2020届 全国100所名校最新高考模拟示范卷 数学模拟测试(四)试题(解析版)

2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷数学模拟测试（四）试题一、单选题 1．已知集合{}|26Mx x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则M N =I （ ）A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x <<【答案】A【解析】根据对数性质可知25log 356<<，再根据集合的交集运算即可求解. 【详解】∵25log 356<<， 集合{}|26Mx x =-<<，∴由交集运算可得{}2|2log 35M N x x ⋂=-<<.故选：A. 【点睛】本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题. 2．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =- D ．221y x =-【答案】B【解析】根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解. 【详解】z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ，则z x yi =+，z x yi =-，∵12z zz +=+，1x =+，解得221y x =+. 故选：B. 【点睛】本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题.3．已知()21AB =-u u u r ，，()1,AC λ=u u u r，若cos BAC ∠=，则实数λ的值是（ ） A ．-1 B ．7C ．1D ．1或7【答案】C【解析】根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得λ的值. 【详解】由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得cos 10AB AC BAC AB AC ⋅∠===u u u r u u u r u u u r u u u r .∴解得1λ=. 故选：C. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.4．“2b =”是“函数()()2231f x b b x α=--（α为常数）为幂函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】根据幂函数定义，求得b 的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断. 【详解】∵当函数()()2231af x b b x =--为幂函数时，22311b b --=，解得2b =或12-， ∴“2b =”是“函数()()2231af x b b x =--为幂函数”的充分不必要条件.故选：A. 【点睛】本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题. 5．若()()613x a x -+的展开式中3x 的系数为-45，则实数a 的值为（ ）A ．23B ．2C ．14D ．13【答案】D【解析】将多项式的乘法式展开，结合二项式定理展开式通项，即可求得a 的值. 【详解】∵()()()()666131313x a x x x a x -+=+-+所以展开式中3x 的系数为2233663313554045C aC a -=-=-，∴解得13a =. 故选：D. 【点睛】本题考查了二项式定理展开式通项的简单应用，指定项系数的求法，属于基础题. 6．函数()2cos2cos221x xf x x =+-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数奇偶性可排除AB 选项；结合特殊值，即可排除D 选项. 【详解】∵()2cos221cos2cos22121x xx x f x x x +=+=⨯--， ()()()2121cos 2cos22121x x x x f x x x f x --++-=⨯-=-⨯=---，∴函数()f x 为奇函数， ∴排除选项A ，B ；又∵当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，故选：C . 【点睛】本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题. 7．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）A ．m n =B ．2m n =+C ．m n <D ．8m n +<【答案】A【解析】根据题意，画出几何位置图形，由图形的位置关系分别求得,m n 的值，即可比较各选项. 【详解】如下图所示，CE ⊂平面ABPQ ，从而//CE 平面1111A B PQ ，易知CE 与正方体的其余四个面所在平面均相交， ∴4m =，∵//EF 平面11BPPB ，//EF 平面11AQQ A ，且EF 与正方体的其余四个面所在平面均相交， ∴4n =，∴结合四个选项可知，只有m n =正确. 故选：A. 【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用，对空间想象能力要求较高，属于中档题.8．已知函数()2xf x x a =+⋅，()ln 42xg x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值范围为（ ） A ．(]01，B ．(]04，C ．[)1+∞，D ．(]0,ln2 【答案】A【解析】根据实数0x 满足的等量关系，代入后将方程变形0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，构造函数()ln 5h x x x =+-，并由导函数求得()h x 的最大值；由基本不等式可求得00242x x a a -⋅+⋅的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数a 的取值范围. 【详解】函数()2xf x x a =+⋅，()ln 42x gx x a -=-⋅，由题意得()()0000002ln 425x x f x g x x a x a --=+⋅-+⋅=，即0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，令()ln 5hx x x =+-，∴()111xh x x x-'=-=， ∴()h x 在()01，上单调递增，在()1+∞，上单调递减，∴()()14max hx h ==，而0024224xx a a a -⋅+⋅≥=，当且仅当00242x x -=⋅，即当01x =时，等号成立， ∴44a ≤， ∴01a <≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.二、多选题9．刘女士的网店经营坚果类食品，2019年各月份的收入、支出（单位：百元）情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（ ）A ．