2019年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
vn 条件收敛，则（ n 1 n
）
（A） un vn 条件收敛
n 1
Байду номын сангаас
（B） un vn 绝对收敛
n 1
Born to win （C） (un vn ) 收敛
n 1
（D） (un vn ) 发散
n 1
【答案】B 【解析】
1 , vn (1) n ; 3 n 1 1 D : 反例un 3 , vn (1) n ; n ln n A、C : 反例un
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写 ．．． 出文字说明、证明过程或演算步骤.
x 2 x , x 0, （15） （本题满分 10 分）已知 f ( x ) x 求 f '( x ) ，并求 f ( x ) 的极值 xe 1, x 0，
1 1 (9) lim n 1 2 23 1 n n 1
【答案】 e 1
1 1 1 【解析】 原式= lim(1 n 2 2 3
1 1 n 1 n ) lim(1 ) e1 n n n+1 n+1
令 y '' 0得x 0或x 当 x 时y '' 0;当x 时，y '' 0，故( ,-2)为拐点 (11) 已知 f x 【答案】 【解析】 x 2 f ( x)dx
0 1 3 3 1x 1x x3 1 f ( x) 0 f '( x)dx 0 1 x 4 dx 0 3 0 3 3
QA 500 PA2 PA PB 2PB 2 , PA 10, PB 20 ，求 A 商品对自身价格的需求弹性
AA 0
【答案】 【解析】 PB 20时，QA 500 PA2 20PA 800
dQA PA PA · = (2 PA 20)? dPA QA 1300 PA2 20 PA
1 1 【解析】 x tan x x ( x x3 o( x3 )) ~ x3 , 故 k 3. 3 3
（2）已知方程 x5 5x k 0 有 3 个不同的实根，则 k 的取值范围（ （A） (, 4) 【答案】D 【解析】
令f ( x) x5 5 x k , 则f ( x) 5 x 4 5 5( x 4 1) 5( x 2 1)( x 2 1) 则x 1, f ( x) 0; 1 x 1, f ( x) 0; x 1, f ( x) 0; 又 lim f ( x)=+， lim f ( x)= ,
在 x 0 附近 当 x 0 时， f '( x) 0. f ( x)单调递减 . 当 x 0 时， f '( x) 0. f ( x)单调递增 . 故 f ( x)在x 0取极大值.f (0) 1 .
, )具 有 2 阶 连 续 偏 导 数 ， 且 （ 16 ） （ 本 题 满 分 10 分 ） 已 知 f (u g ( x, y ) xy f ( x y, x y ) ，求
2 g 2 g 2 g f11 '' 2 f12 '' f 22 '' 1 f11 '' f 22 '' f11 '' 2 f12 '' f 22 '' x 2 xy y 2 1 3 f11 '' f 22 ''
2 g 2 g 2 g . x 2 xy y 2
【答案】 【解析】 g ( x, y ) xy f ( x y, x y )
g y f1 ' f 2 ' x
2 g f11 '' f12 '' f 21 '' f 22 '' f11 '' 2 f12 '' f 22 '' x 2
N ( ,2 2 )
P( X Y 1) P( 1 Z 1) P( 1 ) 1 ，故 A 正确 2
1 Z 1 ) 2 2 2
2(
二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸 指定位置 ．．．
Born to win 上.
Born to win 2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 ——跨考教育数学教研室 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. ．．． （1）当 x 0 时，若 x tan x与x k 是同阶无穷小，则 k （A）1. （C）3. 【答案】C （B）2. （D）4.
（8）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从正态分布 N ( , 2 ) .则 P X Y 1 A.与 无关，而与 2 有关. C. 与 , 2 都有关. 【答案】A 【解析】 X , Y 独立，服从正态分布，则 z x y B. 与 有关，而与 2 无关. D. 与 , 2 都无关.
1
x
1
1 t 4 dt ，则 x 2 f x dx
0
1
3 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 4 4 4 2 1 x d (1 x ) ? （1+x ） = = 0 3 4 12 3 18 18 0
(12) A、B 两商品的价格分别为 PA , PB ，需求函数
Born to win
【答案】 【解析】当 x 0 时. f '( x) (e2 x ln x ) ' e2 x ln x (2lnx 2) x2 x (2lnx 2) 当 x 0 时. f '( x) ( xe x ) ' e x xe x .
f '(0) lim
的拐点坐标为
3 (10) 曲线 y x sin x 2cos x x 2 2
【答案】 【解析】 y ' sin x x cos x 2sin x x cos x sin x
y '' cos x x sin x cos x x sin x
E ( x) xf ( x)dx
2
0
x2 1 2 4 dx x3 |0 2 6 3
x0 0 x2 x2
0 xt x F ( x) f (t )dt dt 0 2 1
1 P( F ( x) E ( x) 1) P( F ( x) ) 3 2 x x2 1 2 2 P( ) P( x ) 2 dx 4 3 3 3 3 2
2 g 1 f11 '' f12 ''( 1) f 21 '' f 22 ''( 1) 1 f11 '' f 22 '' xy
g x f1 ' f 2 ' y
Born to win
2 g f11 '' f12 '' f 21 '' f 22 ''( 1) f11 '' 2 f12 '' f 22 '' y 2
x 0
f ( x) f (0) xe x 1 1 lim 1 x 0 x0 x
f ( x) f (0) x2 x 1 2 x ln x f '(0) lim lim lim x 0 x 0 x 0 x0 x x
x 2 x (2lnx 2), x 0 故 f '( x) x e (1 x), x 0
由题干分析出 1为特征方程r 2 ar b 0的二重根,即 r 1 =0
2
（B）1,0,2
（C）2,1,3
（D）2,1,4
故a 2, b 1; 又e x为y 2 y y ce x的解, 代入方程得c 4.
