专题14 巧解二次函数与相似三角形综合题（含答案）
中考数学复习《二次函数相似三角形综合压轴题》专项提升训练(附答案)
中考数学复习《二次函数相似三角形综合压轴题》专项提升训练(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．已知：二次函数y=x2−(m+2)x+m−1．(1)求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；(2)设抛物线与x轴的两个交点是A、B（A在原点左边，B在原点右边），且AB=3，求此时抛物线的解析式；(3)在（2）的前提下，若抛物线与y轴交于点C，问在y轴的正半轴上是否存在点D，使△DOB 和△AOC相似？2．如图，抛物线：y=x2+bx+c的图像与x轴交于A和B(−3，0)两点，与y轴交于C(0，−3)，直线y=x+m经过点B，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．(1)求抛物线的解析式和E点坐标；(2)在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△BOD相似，若存在，直接写出点P的坐标：若不存在，试说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A(1,0)和B(3,0)，与y轴交于点C．(1)求该抛物线的解析式；(2)绕点A旋转的直线l：y=kx+b1与y轴相交于点D，与抛物线相交于点E，且满足AD=2AE时，求直线l的解析式；(3)点P为抛物线上的一点，点Q为抛物线对称轴上的一点，是否存在以点B，C，P，Q为顶点的平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知：抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于A(−2，0)，B(8，0)两点，与y轴相交于点C，连接BC．(1)求抛物线的表达式并直接写出点C的坐标；(2)如图，点M是抛物线第一象限内的一点，连接MB，MC，求△MBC面积的最大值；(3)点P也是抛物线第一象限内的一点，过点P作PN⊥BC于N，连接PC，当以P、C、N为顶点的三角形与△BOC相似时，直接写出点P的坐标．5．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+3ax+c与x轴交于点A，B（点A 在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，且OC=4，直线y=−x+b经过点A，C，点D为y轴左侧抛物线上一点，连接CD，AD．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当点D在直线AC下方时，连接DB交AC于点E，求S△ADC−S△BDC的最大值及此时点D 的坐标；(3)是否存在点D，使∠CBA=45°+∠DCA？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，二次函数y=mx2+(m2+3)x−(6m+9)的图象与x轴交于点A、B，与y 轴交于点C．连接AC、BC，已知B(3,0)．(1)求直线BC的函数表达式；(2)Q为抛物线上一点，若以B、C、Q为顶点的三角形和△OAC相似，求点Q的坐标；(3)P为抛物线上一点（异于A点），若S△PBC=S△ABC，请直接写出P点的坐标．7．如图，抛物线y1=ax2−6ax+c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC，设AC关系式为y2=kx+b．若OB=2，tan∠OBC=2，D是y轴右侧抛物线上一点，设其横坐标为m，DE⊥AC于点E．(1)求抛物线的函数关系式；(2)当点D位于直线AC下方时，求DE长度的最大值；(3)当△CDE与△AOC相似时，求m的值．8．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(−6,0),B(2,0),C(0,6)三点．(1)求拋物线的函数表达式；(2)如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为15，求点P的坐标；2(3)如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M,A,O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴分别相交于A(−2,0)，B(8,0)两点(1)求a，b的值；(2)点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．①求DE+BF的最大值；②G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标．x2＋bx＋c与y轴交于点C(0,−4)，与x轴交于点A，B，且B 10．如图，抛物线y=12点的坐标为(2,0)．(1)求该抛物线的解析式．(2)若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．(3)若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．11．如图，抛物线y=−x2+bx+c的顶点D坐标为(1,4)，且与x轴相交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴相交于点C，点E在x轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点F在抛物线上并且和点E关于抛物线的对称轴对称，作矩形EFGH，其中点G，H都在x 轴上．(1)求抛物线解析式；(2)设点F横坐标为m①用含有m的代数式表示点E的横坐标为______(直接填空)；②当矩形EFGH为正方形时，求点G的坐标；③连接AD，当EG与AD垂直时，求点G的坐标；(3)过顶点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FP⊥AD于点P，直接写出△DFP与△DAM相似时，点F的坐标．12．如图，直线y=x−3与x轴，y轴分别交于点B(3，0)，C(0，−3)过B，C两点的抛物线y=−x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．(1)求该抛物线的解析式；(2)当0<x<3时，在抛物线上存在点E，使△CBE的面积有最大值，求点E坐标(3)连接AC，点N在x轴上，是否存在以B，P，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．13．如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−1，且经过A(1,0),C(0,3)两点，与x轴的另一个交点为B，经过B、C两点作直线BC，点D为第二象限内抛物线上一动点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求△DBC面积最大值及此时点D坐标；(3)如图2，点M也是第二象限抛物线上一个动点，直线OM交BC于点N，是否存在这样的点M，使以B、O、N为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求出点M坐标，若不存在，请说明理由．x2+bx+c与x轴相交于点A，B，与y轴14．已知在平面直角坐标系中，抛物线y=−12相交于点C，直线y=x+4经过A，C两点(1)求抛物线的表达式；(2)如果点P，Q在抛物线上，并与对称轴对称，（P点在对称轴左边），且PQ=2AO，求P，Q的坐标；(3)动点M在直线y=x+4上且△ABC与△COM相似求点M的坐标．15．如图抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A B两点点A(2,0)且OA=2OB与y轴交于点C连接BC D为第一象限内抛物线上一动点过点D作DE⊥OA于点E 与AC交于点F设点D的横坐标为m．(1)求抛物线的表达式；(2)求△ACD面积的最大值及此时D点的坐标；(3)抛物线上是否存在点D使得以点O D E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在求出m的值；若不存在请说明理由．16．已知抛物线y=x2+2x−3的图像经过点A(−3，0)点B(n，0)且与y轴交于点C．(1)求出点B的坐标；(2)若点P为x轴上方的抛物线上任意一点．①如图1 若点Q为线段BC上一点连接PQ PQ交x轴于点M连接CM当∠MCQ=45°时求点M的坐标；②如图2 连接BC、BP若满足∠ABP=2∠BCO求此时点P的坐标．17．已知直线l:y=kx+b(k>0)与抛物线C:y=ax2(a>0)有唯一公共点P直线l分别交x轴y轴于A，B两点．(1)如图1 当a=1k=1时求b的值；时过点A作直线l的垂线交y轴于点T求T坐标；(2)如图2 当a=12(3)如图3 当k=1时平移直线l使之与抛物线C交于M，N两点点P关于y轴的对称点为Q求证：∠MQP=∠NQP．18．在平面直角坐标系xOy中已知抛物线y=ax2−3ax+c与x轴分别交于A(−1,0) B两点与y轴交于点C(0,−2)．(1)求抛物线的函数表达式；的最大值；(2)如图1 点D为第四象限抛物线上一点连接AD，BC交于点E求DEAE(3)如图2 连接AC，BC过点O作直线l∥BC点P Q分别为直线l和抛物线上的点试探究：在第一象限是否存在这样的点P Q使△PQB∽△CAB．若存在请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在请说明理由．19．如图1 已知二次函数y=x2+bx+c经过A(−2,0)C(0,−6)并交x轴于另一点B 点E是线段BC上的动点过A E两点的直线与抛物线在第四象限相交于点D．(1)求二次函数的解析式；取最大值时求点D的坐标；(2)当EDEA(3)如图2 连接AC在抛物线上存在点F使△OEF∽△COA求出所有点F的坐标；(4)如图3 过点E作EH⊥x轴于点H以EH为对角线作正方形EGHI当顶点G恰好落在抛物线上时请直接写出点G的坐标．20．已知在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A(−2,0)点B(4,0)交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式：(2)如图1 点P在抛物线第一象限上过点P作PD⊥x轴于点D交BC于点E设点P的横坐标为t PE的长为d求d与t的函数关系式：（不要求写出t的取值范围）(3)如图2 在（2）的条件下点Q在抛物线第四象限上连接AQ AP AP与BC交于点F∠CFA−∠BAQ=2∠PAB若FE=√2GO求点Q的坐标．参考答案1．（1）证明：∵Δ=(m+2)2−4(m−1)=m2+8>0故抛物线与x轴一定有两个交点；（2）解：令y=x2−(m+2)x+m−1=0解得：x=m+2±√m2+82则AB=|x1−x2|=√m2+8=3解得：m=1（舍去）或−1故抛物线的解析式为：y=x2−x−2；（3）解：存在理由：由抛物线的解析式知点C(0,−2)令y=0即x2−x−2=0解得x1=−1∵抛物线与x轴的两个交点是A B（A在原点左边B在原点右边）∵A(−1,0)∵OA=1∵C(0,−2)∵CO=2当△DOB∽△AOC时∵OD AO =OBOC即OD1=22解得OD=1∵D(0,1)；当△DOB∽△COA时∵OD CO =OBOA即OD2=21解得：OD=4∵D(0，4)．综上所述点D的坐标为：(0,1)或(0，4)．2．解：（1）∵B(−3，0)C(0，−3)两点均在抛物线上∴{c=−39−3b+c=0解得{b =2c =−3∴抛物线的解析式为y =x 2+2x −3 ∵直线y =x +m 经过点B∴0=−3+m ∴m=3∴直线BE 的解析式为y =x +3 联立方程组{y =x +3y =x 2+2x −3解得{x 1=−3y 1=0∴点E 的坐标为(2，5)；（2）存在点P 坐标为(0，5)或(0，7)．理由：若存在这样的点P 使得以D E P 为顶点的三角形与△BOD 相似 如图所示 由于△BOD 是等腰直角三角形 则存在两种情况 即∠DP 1E =90° 或∠DEP 2=90°当∠DP 1E =90°时∵OD =3 ∴OP 1=5∴点P 1的坐标为(0，5)； 当∠DEP 2=90°时∵EP 1⊥DP 2 ∴P 1P 2=DP 1=EP 1=2∴OP 2=7∴点P 2的坐标为(0，7)；所以满足题意的点P 的坐标为(0，5)或(0，7)．3．解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx −3经过点A (1,0)和点B (3,0)∵{a +b −3=09a +3b −3=0解得{a =−1b =4∵抛物线的解析式为：y =−x 2+4x −3；（2）①当点D E 在点A 的异侧时 过点E 作EF ⊥x 轴于点F如图：∵∠AOD =∠AFE =90°∵∠OAD =∠FAE∵△AOD∽△AFE∵AFAO =AEAD∵AD =2AE∵AF AO =AE AD =12∵AF =12AO =12×1=12∵OF =32∵点F 与点E 的横坐标为32∵点E 的纵坐标为y =−x 2+4x −3=−(32)2+4×32−3=34∵点E 的坐标为(32，34)∵直线l ：y =kx +b 1过点A (1,0)和点E(32，34)∵{k +b1=032k +b 1=34解得：{k=32b 1=−32 ∵直线l 的解析式为y =32x −32；②当点D E 在点A 的同侧时 过点E 作EF ⊥x 轴于点F 如图：∵∠AOD =∠AFE =90°∵∠OAD =∠FAE∵△AOD∽△AFE∵AFAO =AEAD∵AD =2AE∵AFAO =AEAD=12 ∵AF =12AO =12×1=12∵OF =12 ∵点F 与点E 的横坐标为12 ∵点E 的纵坐标为y =−(12)2+4×12−3=−54∵点E 的坐标为(12，−54) ∵直线l ：y =kx +b 1过点A (1,0)和点E(12，−54) ∵{k +b 1=012k +b 1=−54 解得{k =52b =−52∵直线l 的解析式为y =52x −52综上所述：直线l 的解析式为y =32x −32或y =52x −52；（3）存在以点B C P Q 为顶点的平行四边形 理由如下：抛物线y =−x 2+4x −3对称轴为直线x =2设Q (2,t ),P (m,−m 2+4m −3)又B (3,0)①以PQ 、BC 为对角线 则PQ 、BC 的中点重合∵{2+m =3+0t −m 2+4m −3=−3 解得m =1∵P(1，0)②以BQ 、PC 为对角线∵{2+3=m +0t +0=−m 2+4m −3−3解得m =5∵P (5,−8)；③以CQ 、BP 为对角线∵{2=m +3t −3=−m 2+4m −3解得m =﹣1∵P (−1,−8)综上所述 P 的坐标为(1,0)或(5,−8)或(−1,−8)．4．解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A(−2，0)，B(8，0)两点代入 得{4a −2b +4=064a +8b +4=0 解得：{a =−14b =32∵抛物线的表达式为：y =−14x 2+32x +4当x =0时∵C(0，4)；（2）过M 作ME ∥y 轴交BC 于点E设BC 的解析式为y =kx +b将B(8,0)和C(0,4)代入得解得{k=−12 b=4∵y=−12x+4设M(m,−14m2+32m+4)则E(m,−12m+4)∵ME=−14m2+32m+4−(−12m+4)=−14m2+2m∵S△MCB=12×8ME=−m2+8m=−(m−4)2+16当m=4时S取最大值16即△MBC面积的最大值为16；（3）①∵∠PNC=∠BOC=90°当∠PCN=∠OCB时作BD⊥CP交CP的延长线于点D作DF⊥y于点F作BE⊥FD交FD的延长线于点E则四边形OBEF是矩形∵OB=EF,BE=OF．∵∠PCN=∠OCB∵BD=BO∵△BOD≌△BDC(AAS)∵BD=CD．∵∠CDF+∠BDE=90°,∠DBE+∠BDE=90°∵∠CDF=∠DBE∵∠CFD=∠E=90°∵△CDF≌△BDE(AAS)∵CF=DE,DF=BE∵DF+DE=OB=8∵4+2CF=8∵CF=2∵DF=OF=4+2=6∵D(6,6)．设直线CD的解析式为y=kx+4∵6=6k+4∵k=13∵y=13x+4解{y=13x+4y=−14x2+32x+4得{x1=143y1=509{x2=0y2=4（舍去）∵P(143,509)；②∵∠PNC=∠BOC=90°当∠PCN=∠OBC时∵CP∥OB∵点P与点C的纵坐标相同当y=4时解得x1=6x2=0（舍去）∵P(6,4)．综上可知点P的坐标为(143,509)或(6,4)．5．（1）解：∵CO=4则点C(0,−4)将点C的坐标代入一次函数表达式得：−4=b 则一次函数表达式为：y=−x−4令y=−x−4=0得x=−4∵点A(−4,0)把A C两点坐标代入二次函数解析式中得：{c=−416a−12a+c=0解得：{a=1c=−4则抛物线的表达式为：y=x2+3x−4；（2）解：由y=x2+3x−4=0得x1=1，x2=−4∵点B(1,0)设直线BD交y轴于点N设点D(m,m2+3m−4)设直线BD的表达式为：y=kx+d则{k+d=0mk+d=m2+3m−4解得：{k=m+4d=−m−4直线BD的表达式为：y=(m+4)x−m−4令x=0,得y=−m−4∵点N(0,−m−4)过点D作DH∥y轴交AC于点H则点H(m,−m−4)则S△ADC−S△BDC=12×DH×OA−12×CN×(x B−x D)=12×(−m−4−m2−3m+4)×4−12×(−m)×(1−m)=−52m2−152m=−52(m+32)2+458∵−52＜0则S△ADC−S△BDC有最大值当m=−32时S△ADC−S△BDC的最大值为458此时点D(−32,−254)；（3）解：存在理由：当点D在AC下方时由点A C的坐标知∵∠CBA=45°+∠DCA∵∠CBA=∠DCO∵∠CBA+∠OCB=∠DCO+∠OCB即∠DCB=90°∵DC⊥CB；设点D(m,m2+3m−4)则DE=−m，CE=m2+3m−4−(−4)=m2+3m；过点D作DE⊥y轴于E如图∵∠DCB=∠BOC=∠DEC=90°∵∠BCO+∠DCE=∠DCE+∠CDE∵∠BCO=∠CDE∵△BCO∽△CDE∵CE DE =OBOC=14即4CE=DE∵4(m2+3m)=−m 解得：m=0（舍去）则点D(−134,−5116)；当点D在AC的上方时如图设CD交x轴于点F ∵∠BFC=∠OAC+∠DCA=45°+∠DCA∵∠BFC=∠DCA∵CF=CB；∵CO⊥BF∵OF=OB=1∵F(−1,0)；设直线CD 解析式为y =k 1x −4 把点F 坐标代入得：k 1=−4∵直线CD 的表达式为：y =−4x −4联立直线CD 的表达式与抛物线表达式得：x 2+3x −4=−4x −4 解得：x =−7 x =0（舍去）即点D (−7,24)；综上 点D 的坐标为：(−134,−5116)或(−7,24)． 6．