高一数学函数经典练习题(含答案详细)

高一数学函数经典练习题(含答案详细)一、求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴ $y=\frac{x^2-2x-15}{x+3-3}$答案：首先化简得到 $y=\frac{x^2+2x-15}{x}$。

然后根据分式的定义，分母不能为零，即 $x\neq0$。

同时，分子中有$x-5$ 和 $x+3$ 两个因式，因此 $x\leq-3$ 或 $x\geq5$。

综合起来得到定义域为 $\{x|x\leq-3 \text{ 或 } x\geq5 \text{ 或 }x\neq0\}$。

⑵ $y=1-\frac{x-1}{2x+2}$答案：首先化简得到 $y=\frac{x+1}{2x+2}$。

然后根据分式的定义，分母不能为零，即 $x\neq-1$。

同时，分子中有 $x-1$ 和 $x+1$ 两个因式，因此 $x\geq0$。

综合起来得到定义域为 $\{x|x\geq0 \text{ 且 } x\neq-1\}$。

2、设函数 $f(x)$ 的定义域为 $[0,1]$，则函数 $f(x^2)$ 的定义域为 _。

_。

_；函数 $x-2f(x-2)$ 的定义域为答案：对于 $f(x^2)$，$x^2\in[0,1]$，因此 $x\in[-1,1]$。

综合起来得到定义域为 $\{x|-1\leq x\leq1\}$。

对于 $x-2f(x-2)$，$x-2(x-2)\in[0,1]$，即 $2\leq x\leq3$。

因此定义域为 $\{x|2\leq x\leq3\}$。

3、若函数 $f(x+1)$ 的定义域为 $[-2,3]$，则函数 $f(2x-1)$ 的定义域是；函数 $f(\frac{x+2}{x})$ 的定义域为。

答案：对于 $f(2x-1)$，$2x-1\in[-2,3]$，因此 $-1\leqx\leq2$。

综合起来得到定义域为 $\{x|-1\leq x\leq2\}$。

对于 $f(\frac{x+2}{x})$，$x\neq0$ 且 $\frac{x+2}{x}\in[-2,3]$，即 $-2x\leq x+2\leq3x$，解得 $-3\leq x\leq-1$ 或$x\geq2$。

综合起来得到定义域为 $\{x|x\leq-3 \text{ 或 } -1\leq x\leq-2 \text{ 或 } x\geq2\}$。

二、函数的其他性质1、已知函数 $f(x)=x^2-2x+1$，求 $f(1)$，$f(-1)$，$f(0)$。

答案：将 $x$ 替换为 $1$，$-1$，$0$ 分别计算可得$f(1)=0$，$f(-1)=4$，$f(0)=1$。

2、已知函数 $f(x)=\frac{1}{x-1}$，求 $f(2)$，$f(-1)$，$f(0)$。

答案：将 $x$ 替换为 $2$，$-1$，$0$ 分别计算可得$f(2)=-1$，$f(-1)=-\frac{1}{2}$，$f(0)=-1$。

3、已知函数$f(x)=\sqrt{x-3}$，求$f(4)$，$f(0)$，$f(9)$。

答案：将 $x$ 替换为 $4$，$0$，$9$ 分别计算可得$f(4)=1$，$f(0)$ 无意义，$f(9)=2$。

4、已知函数 $f(x)=\frac{1}{x-1}$，求 $f(1)$ 的值和$f(1)$ 的极限值。

答案：$f(1)$ 无意义，因为分母为 $0$。

$f(x)$ 在$x=1$ 的左侧和右侧极限都为正无穷大。

知函数f(x)的定义域为[-1,1]，且函数F(x)=f(x+m)-f(x-m)的定义域存在，求实数m的取值范围。

解法1：由于函数F(x)的定义域存在，对于函数F(x)=f(m+x)-f(x-m)，有-1≤m+x≤1和-1≤x-m≤1.将两式相加得到-1+x-m≤m+x+1，解得2m≥-2，即m≥-1.将两式相减得到m+x-1≤x-m+1，解得m≤1.因此，综合得到-1≤m≤1.解法2：对于函数F(x)=f(x+m)-f(x-m)，其定义域存在当且仅当[-m-1,1-m]与[m-1,1+m]有交集。

化简得到-1+m<1-m和-1-m<1+m，即-1<m<1.求下列函数的值域：⑴y=x+2x-3(x∈R)2解法：将函数y=x+2x-3(x∈R)2化简得到y=(x+1)²-4，即y是以x=-1为对称轴，以(-1,-4)为顶点、开口朝上的抛物线。

因此，当x∈R时，值域最大值为正无穷，最小值为顶点纵坐标-4，即y∈[-4,+∞)或写作{y|y≥-4}或写作y≥-4.⑵y=x+2x-3x∈[1,2]2解法：将函数y=x+2x-3x∈[1,2]2化简得到y=(x+1)²-4.当x=1时，取得最小值0；当x=2时，取得最大值5.因此，y∈[0,5]。

⑶y=3x-1x+1解法：该函数没有规定定义域，但由于分母不能为0，所以要排除x=-1.将函数化简得到y=3-4/(x+1)，因此，y的值域为(-∞,3)U(3,+∞)或写作{x|y≠3}。

⑷y=3x-1444(x≥5)解法：将函数化简得到y=3-4/(x+1)，当x无限增大时，y 无限接近3但不等于3.当x=5时，y=7/3.因此，y的值域为[7/3,3)或写作y∈[7/3,3)。

