新教材人教A版高中数学必修第一册 第三章 函数的概念与性质 精品教学课件
[解析] (1)①对于 A 中的元素 0，在 f 的作用下得 0，但 0 不 属于 B，即 A 中的元素 0 在 B 中没有元素与之对应，所以不是函 数．
②对于 A 中的元素±1，在 f 的作用下与 B 中的 1 对应，A 中 的元素±2，在 f 的作用下与 B 中的 4 对应，所以满足 A 中的任一 元素与 B 中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．
[答案] (1)0≤t≤3,0≤s≤44.1 (2)确定 (3)不能
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．( ) (2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．( ) (3)根据函数的定义，定义域中的一个 x 可以对应着不同的 y.( ) (4)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )
③对于 A 中的任一元素，在对应关系 f 的作用下，B 中都有 唯一的元素与之对应，如±1 对应 1，±2 对应 4，所以是函数．
④集合 A 不是数集，故不是函数．
(2)由函数定义可知，任意作一条直线 x＝a，则与函数的图象 至多有一个交点，结合选项可知 C 中图象不表示 y 是 x 的函数．
[答案] (1)见解析 (2)C
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
题型一 函数关系的判断 【典例 1】 (1)判断下列对应是不是从集合 A 到集合 B 的函 数． ①A＝N，B＝N*，对应法则 f：对集合 A 中的元素取绝对值 与 B 中元素对应； ②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则 f：x→y＝x2，x ∈A，y∈B； ③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则 f：x→y＝x2，x ∈A，y∈B； ④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则 f：对 A 中元素求面 积与 B 中元素对应．
(2){x|x<－5}用区间表示为(－∞，－5)，用数轴表示如图．
(1)判断对应关系是否为函数的 2 个条件 ①A、B 必须是非空数集． ②A 中任意一元素在 B 中有且只有一个元素与之对应． (2)根据图形判断对应是否为函数的方法 ①任取一条垂直于 x 轴的直线 l. ②在定义域内平行移动直线 l. ③若 l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内 没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
①A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|； ②A＝Z，B＝N*，f：x→y＝x2； ③A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ x； ④A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.
[解析] ①中，集合 A 中的元素 0 在集合 B 中没有元素与之 对应，②中同样是集合 A 中的元素 0 在集合 B 中没有元素与之对 应，对于③，集合 A 中负整数没有意义．
[针对训练] 1．若集合 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，则下列图形给 出的对应中能构成从 M 到 N 的函数 f：M→N 的是( )
[解析] A 中的对应不满足函数的存在性，即存在 x∈M，但
N 中无与之对应的 y；B、C 均不满足函数的唯一性，只有 D 正
确． [答案] D
2．下列对应为从集合 A 到集合 B 的一个函数的是______．(填 序号)
[答案] ④
题型二 用区间表示数集 【典例 2】 把下列数集用区间表示，并在数轴上表示出来． (1){x|x≥3}； (2){x|x<－5}； (3){x|－4≤x<2 或 3<x≤5}． [思路导引] 用区间表示数集的关键是确定开、闭区间，含 “或”的数集用符号“∪”连接区间．
[解] (1){x|x≥3}用区间表示为[3，＋∞)，用数轴表示如图．
Hale Waihona Puke (2)设 M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数 y＝f(x)的定 义域为 M，值域为 N，对于下列四个图象，不可作为函数 y＝f(x) 的图象的是( )
[思路导引] 在“非空数集”A 中“任取 x”，在对应关系“f” 作用下，B 中“有唯一”的“数 f(x)”与之“对应”，称 f：A→B 为集合 A 到集合 B 的一个函数．
(3)对应关系 f：除解析式、图象表格外，还有其他表示 对应关系 的方法，引进符号 f 统一表示对应关系．
温馨提示：(1)当 A，B 为非空数集时，符号“f：A→B”表 示 A 到 B 的一个函数．
(2)集合 A 中的数具有任意性，集合 B 中的数具有唯一性． (3)符号“f”它表示对应关系，在不同的函数中 f 的具体含义不 一样．
2．区间概念(a，b 为实数，且 a<b)
3.其他区间的表示
1．某物体从高度为 44.1 m 的空中自由下落，物体下落的距 离 s 与所用时间 t 的平方成正比，这个规律用数学式子可以描述 为 s＝12gt2，其中 g＝9.8 m/s2.
