2..2.2、对数函数及其性质
1、 记住图象： y = loga x(a > 0, a ≠ 1)
§2.3、幂函数 1、几种幂函数的图象：
第三章、函数的应用 §3.1.1、方程的根与函数的零点
1、方程 f (x) = 0 有实根
到集合 B 的一个函数，记作： y = f (x), x ∈ A .
2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对
应关系完全一致，则称这两个函数相等.
§1.2.2、函数的表示法
1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.
§1.3.1、单调性与最大（小）值
1、 注意函数单调性证明的一般格式：
{ } 3．已知 A =y y =−x2 + 2x −1 , B ={ y y =2x +1} ，则 A B = _________。
{ } { } 4．已知集合 A = a2, a +1, −3 , B = a − 3, 2a −1, a2 +1 ，若 A B = {−3} ，
求实数 a 的值。
则求 5a − b 的值。
29．已知函数 f (x) = (m −1)x2 + (m − 2)x + (m2 − 7m +12) 为偶函数，
则 m 的值是（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
30．下列函数中,在区间 (0,1) 上是增函数的是（ ）
A． y = x B． y = 3 − x
C． y = 1 x
4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，则称
集合 A 是集合 B 的子集。记作 A ⊆ B . 2、 如果集合 A ⊆ B ，但存在元素 x ∈ B ，且 x ∉ A ，则称集合 A 是集合 B 的真子集.记作：
完整版)人教版高一数学必修一集合知识点以及习题
完整版)人教版高一数学必修一集合知识点以及习题高一数学必修第一章集合1.集合的概念集合是指一定范围内、确定的、可区别的事物，将其作为一个整体来看待，就叫做集合，简称集。
其中的各事物叫作集合的元素或简称元。
集合的元素具有三个特性：确定性、互异性和无序性。
确定性指元素是明确的，如世界上最高的山。
互异性指元素是不同的，如由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}。
无序性指元素的排列顺序不影响集合的本质，如{a,b,c}和{a,c,b}是同一个集合。
集合可以用大括号{…}表示，如{我校的篮球队员}、{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}。
集合也可以用拉丁字母表示，如A={我校的篮球队员}，B={1,2,3,4,5}。
集合的表示方法有列举法和描述法。
常用的数集及其记法有：非负整数集（即自然数集）记作N，正整数集记作N*或N+，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R。
2.集合间的关系集合间有包含关系和相等关系。
包含关系又称为“子集”，表示一个集合的所有元素都属于另一个集合。
如果集合A的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集，记作A⊆B。
如果A和B是同一集合，则称A是B的子集，记作A⊆B。
反之，如果集合A不包含于集合B，或集合B不包含于集合A，则记作A⊈B或B⊈A。
相等关系表示两个集合的元素完全相同，记作A=B。
真子集是指如果A⊆B，且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作A⊂B（或B⊃A）。
如果XXX且B⊆C，则A⊆C。
如果XXX且B⊆A，则A=B。
空集是不含任何元素的集合，记为Φ。
规定空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
3.集合的运算集合的运算包括交集、并集和补集。
交集是由所有属于A 且属于B的元素所组成的集合，记作A∩B。
并集是由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪B。
补集是由S中所有不属于A的元素所组成的集合，记作A的补集。
如果S是一个集合，A是S的一个子集，则A的补集为由S中所有不属于A的元素组成的集合。
人教版高一数学必修一知识点总结与练习题
人教版高一数学必修一知识点总结与练习题最新的人教版高一上学期数学提高模拟测验一、集合与逻辑1.理解集合的概念，如什么是集合、集合的元素、集合的表示方法等。
2.理解集合之间的关系，如包含、相等、子集、真子集等。
3.掌握集合的基本运算，如并集、交集、补集等。
4.理解逻辑连接词的概念，如或、且、非等，并能运用它们组成复合命题。
二、函数与映射1.理解函数的概念，如为什么需要函数、函数的定义、函数的表示方法等。
2.理解函数之间的关系，如函数的相等、函数的单调性等。
3.掌握函数的简单应用，如求函数的值域、最值等。
4.理解映射的概念，如映射的定义、映射的表示方法等。
三、幂函数与指数函数1.理解幂函数的概念，如幂函数的定义、幂函数的性质等。
2.掌握幂函数的图像与性质，如图像的分布、单调性等。
3.理解指数函数的概念，如指数函数的定义、底数与指数的关系等。
4.掌握指数函数的图像与性质，如图像的分布、单调性等。
四、对数与对数函数1.理解对数的概念，如对数的定义、对数表等。
2.掌握对数的性质，如对数的运算性质等。
3.理解对数函数的概念，如对数函数的定义、性质等。
4.掌握对数函数的图像与性质，如图像的分布、单调性等。
五、三角函数概念1.理解三角函数的定义，如正弦、余弦、正切等。
2.掌握三角函数的基本关系，如和角公式、倍角公式等。
3.能运用三角函数解决一些实际问题，如测量、计数等。
4.掌握三角函数的变换，如平移、伸缩等。
六、三角恒等变换1.理解三角恒等变换的概念，如什么是三角恒等变换、三角恒等变换的作用等。
2.能运用三角恒等变换的基本方法进行证明和化简，如和差化积、积化和差等。
3.能运用三角恒等变换解决一些实际问题，如测量、计数等。
4.掌握三角函数的图像与性质，如图像的分布、单调性等。
了解三角函数的应用，如三角函数在电路分析中的应用等。
七、数列概念与表示1.理解数列的概念，如什么是数列、数列的项、数列的表示方法等。
2.理解等差数列的概念，如等差数列的定义、通项公式等。
[高一数学]高一上数学必修一知识点及例题总结珍藏版
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3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集 是任何非空集合的真子集。
★有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个 真子集
第二章 函数
知识结构 概念 三要素 函 数 大小比较
图象 性质
指数函数 对数函数
方程解的个数
应用
不等式的解
实际应用
一、函数的有关概念
1、函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对 应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集 合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值 范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值 叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做 函数的值域．
2 2 { 1 , x , x x} 3.若 ，求实数 的值。
x
c.集合的表示：