4至5月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同B ．支出最高值与支出最低值的比是5:1C ．第三季度平均收入为5000元D ．利润最高的月份是3月份和10月份 【答案】ACD【解析】根据折线图，分别求得4至5月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率即可判断A ；由折线图得最高值与最低值即可判断B ；由表可得7，8，9月每个月的收入，计算得平均值即可判断C ；从表中可计算出利润最高与最低，可判断D. 【详解】对于A 选项，4至5月份的收入的变化率为30502054-=--，11至12月份的变化率为5070201211-=--，因而两个变化率相同，所以A 项正确.对于B 选项，支出最高值是2月份60百元，支出最低值是5月份的10百元，故支出最高值与支出最低值的比是6:1，故B 项错误.对于C 选项，第三季度的7，8，9月每个月的收入分别为40百元，50百元，60百元，故第三季度的平均收入为405060503++=百元，故C 选项正确.对于D 选项，利润最高的月份是3月份和10月份都是30百元，故D 项正确. 综上可知，正确的为ACD ， 故选：ACD. 【点睛】本题考查了折线图的简单应用，数据分析处理的简单应用，属于基础题.10．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（ ）A ．焦距长约为300公里B ．长轴长约为3988公里C ．两焦点坐标约为()1500±，D ．离心率约为75994【答案】AD【解析】根据椭圆的几何性质及月球直径，分别求得椭圆的,a c 和月球半径，即可确定长轴长、焦距和离心率，因为没有建立坐标系，所以不能得到焦点坐标，即C 不正确. 【详解】设该椭圆的半长轴长为a ，半焦距长为c . 依题意可得月球半径约为1347617382⨯=， 10017381838a c -=+=， 40017382138a c +=+=，2183821383976a =+=，1988a =，21381988150c =-=，椭圆的离心率约为150751988994c e a ===， 可得结论A 、D 项正确，B 项错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C 项错误. 综上可知，正确的为AD ， 故选：AD. 【点睛】本题考查了椭圆几何性质的实际应用，属于基础题.11．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱1CC 的中点，F 为棱1AA 上的点，且满足1:1:2A F FA =，点F B E G H 、、、、为过三点B E F 、、的平面BMN 与正方体1111ABCD A B C D -的棱的交点，则下列说法正确的是（ ）A ．//HF BEB ．三棱锥1B BMN -的体积为6C ．直线MN 与平面11A B BA 的夹角是45°D ．11:1:3D G GG = 【答案】AD【解析】根据面面平行的性质，可判断A ；由所给线段关系，结合三棱锥体积公式即可求得14B BMN V -=即可判断B ；根据线面平行关系，可知直线MN 与平面11A B BA 所成的角为1NMB ∠，利用1tan NMB ∠即可判断C ；根据线段关系分别求得1D G ，1GC ，即可判断D. 【详解】对于A 选项，由于平面11//ADD A 平面11BCC B ，而平面BMN 与这两个平面分别交于HF 和BE ，根据面面平行的性质定理可知//HF BE ，故A 选项判断正确；由于11:2A F FA =：，而E 是1CC 的中点，故11MA =，123HD =，112D G =，132GC =，12C N =.对于B 选项，11111111134243232B BMN B MNB V V MB NB BB --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，故B 选项判断错误；对于C 选项，由于1//B N平面11A B BA ，所以直线MN 与平面11A B BA 所成的角为1NMB ∠，且1114tan 13B N NMB B M ∠==≠，故C 选项判断错误； 对于D 选项，根据前面计算的结果可知112D G =，132GC =，故D 选项判断正确. 综上可知，正确的为AD ， 故选：AD. 【点睛】本题考查了空间几何体中面面平行性质的应用，由面面平行判定线线平行，线面夹角的求法，三棱锥体积公式的应用，属于中档题.12．已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56x π=，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论正确的是（）A ．实数a 的值为1B ．()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称C ．21x x -的最大值为πD ．12x x +的最小值为23π 【答案】ACD【解析】根据函数关于56x π=对称，可得()53f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用特殊值0x =，代入即可求得a 的值；由辅助角公式化简三角函数式，即可由在区间()12,x x 上具有单调性确定周期最大值；由()()12f x f x =-结合函数的对称性即可判断B ，并由对称性判断12x x +的最值即可判断D. 【详解】 ∵56x π=是函数()f x 的一条对称轴， ∴()53f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令0x =，得()503f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即122a =-，解得1a =， ∴将1a =代入可得()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， 又∵函数f x （）在区间()12,x x 上具有单调性，∴21x x -的最大值为2Tπ=， 且()()12f x f x =-，∴()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称，∴1212233322x x x x k ππππ-+-+-==（k Z ∈）∴12223x x k ππ+=+（k Z ∈），当0k =时，12x x +的最小值为23π.∴A ，C ，D 项正确，B 项错误. 综上可知，正确的为ACD ， 故选：ACD. 【点睛】本题考查了三角函数性质的综合应用，由对称轴求参数，辅助角公式化简三角函数式的应用，属于中档题.三、填空题13．若函数()()()()()2log 2242x x f x f x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，则()5f -=__________；()()5f f -=__________.【答案】0 1【解析】根据分段函数解析式，代入即可求解. 【详解】 函数()()()()()2log 2242x x f x f x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，所以()()()5130f f f -=-==，()()()()5041f f f f -===.