全国高考数学模拟卷(理数,B卷)
2023年高考数学模拟考试卷及答案解析(理科)
2023年高考数学模拟考试卷及答案解析（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()()()1i 12i 1z z +=+-，则复数z 的实部与虚部的和为（）A ．1B ．1-C ．15D ．15-【答案】D【分析】根据复数的运算法则求出复数43i 55z -+=，则得到答案.【详解】(1i)(2i 1)(2i 1)z z +=-+-(2i)2i 1z -=-，2i 1(2i 1)(2i)43i 43i 2i 5555z --+-+====-+-，故实部与虚部的和为431555-+=-，故选：D.2．已知()f x =A ，集合{12}B x ax =∈<<R ∣，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．[2,1]-B ．[1,1]-C ．(,2][1,)-∞-+∞ D ．(,1][1,)∞∞--⋃+【答案】B【分析】先根据二次不等式求出集合A ，再分类讨论集合B ，根据集合间包含关系即可求解.【详解】()f x =A ，所以210x -≥，所以1x ≥或1x ≤-，①当0a =时，{102}B x x =∈<<=∅R∣,满足B A ⊆，所以0a =符合题意；②当0a >时，12{}B x x a a=∈<<R∣，所以若B A ⊆，则有11a≥或21a≤-，所以01a <≤或2a ≤-（舍）③当0<a 时，21{}B x x aa=∈<<R ∣，所以若B A ⊆，则有11a≤-或21a≥（舍），10a -≤<，综上所述，[1,1]a ∈-，故选：B.3．在研究急刹车的停车距离问题时，通常假定停车距离等于反应距离（1d ，单位：m ）与制动距离（2d ，单位：m ）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车的初速度v （单位：km/h ）.根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述1d ，2d 与v 的函数关系的是（）A ．1d v α=，2d =B ．1d v α=，22d v β=C ．1d =，2d v β=D ．1d =，22d vβ=【答案】B【分析】设()()1d v f v =，()()2d v g v =，根据图象得到函数图象上的点，作出散点图，即可得到答案.【详解】设()()1d v f v =，()()2d v g v =.由图象知，()()1d v f v =过点()40,8.5，()50,10.3，()60,12.5，()70,14.6，()80,16.7，()90,18.7，()100,20.8，()110,22.9，()120,25，()130,27.1，()140,29.2，()150,31.3，()160,33.3，()170,35.4，()180,37.5.作出散点图，如图1.由图1可得，1d 与v 呈现线性关系，可选择用1d v α=.()()2d v g v =过点()40,8.5，()50,16.2，()60,23.2，()70,31.4，()80,36，()90,52，()100,64.6，()110,78.1，()120,93，()()140,123，()150,144.1，()160,164.3，()170,183.6，()180,208.作出散点图，如图2.由图2可得，2d 与v 呈现非线性关系，比较之下，可选择用22d v β=.故选：B.4．已知函数()ln ,0,e ,0,x xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则函数()1y f x =-的图象大致是（）A ．B．C ．D ．【答案】B【分析】分段求出函数()1y f x =-的解析式，利用导数判断其单调性，根据单调性可得答案.【详解】当10x ->，即1x <时，ln(1)(1)1x y f x x-=-=-，221(1)ln(1)1ln(1)1(1)(1)x x x x y x x -⋅-+--+--'==--，令0'>y ，得1e x <-，令0'<y ，得1e 1x -<<，所以函数()1y f x =-在(,1e)-∞-上为增函数，在(1e,1)-上为减函数，由此得A 和C 和D 不正确；当10x -≤，即1x ≥时，1(1)(1)e x y f x x -=-=-，()11(1)e (1)e x x y x x --'''=-+-11e (1)e x x x --=---=1e (2)xx ---，令0'>y ，得2x >，令0'<y ，得12x ≤<，所以函数()1y f x =-在(2,)+∞上为增函数，在[1,2)上为减函数，由此得B 正确；故选：B5．若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x 满足()()21f x f x >，则()f x 至少有（）个单调区间.A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】根据单调性与极值之间的关系分析判断.【详解】若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x ，则()f x 至少有3个单调区间，若()f x 有3个单调区间，不妨设()f x 的定义域为(),a b ，若12a x x b <<<，其中a 可以为-∞，b 可以为+∞，则()f x 在()()12,,,a x x b 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，（若()f x 定义域为(),a b 内不连续不影响总体单调性），故()()21f x f x <，不合题意，若21a x x b <<<，则()f x 在()()21,,,a x x b 上单调递减，在()21,x x 上单调递增，有()()21f x f x <，不合题意；若()f x 有4个单调区间，例如()1f x x x =+的定义域为{}|0x x ≠，则()221x f x x-'=，令()0f x ¢>，解得1x >或1x <-，则()f x 在()(),1,1,-∞-+∞上单调递增，在()()1,0,0,1-上单调递减，故函数()f x 存在一个极大值()12f -=-与一个极小值()12f =，且()()11f f -<，满足题意，此时()f x 有4个单调区间，综上所述：()f x 至少有4个单调区间.故选：B.6．已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，则918222y x z x y --=+--的最小值为（）A ．132B ．372C ．12D ．2【答案】A【分析】由约束条件作出可行域，求出22y t x -=-的范围，再由91821922y x z t x y t --=+=+--结合函数的单调性求得答案．【详解】解：令22y t x -=-，则91821922y x z t x y t --=+=+--，由10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩作出可行域如图，则()()()2,12,1,0,1A B C ---，设点()(),2,2P x y D ，，其中P 在可行域内，2=2PD y t k x -∴-=，由图可知当P 在C 点时，直线PD 斜率最小，min 121=022CD t k -==-∴当P 在B 点时，直线PD 斜率不存在，∴1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭∵19z t t =+在1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，∴当12t =时min 132z =．故选：A ．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方形11BCC B 内，且不在棱上，则（）A ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥B ．在正方形11DCCD 内一定存在一点Q ，使得PQ AC⊥C ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC D ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC 【答案】B【分析】对于A ，通过作辅助线，利用平行的性质，推出矛盾，可判断A;对于B ，找到特殊点，说明在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ⊥，判断B;利用面面平行的性质推出矛盾，判断C;利用线面垂直的性质定理推出矛盾，判断D.【详解】A 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥，作,PE BC QF CD ⊥⊥,垂足分别为,E F ,连接,E F ，则PEFQ 为矩形，且EF 与AC 相交，故PQ EF ∥,由于PQ AC ∥，则AC EF ∥，这与,AC EF 相交矛盾，故A 错误；B 、假设P 为正方形11BCC B 的中心，Q 为正方形11DCC D 的中心，作,PH BC QG CD ⊥⊥,垂足分别为,H G ,连接,H G ，则PHGQ 为矩形，则PQ HG ∥,且,H G 为,BC CD 的中点，连接,GH BD ,则GH BD ∥,因为AC BD ⊥，所以GH AC ⊥,即PQ AC ⊥，故B 正确；C 、在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC ，由于平面ABC ⋂平面11DCC D CD =,平面1PQC 平面111DCC D C Q =,故1CD C Q ∥,而11C D CD ∥,则Q 在11C D 上，这与题意矛盾，C 错误；D 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC ，1C Q ⊂平面1PQC ,则1AC C Q ⊥,又1CC ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故1C C AC ⊥,而11111,C C C Q C C C C Q =⊂ ，平面11DCC D ，故AC ⊥平面11DCC D ，由于AD ⊥平面11DCC D ,故,C D 重合，与题意不符，故D 错误，故选∶B8．对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(,)d P C .若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集{(,)1}D Pd P C =≤∣所表示的图形的面积为（）A ．36B ．36-C ．362π-D ．36π-【答案】D【分析】根据题意画出到曲线C 的距离为1的边界，即可得到点集的区域，即可求解.【详解】根据题意作出点集(){}|1D P d P C =≤，的区域如图阴影所示，其中四边形ADEC ，ABKM ，BCFG 为矩形且边长分别为1,6，圆都是以1为半径的，过点I 作IN AC ⊥于N ，连接A I ,则1NI =，30NAI ∠= ，所以AN =则HIJ 是以6-为边长的等边三角形，矩形ABKM 的面积1166S =⨯=，2π3DAM ∠=，扇形ADM 的面积为212ππ1233S =⨯⨯=，21sin 602ABC S AB =⨯⋅ 21622=⨯⨯，21sin 602HIJ S HI =⨯⋅ (21622=⨯-18=-，所以()1233ABC HIJ S S S S S =++- ()π363183=⨯+⨯+--36π=-.故选：D.9．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（）A ．15种B ．28种C ．31种D ．63种【答案】C【分析】满足条件的去法可分为两类，第一类甲乙都去，第二类甲乙都不去，再进一步通过分类加法原理求出各类的方法数，将两类方法数相加即可.【详解】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以满足条件的去法数为0123444444C +C C +C C 16++=种；若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，则满足条件去法有12344444C C +C C 15++=种；故该宿舍同学的去法共有16+15=31种．故选：C.10．已知椭圆C 的焦点为12(0,1),(0,1)F F -，过2F 的直线与C 交于P ，Q 两点，若22143,||5PF F Q PQ QF ==，则椭圆C 的标准方程为（）A ．2255123x y +=B ．2212y x +=C ．22123x y +=D ．22145x y +=【答案】B【分析】由已知可设22,3F Q m PF m ==可求出所有线段用m 表示，在12PF F △中由余弦定理得1290F PF ︒∠=从而可求.【详解】如图，由已知可设22,3F Q m PF m ==，又因为114||55PQ QF QF m =∴=根据椭圆的定义212,62,3QF QF a m a a m +=∴=∴=，12223PF a PF a a a m=-=-==在12PF F △中由余弦定理得222222111116925cos 02243PQ PF QF m m m F PQ PQ PF m m+-+-∠===⋅⋅⋅⋅，所以190F PQ ︒∠=22222211229943213PF PF F F m m m a m b ∴+=⇒+=∴===⇒=故椭圆方程为：2212y x +=故选：B11．已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于任意的)3,1a ⎡∈-⎣，方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，则m 的取值范围为（）A ．7π3π,124⎛⎤⎥⎝⎦B ．π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π5π,26⎛⎤⎥⎝⎦D ．7π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】将方程的根的问题转化为函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点，画出图象，数形结合得到不等式组，求出m 的取值范围.【详解】方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，等价于函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点．当0x m <≤得：πππ22666x m ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦，结合函数()y f x =的图象可知，π4π5π2633m ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得：7π3π,124m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D12．已知0.40.7e ,eln1.4,0.98a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b>>【答案】A【分析】构造函数()1=ln ef x x x -，0x >，利用导函数得到其单调性，从而得到ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，变形后得到22ln2ex x ≤，当x =0.7x =后得到b c <；再构造()1=e x g x x --，利用导函数得到其单调性，得到1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，变形后得到21e 2x x ->，当0.5x =时，等号成立，令0.7x =得到a c >，从而得到a cb >>.【详解】构造()1=ln ef x x x -，0x >，则()11=ef x x '-，当0e x <<时，()0f x ¢>，当e x >时，()0f x '<，所以()1=ln ef x x x -在0e x <<上单调递增，在e x >上单调递减，所以()()e =lne 10f x f ≤-=，故ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，因为20x >，所以222222(2)2ln 2ln ln ln2e e 2e 2e ex x x x x x x x x ≤⇒≤⇒≤⇒≤=，当x =当0.7x =时，220.98ln1.4(0.7)eln1.40.98ee<⨯=⇒<，所以b c <构造()1=e x g x x --，则()1e 1=x g x -'-，当1x >时，()0g x '>，当1x <时，()0g x '<，所以()1=ex g x x --在1x >单调递增，在1x <上单调递减，故()()10g x g ≥=，所以1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，故121e e 2x x x x --≥⇒≥，当且仅当0.5x =时，等号成立，令0.7x =，则0.40.4e 1.40.7e 0.98>⇒>，所以a c >，综上:a c b >>，故选：A【点睛】构造函数比较函数值的大小，关键在于观察所给的式子特点，选择合适的函数进行求解.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设i ，j 是x ，y 轴正方向上的单位向量，23a b i j -=- ，3119a b i j +=+，则向量a，b的夹角为______．【答案】π4【分析】分别求出a ，b 的表达式，利用定义求出a ，b 的夹角即可.