注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N（0、1、2、· · · ） 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1、列举法：{a,b,c……} 2、描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括 号内表示集合的方法。{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3、语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4、韦恩图解法:
集合含义与表示集合间关系集合基本运算列举法描述法图示法子集真子集一集合有关概念一些对象一起考虑元素的确定性元素的互异性元素的无序性a某班所有高个子的学生b著名的艺术家c一切很大的书倒数等于它自身的实数2
第一章 集合
一、知识结构
列举法 描述法 图示法
子集 真子集 交集 并集 补集
高中数学必修1知识点总结及题型
高中数学必修1知识点总结及题型高中数学讲义必修一第一章复知识点一：集合的概念集合是由一些能够归纳在一起的对象构成的整体，通常用大写拉丁字母A、B、C等表示。
构成集合的对象称为元素，通常用小写拉丁字母a、b、c等表示。
不含任何元素的集合称为空集，记为∅。
知识点二：集合与元素的关系如果元素a是集合A的一部分，则称a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
知识点三：集合的特性及分类集合元素具有唯一性、无序性和互异性。
集合可以分为有限集和无限集。
有限集包含有限个元素，无限集包含无限个元素。
知识点四：集合的表示方法集合的元素可以通过列举法和描述法来表示。
列举法是将集合的元素一一列举，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法。
描述法是用集合所含元素的共同属性来表示集合的方法。
知识点五：集合与集合的关系子集是指集合A中的所有元素都是集合B中的元素，此时称集合A是集合B的子集，记作A⊆B。
如果A是B的子集且A不等于B，则称A是B的真子集，记作A⊂B。
空集是任何集合的子集，任何集合都是其本身的子集。
如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。
如果A是B的真子集，B是C的真子集，则A是C的真子集。
集合相等是指A是B的子集，B是A的子集，此时称A与B相等，记作A=B。
知识点六：集合的运算交集是指两个集合中共同存在的元素构成的集合，记作A∩B。
并集是指两个集合中所有元素构成的集合，记作A∪B。
1.自然语言中，由文字、符号和图形语言组成的集合，称为集合A与B的并集。
2.交集的运算性质包括：A∩B＝B∩A（交换律）A∩A＝A（恒等律）A∩∅＝∅（零律）A⊆B⇔A∩B＝A（吸收律）3.在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。
4.对于一个集合A，由全集U中除A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA。
高中数学必修一复习资料 知识点及习题及答案
专题一 集合与函数第一章 集合（一） 集合1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B. 如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，.②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集.④若集合A =集合B ，则C B A = ∅， C A B = ∅ C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ∅）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R}二、四象限的点集.③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集.例： ⎩⎨⎧=-=+1323y x y x 解的集合{(2，1)}.②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =∅）4. ①n 个元素的子集有 个. ②n 个元素的真子集有 个. ③n 个元素的非空子集有 个. ③n 个元素的非空真子集有 个.5. 集合运算：交、并、补.{|,}{|}{,}A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U 交：且并：或补：且C 6. 主要性质和运算律 （1） 包含关系：,,,,,;,;,.U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇C（2） 等价关系：U A B A B A A B B A B U ⊆⇔=⇔=⇔=C（3） 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A == 分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===等幂律：.,A A A A A A ==补：拓展：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.基本公式：(1)()()()()(2)()()()()()()()()card A B card A card B card A B card A B C card A card B card C card A B card B C card CA card ABC =+-=++---+【例题精练】1.（15年安徽文科）设全集{}123456U=，，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，则()U AC B =( )（A ）{}1256，，，（B ）{}1 （C ）{}2 （D ）{}1234，，， 【答案】B2. (15年广东理科) 若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =A ．∅B ．{}1,4--C ．{}0D ．{}1,4【答案】A ．3. (15年天津理科) 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U= ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合U A B =ð （A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8【答案】A4.集合{(,)02,02,,}x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)}．5.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ⋂=∅．6.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，则实数a 的值为8或27.已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a ，2，b 2}，且M ＝N ，求a ，b 的值 0、1或1/4、1/2 ． 8．设集合{}2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A U ⋂=__{1,2,3,4}___． 9.设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P +Q =},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P +Q 中元素的个数是___8_ 个．10．设集合2{60}P x x x =--<，{23}Q x a x a =≤≤+. （1）若P Q P ⋃=，求实数a 的取值范围； （2）若P Q ⋂=∅，求实数a 的取值范围； （3）若{03}P Q x x ⋂=≤<，求实数a 的值. 解：（1）由题意知：{23}P x x =-<<，P Q P ⋃=，Q P ∴⊆.①当Q =∅时，得23a a >+，解得3a >．②当Q ≠∅时，得2233a a -<≤+<，解得10a -<<． 综上，(1,0)(3,)a ∈-⋃+∞．（2）①当Q =∅时，得23a a >+，解得3a >； ②当Q ≠∅时，得23,3223a a a a ≤+⎧⎨+≤-≥⎩或，解得3532a a ≤-≤≤或．综上，3(,5][,)2a ∈-∞-⋃+∞．（3）由{03}P Q x x ⋂=≤<，则0a =．11.【易错点】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。
