对数与对数函数

a log a
2) 对数恒等式 c
(a,c (0,1)
(1,),b 0)
aloga N N (a 0且a 1,N 0)
3) 四个重要推论
①
loga b
lg b lg a
ln ln
b a
;
②
logam
Nn
n m
loga
N
;
③
loga b
1; logb a
④ loga b logb c loga c.
∴x2－2ax＋3＝0的两根为1和3，
∴2a＝1＋3即a＝2
主页
8.已知函数 f(x)＝loga(8－2x) (a>0 且 a≠1)． (1)若 f(2)＝2，求 a 的值；
(2)当 a>1 时，求函数 y＝f(x)＋f(－x)的最大值．
9.已知函数f(x)＝loga(x＋1) (a>1),若函数y＝g(x)图象上任意一
(2) log 2 (25 47 )
(3) log2 3• log3 7 • log7 8
(4) lg 243 lg 9
(5)(1)log35 3
(6)已知3
a
3 2,则来自log2 3a
2.(1)计算12lg3429－34lg 8＋lg 245；．
(2) 计算 lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； (3)若 lga＋lgb＝2lg(a－2b)，求 log4ab之值
主页
[解] 设 u＝g(x)＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2 (1)∵u>0 对 x∈R 恒成立，∴umin＝3－a2>0 ∴－ 3<a< 3 ∴实数 a 的取值范围是(－ 3， 3)． (2)∵f(x)值域为 R∴u＝g(x)的值域为(0，＋∞) ∴Δ＝4a2－12≥0 即 a≥ 3或 a≤－ 3. ∴实数 a 的取值范围是(－∞，－ 3]∪[ 3，＋∞)．
主页
(2010·辽宁)设 2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则 m＝( )
A. 10
B．10
C．20
D．100
2.比较大小，并说明理由：
(1)0.32，log20.3, 20.3； (2)log49，log925，log5 5 5.
(3) log 0.7 0.8, log1.1 0.9,1.10.9
x>1时, y<0
主页
要点梳理
忆一忆知识要点
4. 反函数
指数函数y=ax与对数函数__y=__lo_g_a_x__互为反 函数,它们的图象关于直线____y_=_x___对称.
5. 第一象限中,对数函数底数与图象的关系
y
y=1
图象从左到 右,底数逐渐变
o
x 大.
主页
练习题
(1) log9 27
2.7对数与对数函数
要点梳理
忆一忆知识要点
1. 对数的概念
(1)对数的定义 如果ax=N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底
N的对数, 记作__x_=_l_o_g_aN__, 其中__a__叫做对数的底
数 ,__N__ 叫做真数.
(2) 几种常见对数
对数形式 一般对数 常用对数 自然对数
特点 底数为a(a>0且a≠1)
(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立,求m的取值范围.
解解 解::: (((111)))设设 设 PPP(((xxx，， ，yyy)))为为 为 ggg(((xxx)))图图 图象象 象上上 上任任任意意意一一一点点点，，， 则则 则 QQQ(((－－ －xxx，， ，－－ －yyy)))是是 是点点 点 PPP 关关 关于于于原原原点点点的的的对对对称称称点点点，，， ∵∵ ∵QQQ(((－－ －xxx，， ，－－ －yyy)))在在 在 fff(((xxx)))的的 的图图 图象象 象上上上，，， ∴∴ ∴－－ －yyy＝＝ ＝lllooogggaaa(((－－ －xxx＋＋ ＋111)))，， ， 即即 即 yyy＝＝ ＝ggg(((xxx)))＝＝ ＝－－ －lllooogggaaa(((111－－ －xxx)))．．．
主页
(((((22222)))))设由∵故设由∵故设由∵故设由∵设由∵故fffff(((((xxxxx题F题F题F题F题FFmFmFm)F))Fm))＋(＋(＋(＋(＋((((意x意(x≤意x(≤≤意x意x≤xxxxx)))))ggg)g))g在在)在)在在知知0知00＝＝知＝知0＝(＝((((xxxxx即即即[[[即[[，)，)，)，)，)000ll0l0≥l≥l≥≥≥oooo,o,,,为,为为为111只1只1只只只gggggmmm)m)m)))上上a上所a所a所上a上a所要要要要，，要，，，111111111是是是求求求是是求即即即即即FFFFF增增增．．．增增．(((((xxxxxxxxxlxlxllxlxooooo函)函)函)函)函)，，，，，mmmgggmmggiiii数i数数aaann数n数aanxnxxxx≥≥≥≥≥∈∈1∈11∈∈11xxxxx，，，，，mmmmm[[[[[∴0∴0∴0∴0∴0xxxx1即1即x1即,,,1即1即,,11111FFFFF≥≥≥)))≥≥))可可可可，可，，(，(，(((xxxxxmmmmm．．．)))．．))mmmmm.....iiiiinnnnn＝＝＝＝＝FFFFF(((((00000)))))＝＝＝＝＝00000.....