故答案为：0；1. 【点睛】本题考查了分段函数求值的简单应用，属于基础题.14．某部门全部员工参加一项社会公益活动，按年龄分为A B C ，，三组，其人数之比为5:3:2，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是111，则该部门员工总人数为__________. 【答案】60【解析】根据样本容量及各组人数比，可求得C 组中的人数；由C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是111可求得C 组的总人数，即可由各组人数比求得总人数. 【详解】A B C ，，三组人数之比为5:3:2，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，则A B C ，，三组抽取人数分别10,6,4.设C 组有n 人，则C 组中甲、乙二人均被抽到的概率()224121111n C C n n ==-， ∴解得12n =. ∴该部门员工总共有()12532602⨯++=人. 故答案为：60. 【点睛】本题考查了分层抽样的定义与简单应用，古典概型概率的简单应用，由各层人数求总人数的应用，属于基础题.15．已知双曲线22219x y b-=的左、右焦点分别为12F F P ，，为双曲线上任一点，且12PF PF ⋅u u u r u u u u r的最小值为7-，则该双曲线的离心率是__________.【答案】43【解析】根据双曲线方程，设()1,0F c -,()2,0F c 及()P m n ,，将()P m n ,代入双曲线方程并化简可得22291n m b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意12PF PF ⋅u u u v u u u u v 的最小值为7-，结合平面向量数量积的坐标运算化简，即可求得c 的值，进而求得离心率即可. 【详解】 设点()10F c -，,()()20,0F c c >，，()P m n ,， 则22219m n b-=，即22291n m b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵()1PF c m n =---u u u r ，，()2PF c m n =--u u u u r ，， 22222212291n PF PF m c n n c b⎛⎫⋅=-+=++- ⎪⎝⎭u u u r u u u u r 22229199n c c b ⎛⎫=++-≥- ⎪⎝⎭，当0n =时，等号成立， ∴297c -=-， ∴4c =，∴43c e a ==. 故答案为：43. 【点睛】本题考查了双曲线与向量的综合应用，由平面向量数量积的最值求离心率，属于中档题. 16．如图，在矩形ABCD 中，24==AD AB ，E 是AD 的中点，将ABE △，CDE △分别沿BE CE ，折起，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，则所得几何体ABCDE 的外接球的体积为__________.【答案】323π 【解析】根据题意，画出空间几何体，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，，并连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，，利用面面垂直的性质及所给线段关系，可知几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，即可求得其外接球的体积. 【详解】由题可得ABE △，CDE △，BEC △均为等腰直角三角形，如图所示，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，， 连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，， 则OM BE ⊥，ON CE ⊥.因为平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ， 所以OM ⊥平面ABE ，ON ⊥平面DEC ， 易得2OA OB OC OD OE =====，则几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，半径2R =，所以几何体ABCDE 的外接球的体积为343233V R ππ==. 故答案为：323π. 【点睛】本题考查了空间几何体的综合应用，折叠后空间几何体的线面位置关系应用，空间几何体外接球的性质及体积求法，属于中档题.四、解答题 17．在①2316b b a =，②412b a =，③5348S S -=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的正整数k 存在，求k 的值；若不存在，说明理由.设正数等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，{}n a 是等差数列，__________，34b a =，12a =，35730a a a ++=，是否存在正整数{}n b ，使得132k k k S S b +=++成立？【答案】见解析【解析】根据等差数列性质及12a =、35730a a a ++=，可求得等差数列{}n a 的通项公式，由34b a =即可求得3b 的值；根据等式132k k k S S b +=++，变形可得132k k b b +=+，分别讨论取①②③中的一个，结合等比数列通项公式代入化简，检验是否存在正整数k 的值即可. 【详解】∵在等差数列{}n a 中，3575330a a a a ++==，∴510a =， ∴公差51251a a d -==-， ∴()112n a a n d n =+-=， ∴348b a ==，若存在正整数k ，使得132k k k S S b +=++成立，即132k k b b +=+成立，设正数等比数列的公比为{}n b 的公比为()0q q >， 若选①，∵2316b b a =，∴24b =，∴322b q b ==， ∴2nn b =， ∴当5k =时，满足6532b b =+成立.若选②，∵41224b a ==，∴433b q b ==， ∴383n nb -=⋅，∴23838332n n --⋅=⋅+， ∴332n -=方程无正整数解， ∴不存在正整数k 使得132k k b b +=+成立.若选③，∵5348S S -=，∴4548b b +=，∴28848q q +=， ∴260q q +-=，∴解得2q =或3q =-（舍去）， ∴2nn b =，∴当5k =时，满足6532b b =+成立.【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求法，等比数列通项公式及前n 项和公式的应用，递推公式的简单应用，补充条件后求参数的值，属于中档题.18．已知在ABC V 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，6A π=，21b -=.（1）求cos C 的值； （2）求ABC V 的面积.