【详解】23a b i j -=-①，3119a b i j +=+②,3⨯+①②得714,2a i a i =∴=，2-⨯+②①得72121,33b i j b i j -=--∴=+ ，()22·33666a b i i j i i j ⋅=+=+⋅=2,a b ==cos ,2a b a b a b ⋅∴==⋅π,4a b ∴=14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为2c ，过C 的右焦点F 的直线l 与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，若cos b c AFO =∠且3FB FA =，则C 的渐近线方程为__________.【答案】y =【分析】根据题设条件确定AB OA ⊥，进而可确定OA a FA b ==，，从而在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，结合正切的二倍角公式求解.【详解】因为3FB FA =，画出示意图如图，设AOF α∠=，因为cos b c AFO =∠，则cos b AFO c∠=，所以222sin a AFO c∠=，则sin a AFO c ∠=，所以tan aAFO b ∠=.又tan b a α=，所以π2AFO α∠+=，所以AB OA ⊥，根据sin ,cos OA FA a bAFO AFO c c c c ∠==∠==，所以OA a FA b ==，.又因为3FB FA，所以2AB b =.在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，所以222222tan tan21tan 1bb a b a aααα=-==--，化简得：222b a =，所以b a =则渐近线方程为：y =，故答案为:y =.15．已知数列{}n a 满足首项11a =，123n n na n a a n ++⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数，则数列{}n a 的前2n 项的和为_____________．【答案】4344n n ⨯--【分析】当n 为奇数时，由递推关系得()21332n n n a a a ++==+，构造{}3n a +为等比数列，可求出通项，结合12n n a a +=+即可分组求和.【详解】当n 为奇数时，()21332n n n a a a ++==+，即()2333n n a a ++=+，此时{}3n a +为以134a +=为首项，公比为3的等比数列，故()123212413333343333n nn n n n a a a a a a a a ----++++=创创+=+++，即12433n n a -=´-.()()()2123421211332121222n n n n n S a a a a a a a a a a a a ---=++++++=+++++++++ ()()01113212224334334332n n a a a n n--=++++=´-+´-++´-+ ()03132432434413nnn n n 骣-琪=´-+=´--琪琪-桫.故答案为：4344n n ⨯--【点睛】本题解题关键是根据题意找到相邻奇数项或偶数项之间的递推关系，从而求出当n 为奇数或n 为偶数时的通项公式，再通过相邻两项的关系求出前2n 项的和．16．在三角形ABC 中，2BC =，2AB AC =，D 为BC 的中点，则tan ADC ∠的最大值为___________.【答案】43##113【分析】设出AC x =，则2AB x =，由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，从而得到cos ADC ∠关系得到223x <<，换元后得到cos ADC ∠，由基本不等式求出最小值，结合()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，可求出tan ADC ∠的最大值.【详解】设AC x =，则2AB x =，因为D 为BC 的中点，2BC =，所以1BD DC ==，由三角形三边关系可知：22x x +>且22x x -<，解得：223x <<，在三角形ABD 中，由余弦定理得：()2212cos 2AD x ADB AD+-∠=，在三角形ACD 中，由余弦定理得：221cos 2AD x ADC AD+-∠=，因为πADB ADC ∠+∠=，所以()2222121cos cos 022AD x AD x ADB ADC ADAD+-+-∠+∠=+=，解得：22512AD x =-，由余弦定理得：225112cos x x ADC -+-∠=223x <<，令2511,929x t ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则3cos 5ADC ∠=，当且仅当1t t=，即1t =时，等号成立，此时25112x -=，解得：x =因为3cos 05ADC ∠≥>，故π0,2ADC ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，由于()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故当cos ADC ∠取得最小值时，tan ADC ∠取得最大值，此时4sin 5ADC ∠=，4tan 3ADC ∠=.故答案为：43.【点睛】三角形中常用结论，()sin sin A B C +=，()cos cos A B C +=-，()tan tan A B C +=-，本题中突破口为由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，进而利用基本不等式求最值.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）数列{}n a 满足35a =，点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足233n n S b =-，*n ∈N ．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)是否存在*k ∈N ，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b ≤．【答案】(1)21n a n =-；3nn b =(2)存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n k n ka ab b ≤【分析】（1）根据等差数列的定义可得{}n a 为等差数列，由,n n S b 的关系可得{}n b 为等比数列，进而可求其通项，（2）根据数列的单调性求解最值即可求解.【详解】（1）点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，所以12n n a a +-=又35a =，∴11a =，则数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列．∴21n a n =-又当1n =时，11233S b =-得13b =，当2n ≥，由233n n S b =-①，得11233n n S b --=-②由①－②整理得：13n n b b -=，∵130b =≠，∴10n b -≠∴13nn b b -=，∴数列{}n b 是首项为3，公比为3的等比数列，故3nn b =（2）设213nn n na n cb -==，由111121212163443333+++++-+-+--=-==n n n n n n n n n n nc c当1n =时，12c c =，当2n ≥时，1n n c c +<，所以当1n =或2时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大所以存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b≤18．（12分）如图，将等边ABC 绕BC 边旋转90︒到等边DBC △的位置，连接AD．(1)求证：AD BC ⊥；(2)若M 是棱DA 上一点，且两三角形的面积满足2BMD BMA S S = ，求直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】（1）取BC 中点为O ，证明BC ⊥平面AOD 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【详解】（1）设O 是BC 的中点，连接AO ，DO ，由题知：AB AC =，DB DC =，则BC AO ⊥，BC DO ⊥，又AO DO O ⋂=，,AO DO ⊂平面AOD ，所以BC ⊥平面AOD ，又AD ⊂平面AOD ，所以AD BC ⊥．（2）由题知，OA 、BC 、OD 两两垂直，以O 为原点，,,OA OB OD方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，因为2BMD BMA S S = ，所以13AM AD =，设2AB a =，则OA OD ==，则),0,0A，()0,,0B a ，()0,,0C a -，()D，33M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．所以),,0CA a =，),0,DA =，,BM a ⎫=-⎪⎪⎝⎭，设平面ACD 的法向量为(),,n x y z =r，则00n CA ay n DA ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1x =，可得()1,n = ，设直线BM 与平面ACD 所成的角为θ，则sin cos ,BM n θ=BM n BM n⋅==⋅所以直线BM 与平面ACD.19．（12分）甲、乙两位选手参加一项射击比赛，每位选手各有n 个射击目标，他们击中每一个目标的概率均为12，且相互独立．甲选手依次对所有n 个目标进行射击，且每击中一个目标可获得1颗星；乙选手按规定的顺序依次对目标进行射击，击中一个目标后可继续对下一个目标进行射击直至有目标未被击中时为止，且每击中一个目标可获得2颗星．(1)当5n =时，分别求甲、乙两位选手各击中3个目标的概率；(2)若累计获得星数多的选手获胜，讨论甲、乙两位选手谁更可能获胜．【答案】(1)516,116；(2)当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.【分析】（1）根据独立重复试验可计算甲击中3个目标的概率，由相互独立事件的概率计算公式可得乙击中3个目标的概率；（2）设X 为甲累计获得的星数，Y 为乙累计获得的星数，分别计算期望，分别讨论1,2,3n =及4n ≥的(),()E X E Y ，得出结论.【详解】（1）当5n =时，甲击中3个目标的概率为33215115C ()()2216P =⨯⨯=，乙击中3个目标，则前3个目标被击中，第4个目标未被击中，其概率为32111()2216P =⨯=.（2）设X 为甲累计获得的星数，则0,1,2,,X n = ，设Y 为乙累计获得的星数，则0,2,4,,2Y n = ，设击中了m 个目标，其中0m n ≤≤，则甲获得星数为m 的概率为C 11()C ()()222m m m n m nnn P X m -===，所以甲累计获得星数为0120C 1C 2C C ()2nn n n nnn E X ⋅+⋅+⋅++⋅= ;记01010C 1C C C (1)C 0C n n n n n n n n n S n n n =⋅+⋅++⋅=⋅+-⋅++⋅ ，所以0112(C C C )2,2n n n n n n n n S n n S n -=+++=⋅=⋅ ，所以12()22n n n nE X -⋅==,乙获得星数为2(01)m m n ≤≤-的概率为1111(2)()222m m P Y m +==⋅=，当m n =时，1(2)2nP Y m ==，所以乙累计获得星数为230242(1)2()22222n n n n E Y -=+++++ ，记230242(1)2222n n n T -=++++ ，则121242(1)20222n n n T --=++++ ，所以12111112(1)122()222222n n n n n n n n T T T ---+=-=+++-=- ，11()22n E Y -=-，当1n =时，1()()12E X E Y =<=，当2n =时，3()1()2E X E Y =<=，当3n =时，37()()24E X E Y =<=，当4n ≥时，()2()E X E Y ≥>所以当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.20．（12分）已知抛物线2y =的焦点与椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>的右焦点重合，直线1:1x y l a b+=与圆222x y +=相切．(1)求椭圆Ω的方程；(2)设不过原点的直线2l 与椭圆Ω相交于不同的两点A ，B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，射线OM 与椭圆Ω相交于点P ，且O 点在以AB 为直径的圆上，记AOM ，BOP △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围．【答案】(1)22163x y +=(2)⎣⎦【分析】（1）根据条件建立关于,a b 的方程组，即可求解椭圆方程；（2）根据数形结合可知12AOM BOP OMS S S S OP==△△，分直线斜率不存在，或斜率为0，以及斜率不为0，三种情况讨论12S S 的值或范围.【详解】（1）∵抛物线2y =的焦点为)，∴c =从而223a b =+①，∵直线1:1x yl a b+=与圆222x y +==②，由①②得：ab ，∴椭圆Ω的方程为：22163x y +=（2）∵M 为线段AB 的中点，∴12AOM BOP OMS S S S OP==△△，（1）当直线2l 的斜率不存在时，2l x ⊥轴，由题意知OA OB ⊥，结合椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为y x =，得22Ax =，从而22Mx =，26P x =，123M P OM x S S OP x ∴===（2）当直线2l 的斜率存在时，设直线()2:0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y 由22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()222214260k x kmx m +++-=，由()()222216421260k m k m ∆=-+->可得：22630k m -+>（*）∴122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+，∵O 点在以AB 为直径的圆上，∴0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，∴()()221212121210x x y y k x x km x x m +=++++=，即()22222264102121m km k km m k k -⎛⎫+⨯+-+= ⎪++⎝⎭，2222,m k ⇒=+（**）满足（*）式．∴线段AB 的中点222,2121kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，若0k =时，由（**）可得：22m =，此时123OM S S OP ∴===，若0k ≠时，射线OM 所在的直线方程为12y x k=-，由2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得：2221221P k x k =+，12M POM x S S OP x ∴===随着2k 的增大而减小，∵0k ≠，∴20k >，∴1233S S ⎛∈ ⎝⎭综上，1233S S ∈⎣⎦【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．（12分）已知函数()e xf x ax a=--(1)当1a =时，证明:()0f x ≥.(2)若()f x 有两个零点()1212,x x x x <且22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，求12x x +的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦【分析】（1）()e 1x f x x =--，求导得min ()(0)0f x f ==，则()0f x ；（2）由题得11e x ax a =+，22e xax a =+，则21211e1x x x x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，则()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，从而设21[ln 2,2]t x x =-∈，得到()121e 2e 1t tt x x +++=-，利用导数研究函数()1e ()e 1ttt g t +=-的值域，则得到12x x+的范围.【详解】（1）证明:当1a =时,()e 1x f x x =--,则()e 1x f x '=-.当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,当,()0x ∈+∞时,()0f x '>,所以()f x 在(,0)-∞上单调递减,在()0,∞+上单调递增,则min ()(0)0f x f ==,故()0f x .（2）由题意得1212e e 0x xax a ax a --=--=，则11e x ax a =+，22e xax a =+，从而21211e 1x xx x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，故()()()()12212121212112e e 1e 2e ee1xx x x x x x x x x x x x x ---+-+++==--，因为22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，所以212e 2,e x x -⎡⎤∈⎣⎦，即[]21ln 2,2x x -∈，设21[ln 2,2]t x x =-∈,则()121e 2e 1t t t x x +++=-.