江苏省2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练：22 不等式选讲

常考问题22

不等式选讲

1．(2011·江苏卷)解不等式：x ＋|2x －1|＜3.

解 原不等式可化为⎩⎨⎧ 2x －1≥0，x ＋(2x －1)＜3或⎩⎨⎧

2x －1＜0，x －(2x －1)＜3.

解得12≤x ＜43或－2＜x ＜1

2.

所以不等式的解集是{x |－2＜x ＜4

3}． 2．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )>2； (2)求函数y ＝f (x )的最小值．

解 (1)f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧

－x －5，x <－1

2，

3x －3，－12≤x <4，x ＋5，x ≥4.

当x <－1

2时，

由f (x )＝－x －5>2得x <－7， ∴x <－7； 当－1

2≤x <4时， 由f (x )＝3x －3>2得x >5

3， ∴5

3

2，得x >－3，∴x ≥4. 故原不等式的解集为

⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫x ⎪

⎪⎪

x <－7或x >

53. (2)画出f (x )的图象如图：

∴f (x )min ＝－9

2.

3．设a ，b ，c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1

c 3＋abc ≥2 3.

证明 因为a ，b ，c 为正实数，由均值不等式可得1a 3＋1b 3＋1

c 3≥331a 3·

1b 3·1c 3，即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3

abc .

所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3

abc ＋abc . 而3

abc ＋abc ≥2

3

abc ·

abc ＝23， 所以1a 3＋1b 3＋1

c 3＋abc ≥2 3.

4．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫

1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，

c 为何值时，等号成立．

证明 法一 因为a 、b 、c 均为正数，由平均值不等式得 a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )2

3， ① 1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13，

②

所以⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2

≥9(abc )－23.

故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫

1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23.

又3(abc )23＋9(abc )－2

3≥227＝63， ③

所以原不等式成立．

当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立． 当且仅当3(abc )23＝9(abc )－2

3时，③式等号成立． 即当且仅当a ＝b ＝c ＝31

4时，原式等号成立． 法二 因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得 a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，

所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .

① 同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1

ac ，

② 故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫

1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ac ＋31ab ＋31bc ＋31ac ≥6 3.

③

所以原不等式成立，

当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．

即当且仅当a ＝b ＝c ＝31

4时，原式等号成立． 5．若对任意x >0，x

x 2

＋3x ＋1

≤a 恒成立，求a 的取值范围．

解 ∵a ≥

x

x 2

＋3x ＋1

＝

1x ＋1x ＋3

对任意x >0恒成立，设u ＝x ＋1

x ＋3，∴只需a ≥1

u 恒成立即可．

∵x >0，∴u ≥5(当且仅当x ＝1时取等号)． 由u ≥5，知0<1u ≤15，∴a ≥1

5

.

6．(2013·沈阳模拟)已知关于x 的不等式|ax －2|＋|ax －a |≥2(a >0)． (1)当a ＝1时，求此不等式的解集；

(2)若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥2，

由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x 到1、2的距离之和大于等于2. ∴x ≥52或x ≤1

2

.

∴不等式的解集为⎩

⎨⎧⎭⎬⎫

x |x ≤12或x ≥52. 注：也可用零点分段法求解． (2)∵|ax －2|＋|ax －a |≥|a －2|，

∴原不等式的解集为R 等价于|a －2|≥2， ∴a ≥4或a ≤0.又a >0，∴a ≥4.