不动点迭代法笔笔记
不动点迭代法原理
不动点迭代法原理一、引言不动点迭代法是一种常用的数值计算方法，用于求解函数的根或近似解。
它的原理简单而有效，被广泛应用于多个领域，如数学、物理、经济学等。
本文将详细介绍不动点迭代法的原理及其应用。
二、原理概述不动点迭代法的核心思想是将问题转化为寻找一个不动点的过程。
不动点即指一个函数与其自身的值相等的点，即f(x)=x。
如果我们能找到这样一个点，那么它就是原函数的根或近似解。
三、算法步骤不动点迭代法的算法步骤如下：1. 选择一个适当的初始值x0。
2. 根据迭代公式xn+1 = g(xn)，计算下一个近似解。
3. 如果满足停止准则，即|xn+1 - xn| < ε，其中ε为预设的精度要求，则停止迭代，输出xn+1作为近似解。
4. 否则，将xn+1作为新的近似解，返回第2步继续迭代。
四、收敛性分析在使用不动点迭代法时，我们需要关注其收敛性。
若迭代过程收敛于不动点，即|xn+1 - xn|趋近于0，那么该方法是可行的。
一般来说，需要满足以下两个条件：1. 函数g(x)在待求解区间上连续。
2. 在待求解区间上，g(x)的导数的绝对值小于1，即|g'(x)| < 1。
五、实例应用1. 方程求解考虑求解方程f(x) = 0的根。
我们可以将其转化为求解f(x) = x 的不动点问题。
选择一个合适的g(x)，通过不动点迭代法求解出近似解。
2. 经济学模型在经济学中，不动点迭代法被广泛用于求解均衡状态。
例如，在价格调整模型中，我们可以通过不动点迭代法求解出市场均衡价格。
3. 数值计算在数值计算中，不动点迭代法常用于求解线性方程组、矩阵特征值等问题。
通过将问题转化为不动点问题，可以利用迭代法求解出近似解。
六、优缺点分析不动点迭代法有以下优点：1. 原理简单，易于理解和实现。
2. 在一定条件下，具有较好的收敛性。
3. 可以应用于多个领域，具有广泛的适用性。
然而，不动点迭代法也存在一些缺点：1. 收敛速度较慢，可能需要进行多次迭代才能达到预设的精度要求。
不动点迭代总结
非线性算子不动点理论是非线性泛函分析的重要组成部分，利用迭代算法逼近非线性算子不动点的越来越广泛。
从具体的空间（如pL 空间或pl 空间）到抽象空间（如Hilbert 空间，Banach 空间，赋范线性空间）；从单值映象到集值映象；从一般意义的映象（如非扩张映象，严格伪压缩映象；强伪压缩映象等）到渐进意义的映象（如渐进非扩张映象，渐进伪压缩映象，k-强渐进伪压缩映象等）；从迭代序列的构造（如Mann 与Ishikawa 迭代序列，具误差（或混合误差）Mann 与Ishikawa 迭代序列， Halpern 迭代序列等）到迭代序列的强（弱）收敛性，稳定性。
可以说成果丰富。
迭代序列构成了非线性算子不动点理论中的重要问题。
在不动点理论方面，从20世纪初著名的Banach 压缩映射原理和Browder 不动点定理问世以来，特别是近30年来，由于实际需要的推动和数学工作者的不断努力，这门科学的理论及应用的研究已经取得重要的进展，并且日趋完善。
下面我们主要介绍一些近几年来不动点的迭代格式： 首先，我们先看下一算子的发展一 算子1 T 称为非扩张的，如果Tx Ty x y -≤- ，,x y C ∀∈。
2 T 称为压缩的，如果存在(0,1)α∈，使得,,Tx Ty x y x y C α-≤-∀∈:()T D T E →3 T 称为渐进非扩张的，如果存在一序列{}[0,)n k ∈∞，lim 1n n k →∞=，使得 ,,(),1n n n T x T y k x y x y D T n -≤-∈≥4 T 称为渐进伪压缩的，如果存在一序列{}[0,),lim 1n n n k k →∞∈∞=，，对任意给定的,()x y D T ∈存在()()j x y J x y -∈-，使得2,(),1n n n T x T y j x y k x y n <-->≤-∀≥5 T 称为严格渐进伪压缩的，如果存在一序列{}[0,),lim (0,1)n n n k k k →∞∈∞=∈，，对任意给定的,()x y D T ∈存在()()j x y J x y -∈-，使得2,(),1n n n T x T y j x y k x y n <-->≤-∀≥如果1,1,n k n T =∀≥ 称为伪压缩的。