【答案】（1）12-；（2【解析】（1）将1a =代入等式，结合正弦定理将边化为角，再将6A π=及56B C π=-代入，即可求得cos C 的值；（2）根据（1）中cos C 的值可求得C 和B ，进而可得1b a ==，由三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）由321c b -=，得32c b a -=， 由正弦定理将边化为角可得3sin 2sin sin C B A -=，∵6A π=，∴56B C π=-， ∴513sin 2sin 62C C π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，化简可得1313sin 2cos 2sin 22C C C -⨯-⨯=， ∴解得1cos 2C =-. （2）∵在ABC V 中，1cos 2C =-， ∴23C π=， ∴ππ6B AC =--=， ∴1b a ==， ∴1133sin 112224ABC S ab C ==⨯⨯⨯=V . 【点睛】本题考查了正弦定理在边角转化中的应用，正弦差角公式的应用，三角形面积公式求法，属于基础题.19．在如图所示的多面体中，四边形ABEG 是矩形，梯形DGEF 为直角梯形，平面DGEF ⊥平面ABEG ，且DG GE ⊥，//DF GE ，2222AB AG DG DF ====.（1）求证：FG ⊥平面BEF . （2）求二面角A BF E --的大小. 【答案】（1）见解析；（2）23π【解析】（1）根据面面垂直性质及线面垂直性质，可证明BE FG ⊥；由所给线段关系，结合勾股定理逆定理，可证明FE FG ⊥，进而由线面垂直的判定定理证明FG ⊥平面BEF .（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面AFB 和平面EFB 的法向量，由空间向量法求得两个平面夹角的余弦值，结合图形即可求得二面角A BF E --的大小. 【详解】（1）证明：∵平面DGEF ⊥平面ABEG ，且BE GE ⊥， ∴BE ⊥平面DGEF ， ∴BE FG ⊥，由题意可得2FG FE ==， ∴222FG FE GE +=，∵FE FG ⊥，且FE BE E ⋂=， ∴FG ⊥平面BEF .（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，()0,2,0E ，()0,1,1F ，()1,1,1FA =--u u u r ，()1,1,1FB =-u u u r，()0,1,1FE =-u u u r .设平面AFB 的法向量是()111,,n x y z =r， 则11111111100000x y z x z FA n x y z y FB n --==⎧⎧⎧⋅=⇒⇒⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎩⎩u u u v vu u u v v ， 令11x =，()1,0,1n =r，由（1）可知平面EFB 的法向量是()0,1,1m GF ==u r u u u r，∴1cos<,2n m n m n m⋅>===⋅r u rr u r r ur ， 由图可知，二面角A BF E --为钝二面角，所以二面角A BF E --的大小为23π. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定，面面垂直及线面垂直的性质应用，空间向量法求二面角的大小，属于中档题.20．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的任意一点M 到直线1y =-的距离比M 点到点()02F ，的距离小1. （1）求动点M 的轨迹1C 的方程；（2）若点P 是圆()()222221C x y -++=：上一动点，过点P 作曲线1C 的两条切线，切点分别为A B 、，求直线AB 斜率的取值范围.【答案】（1）28x y =；（2）13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）设(),M x y ，根据题意可得点M 的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点M 的轨迹1C 的方程；（2）设出切线PA PB 、的斜率分别为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，点()P m n ,，则可得过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立抛物线方程并化简，由相切时0∆=可得两条切线斜率关系12,k k +12k k ；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出12,y y ，可求得4AB mk =，结合点()P m n ,满足()()22221x y -++=的方程可得m 的取值范围，即可求得AB k 的范围.【详解】（1）设点(),M x y ，∵点M 到直线1y =-的距离等于1y +， ∴11y +=，化简得28x y =，∴动点M 的轨迹1C 的方程为28x y =.（2）由题意可知，PA PB 、的斜率都存在，分别设为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，设点()P m n ,，过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+， 联立()28y k x m n x y⎧=-+⎨=⎩，化简可得28880x kx km n -+-=，∴26432320k km n ∆=-+=，即220k km n -+=， ∴122m k k +=，122n k k =. 由28x y =，求得导函数4xy '=， ∴114x k =，2211128x y k ==，2222228x y k ==， ∴222121212121224424ABy y k k k k m k x x k k --+====--， 因为点()P m n ,满足()()22221x y -++=， 由圆的性质可得13m ≤≤， ∴13444AB m k ≤=≤，即直线AB 斜率的取值范围为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求法，直线与抛物线相切的性质及应用，导函数的几何意义及应用，点和圆位置关系求参数的取值范围，属于中档题.21．某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案()a 规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案()b 规定每日底薪150元，外卖业务的前54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[)[)[)[)[)[)[]2535354545555565657575858595，，，，，，，，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率；（2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案()a 的概率为13，选择方案()b 的概率为23.