第十二讲对数与对数函数
对数与对数知识点
对数与对数知识点在数学的广袤天地中，对数是一个非常重要的概念。
它不仅在数学理论中有着关键地位，还在实际应用中发挥着巨大作用。
接下来，就让我们一起深入了解对数的世界。
首先，我们来弄清楚什么是对数。
简单来说，对数是一种数学运算，表示要得到一个数，需要将某个固定的数（称为底数）乘多少次才能得到这个数。
例如，如果以 10 为底数，要得到 100，因为 10 的 2 次方等于 100，所以 100 以 10 为底的对数就是 2。
那为什么要引入对数呢？这是因为在很多数学和科学问题中，直接处理指数形式的数可能会很复杂，而通过对数可以将乘除运算转化为加减运算，大大简化了计算。
想象一下，如果要计算一个非常大的数的幂次方，直接计算可能会非常困难，但通过对数，就能够将问题变得相对简单。
对数有一些基本的性质和公式，这是我们理解和运用对数的关键。
其中一个重要的性质是：对数的底数不变，真数相乘，对数相加；真数相除，对数相减。
例如，以 a 为底数，m 和 n 为真数，那么logₐ(mn) ＝logₐ(m) ＋logₐ(n)，logₐ(m ／ n) ＝logₐ(m) logₐ(n)。
还有对数恒等式：a^（logₐN) ＝ N。
这个恒等式在解决很多对数相关的方程和问题时非常有用。
再来说说常用对数和自然对数。
常用对数是以 10 为底数的对数，通常简记为 lg。
在日常生活和许多科学计算中，常用对数经常出现。
例如，在表示声音的强度、地震的震级等方面，常用对数都有应用。
自然对数是以无理数 e（约等于 271828）为底数的对数，通常简记为ln。
在微积分、概率论等高等数学领域，自然对数有着广泛的应用。
对数函数也是一个重要的概念。
对数函数是指形如 y ＝logₐx（a ＞0 且a ≠ 1）的函数。
它的定义域是 x ＞ 0，值域是全体实数。
对数函数的图像有着独特的性质。
当底数 a ＞ 1 时，函数单调递增；当 0 ＜ a＜ 1 时，函数单调递减。
高中数学 对数与对数运算课件(精品课件)
3
log9 92
3 2
（2） log 4 3 81
解法一：设 x
log4 3 81
则
x
43
x
81, 34
34 ,
解法二： log4 3 81 log4 3 ( 4 3)16 16
x3 2
x 16
对数运算性质
理论证明：
1 loga(MN)= logaM +logaN
理论证明：
1 loga(MN)= logaM +logaN
例如： log e 3 简记作ln3 ; log e 10 简记作ln10
(6)底数a的取值范围： (0,1) (1, )
真数N的取值范围： (0, )
讲解范例
例2 将下列对数式写成指数式：
（1） log1 27 3
（2）
3
log5
1 125
3
13 27
3 53 1
125
（3） ln10 2.303
对数的概念及运算性质
定义： 一般地，如果 a a 0, a 1
的b次幂等于N, 就是 ab N ，那么数 b叫做
以a为底 N为真数的对数，记作 loga N b a叫做对数的底数，N叫做真数。
例如：
42 16
102 100
1
42 2
10 2 0.01
log4 16 2
log10 100 2
log4 2
3 31 log3 2
1 lg9
1002
解: 2 log2 3 log3 7 log7 8
lg 3 lg 7 lg 8 lg 23 3
lg 2 lg 3 lg 7 lg 2
例1:计算:
高三：对数与对数函数
这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3，即函数定义域为(－1,3)． 令g(x)＝－x2＋2x＋3. 则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是
则f(a2)＋f(b2)＝________. 解析：由f(ab)＝1得ab＝10，于是f(a2)＋f(b2)＝lg a2 ＋lg b2＝2(lg a＋lg b)＝2lg(ab)＝2lg 10＝2. 答案：2
1.在运用性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在
无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)．
1 4 3 1 ＝ ×(5lg 2－2lg 7)－ × lg 2＋ (lg 5＋2lg 7) 2 3 2 2 5 1 ＝ lg 2－lg 7－2lg 2＋ lg 5＋lg 7 2 2 1 1 1 1 ＝ lg 2＋ lg 5＝ lg(2×5)＝ . 2 2 2 2
(2)由 2a＝5b＝m 得 a＝log2m，b＝log5m， 1 1 ∴a＋b＝logm2＋logm5＝logm10. 1 1 ∵a＋b＝2， ∴logm10＝2，即 m2＝10. 解得 m＝ 10(∵m>0)．
A.0，
(
B. 2 ，1 2
)
2 2
C．(1， 2)
D．( 2，2)
[自主解答]
(1)由1－x>0，知x<1，排除选项A、
B；设t＝1－x(x<1)，因为t＝1－x为减函数，而y＝ln t 为增函数，所以y＝ln(1－x)为减函数，可排除D选C.