(1)时间 t 和物体下落的距离 s 有何限制？ (2)时间 t(0≤t≤3)确定后，下落的距离 s 确定吗？ (3)下落后的某一时刻，能同时对应两个距离吗？
1．函数的概念
(1)函数的定义
设 A，B 是 非空的实数集 ，如果对于集合 A 中的 任意一个数 x ，按照某种确定的对应关系 f，在集合 B 中都
有 唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A
到集合 B 的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A
.
(2)函数的定义域与值域 函数 y＝f(x)中，x 叫做 自变量 ， x 的取值范围 A 叫做 函数的定义域，与 x 的值相对应的 y 值叫做 函数值 ，函数值 的集合{f(x)|x∈A} 叫做函数的值域．显然，值域是集合 B 的 子集．
人教A版新教材高中数学必修第一册教学课件
第三章 函数的概念与性质
3.1.1.1 函数的概念 3.1.2.1 函数的表示法 3.2.1.1 函数的单调性 3.2.2.1 函数奇偶性的概念 3.3 幂函数 习题课 函数的概念与性质
3.1.1.2 函数概念的应用 3.1.2.2 分段函数 3.2.1.2 函数的最大（小）值 3.2.2.2 函数奇偶性的应用 3.4 函数的应用（一）
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新教材高中数学人教A版(2019)必修第一册第三章第一节函数的概念课件
对于任一时刻t，都有唯一确定的路程S和它对应.
A1 {t 0 t 0.5}
自变量的集合
S=350t 对应关系
B1 {S 0 S 175}
函数值的集合
对于 数集A1中 任一时刻t， 按照对应关系S 3，50t 在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应
问题2 某电器维修公司要求工人每周工作至 少1天，至多不超过6天，公司确定工资标准 是每人每天350元，而且每周付一次工资
3
⑶当a 0时，求 f (a), f (a 1)的值。
例2下列哪个函数与 y = x 是同一函数？
⑴ y ( x)2;
⑵ y 3 x3;
⑶ y x2;
x2 ⑷ y .
x
当定义域、对应法则和值域完全一
致时，两个函数才相同.
牛刀小试：下列各组中的两个函数是否为 相同的函数？
⑴
y1
(
x
3)( x
（4）问题1和问题2中函数的对应关系相同，你 认为它们是同一个函数吗？你认为影响函数的要 素有哪些？
对于 数集A2中 任一个工作天数d， 按照对应关系W 3，50d 在数集B2中都有唯一确定的工资w和它对应
自变量 的集合
对应关系
函数值的 集合
问题3 图3.1-1是北京市2016年11月23日空 气质量指数变化图，如何根据改图确定这一 天内任一时刻t h的空气指数的值I
年份y
2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
恩格尔系数r 36.69 36.81 38.17 35.69 32.15 33.53 33.87 29.89
2014
29.35
2015
28.57
表3.1-1某城镇居民恩格尔系数变化情况
高中数学(新人教A版)必修第一册：第3章章末 函数概念与性质 课件【精品课件】
．
②如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变
量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那
减函数 ．
么就说函数f(x)在区间D上是
(2)单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那
么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格
的) 单调性 ，区间D叫做y＝f(x)的 单调区间 ．
需要在此处列出满足题意的关系式，求出a的限制条件．
例6 若函数f ( x )是定义在R上的偶函数,且在(-,0)上是增函数,并且
f (2a 2 a 1) f (3a 2 2a 1), 求实数a的取值范围.