（4）若 nun 绝对收敛，若
n 1
故R( A* ) 0.
（6）设 A 是 3 阶实对称矩阵， E 是 3 阶单位矩阵，若 A2 A 2E ,且 | A | 4 ,则 二次型 xT Ax 的规范形为
2 2 A. y12 y2 . y3 2 2 C. y12 y2 . y3 2 2 B. y12 y2 . y3 2 2 D. y12 y2 y3
x ,0 x 2, （14）变量 X 的概率密度为 f ( x ) 2 ，F ( x ) 为 X 的分布函数，EX 为 0, 其他，
X 的数学期望，则 P F ( X ) EX 1 ________
【答案】
2 3
x ,0 x 2 f ( x ) 2 【解析】 0 , 其他
（7）设 A, B 为随机事件，则 P( A) P( B) 的充分必要条件是 A. P( A B) P( A) P( B) C. P( AB) P( B A) 【答案】C 【解析】 A选项 P( AB) 0 ,故 A 排除
B选项 A、B 独立，故 B 排除
B. P( AB) P( A) P( B) D. P( AB) P( AB)
考研数学三真题解析
x2
【答案】（1） y(x) = xe 2 . （2）
【解析】（1）
y(
x)
=
e−
−
xdx
C
+
1 2x
x2
e2
e−xdx
=
x2
e2
(C
+
x ).
x2
因为 y(1) = e ，故 C = 0 ，所以 y(x) = xe 2 .
（2）由旋转体体积公式，
V = π
2
C. 与 ， 2 都有关.
D. 与 ， 2 都无关.
【答案】A
【解析】X − Y ~ N (0, 2 2 ，所以 P{ X − Y 1} = (1− 0 ) = ( −1− 0) = 2( 1 ) −1；
2
2
2
选A
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．
当x = 0：
������+′(0)
=
lim
������→0+
������(������)
− ������
������(0)
=
lim
������→0+
������2������ − ������
1
=
lim
������→0+
������ 2������������������������ ������
的规范形为（ ）
A. y12 + y22 + y32
B. y12 + y22 − y32 C. y12 − y22 − y32
D. − y12 − y22 − y32
2019年数三考研真题
2019年数三考研真题2019年数三考研真题解析随着时间的推移，考研已经成为众多大学毕业生进一步深造的重要途径之一。
其中，数学科目是众多考生头疼和焦虑的重点，而数学三（数学分析）更是备考难度较大的一门。
为帮助考生更好地应对2019年的数三考研真题，本文将对真题进行详细解析。
第一部分：函数论1. 考题：设f(x)为实数到实数的函数，满足f(1)+f(2)=3，且对于任意的x和y，有f(xy)=xf(y)+yf(x)，求f(2019)的值。
解析：首先，根据条件f(1)+f(2)=3，我们可以得到f(2)=3-f(1)。
然后将f(2)和原方程代入得到：f(2x)=2xf(1)+(3-f(1))f(x)。
进一步代入得到f(2)=3-f(1)。
接下来，我们可以计算f(4)、f(8)、f(16)......逐渐推导出各个数的f(x)值。
最终得到f(2019)的值。
第二部分：数列与级数2. 考题：已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=-1$，且$a_{n+1}=\frac{1}{1+a_n}$，求数列$\{a_n\}$的极限。
解析：该数列按照规律迭代计算可以得到：$a_2=-\frac{1}{2}$，$a_3=\frac{1}{3}$，$a_4=\frac{1}{4}$，以及$a_5=-1$。
观察可知数列$\{a_n\}$是一个循环数列，当$n \geq 4$时，数列重复出现。
因此，数列的极限是-1。
第三部分：微分方程3. 考题：已知微分方程$xy'=\sqrt{x^2-y^2}$，且曲线过点$(1, 0)$，求该微分方程的通解。
解析：首先，将方程进行变量分离得到$\frac{dx}{\sqrt{x^2-y^2}}=\frac{dy}{x}$。
接着，对方程的变量进行分离，然后进行积分操作，得到$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-y^2}}=\int \frac{dy}{x}$。
进一步求解得到$\arcsin \frac{y}{x}=ln |x|+C$，其中C为常数。
2019研究生数学考试数三真题及解析及解析
2019年全国硕士研究生入学统一考试（数学三）试题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.当0→x 时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ） （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4【答案】（C ）【解析】331~tan 3=∴--k x x x ，故选（C ） 2.已知方程550x x k -+=有3个不同的实根，则k 的取值范围是（ ） （A ）)4,(--∞ （B ）),4(+∞（C ）)4,4(-（D ）），44(- 【答案】（D ）【解析】设k x x x f +-=5)(5，则55)(4-='x x f ，令0)(='x f ，得1±=x 由题意知，f(x)=0有3个实根，在(,1),(1,1),(1,)-∞--+∞分别具有一个实根，又(),(1)4,(1)4,()(1)40,(1)40f f k f k f f k f k -∞=-∞-=+=-++∞=+∞∴-=+=-+＞＜故44＜＜k -3.已知微分方程xce by y a y =+'+''的通解为x e e x C C y x++=-)(21，则a ，b ，c 依次为（ ）（A ）1, 0, 1 （B ）1, 0, 2 （C ）2, 1, 3（D ）2, 1, 4【答案】（D ）【解析】由题意，xe y =是非齐次方程的特解，x e x c c y -+=)(21是齐次方程的通解，因此-1是特征方程02=++b a λλ的二重根且c b a =++1，由此解得4,1,2===c b a 4.若∑∞=1n n un 绝对收敛，1nn v n ∞=∑条件收敛，则（ ） （A ）∑∞=1n nn vu 绝对收敛（B ）∑∞=1n nn vu 绝对收敛（C ）∑∞=1n nn vu 收敛 （D ）∑∞=1n nn vu 发散【答案】（B ） 【解析】∑∞=1n n n v 条件收敛故0lim =n v n，由有界性，0..n v C s t C n ∃≤＞，故n ·nu nn n n v u v nu C n =≤，而1n n nu ∞=∑收敛5.设A 是4阶矩阵，A*为A 的伴随矩阵，若线性方程组Ax=0的基础解系中只有2个向量，则=)(*A r （ ） （A ）0（B ）1（C ）2（D ）3【答案】（A ）【解析】A x =b 的基础解系中只有2个向量，所以4()2r A -=，则r(A)=2。
