对数与对数函数
3对数与对数函数
2a lg 1 1 10 a 1. 2 40 b 0 b 1. g (0) 20
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则f[f(2)]=
2e x 1 , x 2, 【7】(06山东)设函数 f ( x ) 2 log 3 ( x 1), x ≥ 2,
2
.
【8】计算 lg( 3 5 3 5 ).
解:由a>0, ab=1可知b>0, 又y=loga|x+b|的图象关于x=-b对称， 由图象可知b>1, 且0<a<1, 由单调性可知，B正确.
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解题是一种实践性技能,就象游泳、 滑雪、弹钢琴一样，只能通过模仿和实 践来学到它！ ——波利亚
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【1】(07上海)方程 9 x 6 3 x 7 0 的
2
3 3＋1· lg 2
lg 2 lg 2 lg 3 lg (3)原式＝lg 3＋lg 9· 4＋lg lg lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 ＝lg 3＋2lg 3· 2＋3lg 2 2lg
3 8
3lg 2 5lg 3 5 ＝ · ＝ . 2lg 3 6lg 2 4
解 3 ×70 7 (1)原式＝lg － lg23－2lg 3＋1 3
＝lg 10－ (lg 3－1)2＝1－|lg 3－1|＝lg 3.
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(2)令 3x＝t，∴x＝log3t， ∴f(t)＝4log23· 3t＋233＝4log2t＋233， log ∴f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28) ＝4(log22＋log24＋log28＋…＋log228)＋8×233 ＝4· 2(2·2·3· 28)＋8×233 log 2 2 …· ＝4· 2236＋1 864＝4×36＋1 864＝2 008. log
第二章 第六节 对数与对数函数
A．a>0>b
B．a>b>0
C．b>a>0
D．b>0>a
(1)D
(2)A
解
析
：
(1)a
＝
log315
＝
log3
3×5
＝ 1 ＋ log35>1 ， b ＝ log420 ＝
log44×5
＝1＋log45>1，c＝log21.9<1，因为
log35＝llgg
5 3
lg 5 >lg 4
＝log45，所以 a>b>c.
B．b<c<a
C．c<a<b
D．c<b<a
D
解析：画出函数 f(x)＝|lg x|，∵f(2)＝|lg 2|＝|－lg 2|＝lg
1 2
，且14
1 <3
1 <2
，
∴f14
1 >f3
1 >f2
，即 a>b>c.
5．(多选)函数 y＝loga(x＋c)(a，c 为常数，其中 a>0，a≠1)的图象如图所示， 则下列结论成立的是( )
第二章 函 数 第六节 对数与对数函数
必备知识 增分策略 关键能力 精准突破
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必备知识 增分策略
必备知识 1．对数的概念 如果 ab＝N(a>0，且 a≠1)，那么 b 叫作以 a 为底，(正)数 N 的对数，记作 b ＝logaN.这里，a 叫作对数的_底__数_，N 叫作对数的真数．
答案：0，
2 2
解析：若方程 4x＝logax 在0，12 上有解，则函数 y＝4x 与
对数与对数函数
常借助1,0等中间量进行比较 都不同
返回
5．函数 y＝ log0.54x－3的定义域为______． 解析：要使函数有意义，须满足4loxg－0.534>x0－，3≥0， 解得34<x≤1. 答案：34，1
返回
6．函数 y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且 a≠1)的图象恒过的定点是 ________． 解析：当 x＝2 时，函数 y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且 a≠1)的 值为 2，所以图象恒过定点(2,2)． 答案：(2,2)
2．利用结论是捷径
返回
对数函数图象的特征
(1)底数与 1 的大小关系决定了图象的升降，
即 a＞1 时，图象上升；0＜a＜1 时，图象下降．
(2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如
图，其中图象的相对位置与底数大小有关，图中
0＜c＜d＜1＜a＜b.
在 x 轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；
在 x 轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大．
解析：原式＝llgg
32·3llgg32＋3
1 2 log 3
4 log34＝3＋3 log 3
2＝3＋2＝5.