（1）解：将B (3,0)代入y =mx 2+(m 2+3)x −(6m +9) 化简得m 2+m =0 则m =0（舍）或m =−1 ∵m =−1∵y=−x 2+4x −3当x =0时 y=−3 当y =0时 −x 2+4x −3=0 解得：x 1=3,x 2=1 ∵C (0,−3) A (1,0)．设直线BC 对应的函数表达式为y =kx +b将B (3,0) C (0,−3)代入可得{0=3k +b −3=b 解得{k =1b =−3则直线BC 对应的函数表达式为y =x −3．（2）∵△OAC 为直角三角形∵OA =1,OC =3,tan∠OCA =OA OC =13当以B C Q 为顶点的三角形和△OAC 相似时 则：△BCQ 是直角三角形；设Q (t,−t 2+4t −3)①当∠CBQ=90°时如图：∵B(3,0)∵OB=OC=3∵∠OBC=∠OCB=45°∵∠OBQ=∠OBC=45°过点Q作QE⊥OB则：BE=QE∵3−t=−t2+4t−3解得：t=2或t=3（舍去）；∵Q(2,1)当Q(2,1)时∵BC=3√2∵tan∠BCQ=13=tan∠OCA满足题意；②当∠CQB=90°时：如图：过点Q作EF∥OB过点B作BF⊥EF 则：∠CEQ=∠BFQ=90°∵∠CQE=∠QBF=90°−∠FQB∵△CEQ∽△QFB∵CE QF =EQBF即：−t2+4t3−t=t−t2+4t−3解得：t =3（舍去）或t =0（舍去）或t =5+√52或t =5−√52∵Q (5+√52,−1+√52)或Q (5−√52,√5−12)此时BQCQ =BF EQ =√5+15+√5=√55≠13不满足题意 舍去；③当∠QCB =90°时 如图：过点Q 作QF ⊥y 轴 则：∠BOC =∠QFC =90° ∵∠BCO =∠FQC =90°−∠FCQ∵∠FQC =45°∵CF =QF =t∵OF =3+t =−(−t 2+4t −3)解得：t =5或t =0（舍去）；∵Q (5,−8)∵tan∠CQB =BC CQ =3√25√2=35≠13 不符合题意；∵Q (5,−8)不满足题意；综上：Q (2,1)．（3）∵S △PBC =S △ABC∵点P 与点A 到BC 的距离相等如图 过点A 作AP 1∥BC 设直线AP 1与y 轴的交点为G将直线BC 向下平移GC 个单位 得到直线P 3P 2设直线AG 的解析式为：y =x +n 则：0=1+n 解得：n =−1 ∵直线AG 的表达式为y =x −1 联立{y =x −1y =−x 2+4x −3 解得：{x =1y =0 （舍） 或{x =2y =1∵P 1(2,1)∵直线AG 的表达式为y =x −1 ∵当x =0时 ∵G (−1,0) ∵GC =2∵直线P 3P 2的表达式为y =x −5 联立{y =x −5y =−x 2+4x −3解得：{x 1=3+√172y 1=−7+√17∵P 3(3+√172,−7+√172) ∵P (2,1)或P (3+√172,−7+√172)或P (3−√172,−7−√172)．7．（1）解：∵tan∠OBC =2∴OCOB=2 ∵OB =2∴OC=4∴B(−2,0)把B(−2,0)C(0,−4)代入y1=ax2−6ax+c得{4a+12a+c=0c=−4解得{a=14 c=−4∴y1=14x2−32x−4；（2）解：作DF⊥x轴于点F交AC于点G∴∠BAC+∠AGF=90°∵DE⊥AC于点E∴∠EDF+∠EGD=90°∵∠AGF=∠EGD∴∠EDF=∠BAC∴tan∠EDF=tan∠BAC=OC OA=12∴cos∠EDF=cos∠BAC=2√5 5∴DE=2√55DG令14x2−32x−4=0解得x1=−2∴点A的坐标为(8,0)把A(8,0)和C(0,−4)代入y2=kx+b得{8k+b=0b=−4解得∴y 2=12x −4由题意 点D 坐标为(m,14m 2−32m −4) 点G 坐标为(m,12m −4)∴DG =(12m −4)−(14m 2−32m −4)=−14m 2+2m =−14(m −4)2+4∴DE =−√510(m −4)2+8√55 ∵−√510<0 ∴DE 有最大值为8√55； （3）解：由题意 ∠DCE =∠OCA 或∠DCE =∠OAC 时 △CDE 与△AOC 相似 ①当∠DCE =∠OCA 时∴∠OCA =∠DGC ∴∠DCE =∠DGC ∴DC =DG∵DE ⊥AC 于E∴EG =EC =12CG∵tan∠EDG =tan∠OAC =12∴sin∠EDG =√55∴EG =√55DG =√55(−14m 2+2m) ∵cos∠BAC =2√55AG =√52(8−m ) 在Rt △AOC 中 由勾股定理得∴CG =4√5−√52(8−m )=√52m ∴√55(−14m 2+2m)=12×√52m 解得m =3②当∠DCE =∠OAC 且D 位于x 轴下方时CD//OA ∴y D=−4令14x2−32x−4=−4解得x=0（舍去）或x=6即m=6；③当∠DCE=∠OAC且D位于x轴上方时如图设CE交x轴于M则MC=MA设OM=n则CM=AM=8−n在Rt△OCM中由勾股定理得n2+42=(8−n)2解得n=3∴M(3,0)同理直线CM函数关系式为y=43x−4令14x2−32x−4=43x−4解得x=0（舍去）或x=343即m=343综上m=3或6或343．8．（1）解：把A(−6,0),B(2,0),C(0,6)代入抛物线解析式y=ax2+bx+c得{36a −6b +c =04a +2b +c =0c =6解得{a =−12b =−2c =3∵抛物线的函数表达式为y =−12x 2−2x +6．（2）解：如解（2）图1 过P 点作PQ 平行y 轴 交AC 于Q 点设直线AC 的解析式为y =kx +6 把A (−6,0)代入得：0=−6k +6 解得：k =1∵直线AC 解析式为y =x +6设P 点坐标为(x,−12x 2−2x +6) 则Q 点坐标为(x,x +6)∵PQ =−12x 2−2x +6−(x +6)=−12x 2−3x∵S △PAC =12PQ ⋅OA∵12(−12x 2−3x)⋅6=152解得：x 1=−1 x 2=−5． 当x =−1时 P 点坐标为(−1,152) 当x =−5时 P 点坐标为(−5,72)综上所述：若△PAC 面积为152 点P 的坐标为(−1,152)或(−5,72)；（3）解：如解（3）图1 过D 点作DF 垂直x 轴于F 点 过A 点作AE ⊥BC 于E 点∵D 为抛物线y =−12x 2−2x +6的顶点 ∵D 点坐标为(−2,8)设直线AD 的解析式为：y =mx +n把A (−6,0) D (−2,8)代入得：{−6m +n =0−2m +n =8解得：{m =2n =12∵直线AD 为y =2x +12 ∵B(2，0)∵同理可得：直线BC 的解析式为y =−3x +6 ∵AF =−2−(−6)=4 ∵tan∠DAB =DFAF =2 ∵B(2，0) C (0,6)∵tan∠ABC =OCOB =3 BC =√22+62=2√10 sin∠ABC =62√10=3√1010∵AB =2−(−6)=8 ∵AE =AB ⋅sin∠ABC =8×3√1010=12√105∵BE =√AB 2−AE 2=4√105∵CE =BC −BE =2√10−4√105=6√105∵tan∠ACB =AE CE=2∵tan∠ACB =tan∠DAB =2 ∵∠ACB =∠DAB ∵OA =OC=6∵∠ACO =∠CAO =45°；∵使得以M A O 为顶点的三角形与△ABC 相似 则有两种情况 如解（3）图2当∠AOM =∠CAB =45°时 即M 点在直线y =−x 上 联立{y =−xy =2x +12 解得{x =−4y =4即M 点为(−4,4)．当∠AOM =∠CBA 即OM∥BC 时 ∵直线BC 解析式为y =−3x +6 ∵直线OM 为y =−3x 联立{y =−3x y =2x +12解得{x =−125y =365即M 点为(−125,365)综上所述：存在使得以M A O 为顶点的三角形与△ABC 相似的点M 其坐标为(−4,4)或(−125,365)．9．解：（1）将A(−2,0) B(8,0)代入解析式得：{4a −2b +4=064a +8b +4=0解得：{a =−14b =32 ∴ a =−14 b =32；（2）①∵的值为−14b 的值为32抛物线的解析式为：y =−14x 2+32x +4；∴C(0,4)设直线BC 解析式为y =kx +c 将B(8,0) C(0,4)代入可得：{8k +c =0c =4解得{k =−12c =4∴直线BC 解析式为y =−12x +4设第一象限D(m,−14m 2+32m +4) 则E(m,−12m +4)∴DE =(−14m 2+32m +4)−(−12m +4)=−14m 2+2m∴DE +BF =(−14m 2+2m)+(8−m)=−14(m −2)2+9∴当m =2时 DE +BF 的最大值是9； ②∴A(−2,0)∴OA =2∴AC 2=OA 2+OC 2=20 ∴AC 2+BC 2=100而AB 2=102=100∴AC 2+BC 2=AB 2 ∴∠ACB =90° ∴∠CAB +∠CBA =90°∵DF ⊥x 轴于F∴∠FEB +∠CBA =90° ∴∠CAB =∠FEB =∠DEC以点C D E 为顶点的三角形与△AOG 相似 只需OADE =AGCE 或OACE =AGDE 而G 为AC 中点∴G(−1,2)由①知：DE=−14m2+2m∴CE=√m2+[4−(−12m+4)]2=√52m当OADE =AGCE时解得m=4或m=0（此时D与C重合舍去）∴D(4,6)当OACE =AGDE时解得m=3或m=0（舍去）∴D(3,25 4 )综上所述以点C D E为顶点的三角形与△AOG相似则D的坐标为(4,6)或(3,254)．10．（1）解：把点C(0,−4)B(2,0)分别代入y=12x2＋bx＋c中得{c=−412×22+2b+c=0解得{b=1c=−4∵该抛物线的解析式为y=12x2+x−4．（2）解：令y=0即12x2+x−4=0解得x1=−4，x2=2∵A(−4，0)∵C(0,−4)∵AB=2−(−4)=6，OC=4∵S△ABC=12AB⋅OC=12．设P点坐标为(x,0)则PB=2−x∵PE∥AC∵∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA ∵△PBE∽△ABC∵S△PBE S△ABC =(PBAB)2即S△PBE12=(2−x6)2化简得：S△PBE=13(2−x)2∵S△PCE=S△PCB−S△PBE=12PB⋅OC−S△PBE=12×(2−x)×4−13(2−x)2 =−13x2−23x+83=−13(x+1)2+3∵当x=−1时S△PCE的最大值为3．（3）解：△OMD为等腰三角形可能有三种情形：①当DM=DO时如图①所示．则DO=DM=DA=2∵AO=CO=4，∠AOC=90°∵∠OAC=∠AMD=45°∵∠ADM=90°∵M点的坐标为(−2，−2)；②当MD=MO时如图②所示．过点M作MN⊥OD于点N则点N为OD的中点∵DN=ON=1，AN=AD+DN=3又△AMN为等腰直角三角形∵MN=AN=3∵M点的坐标为(−1，−3)；③当OD=OM时∵△OAC为等腰直角三角形×4=2√2即AC上的点与点O之间的最小距离为2√2．∵点O到AC的距离为√22∵2√2>2∵OD=OM的情况不存在．综上所述点M的坐标为(−2，−2)或(−1，−3)．11．（1）解：∵抛物线y=−x2+bx+c的顶点D坐标为(1,4)∴y=−(x−1)2+4=−x2+2x−1+4=−x2+2x+3∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3；（2）解：①当y=0时−x2+2x+3=0解得x1=−1则A(−1,0)∴1<m<3设E点的横坐标为t∵m−1=1−t∴t=2−m∴点E的横坐标为2−m；故答案为：2−m；②设F(m,−m2+2m+3)(1<m<3)则E(2−m,−m2+2m+3)∵矩形EFGH为正方形∴FG=FE即−m2+2m+3=m−(2−m)整理得：m2=5解得m1=−√5(舍去)∴G点坐标为(√5,0)；③过点D作DM⊥x轴于M∵EG⊥AD而DM⊥x轴∴∠1=∠4∴Rt△GEH∽Rt△DAM∴EHAM =GHDM即EH2=GH4∴GH=2EH即2m−2=2(−m2+2m+3)整理得m2−m−4=0解得m1=1−√172(舍去)∴G点坐标为(1+√172,0)；（3）解：设AD交EF于Q如图∵FP⊥AD∴∠DPF =90°∵△DFP 与△DAM 相似∴∠1=∠3∵∠1=∠2∴∠2=∠3而FP ⊥DQ∴△FDQ 为等腰三角形∴FD =FQ设直线AD 的解析式为y =px +q把A (−1,0) D (1,4)代入得{−p +q =0p +q =4解得{p =2q =2∴直线AD 的解析式为y =2x +2当y =−m 2+2m +3时 2x +2=−m 2+2m +3 解得x =−12m 2+m +12 则Q (−12m 2+m +12,−m 2+2m +3)∴FQ =m −(−12m 2+m +12)=12m 2−12=12(m +1)(m −1) 而DF 2=(m −1)2+(−m 2+2m +3−4)2=(m −1)2+(m −1)4∴(m −1)2+(m −1)4=(12(m +1)(m −1))2 而m ≠1∴1+(m −1)2=14(m +1)2 整理得3m 2−10m +7=0 解得m 1=1(舍去)∴F 点坐标为(73,209)．12．（1）解：将点B(3，0)，C(0，−3)代入y =−x 2+bx +c 得：{c =−3−9+3b +c =0 解得：{c =−3b =4∵y =−x 2+4x −3∵y =−x 2+4x −3=−(x −2)2+1．（2）解：如图1：在抛物线上取点E 连接CE 过E 作x 轴的垂线交直线BC 于点F设点F(x，x−3)则点E的坐标为(x,−x2+4x−3)∵EF=−x2+3x∵S△CBE=S△CEF+S△BEF=12EF·OB=−32x2+92x=−32(x−32)2+278∵当x=32时△CBE的面积有最大值此时点E的坐标为(32,34 )．（3）解：存在以B P N为顶点的三角形与△ABC相似如图2：连接BP设N(n，0)当y=0时−x2+4x−3=0解得x2=1，x2=3∵A(1，0)∵y=−x2+4x−3=−(x−2)2+1∵P(2，1)∵B(3，0)，C(0，−3)，P(2，1)∵∠CBA=∠ABP=45°①当BNBP =BCBA时∵3−n √2=3√22解得n=0所以点N的坐标为N1(0，0)；②当BN BP =BA BC 时 ∵3−n√2=23√2 解得n =73 所以点N 的坐标为N 2(73,0)．综上所述 点N 的坐标为N 1(0，0)或N 2(73,0)．13．解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过A (1,0),C(0,3）两点 且对称轴为直线x =−1 ∵B(−3，0)设y =a (x +3)（x −1） 把C(0，3）代入得解得：a =−1∵抛物线解析式为y =−x 2−2x +3；（2）如图1 作DE ∥y 轴 交直线BC 于点E设直线BC 的函数解析式为y =px +q 可得：{−3p +q =0q =3 解得：{p =1q =3可得直线BC 的解析式为y =x +3设P （m,−m 2−2m +3）∵E （m,m +3）∵DE =−m 2−2m +3−(m +3)=−m 2−3m∵△DBC 的面积=12DE ×3=−32m 2−92m ∵a =−32<0 ∵m =−32时△DBC 的面积最大=278 此时点D 坐标为(−32，154)； （3）存在 理由如下：∵A (1,0)∴AB =3−(−1)=4∵OB =OC =3∴BC =3√2设直线AC 解析式为y =mx +n∵A (1,0)∴{m +n =0n =3解得：{m =−3n =3∴直线AC 解析式为y =−3x +3①当OM ∥AC 时∴直线OM 的解析式为y =−3x结合抛物线的解析式为y =−x 2−2x +3 得：−3x =−x 2−2x +3 解得：x 1=1+√132（舍去） ∴M 坐标(1−√32,−3+3√132)； ②当△BON ∽△BCA 时∴BN BA =BO BC∴BN =BA ⋅BO BC =4×33√2=2√2 如图 过点N 作NG ⊥x 轴于点G∵∠OBC =45°∴BG =NG =2∴OG =1∴N (−1,2)设直线OM 解析式为y =m 1x 将N (−1,2)代入得：m 1=−2∴直线OM 解析式为y =−2x结合抛物线的解析式为y =−x 2−2x +3 得：−2x =−x 2−2x +3 解得：x 1=√3舍去，x 2=−√3∴M 坐标 (−√3，2√3)综上 点M 的坐标为(1−√132，−3+3√132)或(−√3，2√3) 14．（1）解：当y =0=x +4时∵A (−4,0)当x =0时∵C (0,4)将点A C 的坐标代入y =−12x 2+bx +c 得{0=−12×16−4b +c 4=c 解得b =−1,c =4∵抛物线的表达式为y =−12x 2−x +4； （2）∵A (−4,0)∵OA =4∵PQ =2OA =8∵点P Q 关于对称轴直线x =−1对称∵PQ∥OA∵点P 的横坐标为−1−82=−5 点C 的横坐标为3 当x =−5时∵P (−5,−72),Q (3,−72)； （3）∵A (−4,0)∵OA =4=OC∵对称轴直线x =−1对称∵B (2,0)∵AB =6∵∠AOC =90°∵∠OAC =∠OCA =45°①当△MCO ∽△CAB 时∵46=CM4√2∵CM =8√23 如图 过点M 作MG ⊥y 轴于点G∵MG =CG =√22CM =83当x =−83时∵M (−83,43)；当△OCM ∽△CAB 时∵44√2=CM6∵CM =3√2如图 过点M 作MG ⊥y 轴于点G∵MG =CG =√22CM =3当x =−3时∵M (−3,1)；综上 M 点的坐标为(−83,43)或(−3,1)．15．（1）解：因为y =ax 2+bx +2过点A (2,0)且OA =2OB 则B (−1,0)则{4a +2b +2=0a −b +2=0解得：{a =−1b =1故抛物线的表达式为：y=−x2+x+2；（2）对于y=−x2+x+2令x=0则y=2故点C(0,2)设直线AC的解析式为y=kx+b由直线过点A C的坐标得{2k+b=0b=2解得{k=−1 b=2直线AC的表达式为：y=−x+2设点D的横坐标为m则点D(m,−m2+m+2)则点F(m,−m+2)则DF=−m2+m+2−(−m+2)=−m2+2m=−(m−1)2+1∵−1<0故DF有最大值则△ACD面积最大值为12×AO×DF=12×2×1=1此时m=1点D(1,2)；（3）存在理由：点D(m,−m2+m+2)(m>0) 则OE=m 以点O D E为顶点的三角形与△BOC相似①当DEOE =OBOC时两三角形相似即DEOE=OBOC=12则−m 2+m+2m=12解得：m=1+√334或m=1−√334（舍去）经检验m=1+√334是原分式方程的解②当DEOE =OCOB时两三角形相似即DEOE=OCOB=2则−m 2+m+2m=2解得：m=1或m=−2（舍去）经检验m=1是分式方程的解故m=1+√334或m=1．16．（1）解：由y=x2+2x−3当y=0时即x2+2x−3=0解得：x1=−3，x2=1∵B(1，0)．