设()1e ()e 1t tt g t +=-,则()22e 2e 1()e1t t tt g t --'=-.设2()e 2e 1t t h t t =--,则()()2e e 1t th t t '=--，由（1）可知()()2e e 10t th t t '=--在R 上恒成立,从而2()e 2e 1t t h t t =--在[ln 2,2]上单调递增,故min ()(ln 2)44ln 210h t h ==-->,即()0g t '>在[]ln 2,2上恒成立,所以()g t 在[ln 2,2]上单调递增,所以()212221e 23ln 2,e 1x x ⎡⎤+⎢⎥++∈-⎢⎥⎣⎦,即12243ln 22e 1,x x ⎡⎤+∈-⎢⎣-⎥⎦,即12x x +的取值范围为243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过变形用含21x x -的式子表示出122x x ++，即()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，然后整体换元设21[ln 2,2]t x x =-∈，则得到()121e 2e 1t t t x x +++=-，最后只需求出函数()1e ()e 1tt t g t +=-在[ln 2,2]t ∈上值域即可.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，)M．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若2AM MB =，求直线l 的斜率．【答案】(1)2214x y +=(2)2±【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，运算求解；（2）联立直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.【详解】（1）∵()()222222288453cos 2cos 4sin 5cos sin 3cos sin ρθθθθθθθ===-++--，则2222cos 4sin 4ρθρθ+=，∴2244x y +=，即2214x y +=，故曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.（2）将直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=，得)()22cos sin 14t t αα+=，整理得()()222cos 4sin 10t t ααα++-=，设A ，B 两点所对应的参数为12,t t ，则1212221cos 4sin t t t t αα+==-+，∵2AM MB =，则122t t =-，联立1212222cos 4sin t t t t ααα=-⎧⎪⎨+=-⎪+⎩，解得122222cos 4sin cos 4sin t t αααααα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，将12,t t 代入12221cos 4sin t t αα=-+得2222221cos 4sin cos 4sin cos 4sin αααααααα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭，解得2223tan 4k α==，故直线l的斜率为2±.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设a 、b 、c 为正数，且b c c a a ba b c+++≤≤.证明：(1)a b c ≥≥；(2)()()()2324a b b c c a abc +++≥.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由不等式的基本性质可得出111abc≤≤，利用反比例函数在()0,∞+上的单调性可证得结论成立；（2）利用基本不等式可得出a b +≥，2b c +≥3c a +≥等式的基本性质可证得结论成立.【详解】（1）证明：因为a 、b 、c 为正数，由b c c a a ba b c +++≤≤可得a b c a b c a b ca b c++++++≤≤，所以，111a b c≤≤，因为函数1y x =在()0,∞+上为增函数，故a b c ≥≥.（2）证明：由基本不等式可得a b +≥，2b c b b c +=++≥()322c a c a a a +=++≥+≥=由不等式的基本性质可得()()()2171131573362244412232424a b b c c a a b b c a c a b c+++≥=11764122424ab a b c abc ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b c ==时，等号成立，故()()()2324a b b c c a abc +++≥.。
全国卷Ⅰ新高考理科数学仿真模拟试卷含答案解析 (4)
全国卷Ⅰ新高考理科数学仿真模拟试卷一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合A={x∈N|x+1>0},B={x|x2+2x-3≤0},则A∩B=A.{0,1}B.(0,1]C.(-1,1]D.[-1,1]2．设i为虚数单位,则复数z=1+2ii的虚部为A.-2B.-iC.iD.-13．已知a>1,则“log a x<log a y”是“x2<xy”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．已知|a|=1,|b|=√2,且a⊥(a-b),则向量a与向量b的夹角为A.π6B.π4C.π3D.2π35．设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),若函数f(x)在x=1处取得极大值,则函数y=−x f′(x)的图象可能是A. B. C. D.6．如图是甲、乙两位同学高二上学期历史成绩的茎叶图,有一个数字被污损,用a(3≤a≤8且a∈N)表示被污损的数字.则甲同学的历史平均成绩不低于乙同学的历史平均成绩的概率为A.13B.56C.16D.237．已知直线a⊥平面α,则“直线b∥平面α”是“b⊥a”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8．执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为A.-√33B.2-√3C.-2-√3D.√39．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n 2-9=4(S n -n ),数列{1a n ·a n+1}的前n 项和为T n ,则T 10=A.13B.17C.235D.22510．已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),双曲线C 2:x 2b 2−y 2a 2-2b 2=1,F 1,F 2分别为C 2的左、右焦点,P为C 1和C 2的交点,若三角形PF 1F 2的内切圆的圆心的横坐标为2,C 1和C 2的离心率之积为32,则该内切圆的半径为A.4√2-2√6B.4√2-2√3C.4√3-2√6D.4√6-2√311．已知函数f (x )= A sin(x +π3)+b (A >0)的最大值、最小值分别为3和-1,关于函数f (x )有如下四个结论:①A =2,b =1;②函数f (x )的图象C 关于直线x =-5π6对称;③函数f (x )的图象C 关于点(2π3,0)对称;④函数f (x )在区间(π6,5π6)内是减函数.其中,正确结论的个数是A.1B.2C.3D.412．如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,线段B 1D 1上有两个动点E,F,且EF=12,则下列结论中错误的是___.A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF 的体积为定值D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．曲线f (x )=sin(x +π2)在点P (π2,f (π2))处的切线方程为 .14．已知在等比数列{a n }中,a n >0且a 3+a 4=a 1+a 2+3,记数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 6-S 4的最小值为 .15．某统计调查组从A ,B 两市各随机抽取了6个大型商品房小区调查空置房情况,并记录他们的调查结果,得到如图所示的茎叶图.已知A 市被调查的商品房小区中空置房套数的平均数为82,B 市被调查的商品房小区中空置房套数的中位数为77,则x -y = .16．已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线与x 轴的交点为Q ,双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线被抛物线截得的弦为OP ,O 为坐标原点.若△PQF 为直角三角形,则该双曲线的离心率等于 .三、解答题(共7题，共70分)17．(本题12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,sin 2A +sin 2B =4sin A sin B cosC.(1)求角C 的最大值;(2)若b =2,B =π3,求△ABC 的面积.18．(本题12分)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D 为BC 的中点,AB =AC ,BC 1⊥B 1D.求证:(1)A 1C ∥平面ADB 1; (2)平面A 1BC 1⊥平面ADB 1.19．(本题12分)某车床生产某种零件的不合格率为p (0<p <1),要求这部车床生产的一组5个零件中,有2个或2个以上不合格品的概率不大于0.05.为了了解该车床每天生产零件的利润,现统计了该车床100天生产的零件组数(1组5个零件),得到的条形统计图如下.现以记录的100天的日生产零件组数的频率作为日生产零件组数的概率. (1)设平均每天可以生产n 个零件,求n 的值; (2)求p 的最大值p 0;(3)设每个零件的不合格率是p 0,生产1个零件的成本是20元,每个合格零件的出厂价为120元,不合格的零件不得出厂,不计其他成本.假设每天该机床生产的零件数为n ,X 表示这部车床每天生产零件的利润,求X 的数学期望E (X ). (参考数据:0.924×1.32的取值为0.95)20．(本题12分)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(-1,32),且它的右焦点为F (1,0).直线l :y =kx +1与椭圆C 有两个不同的交点A ,B. (1)求椭圆C 的方程;(2)设点M 在y 轴上(M 不在l 上),且满足S1S 2=|AM||BM|,其中S 1,S 2分别为△OAM ,△OBM 的面积,求点M 的坐标.21．(本题12分)已知函数f (x )=e x -12ax 2+b (a >0),函数f (x )的图象在x =0处的切线方程为y =x +1.(1)当a =1时,求函数f (x )在[0,2]上的最小值与最大值; (2)若函数f (x )有两个零点,求a 的值.请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。
2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷(四)高三数学(理)试题及答案
绝密★启用前2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷（四）高三数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．已知集合{}|26Mx x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则MN =（ ）A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x <<答案：A根据对数性质可知25log 356<<，再根据集合的交集运算即可求解. 解：∵25log 356<<， 集合{}|26Mx x =-<<，∴由交集运算可得{}2|2log 35M N x x ⋂=-<<.故选：A. 点评：本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题. 2．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =- D ．221y x =-答案：B根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解. 解：z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ，则z x yi =+，z x yi =-，∵12z zz +=+，1x =+，解得221y x =+. 故选：B. 点评：本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题. 3．“2b =”是“函数()()2231f x b b x α=--（α为常数）为幂函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：A根据幂函数定义，求得b 的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断. 解：∵当函数()()2231af x b b x =--为幂函数时，22311b b --=，解得2b =或12-， ∴“2b =”是“函数()()2231af x b b x =--为幂函数”的充分不必要条件.故选：A. 点评：本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.4．已知()21AB =-，，()1,AC λ=，若cos BAC ∠=，则实数λ的值是（ ） A ．-1 B ．7C ．1D ．1或7答案：C根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得λ的值. 解：由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得cos 105AB AC BAC AB AC⋅∠===. ∴解得1λ=. 故选：C. 点评：本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.5．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射．12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆有下述四个结论： （1）焦距长约为300公里； （2）长轴长约为3988公里； （3）两焦点坐标约为()150,0±； （4）离心率约为75994． 其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B根据椭圆形轨道，设该椭圆长轴长为a ，半焦距为c ，先求得月球的半径r ，再根据近月点与月球表面距离为100公里，有100a c r -=+，远月点与月球表面距离为400公里，有400a c r +=+，然后两式联立求解. 解：设该椭圆长轴长为a ，半焦距为c ，依题意可得月球半径约为1347617382⨯=， 所以1001738183840017382138a c a c -=+=⎧⎨+=+=⎩，解得1988150a c =⎧⎨=⎩所以离心率150751988994c e a ===，可知结论（1）（4）正确，（2）错误； 因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以（3）错误． 故选：B 点评：本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了阅读抽象应用的能力，属于基础题. 6．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1a =，6A π=，且321c b -=，则cos C （）A ．12-B ．3C ．12D 6 答案：A根据1a =，321c b -=，由正弦定理边化为角得到3sin 2sin sin C B A -=，由A B C π++=，得到()3sin 2sin sin C A C A -+=，再根据6A π=求解.解：由321c b -=，得32c b a -=，即3sin 2sin sin C B A -=， 所以()3sin 2sin sin C A C A -+=， 而6A π=，所以3sin 2sin sin 66C C ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 即3113sin 2sin cos 222C C C ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得1cos 2C =-． 故选：A 点评：本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7．函数()2cos2cos221xxf x x =+-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．答案：C根据函数奇偶性可排除AB 选项；结合特殊值，即可排除D 选项. 