《 对数与对数函数》课件
1 题目1
已知log35≈1.465，求log325的值。
3 题目2
已知log23≈1.585，求log63的值。
2 解答1
log325=log3((5)2)=2log35≈2×1.465≈2.93。
4 解答2
log63=log23/log26≈1.585/1.585≈1。
例题: 求解对数方程
1 题目1
求解方程log2(3x-2)=3。
3 题目2
求解方程log2x-14=log2(x-1)。
2 解答1
化为指数形式得：23=3x-2，解得x=7/3。
4 解答2
化为指数形式得：(2x-1)log42=x-1，解得x=3。
例题: 理解对数运算的应用
1 题目1
已知ab=c，则logac=?
2 解答1
根据对数的定义得：logac=b。
定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。
对数函数的图像特征
随着x的增加而变化
当x>1时，y随x的增加而增加；当x=1时，y=0；当 0<x<1时，y随x的减小而增加；当x<0时，对数函数 无意义。
渐近线
对数函数的图像有两条渐近线，即x轴和y轴的反比 例函数。
对数函数的性质
1
单调性
当a>1时，对数函数单调递增；当0<a<1
3 题目2
已知log23≈1.585，log27≈2.807，求log521 的值。
4 解答2
log221=log2(3×7)=log23+log27≈1.585+2.80 7=4.392。利用换底公式得： log521=log221/log25≈4.392/2.322≈1.892。
《对数与对数运算》课件
换底公式的应用：换底公式在数学、物理、化学等领域都有广泛的应用，特别是在解决 实际问题时，可以简化计算过程，提高计算效率。
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换底公式的注意事项：在使用换底公式时，需要注意底数的取值范围，以及换底公式的 适用条件，避免出现错误。
换底公式在化简中的应用
换底公式： loga(b)=logc(b)/logc(a)
,
汇报人：
目录
对数的定义
对数是一种数学运算，用于表示两个数之间的关系 对数运算的基本形式为log(a,b)=c，其中a为底数，b为真数，c为对数 对数运算的性质包括：对数运算具有可逆性、可加性、可乘性等 对数运算在科学研究、工程计算等领域有着广泛的应用
对数的性质
对数运算：对数运算是一种特殊的运算方式，可以将复杂的乘法和除法转化为简单的加法和减法。
对数乘法：对数乘法是将两 个对数相乘，得到新的对数
对数加法：对数加法是将两 个对数相加，得到新的对数
对数除法：对数除法是将两 个对数相除，得到新的对数
对数运算法则：对数运算包括 对数加法、对数减法、对数乘 法和对数除法
对数运算的应用：对数运算在 求对数、求导数、求极限等方
面有广泛应用
对数在金融中的应用
对数在求幂中的应用
幂运算：a^n=a*a*...*a（n次） 对数运算：loga(b)=c，表示a^c=b 求幂运算：a^n=a^(loga(b)) 应用实例：计算a^n的值，可以通过计算loga(b)的值，然后进行幂运算得到结果。
对数在求对数中的应用
对数减法：对数减法是将两 个对数相减，得到新的对数
的真数相乘
公式：loga(b) * loga(c) = loga(bc)
对数与对数函数
对数与对数函数什么是对数？对数是数学中的一个重要概念，在许多领域中都得到了广泛的应用。
对数的概念最早由苏格兰数学家约翰·纳皮尔斯·纳皮尔斯发现并提出。
对数可以帮助我们解决许多数学问题，特别是在指数运算中起到了重要的作用。
在数学中，对数是指一个数与某个给定的正数之间的关系。
具体来说，如果a^x = b，那么x就是以a为底数的对数。
用符号表示就是log_a(b) = x。
在这里，a被称为底数，b被称为真数，x被称为对数。
对数的性质对数具有一些重要的性质，这些性质使得对数在数学中得到了广泛的应用。
1.对数的底数不能为0或1：对数的底数不能为0或1，这是因为0没有正数的幂，而1的任何幂都等于1。
因此，对数函数的底数通常选择大于1的正数。
2.对数的特殊性质：log_a(1) = 0，对数的底数为多少，对应的对数值就是多少。