解 :由条件知f(x)在(0,+ )上是减函数
1 2 8
1 2 1
2
而2a a 1 2(a ) 0, 3a 2a 1 3( a ) 0
1
【解】 (1)当 a＝0 时，f(x)＝x ，显然是奇函数；
当 a≠0，f(1)＝a＋1，f(－1)＝a－1，f(1)≠f(－1)且 f(1)＋f(－1)≠0，
所以此时 f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)设∀x1<x2∈[1,2]，
x2－x1
1
则 f(x1)－f(x2)＝a(x1－x2)(x1＋x2)＋ x x ＝(x1－x2)ax1＋x2－x x ，
1 2
第三章 函数的概念与性质
章末总结
教学目标及核心素养
教学目标
1.掌握函数的概念；
2.了解分段函数，会画分段函数的图像；
3.理解函数性质并且熟练运用；
x 即x
x 1
所以，
6时，等号成立。
②如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变
量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那
减函数 ．
么就说函数f(x)在区间D上是
(2)单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那
么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格
的) 单调性 ，区间D叫做y＝f(x)的 单调区间 ．
需要在此处列出满足题意的关系式，求出a的限制条件．
例6 若函数f ( x )是定义在R上的偶函数,且在(-,0)上是增函数,并且
f (2a 2 a 1) f (3a 2 2a 1), 求实数a的取值范围.
解 :由条件知f(x)在(0,+ )上是减函数
1 2 8
1 2 1
2
而2a a 1 2(a ) 0, 3a 2a 1 3( a ) 0
1
【解】 (1)当 a＝0 时，f(x)＝x ，显然是奇函数；
当 a≠0，f(1)＝a＋1，f(－1)＝a－1，f(1)≠f(－1)且 f(1)＋f(－1)≠0，
所以此时 f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)设∀x1<x2∈[1,2]，
x2－x1
1
则 f(x1)－f(x2)＝a(x1－x2)(x1＋x2)＋ x x ＝(x1－x2)ax1＋x2－x x ，
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第三章 函数的概念与性质
章末总结
教学目标及核心素养
教学目标
1.掌握函数的概念；
2.了解分段函数，会画分段函数的图像；
3.理解函数性质并且熟练运用；
x 即x
x 1
所以，
6时，等号成立。
2023新教材高中数学第三章函数的概念与性质3-4函数的应用一课件新人教A版必修第一册
解析 由已知得，该户每月缴费 y 元与实际用水量 x 立方米满足的关系 式为 y＝m2mx，x－0≤ 10xm≤，1x0>，10. 由 y＝16m，得 x>10，所以 2mx－10m＝16m.解 得 x＝13.故选 A.
7．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为 y
4x，1≤x<10，x∈N， ＝2x＋10，10≤x<100，x∈N，
1.5x，x≥100，x∈N，
其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人
数，若面试人数为 60，则该公司拟录用人数为( ) A．15 B．40 C．25 0，若 4x＝60，则 x＝15>10，不符合题意；若 2x＋10＝ 60，则 x＝25，满足题意；若 1.5x＝60，则 x＝40<100，不符合题意．故拟 录用人数为 25.
销售单价(元) 6 7 8 9 10 11 12 日销售量(桶) 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？最 大利润是多少？
解 设每桶水在进价的基础上上涨 x 元出售，利润为 y 元，由表格中的 数据可知，价格每上涨 1 元，日销售量就减少 40 桶，所以涨价 x 元后，日 销售桶数 480－40(x－1)＝520－40x>0，∴0<x<13.
答案 C
解析 设公司在甲地销售 x 辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为 L ＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－x－1292＋30＋1492，∴当 x＝9 或 10 时，L 最大为 120 万元．
4．某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为 200 元，每 桶水进价为 5 元，销售单价与日销售量的关系如下表：
函数的单调性-(新教材)人教A版高中数学必修第一册上课用PPT
探索点三 函数单调性的应用 【例 3】 【例 3】 (1)已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]
上是减函数,则实数 a 的取值范围为 (-∞,-3] .