高一数学知识点梳理及例题
高一数学知识点梳理及例题在高一的数学学习中，学生将接触到许多新的数学知识点，这些知识点的掌握将直接影响到学生对数学的理解和应用能力。
在本文中，将对高一数学的重要知识点进行梳理，并给出一些例题供学生练习。
1.函数与方程在高一的数学中，函数与方程是一个重要的基础知识点。
学生需要理解函数与方程的定义以及它们之间的关系。
函数是自变量与因变量之间的关系，而方程则是使得等式成立的未知数的取值。
例题1：求函数f(x) = 2x + 1的零点和函数值在x = 2时的取值。
解：当f(x) = 0时，2x + 1 = 0，解得x = -1/2。
所以零点为-1/2。
当x = 2时，f(x) = 2(2) + 1 = 5。
所以函数值为5。
2.直线与圆的性质直线与圆是高一数学中常见的几何形状，学生需要熟练掌握直线和圆的性质，以便能够解决与它们相关的问题。
例题2：已知四边形ABCD是一个平行四边形，其中AB = 4，BC = 6，角A的度数为60°，求对角线AC的长度。
解：由于ABCD是一个平行四边形，所以AD也平行于BC。
由于角A的度数为60°，那么角ADC的度数也为60°。
根据余弦定理，可以得出AC的长度为√(4^2 + 6^2 - 2 × 4 × 6 × cos60°) = √16 + 36 - 24 ×1/2 = √52 = 2√13。
3.数列与和的概念学生在高一还将学习数列与和的概念，需要能够找出数列的规律并计算数列的和。
例题3：已知数列{an}的通项公式为an = 2n + 1，求前5项的和。
解：前5项的和可以表示为S5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = (2 × 1 + 1) + (2 × 2 + 1) + (2 × 3 + 1) + (2 × 4 + 1) + (2 × 5 + 1) = 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 45。
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必修 1 第一章集合与函数基础知识点整理第 1 讲 §1.1.1 集合的含义与表示¤学习目标 ：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用 数集及其记法、集合元素的三个特征 .¤知识要点 ：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ } ”括起来，基本形式为 { a 1, a 2 , a 3 , ,a n } ，适用于有限集或元素间存在规律的无限集 . 描述法， 即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为 { xA | P( x)} ，既要关注代表元素 x ，也要把握其属性 P(x) ，适用于无限集 .3. 通常用大写拉丁字母A, B, C,表示集合 .要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集N * 或N ，整数集 Z ，有理数集 Q ，实数集 R .4. 元素与集合之间的关系是属于 （ belong to ）与不属于 （ not belong to ），分别用符号 、 表示，例如 3N ，2 N .¤例题精讲 ：【例 1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：（ 1）由方程 x(x 2 2 x 3) 0 的所有实数根组成的集合；（ 2）大于 2 且小于 7 的整数 .解：（ 1）用描述法表示为： { x R | x( x 22x 3) 0} ；用列举法表示为 {0, 1,3} .（2）用描述法表示为：{ x Z | 2 x 7} ；用列举法表示为 {3,4,5,6} .【例 2】用适当的符号填空：已知A{ x | x 3k2,k Z } ， B{ x | x 6m1, m Z} ，则有：17A ；－ 5A ；17B.解：由 3k 2 17，解得 k5 Z ，所以 17A ；由 3k27Z ，所以5 A ；5，解得 k3由 6m 1 17 ，解得 m 3 Z ，所以 17 B . 【例 3】试选择适当的方法表示下列集合： （教材 P 6 练习题 2，13P A 组题 4）（1）一次函数 y x 3 与 y 2x 6 的图象的交点组成的集合；（2）二次函数 y x 2 4 的函数值组成的集合；（3）反比例函数y 2的自变量的值组成的集合 .xy x 3} {(1,4)} .解：（ 1） {( x, y) |2 xy6（2） { y | y x 2 4} { y | y 4} .（3） { x | y2} { x | x 0} .x{1,4} ，也注意对比 （ 2）点评 ：以上代表元素， 分别是点、 函数值、 自变量 . 在解题中不能把点的坐标混淆为与（ 3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.* 【例 4】已知集合 A{ a | x a 1有唯一实数解 } ，试用列举法表示集合A ．22x解：化方程x a为： x 2x ( a 2)0 ．应分以下三种情况：21x2⑴方程有等根且不是2 ：由 △ =0，得 a9，此时的解为 x1，合．42⑵方程有一解为 2 ，而另一解不是 2 ：将 x 2 代入得 a 2 ，此时另一解 x 1 2 ，合．⑶方程有一解为2 ，而另一解不是 2 ：将 x 2 代入得 a 2 ，此时另一解为 x2 1 ，合． 综上可知， A { 9 2, 2} ．,4. 注意分式方程易造成增根的现象.点评 ：运用分类讨论思想方法， 研究出根的情况， 从而列举法表示第 2 讲 §1.1.2 集合间的基本关系¤学习目标 ：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能利用 Venn 图表达集合间的关系 .¤知识要点 ：1. 一般地，对于两个集合 A 、B ，如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素， 则说两个集合有 包含关系，其中集合 A 是集合 B 的子集（ subset ），记作 A B （或 BA ），读作“ A 含于B ”（或 “B 包含 A ”） . 2. 如果集合 A 是集合 B 的子集（ AB ），且集合 B 是集合 A 的子集（ B A ），即集合 A 与集合 B 的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作 AB .3. 如果集合 A B ，但存在元素 xB ，且 x A ，则称集合 A 是集合 B 的真子集（ proper subset ），记作 AB（或 BA ） .4. 不含任何元素的集合叫作空集（ empty set ），记作 ，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质： A A ；若 A B ， BC ，则 AC ；若 A BA ，则 AB ；若 A B A ，则 B A .