线性规划的十种类型
第二章 线性规划基本内容
x1 0, x2 0, x3符号无限制
，x3 x4 x5 ， 解： 令 z z ，x1 x1 其中 x4 , x5 0 ，
则标准化后有
2 x2 3 x4 3 x5 max z x1 x2 s.t. x1 x4 x5 2 x2 x1 x4 x5 x2 3 x4 3 x5 3 x1 , x2 , x4 , x5 , x6 , x7 0 x1
40 3x1 10x 2 300 (0,30) A x1 , x 2 0 4 x1 5 x 2 200
B(20,24)
3 x1 10 x 2 300
C(1000/29,360/29) 0 D E (40,0) (50,0) 100 x1
在 B 点获得最大值，z=4280
x2
凸集
定义 2.2.1： 设 S R n 是 n 维欧氏空间的点集， 若对任意 x S , y S 的 和 任 意 [0,1] 都 有 x (1 ) y S 就称 S 是一个凸集。
定义 2.2.2：设 S 为凸集 x S ，如果对任意 y, z S 和 0 1 ，都 有 x y (1 ) z ,则称 x 为 S 的顶点。 定理 2.2.1 线性规划的可行域 D { x Ax b, x 0} 是凸集 定理 2.2.2 任意多个凸集的交还是凸集
（1）若 x k 0 ，令 x k x k
（2）若 中
xk
为符号无限制变量，则 。
xk xk xk
，其
, xk 0 xk
例1
max z 70x1 120x 2 s.t. 9 x1 4 x 2 360 4 x1 5 x 2 200 3 x1 10x 2 300 x1 , x 2 0
4.2线性规划ppt课件
目录
• 线性规划简介 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的软件实现 • 线性规划案例分析 • 线性规划的优化策略
01
线性规划简介
线性规划的定义
线性规划是数学优化技术的一种 ，它通过将问题转化为线性方程 组，并寻找满足一定约束条件的 解，以实现目标函数的最优解。
线性规划问题通常由决策变量、 约束条件和目标函数三部分组成
运输问题
总结词
运输问题是在物流和供应链管理中常见的线性规划应用，旨在优化运输成本和时 间。
详细描述
运输问题通常涉及多个起点、终点和运输方式，需要考虑运输成本、时间、容量 和路线等约束条件。通过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输 成本最低或运输时间最短。
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是在金融领域中常见的线性规划应用，旨 在实现风险和收益之间的平衡。
对偶问题在理论研究和实际应用中都 具有重要的意义，可以用于求解一些 特殊类型的问题，如运输问题、分配 问题等。
对偶问题具有一些特殊的性质，如对 偶变量的非负性、对偶问题的最优解 与原问题的最优解之间的关系等。
初始解的确定
初始解的确定是线性规划求解过程中的 一个重要步骤，一个好的初始解可以大
大减少迭代次数，提高求解效率。
。
决策变量是问题中需要求解的未 知数，约束条件是限制决策变量 取值的条件，目标函数是要求最
大或最小的函数。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型通常由一 组线性不等式和等式约束以及 一个线性目标函数组成。
线性不等式和等式约束条件可 以用来表示各种资源和限制条 件。
目标函数是决策变量的线性函 数，表示要优化的目标。
线性规划
矿物质（g）
维生素(mg）
0.1
0.05
0.05
0.1
0.02
0.02
0.2
0.2
0.05
0.08
希望建立数学模型，既能满足动物需要，又使总成 本最低的饲料配方
模型
饲料 符号 A1 x1 A2 x2 A3 x3 A4 x4 A5 x5
约 l2 : 12x1 8x2 480 束 12x1 8x2 480 l4 条 3x1 100 l3 : 3x1 100 件 c l4 : x1 0, l5 : x2 0 x1 , x2 0 目标 函数
l1 : x1 x2 50
x2 A
l1 B l2 C Z=3600 l3
线性规划问题的数学模型的一般形式
（ 1）列出约束条件及目标函数 （2）画出约束条件所表示的可行域 （3）在可行域内求目标函数的最优解及最优值
线性规划问题的标准形式
{
max y=cTx s.t. Ax=b x≥0
求解方法： （1）单纯形法 （2）软件求解:Lindo， Lingo, matlab，sas
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 X2 ROW 72.000000 24.000000 8.000000
Max z 72x1 64x2
z=c (常数) ~等值线
0
l5
Z=0
x1 D Z=2400
线性规划方法及其应用
05
线性规划方法优缺点分析
优点分析
有效处理多变量问题
线性规划能够同时处理多个决策变量，通过 优化算法寻找最优解。
直观易懂的数学模型
线性规划在各个领域都有广泛的应用，如生 产计划、资源分配、运输问题等。
广泛应用
线性规划的数学模型相对简单，易于理解和 应用。
可求解大规模问题
随着计算机技术的发展，线性规划可以求解 大规模的问题，满足实际应用的需求。