解析:f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a -1)2+2, 所以此二次函数的对称轴为直线x=1-a . 所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a]. 因为f(x)在(-∞,4]上是减函数, 所以直线x=1-a必须在直线x=4的右侧 或与其 重合, 所以1-a≥4,解得a≤-3,即实数a的取值范 围为(- ∞,-3].
(2) 已 知 y=f(x) 在 定 义 域 (-1,1) 上 是 减 函 数 , 且
f(1-a)<f(2a-1),则 a 的取值范围是
.
3函.2数.1的第单1课调时性-【函新数教的材单】调人性教-A【版新高教中材数】学人必教修A第版 一（册20优19 秀）课高件中 数学必 修第一 册课件( 共28张 PPT)
函数的单调性-【新教材】人教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件
[基础测试] 1.判断.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)已知 f(x)= ,因为 f(-1)<f(2),所以函数 f(x)是增函数.
() 解析:由函数单调性的定义可知,要证明一个函数是 增函数,需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大, 函数值也越大,而不是个别的自变量. 答案:×
解析:观察图象可知,y=f(x)的单调区间有[-5,-2], [2,1],[1,3],[3,5]. 其 中 y=f(x) 在 区 间 [-5,-2],[1,3] 上 是 增 函 数,在区间[-2,1],[3,5]上是减函数.
上是减函数,则实数 a 的取值范围为 (-∞,-3] .
解析:f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a -1)2+2, 所以此二次函数的对称轴为直线x=1-a . 所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a]. 因为f(x)在(-∞,4]上是减函数, 所以直线x=1-a必须在直线x=4的右侧 或与其 重合, 所以1-a≥4,解得a≤-3,即实数a的取值范 围为(- ∞,-3].
(2) 已 知 y=f(x) 在 定 义 域 (-1,1) 上 是 减 函 数 , 且
f(1-a)<f(2a-1),则 a 的取值范围是
.
3函.2数.1的第单1课调时性-【函新数教的材单】调人性教-A【版新高教中材数】学人必教修A第版 一（册20优19 秀）课高件中 数学必 修第一 册课件( 共28张 PPT)
函数的单调性-【新教材】人教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件
[基础测试] 1.判断.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)已知 f(x)= ,因为 f(-1)<f(2),所以函数 f(x)是增函数.
() 解析:由函数单调性的定义可知,要证明一个函数是 增函数,需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大, 函数值也越大,而不是个别的自变量. 答案:×
解析:观察图象可知,y=f(x)的单调区间有[-5,-2], [2,1],[1,3],[3,5]. 其 中 y=f(x) 在 区 间 [-5,-2],[1,3] 上 是 增 函 数,在区间[-2,1],[3,5]上是减函数.
高中数学新教材必修一第三章 《函数的概念与性质》全套课件
4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一
个元素 √
5、对于不同的x , y的值也不同
×
6、f (a)表示当x = a时，函数f (x)的值，是一个常量 √
巩固练习
判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x|
（2）|y|=x
（3） y=x 2
（4）y2 =x
（5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1
2x
0y 2
x
2
D
0
2x
学习新知
初中我们已知接触过函数的三种表示方法：解析法、列表法和图 象法
问题 2 某电气维修公司一个工人的工资关于天数 d 的函数 w=350d. ②定义域{1,2,3,4,5,6}
学习新知 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷 大”。满足x≥ a,x>a ,x ≤b, x<b的实数的集合分别表示 为[a, +∞)、(a, +∞)、(-∞,b]、(-∞,b).
集合表示 区间表示 数轴表示
{x a＜x＜b} (a , b)
我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况
时间（年）y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57
请仿照前面的方法描述恩格尔系数r和时间（年）y的关系。
对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对
应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应， 那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数， 记作 y=f(x) , x∈A
人教高中数学必修一A版《函数的概念》函数的概念与性质说课教学课件
(2)如何理解“当两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致
时,两个函数才是同一个函数”这句话?
