鄂州市2012届高三摸底考试数学(理科)
湖北省八校2012届高三第二次联考理科
湖北省 八校2012届高三第二次联考 数学试题（理科）考试时间：2012年3月29日下午3：00—5：00本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
★ 祝考试顺利 ★注意事项：１.考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．２.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效。
３.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。
答在试题卷上无效。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集U ＝R ，集合{}22,A x y x x ==-集合{}2,x B y y x R ==∈，则()R C A B =（ ）A.{}2x x > B.{}01x x <≤ C. {}12x x ≤＜ D ．{}0x x <2.曲线sin ,cos 2y x y x π==和直线x=0,x=所围成的平面区域的面积为（ ）()2.s i n c o s A x x d x π-⎰ ()4.2s i n c o s B x x d x π-⎰()20.c o s s i n C x x d x π-⎰()40.2c o s s i n D x x d xπ-⎰ 3.对于平面α和共面,m n 的直线，下列命题是真命题的是：（ ）m n m A 所成的角相等，则与若α,.∥n m B 若.∥α,n ∥α，则：m ∥nn m m C ⊥⊥,.α若，则n ∥α ⊂m D 若.α,n ∥α，则：m ∥n鄂南高中、华师一附中、黄冈中学、黄石二中、荆州中学、襄 阳 四中、襄阳五中、孝感高中4.下列4个命题:（1）命题“若a b <，则22am bm <”；（2）“2a ≤”是“对任意的实数x ，11x x a ++-≥成立”的充要条件； （3）设随机变量ξ服从正态分布N （0，1），若1(1),(10)2P p P p ξξ>=-<<=-则； （4）命题“x R ∃∈，02>-x x ”的否定是：“x R ∀∈，02<-x x ”其中正确的命题个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 45.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名学生的视力情况，得到频率分布直方图如下左图，由于不慎将部分数据丢失，只知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.1之间的学生人数为b,则a 和b 的值分别为（ ）A.0.27 78B.0.27 85C.2.7 78D.2.7 856.如上右图所示的是根据输入的x 值计算y 的值的程序框图，若x 依次取数列216{}()n n N n*+∈中的项，则所得y 值的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．327．已知函数x x f x21log 2)(-=，且实数a >b >c >0满足0)()()(<⋅⋅c f b f a f ，若实数0x 是函数y =)(x f 的一个零点，那么下列不等式中不可能．．．成立的是 （ ） A ．a x <0 B ．a x >0 C ．b x <0 D．c x <0开始 输入xx<8? 否y=2x是2y x =输出y 结束0. 3视力O4.3 4.4 0. 1 4.5 4.6 4.7 4.8 4.95.0 5.1 频率组距5.28．三角形的内角平分线定理是这样叙述的：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
2012年高考理科数学湖北试卷及答案
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北）数学（理工类）本试题卷共6页,22题,其中第15、16题为选考题.全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑.2.选择题的作答：每小题选出答案后,用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑.考生应根据自己选做的题目准确填涂题号,不得多选.答题答在答题卡上对应的答题区域内,答在试题卷、草稿纸上无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.方程2+6+13=0x x 的一个根是 （ ） A .-3+2iB .3+2iC .-2+3iD .2+3i2.命题“0R C Q x ∃∈,30Q x ∈”的否定是（ ）A .0R C Q x ∃∉,30Q x ∈ B .0R C Q x ∃∈,30Q x ∉ C .0R C Q x ∀∉,30Q x ∈D .0R C Q x ∀∈,30Q x ∉3.已知二次函数=()y f x 的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为（ ）A .2π5 B .43 C .32D .π24.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A .8π3B .3πC .10π3D .6π5.设a ∈Z ,且013a ≤＜,若201251+a 能被13整除,则=a（ ）A .0B .1C .11D .126.设,,,,,a b c x y z 是正数,且222++=10a b c ,222++=40x y z ,++=20ax by cz ,则++=++a b cx y z（ ）A .B .C .D . 7.定义在(0)(0)-∞+∞，，上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,{{}}n f a 仍是等比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在(0)(0)-∞+∞，，上的如下函数：① 2()=f x x ；② ()=2xf x ；③(f x④ ()=ln||f x x . 则其中是“保等比数列函数”的的序号为（ ）A .① ②B .③ ④C .① ③D .② ④8.如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA ,OB 为直径 作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分 的概率是（ ）A .21π－B .112π－C .2πD .1π9.函数2()=cos f x x x 在区间[0,4]上的零点个数为（ ）A .4B .5C .6D .710.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d 的一个近似公式d ≈.人们还用过一些类似的近似公式.根据 3.141.π59.=⋯判断,下列近似公式中最精确的一个是 （ ）A.d ≈ B.d ≈ C.d ≈ D.d ≈二、填空题：本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答．题卡对应题号．．．．．．的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.（一）必考题（11—14题）11.设ABC △的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若(+-)(++)=a b c a b c ab ,则角=C .12.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果s = .13.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个：11,22,33,...,99.3位回文数有90个：101,111,121,...,191,202, (999)则（Ⅰ）4位回文数有 个；（Ⅱ）21()n n ∈+N ＋位回文数有 个.14131234()f x --------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________14.如图,双曲线2222=1(>>0)x y a b a b－的两顶点为1A ,2A ,虚轴两端点为1B ,2B ,两焦点为1F 2F .若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ,切点分别为,A B,C,D .则 （Ⅰ）双曲线的离心率e = ；（Ⅱ）菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值12=S S .（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.） 15.（选修4-1：几何证明选讲）如图,点D 在O 的弦AB 上移动,4AB =,连接OD ,过点D 作 OD 的垂线交O 于点C ,则CD 的最大值为 .16.（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知射线π=4θ与曲线2=+1,=(-1),x t y t ⎧⎨⎩（t 为参数）相交于 A ,B 两点,则线段AB 的中点的直角坐标为 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知向量=(c o s -s i n ,x x x ωωωa,=(-cos -sin )x x x ωωωb ,设函数()=+f x λa b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称,其中ω,λ为常数,且1(,1)2ω∈. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()y f x =的图象经过点π(,0)4,求函数()f x 在区间3π[0,]5上的取值范围.18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 前三项的和为,前三项的积为. （Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2a ,3a ,1a 成等比数列,求数列{||}n a 的前n 项和.19.（本小题满分12分）如图1,45ACB =︒∠,3BC =,过动点A 作AD BC ⊥,垂足D 在线段BC 上且异于点 B ,连接AB ,沿AD 将ABD △折起,使90BDC =︒∠（如图2所示）. （Ⅰ）当BD 的长为多少时,三棱锥-A BCD 的体积最大； （Ⅱ）当三棱锥-A BCD 的体积最大时,设点E ，M 分别为棱BC ,AC 的中点,试在 棱CD 上确定一点N ,使得EN BM ⊥,并求EN 与平面BMN 所成角的大小.20.（本小题满分12分）根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X （单位：mm ）对工期的影响如下表： 历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别0.3, 0.7, 0.9，求：（Ⅰ）工期延误天数Y 的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X 至少是的条件下,工期延误不超过6天的概率.21.（本小题满分13分）设A 是单位圆22+=1x y 上的任意一点,l 是过点A 与x 轴垂直的直线,D 是直线l 与 x 轴的交点,点M 在直线l 上,且满足=(>0,1)DM m DA m m ≠且.当点A 在圆上运动时,记点M 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求曲线C 的方程,判断曲线C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P Q 、两点,其中P 在第一象限,它在y 轴上 的射影为点N ,直线QN 交曲线C 于另一点H ，是否存在m ,使得对任意的>0k ,都 有PQ PH ⊥？若存在,求m 的值；若不存在,请说明理由.22.（本小题满分14分）（Ⅰ）已知函数()=-+(1-)(>0)r f x rx x r x ,其中r 为有理数,且0<<1r .