底数为_1_0__
底数为__e__
记法 _l_o_g_a_N__ __l_g_N__ __l_n_N__
主页
要点梳理
忆一忆知识要点
2. 对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
①负数和零没有对数;
② logaa = 1； ③ loga1 = 0. (2) 积、商、幂的对数运算法则：
( a > 0,且 a 1,M > 0, N > 0)
∴∴函函数数y＝y＝f(xf)(＋x)＋f(－f(－x)的x)的定定义义域域为为(－(－3, 33,)．3)．
主页
又又又又yy＝＝ ＝yy＝＝fff(((xfxx(f)))x(＋＋ ＋x)＋)f＋ff(－((f－ －(f－x(xx－)＝x))＝ ＝)x＝lo)ll＝gooloagg(glaa8o((a－88(g8－ －a2－(8x22)－2＋xx))x＋ ＋)l2＋oxgll)oola＋o(gg8gaal－a((o(888g－－2－a－(22x82)－－－－xxx)))2－x) ∵∵∵∵6688＝5＝ ＝55668>>>＝85＝l52ll22o>oo>xlgxx2＋ggol＋ ＋2aoxaag[＋x[[6g2a＋6622[5－a55－ －62[－x－ －625－xx≥≥ ≥－5－x8≥882－x(22≥2，8((222， ，x(8＋2xx，当2(＋ ＋x当 当2，＋2当且x－22＋且 且当2x－－且仅)－xx]仅 仅2))，x且当仅]]－)， ，]当 当x，仅当)x]＝，xx当x＝ ＝0＝x时000＝时 时取时0取取等取时等等号等取，号号号等，，，号， ∴∴∴∴00<<<00666<<5556－6－ －55－8－88(((82228x(xx＋2(＋ ＋2x＋2x22＋－2－ －x)－xx2≤))x－≤ ≤)≤4x)944≤4，999， ，4，9， ∴∴∴∴当当 当当当aaa>>>aa111>>时1时 时1时,函时,,函 函,函数,数 数函数y数＝yy＝ ＝y＝fy(ffx＝((f)xx(＋x))f＋ ＋)(f＋x()ff－＋((f－ －(x－f)xx(在x－))在 在)在xx＝)xx在x＝＝0＝处00x0＝处处取处0得取取取处最得得得取大最最最值得大大大最l值值值og大alll4oo值9gg.aaa44
故 m≤0 即为所求．
主页
|lg x|， 0<x≤10，
变式：已知函数 f(x)＝－12x＋6， x>10，
若 a，b，c 互不相等，
且 f(a)＝f(b)＝f(c)，则 abc 的取值范围是_____C_____．
A.（1，10） B.（5，6） C.（10，12） D.（20，24）
主页
点P关于原点对称的点 Q 的轨迹恰好是函数 f(x) 的图象.
(1)写出函数g(x)的解析式；
解: (1) f(2)＝lo
(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成解立: ,(求1)mf(的2)取＝值lo范ga则围4，.lo依ga题4＝意2
(28)(由.由解2)由则∴由题:8－(a1题意l8＝o)－2gf意知2a(42.2x知＝)8＝>－x028l>，o知－20gxa>知，240x，>，，x0>依，解x－题>解得－3意，得3x，f<(x23<)，＝3，2，则∴al＝og2a4. ＝2，∴a＝2.
7.对于函数 f(x)＝log1(x2－2ax＋3)，解答下列问题：
2
(1)若 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围； (2)若 f(x)的值域为 R，求实数 a 的取值范围； (3)若函数 f(x)在[－1，＋∞)内有意义，求实数 a 的取值范围； (4)若函数 f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数 a 的值．
主页
(3)由 f(x)在[－1，＋∞)上有意义，知 u＝x2－2ax＋3>0 对 x∈[－1，＋∞)上恒成立．
∵g(x)的对称轴为 x＝a ∴当 a<－1 时 g(－1)>0 即2aa<＋－41>0 解得－2<a<－1 当 a≥－1 时 Δ<0，即－ 3<a< 3 ∴－1≤a< 3 故所求 a 的取值范围是(－2，－1)∪[－1， 3)即(－2， 3)． (4)命题等价于x2－2ax＋3>0的解集为{x|x<1或x>3}