答案：5
[怎样快解·准解]
返回
1．解题“思路”小结
(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数
幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用
数，N 叫做真数，logaN 叫做对数式
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔_x_＝__l_o_g_aN__ 性质
loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝ N
loga(M·N)＝ logaM＋logaN
对数与对数函数
o
1
3
0<a<1时，在 x=1右侧总是 底大图低.
练习3. 比较大小
12
log23 > log32 >log0.53 ___________________________. (2) log0.34 _____ <
(1) log32,log23, log0.53的大小关系为
log0.20.7
练习4.已知下列不等式，比较正数m,n的大小 （1）若log3m < log3n 则 m
log0.71.8
解：∵函数y= log0.7x 中底数 0<0.7<1 ∴ 函数y= log0.7x在(0,+)上 是减函数 ∵ 1.6 < 1.8 ∴ log0.71.6 > log0.71.8
③.
loga4
loga3.14
解 :讨论 a 的情况 I. 当 a>1 时 y=logax 是增函数 因为 所以 4 > 3.14 loga4 > loga3.14 y=logax 是减函数
所以所求函数的定义域为{x| x>
2 7
且x ≠
2 5
}.
例2、比较下列各组数中两个数的大小：
（1）log 2 3 . 4 与 log 2 8 . 5 解：∵ y = log 2 x 在 ( 0 , + ∞) 上是增函数
4
且 3 . 4 ＜8 . 5
∴ log 2 3 . 4 ＜ log 2 8 . 5
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1.8
0.5 1 1.5 2
2.7
2.5 3 3.5
-0.5 -0.2
高三：对数与对数函数
这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3，即函数定义域为(－1,3)． 令g(x)＝－x2＋2x＋3. 则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是
则f(a2)＋f(b2)＝________. 解析：由f(ab)＝1得ab＝10，于是f(a2)＋f(b2)＝lg a2 ＋lg b2＝2(lg a＋lg b)＝2lg(ab)＝2lg 10＝2. 答案：2
1.在运用性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在
无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)．
1 4 3 1 ＝ ×(5lg 2－2lg 7)－ × lg 2＋ (lg 5＋2lg 7) 2 3 2 2 5 1 ＝ lg 2－lg 7－2lg 2＋ lg 5＋lg 7 2 2 1 1 1 1 ＝ lg 2＋ lg 5＝ lg(2×5)＝ . 2 2 2 2
(2)由 2a＝5b＝m 得 a＝log2m，b＝log5m， 1 1 ∴a＋b＝logm2＋logm5＝logm10. 1 1 ∵a＋b＝2， ∴logm10＝2，即 m2＝10. 解得 m＝ 10(∵m>0)．
A.0，
(
B. 2 ，1 2
)
2 2
C．(1， 2)
D．( 2，2)
[自主解答]
(1)由1－x>0，知x<1，排除选项A、
B；设t＝1－x(x<1)，因为t＝1－x为减函数，而y＝ln t 为增函数，所以y＝ln(1－x)为减函数，可排除D选C.
对数与对数函数
2.已知 1<a<b<a2, 比较 logab, logba, loga a , logb a , 1 的大小. b b 2 a a 2 解: 由 1<a<b<a 可知: loga b <0, logb b <0, logab>1. ∴0<logba<1. ∵ 0>log a a>log a b, ∴logaa <logb a . b b b b 2> 1 log b= 1 , 又 logba= 1 log a 2 b 2 2 b 1 a ∴ logab>logba> 2 >logb b >loga a . b 3.已知 logm4>logn4, 比较 m, n 的大小. 解: 由已知 logm4>logn4, 可分情况讨论如下: ①当 m>1, 0<n<1 时, logm4>0, logn4<0, 原不等式成立. ∴m>1>n>0; ②当 m>1, n>1 时, 由 logm4>logn4>0 得: log4m<log4n. ∴n>m>1; ③当 0<m<1, 0<n<1 时, 由 0>logm4>logn4 得: log4m<log4n. ∴0<m<n<1. 综上所述: m, n 的大小是 m>1>n>0 或 n>m>1 或 0<m<n<1.