求()f x 的 最小值；（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设12,00a a ≥≥,12,b b 为正有理数.若12+=1b b ,则12121122b b a a a b a b ≤＋；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题. 注：当α为正有理数时,有求导公式-1()=r x x ααα.3-83002012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北）数学（理工类）答案解析故选A．（Ⅱ）1S S =17.【答案】（Ⅰ）5（Ⅱ）1⎡-cos x x ωλ+)图像的18.【答案】（Ⅰ）35n a n =-+或37n a n =-（Ⅱ）24131110,1n n S n n n =⎧⎪⎨-+>⎪，1(32BD CD x =11112(3)(3)2(3)(3)3212123BCD AD S x x x x x x =--=-≤△-且(1,1,1)BM =-，则1=,EN ⎛ -等价于0EN BM =，()⎫⎪⎭-1,1,1=,0⎪⎭（步骤4）BN BM⊥⊥，及1,BN ⎛=- EN <，32n ≥即EN 与平面BMN 所成角的大小60．（步骤6）20.【答案】（Ⅰ）3 9.8 （Ⅱ）67【解析】（Ⅰ）由已知条件和概率的加法公式有：(300)0.3P X <=，(300700)(700)(300)=0.70.30.4P X P X P X <<=<-<-=(700900)=(900)700=0.90.70.2P X P X P X ≤<--<-=（）(900)1(900)=10.90.1P X P X ≥=-<-=（步骤1）所以Y 的分布列为： 于是Y21.【答案】（Ⅰ）曲线C 的方程为221(0)y x m m +=>≠，且1当1m >时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0,，．（Ⅱ）存在m =，使得在其对应的椭圆221y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥． (0,1)(1,)+∞所以时，曲线C ,0)（步骤于是(2PQ x =-，(PH x =-PQ PH ⊥等价于24(2PQ PH m -=即220m -=，又0m >，得2m =，故存在m =，使得在其对应的椭圆212y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥（步骤5）第21题图【提示】给出圆的方程以及直线与圆的位置关系，从而判断轨迹为何种曲线，根据直线与方程的联立求出满足条件的点．【考点】双曲线的标准方程，直线的方程，直线与双曲线的位置关系，双曲线中的定点问题．22.【答案】（Ⅰ）11()(1)r r f x r rx r x --'=-=-令()0f x '=，解得1x =当01x <<时，()0f x '<所以()f x 在(0,1)内是减函数； 当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,1)内是增函数 故函数()f x 在1x =处取得最小值(1)0f =（步骤1）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当(0,)x ∈+∞时，有()(1)0f x f ≥=，即(1)rx rx r ≤+-1112(1ab b a +-2211ba ab ≤+111212111...1111k k k k k b a b a b b a a a b b b +++++++=---111112211k k b b k k k a b a b a b a b ++-+⎫++⎪-⎭…（步骤7）1()kk b a ++1-1111a b a ++≤+故当1n k =+时，③成立．由（1）（2）可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立．说明：（Ⅲ）中如果推广形式中指出③式对2n ≥成立，则后续证明不需要讨论1n =的情况（步骤8）【提示】给出函数解析式，求其导数从而求出函数的最值．给出了参数的范围，利用问题（Ⅰ）的结论以及导数解决不等式的证明．在利用（Ⅱ）的命题根据数学归纳法得到命题的一般形式进行推广．【考点】导数求函数的单调区间，最值，解不等式问题，数学归纳法．。
湖北省鄂州市2012届高三上学期摸底考试--理综
湖北省鄂州市2012届高三摸底考试理科综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、学校、班级、考号填写清楚，并贴好条形码。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
．．．．．．．．．．3．第Ⅰ卷共21小题，每小题6分，共126分。
化学计算中可能用到的相对原子质量：H－1C－12O－16Na－23Cl－35．5Cu－64一、选择题：（本题共13小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．人体细胞进行正常的生命活动，每天需要水解200～300摩尔A TP，但人体细胞中ATP的总量只有约0．1摩尔。
下列有关A TP的叙述错误．．的是（）A．ATP和ADP的相互转化保证了机体对能量的需求B．ATP由3个磷酸基团和1个腺嘌呤构成C．有氧呼吸的第三阶段为人体细胞活动提供的ATP最多D．人体细胞内形成A TP的场所是细胞质基质和线粒体2．下列关于蛋白质和氨基酸的叙述，正确的是（）A．具有生物催化作用的酶都是由氨基酸组成的B．蛋白质肽链的盘曲和折叠被解开后，其特定功能不会发生改变C．细胞中，含氨基酸的种类和数量相同的蛋白质一定是同一种蛋白质D．在胚胎发育过程中，基因选择性表达，细胞会产生新的蛋白质3．下列有关生物膜的说法错误．．的是（）A．生物膜的特定功能主要由膜蛋白决定B．细胞膜上的糖被与细胞表面的识别有密切关系C．用蛋白酶处理生物膜可改变其组成，不改变其通透性D．内质网膜和高尔基体膜都具有流动性4．下列是四幅关于光合作用和细胞呼吸的图，有关叙述中正确的是（）A ．甲图中氧气浓度为a 时，无氧呼吸与有氧呼吸的强度相同B ．乙图中如果再提高CO 2浓度，则b 点一定上移C ．丙图中，温度为t 4℃时，植物净光合作用最大D ．丁图代表两类色素的吸收光谱，则e 代表类胡萝素5．丙酮酸是生物体内一种很重要的中间产物，下列有关丙酮酸的说法不正确．．．的是 （ ）A ．丙酮酸与酵母菌的细胞质基质混合后能产生酒精B ．C 4植物的维管束鞘细胞能产生丙酮酸 C ．剧烈运动时，肌肉细胞中的丙酮酸能转变成乳酸D ．肝脏细胞中丙酮酸通过转氨基作用能生成丙氨酸6．北京大学的两位教授率先发现人体心肺血管中存在微量硫化氢，它对调节心血管功能具有重要作用。
湖北省鄂州市高考模拟试卷数学(理)
2008年湖北省鄂州市高考模拟试卷数 学 试 题（理科）本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．虚数（x －2）+ y i 其中x 、y 均为实数，当此虚数的模为1时，xy的取值范围是（ ） A ．[－33，33] B ．033[-∪（]33C ．[－3，3]D ．[－3，0∪（0，3]2．设)(1x f -是函数1()(22)2x x f x -=-的反函数，则使1)(1>-x f成立的x 的取值范围为（ ）A ．3(,)4+∞B ．3(,)4-∞C ．3(,2)4D ．[2,)+∞3．若)(x f 是定义在R 上的连续函数，且21)(lim1=-→x x f x ，则=)1(f （ ）A ．2B ．1C ．0D ．1- 4．在正三棱锥中，相邻两侧面所成二面角的取值范围是（ ）A ．3ππ（，） B ．23ππ（，） C ．（0，2π） D ．23ππ（，）3 5．下列命题中假命题是（ ）A ．离心率为2的双曲线的两渐近线互相垂直B ．过点（1，1）且与直线x －2y+3=0垂直的直线方程是2x + y －3=0C ．抛物线y 2 = 2x 的焦点到准线的距离为1D ．223x +225y =1的两条准线之间的距离为4256．在正三棱锥ABC S -中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且AM MN ⊥，若侧棱32=SA ，则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 （ ） A ．π12B ．π32C ．π36D ．π487．21,e e 是平面内不共线两向量，已知2121213,2,e e CD e e CB e k e AB -=+=-=，若D B A ,,三点共线，则k 的值是 （） A ．2B ．3-C ．2-D ．38．点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点)1,0(-A 的距离与P 到直线1-=x 的距离和的最小值是（ ）A ．B ．C ．2D ．29．设全集}06208201243|),{(,},|),{(⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-->-+=∈∈=y x y x y x y x P R y R x y x U ，},|),{(222+∈≤+=R r r y x y x Q ，若⊆Q C U P 恒成立，则实数r 最大值是（ ）A ．165 C ． 145 C ． 512 7510．函数b x A x f +ϕ+ω=)sin()(的图象如图，则)(x f的解析式和++=)1()0(f f S )2006()2(f f +⋯+的 值分别为 （ ）A ．12sin 21)(+π=x x f ， 2006=SB ．12sin 21)(+π=x x f ， 212007=SC ．12sin 21)(+π=x x f ， 212006=SD ．12sin 21)(+π=x x f ， 2007=S11．设数列}{n a 的前n 项和为)(*N n S n ∈，关于数列}{n a 有下列三个命题：①若数列}{n a 既是等差数列又是等比数列，则1+=n n a a ； ②若),(2R b a bn an S n ∈+=，则数列}{n a 是等差数列；③若nn S )1(1--=，则数列}{n a 是等比数列. 这些命题中，真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．312．若x ∈A 则x 1∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M={－1，0，31，21，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ）A ．15B ．16C ．28D ．25第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上. 13．请设计一个同时满足下列两个条件的函数y = f （x ）：①图象关于y 轴对称；②对定义域内任意不同两点12x x 、, 都有1212()()2()2x x f x f x f ++<答： .14．与圆22(2)1x y +-=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有________条. 15．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在A 上，且AM=31AB ，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平 面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨迹方程是 .16．有以下4个命题：①p 、q 为简单命题，则“p 且q 为假命题”是“p 或q 为假命题”的必要不充分条件；②直线2x-By+3=0的倾斜角为B2arctan；③)cos (2log 1cos x x y -+-=表示y 为x 的函数；④从某地区20个商场中抽取8个调查其收入和售后服务情况，宜采用分层抽样。
湖北2012年高考适应性考试理科数学(A型)
秘密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试答题适应性训练数 学（理工类）本试卷共4页，共22题，其中第15、16题为选考题。
满分150分。
考试用时120分钟。
本试卷与2012年高考试卷没有对应关系。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑。