（2）解：①∵A(−3，0)，C(0，−3)，B(1，0)∵OA=OC=3,OB=1,则AB=OA+OB=4,BC=√OC2+OB2=√10∵∠OCA=∠OAC=45°∵∠MCQ=45°，∵∠MCQ=∠MAB=45°∵∠CBM =∠ABC∵△CBM∽△ABC∵CB ：AB =BM ：BC 即：BM =BC 2AB =104=52 ∵OM =BM −OB =32 ∵M 在x 轴负半轴∵M (−32,0)；②如图：过点P 作PH ⊥x 轴 设P(m ，m 2+2m −3) (m <0)在线段OC 上取点D 使得DC =DB 则∠ODB =2∠BOC∵∠ABP =2∠BCO =∠ODB 且∠PHO =∠BOD =90°∵△PHB∽△BOD∵PH:BO =HB:OD设OD =a 则DC =CB =3−a在Rt △OBD 中 由勾股定理得 a 2+12＝（3﹣a ）2 解得a =43 即OD =43 ∵m 2+2m−31=1−m43 解得m =−154或m =1（舍去） 当m =−154时 ∵P (−154,5716)． 17．（1）解：当a =1 k =1时 直线l:y =x +b 抛物线C:y =x 2联立{y =x +b y =x2 得：x 2−x −b =0 ∵直线l:y =x +b 与抛物线C:y =x 2有唯一公共点P∴(−1)2−4×1×(−b )=0解得：b =−14；（2）解：当a =12时 抛物线C:y =12x 2联立{y =12x 2y =kx +b得：12x 2−kx −b =0 ∵直线l:y =kx +b (k >0)与抛物线C:y =12x 2有唯一公共点P∴(−k )2−4×12×(−b )=0∴b =−12k 2∴y =kx −12k 2当x =0时 y =−12k 2 当y =0时 kx −12k 2=0 解得：x =k2∴A (k2，0)∴OA =k2∵过点A 作直线l 的垂线交y 轴于点T∴∠BAT =90° ∴∠ATB +∠ABT =90° ∵∠OBA +∠OAB =90° ∴∠OTA =∠OAB ∵∠AOB =∠TOA =90° ∴△AOB ∽△TOA∴OTOA =OABO 即OTk 2=k 2k 22∴OT =12∵ T 在y 轴的正半轴 ∴T (0，12)；（3）证明：如图 令OM QP QN 与y 轴交点分别为D设M(m ，am 2) N(n ，an 2) MN 的解析式为：y =x +c 联立{y =x +b y =ax 2 得：ax 2−x −b =0 解得：x P =12a∴P (12a ，14a)∵点P 关于y 轴的对称点为Q∴Q (−12a ，14a) 联立{y =x +c y =ax 2 得：ax 2−x −c =0 ∵平移直线l 使之与抛物线C 交于M ，N 两点∴m +n =1a令QM 为y =k 1x +b 1 代入M(m ，am 2) Q (−12a ，14a )得：{14a =−k12a +b 1am 2=k 1m +b 1解得：{k 1=am −12b 1=m2∴QM ：y =(am −12)x +m2 令x =0 则y =m 2∴D (0，m 2) 同理可得：QN ：y =(an −12)x +n2∴DE =m 2−14a∴DE −EF =m +n 2−12a =12a −12a =0 ∴DE =EF∵QP ⊥DF∴∠MQP =∠NQP ．18．（1）解：∵抛物线y =ax 2−3ax +c 与x 轴分别交于A(−1,0) B 两点 与y 轴交于点C(0,−2)． ∴ a +3a +c =0 ∴ a =12∴设抛物线的解析式为y =12x 2−32x −2（2）解：过点D 作DG ⊥x 轴于点G 交BC 于点F 过点A 作AK ⊥x 轴交BC 的延长线于点K∴ AK∥DG△AKE ∽△DFE ∴DF AK =DEAE设直线BC 的解析式为y =kx +b 1∴{4k +b 1=0b 1=−2解得{k =12b 1=−2∴直线BC 的解析式为y =12x −2 ∵ A(−1,0)∴y =−12−2=−52∴AK =52设D (m,12m 2−32m −2) 则F (m,12m −2)∴DF=12m−2−12m2+32m+2=−12m2+2m∴DEAE =−12m2+2m52=−15m2+45m=−15(m−2)2+45∴当m=2时DEAE 有最大值最大值为45（3）解：符合条件的点P的坐标为(689,349)(6+2√415,3+√415)理由如下：∵l∥BC∴直线l的解析式为y=12x设P(a1,a12)当点P在直线BQ右侧时如图过点P作PN⊥x轴于点N过点Q作QM⊥PN 于点M∵A(−1,0)∴AC=√5∵AC2+BC2=AB2∴∠ACB=90°∵△PQB∽△CAB∴PQPB=ACBC=12∵∠QMP=∠BNP=90°∴∠MQP+∠MPQ=90°∴∠MQP=∠BPN∴△QPM∽△PBN∴QMPN=PMBN=PQPB=12∴QM =a 14∴MN =a 1−2BN −QM =a −BN −QM =a 1−4−a 4=34a 1−4 ∴Q (34a 1,a 1−2)将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得12×(34a 1)2−32×34a 1−2=a 1−2 解得a 1=0（舍去）∴P (689,349) 当点P 在直线BQ 左侧时 由①的方法同理可得点Q 的坐标为(54a 1,2) 此时点P 的坐标为(6+2√415,3+√415) ∴综合所述 存在这样的点P 且坐标为为(689,349)或 (6+2√415,3+√415) 19．解：（1）∵抛物线经过A(−2,0) ∴ {4−2b +c =0c =−6 解得：{b =−1c =−6∴抛物线的表达式为：y =x 2−x −6； （2）y =x 2−x −6=(x +2)(x −3)∴A(−2,0)设直线BC 的解析式为y =px +q 由题意得{3p +q =0q =−6 解得：{p =2q =−6所以直线BC 的解析式为y =2x −6如图 分别过点A 和点D 作y 轴的平行线 交直线BC 于点M 和点N∴△NED ∽△MEA则EDEA =DNAM∵A(−2,0)∴点M 横坐标为−2将x =−2代入BC 的解析式y =2x −6 得y =−10∴M(−2,−10)∴AM =10为定值． ∴当DN 取最大值时ED EA取得最大值设D(t,t 2−t −6) 则N(t,2t −6)则DN =(2t −6)−(t 2−t −6)=−t 2+3t =−(t −32)2+94 ∴当t =32时 DN 取最大值 即EDEA取得最大值 此时D(32,−214)；（3）∵△OEF ∽△COA∠OEF =∠COA =90°①如右图 当点F 在OE 左侧时 过点E 作EP ⊥x 轴于点P 过点F 作FQ ⊥PE 于点Q 则∠OPE =∠EQF =90°∵∠OEF =90°∴∠OEP +∠FEQ =90° ∵∠OEP +∠EOP =90° ∴∠FEQ =∠EOP ∴△OEP ∽△EFQ .OP EQ =PE QF =OE EF =31设E(m,2m −6) 则P(m,0)∵点E在第四象限∴OP=m∵EQ=13m,QF=2−23m∵F(53m−2,53m−6)将F(53m−2,53m−6)代入抛物线得：53m−6=(53m−2)2−(53m−2)−6解得：m1=9+3√35∴点F的坐标(1+√3,−3+√3)或(1−√3,−3−√3)；②如右图当点F在OE右侧时过点E作EH⊥x轴于点H过点F作FG⊥EH于点G则∠OHE=∠EGF=90°则△OHE∽△EGFOH EG =HEGF=OEEF=31设OH=n则H(n,0)∵点E在线段BC上且在第四象限∴E(n,2n−6)GF=2−2 3 nA G(n,73n−6)F(13n+2,73n−6)将F(13n+2,73n−6)代入抛物线得：73n−6=(13n+2)2−(13n+2)−6解得：n1=6−3√2n1=6+3√2（舍去）∴点F的坐标(4−√2,8−7√2)综上所述：点F的坐标为(1+√3,−3+√3)或(1−√3,−3−√3)或(4−√2,8−7√2)；（4）设点E(m,2m−6)则EH=6−2m则12EH=3−m则x G=m−(3−m)=2m−3即点G(2m−3,m−3)将点G的坐标代入抛物线表达式得：m−3=(2m−3)2−(2m−3)−6解得：m=3（舍去）或34则点G(−32−94)．20．（1）解：将点A(−2,0)点B(4,0)代入y=ax2+bx+4{0=a(−2)2+b⋅(−2)+40=a⋅42+b⋅4+4解得：{a=−12b=1故答案为：抛物线的解析式：y=−12x2+x+4（2）解：由（1）结论可知点C坐标为(0,4)设直线BC解析式为：y=kx+4将点B(4,0)代入解得：k=−1∴直线BC解析式为：y=−x+4∵点P的横坐标为t则点P的纵坐标为−12t2+t+4∴点E的横坐标为t点E的纵坐标为−t+4∵点P在抛物线第一象限上∴PE=PD−ED即：d=−12t2+t+4−(−t+4)=−12t2+2t故答案为：d与t的函数关系式：d=−12t2+2t（3）解：∵GO⊥AB∴△GAO∽△PAD∴GOAO =PDAD即：GO2=−12t2+t+4t+2整理得：GO=4−t∴CG=CO−GO=4−(4−t)=t∵CO∥PD∴CEOD =CBOB=√2即：CEt=√2整理得：CE=√2t∵∠GCF=∠FEP∴△GCF∽△PEF∴CGPE =CFEF即：CGPE=EC−EFEF即：t−12t2+2t=√2t−(4√2−√2t)4√2−√2t解得：t=3或t=4（舍）∴GO=4−t=4−3=1∵∠CFA−∠BAQ=2∠PAB∴∠PAB+45°−∠BAQ=2∠PAB即：∠PAB+∠BAQ=45°作点H(1,−1)作HI⊥x轴垂足为I连接GH则：GI=OA=2∴△AGO≌△GHI(SAS)∴∠GAO=∠HGI∴∠AGH=90°∴∠GAH=45°∴∠PAB+∠BAH=45°=∠PAB+∠BAQ∴∠ABH=∠BAQ∴直线AH与抛物线交点即为点Q设直线AH解析式为：y=kx+b点A(−2,0)点Q(1,−1)在直线上∴{0=k⋅(−2)+b−1=k⋅1+b解得：{k=−13b=−23直线AH解析式为：y=−13x−23∴{y=−13x−23y=−12x2+x+4解得：{x1=−2y1=0∴(−2,0)为点A(143,−209)为点Q故答案为：Q(143,−209)．。
中考数学总复习《二次函数与相似三角形问题综合》专项检测卷(带答案)
中考数学总复习《二次函数与相似三角形问题综合》专项检测卷(带答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()2,0A -和()1,0B ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)直线43y x h =-+经过点B ，交抛物线于另一点C ．P 是线段BC 上一点，过点P 作直线PQ y ∥轴交抛物线于点Q ，且PB PQ =，求点P 的坐标；(3)M ，N 是抛物线上的动点（不与点B 重合），直线BM ，BN 分别交y 轴于点E ，F ，若EBF EOB ∽△△，求证：直线MN 经过一个定点．2．如题，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点()1,0A -，点()4,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．(1)求抛物线的解析式．(2)点D 为抛物线的对称轴上一动点，当ACD 周长最小时，求点D 的坐标．(3)点E 是OC 的中点，射线AE 交抛物线于点F ，P 是抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交射线AF 与点G ，是否存在点P 使得PFG △与AOE △相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点()2,0A -和()4,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)P 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P 作直线l x ⊥轴于点(),0M m ，交BC 于点N ，连接CM PB PC ，，．PCB 的面积记为1S ，BCM 的面积记为2S ，当12S S 时，求m 的值；(3)在（2）的条件下，点Q 在抛物线上，直线MQ 与直线BC 交于点H ，当HMN △与BCM 相似时，请直接写出点Q 的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线214y x bx c =-++与x 轴分别相交于()2,0A -，()8,0B 两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ． ①求DE BF +的最大值；①若G 是AC 的中点，以点C D E 为顶点的三角形与AOG 相似 求点D 的坐标． 5．如图 抛物线223y x x =-++交x 轴于A B 两点 交y 轴于点C 连接AC BC ．(1)求ABC 的面积；(2)点M 为y 轴上一点 是否存在点M 使得MBC 与ABC 相似？若存在 请求出点M 的坐标；若不存在 请说明理由；(3)点P 为抛物线上一点（点P 与点B 不重合） 且使得PAC △中有一个角是45︒ 请直接写出点P 的坐标．6．在平面直角坐标系xOy 中 把与x 轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图 抛物线1L ：245y x x =-++的顶点为D 交x 轴于点A B （点A 在点B 左侧） 交y 轴于点C ．抛物线2L 与1L 是“共根抛物线” 其顶点为P ．(1)若抛物线2L 经过点()38-，求抛物线L 1对应的函数关系式； (2)连接BC ．设点Q 是抛物线1L 上且位于其对称轴右侧的一个动点 若DPQ 与BOC 相似 求其“共根抛物线”2L 的顶点Р的坐标．7．如图 直线23y x c =-+与x 轴交于点()3,0A 与y 轴交于点B 抛物线243y x bx c =-++经过点A B ．(1)求点B 的坐标和抛物线的解析式；(2)(),0M m 为x 轴上一动点 过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P N ．①点M 在线段OA 上运动 若以B P N 为顶点的三角形与APM ∆相似 求点M 的坐标； ①点M 在x 轴上自由运动 若三个点M P N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外） 则称M P N 三点为“共谐点”．请直接写出使得M P N 三点成为“共谐点”的m 的值．8．如图 二次函数2y ax bx c =++（0a <）的图象与x 轴交于()1,0A - B 两点 与y 轴交于点C 已知3OB OA = OC OB =．(1)求该二次函数的表达式；(2)点M 为抛物线对称轴上一动点 是否存在点M 使得BM CM -有最大值 若存在 请直接写出其最大值及此时点M 坐标 若不存在 请说明理由．(3)连接AC P 为第一象限内抛物线上一点 过点P 作PD x ⊥轴 垂足为D 连接PA 若PDA 与COA 相似 请求出满足条件的P 点坐标：若没有满足条件的P 点 请说明理由．9．如图 在平面直角坐标系中 二次函数的图象交坐标轴于()20A -，()40B ， ()08C ，三点 点P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)动点P 运动到什么位置时 PBC 的面积最大 求此时P 点坐标及PBC 面积的最大值；(3)在y 轴上是否存在点Q 使以O B Q 为顶点的三角形与AOC 相似？若存在 请直接写出点Q 的坐标；若不存在 请说明理由．10．如图 已知抛物线经过()40A ，()10B ， ()02C -，三点．(1)求该抛物线的解析式；(2)若P 是直线4x =右侧的抛物线上一动点 过点P 作PM x ⊥轴 垂足为M 是否存在点P 使得以A P M 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在 请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在 请说明理由11．综合与探究：如图 在平面直角坐标系中 抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A - ()3,0B 与y 轴交于点C 连接BC ．若在第四象限的抛物线上取一点M 过点M 作MD x ⊥轴于点D 交直线BC 于点E ．(1)求抛物线的表达式；(2)试探究抛物线上是否存在点M 使ME 有最大值？若存在 求出点M 的坐标和ME 的最大值；若不存在 请说明理由；(3)连接 CM 试探究是否存在点M 使得以M C E 为顶点的三角形和BDE △相似？若存在 请求出点M 的坐标；若不存在 请说明理由．12．综合与探究如图 抛物线213222y x x =-++的图象与x 轴交于A B 两点 点A 在点B 的左侧 与y 轴交于点C 连接BC ．(1)求点B C 的坐标．(2)C '是点C 关于抛物线对称轴的对称点 D 是BC 线段上一点 已知25BD BC = 求直线C D '的解析式．(3)若C 关于x 轴的对称点为M 连接BM N 是线段AB 上的动点 过点N 作x 轴的垂线交抛物线于点P 交直线BM 于点Q 当以B P Q 为顶点的三角形与BOM 相似时 请直接写出点P 的坐标．13．如图 抛物线26y ax bx =+-与y 轴交于点A 与x 轴交于点()3,0B - ()1,0C P 是线段AB 下方抛物线上的一个动点 过点Р作x 轴的垂线 交x 轴于点H 交AB 于点D ．设点P 的横坐标为()30t t -<<．(1)求抛物线的解析式．(2)用含t 的式子表示线段PD 的长 并求线段PD 长度的最大值．(3)连接AP 当DPA 与DHB △相似时 求点P 的坐标．14．如图 抛物线经过点()2,0A - ()3,3B -和坐标原点O 顶点为C ．(1)求抛物线的表达式；(2)求证：BOC 是直角三角形；(3)若点P 是抛物线上第一象限内的一个动点 过点P 作PM x ⊥轴 垂足为M 是否存在点P 使得以P M A 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在 求出点P 的坐标；若不存在 请说明理由．15．在平面直角坐标系中 抛物线()26160y ax ax a a =--≠与x 轴的两个交点分别为A B 、与y 轴相交于点C 连接BC 已知点()04C ，．(1)求A B 、两点坐标和抛物线的解析式；(2)设点P 是抛物线上在第一象限内的动点（不与C B 、重合） 过点P 作PD BC ⊥ 垂足为点D ．①点P 在运动过程中 线段PD 的长度是否存在最大值？若存在 求出最大值以及此时点D 的坐标；若不存在 请说明理由：①当以P D C 、、为顶点的三角形与COA 相似时 求点P 的坐标．参考答案：1．