解：∵()2cos221cos2cos22121x x x x f x x x +=+=⨯--，()()()2121cos 2cos22121x x x x f x x x f x --++-=⨯-=-⨯=---，∴函数()f x 为奇函数，∴排除选项A ，B ；又∵当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，故选：C. 点评：本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.8．设x ，y 满足约束条件2010x y x y x m -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =+的最大值大于17，则实数m 的取值范围为（） A ．()4,+∞ B ．13,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．()6,+∞D ．()5,+∞答案：D先作出不等式组表示的平面区域，然后平移直线l ：20x y +=，当直线l 在y 轴上的截距最大时，z 取得最大值求解. 解：作出不等式组表示的平面区域如图所示，作出直线l ：20x y +=，并平移，当直线l 经过点(),2m m +时，直线在y 轴上的截距最大，z 取得最大值， 因为2z x y =+的最大值大于17， 所以2217m m ++>，解得5m >． 故选：D 点评：本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的方法的能力，属于基础题. 9．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成．而这七块板可拼成许多图形，人物、动物、建筑物等，在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧图谱》．若用七巧板（图1为正方形），拼成一只雄鸡（图2），在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡头或鸡尾（阴影部分）的概率为A ．112B ．18C ．14D ．316答案：D这是一个几何概型模型，设包含7块板的正方形边长为4，求得正方形的面积，即为雄鸡的面积，然后求得雄鸡鸡头（标号3或5）和鸡尾（标号6）的面积之和，代入公式求解. 解：设包含7块板的正方形边长为4，正方形的面积为4416⨯=， 则雄鸡鸡头（标号3或5）和鸡尾（标号6）的面积之和为1212132⨯⨯+⨯=， 在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡几头或鸡尾（阴影部分）的概率为316p． 故选：D 点评：本题主要考查几何概型的概率，还考查了阅读抽象应用的能力，属于基础题.10．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 答案：C设AE BF a ==，13B EBF EBFV S B B '-'=⨯⨯，利用基本不等式，确定点E ，F 的位置，然后根据//EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，再利用余弦定理求解.设AE BF a ==，则()()23119333288B EBFaa V a a '-+-⎡⎤=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当3a a =-，即32a =时等号成立， 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点， 方法一：连接A E '，AF ，则352A E '=，352AF =，2292A F AA AF ''=+=，13222EF AC ==， 因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，由余弦定理得222819452424cos 9322222A F EF A E A FE A F EF +-''+-'∠==='⋅⋅⨯⨯， ∴4A FE π'∠=．方法二：以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,3,0A ，()3,0,0C ，()0,3,3A '，3,0,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴3,3,32A F ⎛⎫'=--⎪⎝⎭，()3,3,0AC =-， 所以9922cos ,92322A F AC A F AC A F AC +'⋅'==='⋅⨯，所以异面直线A F '与AC 所成的角为4π． 故选：C 点评：本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.11．已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56x π=，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：①实数a 的值为1；②()()1,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为23π． 其中所有正确结论的编号是（） A ．①②③ B ．①③④C ．①④D ．③④答案：B 根据56x π=是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为2Tπ=，然后由()()12f x f x =-，得到()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证. 解： ∵56x π=是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 令0x =，得()503f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即=1a =，①正确； ∴()sin 2sin 3π⎛⎫==- ⎪⎝⎭f x x x x ．又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性， ∴21x x -的最大值为2Tπ=，且()()12f x f x =-， ∴()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称，∴121233223x x x x k ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+π⎝⎭⎝⎭=-=π，k Z ∈， ∴12223x x k ππ+=+，k Z ∈， 当0k =时，12x x +取最小值23π，所以①③④正确，②错误．故选：B 点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.12．如图，在ABC 中，AB 4=，点E 为AB 的中点，点D 为线段AB 垂直平分线上的一点，且4DE =，固定边AB ，在平面ABD 内移动顶点C ，使得ABC 的内切圆始终与AB 切于线段BE 的中点，且C 、D 在直线AB 的同侧，在移动过程中，当CA CD +取得最小值时，ABC 的面积为（）A ．12524-B ．6512-C ．12518-D ．658-答案：A以AB 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，利用圆的切线长定理，得到C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线在第一象限部分，然后利用直线段最短，得到点C 的位置，再求三角形的面积. 解： 如图，以AB 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0A -，()2,0B ，()0,4D ，设ABC 的内切圆分别切BC 、AC 、AB 于F ，G ，H 点，∵3124CA CB AG BF AH HB -=-=-=-=<，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的第一象限部分，且1a =，2c =，2223b c a =-=，∴C 的轨迹方程为()220,03y x x y ->>．∵2CA CB -=，∴2CA CB =+，∴2CA CD CB CD +=++， 则当点C 为线段BD 与双曲线在第一象限的交点时，CA CD +最小， 如图所示：线段BD 的方程为()4202y x x =-≤≤，将其代入22330x y --=，得216190x x -+=，解得835x =+835x =-，∴426512y x =-=， ∴()835,6512C -． ∴ABC 的面积为()146512125242⨯⨯=． 故选：A 点评：本题主要考查双曲线的定义，圆的切线长定理以及三角形的面积，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题13．若函数()()()()()2log 2242x x f x f x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，则()()5f f -=__________． 答案：1利用分段函数，先求()5f -，再求()()5f f -的值.解： ∵()()()5130f f f -=-==，∴()()()()5041ff f f -===．故答案为：1 点评：本题主要考查分段函数求函数值问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14．若()()613x a x -+的展开式中3x 的系数为45-，则实数a =__________． 答案：13利用通项公式得到()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为：()()23236633x C x a C x ⋅-⋅，再根据系数为45-，建立方程求解.解：因为()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为：()()()232336633135540x C x a C x a x ⋅-⋅=-，∴13554045a -=-，解得13a =． 故答案为：13点评：本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 15．如图，在矩形ABCD 中，24==AD AB ，E 是AD 的中点，将ABE △，CDE △分别沿BE CE ，折起，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，则所得几何体ABCDE 的外接球的体积为__________.答案：323π 根据题意，画出空间几何体，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，，并连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，，利用面面垂直的性质及所给线段关系，可知几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，即可求得其外接球的体积. 解：由题可得ABE △，CDE △，BEC △均为等腰直角三角形，如图所示，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，， 连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，， 则OM BE ⊥，ON CE ⊥.因为平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ， 所以OM ⊥平面ABE ，ON ⊥平面DEC ， 易得2OA OB OC OD OE =====，则几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，半径2R =， 所以几何体ABCDE 的外接球的体积为343233V R ππ==. 故答案为：323π. 点评：本题考查了空间几何体的综合应用，折叠后空间几何体的线面位置关系应用，空间几何体外接球的性质及体积求法，属于中档题.16．若函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围为__________． 答案：10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭由函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点，则()ln 40f x x ax '=-=有两个不同的根，转化为方程ln 4x a x =有两个不同解，即函数()g x ln 4xx=的图象与直线y a =有两个公共点求解.解：由()ln 40f x x ax '=-=，得ln 4xa x=， 记()ln 4x g x x =，则()21ln 4xg x x-'=， 当()0,x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减． 又∵()14g e e=，当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()0g x →． 因为函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点， 所以方程ln 4xa x=有两个不同的解， 即函数()g x 的图象与直线y a =有两个公共点， 故实数a 的取值范围为10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭点评：本题主要考查导数与函数的极值点以及导数与函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 三、解答题17．在如图所示的多面体中，四边形ABEG 是矩形，梯形DGEF 为直角梯形，平面DGEF ⊥平面ABEG ，且DG GE ⊥，//DF GE ，2222AB AG DG DF ====.（1）求证：FG ⊥平面BEF . （2）求二面角A BF E --的大小. 答案：（1）见解析；（2）23π（1）根据面面垂直性质及线面垂直性质，可证明BE FG ⊥；由所给线段关系，结合勾股定理逆定理，可证明FE FG ⊥，进而由线面垂直的判定定理证明FG ⊥平面BEF .（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面AFB 和平面EFB 的法向量，由空间向量法求得两个平面夹角的余弦值，结合图形即可求得二面角A BF E --的大小. 解：（1）证明：∵平面DGEF ⊥平面ABEG ，且BE GE ⊥， ∴BE ⊥平面DGEF ， ∴BE FG ⊥，由题意可得2FG FE ==， ∴222FG FE GE +=，∵FE FG ⊥，且FE BE E ⋂=， ∴FG ⊥平面BEF .（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，()0,2,0E ，()0,1,1F ，()1,1,1FA =--，()1,1,1FB =-，()0,1,1FE =-.设平面AFB 的法向量是()111,,n x y z =，则11111111100000x y z x z FA n x y z y FB n --==⎧⎧⎧⋅=⇒⇒⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎩⎩，令11x =，()1,0,1n =，由（1）可知平面EFB 的法向量是()0,1,1m GF ==，∴1cos<,222n m n m n m⋅>===⨯⋅，由图可知，二面角A BF E --为钝二面角，所以二面角A BF E --的大小为23π. 点评：本题考查了线面垂直的判定，面面垂直及线面垂直的性质应用，空间向量法求二面角的大小，属于中档题.18．在等差数列{}n a 中，12a =，35730a a a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记23n n a an b =+，当*n N ∈时，1n n b b λ+>，求实数λ的取值范围．答案：（1）2n a n =（2）实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（1）根据12a =，35730a a a ++=，利用“1,a d ”法求解.（2）由（1）得到2349n naa n n nb =+=+，将()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立，转化为5419nλ<⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立求解. 解：（1）在等差数列{}n a 中，3575330a a a a ++==，∴510a =，所以{}n a 的公差51251a a d -==-， ∴()112n a a n d n =+-=． （2）∵2349n naa n n nb =+=+，∴()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立，即4499595444949419n n n n n n n n λ⨯+⨯⨯<=+=+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立， 又∵55974441341199n+≥+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，∴9713λ<，即实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．点评：本题主要考查等差数列的基本运算以及有关数列的不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的任意一点M 到直线1y =-的距离比M 点到点()02F ，的距离小1.