2019年全国研究生考试数学(三)真题和答案
7.设 A,B 为随机事件，则 P （A ） P （B ） 的充分必要条件是2019 全国研究生考试数学三真题、选择题1.当x 0时，若 x tanx 与 x 为同阶无穷小，则 k （）A. 0B.1C.2D.32.已知 x 55x k 0有3个不同的实根，则 k 的取值范围为（）A. , 4B. 4，C.[ 4,4] D（. 4，4）3.已知 y ay by ce x的通解为 y （C 1C 2x ）e -xe x,则a,b,c 的 值 为（ ）A.1,0,1B.1,0,2C.2,1,3D.2,1,4 4.已知 nu n绝对收敛， vn条件收敛，则下列正确 的是（）n 1 n 1nA. u n v n条件收敛B. u n v n绝对收敛n 1 n 1C.( u nv n)收敛n1D.( u nv n)发散n15已知A 为4阶矩阵， A *为A 的伴随矩阵，且 Ax 0的基础解析有 2个 线性无关的解，则 r(A ) ( )A.0B.1C.2D.36.设 A 是 3阶实对称矩阵， E 是3阶单位矩阵 .若 A 2A 2E ，且 A 4 ，则二次型x T Ax 的规范形为 222A. y 1 y 2 y 3 .222B. y 1 y 2 y3 . 222C.y 1 y 2 y 3 . 222D. y 1 y 2 y3 .A. P(A B) P(A) P(B).B. P(AB) P(A)P(B).C. P(AB) P(BA).D.P(AB) P(AB).8.设随机变量 X 与Y 相互独立，且都服从正态分布 N( , 2)，则P X Y 1 A.与 无关，而与有关 . B.与 有关，而与无关 .2C. 与 , 都有关 .2D.与 , 2都无关 .．填空题， 9~14小题，每小题 4 分，共 24分.n1 1 19. limn1 2 2 3 n n 1310. 曲线 y xsinx 2cos <x <的拐点坐标为2211. 已知 f x 1 t 4dt ，则 x 2f x dx1012. A, B 两 种 商 品 的 价 格 为 p A , p B ,A 商 品 的 价 格 需 求 函 数 为X 为 X 的数学期望，则 P F (X ) X 1三、解答题500 p 2A2 2p B 2,则当 p A =10， p B =20 时，A 商品的价格需求弹AA ( AA>0 )=1 0113. 设 A 11 1 ， b 0 1 a2 11 ，若 Ax b 有无穷多解，则 a= a14 设随机变量 X 的概率密度为 f(x),0 x 22 F (x ) 为 X 的分布函数，0 ，其他，p A p B0 f '(x)并求f (x)的极值，求19.设 a n 0 x n 1 x 2dx ，n=(0，1，2⋯)15.已知函数 f ( x)2xx x xe 116. 设 f (u ， v) 具有连续2 阶 偏 导 数 ， g(x,y) xy f(x y,x y),求222ggg22x x y y17.y(x) 显微分方程xy1 2xx 2e 2满足条件 y(1) e 的特解 .1)求 y(x ) 2)区域 D ( x, y )12,0 y y(x) ，D 绕 x 轴旋转的旋转体的体积x18.求曲线 y e sin x( x0) 与 x 轴之间图形的面积。
(完整版)2019考研数学三真题及参考答案解析
2019全国研究生考试数学三真题及参考答案解析一、选择题1.（）为同阶无穷小，则与时，若当=-→k xx x x ktan 0 A.0 B.1 C.2 D.3 2.的取值范围为（）个不同的实根，则有已知k k x x 3055=+- A.()4-∞-, B.()∞+，4 C.]44[,- D.），（44- 3.c ,b ,a ,x C C y ce by y a y x -x x 则的通解为已知e )e (21++==+'+''的值为（ ）A.1,0,1B.1,0,2C.2,1,3D.2,1,44.的是（）条件收敛，则下列正确绝对收敛，已知∑∑∞=∞=11n nn n nv nu A.条件收敛nn n v u ∑∞=1 B.绝对收敛∑∞=1n nn v uC.）收敛（nn nv u +∑∞=1D.）发散（nn nv u +∑∞=15个的基础解析有的伴随矩阵，且为阶矩阵，为已知204*=Ax A A A 线性无关的解，则) ()(=*A r A.0 B.1 C.2 D.36.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++.B.232221y y y -+.C.232221y y y --.D.232221y y y ---.7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是A.).()()(B P A P B A P +=YB.).()()(B P A P AB P =C.).()(A B P B A P =D.).()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2σμN ，则{}1<-Y X P A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与2,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.二．填空题，9~14小题，每小题4分，共24分.9.()=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯∞→nn n n 11321211lim Λ 10. 曲线⎪⎭⎫⎝⎛-+=232cos 2sin ππ＜＜x x x y 的拐点坐标为 11. 已知()t t x f xd 114⎰+=，则()=⎰x x f x d 10212. A, B 两种商品的价格为A p ,B p ,A 商品的价格需求函数为222500B B A A p p p p +--,则当A p =10，B p =20时，A 商品的价格需求弹性AA η(0＞AA η)=13. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1101111012a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a b 10，若b Ax =有无穷多解，则a= 14 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，020,2)(x xx f ）（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）（ . 三、解答题15.已知函数⎩⎨⎧≤+>=010)(2x xe x x x f x x ，求的极值并求)(f )('f x x16.设)(v u f ，具有连续的2阶偏导数，求),,(),(y x y x f xy y x g -+-=22222y gy x g x g ∂∂+∂∂∂+∂∂ 17.)(x y 显微分方程2221'x e xxy y =-满足条件e y =)1(的特解.（1）求)(x y（2）区域D {})(0,21,x y y x y x ≤≤≤≤）（，D 绕轴旋转的旋转体的体积 18.求曲线)0(sin >=-x x e y x与x 轴之间图形的面积。
2019年研究生入学考试数学三重点试题参考解析
2019年研究生入学考试数学三重点试题参考解析一、填空题〔此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上〕(1)设函数f(x)满足xx f +='1)(l n ，f(0)=0.那么220cosln )(lim2x dt t x f x x ⎰-→=______________.[解]应填–2.由x x f +='1)(ln 2)0(1)(='⇒+='⇒f e x f x，因此22cos ln )(lim2xdt t x f x x ⎰-→=1cos )(lim22-⎰→x duu f x x =4021)(lim2x duu f x x -⎰→=.2)0(22)(lim320-='-=-⋅→f x xx f x (2)设),(y x ϕ连续，假设),(),(y x y x y x f ϕ-=在点(0,0)处关于x,y 的偏导数均存在，那么),(y x ϕ应满足_______________.[解]应填.000=），（ϕ由题设)0,()0,(x x x f ϕ=在x=0处关于x 的导数存在，得.000=），（ϕ (3)1)(21)(1+=⎰x f dt tx f ，且f(1)=1，那么f(x)=_________________. [解]应填-x+2.由1)(21)(10+=⎰x f dt tx f ⎰⎰+=⇒+=⇒x x x x xf du u f x f du u f x 00)(21)(1)(21)(1,有1)(21)(21)(+'+=x f x x f x f ，即2)()(-=-'x f x f x ，解此微分方程，得f(x)=cx+2,由f(1)=1,知c=-1,故f(x)=-x+2.(4)二次型f x x x x ax x x x x x ax x (,,)123122232122313222=+++--的正负惯性指数基本上1，那么a=.[解]应填-2A a a a =----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥111111，由于r(A)=1+1=2⇒=--+=A a a ()()1202假设a=1,那么r(A)=1,不合题意； 假设a=-2λλλλλλλE A -=----+--=-+=⇒112121211330()().330321-===λλλ，， 符合题意，故a=-2.(5)设A,B 独立，P(A)=0.5,P(B)=0.6，那么)(B A B A P =. [解]应填.85)(B A B A P =)())((1)(1B A P B A AB P B A AB P -=-=.85)()(1=-B A P AB P(6)设X 和2S 为总体B(m,p)的样本的样本均值和样本方差，假设2kS X -为2mp 的无偏可能，那么常数k=.[解]应填1.由题设，)1(,2p mp ES mp X E -==，因此22)1()(mp p kmp mp kS X E =--=-， 知k=1.【二】选择题〔此题共8小题，每题4分，总分值32分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内〕(7)设.0,0,0,sin 1,0,1sin )1ln(1)(0232>=<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⎰x x x dt t x x x x x f x 那么f(x)(A)极限不存在.(B)极限存在但不连续. (C)连续但不可导.(D)可导.[] [解]应选C.因为)0(0)(lim ),0(0)(lim 0f x f f x f x x ====+-→→，因此f(x)在x=0处连续.而)0(-'f 不存在，故应选(C).(8)设函数f (x )在(-∞,+∞)内连续，⎰--=xdt t x f x t x F 0)()2()(.假如f (x )是单调增加的偶函数，那么F (x )是 (A)单调增加 的偶函数. (B)单调增加 的奇函数. (C)单调减少 的偶函数.(D)单调减少 的奇函数.[][解]应选C.令u =x -t ，F (x )=⎰⎰⎰-=-xxxdu u uf du u f x du u f u x 0)(2)()()2(，因此，⎰xdu u f 0)(为奇函数，⎰x du u uf 0)(为偶函数，即F (x )为偶函数.又0)]()([)()()(0<-=-='⎰⎰xxdu x f u f x xf du u f x F ，即F (x )单调减少. 因此，选(C).(9)设a 和b 为常数，且b a dt e e xt xx =+⎰-+∞→][lim 02，那么(A)a=0，b=1(B)a=-1，b=1 (C)1,2-=-=b a π(D)0,2=-=b a π[][解]应选D 由于⎰⎰-=-=-=∞+--+∞→xt t x dt e dt ea 02lim22π，021lim 21lim][lim 02=-=-⋅=+=+∞→--+∞→-+∞→⎰xe xe a dt e e b x x x x xt x x 故应选(D).(10)设f (x )连续可导，222:r y x D ≤+，那么dxdy y x f r Dr ⎰⎰++→)(1lim 222等于(A))0(f π(B))0(f '(C)2πf(0)(D)2)0(f 'π[] [解]应选A.dxdy yxf rDr ⎰⎰++→)(1lim 2220=).0(2)(lim 2)(lim2022020f rrr f r d f d r rr ππρρρθπ==++→→⎰⎰故应选(A).