考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。
答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知OA = a ，OB = b ，OC = c ，OD =d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则A ．=+0--a b c dB ．=+0--a b c dC ．=+0--a b c dD ．=+++0a b c d2．若复数22i1ia ++(i 为虚数单位，a ∈R )是纯虚数，则复数2a ＋2i 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形. 则该几何体的表面积为A ．88B ．98C ．108D ．158正视图 俯视图侧视图湖北省教育考试院 保留版权 数学（理工类）试卷A 型 第1页（共4页）数学（理工类）试卷A 型 第2页（共4页）4．命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是 A ．所有能被2整除的整数都是奇数 B ．所有不能被2整除的整数都不是奇数 C ．存在一个能被2整除的整数是奇数D ．存在一个不能被2整除的整数不是奇数5．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午（前4节），体育课排在下午（后2节），不同排法种数为 A ．144 B ．192 C ．360 D ．7206．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了8次试验，收集数据如下：零件数x (个) 10 20 30 40 50 60 70 80 加工时间y (min)626875818995102108设回归方程为y bx a =+，则点,a b （）在直线45100x y +-=的 A ．左上方B ．左下方C ．右上方D ．右下方7．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 80a =，100b =，30A = ， 则此三角形A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形8．在区间[0,1]上任取三个数,,a b c ，若向量(,,)a b c =m ，则1≤m 的概率是 A ．π24B ．π12C ．3π32D ．π69．已知直线()y k x m =-与抛物线22(0)y px p =>交于A 、B 两点，且OA OB ⊥.OD AB ⊥ 于D . 若动点D 的坐标满足方程2240x y x +-=，则m =A ．1B ．2C ．3D ．410．已知函数()21f x x =-()x ∈R ．规定：给定一个实数0x ，赋值10()x f x =，若1257x ≤，则继续赋值21()x f x =；若2257x ≤，则继续赋值32()x f x =；…，以此类推. 若1257n x -≤，则1()n n x f x -=，否则停止赋值．已知赋值k *()k ∈N 次后该过程停止，则0x 的取值范围是 A ．78(21,21]k k --++ B ．89(21,21]k k --++ C ．109(21,21]k k --++D ．89(2,2]k k --数学（理工类）试卷A 型 第3页（共4页）二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．如图所示的程序框图，当1233,5,1x x x ===-时，输出的p 值为 .12．曲线22y x =与x 轴及直线1x =所围图形的面积为 ．13．设2z x y =+，其中,x y 满足0,0,0.x y x y y k ì+ ïïïï- íïï铮 ïî若z 的最大值为6，则（Ⅰ）k 的值为 ；（Ⅱ）z 的最小值为 . 14．定义在R 上的函数()f x ，如果存在函数()g x kx b =+（,k b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立 ，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数.现有如下函数：①3()f x x = ②()2x f x -= ③lg ,0,()0,0x x f x x >⎧=⎨≤⎩④()sin f x x x =+则存在承托函数的()f x 的序号为 .（填入满足题意的所有序号） （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，O 和O ' 相交于A 、B 两点，PQ 切O于P ，交O ' 于Q ，M ，交AB的延长线于N 点，若1MN =，3MQ =，则PN 的长为 .16．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的极坐标系方程为πsin(4ρθ+=，曲线2C 的参数方程为11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），则曲线1C 与2C 的交点的直角坐标为 .数学（理工类）试卷A 型 第4页（共4页）三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数22tan tan 2()cos )tan 2tan x xf x x x x x=--（Ⅰ）求函数()f x 的定义域和最大值；（Ⅱ）已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2b a =，求()f A 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知前n 项和为n S 的等差数列{}n a 的公差不为零，且23a =，又4a ，5a ，8a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数对(,)n k ，使得n n na kS =？若存在，求出所有的正整数对(,)n k ；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分12分）为备战2012奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练. 现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3； 乙：9.2，9.5，8.0，7.5，8.2，8.1，9.0，8.5.（Ⅰ）画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图；（Ⅱ）现要从中选派一人参加奥运会封闭集训，从统计学角度，你认为派哪位选手参加合理? 简单说明理由.（Ⅲ）若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于8.5分的次数为ξ，求ξ的分布列及均值E ξ.20．（本小题满分12分）在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，90BAC ∠= ．（Ⅰ）若异面直线1A B 与11B C 所成的角为60 ，求棱柱的高；（Ⅱ）设D 是1BB 的中点，1DC 与平面11A BC 所成的角为θ， 当棱柱的高变化时，求sin θ的最大值．21．（本小题满分13分）已知中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍的椭圆经过点(2,1).M =（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线l 平行于OM ，且与椭圆交于A 、B 两个不同点.（ⅰ）若AOB ∠为钝角，求直线l 在y 轴上的截距m 的取值范围； （ⅱ）求证直线MA 、MB 与x 轴围成的三角形总是等腰三角形.22．（本小题满分14分）设函数()(1)ln(1)(1).f x x x x x =-++>-（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：当0n m >>时，(1)(1)m n n m +<+；（Ⅲ）证明：当2012n >，且123,,,,n x x x x +∈R ，1231n x x x x ++++= 时，1122222012312123111112013n n n x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++++> ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ . BA 1C 1B1ACD。
【课标版】2012届高三数学湖北高考模拟卷一(打印版)
2012届高三湖北高考模拟重组预测试卷数 学适用地区：新课标地区 考查范围：全部内容第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1． 把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位．若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z ＝( )A ．3－iB ．3＋iC ．1＋3iD ．3 2 已知集合U =R ，集合则},11|{xy x A -==U A ð等于（ ）A }10|{<≤x xB }10|{≥<x x x 或C }1|{≥x xD }0|{<x x3． 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 4. 设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件5．设变量,x y 满足约束条件31,23x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则目标函数23z x y =+的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．10D ．236．设a b c 、、表示三条直线，αβ、表示两个平面，则下列命题中不正确的是（ ）A ββαα⊥⇒⎭⎬⎫⊥c c // B a b b c b c a ⊥⊂⎫⎬⎪⎭⎪⇒⊥ββ是在内的射影C ////b c b c c ααα⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭D αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a //7. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A ．63.6万元 B ．65.5万元 C ．67.7万元 D ．72.0万元 8．已知数列{n a }满足*331log 1log ()n n a a n ++=∈N ，且2469a a a ++=，则15793l o g ()a a a ++的值是（ ）A.15-B.5-C.5D. 159． 设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( ) A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递减 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递增 10．将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m 和n ，则函数3213y mx nx =-+在[)1,+∞上为增函数的概率是（ ）A ．12B ．23C ．34D ．56第Ⅱ卷二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分．将答案填在答题卷相应位置上）11．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1—50号，并分组，第一组1—5号，第二组6—10号，……，第十组46—50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为___ 的学生.12．某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是 .13.