⑸y=2x-6x+2解法：将函数化简得到y=2-10/(2x+2)，即y=2-5/(x+1)。

因为分母不能为0，所以要排除x=-1.当x无限增大时，y趋向于2.因此，y的值域为(-∞,2)U(2,+∞)或写作{x|y≠2}。

在数学中，Δ代表一元二次方程或二次函数中的判别式，即Δ=b²-4ac。

当Δ≥0时，方程有实数解，二次函数与x轴有交点；当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数解，二次函数与x轴有两个交点；当Δ=0时，方程有两个相等的实数解，二次函数与x轴有一个交点；当Δ＜0时，方程无实数解，二次函数与x轴无交点。

在物理学中，Δ也有用处，例如表示物理量的变化。

例如，Q=cmΔt，其中Q代表热量，c代表物质的比热[容]，m代表物质的质量，Δt代表温度的变化量。

对于方程22x2+ax+b=0，我们可以利用判别式法求解其值域。

因为该方程能解出x，所以Δ≥0.当y≠2时，由Δ≥0可得a²-4y²+4(2+b)y-8b≥0，进一步化简得到4y²-4(2+b)y+8b-a²≤0.因为1≤y≤3，所以4y²-4(2+b)y+8b-a²的两个根分别为1和3.因此，我们可以解出a=±2，b=2.最后，求函数f(x)的解析式可以用换元法或拼凑法。

例如，已知f(x-1)=x-4x，我们可以令t=x-1，从而得到f(t)=t²-2t-3，进而得到f(x)=x²-2x-3.同理，可以求得f(2x+1)的解析式。

2、已知二次函数$f(x)$，且$f(x+1)+f(x-1)=2x-4x$，求$f(x)$的解析式。

解：因为$f(x)$是二次函数，所以可以设$f(x)=ax^2+bx+c$。

则$f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c=ax^2+(2a+b)x+(a+b+c+1)$。

f(x-1)=a(x-1)^2+b(x-1)+c=ax^2+(2a-b)x+(a+b+c-1)$。

将$f(x+1)$和$f(x-1)$代入$f(x+1)+f(x-1)=2x-4x$中得到：2ax^2+2bx+2c=2x^2-4x$。

通过比较系数得到$a=1$，$b=-2$，$c=-1$。

所以$f(x)=x^2-2x-1$。

3、已知函数$f(x)$满足$2f(x)+f(-x)=3x+4$，求$f(x)$。

解：方法1：将$x$和$-x$代入$2f(x)+f(-x)=3x+4$中得到：2f(x)+f(-x)=3x+4$。

2f(-x)+f(x)=-3x+4$。

将第一个式子乘以$2$，第二个式子乘以$1$，然后相减得到：3f(x)=9x+4$，所以$f(x)=3x+4/3$。

方法2：设$f(x)=kx+b$，则$f(-x)=-kx+b$。

将$f(x)$和$f(-x)$代入$2f(x)+f(-x)=3x+4$中得到：2kx+2b-kx+b=3x+4$，解得$k=3$，$b=4/3$。

所以$f(x)=3x+4/3$。

4、设$f(x)$是$R$上的奇函数，且当$x\in[0,+\infty)$时，$f(x)=x(1+3x)$，则当$x\in(-\infty,0)$时$f(x)=\_\_\_$。

解：根据奇函数的定义，$f(-x)=-f(x)$。

当$x\in(-\infty,0)$时，$-x>0$，所以$f(-x)=-f(x)$，即$f(x)=-x(1+3x)$。

1、由奇函数的性质可得：f(-x)=-f(x)将x替换为-x，得到：3f(-x)=-x(1-3x)将等式两边同时乘以-1，得到：3f(x)=x(1-3x)化XXX：f(x)=x(3x-1)/3 (x≤0)f(x)=x(1+x)/3 (x>0)2、根据定义可得：f(x)=x(1+x)(x≥0)f(x)=3x(1-3x)(x<0)注意到当x=0时，两个定义都成立，因此可以将其合并为一个解析式：f(x)=x(1+x)(x≥0)f(x)=3x(1-3x)(x<0)3、根据题意可得：f(x)+g(x)=1/(x-1)f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)根据奇偶函数的性质，可得：f(-x)=f(x)g(-x)=-g(x)将第二个式子中的f(-x)和g(-x)分别用f(x)和g(x)代替，得到：f(x)-g(x)=1/(x+1)将两个式子相加，得到：2f(x)=1/(x-1)+1/(x+1)化XXX：f(x)=x/(x^2-1)将f(x)代入第一个式子中，得到：g(x)=1/(x-1)-x/(x^2-1)即对于任意x1，x2，当x1f(x2)。

对于函数f(1-x)，当1-x1x2时，有f(1-x1)>f(1-x2)。

即f(1-x)在(0,1]上是单调递增函数，因为当x1>x2时，有1-x1f(1-x2)。

所以f(1-x)的单调递增区间为(0,1]。

1.在(0,+∞)上，随着x的增大，函数f(x)减小；随着x的减小，函数f(x)增大。

令t=1-x²，则在(0,+∞)上，随着t的增大，函数f(t)减小；随着t的减小，函数f(t)增大。

2.因为t>0，所以1-x²>0，即x²<1，即-1<x<1.当-1<x<1时，随着x的增大，t减小；当-1≤x≤1时，随着x的减小，t增大。

3.又因为t是自变量，当t减小时，复合函数f(1-x²)增大。