(11)设正项级数∑∞=1n n u 的部分和为n S ，又nn S v 1=，级数∑∞=1n n v 收敛，那么(A)∑∞=1n nu收敛(B)∑∞=1n nu发散(C)∑∞=-11n n nu ）（条件收敛(D))11∑∞=+-n n n u u （收敛[] [解]应选B.由收敛的必要性知，0lim =∞→n n v ，因此∞=∞→n n S lim ，故应选(B).(12)设A 为n m ⨯阶矩阵，考虑以下命题：①Ax=0只有零解；②Ax=b 有唯一解；③A的行向量组线性无关；④A 的列向量组线性无关.那么有(A)①⇒②⇒④.〔B 〕②⇒①⇒④. (C)④⇒①⇒③.(D)③⇒②⇒①.[] [解]应选B.Ax=b 有唯一解，知n b A r A r ==)()( ，因此Ax=0只有零解，进而可推知A 的列向量组线性无关，故应选(B).(13)设A 为n 阶矩阵，考虑以下命题：1〕A 与TA 有相同的特征值与特征向量；2〕假设A~B,那么A,B 有相同的特征值与特征向量；3〕假设A,B 有相同的特征值，那么A,B 一定相似于同一个对角矩阵；4〕假设A,B 有相同的特征值，那么r(A)=r(B).成立的命题有(A)1个(B)2个.(C)3个.(D)0个.[] [解]应选D.A 与TA 有相同的特征值但特征向量不相同；A~B,那么A,B 有相同的特征值但同样特征向量不一定相同；A,B 有相同的特征值，但A,B 不一定可对角化，从而不一定相似于同一个对角矩阵；A,B 有相同的特征值，推不出r(A)=r(B)，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0000,0010B A .故应选(D).(14)设(X,Y)为二维随机变量，那么X 与Y 独立的充要条件为(A)Y X 与独立.(B)22Y X 与独立.(C)33Y X 与独立.(D)44Y X 与独立.[] [解]应选C.假设X,Y 独立，那么Y X 与、22Y X 与、33Y X 与、44Y X 与均独立；但反过来，只有33Y X 与独立时，才可推导出X 与Y 独立，即),(),(3333y Y x X P y Y x X P ≤≤=≤≤=)()(3333y Y P x X P ≤≤ =)()(y Y P x X P ≤≤ 故应选(C).【三】解答题〔此题共9小题，总分值94分.解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤〕(15)(此题总分值8分)设f(x)=)](ln )(ln [sin lim 2x g tx g t x t t -+∞→π,其中g(x)具有二阶导数，且x x f ln )(π='，0)0()0(='=g g ，求).(x g[解]令u=lnx xxxe x g e x x g x g =''⇒='+''⇒))(()()(1)(C e xe dx xe x g e x x x x +-=='⇒⎰.1)(1x e C x x g -+-='⇒11=C.121)(2+--=⇒-x e x x x g (16)(此题总分值9分)设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间〔0，1〕内大于零，并满足223)()(x a x f x f x +='(a 为常数)，又曲线y=f(x)与x=1,y=0所围的图形S 的面积值为2，求函数y=f(x)，并问a 为何值时，图形S 绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.[解]直截了当解微分方程，或.23)(23)()(])([22Cx x a x f a xx f x f x x x f +=⇒=-'=' 由f(x)的连续性知f(0)=0.又由条件2=.422]221[)23(1023102a C Ca x C ax dx Cx ax -=⇒+=+=+⎰因此，所求函数为.)4(23)(2x a ax x f -+= 旋转体的体积为ππ)31631301()]([)(2102++==⎰a a dx x f a V ，令.50)31151()(-=⇒=+='a a a V π又0151)(>=''πa V ，故当a=-5时，旋转体体积最小.(17)(此题总分值8分) 设f(x)在区间[a,b]上可导，且⎰badx x f )(=a b -，0])(][)([>--b b f a a f .证明：存在),(b a ∈ξ，使.1)(='ξf[证]令⎰==⇒-=xab F a F dt t t f x F 0)()(])([)(，x x f x F -=')()(且0)()(>''b F a F .不妨设0)(,0)(>'>'b F a F ，那么0)(),,(0)(lim )(111>+∈∃⇒>-='+→+x F a a x a x x F a F a x δ,0)(),,(0)(lim )(222<-∈∃⇒>-='-→-x F b b x b x x F b F b x δ),,(21x x c ∈∃⇒F(c)=0.0)()(),,(),,(2121='='∈∈∃⇒ξξξξF F b c c a .0)(,=''∃⇒ξξF 即结论。
2019考研数学三【解析版】【无水印】
所以 r( A*) = 0 ．
6．设 A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若 A2 + A =2E ，且 A = 4 ，则二次型 xT Ax 的规范形是
（
）
（A） y12 + y22 + y32 （B） y12 + y22 − y32 （C） y12 − y22 − y32
（D） − y12 − y22 − y32
,0
<
x
<
2
，
F(x) 为其分布函数，
E(X )
其数学期望，则
0, 其他
P{F ( X ) > E( X ) −1} =
．
【答案】 2 . 3
0, x < 0
∫ 【详解】 F (x=)
P{X ≤ x=}
1 4
x2
,
0
≤
x
<
2
，= E( X )
= 2 x2 dx
4
．
02
3
1, x ≥ 2
∫ P{F ( X ) > E( X ) −1} =P{F ( X ) > 1} =P{X > 2 } =1−
EQA = EPA
PA ⋅ ∂QA = 10 × 40 = 0.4 ． QA ∂PA 1000
3
1 0 −1 0
13．已知= 矩阵 A
1
1
−1
,
b
=
1
．若线性方程组
Ax
=
b 有无穷多解，则
a
=
．
0 1 a2 −1 a
【答案】1．
【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：
1 0 −1 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0