（1）求动点M 的轨迹1C 的方程；（2）若点P 是圆()()222221C x y -++=：上一动点，过点P 作曲线1C 的两条切线，切点分别为A B 、，求直线AB 斜率的取值范围.答案：（1）28x y =；（2）13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）设(),M x y ，根据题意可得点M 的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点M 的轨迹1C 的方程；（2）设出切线PA PB 、的斜率分别为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，点()P m n ,，则可得过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立抛物线方程并化简，由相切时0∆=可得两条切线斜率关系12,k k +12k k ；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出12,y y ，可求得4AB mk =，结合点()P m n ,满足()()22221x y -++=的方程可得m 的取值范围，即可求得AB k 的范围.解：（1）设点(),M x y ，∵点M 到直线1y =-的距离等于1y +， ∴11y +=，化简得28x y =，∴动点M 的轨迹1C 的方程为28x y =.（2）由题意可知，PA PB 、的斜率都存在，分别设为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，设点()P m n ,，过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立()28y k x m n x y⎧=-+⎨=⎩，化简可得28880x kx km n -+-=，∴26432320k km n ∆=-+=，即220k km n -+=， ∴122m k k +=，122n k k =. 由28x y =，求得导函数4xy '=， ∴114x k =，2211128x y k ==，2222228x y k ==，∴222121212121224424ABy y k k k k m k x x k k --+====--， 因为点()P m n ,满足()()22221x y -++=， 由圆的性质可得13m ≤≤，∴13444AB m k ≤=≤，即直线AB 斜率的取值范围为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点评：本题考查了动点轨迹方程的求法，直线与抛物线相切的性质及应用，导函数的几何意义及应用，点和圆位置关系求参数的取值范围，属于中档题.20．某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案()a 规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案()b 规定每日底薪150元，外卖业务的前54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[)[)[)[)[)[)[]2535354545555565657575858595，，，，，，，，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率；（2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案()a 的概率为13，选择方案()b 的概率为23.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案()a 的概率，（3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替） 答案：（1）0.4；（2）1127；（3）应选择方案()a ，理由见解析 （1）根据频率分布直方图，可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的频率，即可估算其概率；（2）根据独立重复试验概率求法，先求得四人中有0人、1人选择方案()a 的概率，再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案()a 的概率；（3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件，分别表示出方案()a 的日工资和方案()b 的日工资函数解析式，即可计算两种计算方式下的数学期望，并根据数学期望作出选择. 解：（1）设事件A 为“随机选取一天，这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”.根据频率分布直方图可知快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为0.2,0.15,0.05，∵020*******++=．．．．， ∴()P A 估计为0.4.（2）设事件′为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a ”， 设事件i C ，为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有()01234ii =，，，，人选择方案()a ”， 则()()()41310144212163211111333818127P B P C P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a 的概率为1127. （3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件， 方案()a 的日工资()11002,*Y X X N =+∈，方案()b 的日工资()215054*15055454*X X N Y X X X N ≤∈⎧=⎨+->∈⎩，，，，，所以随机变量1Y 的分布列为()1160005180005200022200324002260015280005224E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．；同理，随机变量2Y 的分布列为()21500318003230022800153300052035E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．.∵()()21EY E Y >，∴建议骑手应选择方案()a . 点评：本题考查了频率分布直方图的简单应用，独立重复试验概率的求法，数学期望的求法并由期望作出方案选择，属于中档题.21．已知函数()()ln 1f x m x x =+-，()sin g x mx x =-.（1）若函数()f x 在()0+∞，上单调递减，且函数()g x 在02，上单调递增，求实数m 的值；（2）求证：()()21111sin11sin 1sin 1sin 12231e n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+<⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭（*n N ∈，且2n ≥）.答案：（1）1；（2）见解析（1）分别求得()f x 与()g x 的导函数，由导函数与单调性关系即可求得m 的值； （2）由（1）可知当0x >时，()ln1x x +<，当02x π<<时，sin x x <，因而()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，，，构造()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由对数运算及不等式放缩可证明()()1111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 2212231n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+=-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，从而不等式可证明. 解：（1）∵函数()f x 在()0+∞，上单调递减， ∴()101mf x x'=-≤+，即1m x ≤+在()0+∞，上恒成立， ∴1m ，又∵函数()g x 在02，上单调递增，∴()cos 0g x m x '=-≥，即cos m x ≥在02，上恒成立，m 1≥，∴综上可知，1m =.（2）证明：由（1）知，当1m =时，函数()()ln 1f x x x =+-在()0+∞，上为减函数，()sin g x x x =-在02，上为增函数，而()()00,00f g ==，∴当0x >时，()ln 1x x +<，当02x π<<时，sin x x <. ∴()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，， ∴()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()111ln 1sin1ln 1+sin ln 1+sin ln 1sin 12231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()111sin1sinsin sin 12231n n <+++⋯+⨯⨯-⨯()11111111111122312231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++⋯+=+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭122n=-< 即()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 212231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴()()()2*1111sin11+sin 1+sin 1sin ,212231e n N n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<∈≥⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭，. 点评：本题考查了导数与函数单调性关系，放缩法在证明不等式中的应用，属于难题. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为0x y a -+=，曲线C 的参数方程为22cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若射线6πθ=与l 的交点为M ，与曲线C 的交点为A ，B ，且4OA OB OM +=，求实数a 的值．答案：（1）l ：cos sin 0a ρθρθ-+=，C ：24cos 4sin 40ρρθρθ--+=（2）12a =- （1）先消去参数得到C 的普通方程，然后利用cos x ρθ=，sin y ρθ=分别代入，得到直线和曲线C 的极坐标方程.（2）在极坐标系中，设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=，然后利用韦达定理求解.解：（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入方程0x y a -+=中，得到直线l 的极坐标方程为cos sin 0a ρθρθ-+=；曲线C 的普通方程为()()22224x y -+-=，即224440x y x y +--+=， 所以曲线C 的极坐标方程为24cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（2）在极坐标系中，可设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得()2240ρρ-+=，∴232ρρ+=，∵4OA OB OM +=，∴1ρ=即1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入cos sin 0a ρθρθ-+=，得()111sin cos 222a ρθθ=-=⨯=-． 点评：本题主要考查参数方程，普通法方程极坐标方程间的转化以及直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．已知不等式112x x ++-≤的解集为{}x a x b ≤≤．（1）求实数a 、b 的值；（2）设0m >，0n >，且满足122a b m n-=，求证：1212m n ++-≥． 答案：（1）1a =-，1b =（2）见解析（1）利用绝对值的几何意义，去绝对值求解.（2）由（1）得到1122m n+=，利用三角不等式转化为1212m n m n ++-≥+，再利用基本不等式求解.解：（1）原不等式等价于①122x x <-⎧⎨-≤⎩，∴x ∈∅； ②1122x -≤≤⎧⎨≤⎩，∴11x -≤≤； ③122x x >⎧⎨≤⎩，∴x ∈∅． 所以原不等式的解集为{}11x x -≤≤，∴1a =-，1b =．（2）∵122a b m n -=，∴1122m n+=， ∴()()1211212m n m n m n ++-≥++-=+()111122222222n m m n m n m n ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22n m m n =，即1m =，12n =时取等号， ∴1212m n ++-≥．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法以及三角不等式和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
2020年全国高考数学模拟卷(理数,B卷)
MNI2020高三模拟测试卷【B 卷】数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生顺利！第Ⅰ卷（选择题 60 分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名和准考证号填写清楚。
2．将试题的答案，填在相应的答题卡内，答在试题卷上无效。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个选项是最符合题意的。
） 1．在下列各数中，与sin2020°的值最接近的数是A ．21B ．23C ．21-D ．23-2．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z 1·z 2在复平面内的对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 3．设全集I ＝R ，M ＝{x ∣x 2＞4}，N ＝{x ∣21x -≥1}，如图所示：则图中阴影部分所表示的集合为 A ．{x ∣x ＜2} B ．{x ∣-2＜x ＜1} C ．{x ∣-2≤x ≤2}D ．{x ∣1＜x ≤2}4．m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题，其中为真命题的是 ①//////αββγαγ⇒⎧⎨⎩ ②//m m αββα⊥⇒⊥⎧⎨⎩ ③//m m ααββ⊥⇒⊥⎧⎨⎩ ④////m nm n αα⇒⊂⎧⎨⎩A ．①④B ．①③C ．②③D ．②④5．若函数y ＝sin x ＋f (x )在[-4π，34π]内单调递增，则f (x )可以是A ．1B ．cos xC ．sin xD ．-cos x6．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线 A 1B 与AD 1所成角的余弦值为绝密★启用前D 1 1 A 1 B 1D CAA ．15B ．25C ．35D ．457．某公园有甲、乙、丙三条大小不同的游艇，甲可坐3人，乙可坐2人，丙只能坐1人，现在3个大人带2个小孩租游艇，但小孩不能单独坐游艇（即需要大人陪同），则不同的坐法种数有 A ．21B ．27C ．33D ．348．一双曲线以椭圆225x ＋2y 9＝1长轴两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线渐近线的斜率是 A ．±2B ．±12C ．±43D ．±349．设数列{a n }是公比为a （a ≠1），首项为b 的等比数列，S n 是前n 项和，则点（S n ，S n ＋1） A ．在直线y ＝ax －b 上 B ．在直线y ＝bx ＋a 上 C ．在直线y ＝bx －a 上D ．在直线y ＝ax ＋b 上10．在ABC AB BC AB ABC ∆=+⋅∆则中，若,02是A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形11．如果函数数f (x )＝2a b-ln(x ＋1)的图像在x ＝1处的切线l 过点（0，-1b），并且l 与圆x 2＋y 2＝110相离，则点（a ，b ）与圆x 2＋y 2＝10的位置关系是 A ．在圆内 B ．在圆外 C ．在圆上D ．不能确定12．已知实数x ，y 满足约束条件y 102y 01x a x x ⎧⎪⎨⎪⎩－－≥＋≥≤（a ∈R ），目标函数z ＝x ＋3y 只有当1y 0x ⎧⎨⎩＝＝时取得最大值，则a 的取值范围是A ． -13＜a ＜0B ． a ＞-13C ． a ＞0D ．a ＜-13或a ＞0第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上。
高考理科数学模拟试卷(含答案)
高考理科数学模拟试卷(含答案)高考理科数学模拟试卷（含答案）本试卷共分为选择题和非选择题两部分，第Ⅰ卷（选择题）在1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）在3至4页，共4页，满分150分，考试时间为120分钟。