已知()⎪⎩⎪⎨⎧-≥=0,0,x x x x x f ，则不等式()2≤⋅+x f x x 的解集是_________.14.下列四种说法①命题“x x R x -∈∃2,＞0”的否定是“0,2≤-∈∀x x R x ”；②“命题q p ∨为真”是“命题q p ∧为真”的必要不充分条件； ③“若2am ＜2bm ，则a ＜b ”的逆命题为真； ④若实数[]1.0,∈y x ，则满足：22y x +＞1的概率为4π； 正确的有___________________.（填序号）15． 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1， F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________________ 16.已知向量a 、b 的夹角为60,|a |=2, |b |=3,则|2a －b |= ． 17. 函数(1) 若a=0,则方程f(x)=0的解为_______.(2) 若函数f(x)有两个零点，则a 的取值范围是_______.＜三、解答题（本大题共5小题，满分65分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 18. (12分）在△ABC 中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=. （1）求B ；（2）设(sin ,cos2),(4,1),(1),A A k k ==>且m n ⋅m n 的最大值是5，求k 的值.19.（12分） 等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．20．(13) 已知向量(,),(1,2)x y ==-a b ，从6张大小相同、分别标有号码1、2、3、4、5、6的卡片有放回地抽取两张，x 、y 分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码.（1）求满足1⋅=-a b 的概率；（2）求满足0⋅>a b 的概率．21.(14)已知圆C 的圆心为(,0),3<C m m ，半径为5，圆C 与椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 有一个公共点A (3,1)，21F F 、分别是椭圆的左、右焦点．（1）求圆C 的标准方程；（2）若点P 的坐标为(4,4)，试探究斜率为k 的直线1PF 与圆C 能否相切，若能，求出椭圆E 和直线1PF 的方程;若不能，请说明理由．22.(14)已知函数32()2f x x ax x =+++．(1)若1a =-,令函数()2()g x x f x =-,求函数()g x 在(1,2)-上的极大值、极小值； (2)若函数()f x 在1(,)3-+∞上恒为单调递增函数,求实数a 的取值范围.试卷类型：A2012届高三湖北高考模拟重组预测试卷参考答案数 学1. A2. A3. B 4．A 5.A 6. D 7. B 8.B 9.A 10. D 11. 3712. 2(π 13. (-∞, 1〕 14. ①② 15 .x 216＋y 28＝1.16. 13 17. (1)()21-5±(2)()4545-，18．解：（1）C b B c a cos cos )2(=-，C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=-∴ ，即)sin(cos sin cos sin cos sin 2C B B C C B B A +=+=.π,2sin cos sin .A B C A B A ++=∴= 10π,sin 0,cos .2A A B <<∴≠∴= .π0π,.3B B <<∴=（2）22π4sin cos 22sin 4sin 1,(0,)3k A A A k A A ⋅=+=-++∈m n ， 设,sin t A =则(]1,0∈t .2222412()12t kt t k k ⋅=-++=--++m n ，(]1,0∈t ．1,k >∴Q 当1t =时，⋅m n 取最大值.依题意得，max 3()241,2k k ⋅=-++∴=m n .19．解：（1）设（x ,y ）表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有(1,1)、 (1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,1)、(2,2)、 …、(6,5)、(6,6)，共36个．用A 表示事件“1=-a b ”，即21x y -=-,则Ａ包含的基本事件有(1,1)、(3,2)、(5,3)共3个，31()3612P A ==．（2）020,x y ⋅>->即a b 在（1）中的36个基本事件中，满足20x y ->的事件有（3，1）、（4，1）、（5、1）、（6，1）、（5，2）、（6、2）共6个，所以P （B ）＝61366=．20. 解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19. 由条件可知q ＞0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2.故1b n ＝－2n (n ＋1)＝－2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， 1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－21111112231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝－2n n ＋1. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为－2n n ＋1.21.解：（1）由已知可设圆C 的方程为)3(5)(22<=+-m y m x ． 将点A 的坐标代入圆C 的方程，得51)3(2=+-m ，即4)3(2=-m ，解得51==m m ，或． ∵3<m ，∴1=m ，∴圆C 的方程为5)1(22=+-y x ．（2）直线1PF 能与圆C 相切.依题意，设直线1PF 的方程为4)4(+-=x k y ，即044=+--k y kx . 若直线1PF 与圆C 相切，则514402=++--k k k ，∴0112442=+-k k ，解得21211==k k ，或.当211=k 时，直线1PF 与x 轴的交点横坐标为1136，不合题意，舍去； 当21=k 时，直线1PF 与x 轴的交点横坐标为4-， ∴)0,4()0,4(421F F c ，，-=， ∴由椭圆的定义得262251)43(1)43(2222221=+=+-+++=+=AF AF a ，∴23=a ，即182=a ， ∴2222=-=c a b ， 直线1PF 能与圆C 相切，直线1PF 的方程为042=+-y x ，椭圆E 的方程为121822=+y x ．22.解：(1)3232()2(2)2g x x x x x x x x =--++=-++-，所以2()321g x x x '=-++．由()0g x '=得13x =-或1x =．所以函数()g x 在13x =-处取得极小值5927-；在1x =处取得极大值1-． (２) 因为2()321f x x ax '=++的对称轴为3a x =-． ①若133a -≥-即1a ≤时，要使函数()f x 在1(,)3-+∞上恒为单调递增函数，则有24120a ∆=-≤，解得：a ≤1a ≤≤； ②若133a -<-即1a >时，要使函数()f x 在1(,)3-+∞上恒为单调递增函数，则有2111()3()2()10333f a '-=⋅-+⋅-+≥，解得：2a ≤，所以12a <≤．综上，实数a 的取值范围为2a ≤≤．。
湖北省2012届高三第二次联考理科数学考试试题答案
湖北省 八校2012届高三第二次联考命题：黄石二中 叶济宇-----135********数学试题（理科）参考答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 910答案A D DB BCD A C D二、填空题:11、12i ； 12、5[2,2]()66k k k Z ππππ-+∈； 13、34； 14、12+；15、（1）4515+ （2）045三、解答题:231cos 161()3sincoscos 1sin 1222223111sin cos sin()22262x x x xf x x x x x π+=-+=-+=-+=-+、解：（）……………………………………3分∵11()10f x =,∴3sin()65x π-=；又∵[0,]2x π∈，∴[,]663x πππ-∈-，即4cos()65x π-=433cos cos[()]cos()cossin()sin6666661010x x x x ππππππ∴=-+=---=-…………………………………………………6分22bcosA 2c 2sin cos 2sin 3sin 2sin cos 2sin()3sin 2sin cos 2[sin cos cos sin ]3sin 32sin cos 3sin cos (0,]26B A c AB A A B AB A A B A B A A B A B B π≤≤-⇒≤+-⇒≤+-⇒≥⇒≥⇒∈（）由－得：……………………………………10分∴1sin()(,0]62B π-∈-，即11()sin()()(0,]622f B B f B π=-+⇒∈………………………………………………………12分17、解：（1）根据志愿者的身高编茎叶图知湖北师范学院志愿者身高的中位数为：5.1682169168=+.……………………………………2分（2）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，∴按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为85220⨯=人，“非高个子”为125320⨯=人；则至少有1人为高个子的概率P ＝1－2325710C C=……………………………………6分（3）由题可知：湖北师范学院的高个子只有3人，则ξ的可能取值为0,1，2,3；故353810(0)56C P Cξ===，21533830(1)56C C P Cξ===，12533815(2)56C C P Cξ===，33381(3)56C P Cξ===，即ξ的分布列为：ξ123P105630561556156E ζ＝01056⨯＋13056⨯＋21556⨯＋3156⨯＝98。
2012年湖北省高考数学试卷(理科)附送答案
2012年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）方程x2+6x+13=0的一个根是（）A．﹣3+2i B．3+2i C．﹣2+3i D．2+3i2．（5分）命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是（）A．∃x0∉∁R Q，x03∈Q B．∃x0∈∁R Q，x03∉QC．∀x0∉∁R Q，x03∈Q D．∀x0∈∁R Q，x03∉Q3．（5分）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为（）A． B．C．D．4．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π5．（5分）设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a=（）A．0 B．1 C．11 D．126．（5分）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）A．B．C．D．7．（5分）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（）A．①②B．③④C．①③D．②④8．（5分）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．1﹣B．﹣C．D．9．（5分）函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．710．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A．d≈B．d≈ C．d≈D．d≈二、填空题：（一）必考题（11-14题）本大题共4小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．