（1）解：将()2,0A - ()1,0B 代入2y x bx c =++得：()2202201b c b c⎧=--+⎪⎨=++⎪⎩ 解得：12=⎧⎨=-⎩b c ∴抛物线的函数表达式为：22y x x =+-；（2）解：将()1,0B 代入43y x h =-+ 得：4013h =-⨯+ 解得：43h = ∴直线BC 的解析式为：4433y x =-+ 联立直线BC 与抛物线得：244332y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=+-⎩ 解得：103529x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或10x y =⎧⎨=⎩ 1052,39C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭设44,33P m m⎛⎫-+⎪⎝⎭则()2,2Q m m m+-PB PQ=()()2224444123333m m m m m⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22257101933m m m-=--+即()257101333m m m--=--+或()257101333m m m-=--+解得：1m=或53m=-或5m=-P是线段BC上一点()1,0B1052,39C⎛⎫-⎪⎝⎭53m∴=-532,39P⎛⎫∴-⎪⎝⎭；（3）解：设()()()2211122212,2,,21,1 M x x x N x x x x x+-+-≠≠直线MN的解析式为y kx n=+即2111222222x x kx nx x kx n⎧+-=+⎨+-=+⎩解得：()121212k x xn x x=++⎧⎨=-+⎩∴直线MN的解析式为：()()121212y x x x x x=++-+直线BM的解析式为y k x n''=+即21112x x k x nk n⎧+-=+'=+'''⎨⎩解得：()1122k xn x=+⎧⎨=-+''⎩∴直线BM的解析式为：()()1122y x x x=+-+当0x=时()12y x=-+()10,2E x∴--直线BN的解析式为y k x n''''=+即222220x x k x n k n '''⎧+-=+⎨=+'''''⎩解得：()2222k x n x =+⎧⎨=-+''''⎩∴直线BN 的解析式为：()()2222y x x x =+-+当0x =时 ()22y x =-+()20,2F x ∴--12EF x x ∴=-EBF EOB ∽△△EF BE BE OE∴= 112BE OE x ==+()21121122x x x x ∴++=-⋅+即()221111212542x x x x x x x ++=+-- ∴()121252x x x x =--+∴()()()()()()121212121212125223y x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=++-+=++---+=++++⎣⎦ ∴当2x =-时 1y =∴直线MN 经过一个定点()2,1-．2．（1）解：把点()1,0A - ()4,0B 分别代入22y ax bx =++得2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①抛物线的解析式为213222y x x =-++． （2）①()1,0A - ()4,0B①对称轴为直线14322x -+== 点A 关于对称轴的对称点为点B 连接BC 交对称轴于点D 连接AD 此时AD CD +最小当0x =时 2y =①点()0,2C ．设直线BC 的解析式为2y kx =+ 代入()4,0B 得420k += ①12k =- ①直线BC 的解析式为122y x =-+ 当32x =时 54y = ①点35,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （3）存在．①()0,2C E 是OC 的中点∴()0,1E ．又()1,0A -①直线AE 的解析式为1y x =+ 1OE OA ==． 联立2132221y x x y x ⎧=-++⎪⎨⎪=+⎩得2132122x x x -++=+． 解得12x = 21x =-（舍）．当2x =时 3y =．①()2,3F ． 设213,222P n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭则(),1G n n +． ①2213112112222PG n n n n n =-++--=-++． 分以下两种情况：①如图2 若FPG AOE ∽△△ 则90FPG PF PG =．①PF x ∥轴．①2PF n =-． ①2112122n n n -=-++．解得1n =或2n =（舍）．①()1,3P ．①如图3 若PFG AOE ∽△△ 则90PFG ∠=︒ PF FG =．过点F 作FH PG ⊥于点H 则2PG FH = 即()21112222n n n ⎛⎫--++=- ⎪⎝⎭．解得3n =或2n =（舍）．①()3,2P ．综上 点P 的坐标为()1,3或()3,2．3．（1）解：抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于()20A -，()40B ，两点 ∴()221220214402b c b c ⎧-⨯--+=⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩解得：14b c =⎧⎨=⎩①抛物线的函数表达式为2142y x x =-++； （2）解：抛物线2142y x x =-++与y 轴交于点C ∴()0,4C∴4OC =设直线BC 的解析式为y kx d =+ 把()4,0B ()0,4C 代入 得： 404k d d +=⎧⎨=⎩解得14k d =-⎧⎨=⎩ ∴直线BC 的解析式为4y x =-+直线l x ⊥轴 (),0M m21,42P m m m ⎛⎫∴-++ ⎪⎝⎭(),4N m m -+ ()221144222PN m m m m m ∴=-++--+=-+ 221111244222B C S PN x x m m m m ⎛⎫∴=⋅-=⨯-+⨯=-+ ⎪⎝⎭()4,0B ()0,4C (),0M m()211448222C S BM y m m ∴=⋅=⨯-⨯=- 12S S2482m m m ∴-+=-解得2m =或4m =（P 与B 重合 舍去）m ∴的值为2；（3）解：()4,0B ()0,4COB OC ∴= BOC ∴是等腰直角三角形45CBO ∴∠=︒BMN ∴是等腰直角三角形45BNM MBN ∴∠=∠=︒HMN 与BCM 相似 且45MNH CBM ∠=∠=︒H ∴在MN 的右侧 且NH MN BC BM=或NH MN BM BC = 设(),4H t t -+ 由（2）知()2,0M ()2,2N ()4,0B ()4,0CBC ∴= 2BM = 2MN =2NH - 当NHMNBC BM =时 如图：∴222242t -=解得6t =或2t =-（此时H 在MN 左侧 舍去）()6,2H ∴-由()2,0M ()6,2H - 同（2）得直线MH 解析式为112y x =-+2112142y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①点Q 的坐标为⎝⎭或⎝⎭；当NH MNBM BC =时 如图：∴222242t -=解得32t =（舍去）或52t =5322H ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 由()2,0M 5322H ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 同（2）得直线MH 解析式为36y x =- 236142y x y x x =-⎧⎪⎨=-++⎪⎩解得261266x y ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩2261266x y ⎧=--⎪⎨=--⎪⎩①点Q 的坐标为(226,1266-+-+或(226,1266----．综上所述 点Q 的坐标为333133+-⎝⎭或333133-+⎝⎭或(226,1266-+-+或(226,1266----． 4．（1）将()2,0A - ()8,0B 代入抛物线214y x bx c =-++ 得()221220418804b c b c ⎧-⨯--+=⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩解得324b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴该抛物线的解析式为213442y x x =-++． （2）①由抛物线的解析式为213442y x x =-++ 得()0,4C ．设直线BC 的解析式为y kx t =+ 将()8,0B ()0,4C 代入得80,4,k t t +=⎧⎨=⎩解得1,24,k t ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为142y x =-+． 设第一象限内的点D 的坐标为213,442m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ 则1,42E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 2213114424224DE m m m m m ⎛⎫⎛⎫∴=-++--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8BF m =- ()()2211282944DE BF m m m m ⎛⎫∴+=-++-=--+ ⎪⎝⎭． 104-< ∴当2m =时 DE BF +有最大值 为9．①()2,0A - ()8,0B ()0,4C2OA ∴= 8OB = 4OC = 10AB =22220AC OA OC ∴=+= 22280BC OB OC =+= 2210100AB == 222AC BC AB ∴+=90ACB ∴∠=︒90CAB CBA ∴∠+∠=︒．DF x ⊥轴于点F90FEB CBA ∴∠+∠=︒CAB FEB DEC ∴∠=∠=∠．以点C D E 为顶点的三角形与AOG 相似 只需OA AG DE CE =或OA AG CE DE =． G 是AC 的中点 ()2,0A - ()0,4C()1,2G ∴- 2OA =12AG AC == 由①知2124DE m m =-+ 1,42E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭CE ∴=． 当OA AG DE CE =时22124m m =-+解得4m =或0m =（舍去） ()4,6D ∴． 当OAAGCE DE =时 251524m m m -+解得3m =或0m =（舍去） 253,4D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭．综上所述 以点C D E 为顶点的三角形与AOG 相似点D 的坐标为()4,6或253,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． 5．（1）解：对于抛物线223y x x =-++ 当0x =时 可有3y = 即(0,3)C 当0y =时 可有2230x x -++= 解得11x =- 23x =即(1,0)A - (3,0)B①3OC = 3(1)4AB =--= ①1143622ABC S AB OC =⋅=⨯⨯=；（2）解：存在 点M 的坐标为30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 或()01M -，理由如下：①(1,0)A - (3,0)B (0,3)C ①221310AC =+= 4AB = 223332BC =+如下图 当BCA CMB ∽时则有BCABCM BC = 3232①92CM = ①93322OM CM OC =-=-= ①30,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭；当BAC CMB ∽时 如图：则有BC ABCM BC = 4CM =①4CM =①1OM CM OC =-=则()01M -， 综上：30,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭或()01M -，（3）解：根据题意 点P 与点B 不重合；且45APC ∠=︒ 如图结合二次函数的对称性 且=45ABC ∠︒ ①45BAP ∠=︒①CP AB ∥则3P C y y ==①223y x x =-++①对称轴()2121x =-=⨯- 则()112C P x x += 则2P x =①P 的坐标为()23，当45PAC ∠=︒时 如下图设AP 交y 轴于点H 过点H 作HN AC ⊥于点N ①45PAC ∠=︒①9045NHA PAC PAC ∠=︒-∠=︒=∠ ①HN NA =①(1,0)A - (0,3)C①1OA = 3OC = ①1tan 3NH OA ACO CN OC ∠=== 设HN NA t == 则3CN t = 2AH t = ①310AC t t =+解得10t =①52AH t = ①2212OH AH OA =-=①10,2H ⎛⎫ ⎪⎝⎭设直线AH 的解析式为111(0)y k x b k =+≠ 将点(1,0)A - 10,2H ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入 可得111012k b b =-+⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得111212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①直线AH 的解析式为1122y x =+ 联立直线AH 的解析式1122y x =+与抛物线解析式223y x x =-++ 可得2112223y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩ 解得=1x -（舍去）或52x =①点57,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当45ACP ∠=︒时 如下图 设CP 交x 轴于点T 过点T 作TK BC ⊥于点K ①(3,0)B (0,3)C ①3OB OC == ①190452OCB CBT ∠=∠=⨯︒=︒ ①45ACP OCB ∠=∠=︒ 即ACO OCP OCP PCB ∠+∠=∠+∠①ACO PCB ∠=∠ ①1tan tan 3TK BCP ACO CK ∠==∠= ①45KBT ∠=︒①9045KTB KBT KBT ∠=︒-∠=︒=∠①KB KT =设KT KB t == 则3CK t = 2BT t ①332BC t t =+=解得32t = ①322BT t ==①3,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 设直线CT 的解析式为222(0)y k x b k =+≠ 将点(0,3)C 3,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入 可得2223302b k b =⎧⎪⎨=+⎪⎩解得2223k b =-⎧⎨=⎩ ①直线CT 的解析式为23y x =-+联立直线CT 的解析式23y x =-+与抛物线解析式223y x x =-++可得22323y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩解得0x =（舍去）或4x =①点(4,5)P -．综上所述 点P 坐标为(2,3) 57,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或(4,5)-． 6．（1）解：在抛物线1L ：245y x x =-++中令0y = 则2450x x -++=解得11x =- 25x = 即()10A -， ()50B ， 根据题意 设抛物线L 2的函数关系式为()()15y a x x =+-将点()38-，代入得()()83135a =-+-- 解得12a = ①抛物线2L 的函数关系式为()()2115152222y x x x x =+-=--；（2）解：由题意得 5OB OC ==①BOC 为等腰直角三角形①抛物线1L ：()224529y x x x =-++=--+①顶点()29D ，由题意可知PDQ ∠不可能为直角①当90DPQ ∠=︒时 如图 DPQ BOC ∽或DPQ COB ∽ 则DP QP =设Q 2()45m m m -++，①2QP m =- ()2945DP m m =--++①()22945m m m -=--++ 解得12m =（舍去） 23m = ①当3m =时 2458m m -++=①()28P ，①当90DQP ∠=︒时 如图 DPQ BCO ∽或DPQ CBO ∽ 过点Q 作QM DP ⊥垂足为点M 则DM QM MP ==由①可知()28M ，①1MP DM ==①()27P ，综上所述：点P 的坐标为()28P ，或()27P ，．7．（1）解：23y x c =-+与x 轴交于点()3,0A 与y 轴交于点B 02c 解得2c =(0,2)B ∴抛物线243y x bx c =-++经过点A B ∴12302b c c -++=⎧⎨=⎩ 解得1032b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线解析式为2410233y x x =-++； （2）解：①由（1）可知直线解析式为223y x =-+ (,0)M m 为x 轴上一动点 过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P N2,23P m m ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭2410,233N m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ 223PM m 3AM m 22410242243333PN m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭BPN △和APM △相似 且BPN APM ∠=∠90BNP AMP 或90NBP AMP ∠=∠=︒当90BNP ∠=︒时 则有BN MN ⊥N ∴点的纵坐标为224102233m m ∴-++= 解得0m =（舍去）或52m = 502M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，； 当90NBP ∠=︒时 过点N 作NC y ⊥轴于点C则90NBC BNC ∠+∠=︒ NC m = 22410410223333BC m m m m =-++-=-+ 90NBP ∠=︒90NBC ABO ∴∠+∠=︒ABO BNCRt Rt NCB BOA ∴∽△△ ∴NC CB OB OA= ∴24103323m m m -+= 解得0m =（舍去）或118m = 1108M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，； 综上可知当以B P N 为顶点的三角形与APM △相似时 点M 的坐标为502⎛⎫ ⎪⎝⎭，或1108⎛⎫ ⎪⎝⎭，； ①由①可知(,0)M m 2,23P m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 2410,233N m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭M P N 三点为“共谐点”∴有P 为线段MN 的中点、M 为线段PN 的中点或N 为线段PM 的中点当P 为线段MN 的中点时 则有22410222333m m m ⎛⎫-+=-++ ⎪⎝⎭解得3m =（舍去）或0.5m =；当M 为线段PN 的中点时 则有22410220333m m m ⎛⎫-++-++= ⎪⎝⎭解得3m =（舍去）或1m =-；当N 为线段PM 的中点时 则有22410222333m m m ⎛⎫-+=-++ ⎪⎝⎭解得3m =（舍去）或14m =-； 综上可知当M P N 三点成为“共谐点”时m 的值为0.5或1-或14-． 