对数与对数函数
一、对数
如果 a(a>0, a1)的 b 次幂等于 N, 即 ab=N, 那么数 b 叫做 以 a 为底 N 的对数, 记作 logaN=b, 其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数, 式子 logaN 叫做对数式. 常用对数: (lgN), 自然对数: (lnN).
对数与对数函数的基础知识梳理
课堂互动讲练
(2)原式＝(llgg23＋llgg29)·(llgg34＋llgg38) ＝(llgg23＋2llgg23)·(2llgg32＋3llgg32) ＝32llgg23·56llgg32＝54； (3)分子＝lg5(3＋3lg2)＋3(lg2)2 ＝3lg5＋3lg2(lg5＋lg2)＝3； 分母＝(lg6＋2)－lg 130600×110 ＝lg6＋2－lg1060＝4； ∴原式＝34.
课堂互动讲练
自我挑战
(3)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)， 要使f(x)>0，须f(1)≥0，∴a－b≥1.12分
规律方法总结
1．比较两个对数的大小的基本 方法是构造相应的对数函数，若底 数不相同时，可运用换底公式化为 同底数的对数，还要注意与0比较或 与1比较．
规律方法总结
2．把原函数做变量代换化归为二次 函数，然后用配方法求指定区间上的最 值是求对数函数的常见题型．在给定条 件下，求字母的取值范围也是常见题型， 尤其是与对数函数结合在一起的高考试 题更是屡见不鲜．
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跟踪训练
(2)法一：∵loga2＝m，∴am＝2. ∵loga3＝n，∴an＝3. 故a2m＋n＝(am)2·an＝4×3＝12. 法二：∵loga2＝m，loga3＝n， ∴a2m＋n＝a2loga2＋loga3= aloga12＝12.
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考点二
对数函数的图象
要正确识别函数图象，一是熟 悉各种基本函数的图象，二是把握图 象的性质，根据图象的性质去判断， 如过定点、定义域、值域、单调性、 奇偶性．
函数值分布
1，则 y<0 ； ②当0＜a＜1时：若x＞1，
则 y<0 ；若x＝1，则 y＝0 ；
对数及对数函数
[答案] D
(2011·佛山一模)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝log2x.则满足不等式f(x)＞0的x的取值范围是________． [答案] (－1,0)∪(1，＋∞) (2010·天津文数)设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( ) A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c [解析] 因为0＜log53＜1，所以0＜(log53)2＜log53，又log53＜log54＜1 log45＞1，所以b＜a＜c. [答案] D
3．形如y＝logaf(x)(a＞0，a≠1)的函数有如下性质
化同底后利用函数的单调性； 作差或作商法； 利用中间量(0或1)； 化同真数后利用图象比较．
4．对数值的大小比较的方法．
“当底数与真数同时大于1或底数与真数同时大于0而小于1时，对数值是正数，否则对数值小于0”．这一结论对解选择题，填空题很有帮助，能大大提高解题的效率．
Annual Work Summary Report
2021
2023
lgN
lnN
零与负数
0
1
logaN＝b(a>0，a≠1)
1．对数的概念及运算性质 (1)对数的概念 如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么b叫做以a为底N的对数，记 ． 以10为底的对数叫做常用对数，记作 .以无理数e＝2.71828…为底的对数叫做自然对数，记作 . (2)对数的性质 ① 没有对数；②loga1＝ ；③logaa＝ ；④alogaN＝N(对数恒等式)．
命题等价于x2－2ax＋3>0的解集为{x|x<1或x>3} ∴x2－2ax＋3＝0的两根为1和3， ∴2a＝1＋3即a＝2 [点评与警示] 对数函数的值域为R时，其真数必须取遍所有的正数．
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对数与对数函数1.对数的概念(1).对数的定义:如果 那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。
即指数式与对数式的互化：log ba a Nb N =⇔= 如22=4 ==> lg 24=2 注意：负数与0没有对数(2).常用对数： 10log N 叫做常用对数，记作lg N 如lg2 ，自然对数：无理数 2.71828e=⋅⋅⋅为底记作ln N 。