12．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=．13．（5分）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：（Ⅰ）4位回文数有个；）位回文数有个．（Ⅱ）2n+1（n∈N+14．（5分）如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：（Ⅰ）双曲线的离心率e=；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=．二、填空题：（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（5分）如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD 的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为．16．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）：在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=与曲线（t为参数）相交于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．18．（12分）已知等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（1）求等差数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．19．（12分）如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），（1）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．20．（12分）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：降水量X X＜300300≤X＜700700≤X＜900X≥90002610工期延误天数Y历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：（I）工期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．21．（13分）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．22．（14分）（I）已知函数f（x）=rx﹣x r+（1﹣r）（x＞0），其中r为有理数，且0＜r＜1．求f（x）的最小值；（II）试用（I）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式（xα）r=αxα﹣1．2012年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2012•湖北）方程x2+6x+13=0的一个根是（）A．﹣3+2i B．3+2i C．﹣2+3i D．2+3i【分析】由方程x2+6x+13=0中，△=36﹣52=﹣16＜0，知=﹣3±2i，由此能求出结果．【解答】解：∵方程x2+6x+13=0中，△=36﹣52=﹣16＜0，∴=﹣3±2i，故选A．2．（5分）（2012•湖北）命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是（）A．∃x0∉∁R Q，x03∈Q B．∃x0∈∁R Q，x03∉QC．∀x0∉∁R Q，x03∈Q D．∀x0∈∁R Q，x03∉Q【分析】根据特称命题“∃x∈A，p（A）”的否定是“∀x∈A，非p（A）”，结合已知中命题，即可得到答案．【解答】解：∵命题“∃x0∈C R Q，∈Q”是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，∴“∃x0∈C R Q，∈Q”的否定是∀x0∈C R Q，∉Q故选D3．（5分）（2012•湖北）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为（）A． B．C．D．【分析】先根据函数的图象求出函数的解析式，然后利用定积分表示所求面积，最后根据定积分运算法则求出所求．【解答】解：根据函数的图象可知二次函数y=f（x）图象过点（﹣1，0），（1，0），（0，1）从而可知二次函数y=f（x）=﹣x2+1∴它与X轴所围图形的面积为=（）=（﹣+1）﹣（﹣1）=故选B．4．（5分）（2012•湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：=3π．故选B．5．（5分）（2012•湖北）设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a=（）A．0 B．1 C．11 D．12【分析】由二项式定理可知512012+a=（52﹣1）2012+a的展开式中的项含有因数52，要使得能512012+a能被13整除，只要a+1能被13整除，结合已知a的范围可求【解答】解：∵512012+a=（52﹣1）2012+a=+…++a由于含有因数52，故能被52整除要使得能512012+a能被13整除，且a∈Z，0≤a≤13则可得a+1=13∴a=12故选D6．（5分）（2012•湖北）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）A．B．C．D．【分析】根据所给条件，利用柯西不等式求解，利用等号成立的条件即可．【解答】解：由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2，当且仅当时等号成立∵a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，∴等号成立∴∴=故选C．7．（5分）（2012•湖北）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f （x）的序号为（）A．①②B．③④C．①③D．②④【分析】根据新定义，结合等比数列性质，一一加以判断，即可得到结论．【解答】解：由等比数列性质知，①=f2（a n），故正确；+1），故不正确；②≠=f2（a n+1），故正确；③==f2（a n+1④f（a n）f（a n+2）=ln|a n|ln|a n+2|≠=f2（a n+1），故不正确；故选C8．（5分）（2012•湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．1﹣B．﹣C．D．【分析】求出阴影部分的面积即可，连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，那么阴影部分的面积就是图中扇形的面积﹣直角三角形AOB的面积．【解答】解：设扇形的半径为r，则扇形OAB的面积为，连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：﹣，∴此点取自阴影部分的概率是．故选A．9．（5分）（2012•湖北）函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】令函数值为0，构建方程，即可求出在区间[0，4]上的解，从而可得函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数【解答】解：令f（x）=0，可得x=0或cosx2=0∴x=0或x2=，k∈Z∵x∈[0，4]，则x2∈[0，16]，∴k可取的值有0，1，2，3，4，∴方程共有6个解∴函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为6个故选C10．（5分）（2012•湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A．d≈B．d≈ C．d≈D．d≈【分析】根据球的体积公式求出直径，然后选项中的常数为，表示出π，将四个选项逐一代入，求出最接近真实值的那一个即可．【解答】解：由V=，解得d=设选项中的常数为，则π=选项A代入得π==3.375；选项B代入得π==3；选项C代入得π==3.14；选项D代入得π==3.142857由于D的值最接近π的真实值故选D．二、填空题：（一）必考题（11-14题）本大题共4小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）（2012•湖北）设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．【分析】利用已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，以及余弦定理，可联立解得cosB 的值，进一步求得角B．【解答】解：由已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab可得a2+b2﹣c2+2ab=ab即a2+b2﹣c2=﹣ab由余弦定理得：cosC==又因为0＜C＜π，所以C=．故答案为：12．（5分）（2012•湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=9．【分析】用列举法，通过循环过程直接得出S与n的值，得到n=3时退出循环，即可．【解答】解：循环前，S=1，a=3，第1次判断后循环，n=2，s=4，a=5，第2次判断并循环n=3，s=9，a=7，第3次判断退出循环，输出S=9．故答案为：9．13．（5分）（2012•湖北）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：（Ⅰ）4位回文数有90个；（Ⅱ）2n+1（n∈N）位回文数有9×10n个．+【分析】（I）利用回文数的定义，四位回文数只需从10个数字中选两个可重复数字即可，但要注意最两边的数字不能为0，利用分步计数原理即可计算4位回文数的个数；（II）将（I）中求法推广到一般，利用分步计数原理即可计算2n+1（n∈N）位+回文数的个数【解答】解：（I）4位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法；故4位回文数有9×10=90个故答案为90（II）第一步，选左边第一个数字，有9种选法；第二步，分别选左边第2、3、4、…、n、n+1个数字，共有10×10×10×…×10=10n 种选法，）位回文数有9×10n个故2n+1（n∈N+故答案为9×10n14．（5分）（2012•湖北）如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：（Ⅰ）双曲线的离心率e=；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=．【分析】（Ⅰ）直线B2F1的方程为bx﹣cy+bc=0，所以O到直线的距离为，根据以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，可得，由此可求双曲线的离心率；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc，求出矩形ABCD的长与宽，从而求出面积S2=4mn=，由此可得结论．（Ⅰ）直线B2F1的方程为bx﹣cy+bc=0，所以O到直线的距离为【解答】解：∵以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，∴∴（c2﹣a2）c2=（2c2﹣a2）a2∴c4﹣3a2c2+a4=0∴e4﹣3e2+1=0∵e＞1∴e=（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc设矩形ABCD，BC=2n，BA=2m，∴∵m2+n2=a2，∴，∴面积S2=4mn=∴==∵bc=a2=c2﹣b2∴∴=故答案为：，二、填空题：（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（5分）（2012•湖北）如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为2．【分析】由题意可得CD2=OC2﹣OD2，故当半径OC最大且弦心距OD最小时，CD取得最大值，故当AB为直径、且D为AB的中点时，CD取得最大值，为AB的一半．