注意事项：1.答题前，请务必填写自己的姓名和考籍号。
2.答选择题时，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，请使用橡皮擦擦干净后再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，请使用0.5毫米黑色签字笔，在答题卡规定位置上书写答案。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，请只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={-1.0.1.2.3.4}，B={y|y=x,x∈A}，则A2B=A){0.1.2}B){0.1.4}C){-1.0.1.2}D){-1.0.1.4}2.已知复数z=1/(1+i)，则|z|=A)2B)1C)2D)23.设函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=x-2，则f(f(1))=A)-1B)-2C)1D)24.已知单位向量e1，e2的夹角为π/2，则e1-2e2=A)3B)7C)3D)75.已知双曲线2x^2-y^2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x，则双曲线的离心率是A)10B)10/10C)10D)3/96.在等比数列{an}中，a1>0，则“a1<a4”是“a3<a5”的A)充分不必要条件B)必要不充分条件C)充要条件D)既不充分也不必要条件7.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是A)i≤6?B)i≤5?C)i≤4?D)i≤3?8.已知a、b为两条不同直线，α、β、γ为三个不同平面，则下列命题中正确的是①若α//β，α//γ，则β//γ；②若a//α，a//β，则α//β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④若a⊥α，XXXα，则a//b。
2022届全国高考模拟信息卷 数学(理)试题(一)
高考模拟信息卷01（理）（本卷满分150分，考试时间120分钟。
）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合22{(,)|1}A x y x y =+=，集合{(,)|||1}B x y y x ==-，则集合A B 的真子集的个数为（ ） A ．3B ．4C ．7D ．82．设复数12i z =-（i 是虚数单位），则z z +的值为（ ） A ．32B ．22C ．1D ．23．已知3sin 22sin 2παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则cos2=α（ ）A ．79-B ．79 C ．13-D ．134．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“< ”和“> ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若0a b >>，则下列结论错误．．的是（ ） A ．11a b< B ．2log ()0a b -> C ．1122a b >D ．33a b >5．如图是某个闭合电路的一部分，每个元件出现故障的概率为110，则从A 到B 这部分电源能通电的概率为（ ）A ．97929100000B ．97919100000C ．98029100000D ．980191000006．一动圆P 过定点(4,0)M -，且与已知圆22:(4)16N x y -+=相切，则动圆圆心P 的轨迹方程是A ．221(2)412x y x -=B ．221(2)412x y x -=-C ．221412x y -=D ．221412y x -=7．若直角坐标平面内A 、B 两点满足①点A 、B 都在函数()f x 的图像上；②点A 、B 关于原点对称，则点(),A B 是函数()f x 的一个“姊妹点对”.点对(),A B 与(),B A 可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数()()()22020x x x x f x x e ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的“姊妹点对”有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等.现将椭圆2211636x y +=绕y 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图3），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）A ．64πB ．148πC ．128πD ．32π9．如图，在一个凸四边形ABCD 内，顺次连接四边形各边中点E ，F ，G ，H 而成的四边形是一个平行四边形，这样的平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形.如图，现有一个面积为12的凸四边形ABCD ，设其对应的瓦里尼翁平行四边形为1111D C B A ，记其面积为1a ，四边形为1111D C B A 对应的瓦里尼翁平行四边形为2222A B C D ，记其面积为2a ，…，依次类推，则由此得到的第四个瓦里尼翁平行四边形4444A B C D 的面积为（ ）A ．1B ．427C ．34D ．不确定10．已知函数()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，()()()3F x f x f x '=为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（ ）A ．tan 3ϕ=B ．()f x 在[],a a -上存在零点，则a 的最小值为6πC ．()F x 在,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭有且仅有一个极大值点11．对于棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，有如下结论，其中错误的是（ ） A ．以正方体的顶点为顶点的几何体可以是每个面都为直角三角形的四面体； B ．过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ，则1,,A H C 三点共线； C ．过正方体中心的截面图形不可能是正六边形； D ．三棱锥11A B CD -与正方体的体积之比为1:3．12．锐角ABC 的三边分别为,,a b c ，2cos a b B =，则cb 的取值范围是（ ）A ．[)1,3B ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．[)1,2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
卷6-备战2022年高考数学(理)【名校地市好题必刷】全真模拟卷(全国卷专用)第二辑(解析版)
备战2022年高考数学（理）【名校地市好题必刷】全真模拟卷（全国卷专用）第六模拟（本卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（2022·河南·高三期末（理））已知集合{}0,N A x x a x =≤≤∈，{}1,2,3B =，若A B B =，则a 的取值范围是（ ） A ．{}3 B ．()3,+∞C ．[)3,4D ．[)3,+∞【答案】D 【解析】解：因为A B B =，所以B A ⊆， 又{}0,N A x x a x =≤≤∈，{}1,2,3B =， 所以3a ≥. 故选：D.2．（2022·安徽蚌埠·高三期末（理））设复数202212i 2i z +⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则z =（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -【答案】B 【解析】()()()()12i 2i 12i 5i i 2i 2i 2i 5+++===--+，因此()()1011101120222i i 11z ===-=-. 故选：B.3．（2022·内蒙古赤峰·高三期末（理））设0x >且1x ≠，0y >且1y ≠，则“log 0x y <”是“()()110x y --<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】01log 01x x y y <<⎧<⇒⎨>⎩或101x y >⎧⎨<<⎩，因此有(1)(1)0x y --<，充分性满足，当(1)(1)0x y --<时，10,10x y --或10,10x y ->-<，结合前提条件可得log 0x y <，必要性满足．因此是充分必要条件． 故选：C ．4．（2022·吉林白山·高三期末（理））某保险公司销售某种保险产品，根据2020年全年该产品的销售额（单位：万元）和该产品的销售额占总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图.根据双层饼图，下列说法正确的是（ ）A ．2020年第四季度的销售额为380万元B ．2020年上半年的总销售额为500万元C ．2020年2月份的销售额为60万元D ．2020年12个月的月销售额的众数为60万元 【答案】D 【解析】不妨设全年总销售额为x 万元，则第二季度的销售额可得，(6%9%11%)260x ++=，解得，1000x =，选项A ：第四季度销售额为100028%280⨯=(万元)，故A 错误； 选项B ：由图可知，上半年销售额为160260420+=(万元)，故B 错误； 选项C ：由图可知，1月份和3月份销售额之和为1000(5%6%)110⨯+=(万元)， 故2月份的销售额为16011050-=(万元)，故C 错误；选项D ：由图易知，2月份的销售额占比为5%，从而由图可知，月销售额占比为6%的月份最多，故月销售额的众数为10006%60⨯=(万元)，故D 正确. 故选：D.5．（2022·内蒙古通辽·高三期末（理））酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量在20~80mg 之间为酒后驾车，80mg 及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2mg/mL ，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（ ）（参考数据：lg 20.3≈，lg30.48≈）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 【解析】设该驾驶员至少需经过x 个小时才能驾驶汽车，则()120120%20x-<，所以81106x⎛⎫< ⎪⎝⎭，则8101lg 6lg 2lg3log 7.86lg 0.83lg 21x --->==≈-，所以该驾驶员至少需经过约8个小时才能驾驶汽车. 故选：C6．（2021·江西宜春·高三期末（理））我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来琢磨函数图象的特征.函数ln ||cos ()sin x xf x x x⋅=+在[,0)(0,]ππ-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 ()()ln ||cos ()sin x x f x f x x x-⋅--==---，为奇函数，排除A(1)0f =，()02f π=，()03f π>，()0f π<故选：D 【点睛】由解析式找图像的问题，可根据奇偶性，单调性，对称性，特殊值等排除选项，找出答案. 7．（2022·四川巴中·一模（理））已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则下列命题中错误的是（ ） A ．1n n n S S a q +=+⋅ B ．11n n S S qS +=+C ．2S ，42S S -，64S S -成等比数列D ．“12q =-”是“n S ，2n S +，1n S +成等差数列”的充要条件【答案】C 【解析】对于选项A ，因为11n n n S S a ++-=，又等比数列{}n a 的公比为q ，所以1n n a a q +=⋅ 所以1n n n S S a q +-=⋅，即1n n n S S a q +=+⋅，故A 正确；因为()111231123......n n n S qS a q a a a a a a q a q a q a q +=+++++=+++++ 12311...n n a a a a S ++=++++=，所以11n n S S qS +=+，故B 正确；当1q =-时，224640S S S S S =-=-=，显然此时2S ，42S S -，64S S -不能成等比数列，故C 错误；若n S ，2n S +，1n S +成等差数列，则212n n n n S S S S +++-=-，所以221n n n a a a ++++=-， 即122n n a a ++=-，所以1212n n a q a ++==，所以“12q =-”是“n S ，2n S +，1n S +成等差数列”的充要条件，故D 正确.8．（2022·吉林四平·高三期末（理））如图，1F 、2F 分别是双曲线C ：22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点A 、B ．若2ABF 为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．4B 7C 23D 3【答案】B 【解析】解：根据双曲线的定义可得122BF BF a -=，因为2ABF 为等边三角形，所以2BF AB =，12120F AF ∠=︒ 所以112BF AB AF a -==，因为212AF AF a -=，所以2124AF AF a a =+=， 因为在12AF F △中，122,4AF a AF a ==，12120F AF ∠=︒， 所以2221212122cos120F F AF AF AF AF =+-⋅︒， 即222214416224282c a a a a a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以7c a ，所以双曲线的离心率为7ce a= 故选：B9．（2022·四川雅安·高三期末（理））我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛民用于抢险救灾､视频拍摄､环保监测等领域．如图，有一个从地面A 处垂直上升的无人机P ，对地面,B C 两受灾点的视角为BPC ∠，且1tan 3BPC ∠=．已知地面上三处受灾点,,B C D 共线，且90ADB ∠=，1km BC CD DA ===，则无人机P 到地面受灾点D 处的遥测距离PD 的长度是（ ）A 2kmB ．2kmC 3kmD ．4km【答案】B 【解析】提示：法一：由题意，得BD ⊥面,PAD BD PD ∴⊥．设,PD x =记,PBD PCD ∠α∠β==， ()212tan ,tan ,tan tan 22312xx x x x x x x αβθβα-∴==∴=-===++⋅，解得1x =或2x =，又在Rt PDA △中有1, 2.x x >∴=∴选B ．法二：由题，BD ⊥面,PAD BD PD ∴⊥．设PA x =，则22225,2PB x PC x =+=+．由1tan 3BPC ∠=33cos BPC ∠⇒=PBC 中，由余弦定理得2222310521252x x x x +++-=++23x =，进而21 2.PD x +=∴选B. 故选：B.10．（2022·广西·南宁市东盟中学高三期末（理））已知函数()()2sin (00)2f x x πωϕωϕ=+><<，的最小正周期为π，且它的图象关于直线23x π=对称，则下列说法正确的个数为（ ）①将()f x 的图象向右平移ϕ个单位长度后，得到函数2sin y x ω=的图象；②()f x 的图象经过点()01，； ③()f x 的图象的一个对称中心是5012⎛⎫⎪⎝⎭，π；④()f x 在123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】由最小正周期为π，得2ω=；由23x π=为对称轴，得()4 32k k Z ππϕπ+=+∈，02πϕ<<， 故k 取1，6π=ϕ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．①()f x 的图象向右平移ϕ个单位长度后，得2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，错误；②()02sin 16f π==，正确；③52sin 012f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，正确； ④52636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，错误； 故选：C ．11．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期末（理））已知圆C ：()()22232x y -+-=．若直线l ：0x y m ++=上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得60APB ∠=︒，则m 的取值范围是（ ） A ．(),9-∞- B ．(][),91,-∞⋃-+∞ C ．()1,-+∞ D ．