复杂约束处理
研究如何处理包含复杂约束条件的线性规划问题，提高求解效率和 准确性。
不确定性问题建模
针对包含不确定性因素的线性规划问题，发展有效的建模和求解方 法。
应用领域拓展
探索线性规划方法在更多领域（如机器学习、大数据分析等）的应用 潜力，推动相关领域的理论和技术创新。
感谢您的观看
THANKS
3
考虑不确定性
将不确定性因素引入资源分配问题中，通过线性 规划求解鲁棒性强的资源分配策略，以应对潜在 的风险和变化。
04
线性规划软件介绍
MATLAB软件介绍
1
MATLAB是一款由MathWorks公司开发的数学 计算软件，广泛应用于算法开发、数据可视化、 数据分析以及数值计算等领域。
2
MATLAB提供了丰富的工具箱，其中包括优化工 具箱（Optimization Toolbox），可用于解决线 性规划问题。
线性规划方法及其应用
目录
• 线性规划基本概念 • 线性规划方法 • 线性规划应用举例 • 线性规划软件介绍 • 线性规划方法优缺点分析 • 线性规划方法发展趋势与展望
01
线性规划基本概念
定义与特点
定义：线性规划是一种数学方法，用于 优化一组线性不等式约束下的线性目标 函数。
第五章 线性规划(全部)
第五章 线性规划●线性规划问题举例●线性规划的标准形式及图解法●线性规划的基本概念及基本性质●单纯形法●两阶段法及大M法修正单纯形法●线性规划的对偶理论对偶单纯形法§1 线性规划问题举例例1:某工厂拥有A、B、C 三种类型的设备，生1C三种类型的设备生产甲、乙两种产品。
每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的时数如下表所示，问题：工厂应种设备可利用的时数如下表所示问题工厂应如何安排生产可获得最大的总利润？解：设变量i x为第i种（甲、乙）产品的生产件数（i＝1，2）。
目标函数 max z x x =+1215002500≤约束条件..s t x x +123265x x +≤12240x ≤2375 ,x x ≥≥1200例2 （运输问题）个制造厂要把若干单位的产品从一个制造厂要把若干单位的产品从,A A 12两个仓库发送到零售点,,,B B B B 1234。
仓库i A 能供应产品的数量为(,)i a i =12，零售点j B 所需产品的数量为b =1234假设能供应的总量等于需要的总(,,,)j j 。
假设能供应的总量等于需要的总i ja b =∑∑24。
且已知从仓库i A 运一个单位量，即1i j ==1且已知从仓库运个单位的产品到j B 的运价为ij c 。
问应如何安排运输，才能既满足各地的需要，又使所花费的运输总费用最小？解：假定运费与运量成正比。
设由仓库i A 运往零售点j B 的货物数量为ij x ，S 为运输总费用，则24min .. ij iji j ij i j S c x s t x a i ,======∑∑∑114112, , ij j i ij x b j ,,,x i ,j ,,,===≥==∑2112340121234j以上两个例子,从数学上来讲,它们的共同特征是:每个问题都用一组决策变量x x x (1) 每个问题都用组决策变量(,,,n 12)表示某一方案 ,这组未知数的值就代表一个具体的方案,通常要求这些未知数取值是非负的。
第六章--线性规划
第六章--线性规划第六章线性规划线性规划是最简单的约束优化问题。
这是因为线性规划的目标函数和约束函数都是线性函数。
1.线性规划的标准形式∑=nj jjx c1min∑===nj i j ij mi b x a t s 1,...,2,1,..)(,...,2,1,0n m n j x j <=≥为简便，标准形式还可写成：xc TminbAx t s =.. 0≥x其中：[]Tn x x x x ,,,21 = []Tn c c c c ,,,21 = []Tn b b b b ,,,21 ==mn m n a a a a A1111 还可以写成：xc Tmin∑==n j j j b a x t s 1..≥x其中Tmj j j ja a a a ],...,,[21=称n c c c ,...,,21为变量n x x x ,...,,21的价格系数，c 为价格系数向量。
2.化为标准形式的方法考虑线性规划的一般形式：∑=tj jjx c1min∑=≤tj pj pj b x a t s 1..，u p ,...,2,1= ∑=≥tj qjqj b x a 1，v u u q ++=,...,1 ∑==tj rrj b x a 1，m v u r ,...,1++=0≥j x ，tj ,...,2,1=假定所有的mi b i,...,2,1,0=≥。
在线性规划的标准形式中，除要求各变量非负外，只存在等式约束。
为此，采用如下方法来消除不等式约束。
1)松弛变量对于""≤约束，可以引入松弛变量使它变为等式约束。
考虑∑=≤t j pjpj b x a 1，引入新变量0≥+pt x，使之变成等式约束，∑=+≤+tj ppt j pj b x x a 1。
2)剩余变量对于""≥约束，可以引入剩余变量使它变为等式约束。
考虑∑=≥t j qjqj b x a 1，引入新变量0≥+qt x，使∑=+=-tq t jqj b x x a 1。
线性规划知识点归纳总结
线性规划知识点归纳总结一、知识梳理1 目标函数：P=2x＋y是一个含有两个变量x和y的函数，称为目标函数。