非线性方程求跟—不动点迭代法(新)
非线性方程求根——不动点迭代法一、迭代法的基本思想迭代法是一种逐次逼近的方法，用某个固定公式反复校正根的近似值，使之逐步精确化，最后得到满足精度要求的结果。
例：求方程x 3-x -1=0 在x =1.5 附近的一个根。
解：将所给方程改写成31x x =+假设初值x 0=1.5是其根，代入得33101 1.51 1.35721x x =+=+=x 1≠x 0，再将x 1代入得33211 1.357211 1.33086x x =+=+=x 2≠x 1，再将x 2代入得33321 1.330861 1.32588x x =+=+=如此继续下去，结果如下：k x kk x k 01234 1.51.357211.330861.325881.324945678 1.324761.324731.324721.32472仅取六位数字，x 7与x 8相同，即认为x 8是方程的根。
x *≈x 8=1.32472这种逐步校正的过程称为迭代过程。
这里用的公式称为迭代公式，即311k k x x +=+k =0,1,2,……若x *满足f (x*)=0，称x *为ϕ(x )的一个不动点。
将连续函数方程f (x )＝0改写为等价形式：x=ϕ(x )，其中ϕ(x )也是连续函数。
1()k k x x ϕ+=(k =0,1,……)不动点迭代法就是指以迭代格式二、不动点迭代法进行迭代求解的方法。
其中ϕ(x )称为迭代函数。
三、不动点迭代法的实现——MATLAB程序function[root,n]=stablepoint_solver(phai,x0,tol) if(nargin==2)tol=1.0e-5;enderr=1;root=x0;n=0;while(err>tol)n=n+1; %迭代次数r1=root;root=feval(phai,r1); %计算函数值err=abs(root-r1);end程序应用示例：function testmain% x^3-x-1=0% =>x^3=1+x% =>x=(1+x)^(1/3)ph=inline(‘(1+x)^(1/3)’,’x’);[root,n]=stablepoint_solver(ph,1)运行结果：root=1.3247n=8若对任意x 0∈[a , b ]，由不动点迭代格式lim *k k x x →∞=则称迭代过程收敛，且x *=ϕ(x *)即f (x*)=0，x *为不动点。
不动点迭代 复数
不动点迭代复数不动点迭代法可以用于求解复数方程的近似解。
基本思想是将方程的解等价变换为某个函数的不动点。
具体来说，给定一个复数方程f(z)=0，我们可以将其等价变换为z=φ(z)，其中φ是f的根等价变换为的不动点。
从某个初值z0出发，我们可以计算z1=φ(z0)，z2=φ(z1)，…，zk+1=φ(zk)，…。
如果{zk}(k=0~∞)收敛，即存在某个复数z*，使得lim(k->∞)zk=z*，并且φ连续，那么由lim(k->∞)zk+1=lim(k->∞)φ(zk)可以知道z*=φ(z*)，即z*是φ的不动点，也就是f的根。
在具体实现上，可以采用不同的迭代格式进行求解。
例如，可以使用符号计算软件（如MATLAB）来实现不动点迭代法求解复数方程。
首先将方程转化为字符串形式输入，然后将字符串转化为函数形式，设定初值、迭代范围和精度等参数，然后进行迭代计算，直到满足精度要求或者达到最大迭代次数为止。
需要注意的是，不动点迭代法不一定总是收敛于方程的解，因此在进行迭代计算时需要检查收敛情况。
如果不收敛，需要重新选择初值或者采用其他方法进行求解。
不动点迭代法是一种求解方程近似解的方法，其优点和缺点如下：优点：算法简单，易于实现。
对于某些问题，不动点迭代法可以快速收敛到精确解。
可以通过选择合适的迭代函数来改善收敛速度。
缺点：不动点迭代法的收敛性取决于迭代函数的选择，如果选择不当，可能导致迭代不收敛或者收敛速度极慢。
对于某些问题，不动点迭代法可能无法找到解，或者找到的解不是唯一解。
不动点迭代法对于初值的选择比较敏感，不同的初值可能导致不同的收敛结果。
在实际应用中，不动点迭代法可能受到计算精度、舍入误差等因素的影响，导致结果不准确。