¤例题精讲 ：【例 1】用适当的符号填空：（1） { 菱形 } { 平行四边形 } ；{ 等腰三角形 }{ 等边三角形 }.（2）{ xR | 22 0；} 0{0} ；{0} ；N{0}.x解：（ 1） ， ； （2） =， ∈， ， .【例 2】设集合A{ x | xn, n Z} , B{ x | x n 1 , n Z } ，则下列图形能表示 A 与 B 关系的是（）.22A BB AAB ABA ．B ．3 C ． 1 3D ．1 1 3解：简单列举两个集合的一些元素，A {, 1, 1 } ， B{ ,32 ,0, ,1, ,, ,,, } ，易知 BA ，故答案选 A ．2 2 222 2 2另解 ：由B2n 1Z } ，易知 BA ，故答案选 A ．{ x | x2,n【例 3】若集合 M x | x 2x 6 0 , Nx | ax 1 0 ，且 NM ，求实数 a 的值 .解：由 x 2 x 6 0x2或3 ，因此， M2, 3 .（ i ）若 a0 时，得 N，此时， NM ；（ ii ）若 a 0 时，得 N{ 1 } . 若 N M ,满足12或13 ，解得 a1或 a1 . 或1a 1aa23故所求实数 a 的值为 0 或 .23” ，因为 A点评 ：在考察“ A B ”这一关系时，不要忘记“ 时存在 A B . 从而需要分情况讨论 .题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例 4】已知集合 A={ a,a+b,a+2b} ， B={ a,ax,ax 2}. 若 A=B ，求实数 x 的值 .a b ax22解：若2b ax 2a+ax -2ax=0, 所以 a(x-1) =0，即 a=0 或 x=1.a 当 a=0 时，集合 B 中的元素均为0，故舍去；2当 x=1 时，集合 B 中的元素均相同，故舍去 .若ab ax 2 2ax 2 -ax-a=0.a 2b ax因为 a ≠ 0，所以 2x 2-x-1=0, 即 (x-1)(2 x+1)=0.又 x ≠ 1，所以只有 x1 . 12.经检验，此时 A= B 成立 . 综上所述 x2. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.点评 ：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论第 3 讲 §1.1.3 集合的基本运算（一）¤学习目标 ：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用 Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 .¤知识要点 ：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到 掌握的层次 . 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下 .并集 交集 补集由所有属于集合 A 或属于集 由属于集合 A 且属于集合 B 对于集合 A,由全集 U 中不属于概念合 B 的元素所组成的集合， 的元素所组成的集合，称为 集合 A 的所有元素组成的集称 为 集 合 A 与 B 的 并 集 集 合 A 与 B 的 交 集 合，称为集合A 相对于全集 U（ union set ）（ intersection set ）的补集（ complementary set ）记号 A B （读作“ A 并 B ”） AB （读作“ A 交 B ”） e U A （读作“ A 的补集”）符号A B { x | x A,或 x B}A B { x | x A, 且 x B}e U A { x | x , 且x }U A图形U表示A¤例题精讲 ：【例 1】设集合 U R, A { x | 1x 5}, B{ x | 3 x 9}, 求 AB,e U ( AB) .解：在数轴上表示出集合 A 、 B ，如右图所示：BA B { x | 3 x 5} ， AC U ( A B ) { x | x 1,或 x9} ，-1 35 9x【例 2】设 A { x Z | | x | 6} ， B 1,2,3 , C 3,4,5,6 ，求：（1） A (B C ) ； （ 2） A e A ( B C ) .解：A6,5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,6 .（1）又 B C 3 ，∴ A (B C) 3 ；（2）又BC1,2,3,4,5,6，得 C A ( B C ) 6, 5, 4, 3, 2, 1,0 .∴ A C A (B C )6, 5, 4,3, 2, 1,0 .【例 3】已知集合 A { x | 2 x 4} ， B { x | x m} ，且 A BA ，求实数 m 的取值范围 .解：由 AB A ，可得 AB .在数轴上表示集合 A 与集合 B ，如右图所示：BA由图形可知， m 4 .-2 4 mx 点评 ：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得 到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题 .【例 4】已知全集 U{ x | x 10,且 x N * } ， A {2,4,5,8} ， B{1,3,5,8} ，求 C U (AB) ， C U ( A B) ，(C U A) (C U B) ， (C U A) (C U B) ，并比较它们的关系 .解：由 A B { 1,2,3,4,5,8}，则 C U ( A B){6,7,9} .由 A B {5,8}，则 C U ( A B){1,2,3,4,6,7,9}由 C U A{1,3,6,7,9} ， C U B{2,4,6,7,9}，则 (C U A)(C U B){6,7,9}，(C U A)(C U B){1,2,3,4,6,7,9} .由计算结果可以知道，(C U)()(A B) ，A C U B C U(C U A)(C U B)C U ( A B) .另解：作出 Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.点评：可用 Venn 图研究( C U A)(C U B)C U (A B) 与 (C U A)(C U B) C U ( A B) ，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.第 4 讲§1.1.3集合的基本运算（二）¤学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中的一些数学思想方法 .¤知识要点：1. 含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：C U ( A B) (C U A)( C U B), C U (A B)(C U A)(C U B).2.集合元素个数公式：n( A B)n( A) n( B) n( A B) .3.在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维.¤例题精讲：【例 1】设集合A4,2a 1,a2, B9,a5,1 a，若 A B 9 ，求实数 a 的值.解：由于 A4,2a1,a2 , B9,a5,1 a ，且 A B9，则有：当 2 a 1＝9时，解得a＝5，此时A={ － 4, 9, 25} ， B={9, 0, －4}，不合题意，故舍去；当a 2＝9 时，解得 a＝3或－ 3 .a＝3时，A={ －4,5,9} ，B={9, －2,－2} ，不合题意，故舍去；a＝－ 3， A={ －4, －7，9} ， B={9, －8, 4} ，合题意.所以， a＝－3 .【例 2】设集合 A { x | ( x 3)( x a) 0,a R} ， B{ x | ( x 4)( x 1) 0} ，求 A B , A B .