(3).注意：①log a 1=0 ②log a a=1 ③lg10=1 ④1ne=1 如log a （x-1）=1 则x-1=a 若log a （x-1）=0 则x-1=1 2.对数恒等式、换底公式 (1)对数恒等式：①log Na a = (01,0)a a N>≠>且②log Na a = (01,0)a a N >≠>且(2)换底：log aN =log log b b Na(a ，b>0且a ，b ≠1,N>0) log log log a b c b c d ⋅⋅=log a d (a ，b,c>0且a ，b,c ≠1)3.对数的运算性质:如果01,0,0aa M N >≠>>且，那么（1）log ()a MN = . （2）log a MN= （3）log n a M = （4）log n amM = （5）log log a b b a ⋅= （6）log a b =1log b a例1．指数式34 =81的对数式是 ，对数式41log 2=－2的指数式是 。
log 55= log 39= , (3)49log 77 = , (4) log 575－log 53 = ，(5) lg10 = , (6)log 21 = lne=_________例2.计算 （1）()()222lg 2lg 2lg 5lg 2lg 21+⋅+-+ （2）()()231lg 5lg8lg1000lg 2lg lg 0.066++++(3)22271log log 12log 421482+--(4)()2lg 2lg 2lg 50lg 25+⋅+(5)()()3948log 2log 2log 3log 3+⋅+ 例3．已知lg2=a ，lg3=b ，则15lg 12lg 等于( )A ．b a b a +++12B ．b a b a +++12C ．b a b a +-+12D ．b a ba +-+12例4．已知2 lg(x －2y)=lgx ＋lgy ，则yx 的值为 A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．4 或2课堂练习：1、已知log 5X=3，则X =（ ）A 100 B 1000 C 25 D 1252、在对数式N alog =b 中，真数N 的取值范围是（ ）A N ＞0 B N>0且N ≠1 C N ≠1 D N 取任何实数3、式子lg5+lg800－2lg2 =（ ） A 1000 B 100 C 3 D 24、如果a>0且a ≠1，则正确的是（ ）A 5log 3log 2log a a a=+ B 6log 3log 2log a a a =+C 3log 2log 3log 2log a a a a∙=+ D 6log 3log 2log a a a =∙5、ln 3e+lne 3=( ) A 2 B 3 C 4 D 66、如果a>0且a ≠1，则下列式子错误的是（ ） A log a 1= 0 B log a a =1 C log a M n= n DN a N a =log7、式子=3log 9log 28（ ） A.32B.1C.23D. 2 8、式子16log 8=（ ）A43 B4 C34 D 39、下列等式不成立的有（ ） A lne=1 B ln1=0 C ln 2e=2 D e ln2=2 10.计算(1)25log 41log 49log 752∙∙(2)2)18(lg - －125(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2(4)()643log [log log 81](5)23lg 3lg 9lg 27lg 355lg81lg 27++-- (6)()502log 33335322log 2log log 85log 89-+-+11.若234342423log log log log log log log log log 0xy z ===，求x y z ++=的值。
4.对数函数：函数log (01)a y x a a =>≠且做对数函数，其定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).5.对数函数图像与性质若x>1,则y>0 若0<x<1,则y<0 若x>a,则y>1 若1<x<a,则0<y<1 若x>1,则y>0 若0<x<1,则y<0 若x>a,则y>1 若1<x<a,则0<y<1 a 越大越近轴a 越小越近轴y=log a x 与y=-log a x 的图像关于x 轴对称；y=log a x 与y=log a (-x)的图像关于y 轴对称。
他们的渐近线均为x=0注：对数函数1log log (01)a ay x y x a a ==>≠与且的像关于x 轴对称。
对数函数y=log a x （a>0且a ≠1）与指数函数y=a x（a>0且a ≠1）互为反函数，他们的图像关于直线y=x 对称。