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案()a 的概率，（3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替） 【答案】（1）0.4；（2）1127；（3）应选择方案()a ，理由见解析 【解析】（1）根据频率分布直方图，可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的频率，即可估算其概率；（2）根据独立重复试验概率求法，先求得四人中有0人、1人选择方案()a 的概率，再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案()a 的概率；（3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件，分别表示出方案()a 的日工资和方案()b 的日工资函数解析式，即可计算两种计算方式下的数学期望，并根据数学期望作出选择. 【详解】（1）设事件A 为“随机选取一天，这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”.根据频率分布直方图可知快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为0.2,0.15,0.05，∵020*******++=．．．．， ∴()P A 估计为0.4.（2）设事件′为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a ”，设事件i C ，为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有()01234ii =，，，，人选择方案()a ”， 则()()()413010144212163211111333818127P B P C P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a 的概率为1127. （3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件， 方案()a 的日工资()11002,*Y X X N =+∈，方案()b 的日工资()215054*15055454*X X N Y X X X N ≤∈⎧=⎨+->∈⎩，，，，，所以随机变量1Y 的分布列为()1160005180005200022200324002260015280005224E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．；同理，随机变量2Y 的分布列为()21500318003230022800153300052035E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．.∵()()21E Y E Y >，∴建议骑手应选择方案()a .【点睛】本题考查了频率分布直方图的简单应用，独立重复试验概率的求法，数学期望的求法并由期望作出方案选择，属于中档题.22．已知函数()()ln 1f x m x x =+-，()sin g x mx x =-.（1）若函数()f x 在()0+∞，上单调递减，且函数()g x 在02骣琪琪桫，p 上单调递增，求实数m 的值；（2）求证：()()21111sin11sin 1sin 1sin 12231e n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+< ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭（*n N ∈，且2n ≥）.【答案】（1）1；（2）见解析【解析】（1）分别求得()f x 与()g x 的导函数，由导函数与单调性关系即可求得m 的值；（2）由（1）可知当0x >时，()ln 1x x +<，当02x π<<时，sin x x <，因而()()*111sin1sin sin sin 0,213,221n N n n n ⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，，，构造()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由对数运算及不等式放缩可证明()()1111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 2212231n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+=-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，从而不等式可证明.【详解】（1）∵函数()f x 在()0+∞，上单调递减， ∴()101m f x x'=-≤+，即1m x ≤+在()0+∞，上恒成立， ∴1m £， 又∵函数()g x 在02骣琪琪桫，p 上单调递增，∴()cos 0g x m x '=-≥，即cos m x ≥在02骣琪琪桫，p 上恒成立，m 1≥， ∴综上可知，1m =.（2）证明：由（1）知，当1m =时，函数()()ln 1f x x x =+-在()0+∞，上为减函数， ()sin g x x x =-在02骣琪琪桫，p 上为增函数，而()()00,00f g ==， ∴当0x >时，()ln1x x +<，当02x π<<时，sin x x <. ∴()()*111sin1sin sin sin 0,213,221n N n n n ⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，， ∴()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()()111ln 1sin1ln 1+sin ln 1+sin ln 1sin 12231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()111sin1sin sin sin 12231n n<+++⋯+⨯⨯-⨯ ()11111111111122312231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++⋯+=+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 122n=-< 即()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 212231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴()()()2*1111sin11+sin 1+sin 1sin ,212231e n N n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<∈≥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭，. 【点睛】本题考查了导数与函数单调性关系，放缩法在证明不等式中的应用，属于难题.。