（教材P14B 组题 2）解： B {1,4} .当 a 3 时，A{3} ，则 A B{1,3,4} ， A B；当 a1时，A{1,3} ，则 A B{1,3,4} ， A B{1} ；当 a 4 时，A{3,4} ，则 A B{1,3,4} ， A B{4} ；当 a 3 且 a 1且 a 4 时，A{3, a} ，则 A B{1,3,4, a} ， A B.点评：集合 A 含有参数 a，需要对参数 a 进行分情况讨论. 罗列参数 a 的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.【例 3】设集合 A ={x | x2 4 x0 }，B ={ x | x22( a1)x a210 ，a R}，若A B=B，求实数 a 的值．解：先化简集合A= {4,0} .由A B=B，则 B A，可知集合 B 可为，或为 {0} ，或 { － 4} ，或{ 4,0} .(i )若 B=，则4(a1)24( a 21)0 ，解得 a ＜ 1 ；(ii )若0 B ，代入得a2 1 =0 a =1或 a =1，当 a =1时，B= A，符合题意；当 a =1时， B={0}A，也符合题意．(iii )若－ 4 B，代入得a 270 a =7或 a =1，8a当a =1时，已经讨论，符合题意；当a =7时，B={－12，－4}，不符合题意．综上可得， a =1或 a ≤1．4点评 ：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用 . 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了 A=B 和 B= 的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题 .【 例 4 】 对 集 合 A 与 B ， 若 定 义 A B{ x | x A,且 x B} ， 当 集 合 A { x | x 8,x N * } ， 集 合B { x | x(x 2)( x 5)( x 6) 0} 时，有 A B = . （由教材 P 12 补集定义“集合A 相对于全集 U 的补集为 C U A { x | x , } ”而拓展）且x A解：根据题意可知， A {1,2,3,4,5,6,7,8} ， B {0,2,5,6}由定义 A B { x| x A, 且 x B} ，则A B{1,3,4,7,8} .点评 ：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A 中排除B 的元素 . 如果再给定全集U ，则 A B 也相当于 A (C U B) .第 5 讲 §1.2.1 函数的概念¤学习目标 ：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域 .¤知识要点 ：1. 设 A 、 B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应， 那么就称 f ：A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 （ function ），记作 y = f ( x) ， xA ．其中， x 叫自变量， x 的取值范围 A 叫作定义域（ domain ），与 x 的值对应的 y 值叫函数值，函数值的集合 { f ( x) | x A} 叫值域（ range ）.2. 设 a 、 b 是两个实数，且 a< b ，则： { x|a ≤ x ≤ b} ＝ [a,b] 叫闭区间； { x|a< x<b} ＝ (a,b) 叫开区间；{ x|a ≤ x< b} ＝ [ a,b) ， { x|a<x ≤ b} ＝ (a,b] ，都叫半开半闭区间 .符号：“∞”读“无穷大” ；“－∞”读“负无穷大” ；“ + ∞”读“正无穷大” . 则{ x | x a} (a, ) ， { x | x a} [a, ) ， { x | x b}( ,b) ， { x | x b}( , b] ， R( , ) .3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则 .当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数 .¤例题精讲 ：【例 1】求下列函数的定义域：（ 1） y1x 3.2；（ 2） y1x1 3x2解：（ 1）由 x 2 1 0 ，解得 x 1且 x 3 ，所以原函数定义域为 (, 3)( 3, 1) ( 1,) .x 3 0，解得 x 3 且 x 9 ，（2）由3x 1 2 0所以原函数定义域为 [3,9)(9,) .【例 2】求下列函数的定义域与值域：（ 1） y3x 2； （ 2） yx 2x 2 .5 4 x解：（ 1）要使函数有意义，则 5 4x 0 ，解得 x 55 . 所以原函数的定义域是{ x | x} .4 43x 2 1 12x 8 1 3(4 x 5) 23 3 23 y5 4 x4 5 4 x5 4x 4 5 4x 4（2） yx2x2( x 1 ) 2 9 . 所以原函数的定义域是2 4 【例 3】已知函数1 x x .求：（ 1） f (2) 的值； （ 2） f ( )1 x 解：（ 1）由1x2 ，解得 x1，所以 f (2)1 .1 x333 3，所以值域为 { y | y3 04 } .44R ，值域是 ( , 9 ] .4f (x) 的表达式（2）设1x t ，解得 x1 t ，所以 f (t ) 1 t，即f ( x)1 x .1x1 t 1t1 x点评 ：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.【例 4】已知函数f ( x)x 22 , x R .1 x（1）求 f (x)f ( 1f (2)f (3)f (4) f (1 1 1) .) 的值；（ 2）计算： f (1)) f ( )f ( x12342221 x2x11解：（ 1）由 f ( x)xx1.f ( )1 x2121 212x11xxxx2（2）原式 f (1) ( f (2)f ( 1)) ( f (3) f (1))( f (4) f ( 1)) 137234 2 2点评 ：对规律的发现，能使我们实施巧算 . 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键 .第 6 讲 §1.2.2 函数的表示法¤学习目标 ：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；了解映射的概念 .¤知识要点 ：1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势） ；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值） .2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的 x ，对应法则不同） .3. 一般地，设 A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f ，使对于集合 A 中的任意一个元素x ，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应f : AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射（ mapping ）．记作“ f : A B ” .判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f.¤例题精讲 ：【例 1】如图，有一块边长为 a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为 x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以 x 为自变量的函数式是 _____，这个函数的 定义域为 _______ ．