因此，在使用不动点迭代法时，需要仔细选择迭代函数和初值，并注意算法的收敛性和稳定性。
同时，可以结合其他方法（如牛顿迭代法、二分法等）来提高求解精度和效率。
不动点迭代法及其收敛定理
收敛速度取决于迭代函数在不动点附近的性质，如导数的大 小和符号等。
不动点迭代法的收敛定理
存在唯一不动点的定理
如果迭代函数在某个区间上单 调，那么该区间上存在唯一的
不动点。
收敛定理
对于任意初值$x_0$，迭代序 列$x_{n+1}=f(x_n)$会收敛到
不动点，当且仅当存在常数 $k$使得$|f'(x)| leq k < 1$在 包含不动点的某个区间上成立。
算法的改进和优化
改进现有不动点迭代法
研究现有方法的不足之处，并提出改进方案 ，以提高收敛速度和稳定性。
开发新的不动点迭代法
基于新的数学原理和方法，开发新的不动点迭代法 ，以解决现有方法无法解决的问题。
实现不动点迭代法的并行 化和分布式化
研究如何利用并行计算和分布式计算技术， 提高不动点迭代法的计算效率和可扩展性。
这种方法是将求解区域划分为粗细不 同的网格，并在每个网格上应用不动 点迭代法，以加速收敛。
改进迭代格式
修正不动点迭代法
通过引入修正项，改进不动点迭 代法的格式，以提高收敛速度和 稳定性。
广义极小残量法
这种方法是在不动点迭代法的基 础上，引入残量概念，并构造出 新的迭代格式，以提高求解非线 性方程组的精度和稳定性。
松弛法
粗细网格结合法
通过选择适当的迭代矩阵，可以加速 不动点迭代法的收敛速度。常用的加 速迭代法包括预条件迭代法和共轭梯 度法等。
松弛法是一种通过引入松弛因子来调整迭代矩 阵的方法，以加快收敛速度。常用的松弛法包 括SOR（Successive Over-Relaxation）方法 和SSOR（Symmetric Successive OverRelaxation）方法等。Part05不动点迭代法的未来研究方向
6[1]2_不动点迭代法及其收敛定理(精)
![6[1]2_不动点迭代法及其收敛定理(精)](https://img.taocdn.com/s3/m/52750928a32d7375a4178076.png)
xk 1 xk L xk xk 1
xk 1 x * L xk x *
L xk 1 x * ( xk 1 xk )
L xk 1 x * L ( xk 1 xk )
xk 1 L x* xk 1 xk 1 L
L xk x * xk xk 1 1 L 2 L xk 1 xk 2 1 L
第6章 方程与方程组的迭代解法
§ 6.2 不动点迭代法及其收敛定理
一、迭代法原理
将非线性方程 f (x) = 0 化为一个同解方程
x ( x)
并且假设 ( x)为连续函数
--------(2)
任取一个初值 x0 , 代入(2)的右端, 得 x1 ( x0 ) 继续 x2 ( x1 )
例2. 用迭代法求方程的近似解,精确到小数
点后6位
解:
e 10x 2 0 x 由于e 0,
x
则2 10x 0
x 0 .2
x 0时,
0 e 1,
x
2 10 x 2
3 2
显然迭代法发散 (2) 如果将原方程化为等价方程
x1 2
仍取初值
x0 0
x1 3
x2
3
x1 1 3 1.7937 0.9644 2 2
x0 1 3 1 2 2
0.7937
同样的方程 不同的迭代格式 有不同的结果
依此类推,得 x2 = 0.9644 x3 = 0.9940 x4 = 0.9990 x5 = 0.9998 x6 = 1.0000 x7 = 1.0000 已经收敛,故原方程的解为
x1
x3 x * x2
§2 不动点迭代
(2.7)
则称该迭代法为Q-超线性收敛．
现在来讨论迭代法(2.5)的收敛性和收敛速度问题． 若存在 x* R n ,使得
x* ( x* ),
n n 则称 x* 为映射 : R R 的一个不动点.例如, : R R 定义为 ( x) x 2 ,
f ( x) 0,
其中
(2.2)
x1 f1 ( x1 , , xn ) 0, f1 ( x) 0, x f ( x , , x ) 0, f ( x) 0, 2 n 2 . x , f ( x) 2 1 x f ( x , , x ) 0 f ( x ) 0 n n n 1 n
0,
从而有
f ( x0 x) f ( x0 ) f ' ( x0 )(x).