【解答】解：由题意可得△OCD为直角三角形，故有CD2=OC2﹣OD2，故当半径OC最大且弦心距OD最小时，CD取得最大值．故当AB为直径、且D为AB的中点时，CD取得最大值，为AB的一半，由于AB=4，故CD的最大值为2，故答案为2．16．（2012•湖北）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）：在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=与曲线（t为参数）相交于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为（2.5，2.5）．【分析】化极坐标方程为直角坐标方程，参数方程为普通方程，联立可求线段AB的中点的直角坐标．【解答】解：射线θ=的直角坐标方程为y=x（x≥0），曲线（t为参数）化为普通方程为y=（x﹣2）2，联立方程并消元可得x2﹣5x+4=0，∴方程的两个根分别为1，4∴线段AB的中点的横坐标为2.5，纵坐标为2.5∴线段AB的中点的直角坐标为（2.5，2.5）故答案为：（2.5，2.5）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•湖北）已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx ﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．【分析】（1）先利用向量数量积运算性质，求函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k型函数，最后利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，从而得函数的最小正周期；（2）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的值域．【解答】解：（1）∵f（x）=•+λ=（cosωx﹣sinωx）×（﹣cosωx﹣sinωx）+sinωx ×2cosωx+λ=﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+sin2ωx+λ=sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣）+λ∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣=+kπ，k∈z∴ω=+，又ω∈（，1）∴k=1时，ω=∴函数f（x）的最小正周期为=（2）∵f（）=0∴2sin（2××﹣）+λ=0∴λ=﹣∴f（x）=2sin（x﹣）﹣由x∈[0，]∴x﹣∈[﹣，]∴sin（x﹣）∈[﹣，1]∴2sin（x﹣）﹣=f（x）∈[﹣1﹣，2﹣]故函数f（x）在区间[0，]上的取值范围为[﹣1﹣，2﹣]18．（12分）（2012•湖北）已知等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（1）求等差数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．【分析】（I）设等差数列的公差为d，由题意可得，，解方程可求a1，d，进而可求通项（II）由（I）的通项可求满足条件a2，a3，a1成等比的通项为a n=3n﹣7，则|a n|=|3n ﹣7|=，根据等差数列的求和公式可求【解答】解：（I）设等差数列的公差为d，则a2=a1+d，a3=a1+2d由题意可得，解得或由等差数列的通项公式可得，a n=2﹣3（n﹣1）=﹣3n+5或a n=﹣4+3（n﹣1）=3n ﹣7（II）当a n=﹣3n+5时，a2，a3，a1分别为﹣1，﹣4，2不成等比当a n=3n﹣7时，a2，a3，a1分别为﹣1，2，﹣4成等比数列，满足条件故|a n|=|3n﹣7|=设数列{|a n|}的前n项和为S n当n=1时，S1=4，当n=2时，S2=5当n≥3时，S n=|a1|+|a2|+…+|a n|=5+（3×3﹣7）+（3×4﹣7）+…+（3n﹣7）=5+=，当n=2时，满足此式综上可得19．（12分）（2012•湖北）如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），（1）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．【分析】（1）设BD=x，先利用线面垂直的判定定理证明AD即为三棱锥A﹣BCD 的高，再将三棱锥的体积表示为x的函数，最后利用导数求函数的最大值即可；（2）由（1）可先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，设出动点N的坐标，先利用线线垂直的充要条件计算出N点坐标，从而确定N 点位置，再求平面BMN的法向量，从而利用夹角公式即可求得所求线面角【解答】解：（1）设BD=x，则CD=3﹣x∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3﹣x∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D∴AD⊥平面BCD=×AD×S△BCD=×（3﹣x）××x（3﹣x）=（x3﹣6x2+9x）∴V A﹣BCD设f（x）=（x3﹣6x2+9x）x∈（0，3），∵f′（x）=（x﹣1）（x﹣3），∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数∴当x=1时，函数f（x）取最大值∴当BD=1时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；（2）以D为原点，建立如图直角坐标系D﹣xyz，由（1）知，三棱锥A﹣BCD的体积最大时，BD=1，AD=CD=2∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1），E （，1，0），且=（﹣1，1，1）设N（0，λ，0），则=（﹣，λ﹣1，0）∵EN⊥BM，∴•=0即（﹣1，1，1）•（﹣，λ﹣1，0）=+λ﹣1=0，∴λ=，∴N（0，，0）∴当DN=时，EN⊥BM设平面BMN的一个法向量为=（x，y，z），由及=（﹣1，，0）得，取=（1，2，﹣1）设EN与平面BMN所成角为θ，则=（﹣，﹣，0）sinθ=|cos＜，＞|=||==∴θ=60°∴EN与平面BMN所成角的大小为60°20．（12分）（2012•湖北）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：降水量X X＜300300≤X＜700700≤X＜900X≥900工期延误天数02610Y历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：（I）工期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．【分析】（I）由题意，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，结合某程施工期间的降水量对工期的影响，可求相应的概率，进而可得期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）利用概率的加法公式可得P（X≥300）=1﹣P（X＜300）=0.7，P（300≤X ＜900）=P（X＜900）﹣P（X＜300）=0.9﹣0.3=0.6，利用条件概率，即可得到结论【解答】（I）由题意，P（X＜300）=0.3，P（300≤X＜700）=P（X＜700）﹣P（X ＜300）=0.7﹣0.3=0.4，P（700≤X＜900）=P（X＜900）﹣P（X＜700）=0.9﹣0.7=0.2，P（X≥900）=1﹣0.9=0.1Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1∴E（Y）=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3D（Y）=（0﹣3）2×0.3+（2﹣3）2×0.4+（6﹣3）2×0.2+（10﹣3）2×0.1=9.8∴工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8；（Ⅱ）P（X≥300）=1﹣P（X＜300）=0.7，P（300≤X＜900）=P（X＜900）﹣P （X＜300）=0.9﹣0.3=0.6由条件概率可得P（Y≤6|X≥300）=．21．（13分）（2012•湖北）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x 轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m 丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（I）设M（x，y），A（x0，y0），根据丨DM丨=m丨DA丨，确定坐标之间的关系x0=x，|y0|=|y|，利用点A在圆上运动即得所求曲线C的方程；根据m∈（0，1）∪（1，+∞），分类讨论，可确定焦点坐标；（Ⅱ）∀x1∈（0，1），设P（x1，y1），H（x2，y2），则Q（﹣x1，﹣y1），N（0，y1），利用P，H两点在椭圆C上，可得，从而可得可得．利用Q，N，H三点共线，及PQ⊥PH，即可求得结论．【解答】解：（I）如图1，设M（x，y），A（x0，y0）∵丨DM丨=m丨DA丨，∴x=x0，|y|=m|y0|∴x0=x，|y0|=|y|①∵点A在圆上运动，∴②①代入②即得所求曲线C的方程为∵m∈（0，1）∪（1，+∞），∴0＜m＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（），m＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（），（Ⅱ）如图2、3，∀x1∈（0，1），设P（x1，y1），H（x2，y2），则Q（﹣x1，﹣y1），N（0，y1），∵P，H两点在椭圆C上，∴①﹣②可得③∵Q，N，H三点共线，∴k QN=k QH，∴∴k PQ•k PH=∵PQ⊥PH，∴k PQ•k PH=﹣1∴∵m＞0，∴故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意k＞0，都有PQ⊥PH22．（14分）（2012•湖北）（I）已知函数f（x）=rx﹣x r+（1﹣r）（x＞0），其中r 为有理数，且0＜r＜1．求f（x）的最小值；（II）试用（I）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式（xα）r=αxα﹣1．【分析】（I）求导函数，令f′（x）=0，解得x=1；确定函数在（0，1）上是减函数；在（0，1）上是增函数，从而可求f（x）的最小值；（II）由（I）知，x∈（0，+∞）时，有f（x）≥f（1）=0，即x r≤rx+（1﹣r），分类讨论：若a1，a2中有一个为0，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立；若a1，a2均不为0，，可得a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立（III）（II）中的命题推广到一般形式为：设a1≥0，a2≥0，…，a n≥0，b1，b2，…，b n为正有理数，若b1+b2+…+b n=1，则a1b1a2b2…a n bn≤a1b1+a2b2+…a n b n；用数学归纳法证明：（1）当n=1时，b1=1，a1≤a1，推广命题成立；（2）假设当n=k时，推广命题成立，证明当n=k+1时，利用a1b1a2b2…a k bk a k+1bk+1=（a1b1a2b2…a k bk）a k+1bk+1=a k+1bk+1，结合归纳假设，即可得到结论．【解答】（I）解：求导函数可得：f′（x）=r（1﹣x r﹣1），令f′（x）=0，解得x=1；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上是减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上是增函数所以f（x）在x=1处取得最小值f（1）=0；（II）解：由（I）知，x∈（0，+∞）时，有f（x）≥f（1）=0，即x r≤rx+（1﹣r）①若a1，a2中有一个为0，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立；若a1，a2均不为0，∵b1+b2=1，∴b2=1﹣b1，∴①中令，可得a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立综上，对a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；②（III）解：（II）中的命题推广到一般形式为：设a1≥0，a2≥0，…，a n≥0，b1，b2，…，b n为正有理数，若b1+b2+…+b n=1，则a1b1a2b2…a n bn≤a1b1+a2b2+…a n b n；③用数学归纳法证明（1）当n=1时，b1=1，a1≤a1，③成立（2）假设当n=k时，③成立，即a1≥0，a2≥0，…，a k≥0，b1，b2，…，b k为正有理数，若b1+b2+…+b k=1，则a1b1a2b2…a k bk≤a1b1+a2b2+…a k b k．当n=k+1时，a1≥0，a2≥0，…，a k+1≥0，b1，b2，…，b k+1为正有理数，若b1+b2+…+b k+1=1，＞0则1﹣b k+1于是a1b1a2b2…a k bk a k+1bk+1=（a1b1a2b2…a k bk）a k+1bk+1=a k+1bk+1∵++…+=1∴…≤++…+=bk+1≤•（1∴a k+1﹣b k）+a k+1b k+1，+1∴a1b1a2b2…a k b ka k+1bk+1≤a1b1+a2b2+…a k b k+a k+1b k+1．∴当n=k+1时，③成立由（1）（2）可知，对一切正整数，推广的命题成立．。