解：盒子的高为 x ，长、宽为 a －2x ，所以体积为 V ＝ x(a －2x) 2.又由 a －2xa0 ，解得 x .2a} .所以，体积 V 以 x 为自变量的函数式是V x(a －2x)2 ，定义域为 { x | 0 x2332x( , 1 )【例 2】已知 f (x)=x2 xx 3 x 3，求 f[ f(0)] 的值 .x ( 1 ,)解：∵ 0 (,1) ，∴ f(0)= 32 .又 ∵ 3 2 >1，∴ f( 32 )=(32)3+( 3 2 )-3=2+1 = 5，即 f[ f(0)]= 5.【例 3】画出下列函数的图象： 2 22（1） y | x2 | ； （教材 P 26 练习题 3）（2） y | x 1| | 2x 4 | .解：（ 1）由绝对值的概念，有y | xx 2, x 2 2 |x, x.22所以，函数 y | x 2 | 的图象如右图所示 .63x 3, x 1（2）y | x 1| | 2x 4 |x 5, 2 x 1 ，3x 3, x2所以，函数y | x1|| 2 x 4 | 的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例 4】函数 f ( x)[ x] 的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4，[2.1] 2 ，当 x( 2.5,3] 时，写出 f ( x) 的解析式，并作出函数的图象.3, 2.5x22,2x11,1x 0解： f ( x)0,0x1. 函数图象如右：1, 1x22,2x33,x3点评：解题关键是理解符号m 的概念，抓住分段函数的对应函数式.第 7 讲§1.3.1 函数的单调性¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别.¤知识要点：1. 增函数：设函数 y=f(x) 的定义域为 I，如果对于定义域I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间 D 上是增函数（ increasing function ） . 仿照增函数的定义可定义减函数 .2.如果函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数，就说 f (x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间 D 叫 f(x)的单调区间 . 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2） . 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设x 1、 x 2∈给定区间，且x 1 < x 2；→计算 f (x 1 )－ f(x 2 ) →判断符号→下结论 .¤例题精讲：【例 1】试用函数单调性的定义判断函数 f ( x)2 x在区间（ 0， 1）上的单调性 . x 1解：任取 x , x∈ (0,1) ，且x x. 则f (x1 ) f ( x2 )2x12x21212x1 1x2 1由于 0 x1x2 1 ， x110 ， x2 1 0 ， x2 x10 ，故 f ( x1 )所以，函数 f ( x) 2 x在（ 0，1）上是减函数 .x 1【例 2】求二次函数 f ( x) ax2bx c (a0) 的单调区间及单调性解：设任意 x1 , x2R ，且 x1x2.则2( x2x1 ).(x1 1)(x2 1)f (x2 )0 ，即 f (x1 ) f ( x2 ) . .f ( x1 ) f (x2 )(ax12c)(ax22bx2c)2x22x2 )(x1x2 )[ a (x1 x2 )b] .bx1a( x1) b(x1若 a0 ，当x1x2b时，有 x1x20 ， x1x2b，即 a(x1x2 )b0 ，从而 f ( x1 ) f (x2 ) 0 ，2a a即 f ( x ) f ( x ) ，所以 f (x) 在( ,b]上单调递增 . 同理可得f ( x) 在[b)上单调递减 .122a【例 3】求下列函数的单调区间：2a （1）y | x 1|| 2x 4 | ；（2） y x2 2 | x | 3 .3x3,x1解：（ 1）y | x1|| 2 x4|x 5,2x 1 ，其图象如右.3x3, x2由图可知，函数在[2, ) 上是增函数，在(,2] 上是减函数.2，其图象如右 .（2） yx 2 2 | x |3x 2x 3, xx 22x 3, x 0由图可知，函数在 (, 1] 、 [0,1] 上是增函数，在 [ 1,0] 、 [1,) 上是减函数 .点评 ：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第 2 小题也可以由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧，得到f (| x |) 的图象 . 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.【例 4】已知 f ( x)3x 1，指出 f (x) 的单调区间 .x 2解：∵f ( x) 3( x 2) 5 3 5 ，x 2 x 2∴ 把g (x)5的图象沿 x 轴方向向左平移2 个单位，再沿 y 轴向上平移3 个单位，x得到 f ( x) 的图象，如图所示 .由图象得f ( x) 在 ( , 2) 单调递增，在 ( 2, ) 上单调递增 .点评 ：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知 f (x a) b 平移变换规律 .第 8 讲 §1.3.1 函数最大（小）值¤学习目标 ：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质 . 能利用单调性求函数的最大（小）值 .¤知识要点 ：1. 定义最大值：设函数y f (x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足：对于任意的x ∈ I ，都有 f ( x) ≤ M ；存在 x 0∈ I ，使得 f (x 0 ) = M. 那么，称 M 是函数 y f ( x) 的最大值（ Maximum Value ） . 仿照最大值定义，可以给出最小值（ Minimum Value）的定义 .b )22. 配方法：研究二次函数y ax 2bx c (a0) 的最大（小）值，先配方成y a (x24ac b 后，b 24ac b 22a4a当 a0 时，函数取最小值为 4ac ；当 a0 时，函数取最大值 .4a4a3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值 .4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.¤例题精讲 ：【例 1】求函数 y26的最大值 .xx 1解：配方为 y 6，由 ( x1 )2 33 ，得 06 8 .13 1( x 22 44( x23)4)422所以函数的最大值为 8.【例 2】某商人如果将进货单价为8 元的商品按每件 10 元售出时，每天可售出 100 件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1 元，其销售量就要减少 10 件，问他将售出价定为 多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润 .解：设他将售出价定为 x 元，则提高了 ( x 10) 元，减少了 10 (x 10) 件，所赚得的利润为y (x 8) [100 10 ( x10)] .即 y 10x 2 280x 1600 10( x 14)2 360 . 当 x 14时， y max 360 .