8．（1）解：(1,0)A -1OA ∴=3OB OA = OC OB =3OB OC ∴==．(3,0)∴B (0,3)C二次函数()2<0y ax bx c a =++的图象经过点A B C∴09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩ 解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴该二次函数的表达式为223y x x =-++；（2）解：①()222314y x x x =-++=--+①抛物线对称轴为直线1x =延长AC 交对称轴于点M 此时BM CM AM CM AC -=-=有最大值①()1,0A - (0,3)C ①221310AC =+=设直线AC 的解析式为3y mx =+ 代入()1,0A -得03m =-+ 解得3m =①直线AC 的解析式为33y x =+①当1x =时 336y =+=①点M 坐标为()16，；答：BM CM - 点M 坐标为()16，； （3）解：设2(,23)P m m m -++PD x ⊥轴 P 为第一象限内抛物线上一点 0m ∴> OD m = 223PD m m =-++ 1AD OA OD m ∴=+=+ PDA 与COA 相似 ∴OA AD OC PD =或OA PD OC AD= ∴211323m m m +=-++或212331m m m -++=+． 解得：10m = 21m =-或31m =- 483m =．0m >83m ∴=． PDA ∴与COA 相似 满足条件的P 点坐标为81139⎛⎫⎪⎝⎭，． 9．（1）解：①(0,8)C 则设抛物线解析式为28y ax bx =++把A 、B 两点坐标代入可得428016480a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得：12a b =-⎧⎨=⎩①抛物线解析式为228y x x =-++；（2）解：①点P 在抛物线上①可设()228P t t t -++，过P 作PE x ⊥轴于点E 交直线BC 于点F 如图①(40)B ，(08)C ， 设直线BC 解析式为8y kx =+则048k =+解得2k =-①直线BC 解析式为28y x =-+①(28)F t t -+，①()2228(28)4PF t t t t t =-++--+=-+ ①1111()2222PBC S PF OE PF BE PF OE BE PF OB =⋅+⋅=⋅+=⋅△ ()221442(2)82t t t =-+⨯=--+ ①当2t =时 PBC S 最大值为8 此时2288t t -++=①当P 点坐标为(2,8)时 PBC 的最大面积为8； （3）解：设(0)Q m ，①=90AOC ︒∠①分AOC QOB ∽△△和AOC BOQ ∽△△两种情况 当AOC QOB ∽△△时①OA OC OQ OB= 即284m = 解得1m =±①点Q 的坐标为()01，或()01-，； 当AOC BOQ ∽△△时 ①OA OC OB OQ= 即284m = 解得16m =±①点Q 的坐标为()016，或()016-，； 综上 点Q 的坐标为()016，或()016-，或()01，或()01-，． 10．（1）解：①该抛物线过点()02C -，①可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-．将()40A ，()10B ，代入 得1642020a b a b +-=⎧⎨+-=⎩解得1252a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①此抛物线的解析式为215222y x x =-+-； （2）解：存在；设P 点的横坐标为m 则P 点的纵坐标为215222m m -+- 由题意 4m > 如图 4AM m =- 215222PM m m =-+①90COA PMA ∠=∠=︒ ①12PM OC AM OA ==或①2PM OA AM OC ==当12PM OC AM OA ==时 则21522422m m m ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭ 解得：1224m m ==， （都不符合题意 舍去）； 当2PM OA AM OC==时 则()21522422m m m -+=- 解得：1254m m ==，（4m =不符合题意舍去）此时 2152222m m -+-=- 则()52P -， 综上所述 符合条件的点P 为()52-，． 11．（1）解：把点()1,0A - ()3,0B 代入24y ax bx =+-中得：409340a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得：4383a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则抛物线的表达式为则抛物线的表达式为：248433y x x -=-； （2）存在 理由如下：由抛物线解析式可知：点()0,4C - 设BC 的表达式为：4y kx =-将点B 的坐标代入上式得：034k =- 解得：43k = 则直线BC 的表达式为：443y x =- 设点4,43E x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 则点248,433M x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭则224484(4)(4)43333ME x x x x x =----=-+ ①403-< 故ME 有最大值 当32x =时 ME 的最大值为3 此时 点3,52M ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （3）存在 理由如下：DEB CEM M C E ∠=∠，，，为顶点的三角形和BDE △相似 ①当CME ∠为直角时则点C 、M 关于抛物线对称轴对称 而抛物线的对称轴为32x =则点()3,4M -；①当90ECM ∠=︒时 如图：由（1）得()0,4C - 设直线BC 的解析式为： 14y k x =- 把()3,0B 代入得1340k -=143k ∴= 设直线CM 的解析式为：24y k x =- 易知：121k k234k ∴=- 故直线CM 的表达式为：344y x =-- 联立抛物线表达式和上式得：248344334x x x --=-- 解得：0x =（舍去）或2316x =即点23325(,)1664M -； 综上 点M 的坐标为：23325,1664⎛⎫-⎪⎝⎭或()3,4-12．（1）解：令2132022x x -++= 解得11x =- 24x =①点A 在点B 的左侧①()10A -，()40B ， 将0x =代入213222y x x =-++ 可得：2y =①()02C ，； （2）证明：如图 过点D 作DD x '⊥轴于点D根据题意 可得：DD OC '∥①BDD BCO '∽ ①25BD DD BD BO CO BC ''=== ①()40B ，()02C ， ①4BO = 2CO =①2425BD DD ''== 解得85BD '= 45DD '= ①125OD BO BD ''=-=①12455D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由抛物线213222y x x =-++ 可知对称轴为直线32x = ①点C 、C '关于抛物线对称轴对称①()32C '，设直线C D '的解析式为()0y kx b k =+≠把()32C '，、12455D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入解析式 可得：3212455k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得：24k b =⎧⎨=-⎩ ①直线C D '的解析式为24y x =-；（3）解：①()02C ，①点C 关于x 轴的对称点M 的坐标为()02-，设直线BM 的解析式为()0y ax n a =+≠把()40B ，()02M -，代入解析式 可得：402a n n +=⎧⎨=-⎩ 解得：122a n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ①直线BM 的解析式为122y x =- 设点N 的坐标为()0m ， 则213222P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，、()12142Q m m m ⎛⎫--≤≤ ⎪⎝⎭， ①PQ x ⊥轴①OM PQ ∥①BMO BQP ∠=∠①90BOM ∠=︒ 而90BQP ∠<︒①可分以下两种情况：①如图2 连接BP 当90QBP MOB ∠=∠=︒时 PBQ BOM ∽①BPQ QBN ∠=∠①90BNP QNB ∠=∠=︒①BNP QNB ∽ ①PN NBBN NQ = ①21324221422m m mm m++-=-- ①()21324221442m m mm m ++-=-- ①21322224m m m ++=-解得：4m =或3m =检验：当4m =时 40m -= 等式不成立 且点B 、P 、Q 重合 BPQ 不存在此情况舍去；将3m =代入213222y x x =-++ 可得2y =①()32P ，； ①如图3 当90BPQ MOB ∠=∠=︒时 此时点P 与点A 、点N 重合 BOM BPQ ∽此时1m =- 点P 的坐标为()10-，； 综上所述 以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与BOM 相似时 点P 的坐标为()32，或()10-，．13．（1）解：①抛物线26y ax bx =+-与x 轴交于点()3,0B -()1,0C ①936060a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得：24a b =⎧⎨=⎩①抛物线为：2246y x x =+-；（2）解：①2246y x x =+-当0x =时 y =-6①()0,6A -设直线AB 为y kx n =+①630n k n =-⎧⎨-+=⎩ 解得：26k n =-⎧⎨=-⎩①直线AB 为26y x =--设点P 的横坐标为()30t t -<<．①()2,246P t t t +- (),26D t t --①222624626PD t t t t t =----+=--当()63222t -=-=-⨯-时 PD 的最大值为：233926222⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （3）解：如图 连接AP①BDH ADP ∠=∠ 而DPA 与DHB △相似①分两种情况讨论：当DPA DHB ∽时 ①DP AP DH BH= 90APD BHD ∠=∠=︒ ①AP x ∥轴 OH AP =①A P 关于抛物线的对称轴对称①()3,0B - ()1,0C①抛物线的对称轴为直线3112x -+==- 而()0,6A - ①()2,6P --；如图 当DHB DAP ∽时 过A 作AQ PH ⊥于Q①AQ OH = 6AO QH ==设AQ OH n ==①DHB DAP ∽①90DHB DAP ∠=∠=︒①90ADP APD APQ QAP ∠+∠=∠+∠=︒①PAQ ADP ∠=∠由PH y ∥轴 可得ADP BAO ∠=∠①PAQ BAO ∠=∠ ①31tan tan 62PAQ BAO ∠=∠== ①12PQ AQ 即12PQ n = ①1,62P n n ⎛⎫--- ⎪⎝⎭ ①()()2124662n n n -+⨯--=-- 解得：74n =（0n =舍去） ①755,48P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 综上：()2,6P --或755,48P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 14．（1）解：设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠ 将点(2,0)A - (3,3)B - (0,0)O 代入可得：4209330a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩解得：120a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以函数解析式为：22y x x =+；（2）证明：①()22211y x x x =+=+-①抛物线的顶点C 的坐标为()1,1--①()0,0O ()3,3B -①()()22303018OB =--+-= ()()2210102OC =--+--=()()22313120BC =---+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ①222OB OC BC +=①BOC 是直角三角形；（3）解：假设存在点P 使以P M A 为顶点的三角形与BOC 相似 如图设(,)P x y 由题意知0x > 0y > 且22y x x =+由（2）知 BOC 为直角三角形 90COB ∠=︒ 且:1:3OC OB = ①若PMA COB ∽ 则AM PM BO CO= 即223(2)x x x +=+ 得 113x = 22x =-（舍去） 当13x =时 79y = 即1(3P 7)9； ①若PMA BOC ∽AM PM OC BO= 即：223(2)x x x +=+ 得：13x = 22x =-（舍去）当3x =时 15y = 即(3,15)P ．①存在 当点P 坐标为17,39⎛⎫ ⎪⎝⎭或(3,15) 使得以P M A 为顶点的三角形与BOC 相似． 15．（1）解：①2616y ax ax a =--经过()04C ，①164a -= 解得14a =- ①213442y x x =-++； 令0y = 即2134=042x x -++ 解得：122,8x x =-=①()()2,0,8,0A B -（2）设直线BC 的关系式为y kx b =+ ()8,0B ()04C ，①408b k b =⎧⎨=+⎩解得124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩． ①直线BC 的方程为142y x =-+． 如图 过点P 作PG x ⊥轴于点G PG ，交CB 于点E①PG CO ∥①PED OCB ∠=∠又90PDE COB ∠=∠=︒①PDE BOC ∽△△ ①PD PE BO BC= ①8,4BO CO ==①BC =①BO PD PE PE BC =⨯ ①当线段PE 最长时 PD 的长度最大． 设213(4)42P t t t -++， 则1(,4)2E t t -+． 即213442PG t t =-++ 142EG t =-+． ①22112(4)444PE PG EC t t t =-=-+=--+()08t <<． 当4t =时 PE 有最大值是4 此时P 点坐标为()46，．①25854PD == 设1,42D m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ①()2221854462m m ⎛⎫-+-+-= ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得12125m m == ①111214442255m -+=-⨯+= 即点D 的坐标为121455⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ①①284OA OB OC ===，，①2222420AC =+= ()2228100AB =+= 2224880BC =+=． 可得222AC BC AB =＋．①90ACB ∠=︒．①COA BOC ∽．故当PDC △与COA 相似时 则PDC △与BOC 相似． ①PCD CBO ∠∠＝或PCD BCO ∠∠＝．（i ）如图 当PCD CBO ∠=∠时即PDC COB ∽①PCD CBO ∠=∠①CP AB ∥①()04C ，①4P y =． ①2134442t t -++= 解得1260x x ==，（舍）即PDC COB ∽时 (64)P ，； （ii ）当PCD BCO ∠=∠时 即PDC BOC ∽如图 过点P 作PG x ⊥轴于G 与直线BC 交于F①PF OC ∥①PFC BCO ∠=∠①PCD PFC ∠=∠①PF PC =. 设213(4)42P n n n -++， 则2124PF n n =-+ 过点P 作y 轴的垂线 垂足为N在Rt PNC △中 22222243213131344421644PC PN NC n n n n n n ⎡⎤=+=+-++-=-+⎢⎥⎣⎦（） ①22PF PC = 即2243211313(2)41644n n n n n -+=-+ 解得120=3=n n ， (舍)．即PDC BOC ∽时 25(3)4P ，． ①当PDC △与COA 相似时 点P 的坐标为(64)P ，或2534P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．。
中考数学总复习《二次函数与相似三角形问题综合》专项能力提升训练(含答案)
(1)抛物线的解析式为__________；
(2)点M为y轴正半轴上的一个动点，连接 ，过点M作 的垂线，与抛物线的对称轴交于点N，连接AN．
①若 与 相似，求点M的坐标；
②若点M在y轴正半轴上运动到某一位置时， 有一边与线段 相等，并且此时这一边与线段 具有对称性，我们把这样的点M称为“对称点”，请写出“对称点”M的坐标．
12．如图，抛物线y= x2+bx+c的顶点D坐标为（1，4），且与 轴相交于A，B两点 点A在点B的左侧 ，与y轴相交于点C，点E在x轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点F在抛物线上并且和点E关于抛物线的对称轴对称，作矩形EFGH，其中点G，H都在x轴上．
(1)求抛物线解析式；
(2)设点F横坐标为m
②若 是 的中点，以点 ，D， 为顶点的三角形与 相似，求点 的坐标．