2 可行域：约束条件表示的平面区域称为可行域。
3 整点：坐标为整数的点叫做整点。
4 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题。
只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决。
5 整数线性规划：要求量整数的线性规划称为整数线性规划。
二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科，主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定和条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。
1 对于不含边界的区域，要将边界画成虚线。
2 确定二元一次不等式所表示的平面区域有种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一端为所求的平面区域。
若直线不过原点，通常选择原点代入检验。
3 平移直线y=-kx+P时，直线必须经过可行域。
4 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点。
5 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等于表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解。
积储知识：一、1．占P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+ y0+C=02．点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上方（左上或右下），则当B>0时，Ax0+ y0+C >0；当B<0时，Ax0+ y0+C<0 3．点P（x0+，y0）D在直线Ax0+ y0+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+ y0+C<0；当B>0时，Ax0+ y0+C>0 注意：（1）在直线Ax+ By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标（x，y）代入Ax+ By+C=0，所得实数的符号都相同。
线性规划的标准形式
线性规划的标准形式线性规划是一种数学优化方法，用于解决一些实际问题，比如资源分配、生产计划、运输调度等。
线性规划的标准形式是指将问题转化为一个标准的数学模型，以便于使用线性规划方法进行求解。
在本文中，我们将介绍线性规划的标准形式以及相关的数学概念和方法。
首先，让我们来定义线性规划的标准形式。
一个线性规划问题可以表示为：\[。
\begin{aligned}。
& \text{maximize} \quad c^Tx \\。
& \text{subject to} \quad Ax \leq b \\。
& \quad x \geq 0。
\end{aligned}。
\]其中，c是一个n维向量，表示目标函数的系数；x是一个n维向量，表示决策变量；A是一个m×n的矩阵，表示约束条件的系数；b是一个m维向量，表示约束条件的右端项。
在这个标准形式中，我们的目标是最大化目标函数c^Tx，同时满足约束条件Ax≤b和x≥0。
这个问题可以用线性规划方法求解，得到最优的决策变量x和最优解c^Tx。
为了更好地理解线性规划的标准形式，让我们来看一个简单的例子。
假设有一个工厂需要生产两种产品A和B，利润分别为3和5。
同时，工厂有两种资源，分别是材料和人工，资源A和资源B的使用量分别为1和2。
工厂的资源总量分别为4和12。
那么，我们可以将这个问题表示为一个线性规划问题：\[。
\begin{aligned}。
& \text{maximize} \quad 3x_1 + 5x_2 \\。
& \text{subject to} \quad x_1 + 2x_2 \leq 4 \\。
& \quad x_1 + x_2 \leq 12 \\。
& \quad x_1, x_2 \geq 0。
\end{aligned}。
\]在这个例子中，目标函数是3x1+5x2，表示生产产品A和B的总利润；约束条件是资源A和资源B的使用量不超过总量。
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线性规划的十种类型
1、标准型线性规划：目标是最大化或最小化一个线性函数的值，约束条件也是线性的。
2、有约束的线性规划：目标是最大化或最小化一个线性函数的值，约束条件是线性或非线性的。
3、整数规划：变量必须是整数值。
4、0-1整数规划：其变量只能是0或1值。
5、二次约束规划：有二次式约束条件。
6、模型规划：模型规划是一种解决方案，用来解决一类问题。
7、受约束的多目标规划：有多个目标函数和各种约束条件，然后通过系统的优化来选择最优的结果。
8、混合整数规划：其中的变量可以是整数也可以是实数。
9、多项式规划：目标函数和约束条件都是多项式的。
10、动态规划：动态规划通常是用来解决某个未来状态要被满足时，对于当前要采取的策略最佳化的问题。