所以，他将售出价定为 14 元时，才能使每天所赚得的利润最大 , 最大利润为 360 元 .【例 3】求函数 y2 xx 1 的最小值 .解：此函数的定义域为1,，且函数在定义域上是增函数，所以当 x 1时， y min 2 1 1 2 ，函数的最小值为 2.8点评 ：形如 y ax bcxd 的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究 .【另解】令 x 1t ，则 t 0 ， xt 2 1 ，所以 y 2t 2 t22(t 1 )2 15 ，在 t0 时是增函数，当 t 0 时， y min2 ，故函数的最小值为4 82.【例 4】求下列函数的最大值和最小值：2[ 5 , 3] ； （ 2） y | x 1| | x 2 | .（ 1）y 3 2x x , x2 2 解：（ 1）二次函数 y 32x x 2的对称轴为 xb，即 x1 .2a画出函数的图象，由图可知，当x1时， y max 4 ； 当 x3时， y min9 .24所以函数 y2x [5 , 3 ] 的最大值为 4,最小值为9 .3 2x x ,2 2 4（ 2） y | x 1| | x 2 |3 ( x 2) 2x 1 ( 1 x 2) .3 ( x 1)作出函数的图象，由图可知， y[ 3,3] . 所以函数的最大值为3, 最小值为 -3.点评 ：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.第 9 讲§1.3.2 函数的奇偶性. 理解奇函数、¤学习目标 ：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性.¤知识要点 ：1. 定义：一般地，对于函数f (x) 定义域内的任意一个 x ，都有 f ( x) f (x) ，那么函数 f (x) 叫偶函数（ evenfunction ）. 如果对于函数定义域内的任意一个 x ，都有 f ( x)f ( x) ），那么函数 f ( x) 叫奇函数（ odd function ）.2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y 轴轴对称 .3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别f ( x) 与 f ( x) 的关系 .¤例题精讲 ：【例 1】判别下列函数的奇偶性：（1） f (x) x 3 1 ； （ 2） f ( x) | x 1| | x 1| ；（ 3） f ( x) x 2x 3 .x { x | x0} ，对于定义域的每一个解：（ 1）原函数定义域为 x ，都有f ( x)( x) 31 (x 31 ) f (x) ， 所以为奇函数 .xx（2）原函数定义域为 R ，对于定义域的每一个x ，都有f ( x) | x 1 | | x 1 | x| 1 |x | 1f ，|x 所以为偶函数 .（3）由于 f ( x)x 2x 3f (x) ，所以原函数为非奇非偶函数.【例 2】已知 f ( x) 是奇函数， g ( x) 是偶函数，且 f ( x) g( x)1 ，求 f (x) 、 g( x) .解：∵ f (x) 是奇函数， g (x) 是偶函数，x1∴ f ( x)f ( x) ，g ( x)g ( x) .f (x)g ( x)1f (x)g ( x)1x 11则，即x .11f ( x)g( x)f ( x)g( x)x 1x 1两式相减，解得f ( x)x；两式相加，解得g (x)1x2.1x2 1【例 3】已知 f ( x)是偶函数，x 0时， f ( x) 2 x2 4 x，求x0 时f ( x)的解析式.解：作出函数 y 2 x24x2( x1)22, x0 的图象，其顶点为(1,2) .∵ f ( x) 是偶函数，∴其图象关于y轴对称.作出 x0 时的图象，其顶点为( 1,2) ，且与右侧形状一致，∴ x 0 时， f ( x)2( x 1)22 2 x24x .点评：此题中的函数实质就是y 2 x2 4 | x | .注意两抛物线形状一致，则二次项系数 a 的绝对值相同 . 此类问题，我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求，过程如下.【另解】当x0 时，x0 ，又由于 f ( x)是偶函数，则 f ( x) f ( x) ，所以，当 x0 时， f ( x) f ( x)2(x)24( x) 2 x24x.【例4】设函数 f ( x) 是定义在R 上的奇函数，且在区间(, 0) 上是减函数，实数 a 满足不等式f (3a2a3) f (3a 22a ) ，求实数a的取值范围.解：∵ f (x) 在区间 (,0) 上是减函数，∴ f (x) 的图象在y轴左侧递减.又∵ f ( x) 是奇函数，∴ f ( x) 的图象关于原点中心对称，则在y 轴右侧同样递减 .又 f (0) f (0) ，解得 f (0)0，所以 f (x) 的图象在R上递减.∵ f (3a2a3) f (3a 22a)，∴ 3a 2a33a 22a ，解得a1.点评：定义在 R 上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.集合与函数基础测试一、选择题 (共 12 小题，每题 5 分，四个选项中只有一个符合要求)1．函数y＝＝x2－ 6x＋ 10 在区间（ 2， 4）上是（）A ．递减函数B．递增函数C．先递减再递增D．选递增再递减．x y22．方程组{ x y0的解构成的集合是（）A ．{( 1,1)}B ．{1,1}C．（ 1，1） D ．{1}3．已知集合 A={ a， b， c}, 下列可以作为集合 A 的子集的是（）A. aB. { a， c}C. { a， e}D.{ a， b， c， d}4．下列图形中，表示M N 的是（）M NN M M N MNA B C D5．下列表述正确的是（）A.{ 0}B.{0}C.{ 0}D.{ 0}6、设集合 A＝ {x|x参加自由泳的运动员} ， B＝{x|x参加蛙泳的运动员} ，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为()A.A ∩BB.A BC.A ∪ BD.A B7. 集合A={x x 2k, k Z } ,B={ x x 2k 1,k Z },C={ x x4k 1, k Z }又a A, b B, 则有（）10A. （ a+b）AB. (a+b)BC.(a+b)CD. (a+b) A 、 B、 C 任一个8．函数f（x）＝－x2＋ 2（a－ 1）x＋ 2 在（－∞，4）上是增函数，则a的范围是（）a a a aA ．≥ 5B ．≥ 3C．≤ 3D．≤－ 59.满足条件 {1,2,3}M {1,2,3,4,5,6} 的集合 M 的个数是（）A. 8 B .7 C. 6 D.510.全集 U = {1，2，3，4 ，5 ，6，7 ，8 }， A= {3，4，5 }， B= {1，3，6 }，那么集合 { 2 ，7，8}是（）A. A BB. A BC.C U A C U BD. C U A C U B11.下列函数中为偶函数的是（）A ．y xB ．y x C．y x2D．y x3112. 如果集合 A={ x|ax 2＋ 2x ＋ 1=0}中只有一个元素，则 a 的值是（）A ．0B ．0 或 1C． 1D．不能确定二、填空题 (共 4小题，每题x4 分，把答案填在题中横线上)f x）＝2×2－ 3｜｜的单调减区间是 ___________．13．函数（14．函数y1的单调区间为 ___________．＝x＋1{ a,b,1} ，又可表示成 { a 2 , a15.含有三个实数的集合既可表示成b,0} ，则 a2003b2004.a16. 已知集合U{ x |3x 3}， M{ x | 1x 1}， C U N{ x | 0x2} 那么集合N， M (C U N )， M N.三、解答题 (共 4 小题，共44 分）17. 