3．抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧．
(1)求a，b，c的值；
(2)如图 ，连接 、 ，交点为 ，连接 ，若 ，求点 的坐标；
(3)如图 ，在（2）的条件下，过点 作 轴的垂线交 轴于点 ，将线段 绕点 逆时针旋转得到 ，旋转角为 ，连接 和 ，求 的最小值．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接 ，点P为直线 上方抛物线上一动点，连接 交 于点Q．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当 的值最大时，求点P的坐标和 的最大值；
(3)把抛物线 向右平移1个单位，再向上平移2个单位得新抛物线 ，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，写出所有符合条件的N点的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
中考数学总复习《二次函数与相似三角形问题》专项训练题(附有答案)
中考数学总复习《二次函数与相似三角形问题》专项训练题(附有答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边3OA =，AB=4，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的负半轴上，抛物线243y x bx c =++经过A ，C 两点，连接AC ．(1)请直接写出b ，c 的值；(2)若动点(),0E m 在边OA （不与O ，A 两点重合）上，过点E 作x 轴的垂线l 交BC 于点F ，交AC 于点M ，交抛物线于点P ，连接PC ． ①设线段PM 的长为h ，求h 与m 的函数关系式；①当点P 在BC 下方的抛物线上时，以P ，C ，F 为顶点的三角形与AEM △是否相似？若相似，请求出此时点E 的坐标；若不相似，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax b =++过点()1,3，且交x 轴于点()1,0A -，B 两点，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)将该抛物线沿射线CB 方向平移5个单位长度，点M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．是否存在M 使得M ，B 关于PD 对称，若存在直接写出M 的坐标，若不存在，请说明理由．3．综合与探究：如图，抛物线2134y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．(1)求点A ，B ，C 的坐标；(2)点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点P 作x 轴的垂线l ，连接AP 交BC 于点D ．当PD AD最大时，求点P 的坐标及PDAD的最大值； (3)在（2）的条件下，在l 上是否存在点Q ，使BCQ △是直角三角形．若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线2122y x bx =-++交x 轴于A （1-，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ，与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点D ，点P 是抛物线上一动点．(1)求抛物线解析式；(2)过点P 作y 轴的垂线与射线BC 交于点Q ，设线段PQ 的长度为d ，点P 的横坐标为m ，求d 与m 的函数关系式；(3)若点P 在y 轴右侧，过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将①CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q ′．是否存在点P ，使Q ′恰好落在x 轴上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．5．综合与探究如图，直线243y x =-+与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，抛物线243y ax x c =++经过B ，C 两点，与x 轴的另一个交点为A （点A 在点B 的左侧），抛物线的顶点为点D ．抛物线的对称轴与x 轴交于点E ．（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）点M 是线段BC 上一动点，连接DM 并延长交x 轴交于点F ，当:1:4FM FD =时，求点M 的坐标；（3）点P 是该抛物线上的一动点，设点P 的横坐标为m ，试判断是否存在这样的点P ，使90PAB BCO ∠+∠=︒，若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，且点()1,0A -，点()0,2C ，抛物线的对称轴为直线32x =，连接AC ，BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)将ABC 沿直线BC 折叠，得到DBC △，请问：点A 的对应点D 是否落在抛物线的对称轴上？若点D 落在对称轴上，请求出点D 的坐标；若点D 没有落在对称轴上，请说明理由；(3)若点E 是抛物线位于第一象限内的一个动点，连接AE 交直线BC 于点F ，设EFn AF=，求n 的最大值并求出此时点E 的坐标．7．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点，点()2,0A 且2OA OB =，与y 轴交于点C ，连接BC ，D 为第一象限内抛物线上一动点，过点D 作DE OA ⊥于点E ，与AC 交于点F ，设点D 的横坐标为m ．(1)求抛物线的表达式；(2)求ACD 面积的最大值及此时D 点的坐标；(3)抛物线上是否存在点D ，使得以点O 、D 、E 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线214y x bx c =++与x 轴交于()8,0A 和()2,0B -两点，与y 轴交于点C ，连接AC ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线CD 交x 轴于点()2,0D ，点P 为线段AC 下方抛物线上的一点，过点P 作PH y ∥轴交直线CD 于点H ，在直线CD 上取点Q ，连接PQ ，使得HQ PQ =，求524PQ PH -的最大值及此时P 点的坐标； (3)连接BC ，把原抛物线214y x bx c =++沿射线BC 方向平移25个单位长度，点M是平移后新抛物线上的一点，过点M 作MN 垂直x 轴于点N ，连接AM ，直接写出所有使得AMN ABC ∽的点M 的横坐标．9．已知抛物线223y x x =--与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．若点(),0N n 为x 轴上的动点，过点N 作x 轴的垂线交抛物线于点P ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标；(2)①如图1，直线PN 交直线BC 于点G ，若点G 恰好在线段PB 的垂直平分线上，且3n <时，求n 的值；①如图2，连接AC ，AP ，抛物线上存在一点P ，使得以P ，A ，N 为顶点的三角形与CAO △相似，求点P 的坐标．10．已知抛物线：2616(0)y ax ax a a =-->与x 轴交点为A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，点G 是AC 的中点．(1)求点A ，B 的坐标及抛物线的对称轴；(2)直线32y x =-与抛物线交于点M ，N 且MO NO =，求抛物线解析式．*提示：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根是1x 和2x ，那么12b x x a+=-和12cx x a⋅=；(3)已知点P 是（2）中抛物线上第四象限内的动点，过点P 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ．若以点C ，P ，E 为顶点的三角形与AOG 相似，求点P 的坐标．11．抛物线22230yx mx m m 与x 轴交于A ，B 两点，A 点在B 点左边，与y 轴交于C 点，顶点为M ．(1)当1m =时，求点A ，B ，M 的坐标；(2)如图1，在（1）的条件下，若P 为抛物线对称轴上一个动点，且PAC △为等腰三角形，求P 点坐标；(3)如图2，若一次函数y kx b =+的图象过A 点且与抛物线交于另一点F ，交对称轴于E ，MG x 轴，FG MG ⊥和AM AF ⊥．若45AMEF ，求MG AB的值．12．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线233322y x x =-++与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．(1)求直线BC 的解析式；(2)点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点D ，过点P 作x 轴的平行线交BC 于点E ，求3PE PD +的最大值及此时点P 的坐标； (3)如图2，在（2）中3PE PD +取得最大值的条件下，将抛物线233322y x x =-++沿着射线CB 方向平移得到新抛物线y '，且新抛物线y '经过线段BC 的中点F ，新抛物线y '与y 轴交于点M ，点N 为新抛物线y '对称轴上一点，点Q 为坐标平面内一点，若以点P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是以PN 为边的菱形，写出所有符合条件的点Q 的坐标，并写出求解点Q 的坐标的其中一种情况的过程．13．直线33y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线2y x bx c =-++经过B ，C 两点，与x 轴的另一交点为A ，连接AC ，点P 为AC 上方的抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，连接BP ，交线段AC 于点D ，若:5:16PD BD =，求此时点P 的坐标； (3)如图①，连接PC ，过点P 作PE y 轴，交线段AC 于点E ，若PCE 与ABC 相似，求出点P 的横坐标及线段PE 长．14．如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图像交x 轴于点()1,0A -和()5,0B ，交y 轴于点C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图1，点M 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段BC 向点C 运动，点N 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB 向点B 运动，点M ，N 同时出发．设运动时间为t 秒（0<t <5）．当t 为何值时，BMN 的面积最大？最大面积是多少？ (3)求t 为何值时，BMN 是等腰三角形？15．如图1，抛物线 ²2y ax x c =++， 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ．当0y ≥时13x -≤≤．(1)求抛物线的表达式；(2)若点D 是抛物线上第一象限的点．①如图1，连接AD ，交线段BC 于点G ，若12DG AG =时，求D 点的坐标； ①如图2，在①条件下，当点D 靠近抛物线对称轴时，过点D 作DP x ⊥轴，点H 是DP 上一点，连接AH ，求1010AH DH +的最小值； (3)如图3，F 为抛物线顶点，直线EF 垂直于x 轴于点E ，直线AD BD ，分别与抛物线对称轴交于M 、N 两点．试问，EM EN +是否为定值?如果是，请直接写出这个定值：如果不是，请说明理由．参考答案： 1．(1)83b =- 4c =- (2)①2443h m m =-+，①相似，()1,0或23,016⎛⎫ ⎪⎝⎭2．(1)213222y x x =-++ (2)PD 有最大值，最大值为455，此时点P 的坐标为(2,3) (3)不存在3．(1)()()()2,0,6,0,0,3A B C - (2)153,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，PD AD的最大值为916 (3)存在，()3,6-或353,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或353,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或()3,94．(1)213222y x x =-++ (2)当P 在y 轴右侧时，24d m m =-+；当P 在y 轴左侧时24d m m =-(3)存在 931313,2P ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭5．（1）214-433y x x =++ 16(2,)3；（2）44,3⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）存在，m 的值为4或8 6．(1)213222y x x =-++ (2)D 点不在对称轴32x =上 (3)45 ()2,3E7．(1)22y x x =-++(2)ACD 面积的最大值1 ()1,2D(3)1334m +=或1m =． 8．(1)213442y x x =-- (2)524PQ PH -取得最大值49516 97,4P ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)12或0或443-或443+9．(1)()1,0A -，()3,0B 和()0,3C -(2)①2n =±；①点P 的坐标为()6,21，1013,39⎛⎫ ⎪⎝⎭和811,39⎛⎫- ⎪⎝⎭10．(1)()20A -，和()80B ，，对称轴为直线3x =； (2)213442y x x =--； (3)P 点坐标为()46-，或2534⎛⎫- ⎪⎝⎭，．11．(1)()1,0A -，()3,0B 和()1,4M -(2)1,1或()1,6或()1,6-或()1,0 (3)54m12．(1)332y x =-+ (2)3PE PD +的最大任为52，此时()1,3P (3)11173,236Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，21330,22Q ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭和31330,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭13．(1)223y x x =--+(2)点P 的坐标为1(2-，15)4或5(2-，7)4）．(3)P 的横坐标为32-或53-，PE 的长为94或209．14．(1)二次函数的表达式为245y x x =-++(2)当52t =时，BMN 的面积最大，最大面积是258(3)t 的值为53，525-或5215．(1)223y x x =-++(2)①()14，，()23，①10(3)是定值，定值为8。
中考复习：二次函数和相似三角形问题(含答案)
综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题例题 如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。
⑴求抛物线的解析式；（用顶点式．．．求得抛物线的解析式为x x 41y 2+-=） ⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。
分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。
根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
y xEQ PC B OA 例题2：如图，已知抛物线y=ax 2+4ax+t （a ＞0）交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，点B 的坐标为（-1，0）． （1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标；（2）过点C 作x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P ，你能判断四边形ABCP 是什么四边形？并证明你的结论；（3）连接CA 与抛物线的对称轴交于点D ，当∠APD=∠ACP 时，求抛物线的解析式．练习1、已知抛物线2y ax bx c =++经过5330P E ⎫⎪⎪⎝⎭，，，及原点(00)O ，．（1）求抛物线的解析式．（由一般式．．．得抛物线的解析式为225333y x x =-+） （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？练习2、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D处。
中考数学总复习《二次函数与相似三角形综合压轴题》专项提升训练题-附答案