3.对数的运算律：对数具有一系列的运算律，如log_a(mn) = log_a(m) +log_a(n)，log_a(m/n) = log_a(m) - log_a(n)，log_a(m^k) = klog_a(m)等。
对数函数及其图像对数函数是指以对数为自变量的函数。
对数函数的基本形式是y = log_a(x)，其中a为底数，x为真数，y为对数值。
对数函数的图像呈现出一些特点。
当底数a大于1时，对数函数的图像逐渐向右上方倾斜；当底数a在0和1之间时，图像逐渐向右下方倾斜。
对数函数的图像会经过点(1, 0)，并且与x轴和y轴相交。
对数函数的应用对数函数在许多领域中都有广泛的应用，下面我们来介绍一些常见的应用。
1. 倍数增长问题在经济学中，对数函数可以用来描述某个指标的倍数增长。
例如，GDP的增长通常是以指数形式增长的，我们可以用对数函数来表示这种增长。
通过对数函数，我们可以方便地比较不同时间段的经济增长率。
2. 计算器的对数函数对数函数在计算器上得到了广泛的应用。
计算器上的对数函数通常以10为底，可以方便地计算一个数的对数值。
☆对数与对数运算、对数函数
(二) 对数函数的图象和性质 问题： 你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研 究对数函数性质的方法和内容吗？ 研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大 （小）值、奇偶性．
(二) 对数函数的图象和性质
探索研究
作y log2 x的图像
列表、描点、连线。
根据得到的函数图象，结合图象分析函数的性质
图象 图象特征 函数特征
2
(2) log2 128 7
1 (3) log 2 2 4 1 ( 4) log 3 4 81
1 16 2 7 2 128
1 2 4 1 4 3 81
2
4
例3 求下列各式的值:
(1) log264;
(2) log3 9 .
1 ___
•对数的定义及其对底数的限制
一般地，aa 0, a 1的b次幂等于N，就是a b N , 那么数b叫做 以a为底N的对数。记作： loga N b，a叫做对数的底数， N叫做真数。 底数a 0, a 1
（二）创设情景，引入新课
情景： 回忆学习指数函数时用的实例。某种细胞分 裂时，一个分裂成为原来的两个。细胞的个数y是 x 分裂次数x的函数： y 2。如果要求这种细胞经过多 少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞， 根据下表：
loga N x loga b
loga N 即logb N loga b
例7 例8
求 log8 9. log27 32 的值 ………………. 10
9
求证： logx
y logy z logx z
log z x 证明：因为 logx y logy z logx y logx z logx y 所以 logx y logy z logx z
2010届高考专题复习：12对数与对数函数ppt课件
A.
2 4
B.
2 2
C. 1 2第5页，共17页。
D.
1 4
3.对于 0<a<1, 给出下列不等式, 能成立的是( D)
①
loga(1+a)<loga(1+ ); a1② loga(1+a)>loga(1+ ); ③a1 a1+a<a1+ ;
1 a
④
a1+a>a1+
1 a
.
A. ①③
B. ①④
C. ②③
1 2
(ax+a-x)(x≥0).
第15页，共17页。
9.已知 a>1, f(x)=loga(x+ x2-1 ) (x≥1), (1)求函数 f(x) 的反函数 f-1(x); (2)试比较 f-1(x) 与 g(x)= (2x1+2-x) 的大小.
2
解: (2)当 x=0 时, 显然有 f-1(x)=g(x);
第7页，共17页。
1.化简下列各式:
典型例题
(1) (lg5)2+lg2·lg50; (2) 2(lg 2 )2+lg 2 ·lg5+ (lg 2 )2-lg2+1 ;
(3)
lg5(lg8+lg1000)+(lg2
3
)2+lg
1 6
+lg0.06.
解: (1)原式=(lg5)2+lg2(lg2+2lg5)
(3) logaMn=nlogaM.
五、对数函数
函数 y=logax(a>0, 且 a1)叫做对数函数, 对数函数的定义域为(0, +∞), 值域为(-∞, +∞).