2019考研数学三真题及答案解析
2019考研数学三真题答案解析（完整版）1.3tan 3x x x --若要x - tan x 与x b 同阶无穷小，\ k = 3\选C2.54()5()5501f x x x k f x x x '=-+=-==±(1,1)()0,(),(,1)(1,),()0x f x f x x f x ''∈-<↓∈-∞-⋃+∞>，()f x ↑极大值(1)154f k k -=-++=+极小值(1)154f k k =-+=-lim ();lim ()x x f x f x →-∞→+∞=-∞=+∞若要550x x k -+=有3个不同的实根∴(1)0(1)04040f f k k -><+>-<即∴44(4,4)k -<<-即选D 。
3.解：∵通解为12()e e xxy C C x -=++∴e ,e 0x x x y ay by --'''++=为的两个解.即1λ=-为重根.22010402,1,a b a b a b a b λλ++=⇒-+=∆=-=⇒==∴e x 为e x y ay by c '''++=的特解：2exy y y c '''++=将e x y =代入e 2e e e 4x x x x c c ++=⇒=∴2,1,4a b c ===∴选D.4.1n n nu ¥=å 绝对收敛，1nn v n ¥=å 条件收敛n n u nu £ 1n n u ¥=\å绝对收敛.nv n有界.不妨设n v M n <n n nu v M u \£1n n M u ¥=å 收敛1n n n u v ¥=\å绝对收敛.故选B5.0Ax = 的基础解系中只有2个向量()24()n r A r A \-==-()0r A *\=\选A6.选（C ）解：由22A A E +=得22λλ=+，λ为A 的特征值，2λ=-或1，又1234A =λλλ=，故1232,1,λλλ==-=规范形为222123y y y --，选（C ）7.选（C ）解：法一：()()()P AB P A P AB =-()()()P B A P B P AB =-()()()()P A P B P AB P B A =\=选（C ）法二排除法（A ）A B ==W 时排除（A ）（B ）若A 、B 互斥，且0()1,0()1,P A P x <<<<排除（B ）（D ）若A B ==W ，则()()1,()()0P AB P P AB P =W ==F =，排除(D)8.解：因为22(,)(,)X N u Y N u s s X 与Y 相互独立2(0,2)X Y N s \-{}11121222X Y P X Y Pss s -÷ç\-<=<=F -÷ç÷ç\与u 无关，即与2a 有关选择（A ）9.11lim 12(1)nx n n +¥÷ç÷++ç÷ç÷×+11lim eenn x -++¥==10.3sin 2cos 22y x x x x p p ÷ç=+-<<÷ç÷çsin cos 2sin cos sin y x x x x x x x¢=+-=-令()cos sin cos sin 0y x x x x x x x =--=-=得0,x x p==0x <时，()0y x <0x >时，()0y x <不为拐点.0x p <<时，()0y x <32x pp >>时，()0y x >拐点为(),2p -11.解析：()()()1201201130113130104034120()d d 1d 31|311)341211(1)|1)1231818x f x xx t xt xx t x xx x ===-=-⋅+=-⋅+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰12.解析：2222(2)5002(2)5002A AA A AAA B A A B B A A B A A B B P Q Q P P P P P P P P P P P P P P P h ¶=-׶=-×----++=-+故10,20A B P P ==时，10404000.45001002008001000h ´===--+13.解析：2221010()111101110101010010101010110011A b a a a a a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭当a =1时()()23r A r A b ==< ，Ax =b 有无穷多解.14.X 的概率密度为,02()20,else xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩3222210022221184d d |2223630()024121{()1}{()}{2}2}32d 2243xx EX x x x x x x F x x x P F X EX P F X P X P X x P X x x =⋅====<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩≥-=≥=≥=<⎫=<<=⎬⎭==⎰⎰15.解：当0x >时22ln 2ln ()e ()e (2ln 2)x x x x x f x x f x x ¢===+当0x <时()e e x xf x x ¢=+当0x =时0000()(0)e 11lim ()lim lim lim e 10x xx x x x f x f x f x x x-----+-====-2000()(0)11lim ()lim lim 0x x x x f x f x f x x x----+-==-不存在\有()f x 在0x =点不可导.于是2ln e (2ln 2)0(),0e +e ,0x x x x x xf x x x x ，不存在ìï+>ïïï¢==íïïï<ïî令()0f x ¢=得121,1,ex x ==-于是有下列表x (,1)-¥--1（-1，0）010,e ÷ç÷ç÷ç1e1,e÷ç+¥÷ç÷ç()f x ¢-0+不存在-0+()f x ¯极小值极大值¯极小值于是有()f x 的极小值为2e 11(1)1,e e ef f -÷ç-=-=÷ç÷ç，极大值为(0)1f =16.解析：(,)(,)g x y xy f x y x y =-+-''2""""2''2""""22""""(,)(,)1u v uu uv vu vvu v uu vv vu vv uu uv vu vvgy f x y x y f x y x y x g f f f f x gx f f yg f f f f yx g f f f f x y∂=-+--+-∂∂=----∂∂=-+∂∂=-++-∂=-+-+∂∂所以：22""""212uu uu vv uu g g xg f f f f x x y y ∂∂∂++=---+-∂∂∂∂""13uu vvf f =--17.