中考数学总复习《二次函数与相似三角形综合压轴题》专项提升训练题-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，抛物线：y=x2+bx+c的图像与x轴交于A和B(−3，0)两点，与y轴交于C(0，−3)，直线y=x+m经过点B，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．(1)求抛物线的解析式和E点坐标；(2)在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△BOD相似，若存在，直接写出点P的坐标：若不存在，试说明理由．2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1,0)、B(2,0)，和点C(0,−4)三点．(1)求抛物线的表达式；(2)P为抛物线第四象限上的一个动点，连接AP交线段BC于点G，如果AG:GP=3，求点P的坐标．3．在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2−4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为(−5,0)．(1)求点C的坐标；(2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值，并求出此时点P的坐标；(3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C．图1备用图(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，D是BC上方抛物线上一点，连接AD交线段BC于点E，若AE=2DE，求点D的坐标；(3)抛物线上是否存在点P使得∠PAB=∠ABC，如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．5．综合与探究如图，二次函数y=ax2+bx+4的图像经过x轴上的点A(6,0)和y轴上的点B，且对称轴．为直线x=72(1)求二次函数的解析式．(2)点E位于抛物线第四象限内的图像上，以OE，AE为边作平行四边形OEAF．当平行四边形OEAF为菱形时，求点F的坐标与菱形OEAF的面积．(3)连接AB，在直线AB上是否存在一点P，使得△AOP与△AOB相似，若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由．x2+bx+c的图象与y轴交于点A(0,8)，6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−14与x轴交于B、C两点，其中点B的坐标是(−8,0)，点P(m,n)为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点D为(0,4)，连接BD．(1)求该二次函数的表达式；(2)依题补图1：连接OP，过点P作PQ⊥x轴于点Q；当△OPQ和△OBD相似时，求m的值；(3)如图2，过点P作直线PQ∥BD，和x轴交点为Q，在点P沿着抛物线从点A到点B运动过程中，当PQ与抛物线只有一个交点时，求点Q的坐标．x2+bx+c图像交x轴于点A，B（A在B的左侧），与y轴交7．如图，二次函数y=−12于点C(0,3)，CD⊥y轴，交抛物线于另一点D，且CD=5，P为抛物线上一点，PE∥y轴，与x轴交于E，与BC，CD分别交于点F，G．(1)求二次函数解析式；(2)当P在CD上方时，是否存在点P，使得以C，P，G为顶点的三角形与△FBE相似，若存在，求出△CPG与△FBE的相似比，若不存在，说明理由．(3)点D关于直线PC的对称点为D′，当点D′落在抛物线的对称轴上时，此时点P的坐标为________．x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B 8．综合与探究：如图，抛物线y=−14的左侧），与y轴交于点C．(1)求点A，B，C的坐标；(2)点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作x轴的垂线l，连接AP交BC于点D．当PD最AD的最大值；大时，求点P的坐标及PDAD(3)在（2）的条件下，在l上是否存在点Q，使△BCQ是直角三角形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9．已知抛物线y=x2+2x−3的图像经过点A(−3，0)，点B(n，0)，且与y轴交于点C．(1)求出点B的坐标；(2)若点P为x轴上方的抛物线上任意一点．①如图1，若点Q为线段BC上一点，连接PQ，PQ交x轴于点M，连接CM，当∠MCQ=45°时，求点M的坐标；①如图2，连接BC、BP，若满足∠ABP=2∠BCO，求此时点P的坐标．10．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点OA=1，tan∠BAO=3将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t①是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，直接写出当△CEF与△COD 相似时，点P的坐标．11．如图，已知二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于点A(−4，0)和点B，与y 轴相交于点C(0，4)．(1)求该二次函数的解析式；(2)点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P．①连接AP，CP，当三角形ACP的面积最大时，求此时点P的坐标；①探究是否存在点P使得以点P，C，Q为顶点的三角形与△ADQ相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．12．已知：如图，顶点为A(1,−1)的抛物线y=ax2+bx+c经过原点O，且与直线y=−x+2交于B,C两点（点C在点B的右边）．(1)求抛物线的解析式；(2)猜想以点A为圆心，以AC为半径的圆与直线BC的位置关系，并加以证明；(3)若点P为x轴上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴与抛物线交于点Q，则是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y=x−2交于B，C两点．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)求证：△ABC是直角三角形；(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，14．如图，在平面直角坐标系中，直线y=12，且经过A、C两点与x轴的另一交点抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=−32为B．(1)①直接写出点B的坐标；①求抛物线的解析式；(2)点E为直线AC上方抛物线上的一动点，过点E作ED⊥x轴于点G，交AC于点D，连接AE、CE、CG，当四边形AGCE面积最大时，求出E点的坐标．(3)抛物线上是否存在点M，过点M作MN⊥x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的△AMN与△ABC相似？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．15．抛物线y=ax2+bx+5经过点A(1,0)和点B(5,0)．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线y=2x+5相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；①连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM 相似？若存在，直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．参考答案： 1．(1)y =x 2+2x −3 E(2，5)(2)(0，5)或(0，7)2．(1)y =2x 2−2x −4(2)P(1,−4)3．(1)(0,5)(2)点P 到直线AC 距离为25√28，此时P (−52,354) (3)点M 的坐标为(−3,8)或(−7,−16)或(3,−16)4．(1)y =−x 2+2x +3(2)点D 的坐标为(1,4)或(2,3)(3)存在，点P 的坐标为(2,3)或(4,−5)5．(1)y =23x 2−143x +4(2)F(3,4)；菱形OEAF 的面积为24(3)存在，点P 坐标为(0,4)或(2413,3613)6．(1)y =−14x 2−x +8(2)m 的值为−4或−1−√33(3)Q (−412,0)7．(1)y =−12x 2+52x +3；(2)存在点P ，使得以C ，P ，G 为顶点的三角形与△FBE 相似，△CPG 与△FBE 的相似比为2或25；(3)P 点横坐标5+2√33或5−2√33．8．(1)A (−2,0),B (6,0),C (0,3)(2)P (3,154)，PD AD 的最大值为916(3)存在，(3,−6)或(3,3+√52)或(3,3−√52)或(3,9)9．(1)B(1，0)(2)①M (−32,0)；①P (−154,5716)10．(1)y =−x 2−2x +3(2)①存在，最大值为12124，①P (−1,4)或(−2,3)11．(1)解析式为y =−x 2−3x +4(2)①P(−2,6)；①存在，P(−3,4)或P(−2,6)12．(1)y =x 2−2x ；(2)相切(3)存在满足条件的点P ，坐标为(53，0)或(73，0)或(−1,0)或(5,0)．13．(1)y =−x 2+2x ；C(−1，−3)(2)存在，N 点，其坐标为(53，0)或(73,0)或(−1，0)或(5，0)14．(1)①B 的坐标为(1，0)；① y =−12x 2−32x +2(2)E (−32，258) (3)存在，点M 的坐标为(0，2)或(−3，2)或(2，−3)或(5，−18)15．(1)y =x 2−6x +5(2)(32,−74)或(3,−4)。
初三中考数学专题复习：二次函数综合题(相似三角形问题)含答案
中考数学专题复习：二次函数综合题（相似三角形问题）1．如图①，二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 是抛物线上一动点．(1)求二次函数的表达式．(2)当点P 不与点A 、B 重合时，作直线AP ，交直线BC 于点Q ，若①ABQ 的面积是①BPQ 面积的4倍，求点P 的横坐标．(3)如图①，当点P 在第一象限时，连接AP ，交线段BC 于点M ，以AM 为斜边向①ABM 外作等腰直角三角形AMN ，连接BN ，①ABN 的面积是否变化？如果不变，请求出①ABN 的面积；如果变化，请说明理由．2．如图，二次函数2314y x bx =++的图像经过点()8,3A ，交x 轴于点B ，C （点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点D ．(1)填空：b = ______；(2)点P 是第一象限内抛物线上一点，直线PO 交直线CD 于点Q ，过点P 作x 轴的垂线交直线CD 于点T ，若PQ QT =，求点P 的坐标；(3)在x 轴的正半轴上找一点E ，过点E 作AE 的垂线EF 交y 轴于F ，若AEF 与EFO △相似，求OE 的长．3．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴的交点()0,6C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点(),P m n 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设PBC 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式(指出自变量m 的取值范围)和S 的最大值；(3)点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点M 、点N 使得①CMN ＝90°，且∆CMN 与OBC ∆相似，如果存在，请求出点M 和点N 的坐标．4．如图，抛物线L 1：y ＝ax 2﹣2x ＋c （a ≠0）与x 轴交于A 、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），抛物线的顶点为D ．抛物线L 2与L 1关于x 轴对称．(1)求抛物线L 1与L 2的函数表达式；(2)已知点E 是抛物线L 2的顶点，点M 是抛物线L 2上的动点，且位于其对称轴的右侧，过M 向其对称轴作垂线交对称轴于P ，是否存在这样的点M ，使得以P 、M 、E 为顶点的三角形与△BCD 相似，若存在请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知直线4y x =+与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点C ，抛物线21y x kx k =++-的图象经过点A 和点C ，与x 轴的另一个交点是点B ．(1)求出此抛物线的解析式； (2)求出点B 的坐标；(3)若在y 轴的负半轴上存在点D ．能使得以A ，C ，D 为顶点的三角形与①ABC 相似，请求出点D 的坐标．6．如图1，已知抛物线23y ax bx =++经过点()1,5D ，且交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，已知点()1,0A -，(),P m n 是抛物线在第一象限内的一个动点，PQ BC ⊥于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)当PQ =m 的值；(3)是否存在点P ，使BPQ 与BOC 相似？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c的对称轴是x＝－32且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；(2)点P为线段AB上的动点，求AP＋2PC的最小值；(3)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与①ABC 相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于A(−1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点为点D，抛物线的对称轴与BC相交于点E，与x轴相交于点F．(1)求抛物线的函数关系式；(2)连结DA，求sin A的值；(3)若点H线段BC上，BOC与BFH△相似，请直接写出点H的坐标．9．如图，抛物线y＝1-2x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ，PC ，当S △PBC ＝720S △ABC 时，求点P 的坐标； (3)点N 是对称轴l 右侧抛物线上的动点，在射线ED 上是否存在点M ，使得以点M ，N ，E 为顶点的三角形与①OBC 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于1,0A 、()3,0B -两点，与y 轴交于点C ，设抛物线的顶点为D ．(1)求该抛物线的表达式与顶点D 的坐标； (2)试判断BCD △的形状，并说明理由；(3)探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与BCD △相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ≠0）与x 轴交于点A ，B ．与y 轴交于点C ．连接AC ，BC ．已知ABC 的面积为2．(1)求抛物线的解析式；(2)平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于P ，Q 两点．过P ，Q 向x 轴作垂线，垂足分别为G ，H ．若四边形PGHQ 为正方形，求正方形的边长；(3)抛物线上是否存在一点N ，使得①BCN ＝①CAB ﹣①CBA ，若存在，请求出满足条件N 点的横坐标，若不存在请说明理由．12．如图，二次函数2y x bx c =-++的图像与x 轴交于点A （－1，0），B （2，0），与y 轴相交于点C ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若点M 在此抛物线上，且在y 轴的右侧．①M 与y 轴相切，过点M 作MD ①y 轴，垂足为点D ．以C ，D ，M 为顶点的三角形与①AOC 相似，求点M 的坐标及①M 的半径长．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2()0y ax bx c ac =++≠与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．若线段OA OB OC 、、的长满足2OC OA OB =⋅，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线22(0)y ax bx a =++≠为“黄金”抛物线，其与x 轴交点为A ，B （其中B 在A 的右侧），与y 轴交于点C ．且4OA OB =(1)求抛物线的解析式；(2)若P 为AC 上方抛物线上的动点，过点P 作PD AC ⊥，垂足为D ． ①求PD 的最大值；①连接PC ，当PCD 与ACO △相似时，求点P 的坐标．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 、B 两点，其中1,0A ，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，过点B 作x 轴垂线，在该垂线上取点P ，使得①PBC 与①ABC 相似，请求出点P 坐标；(3)如图2，在线段OB 上取一点M ，连接CM ，请求出12CM BM +最小值．15．如图，抛物线y ＝ax 2+k （a ＞0，k ＜0）与x 轴交于A ，B 两点（点B 在点A 的右侧），其顶点为C ，点P 为线段OC 上一点，且PC ＝14OC ．过点P 作DE ①AB ，分别交抛物线于D ，E 两点（点E 在点D 的右侧），连接OD ，DC ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标；（用含a ，k 的式子表示） (2)猜想线段DE 与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)若①ODC ＝90°，k ＝﹣4，求a 的值．16．如图，抛物线223y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，连接AC ，已知B (﹣1，0)，且抛物线经过点D (2，﹣2)．(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 是抛物线上第四象限内的一点，且2ABES=，求点E 的坐标；(3)若点P 是y 轴上一点，以P ，A ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P 点的坐标．17．如图，在直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）和B （4，0），与y 轴交于点C ，点P 是抛物线上的动点（不与点A ，B ，C 重合）．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在第一象限时，设①ACP 的面积为S 1，①ABP 的面积为S 2，当S 1＝S 2时，求点P 的坐标； (3)过点O 作直线l ①BC ，点Q 是直线l 上的动点，当BQ ①PQ ，且①BPQ ＝①CAB 时，请直接写出点P 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋3与两坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2＋bx＋c 过点A和点B，并与x轴交于另一点C，顶点为D．