* * 设 x 是非线性方程组 f ( x) 0 的一个解,x0 是 x* 的一个近似.令x x x0 ,
则
f ( x0 ) f ' ( x0 )(x* x0 ) 0.
现考虑线性方程组
由于 0 C 1 ,因此 再据不等式
lim xk x* .
k
xk 1 x * C xk x * ,0 C 1,
知,迭代序列 {xk }至少为线性收敛.
关于不动点的存在唯一性以及误差估计,我们有下面的定理． 定理2( 压缩映射原理 ) 射,即它满足条件： 设D为 R n 中的一个闭集 : D D 为压缩映
还有另一个不动点 y* ,则据(2.13)式,必有
x* y * ( x* ) ( y * ) C x* y * .
一元方程的不动点迭代法
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神经网络训练
在神经网络训练中，不动点迭代法可以用于优化神经网络的权重和偏置参数， 提高网络的性能。
04 一元方程不动点迭代法的 改进
加速收敛的方法
预处理技术
通过预处理迭代矩阵，使其接近于单位矩阵，从而加 快收敛速度。
松弛方法
引入松弛参数，使迭代过程更加稳定，加快收敛速度。
混合迭代法
结合多种迭代方法，利用各自的优势，提高收敛速度。
目前对于不动点迭代法的收敛性分析 主要基于局部收敛性，对于全局收敛 性的研究相对较少。因此，需要加强 不动点迭代法的全局收敛性分析，以 提高该方法在求解一元方程时的稳定 性和可靠性。
不动点迭代法在求解一元方程时需要 选择合适的初值和迭代参数，这些参 数的选择对迭代结果的影响较大。因 此，需要进一步研究如何选择合适的 参数，以提高不动点迭代法的求解精 度和效率。
并行化编程模型
选择适合并行计算的编程模型，如OpenMP、 MPI等，实现高效的并行计算。
并行化优化技术
利用缓存优化、负载均衡等技术，提高并行计算 的效率。
05 结论与展望
研究结论
1
迭代法在求解一元方程时具有高效性和稳定性， 能够快速逼近方程的解。
2
不动点迭代法在求解一元方程时具有较好的收敛 性和精度，能够得到较为精确的结果。
3
通过不动点迭代法，可以求解一些难以用传统方 法求解的一元方程，拓宽了求解一元方程的方法 和途径。
研究不足与展望
虽然不动点迭代法在求解一元方程时 具有较好的效果，但对于一些特殊的 一元方程，如具有多个解或解在无穷 远处的情况，该方法可能无法得到正 确的结果。因此，需要进一步研究不 动点迭代法的适用范围和局限性。
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不动点迭代法是一种数值分析中的迭代方法，用于求解方程的根。
其基本思想是通过不断迭代，使得迭代序列逐渐逼近方程的解。
以下是关于不动点迭代法的一些笔记：
1. 不动点迭代法的定义：不动点迭代法是将方程的解看作是某个函数的零点，然后通过迭代该函数，使得迭代序列逐渐逼近方程的解。
具体来说，对于方程f(x)=0，选取一个初始点x0，然后通过不断迭代f(x)=f[f(x)]来逼近方程的解。
2. 不动点迭代法的收敛性：不动点迭代法是否收敛取决于函数
f的性质和初始点的选取。
如果函数f满足一定的条件，例如连续、可导等，并且初始点足够接近方程的解，那么不动点迭代法就会收敛。
3. 不动点迭代法的收敛速度：收敛速度取决于函数f的性质和初始点的选取。
通常情况下，我们可以通过选取更好的初始点或者改进迭代公式来加快收敛速度。
4. 不动点迭代法的应用：不动点迭代法可以用于求解各种方程的根，例如线性方程、非线性方程、微分方程等。
此外，不动点迭代法还可以用于求解优化问题、计算矩阵的逆等。
5. 不动点迭代法的优缺点：不动点迭代法的优点是简单易行、易于实现。
但是，其缺点是收敛速度较慢，且容易受到初值的影响。
为了解决这些问题，我们可以考虑使用其他的迭代方法，例如牛顿法、二分法等。
总之，不动点迭代法是一种基础的数值分析方法，可以用于求
解各种方程的根。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的迭代方法和初始点，以获得更好的计算结果。