已知集合 A { x x240} ，集合 B{ x ax20} ，若B A ，求实数a的取值集合．18.设 f（ x）是定义在R上的增函数， f（xy）＝ f（ x）＋ f（ y），f（3）＝1，求解不等式 f（ x）＋ f（ x－2）＞ 1．19. 已知函数 f （ x）是奇函数，且当x＞0时， f （x）＝ x3＋2x2—1，求 f （ x）在R上的表达式．20. 已知二次函数 f (x)x 22(m 1)x2m m 2 的图象关于y 轴对称，写出函数的解析表达式，并求出函数 f ( x) 的单调递增区间 .必修 1 第一章集合测试集合测试参考答案：一、 1~5 CABCB6~10ABACC11~12cB二、 13［0， 3］，（－∞，－ 3）4414 （－∞，－ 1 ），（－ 1，＋∞）15-116 N{ x |3 x 0 或 2 x3} ；M(C U N ) { x | 0 x 1} ；MN { x | 3 x 1或 2 x 3} .三、 17 .{0.-1,1} ；18.解： 由条件可得 f xf xf x xf（3）．（）＋ （ － 2）＝ ［ （ － 2）］， 1＝所以 f x xf（ 3），又f xx xx＞ 3［ （ － 2）］＞ （ ）是定义在 R 上的增函数，所以有（ － 2）＞ 3，可解得12或 x＜－1．答案： x＞3或 x＜－1．19.．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （）＝x3＋ 2 2－ 1．因f（）为奇函数，∴f（ 0）＝ -1 ．x x x当x＜0时，－ x＞0， f （－ x）＝（－ x）3＋2（－ x）2－1＝－ x3＋2x2－1，∴ f （ x）＝ x3－2x2＋1．20.二次函数 f ( x)x22( m1) x 2m m 2的图象关于y 轴对称，∴ m1，则 f ( x)x21，函数 f ( x) 的单调递增区间为,0 .．。
高一数学第一章知识点例题
高一数学第一章知识点例题在高一数学的第一章，我们学习了一些重要的知识点，包括整式的加减乘除、一元一次方程、二元一次方程等等。
为了更好地理解和掌握这些知识点，我们来看几个例题。
1. 整式的加减乘除例题1：计算 (2x^2 - 3x + 4) + (x^2 + 5x - 2)。
解：按照整式加法的规则，将同类项相加。
(2x^2 - 3x + 4) + (x^2 + 5x - 2)= 2x^2 - 3x + 4 + x^2 + 5x - 2= (2x^2 + x^2) + (-3x + 5x) + (4 - 2)= 3x^2 + 2x + 2所以，(2x^2 - 3x + 4) + (x^2 + 5x - 2) = 3x^2 + 2x + 2。
例题2：计算 (3x^2 + 2x - 1) - (x^2 - 4x - 2)。
解：按照整式减法的规则，先改变被减整式中各项的符号，再按照整式加法的规则进行计算。
(3x^2 + 2x - 1) - (x^2 - 4x - 2)= 3x^2 + 2x - 1 - x^2 + 4x + 2= (3x^2 - x^2) + (2x + 4x) + (-1 + 2)= 2x^2 + 6x + 1所以，(3x^2 + 2x - 1) - (x^2 - 4x - 2) = 2x^2 + 6x + 1。
例题3：计算 (3x - 4)(2x + 5)。
解：按照整式乘法的规则，将第一个整式的每一项与第二个整式的每一项相乘，再将结果进行合并。
(3x - 4)(2x + 5)= 3x × 2x + 3x × 5 - 4 × 2x - 4 × 5= 6x^2 + 15x - 8x - 20= 6x^2 + 7x - 20所以，(3x - 4)(2x + 5) = 6x^2 + 7x - 20。
2. 一元一次方程例题4：解方程 2x + 5 = 13。
人教版高一数学必修一_第一章_知识点与习题讲解
人教版高一数学必修一_第一章_知识点与习题讲解一、实数的分布1.有理数和无理数有理数是可以用两个整数的比表示的数，包括整数、分数和循环小数。
无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数的比。
2.实数的分布实数是由有理数和无理数组成的。
实数可以表示在数轴上，有理数处于数轴上的有序点上，而无理数则处于数轴上的间断点上。
二、数列1.数列的定义数列由按照一定规律排列的数所组成，数列中的每一个数称为数列的项，其中第n个数称为第n项，用an表示。
2.数列的性质-数列可以是有限的或无限的；-数列可以是等差数列、等比数列或其他类型的数列；-数列的前n项和是指数列的前n项的和，用Sn表示。
三、逻辑与命题1.命题的定义命题是陈述一个明确的陈述句，可以判断真假的句子。
2.逻辑的基本运算-否定：命题p的否定是“非p”，用¬p表示；-合取：命题p和命题q的合取是“p并且q”，用p∧q表示；-析取：命题p和命题q的析取是“p或者q”，用p∨q表示；-排列：命题p和命题q的排列是“若p，则q”，用p→q表示。
四、命题间的逻辑关系1.充分条件和必要条件-充分条件：若命题p→q成立，则p是q的充分条件；-必要条件：若命题p→q成立，则q是p的必要条件。
2.等价命题等价命题是指两个命题具有相同的真值，可以通过推理得到。
-等价式：若命题p等价于命题q，则称p和q是等价命题，并用p↔q 表示；-基本等价式：德摩根定律、蕴含等价式等。
练习题1.将下列数分为有理数和无理数：-1，1.5，√2，0.25，π答案：有理数：-1，1.5，0.25；无理数：√2，π2.判断以下数列是否为等差数列，并求出它的公差：-3，6，9，12，15-1，4，9，16-4，1，-2，-5，-8答案：-是等差数列，公差为3；-不是等差数列；-是等差数列，公差为-33.判断以下命题是否为真命题：-如果数是2的整数倍，那么它一定是偶数；-闰年是指能被4整除但不能被100整除，或者能被400整除的年份；-如果a=b，那么a+c=b+c。
高一必修一数学知识点例题
高一必修一数学知识点例题第1节：函数1. 函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。
数学上常用f(x)表示函数。
例题1：设函数f(x) = 2x - 3，求f(4)的值。
解析：将x = 4代入函数表达式f(x) = 2x - 3中，得到f(4) = 2(4) - 3 = 5。
2. 函数的性质函数具有以下性质：- 定义域：函数的自变量x的取值范围。
- 值域：函数的因变量f(x)的取值范围。
- 奇偶性：当函数满足f(-x) = -f(x)时，称其为奇函数；当函数满足f(-x) = f(x)时，称其为偶函数。
- 单调性：当函数满足f(x1) ≤ f(x2) (x1 < x2)，则称其为递增函数；当函数满足f(x1) ≥ f(x2) (x1 < x2)，则称其为递减函数。
例题2：判断函数f(x) = x^3 - 2x^2 + x是否是奇函数还是偶函数。
解析：对于函数f(x)来说，有f(-x) = (-x)^3 - 2(-x)^2 + (-x) = -x^3 - 2x^2 - x = -f(x)，所以该函数是奇函数。
第2节：二次函数1. 二次函数的特征二次函数是具有形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
二次函数的图像为抛物线。
2. 二次函数图像的性质- 开口方向：当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
- 零点：二次函数的零点为方程ax^2 + bx + c = 0的解。
- 极值点：当抛物线开口向上时，函数的极小值点为顶点；当抛物线开口向下时，函数的极大值点为顶点。
例题3：已知二次函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求函数的零点和极值点。
解析：首先令f(x) = 0，得到x^2 - 2x + 1 = 0。
通过求解该方程，可以得到函数的零点。
再通过求导函数得到导函数f'(x)，令f'(x) = 0，求解方程得到函数的极值点。