解析：（1）22x y xy ¢-=)2222222d d 22222ee d e e d e ex x x xx xx x x x y x C x C x C C通解--÷ç÷ç=×+÷ç÷÷ç÷ç÷ç=×+÷ç÷÷ç÷ç=+÷ç÷ç=òòò由(f C =+0C =所以22(e x f x （2）()22222221221222411e d e d e d e =e -e 222x x x x x V x x x x p p p p p ÷÷=÷÷÷=×==òòò18.[)2,2x k k p p p Î+时()(21)12(21)2(21)(21)22(21)2(21)(21)22(21)21(21)2e sin d sin de sin e e cos d e cos d =e cos d cos e +e (sin )d e e1e e 2k x k k xk k k x x x k k k x k k k x x k k k k k k S x x x x x x x xx xx x xS x p pp pp p ppp pp p ppppp p +-+-++---+-++---+--+-==-=-×+=-=+-=+òòòòò[)22,22x k k p p p Î++(22)22(22)(22)22(21)21)(22)2(21)2(22)(21)2(22)e sin d sin e -e cos d =-ecos d cos e -e (sin )d e e 1e e 2k x k k k x x k k k k k xx x k k k k k k S x xx x xx x x x xS p p pp p pp pp p pp ppp pp p p +-+++--++++---+++-+-+-+==-=+-=-+--=+òò((21)k p -+ùúû面积为(())()12(21)2(22)02202212e e e 21=12e e e 211e 112e e 21e 2e 1k k k k k k k SS p p p p pp p p p p p ¥=¥-+--+=¥---=----ù=++úû+++=++=--ååå19.设1(0,1,2,)n a x n ==⎰…（1）证明：数列{}n a 单调减少，且21(2,3,);2n n n a a n n --==+ （2）求1lim.nn n a a →∞-解析（1）111110(1)0.n n n n a a xxx x ----=-=-<⎰⎰⎰则{}n a 单调递减.1/2/222201sin sin cos sin (1sin ),2n n n n n n a x dxx t t tdt t t dt I I I n ππ+=-⋅=⋅-=-=+⎰⎰⎰则2222111,.(2)(2)n n n n n n n a I a a I n n n n ------===++则（2）由（1）知，{}n a 单调递减，则211111, 1.222n n n n n a n n n a a a n n n a ------=><<+++即由夹逼准则知，1lim1.nn n a a →∞-=20.解：123123(,,,,,)αααβββ2222111101102123443313111101011022001111a a a a r a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++-+⎝⎭⎛⎫⎪- ⎪ ⎪----⎝⎭①若a =1，则123123123123(,,)(,,)(,,,,,)r r r αααβββαααβββ==此时向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价，令123(,,)A ααα=则31023()01120000A β⎛⎫⎪→-- ⎪⎪⎝⎭此时3123(32)(2)k k k βααα=-+-++②若a =-1，则()2(,)3r A r A B =≠=，向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价.③若1,1a ≠-，31001()01010011A β⎛⎫⎪→- ⎪⎪⎝⎭3123βααα=-+21.2212102201000200A x B y --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦与相似（1）1231~413()()242210(2)010(1)(2)(2)00021,2,21211211201242000001210001001000022A Bx yx tr A tr B y x y E B x x A E A E λλλλλλλλλξλ∴-=+=⎧∴=⇒⇒⎨=-+=-⎩---=+=++-=-=-=-=---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+=-→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦=-+=T 时, ＝(-,,)时,()2311321410440125201050211240000000004212122102221200100112004000000211,122040A E P ξλξξξξ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦---⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦TT ＝(-,,)时, ＝(-,,0), 111122P AP --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦1223310310100000113000100041010022010010001000000010010322030001100004000B E x B E x B E x λλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+=→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+=→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦TT时， （-，，）时， （，，）时， （，，121232212212121211221()22122()1211030122001040130111212004101100()3000006100011011000P x x x P BP B P P B P P A PP P PP P iE -----⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-=---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦--→T） 故＝03310010001101100010001100100311000030100011001103⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦22.