[精品]鄂州高中2012年素质班招生数学试卷练习试卷
鄂州高中2011年自主招生考试试题数学 试题卷Ⅰ考生注意：1、本试卷分为卷Ⅰ和卷Ⅱ两大部分，卷Ⅰ4页，卷Ⅱ3页，共7页，三大题，23小题，满分120分。
考试时间120分钟。
2、请将所有答案写在卷Ⅱ指定位置上，答案写在卷Ⅰ上无效。
一、选择题（每小题四个选项中，只有一个正确。
每小题4分，共48分）1、 设212()n n f x a x a x a x =++⋅⋅⋅+（n 为正整数），若(1)f =2n ，则（ ） A. 21n a n =- ，1()3f 的最小值为1 B. n a n =，1()3f 的最小值为13 C. 21n a n =- ，1()3f 的最小值为13 D. n a n =，1()3f 的最小值为23 2、如图，点A 、B 在反比例函数8y x =的图像上，过点A 作AC ⊥y 轴，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足分别为C 、D ，则（ ）A.AB 与CD 平行B.AB 与CD 相交C.AB 与CD 可能平行也可能相交D.以上答案都不对3、设有A 、B 两个杯子，A 杯中装有12升甲溶液，B 杯中装有12升乙溶液。
现在从A 杯中取出一定量的甲溶液，倒入B 杯并搅拌均匀，再从B 杯中取出等量的混合液倒入A 杯。
测得A 杯中甲溶液和乙溶液的比为4:1，则第一次从A 杯中取出的甲溶液是（ ）升。
A. 2B. 3C. 4D. 54、一圆周上均匀分布着2000个点，从中均等地选出A 、B 、C 、D 四个不同的点，则弦AB 与CD 相交的概率是（ ） A.23 B. 14 C. 12 D. 135、正整数n 小于100，并且满足3[][][]3464n n n n ++=，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则这样的正整数n 的个数为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 106、已知三角形的三条边长a 、b 、c 是互不相等的整数，且满足abc+2ab+ac+bc+2a+2b+c=138，则此三角形的面积为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 不确定7、设a 、b 为任意不相等的正数，又2244,b a x y a b++==，则x 、y 一定（ ） A. 都大于4 B. 至少有一个大于4C. 都不小于4D. 至少有一个小于48、已知抛物线22y ax ax m =-+与x 轴交于A (1,0)-、B 两点，与y 轴负半轴交于C ，且6ABC S ∆=，则（ ）A.在y 轴右侧该抛物线上不存在点M ，使3ACM S ∆=B. 在y 轴右侧该抛物线上存在两个点M ，使3ACM S ∆=C. 在y 轴右侧该抛物线上存在唯一点M (2,3)，使3ACM S ∆=D. 在y 轴右侧该抛物线上存在唯一点M (2,3)-，使3ACM S ∆=9、已知1111f x =-，111n nf f +=-，（其中n 为正整数），则2011f =（ ） A. 1x x - B. 1x - C. 1xD. x 10、如图所示，在ABC ∆中AC=10，BC=6，D 为AB 的中点，E 为AC 边上一点，且1902AED C ︒∠=+∠，则CE=（ ）A. 6B. 8C.7D. 511、已知对于任意两组正实数12,,,n a a a ⋅⋅⋅；12,,,n b b b ⋅⋅⋅总有22222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+。
湖北省七市州2012届高三4月联考数学理科
第I 卷(选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．1、已知z1＝一2＋i ，2z ＝1＋i ，在复平面内复数12z z 所对应的点位于A.第一象限B.第二象限 C 。
第三象限 D.第四象限2、将直线z+y －1 =0绕点（1，0)沿逆时针方向旋转150得到直线1,则直线l 与圆（x+3 )2 +y 2 ＝4的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切4。
设函数f （x)＝cosx ，把f （x ）的图像向右平移m 个单位后，图像恰好为y =f ’(x)的图像，则 m 可以为4。
命题P ：若x,y ∈R.则Ixl + lyl ＞1是Ix+yl >1的充分而不必要条件；命题q ：函数y=|1|2x --的定义域是（一∞,一1］U[3,＋∞），则A 。
”pVq"为假B 。
"p ∧q ”为真 C. “p q ∧⌝”为真 D.“p q ⌝∧"为真5.在一次演讲比赛中,8位评委对一名选手打分的茎叶图如下所示,若去 掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据，(16)ix i ≤≤,在如右图所 示的程序框图中,x 是这6个数据中的平均数，则输出的S 2的值为A。
7 B.8 C.10 D.156、已知某几何体的三视图如下图所示,其中正视图、侧视图均是由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为7、在平行四边形ABCD是同AB＝2，AD＝1,∠A＝60°，点M在AB,AB边上，AM＝13则等于8、设f (x）与g（x）是定义在同一区间［a,b］上的两个函数，若函数y =f(x)－g(x）在x∈［a,b]上有两个不同的零点，则称f（x)和g（x)在［a，b］上是“关联函数"，区间［a，b］称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g（x）＝2x＋m在［0，3］上是“关联函数”，则m的取值范围为9、已知函数，当x＝a时，f（x）取得最小值b，则在直角坐标系中函数g（x）＝的图像为10。
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鄂州市2012届高三摸底考试数 学（理工农医类）注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、学校、班级、考号填写清楚，并贴好条形码。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
．．．．．．．．．．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数3)1(ii -等于A ．8B ．－8C ．8iD ．－8i2．设集合A =｛4，5，7，9｝，B =｛3，4，7，8，9｝，全集U = A ⋃B ，则集合)(B A C U ⋂ 的真子集共有 A ．3个 B ．6个 C ．7个 D ．8个 3．已知函数f (x )＝e x ＋x ，g (x )＝ln x ＋x ，h (x )＝ln x －1的零点依次为a ，b ，c ，则A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AC AB ⋅等于A ．－16B ．－8C ．8D ．165．将函数f (x )＝3sin2x －cos2x 的图象向右平移θ(θ>0)个单位，所得函数是奇函数，则实数θ的最小值为A ．π12.B ．5π12C ．π6D ．5π66．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝A．2＋ 3 B． 3C．33D．2－ 37．已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面．平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2．直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3，那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．函数21()ln2f x x x=-的大致图像是9．设O为△ABC的外心，且543=++，则△ABC的内角C的值为A．4πB．3πC．6πD．2π10．定义域为D的函数f(x)同时满足条件①常数a，b满足a<b，区间[a，b]⊆D，②使f(x)在[a，b]上的值域为[ka，kb]（k∈N+），那么我们把f(x)叫做[a，b]上的“k级矩阵”函数，函数f(x)=x3是[a，b]上的“1级矩阵”函数，则满足条件的常数对（a，b）共有A．1对B．2对C．3对D．4对二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在答题卷相应位置上）11．已知幂函数21()(1)mf x m m x-=--在(0,)+∞上是增函数，则实数m＝__________．12．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a，b，c成等差数列，sin A，sin B，sin C成等比数列，则三角形的形状是_______．13．由直线x＝－23π，x＝23π，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为．14．在2008年北京奥运会青岛奥帆赛举行之前，为确保赛事安全，青岛海事部门举行奥运安保海上安全演习．为了测AxC DAB量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离为1千米的两个观察点C ，D ，在某天10：00观察到该航船在A 处，此时测得∠ADC ＝30°，3分钟后该船行驶至B 处，此时测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，则船速为________千米/分钟．15．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有f (x -6)＝f (x )＋f (3)成立，且f (0)＝－2，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有1212()()f x f x x x -->0.则给出下列命题：①f (2010)＝－2；②函数y ＝f (x )图像的一条对称轴为x ＝－6； ③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数； ④方程f (x )＝0在[－9,9]上有4个根． 其中所有正确命题的序号为____________．三、解答题(本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16．（本小题满分12分）已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0.命题q ：∃x 0∈R ，使得x 20＋(a－1)x 0＋1＜0．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．17．（本小题满分12分）已知向量)22,cos x x =+m ，()1,2cos x =n ，设函数()f x =⋅m n .⑴求)(x f 的最小正周期与单调递增区间；⑵在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若()=41,f A b =，△ABC 的面积为23，求a 的值．18．（本小题满分12分）已知：如图正方形ABCD 的边长为a ，CP ，Q 分别为AB ，DA 上的点，当△P AQ 的周长为2a 时，求∠PCQ 。