点E在对称轴右侧的抛物线上．(1)求抛物线的函数表达式和顶点D的坐标；(2)若点F在抛物线的对称轴上，且EF①x轴，若以点D，E，F为顶点的三角形与①ABD相似，求出此时点E的坐标；(3)若点P为坐标平面内一动点，满足tan①APB＝3，请直接写出①P AB面积最大时点P的坐标及该三角形面积的最大值．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OC＝2OB＝6OA＝6，点P是第一象限内抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC与OP，交于点D，当S△PCD：S△ODC的值最大时，求点P的坐标；(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N．使①CMN＝90°，且①CMN与①BOC 相似，若存在，请求出点M、点N的坐标．20．如图，抛物线y＝x2＋bx＋12（b＜0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），且OB＝3OA．(1)请直接写出b＝，A点的坐标是，B点的坐标是；(2)如图（1），D点从原点出发，向y轴正方向运动，速度为2个单位长度/秒，直线BD交抛物线于点E，若BE＝5DE，求D点运动时间；(3)如图（2），F点是抛物线顶点，过点F作x轴平行线MN，点C是对称轴右侧的抛物线上的一定点，P 点在直线MN上运动．若恰好存在3个P点使得①P AC为直角三角形，请求出C点坐标，并直接写出P点的坐标．答案1．(1)y ＝﹣x 2+2x +3．(2)P 352或 (3)①ABN 的面积不变，为4．2．(1)2-(2)5⎛ ⎝⎭或5⎛ ⎝⎭(3)4或493．(1)2246y x x =-++(2)S 关于m 的函数表达式为239(03)S m m m =-+<<，S 的最大值是274 (3)存在，M （1，8），N （0，172）或M （74，558），N （0，838）或M （94，398），N （0，38）或M （3，0），N （0，﹣32）4．(1)抛物线L 1：223y x x =--，抛物线L 2：2y x 2x 3=-++；(2)435(,)39M 或(4,5)M -．5．(1)254y x x =++(2)点B 的坐标为（－1，0）(3)点D 的坐标是（0，－203） 6．(1)215322y x x =-++ (2)1或5(3)存在；P （53，529）7．(1)抛物线表达式为：213222y x x =--+；(2)AP +2PC 的最小值是4；(3)存在M(0,2)或(-3,2)或(2,-3)或(5,-18)，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与ABC 相似．8．(1)y =-x 2+2x +3(3)点H 的坐标为(1，2)或(2，1)9．(1)21382y x x =++ (2)P 1（1，10.5），P 2（7，4.5）(3)存在，（3，8）或(3,5或（3，11）30．(1)y ＝﹣x 2﹣2x +3，（﹣1，4）；(2)直角三角形，理由见解析；(3)存在，（0，0）或（0，﹣13）或（－9，0）11．(1)y ＝﹣13x 2+23x +1(2)﹣6﹣(3)存在，5或11712．(1)22y x x =-++； (2)M 的坐标为（12，94），（32， 54 ），（3，-4），①M 的半径长为12或32或313．(1)213222y x x =--+(2)①PD ①P 坐标为(3,2)-或325()28，-14．(1)243y x x =-+(2)P 点坐标为()3,9或()3,215．(1)点A 、B 、C 的坐标分别为(、、(0，k ) (2)DE ＝12AB(3)a ＝1316．(1)224233y x x =--(2)E ，-1)(3)P 点的坐标(0，2)或(02)或(0，﹣2或(0，54)17．(1)213222y x x =-++ (2)点P 的坐标为（103，139）(3)点P 的坐标为（32，﹣2）或（32，﹣2）或（173，﹣509）18．(1)y ＝x 2﹣4x +3，（2，﹣1）(2)（5，8）或（73，89-）(3)①P AB ，此时P ）19．(1)y ＝﹣2x 2+4x +6 (2)点P 的坐标为（32，152） (3)存在，M 、N 的坐标分别为（3，0）、（0，﹣32）或（94，398）、（0，38）或（1，8）、（0，172）或（74，558）、（0，838）20．(1)﹣8，（2，0），（6，0）(2)3秒或212秒 (3)C 点坐标为（143，﹣329），P 点的坐标为（103，﹣4）或（﹣103，﹣4）或（11027，﹣4）。
2023年九年级中考数学专题复习：二次函数综合压轴题训练(相似三角形问题)(含答案)
②以点 为顶点的三角形与 相似，请直接写出符合要求的点 的坐标．
2．如图，抛物线 经过点 ，且交 轴于点 ，点 是 轴正半轴上的动点， 交抛物线于点 ， 轴交线段 的延长线于点 ，作直线， 交 轴于点 ，交 轴于点
(1)求抛物线的解析式．
(3)如图3，在（2）的条件下，作 轴，点F在直线 下方的第一象限内，连接 、 ，若四边形 的面积为8，且 ，求P点的坐标．
4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴的负半轴交于点A，与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C．
(1)求点B的坐标；
(2)如图1，点P在第三象限的抛物线上，横坐标为m，BP交y轴于点D， 时，求a的值；
(3)在（2）的条件下， 的外接圆半径等于．（直接写答案）
11．如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴的正、负半轴分别交于点B、A，与y轴交于点C，已知 ， ， ．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)设该抛物线的对称轴分别与x轴、 交于点E、F，求 的长；
(3)在（2）的条件下，联结 ，如果点P在该抛物线的对称轴上，当 和 相似时，求点P的坐标
7．如图1，直线 与x轴、y轴分别交于 、 两点，经过 、 两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为 .
(1)求 、 两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式；
(2)P在线段 上的一个动点（与 、 不重合），过点P作直线 轴，交抛物线于点E，交x轴于点F，设点P的横坐标为m.
若点P的横坐标为m，请用m表示线段 的长度并写出m的取值范围；
16．如图1，平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于 ， 两点（ 点在 点的右边），交 轴于点 ．点 是线段 上一个动点，过点 作 轴的垂线，交抛物线于点E．
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专题14 巧解二次函数与相似三角形综合题【知识解读】点在二次函数图象上的运动，既能改变图形中线段与角的数量关系，还能改变图形的形状与位置，从而生成特殊三角形，特殊四边形，相似三角形，二次函数与相似三角形的结合是数形结合的重要表现形式，是各地中考十分常见的压轴方式．根据相似三角形的性质确定动点的位置是主要题型，把相似三角形的性质与点的坐标有机结合，点在运动过程中对不同的对应关系而进行讨论，是解这类题的关键．培优学案【典例示范】例1如图14－1，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AB ＝DC ，BC 在x 轴上，点A 在y 轴的正半轴上，点A ，D 的坐标分别为A （0，2），D （2，2），AB ＝22，连接A C ．（1）求出直线AC 的函数解析式；（2）求过点A ，C ，D 的抛物线的函数解析式；（3）在抛物线上有一点P （m ，n ）（n ＜0），过点P 作PM 垂直于x 轴，垂足为M ，连接BPC ，使以点C ，P ，M 为顶点的三角形与Rt △AOC 相似，求出点P 的坐标．【提示】（1）由A 的坐标可以求得QA 的长，而AB 长已知，根据勾股定理可以求出OB 的长，则B 点的坐标可以知道．根据等腰梯形的轴对称性可得C 点坐标，然后把A 、C 坐标代入可以求出一次函数的解析式；（2）点A 、C 、D 的坐标都可以求得，根据待定系数法求值即可；（3）因为B （－2，0），C 点坐标为（4，0），所以需要分m ＞4，m ＜－2两种情况，另外由于边的不确定性，在相似时也应该分情况讨论．所以通过相似求值后需要验证所求得的值是否符合实际情况．值得注意的是：问题呈现形式“以点C ，P ，M 为顶点的三角形与Rt △AOC 相似”与“Rt △CMP ∽Rt △AOC ”是有很大区别的，后者有严格的对应关系，而前者则没有明确对应关系，往往需要对不同的xy图141CD OBA【解答】跟踪训练如图，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y=ax 2+bx （a >0）经过点A 和x 轴正半轴上的点AO=BO=2，∠AOB =120°． （1）求这条抛物线的表达式； （2）连接OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标． 【提示】1．第（2）题把求∠AOM 的大小，转化为求∠BOM 的大小．2．因为∠BOM =∠ABO =30°，因此点C 在点B 的右侧时，恰好有∠ABC =∠AOM ．3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC 与△AOM 相似．【解答】例2 已知，经过点A （一4，4）的抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴相交于点B （-3，0）及原点O ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为H ，平行于y 轴的直线交线段AO 于点Q ，交抛物线于点P ，当四边形AHPQ 为平行四边形时，求∠AOP 的度数；yxMB OA（3）如图2，若点C 在抛物线上，且∠CAO =∠BAO ，试探究：在（2）的条件下，是否存在点G ，使得△GOP ∽△COA ？若存在，请求出所有满足条件的点G 坐标；若不存在，请说明理由．【提示】对于（3），P （-2，-2），A （-4，4）隐含了什么关系？条件∠CAO =∠BAO 怎样运用？如何将△GOP ∽△COA 转化为相似三角形的基本图形？点G 的位置能否大致确定？这是解决问题的关键.应综合利用几何变换和相似关系求解．方法一：翻折变换，将△AOC 沿x 轴翻折；方法二：旋转变换，将△AOC 绕原点顺时针旋转90°．特别注意求出P 点坐标之后，该点关于直线y=x 的对称点也满足题意，即满足题意的P 点有两个，避免漏解．通过几何变换，构造基本相似形，化一般为特殊，使得点G 得以定位，提高解题的境界． 【解答】如图1，平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+4经过点D （2，4），且与x 轴交于A （3，0），B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC 、CD 、BC ． （1）直接写出该抛物线的解析式；图 1 图 2CABOyxx yH QPOBA（2）如图2，点P 是所求抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线l ，l 交x 轴于点E ，交直线AC 于点M ．设点P 的横坐标为m ．①当0<m ≤2时，过点M 作MG ∥BC ，MG 交x 轴于点G ，连接GC ，则m 为何值时，△GMC 的面积取得最大值？并求出这个最大值；②当-1<m ≤2时，试探求：是否存在实数m ，使得以P 、C 、M 为顶点的三角形和△AEM 相似？若存在，求出相应m 的值；若不存在，请说明理由．【提示】（1）将D （2，4）、A （3，0）代入y=ax 2+bx+4，得关于a 、b 的方程组，解方程组即可；（2）求出直线AC 的解析式为y=43-x+4，用m 的代数式表示出P 点、E 点、M 点的坐标，证△COB ∽△MEG 得OB GE OC ME =,求出GE =13-m +1，所以AG =OA -OG =3-（43m -1）=43-m +4，最后将各代数式代入S △GMC =S △CGA -S △MGA =12OC ·AG -12ME ·AG ，得S △GMC 关于m 的二次函数，配方求最值；（3）先得∠AME =∠PMC ，然后相似只需分两种情况讨论． 【解答】例3 如图，抛物线y=-x 2+2x +3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，顶点为点D ，抛物线的对称轴DF 与BC 相交于点E ，与x 轴相交于点F ． （1）求线段DE 的长；（2）设过点E 的直线与抛物线相交于点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），试判断|x 1-x 2|的值最小时，直线MN 与x 轴的位置关系，并说明理由．图 1 图 2O yxl PMEGDCB A yxO DCB A（3）设点P 为x 轴上一点，∠DAO +∠DPO =∠α，当tanα=4时，求点P 的坐标．【提示】（1）令二次函数值为零或是x 为零可求出抛物线与坐标轴的交点，并求出直线BC 的解析式，进而求出ED 的长度；（2）要用一元二次方程根与系数的关系求抛物线上两点之间的距离；（3）巧妙的做法是利用直角△DOF 中，tan ∠DOF =4来构造相似三角形，从而使问题得以解决． 【解答】跟踪训练如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y=-x +4与x 轴交于点A ，过点A 的抛物线y=ax 2+bx 与直线y =-x +4交于另一个点B ，且点B 的横坐标为1． （1）求a 、b 的值；yxF ECDB O A（2）点P 是线段AB 上一个动点（点P 不与点A 、B 重合），过点P 作PM //OB 交第一象限内的抛物线于点M ，过点M 作MC ⊥x 轴于点C ，交AB 于点N ，过点P 作PF ⊥MC 于点F ．设PF 的长为t ，MN 的长为d ，求d 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当S △ACN =S △PMN 时，连接ON ，点Q 在线段BP 上，过点Q 作QR //MN 交ON 于点R ，连接MQ 、BR ，当∠MQR -∠BRN =45°时，求点R 的坐标．【提示】（1）先求A 、B 两点坐标，将其代入抛物线的解析式，联立成关于a 、b 的二元一次方程组，解之即可得到a 、b 的值．（2）作BD ⊥x 轴于点D ，延长MP 交x 轴于点E ．由A （4，0）、B （1，3），得OD =1，BD =3，OA =4，AD=BD=3，再根据等腰直角三角形及对顶角，知NF=PF=t ．再根据相似三角形的判定，得△MPF ∽△BOD ，3MF BDPF OD==，从而MF=3t ，最后由MN=MF+FN ，得到d =4t ． （3）解决本题应按四步走：①根据S △ACN =S △PMN ，探究AC 与t 的数量关系为AC =2t ，从而OC =4-2t ，MC =6t ，求出M （4-2t ，6t ）；②将M （4-2t ，6t ）的坐标代入抛物线y =-x 2+4x ，得到关于t 的一元二次方程，解得t =12，从而PF=FN=12，AC=CN =1，OC =3，MF =32，PN =22，PM =102，AN =2，BN =22RH=n ，由tan ∠HNR =tan ∠NOC 得13RH CN HN OC ==，从而HN=3n ，再通过∠MQR -∠BRN =45°，及等腰三角形的判定及性质、平行线的性质证明△PMQ ∽△NBR ；④由相似形性质得到PQ PMRN BN=，从而得到n 的值． 【解答】 A BO xyyx FP NMOC BA4 如图，已知抛物线y =14x 2-14（b +1）x +4b（b 是实数且b >2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．1）点B 的坐标为 ，点C 的坐标为 （用含b 的代数式表示）；2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．【提示】对于（2），先假设存在这样的点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形，暗示了点P 到两坐标轴的距离相等。
设点P 的坐标为（x ，y ），连接OP ，过P 作x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，利用已知条件证明△PEC ≌△PDB ，进而求出x 和y 的值，从而P 的坐标；对于（3），要探究三个三角形两两相似，第一直觉是这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能是在经过点A 与x 轴垂直的直线上．假设存在这样的点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似，由条件可知：要使△QOA 与△QAB 相似，只能∠QAO =∠BAQ =90°，即QA ⊥x 轴；要使△QOA 与△OQC 相似，只能∠QCO =90°或∠OQC =90°，再分别讨论求出满足题意的Q 的坐标即可． 【解答】 yxPC BAO跟踪训练如图，直线y=kx+b （b >0）与抛物线y =218x 相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，与x 轴正半轴相交于点D ，与y 轴相交于点C ．设△OCD 的面积为S ，且kS +32=0． （1）求b 的值；（2）求证：点（y 1，y 2）在反比例函数y=64x的图象上； （3）求证：x 1·OB +y 2·OA =0．【提示】（1）把△OCD 的面积S 用含k 、b 的代数式表示； （2）寻找y 1与x 1，y 2与x 2的关系，然后证明y 1y 2=64；（3）分别过点A 和点B 作AE ⊥x 轴，BF ⊥x 轴，垂足分别为E 、F ，证明△AEO ∽△OFB ． 【解答】例5 （全国初中数学竞赛）如图14-9，点A 为y 轴正半轴上一点，A ，B 两点关于x 轴对称，过点A 任作直线l 交抛物线22x y于P ，Q 两点. yxO D CBA（1）求证：∠ABP=∠ABQ；（2）若点A 的坐标为（0，1），且∠PBQ=60°，试求所有满足条件的直线 PQ 的函数解析式. 【提示】（1）分别过点P ，Q 作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D.证明△BCP∽△BDQ，得∠ABP=∠ABQ； （2）通过△ACP∽△ADQ，得到点Q 的坐标，即可求出直线PQ 的解析式。