6.同真数的对数值大小关系如图,01c d a b <<<<<7.对数式、对数函数的理解① 应重视指数式与对数式的互化关系，它体现了数学的转化思想，也往往是解决“指数、对数”问题的关键。
② 在理解对数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像2log 2,log 2,3ln x y y x y x ===等函数均不符合形式log (01)a y x a a =>≠且，因此，它们都不是对数函数③ 画对数函数log a y x =的图像，应抓住三个关键点1(,1),(1.0),(,1)a a-例1对数值的大小比较，比较大小常用的方法有：①做差比较法 ②做商比较法 ③函数单调性法 ④中间值法， 1) 对于底数相同，真数不同的两个对数的大小比较，直接利用对数函数的单调性来判断。
2) 对于底数不同，真数相同的两个对数的大小比较，可利用对数函数的图像来判断。
3) 对于底数和真数均不同的两个对数的大小比较，可以利用中间值来比较4) 对于三个及以上的数进行大小比较，则应先根据值的大小，（特别是0和1）进行分组，再比较各组的大小。
5) 对于含有参数的两个对数进行大小比较时，要注意对底数进行讨论。
（1）22log 3.4log 8.5与（2）23log 3log 3与（3）76log 6log 7与（4）()()21log 1log 2a ab b b R -+∈与 （5）对数lg2、lg3、2lg的大小关系是（ ）A 3lg ＞2lg ＞2lg B 2lg ＞2lg ＞3lgC 3lg ＞2lg＞2lg D 2lg ＞3lg ＞2lg（6）若0.5222,log 3,log sin5ab c ππ===，则,,a b c 的大小关系是 。
（7）（2011天津）比较a=5log 23.4，b=5log 43.6，c=（1/5）log 30.3的大小（8）（2010全国）比较a=log 32，b=ln2，c=5(-1/2)的大小 （9）已知1＜m ＜10，试比较(lgm)0.9与(lgm)0.8的大小课堂练习：1、求a=0.76-1 b=0.762 c=log 20.76 d=log 32则a,b,c,d 中最大、最小的两个数2、比较43log 、9.01.1log 、43.0的大小3、设均为正数，且，，．比较a 、b 、c 的大小。
4．（06天津·文）设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ）Ａ．R Q P <<Ｂ．P R Q << Ｃ．Q R P << Ｄ．R P Q <<5．（06浙江·理）已知01,log log 0a a a m n <<<<，则（ ）（A ）1n m << （B ）1m n << （C ）1m n << （D ）1n m << 6．（06浙江·文）已知1122log log 0m n <<则（ ）（A ）n ＜m ＜1 （B ）m ＜n ＜1 （C ）1＜m ＜n （D ）1＜n ＜m 7.（全国二4）若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ ） A ．a <b <cB ．c <a <bC ． b <a <cD ． b <c <a例2 求与对数函数有关的定义域与值域的问题求与对数函数有关的复合函数的定义域的方法与前面所讲到的求定义域解法一样，但应注意真数大于0且不等于1，若遇到底数含有参数，则应对参数进行讨论。
求与对数函数有关的复合函数的值域的方法是利用对数函数的单调性来求。
求下列函数的定义域 （1）()224lg 23x y x x -=+- （2）log 2a y x =-（3）y=)12(log 21-x（4）2lg(23)()xx f x a -+=（4）y=√log 1-x （3x-2x 2）求下列函数的值域 (1)log 2x （x>4） （2）y=)12(log 21-x(3) log 2(x 2+2x+5) (4) log 1/3(-x 2+4x+5) (5)函数y =(log 41x)2－log 41x 2＋5 (2≤x ≤4) (6) y=(log 2x)2- 2log 2x-1, (1≤x ≤8)例3：定义域或值域为R 的问题 （1） 若[]log ()a y x ϕ=的定义域为R,则对任意实数x ，恒有()0x ϕ>。
特别地，当2()(0)x ax bx c a ϕ=++≠时，要使定义域为R ，则必须00a >∆<且（2） 若[]log ()a y x ϕ=的值域为R ，则()x ϕ必需取遍()0+∞，内所有的数。
特别地，当2()(0)x ax bx c a ϕ=++≠时，要使值域为R ，则必须00a >∆≥且例4.已知函数21()log (1)4a f x mx m x ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦若定义域是R ，求m 的取值范围；若值域是R ，求m 的取值范围。