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第十二讲对数与对数函数一、知识要点1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . 指数式与对数式的关系：a b =N ⇔log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （2）对数运算性质:（M 、N 、a 、b 都是正数，a ≠1，b ≠1）2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. （2）对数函数的图象Oxyy= log x a> Oxy<a<ay= log x a 11110( ( ))底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称.（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.二、典型例题例1、比较下列各组数的大小：（1）;3log 3.0log 212与 （2）3log 2log 23与例2、选择题：若03log 3log <<n m 则m 、n 满足的条件是（ ） A 、m>n>1 B 、n>m>1 C 、0<m<n<1 D 、0<n<m<1例3 、函数)352(log 221++-=x x y 在什么区间上是增函数？在什么区间上是减函数？例4 求下列函数的值域：（1）)23(log 22x x y -+=；（2）3log 32log23+-=x x y 。
例5已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________. 例6.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x例7.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则 A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.b ＜a ＜c D.c ＜a ＜b例8已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为A.31 B.61 C.121 D.241例9求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.已知y =log 21［a 2x +2（ab ）x －b 2x +1］（a 、b ∈R +），如何求使y 为负值的x 的取值范围?例10 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.例11已知函数]45)2()2lg[(2++++=x k x k y 的定义域为R ，求实数k 的取值范围。
例12判断函数)10(11log ≠>+-=a a xxy a且的奇偶性。
例13求x 取何值时，)25(log 3-x x 的值为正值。
例14根据a 的取值情况x 的取值范围，使得22log )3(log x x a a >+。
例15当x 为何值时，9log 3log 33xx y ⋅=有最小值，最小值为什么？ 例16解方程)62(l o g )96(l o g 222-=+-x x x 例17解方程：1、)12(log )1(log )3(log )3(log 25.0425.04++-=++-x x x x2、x x x 10lg2=3、01lg 21lg 222=--x x 4、1log 325log 225=-x x 5、227log 9log 33=⋅xx 例18求下列各式中的实数x ： （1）若41log 36=x ，则x=______________；（2）若1)23(log -=+x ，则x=___________。
例19计算（1）8log 4 （2）22)23(9)23(4log 3log 2+-+（3）14log 501log 2log 235log 55215--+ （4）3log 6log 4log 261836+ （5）215515)3(log 15log 45log + （6）5lg 2lg 25lg 2lg 22⋅⋅++（7）2.1lg 3.0lg 1000lg 8lg 27(lg 19lg 3lg 2⋅-++-例20已知175log ,65log ,37log 8133求==a 的值。
2、已知135log ,5log 8115求m =的值。
例21证明：（1）c c c c abc b a b a log log log log log +⋅=；（2）b cca ab a log 1log log +=三、高考点击试题1方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________.2已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数y =g （x ）的图象，若2 f－1（x +m－3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m 的取值范围.3在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f （x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是 A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x四、练习题1、比较下列各对数大小（1）22log _______12log 33⋅⋅；（2）2.0log ______3.0log 21212、利用对数函数的性质，判断下各对数哪个大于1，等于1，还是小于1？ （1）1______52log 21；（2）1_______5log 8 （3）1______14.3log π；（4）1______30cos log 02π3、利用对数函数的性质，比较下列各对数的大小。
（1）3log ______4log 73；（2）21log _____21lg2；（3）31log _____31log 212；（4）71log ____71log 2110。
4、（1）函数)12(21log2+-=x x y 的单调增区间是______________，值域是______________。
（2）若5l o g )(l o g )(241241+-=x x x f 的定义域为}086{2≤+-x x x ，那么它的最大值是__________。
5、（1）如图分别是四个函数①x y a log =②x y b log =③x y c log =④x y d log =的图像，那么a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ）A 、d>c>b>aB 、a>b>c>dC 、b>a>d>cD 、b>c>a>d （2）“ x=y ”是“y x 22log log =”成立的（ ） A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充分必要条件 D 、非充分非必要条件 6、求下列函数的定义域 （1）)35lg(lg x x y -+=（2）)3(log )1(x y x -=-7、求下列函数的定义域和值域 （1）22321logx x y --= （2）xy lg 11-=8、 若15log -=x，则x=____________，若2log 28=x ，则x=_______________。
若213log ,log 2==x x y ,则x=_____________，y=_____________。
9、解不等式：（1）0)231(log 22>-+x x （2）x x 42log )1(log >-10、（1）设不等式09log 9)(log 221221≤++x x 的解集是M ，当M x ∈时，函数8log 2log 22xx y ⋅= 的最大值与最小值。
（2）求函数)42(5log )(log 241241≤≤+-=x x x y 的值域。
11、计算（1）4log3log 8log 2914-- （2）51log 3log 2151527log 8-+ （3）21log 3313335)51(2log 23log 8log 31)2log 1(4log 21-++-⋅⋅（4）8lg 20lg 2lg 5lg )3(25.0log)81(221lg 232---+++-π（5）9log 8log 7log 6log 5log 4log 876543⋅⋅⋅⋅⋅ 6）8.1lg 1000lg 27lg 8lg -+12、求 1、设3152551518log 2log ,3log求n ，m ==的值。
2、已知8log 112log 627求，a =的值。
13、1、已知△ABC 中，∠C=900，三条边长分别为a 、b 、c 。
求证：a a a a b c c b b c c b )()()()(log log 2log log -+-+⋅=+ 2、已知：正数m 、n 满足m 2+n 2=7mn ，求证：)00)(log (log 213log ≠>+=+a a n m n m a a a且 14、 求下列各式中的实数x ： （1）若15log -=x，则x=____________，若2log 28=x ，则x=_______________。
（2）若213log ,log 2==x x y ,则x=_____________，y=_____________。