（1）随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧<≥-=-0,00,1)(x x e x F x X {}{}{}{}())(1)()1(1,1,)(z F p z F p Y z X P Y z X P z XY P z Z P z F XXZ --+-=-=-≥+=≤=≤=≤=当0<z 时，()zX Z pe z F p z F =--=)(1)(当0≥z 时，()pe p z F p z F p z F z X X Z +--=--+-=-)1)(1()(1)()1()(则⎩⎨⎧≤>-=-0,0,)1()(z pe z e p z f z zZ （2）p EY EX XY E EZ EX 21)(,1-=⋅===()())21(221)()()()()(222p p EX DX Y E X E Y X E XZ E -=-+===当())()(2Z E XE XZ E =时，Z X ,不相关.即)21(221p p -=-，可得21=p .（3）因为{}{}01,1,11,1=≥-=≤=-≤≤X Y X P Z X P 又{}111--=≤e X P ，{}11-=-≤peZ P 则{}{}{}111,1-≤⋅≤≠-≤≤Z P X P Z X P ，故不独立.23.（1）由1222222222)(2)(==-=⎰⎰∞+----∞+πσμσμσμσμμA x deA dx eAx x 可得：π2=A .（2）设n x x x ,,,21 为样本值，似然函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧>∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--elsex x x e L n x nn ni i ,0,,,,2121212122μπσσμσ当μ>n x x x ,,,21 时，()()()()2122221ln 2ln 2ln 2ln ∑----==n i i x n n L μσσπσ令()()()0)(2112ln 1222222=∑-+-==n i i x n d L d μσσσσ，可得()nx ni ∑=-=1212μσ故2σ的最大似然估计量为()nXni ∑=-=1212μσ .。
2019研究生数学考试数三真题
2019年全国硕士研究生入学统一考试（数学三）试题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.当0→x 时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ） （A ）1（B ）2 （C ）3 （D ）42.已知方程550x x k -+=有3个不同的实根，则k 的取值范围是（ ） （A ）)4,(--∞（B ）),4(+∞（C ）)4,4(-（D ）），44(- 3.已知微分方程xce by y a y =+'+''的通解为x e e x C C y x++=-)(21，则a ，b ，c 依次为（ ）（A ）1, 0, 1（B ）1, 0, 2（C ）2, 1, 3（D ）2, 1, 44.若∑∞=1n n un 绝对收敛，1nn v n ∞=∑条件收敛，则（ ） （A ）∑∞=1n nn vu 绝对收敛（B ）∑∞=1n nn vu 绝对收敛（C ）∑∞=1n nn vu 收敛 （D ）∑∞=1n nn vu 发散5.设A 是4阶矩阵，A*为A 的伴随矩阵，若线性方程组Ax=0的基础解系中只有2个向量，则=)(*A r （ ） （A ）0（B ）1（C ）2（D ）36.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T的规范形为（ ）（A ）222123y y y ++（B ）232221y y y -+ （C ）232221y y y --（D ）232221y y y ---7.设A ，B 为随机事件，则P(A)=P(B)的充分必要条件是（ ） （A ）()()()P AB P A P B =+（B ）)()()(B P A P AB P = （C ）)()(A B P B A P =（D ）)()(AB P AB P =8.设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布),(2σμN ，则=}1-P{＜Y X （ ） （A ）与μ无关，与σ2有关（B ）与μ有关，与σ2无关（C ）与μ、σ2都有关（D ）与μ、σ2都无关二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。
2019考研数学三(试题与解析)
C.
D.
，有
可得 ，
；
.
若要
由 3 个不同的实根，则必须满足：
，即
，则
.
3. 已知微分方程 次为（ ）
A. 1，0，1
B.1，0，2
的通解为
，则
依
C. 2，1，3
D. 2，1，4
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【解析】D
由题设条件可得：
①
为
方程
的两个解，即
有重根-1，则
.
②为
的特解，即为
.
,求
，并求 的极值.
， ；
；故
，令
可得
，
-
0
+
不存在
-
0
+
极小值
极大值
极小值
于是由 的极小值为
，极大值为
.
16. 已知
具有 2 阶连续偏导数，且
，求
【解析】
，
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故
.
17. 已知 满足微分方程
，且有
.
（1）求 ；
（2） 转体体积.
，求平面区域 绕 轴旋转一周成的旋
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2019 全国硕士研究生入学统一考试
一、选择题
1. 当
时，
A. 1
C. 3
【解析】C
数学（三）试题
与 是同阶无穷小，则 =（ ） B. 2 D. 4
由于
，则可得
2. 已知方程
A.
B.
【解析】D
令 ，当
则可得：极大值为
极小值为