19．（本小题满分12分）设函数f (x )＝ka x －a －x(a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．⑴若f (1)＞0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)＞0的解集；⑵若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －2mf (x )在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m 的值．20．（本小题满分13分）工厂生产某种产品，次品率p 与日产量x （万件）间的关系为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-=c x c x xp ,320,61，（c 为常数，且0＜c ＜6）．已知每生产１件合格产品盈利3元，每出现１件次品亏损1.5元．⑴将日盈利额y （万元）表示为日产量x （万件）的函数； ⑵为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注：次品率＝产品总数次品数×100％）21．（本小题满分14分）已知函数：)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=⑴讨论函数)(x f 的单调性；⑵若函数)(x f y =的图象在点())2(,2f 处的切线的倾斜角为45o ，对于任意的]2,1[∈t ，函数]2)([)('23mx f x x x g ++=在区间)3,(t 上总不是单调函数，求m 的取值范围； ⑶求证：),2(1ln 55ln 44ln 33ln 22ln *∈≥<⨯⨯⨯⨯N n n nn n ． 鄂州市2012届高三摸底考试参考答案数学（理科）一、选择题：二、填空题：11．－1 12．等边三角形 13．4－3 14．6615．① ② ④ 三、解答题：16．解：由条件知，a ≤x 2对∀x ∈[1，2]成立，∴a ≤1； (3))∵∃x 0∈R ，使x 20＋(a －1)x 0＋1<0成立，∴不等式x 2＋(a －1)x ＋1<0有解，∴Δ＝(a －1)2－4>0，∴a >3或a <－1； .............................................................................................................................. (6分) ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假． ........................................................................................... (8分) ①p 真q 假时，－1≤a ≤1；②p 假q 真时，a >3.∴实数a 的取值范围是a >3或－1≤a ≤1. .......................................................... (12分) 17．解：⑴222,cos ),(1,2cos ),π()3sin 222cos 2cos 232sin 262ππ..........................................................................................................2x x x f x x x x x x T =+=⎛⎫∴=++=++=+ ⎪⎝⎭∴==m n m n = (3)分 令πππ2π22π262k x k -≤+≤+，故()ππππ,36k x k k -≤≤+∈Z)(x f ∴的单调递增区间为()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ． .................................... (6分) ⑵由4)(=A f 得π()2sin 2346f A A ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，π12sin 262A ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭．又A 为ABC ∆的内角，ππ13π2666A <+<， π5π266A +=，π3A ∴=. .............................................................................................................. (9分)＋31,23==∆b S ABC ，23sin 21=∴A bc ，2=∴c ， 32112214cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=∴A bc c b a ，3=∴a ．………… (12分)18．解：设PB =ma ，DQ =na ,则AP ＝(1)m a -，AQ ＝(1)n a -则(3分)由题意AP ＋AQ ＋PQ ＝2a ＝(1)m a -＋(1)n a -＋化简得 1m n mn ++=，……………………………………………………… (6分)tan ,tan DCQ n PCB m ∠=∠=………………………………………………… (8分)所以1cot tan()111m n mn PCQ PCQ BCP mn mn +-∠=∠+∠===--，………………… (11分)又PCQ ∠为锐角，所以PCQ ∠=4π。
………………………………………… (12分) 19．解：⑴∵f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝0，∴k －1＝0，∴k ＝1，……………………………………………… (1分)故f (x )＝a x －a －x (a >0，且a ≠1)∵f (1)>0，∴a －1a >0，又a >0且a ≠1，∴a >1.f ′(x )＝a x ln a ＋ln aax ＝⎝⎛⎭⎫a x ＋1a x ln a ∵a >1，∴ln a >0，而a x ＋1a x >0，∴f ′(x )>0故f (x )在R 上单调递增………………(3分)原不等式化为：f (x 2＋2x )>f (4－x )∴x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0∴x >1或x <－4，∴不等式的解集为{x |x >1或x <－4}．……………………………………………(6分)⑵∵f ⑴＝32，∴a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，∴a ＝2或a ＝－12(舍去)． ................................................................................... (8分)∴g (x )＝22x ＋2－2x－2m (2x －2－x )＝(2x －2－x )2－2m (2x －2－x )＋2.令t ＝f (x )＝2x －2－x ，由(1)可知f (x )＝2x －2－x 为增函数∵x ≥1，∴t ≥f (1)＝32，………………………………………………………………(9分)令h (t )＝t 2－2mt ＋2＝(t －m )2＋2－m 2 (t ≥32)若m ≥32，当t ＝m 时，h (t )min ＝2－m 2＝－2，∴m ＝2若m <32，当t ＝32时，h (t )min ＝174－3m ＝－2，解得m ＝2512>32，舍去，综上可知m ＝2. ………………………………………(12分)20．解：⑴当x >c 时，p ＝23，y ＝⎝⎛⎭⎫1－23·x ·3－23·x ·32＝0；………………………… (2分) 当0<x ≤c 时，p ＝16－x ，∴y ＝⎝⎛⎭⎫1－16－x ·x ·3－16－x ·x ·32＝)6(2)29(32x x x --.………………………………… (4分) ∴日盈利额y (万元)与日产量x (万件)的函数关系为y ＝⎪⎩⎪⎨⎧>≤<--cx c x x x x 00)6(2)29(32………………………………………………………(6分)⑵由⑴知，当x >c 时，日盈利额为0. 当0<x ≤c 时，∵y ＝)6(2)29(32x x x --，∴y ′＝22)6()29()6)(49(23x x x x x --+--⋅ ＝2)6()9)(3(3x x x ---，…………………………………………………………………(8分)令y ′＝0，得x ＝3或x ＝9(舍去)．∴①当0<c <3时，∵y ′>0，∴y 在区间(0，c ]上单调递增，∴y 最大值＝f (c )＝)6(2)29(32c c c --……………………………………………………(10分)②当3≤c ＜6时，在(0,3)上，y ′＞0，在(3，c )上y ′＜0，∴y 在(0,3)上单调递增，在(3，c )上单调递减．∴y 最大值＝f (3)＝92. ................................................................................................ (12分)综上，若0＜c ＜3，则当日产量为c 万件时，日盈利额最大；若3≤c ＜6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大． ................................... (13分)21．解：⑴)0()1()('>-=x xx a x f ,当0>a 时，)(x f 的单调增区间为(]0,1，减区间为[)1,+∞； .................... (1分) 当0<a 时，)(x f 的单调增区间为[)1,+∞，减区间为(]0,1； ...................... (2分) 当0=a 时，)(x f 不是单调函数 ..................................................................... (3分)⑵12)2('=-=af 得2-=a ，32ln 2)(-+-=x x x f ∴x x mx x g 2)22()(23-++=，∴2)4(3)('2-++=x m x x g ........................ (5分)∵)(x g 在区间)3,(t 上总不是单调函数，且()02'g =-∴⎩⎨⎧><0)3('0)('g t g由题意知：对于任意的]2,1[∈t ，'()0g t <恒成立， 所以，'(1)0'(2)0'(3)0g g g <⎧⎪<⎨⎪>⎩，∴9337-<<-m..................................................... (8分)⑶令1-=a 此时3ln )(-+-=x x x f ，所以2)1(-=f ，由⑴知3ln )(-+-=x x x f 在),1(+∞上单调递增，∴当),1(+∞∈x 时)1()(f x f >， 即01ln >-+-x x ，∴1ln -<x x 对一切),1(+∞∈x 成立， .......................... (10分) ∵2,N*n n ≥∈，则有1ln 0-<<n n ，∴nn n n 1ln 0-<<ln 2ln 3ln 4ln 12311(2,N )234234n n n n n n n*-∴⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅⋅=≥∈ ..................... (14分)。