[]9,1--【答案】D 【解析】解：根据题意，圆C ：()()22232x y -+-=的圆心为()2,3，半径2r =过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，连接PC ， 若60APB ∠=︒，则30APC ∠=︒，又由CA PA ⊥， 则||2||222PC CA r ===若直线l ：0x y m ++=上存在点P ，满足60APB ∠=︒， 则有C 到直线l 的距离2211d =≤+ 解可得：91m -≤≤-，即m 的取值范围为[]9,1--， 故选：D ．12．（2022·黑龙江·高三期末（理））已知函数()e sin xf x a x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．当1a =-时，()f x 在(0,)+∞单调递减B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点 【答案】C 【解析】对于选项A ，当1a =-时，()sin x f x e x =-，(0,)x ∈+∞，()cos 0x f x e x -'=>恒成立，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，故选项A 不正确；对于选项B ，当时，()sin x f x e x =-，(0)1f =，故切点为(0,1) ，()cos x f x e x '=-，所以切线斜率0)0k f ='(=，故直线方程为：10(0)y x -=-，即切线方程为：1y = ，故选项B 不正确；对于选项C ，当1a =时，()+sin x f x e x =，(,0)x π∈-，()+cos x f x e x '=，()sin 0x f x e x ''=->恒成立，所以()f x '单调递增，又3433()cos()044f e πππ-'-=+-<，2()02f e ππ-'-=> 故()f x '存在唯一极值点，不妨设3,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ ，则0()=0f x '，即00+cos =0x e x ，且003,()0;,()042x x f x x x f x ππ''-<<<<<->， 所以极小值000000()=+sin sin cos =2)(1,0)4xf x e x x x x π=--∈-，故选项C 正确；对于选项D ，对于()+sin x f x e a x =，(,+)x π∈-∞，令()0f x =，即+sin 0x e a x =，当,1x k k π=>-，且Z k ∈， 显然没有零点，故,1x k k π≠>-，且Z k ∈，所以sin x e a x =-则令()sin x e F x x =-，2(cos sin )()sin x e x x F x x -'=，令()=0F x '，解得+,14x k k k Z ππ=≥-∈，，所以3(,)4x ππ∈-- 单调递减，3(,0)4x π∈- 单调递增，有极小值343()240F e ππ-->，于是知(,0)x π∈-时得34()2F x e π- ，所以当342)a e π-∈时，函数无零点，对于条件中任意的0a >均有零点矛盾，故选项D 不正确；故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2022·安徽宣城·高三期末（理））已知向量()2,1a =，()1,b λ=-，若()2a b a +⊥，则a 与b 的夹角的余弦值是______． 【答案】213【解析】()()()24,21,3,2a b λλ+=+-=+，由于()2a b a +⊥，所以()()3,22,16280,8λλλλ+⋅=++=+==-， 则()1,8b =--，所以a 与b 的夹角的余弦值是2213565513a b a b⋅--===⨯⨯⋅.故答案为：21314．（2022·山西·祁县中学高三阶段练习（理））曲线()31()e x f x x mx -=-在点(1(1))f ，处的切线与直线410x y --=垂直，则该切线的方程为__________. 【答案】410x y +-= 【解析】由题意得()321()3e x f x x x mx m ---'=+，则(1)42f m '=-， 所以切线的斜率142k m =-.直线410x y --=的斜率214k =. 因为两直线相互垂直，所以121(42)14k k m =-=-，解得4m =， 则1(1)4k f '==-.所以()31()4e x f x x x -=-，则(1)3f =-， 故该切线的方程为34(1)y x +=--，即410x y +-=. 故答案为：410x y +-=15．（2022·云南昆明·高三期末（理））在ABC 中，60BAC ∠=︒，3BC =，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，若2AD =，则ABC 的面积为__________.33【解析】∴由正弦定理，sin sin6BDAD B π=，sin sin 6DC ADC π=，即1sin sin 6sin AD BD B Bπ=⋅=，1sin sin 6sin AD DC C Cπ=⋅=，而3BC =， ∴113sin sin B C+=， ∵23sin sin sin AB AC BC C B BAC ===∠123sin C =123sin B =， ∴113AC AB +=3AB AC AB +=⋅， 又由余弦定理知：2222cos AC AB AC AB BAC BC +-⋅⋅∠=，∴229AC AB AC AB +-⋅=，即2()39AC AB AC AB +-⋅=，令x AC AB =⋅， ∴24120x x --=，即6x =（2x =-舍去）， ∴133sin 2ABCSAC AB BAC =⋅⋅∠=3316．（2022·四川南充·高三期末（理））已知O 为坐标原点，抛物线C ：()220y px p =>上一点A 到焦点F 的距离为4，设点M 为抛物线C 准线l 上的动点，给出以下命题： ①若△MAF 为正三角形时，则抛物线C 方程为24y x =； ②若AM l ⊥于M ，则抛物线在A 点处的切线平分MAF ∠； ③若3MF FA =，则抛物线C 方程为26y x =；④若OM MA +的最小值为213，则抛物线C 方程为28y x =． 其中所有正确的命题序号是________． 【答案】①②③④ 【解析】①若△MAF 为正三角形时，122p AM ==，故①正确； ②若AM l ⊥于M ，设 ()00,A x y ，过A 的切线m 方程为:00x ty ty x =-+，代入22y px =得2002220y pty pty x -+-=，()()20024220pt pty x ∆=---=，又202y px =，()200tp y ∴-=， 0y t p=，所以过A 点的切线的斜率为0p k y =，因为00022MF y yk p p p -==---，所以过A 的切线m MF ⊥，又AM AF =, 故抛物线在A 点处的切线平分MAF ∠，②正确③若3MF FA =，则A M F 、、三点共线，4,12AF MF ==， 由三角形的相似比得12,3164pp ==，故③正确；④设(),0B p -则214,82A p p p ⎛-±- ⎝，O B 、关于准线l 对称，OM BM =，2221482132O p M BM MA A M B p p A ⎛⎫⎛⎫=+≥==++±- ⎪⎪⎝⎭⎭+ ⎝1402p ->,解得4p =，故④正确. 故答案为: ①②③④三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2022·安徽宣城·高三期末（理））记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n S 的前n 项和，已知2n n S T +=．（1）求证：数列{}n S 是等比数列； （2）求数列{}n na 的前n 项和n A ． 【解析】（1）因为n T 为数列{}n S 的前n 项和， 当1n =时，1111122S T S S S +=+==，则11S = 当2n ≥时，1n n n T T S --=2n n S T +=① 112n n S T --+=②，①－②得()122n n S S n -=≥，得()1122n n S n S -=≥ 所以数列{}n S 是首项为1公比为12的等比数列．（2）由（1）可得，数列{}n S 是以11S =为首项，以12为公比的等比数列，所以112n n S -⎛⎫= ⎪⎝⎭．当1n =时，1111a S T ===，当2n ≥时，1211111222n n n n n n a S S ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然对于1n =不成立，所以11,11,22n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 当1n =时，111A a ==当2n ≥时，21111123222n n A n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦23111112322222nn A n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦上下相减可得2311111111222222n nn A n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++-⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()211142111112122212n n nn n -⎡⎤⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-+-⋅=-++⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎢⎥⎣⎦则()11222n n A n -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭又1n =时，13121A =⨯-=综上，()11222n n A n -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭18．（2022·安徽蚌埠·高三期末（理））第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京举行，冬季两项是冬奥会的正式项目之一，冬季两项是把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起进行的运动，要求运动员既要有由动转静的能力，又要有由静转动的能力.20km 男子个人赛是冬季两项中最古老的奥运项目，分成5个阶段：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直达终点．比赛时，运动员单个出发，随身携带枪支和20发子弹，每轮射击发射5发子弹，每脱靶一次加罚1分钟．成绩的计算是越野滑雪的全程时间加被罚的时间，比赛结束所耗总时间少者获胜．已知甲、乙两名参赛选手在射击时每发子弹命中目标的概率均为0.8． （1）试求甲选手在一轮射击中，被罚时间X 的分布列及期望；（2）若甲、乙两名选手在滑道上滑行所耗时间相同，在前三轮射击中甲选手比乙选手多罚了3分钟，试求在四轮射击结束后，甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少的概率（保留小数点后4位）．（参考数据：50.80.32768=，40.80.4096=．） 【解析】（1）因为一轮射击中，共发射5发子弹，脱靶一次罚时1分钟， 所以一轮射击中，被罚时间X 的值可能为0，1，2，3，4，5．()500.80.32768P X ===，()1451C 0.20.80.4096P X ==⨯=，()()22352C 0.20.80.2048P X ==⨯=，()()33253C 0.20.80.0512P X ==⨯=，()()4454C 0.20.80.0064P X ==⨯=，()()5555C 0.20.00032P X ===，所以X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P0.327680.40960.20480.05120.00640.00032（2）依题意，甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少，在第四轮射击中，共有两种可能，第一种情况，甲5发子弹都击中，乙击中0发或1发；第二种情况，甲击中4发子弹，乙击中0发，所以甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少的概率为()5514145550.80.2C 0.20.8C 0.20.80.20.0023P =⨯+⨯+⨯⨯=．19．（2022·江西·新余市第一中学高三期末（理））如图1，已知ADE 为等边三角形，四边形ABCD 为平行四边形，1,2,5BC BD BA ===把ADE 沿AD 向上折起，使点E 到达点P 位置，如图2所示；且平面PAD ⊥平面PBD ．（1）证明：PA BD ⊥；（2）在（1）的条件下求二面角A PB C --的余弦值． 【解析】（1）证明：如图，设PD 的中点为F ，连接AF ．∵ADP △为等边三角形，∴AF PD ⊥．又平面PAD ⊥平面PBD ，平面PAD 平面PBD PD =，∴AF ⊥平面PBD ．∵BD ⊂平面PBD ，∴BD AF ⊥． ∵1,2,5AD BC BD BA ==== ∴222AD BD AB +=，∴BD AD ⊥． 又ADAF A =，∴BD ⊥平面PAD ．又∵PA ⊂平面PAD ，∴PA BD ⊥．（2）由（1）知BD ⊥平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ABD ． 设AD 中点为O ，连接PO ，则PO AD ⊥．又平面PAD ⊥平面ABD ，平面PAD 平面ABD AD =，∴PO ⊥平面ABD ． 设AB 中点为O '，连接OO '． ∵//OO BD '，∴OO AD '⊥，故以点O 为坐标原点，OA ，OO '，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则1133,0,0,,2,0,,2,0,222A B C P ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴1313,0,,,2,222PA PB ⎛⎫⎛=-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，33,2,2PC ⎛=- ⎝⎭．设平面PAB 的法向量为(,,)m x y z =，由130,213202m AP x m PB x y z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩得3,3,x z y ⎧=⎪⎨=⎪⎩取 2z =，则(23,3,2)m =设平面PBC 的法向量为(,,)n a b c =，由1320,233202n PB a b n PC a b ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩得0,3a b =⎧⎪⎨=⎪⎩取4c =-，则(0,3,4)n =--，11cos ,19||||1919m n m n m n ⋅-〈〉===-⨯∴二面角A PB C --的余弦值为1119-20．（2022·四川·成都七中高三期末（理））已知两圆222212:(2)54,:(2)6C x y C x y -+=++=，动圆M 在圆1C 内部且和圆1C 内切，和圆2C 外切. （1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）过点()3,0A 的直线与曲线C 交于,P Q 两点.P 关于x 轴的对称点为R ，求ARQ 面积的最大值. 【解析】（1）依题意，圆1C 的圆心()12,0C ，半径136r =，圆2C 的圆心()22,0C -，半径26r 设圆M 的半径为r ，则有11MC r r =-，22MC r r =+，因此，121212464MC MC r r C C +=+=>=，于是得点M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴长246a =24c =，短半轴长b 有：22220b a c =-=，所以动圆圆心M 的轨迹C 的方程为：2212420x y +=. （2）显然直线PQ 不垂直于坐标轴，设直线PQ 的方程为3(0)x my m =+≠，1122(,),(,)P x y Q x y ， 由22356120x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得：22(56)30750m x my ++-=，则1223056my y m +-+=，1227565y y m =-+，点P 关于x 轴的对称点11(,)R x y -，1211|2|||2PQRSy x x =⋅⋅-，111232APRS y x =⋅⋅-，如图，显然1x 与2x 在3的两侧，即21x x -与13x -同号， 于是得()()()1211121133AQRPQRAPRSSSy x x x y x x x =-=---=⋅---121212275||656765||5|5||5302||3|||||||||||m y x y m m m my my y m m ++⋅=≤==⋅-=⋅==， 当且仅当|||65|m m =，即30m =“=”，因此，当30m =时，max(50)3AQR S =所以ARQ 530. 21．（2022·江西·新余市第一中学高三期末（理））已知函数1()ln f x x a x=++. （1）当12a =-时，求函数()f x 在(2,(2))f 处的切线方程；（2）当(0,2)a ln ∈，证明：函数()()x g x e f x =存在唯一极值点0x ，且0()0g x >. 【解析】解：（1）当12a =-时，11()ln 2f x x x =+-，22111()x f x x x x -'=-=，f ∴'（2）14=，f （2）ln 2=， ∴函数()f x 在(2，f （2）)处的切线方程为：1ln 2(2)4y x -=-，整理为44ln 220x y -+-=.