有界磁场专题复习

§3.7 专题--有界磁场
一、明确带电粒子在磁场中的受力特点 1. 产生洛伦兹力的条件：
①电荷对磁场有相对运动．磁场对与其相对静止的电荷不会产生洛伦兹力作用． ②电荷的运动速度方向与磁场方向不平行． 2. 洛伦兹力大小：
当电荷运动方向与磁场方向平行时，洛伦兹力f=0；
当电荷运动方向与磁场方向垂直时，洛伦兹力最大，f=qυB ； 当电荷运动方向与磁场方向有夹角θ时，洛伦兹力f= qυB ·sin θ 3. 洛伦兹力的方向：洛伦兹力方向用左手定则判断 4. 洛伦兹力不做功．
二、明确带电粒子在匀强磁场中的运动规律 带电粒子在只受洛伦兹力作用的条件下：
1. 若带电粒子沿磁场方向射入磁场，即粒子速度方向与磁场方向平行，θ＝0°或180°时，带电粒子粒子在磁场中以速度υ做匀速直线运动．
2. 若带电粒子的速度方向与匀强磁场方向垂直，即θ＝90°时，带电粒子在匀强磁场中以入射速度υ做匀速圆周运动．
①向心力由洛伦兹力提供：
R v m
qvB 2
= ②轨道半径公式：
qB mv
R =
③周期：
qB m 2v R 2T π=π=
，可见T 只与q m
有关，与v 、R 无关。

三、充分运用数学知识（尤其是几何中的圆知识，切线、弦、相交、相切、磁场的圆、轨迹的圆）构建粒子运动的物理学模型，归纳带电粒子在磁场中的题目类型，总结得出求解此类问题的一般方法与规律。

1. “带电粒子在匀强磁场中的圆周运动”的基本型问题
（1）定圆心、定半径、定转过的圆心角是解决这类问题的前提。

确定半径和给定的几何量之间的关系是解题的基础，有时需要建立运动时间t 和转过的圆心角α之间的关系
（
T 2t T 360t πα=α=
或）作为辅助。

圆心的确定，通常有以下两种方法。

① 已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两
② 已知入射方向和出射点的位置，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图9-2,P 为入射点，M 为出射点）。

（2）半径的确定和计算：利用平面几何关系，求出该圆的可能半径或圆心角。

并注意以下两个重要的特点：
① 粒子速度的偏向角
ϕ等于回旋角α，并等于AB 弦与切线的夹角（弦切角θ）的2倍，如图9-3
所示。

即：t 2ω=θαϕ＝＝。

② 相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ/互补，即θ＋θ/＝180o 。

（3）运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T ，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由
下式表示
T 2t T 360t πα=α=
或。

注意：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动具有对称性。

① 带电粒子如果从一直线边界进入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，入射速度方向、出射速度方向与边界的夹角相等； ② 在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。

应用对称性可以快速地确定运动的轨迹。

图9-1 图9-2 图
9-3
一、带电粒子在圆形磁场中的运动
例1、圆心为O 、半径为r 的圆形区域中有一个磁感强度为B 、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L 的O ＇处有一竖直放置的荧屏MN ，今有一质量为m 的电子以速率v 从左侧沿ＯＯ＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P 点，如图１所示，求O ＇P 的长度和电子通过磁场所用的时间．
例2、如图2，半径为cm r 10=的匀强磁场区域边界跟y 轴相切于坐标原点O ，磁感强度
T B 332.0=，方向垂直纸面向里．在O 处有一放射源S ，可向纸面各个方向射出速度为
s m v /102.36⨯=的粒子．已知α粒子质量kg m 271064.6-⨯=，电量
C q 19102.3-⨯=，试画出α粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心轨道，求出α粒子通过磁场空间的最大偏角．
M
N
O ,
图1
二、带电粒子在半无界磁场中的运动
例3、如图4所示，在真空中坐标xoy 平面的0>x 区域内，有磁感强度
T B 2100.1-⨯=的匀强磁场，方向与xoy 平面垂直，在x 轴上的)0,10(p 点，
有一放射源，在xoy 平面内向各个方向发射速率s m v /100.14
⨯=的带正电的粒子，粒子的质量为kg m 25106.1-⨯=，电量为C q 18106.1-⨯=，求带
电粒子能打到y 轴上的范围．
三、带电粒子在长方形磁场中的运动
例4、如图5，长为L 间距为d 的水平两极板间，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感强度为B ，两板不带电，现有质量为m ，电量为q 的带正电粒子（重力不计），从左侧两极板的中心处以不同速率v 水平射入，欲使粒子不打在板上，求粒子速率v 应满足什么条件．
图4
o cm x /cm y /p ⨯⨯⨯⨯⨯⨯
⨯⨯⨯⨯
⨯⨯⨯⨯
⨯
⨯∙图5
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
⨯⨯
→∙d L
v
例5、长为L 的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图４所示，磁感强度为B ，板间距离也为L ，板不带电，现有质量为m ，电量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度
V
A ．使粒子的速度V <BqL /4m ；
B ．使粒子的速度V >5BqL /4m ；
C ．使粒子的速度V >BqL /m ；
D ．使粒子速度BqL /4m <V <5BqL /4m
四、带电粒子在“三角形磁场区域”中的运动
例6、在边长为a 2的ABC ∆内存在垂直纸面向里的磁感强度为B 的匀强磁场，有一带正电q ，质量为m 的粒子从距Ａ点a 3的Ｄ点垂直ＡＢ方向进入磁场，如图５所示，若粒子能从ＡＣ间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从ＡＣ间什么范围内射出．
+q 图6
图
7
D
B
五、带电粒子在“宽度一定的无限长磁场区域”中的运动
例7、如图11所示，A 、B 为水平放置的足够长的平行板，板间距离为m d 2
100.1-⨯=，A 板中央有一电子源P ，在纸面内能向各个方向发射速度在s m /102.3~07
⨯范围内的电子，Ｑ为P 点正上方B 板上的一点，若垂直纸面加一匀强磁场，磁感应强度T B 3
101.9-⨯=，已知电子的质量
kg m 31101.9-⨯=，电子电量C e 19106.1-⨯=，不计电子的重力和电子间相互作用力，且电子打
到板上均被吸收，并转移到大地．求：
（1）沿P Ｑ方向射出的电子击中A 、B 两板上的范围．
（２）若从Ｐ点发出的粒子能恰好击中Ｑ点，则电子的发射方向（用图中θ角表示）与电子速度的大小v 之间应满足的关系及各自相应的取值范围．
六、带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动 例8、如图9所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场．左侧匀强电场的场强大小为E 、方向水平向右，电场宽度为L ；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向里．一个质量为m 、电量为q 、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O 点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O 点，然后重复上述运动过程．求：
（1） 中间磁场区域的宽度d ;
（2） 带电粒子从O 点开始运动到第一次回到O 点所用时间t.
B B d O
七、带电粒子在环形或有孔磁场中的运动
例9、核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。

如图５所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。

设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径R2=1.0m，磁场的磁感强度B=1.0T，若被束缚
10C/㎏，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度．试计算
带电粒子的荷质比为q/m=4×7
（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度．
（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度．
图10。