（2）证明：函数1()()()x x g x e f x e lnx a x==++，(0,)x ∈+∞.221()(ln )x g x e x a x x '=+-+， 设221()ln h x x a x x =+-+， x R ∀∈，0x e >，因此()'g x 与()h x 的符号相同.2233122(1)1()x h x x x x x '-+=-+=，显然，当0x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增.又h （1）02110a a =+-+=+>，11()ln 44ln 2022h a a =+-+=-<.((0,2))a ln ∈，∴存在唯一01(2x ∈，1)，使得0()0h x =.对于()g x ，则有0(0,)x x ∈时，()0g x '<；0(x x ∈，)+∞时，()0g x '>.∴函数()()x g x e f x =存在唯一极值点0x ，01(2x ∈，1).由0()0h x =，可得：020021ln 0x a x x +-+=，解得020021ln a x x x =--+，0000000222000000111211()(ln ln )()x x x x g x e x x e e x x x x x x -∴=++--=-=， 01(2x ∈，1)，0()0g x ∴>.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（2022·西藏昌都市第三高级中学高三期末（理））在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数，0απ<<）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos sin θρθ=. （1）求曲线C 以及直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，若||8AB =，求α值. 【解析】 解：（1）由22cos sin θρθ=，得2sin 2cos ρθθ=，22sin 2cos ρθρθ∴=，即22y x =， 由题知sin y t α=，代入1cos 2x t α=+整理得2sin 2cos sin 0x y ααα--=. （2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程得：22sin 2cos 10t t αα--= ()222cos 4sin 40αα∆=-+=>设12,t t 是方程的根，则：1222cos sin t t αα+=，1221sin t t α=- ∴()221212124224cos 4248sin sin sin AB t t t t t t αααα=-+-+== 21sin 4α∴=，又0απ<< 1sin 2α∴=6πα∴=或56π23．（2022·陕西宝鸡·一模（理））关于x 的不等式3ax x -≤的解集为[]1,b ，其中1a >． （1）求实数a ，b 的值； （2）若正数m ，n 满足2m a n +=，求2n m+的最小值． 【解析】（1）依题意，不等式3ax x -≤化为：22(1)690a x ax --+≤，而1a >，则1,b 是方程22(1)690a x ax --+=的二根，且1b >，因此，2680a a -+=且291b a =-，解2680a a -+=得2a =或4a =， 当2a =时，3b =，符合题意，当4a =时，315b =<不符合题意， 所以2a =，3b =. （2）由(1)知，2a =，22m n+=，而0,0m n >>， 则有21221414()()(4)(42)4222n m n mn mn m n m mn mn+=++=++≥+⋅=，当且仅当4mn mn =时取“=”，由422mn mn m n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得：1,2m n ==，所以当1,2m n ==时，2n m+取最小值4.。
2025高考数学模拟试题2
绝密★启用前2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题2数学注意事项：1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
3.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B钢笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.A={4,5,7,9}，B={3,4,7,8,9}，U=A B，则∁U(A B)中元素共有（）A.3个B.4个C.5个D.6个2.设a,b∈ℝ且b≠0，若复数(a+bi)3是实数，则（）A.b2=3a2B.a2=3b2C.b2=9a2D.a2=9b23.若x∈(e−1,1)，a=ln x，b=2ln x，c=ln3x，则（）A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a4.设函数f(x)的定义域为ℝ，若f(x+1)与f(x−1)都是奇函数，则（）A.f(x)是偶函数B.f(x)是奇函数C.f(x)=f(x+2)D.f(x+3)是奇函数5.(3−sin70∘)÷(2−cos210∘)=（）A.12B.√22C.2D.√326.锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）A.891B.2591C.4891D.60917.设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⟂c，|a|=|b|，则|b⋅c|的值一定等于（）A.以a，b为邻边的平行四边形的面积B.以b，c为两边的三角形面积C.以a，b为两边的三角形面积D.以b，c为邻边的平行四边形的面积8.用长度分别为2、3、4、5、6的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A.8√5 B.6√10 C.3√55 D.20二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。
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MNI2009高三模拟测试卷【B 卷】数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生顺利！第Ⅰ卷（选择题 60 分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名和准考证号填写清楚。
2．将试题的答案，填在相应的答题卡内，答在试题卷上无效。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个选项是最符合题意的。
） 1．在下列各数中，与sin2008°的值最接近的数是A ．21B ．23C ．21-D ．23-2．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z 1·z 2在复平面内的对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 3．设全集I ＝R ，M ＝{x ∣x 2＞4}，N ＝{x ∣21x -≥1}，如图所示：则图中阴影部分所表示的集合为 A ．{x ∣x ＜2} B ．{x ∣-2＜x ＜1} C ．{x ∣-2≤x ≤2}D ．{x ∣1＜x ≤2}4．m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题，其中为真命题的是 ①//////αββγαγ⇒⎧⎨⎩ ②//m m αββα⊥⇒⊥⎧⎨⎩ ③//m m ααββ⊥⇒⊥⎧⎨⎩ ④////m nm n αα⇒⊂⎧⎨⎩A ．①④B ．①③C ．②③D ．②④5．若函数y ＝sin x ＋f (x )在[-4π，34π]内单调递增，则f (x )可以是A ．1B ．cos xC ．sin xD ．-cos x6．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线 A 1B 与AD 1所成角的余弦值为绝密★启用前D 1 1 A 1 B 1D CA BA ．15B ．25C ．35D ．457．某公园有甲、乙、丙三条大小不同的游艇，甲可坐3人，乙可坐2人，丙只能坐1人，现在3个大人带2个小孩租游艇，但小孩不能单独坐游艇（即需要大人陪同），则不同的坐法种数有 A ．21B ．27C ．33D ．348．一双曲线以椭圆225x ＋2y 9＝1长轴两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线渐近线的斜率是 A ．±2B ．±12C ．±43D ．±349．设数列{a n }是公比为a （a ≠1），首项为b 的等比数列，S n 是前n 项和，则点（S n ，S n ＋1） A ．在直线y ＝ax －b 上 B ．在直线y ＝bx ＋a 上 C ．在直线y ＝bx －a 上D ．在直线y ＝ax ＋b 上10．在ABC AB BC AB ABC ∆=+⋅∆则中，若,02是A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形11．如果函数数f (x )＝2a b-ln(x ＋1)的图像在x ＝1处的切线l 过点（0，-1b），并且l 与圆x 2＋y 2＝110相离，则点（a ，b ）与圆x 2＋y 2＝10的位置关系是 A ．在圆内 B ．在圆外 C ．在圆上D ．不能确定12．已知实数x ，y 满足约束条件y 102y 01x a x x ⎧⎪⎨⎪⎩－－≥＋≥≤（a ∈R ），目标函数z ＝x ＋3y 只有当1y 0x ⎧⎨⎩＝＝时取得最大值，则a 的取值范围是A ． -13＜a ＜0B ． a ＞-13C ． a ＞0D ．a ＜-13或a ＞0第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上。
）13．设a n 是(1＋x )n 的展开式中x 2项的系数（n ≥2），则lim n →∞（21a ＋31a ＋……＋1na ）＝。
14．已知向量a 、b 的夹角为60°，且∣a ∣＝4，(a ＋b )·(2a －3b )＝16，则b 在a 方向上的投影等于 。
15．设在某次数学考试中，考生的分数服从正态分布N （90，202），则得分在70分～110分之间的学生约占总人数的_______%。
（精确到1%，参考数据：Φ(1)＝0.8413，Φ(2)＝0.9772）16．设数集M ＝{x ∣m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x ∣n －13≤x ≤n }，且M 、N 都是集合{x ∣0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x ∣a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是 。
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤。
） 17．（本题满分10分）如图A 、B 是单位圆O 上的点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为（35，45）， 三角形AOB 为正三角形。
（1）求sin ∠COA ； （2）求∣BC ∣2的值。
18．（本题满分12分）有红蓝两粒质地均匀的正方体形状骰子，红色骰子有两个面是8，四个面是2，蓝色骰子有三个面是7，三个面是1，两人各取一只骰子分别随机投掷一次，所得点数较大者获胜 （1）分别求出两只骰子投掷所得点数的分布列及期望； （2）投掷蓝色骰子者获胜的概率是多少？19．（本题满分12分）将两块三角板按图甲方式拼好，其中︒=∠=∠90D B ，︒=∠30ACD ，︒=∠45ACB ，AC = 2，现将三角板ACD 沿AC 折起，使D 在平面ABC 上的射影O 恰好在AB 上，如图乙． (1)求证：AD ⊥平面BDC ；(2)求二面角D －AC －B 的大小．45）AB C D AB CDO图乙图甲20．（本题满分12分）已知函数f (x )＝(x 2＋mx ＋5)xe ，x ∈R 。
（1）若函数f (x )没有极值点，求m 的取值范围；（2）若函数f (x )的图象在点（3，f (3)）处的切线与y 轴垂直，求证：对任意x 1、x 2∈[0，4]，都有∣f (x 1)－f (x 2)∣≤e 3＋e 4。
21．（本题满分12分）已知A ，B 是抛物线()220x py p =>上的两个动点，O 为坐标原点，非零向量满足：OA OB OA OB +=-．（1）求证：直线AB 经过一定点；（2）当AB 的中点到直线20y x -=p 的值．22．（本题满分12分）已知数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n －1（n ≥2），且a 1＝5。
（1）若存在一个实数λ，使得数列（2n na λ＋）为等差数列，请求出λ的值；（2）在（1）的条件下，求出数列{a n }的前n 项和S n .。
2009高三模拟测试卷【B 卷】数学参考答案（理工农医类）一、选择题：1-5CDDBD 6-10DBDA 11-12AC 二、填空题：13. 2 14. 1 15. 68 16.112三、解答题：17．解：（1）因为A 点的坐标为（35，45），根据三角函数定义可知x ＝35， y ＝45，r ＝1 (2)分所以sin ∠COA ＝y r＝45……4分（2）因为三角形AOB 为正三角形，所以∠AOB ＝60°，sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝35， ……5分所以cos ∠COB ＝cos(∠COB ＋60°)＝cos ∠COB cos60°－sin ∠COB sin60°＝35·12－45·2＝310- ……8分所以∣BC ∣2＝∣OC ∣2＋∣OB ∣2－2∣OC ∣∣OB ∣cos ∠BOC ＝1＋1－2105…10分18．解：（1）红色骰子投掷所得点数为ζ1是随机变量，其分布如下： (2)Eζ1＝8·13＋2·23＝4 …………4分蓝色骰子投掷所得点数ζ2是随机变量，其分布如下： ………6分Eζ2＝7·12＋1·12＝4 ………8分（2）∵投掷骰子点数较大者获胜，∴投掷蓝色骰子若获胜，则投掷后蓝色骰子点数为7，红色骰子点数为2，∴投掷蓝色骰子获胜概率是36·46＝12·23＝13………12分 19．(1)证：由已知DO ⊥平面ABC ， ∴平面ADB 平面ABC ，………3分又∵BC ⊥AB ，∴BC ⊥平面ADB ，………4分 又∵AD ⊂平面ADB ，∴BC ⊥AD ，A B CDO E又∵AD ⊥DC ，∴AD ⊥平面BDC ………6分(2)解：由(1)得AD ⊥BD ，由已知AC = 2，得2=AB ，AD = 1，∴BD = 1 ………8分 ∴O 是AB 的中点，22=DO 过D 作DE ⊥AC 于E ，连结OE ，则OE ⊥AC.∴∠DEO 是二面角D －AC －B 的平面角， ………10分且36sin 23==∠∴=DE DO DEO DE ，，∴36arcsin =∠DEO . 即二面角D －AC －B 的大小为36arcsin． ………12分 20．解：（1）因为f ´(x )＝(2x ＋m )·e x ＋(x 2＋mx ＋5)·e x ＝[x 2＋(2＋m )x ＋m ＋5]·e x而e x ＞0，g (x )＝x 2＋(2＋m ) x ＋m ＋5的二次项系数大于0，若f (x )无极值点，则g (x )≥0对x ∈R 恒成立， ………2分 所以△＝(2＋m )2－4(m ＋5)＝m 2－16≤0，-4≤m ≤4即m 的取值范围为[-4，4] ………6分（2）因为函数f (x )的图象在点（3，f (3)）处的切线与y 轴垂直，所以f ´(3)＝0，即32＋3(2＋m )＋m ＋5＝0，∴m ＝-5，此时f ´(x )＝(x 2－3x )·e x 当0＜x ＜3时，f ´(x )＜0，f (x )为减函数当3＜x ＜4时，f ´(x )＞0，f (x )为增函数 ………9分 又f (0)＝5，f (4)＝e 4＞5，从而f (x )在[0，4]上的最大值为f (4)＝e 4，最小值为f (3)＝-e 3，所以对任意x 1，x 2∈[0，4]，都有∣f (x 1)－f (x 2)∣≤∣f (4)∣－f (3)∣＝e 4＋e 3 ……12分 21．OA OB OA OB +=-OA OB ∴⊥………1分设A,B 两点的坐标为（11,x y ）、（22,x y ）则2211222,2x py x py ==（1）经过A 、B 两点的直线方程为211211()()()().x x y y y y x x --=--由221212,22x x y y p p ==得：22212111()()()().22x x x x y y x x p p--=--211211()2x x x x y y x x p+≠∴-=- ………3分 令0x =得：2111()2x x y y x p+-=-122x x y p∴=-12120OA OB x x y y ⊥∴+= 从而221212204x x x x p += 120x x ≠（否则，,OA OB 有一个为零向量）2124x x P ∴=- 代入（1）得 2y p =………5分AB ∴始终经过()0,2P 这个定点 ………6分（2）设AB 中点的坐标为（,x y ），则12122;2x x x y y y +=+=22121212222()x x py py p y y ∴+=+=+又2222212121212()2()8x x x x x x x x p +=+-=++22484x p py ∴+= 即212y x p p=+……………（2） ………18分 AB 的中点到直线20y x -=的距离d为：d =将（2）代入得：21()x p p d -+==………10分 因为d2p =∴=………12分（若用导数求切线的斜率为2的切点坐标，参考给分。