提示:这句话说明:(1)定义域不同,两个函数也就不同;(2)对应关系
不同,两个函数也就不相同;(3)即使定义域和值域都分别相同的两
个函数,它们也不一定是同一个函数.例如:函数y=2x和函数y=x-1,
其定义域都是R,值域都是R.但它们的对应关系是不同的,因此这两
数;如果定义域相同,再化简函数的表达式,如果化简后的函数表达
式相同,那么它们是同一个函数,否则它们不是.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
随堂演练
解:(1)因为函数 f(x)=( )2 的定义域为{x|x≥0},
而 g(x)= 2 的定义域为{x|x∈R},它们的定义域不同,
所以它们不表示同一个函数.
是从运动变化的观点出发,新定义的对应关系是从集合与对应的观
点出发.
课前篇
自主预习
一
二
三
6.判断正误:(1)对应关系ຫໍສະໝຸດ 值域都相同的两个函数是相等函数.(
)
(2)函数的值域中每个数在定义域中都只存在一个数与之对应.
(
)
答案:(1)× (2)×
课前篇
自主预习
一
二
三
二、区间的概念及表示
1.阅读教材
设a,b∈R,且a<b,规定如下:
思想方法
变式训练 3(1)求函数 y= 2 + 3 −
1
随堂演练
1
+ 的定义域.
2-
(2)已知函数 f(x)的定义域是[-1,4],求函数 f(2x+1)的定义域.
高中数学人教A版 必修第一册 函数的概念 课件
x3
而 g(x) x 5 的定义域为 R. 两个函数的定义域不同， 所以不是相同的函数.
（2） f (x) x 1 x 1∣的定义域为{x∣x 1}, 而 g(x) (x 1)(x 1) 的定义域为{x∣x 1或x 1},两个函数的定义域不同， 所以两个函数不是相同的函数.
练一练
1.若购买某种铅笔 x 支，所需钱数为 y 元，若每支 0.5 元，用解析法将 y 表示成 x( x {1,2,3,4} ) 的函数为( )
探究四 函数的定义域
例题
已知函数 f (x) x 5 1 .
x2
（1）求函数的定义域；
（2）求
f
(4) ,
f
2 3
的值.
（1） 使根式 x 5 有意义的实数 x 的集合是{x | x 5} ， 使分式 1 有意义的实数 x 的集合是{x | x 2} ，
x2
所以函数 f (x) 的定义域是{x | x 5 | {x∣x 2} {x∣x 5且x 2} .
二次函数： y ax2 bx c(a 0) 的定义域是 R，值域是 B.
当
a>0
时，
B
y
y
4ac b2 4a
；
当
a<0
时，
B
y
y
4ac b2 4a
.
对应关系 f 把 R 中的任意一个数 x，对应到 B 中唯一确定的数 ax2 bx c(a 0) .
反比例函数： y k (k 0) 的定义域为x x 0 ，对应关系为“倒数的 k 倍”，值域为y y 0.
第 三 章 函数概念与性质
3.1.1 函数的概念
学习目标
通过具体教学实例，在体会两个变量之间依赖关系的基础上， 引导学生运用集合思想与对应的语言刻画函数概念.
而 g(x) x 5 的定义域为 R. 两个函数的定义域不同， 所以不是相同的函数.
（2） f (x) x 1 x 1∣的定义域为{x∣x 1}, 而 g(x) (x 1)(x 1) 的定义域为{x∣x 1或x 1},两个函数的定义域不同， 所以两个函数不是相同的函数.
练一练
1.若购买某种铅笔 x 支，所需钱数为 y 元，若每支 0.5 元，用解析法将 y 表示成 x( x {1,2,3,4} ) 的函数为( )
探究四 函数的定义域
例题
已知函数 f (x) x 5 1 .
x2
（1）求函数的定义域；
（2）求
f
(4) ,
f
2 3
的值.
（1） 使根式 x 5 有意义的实数 x 的集合是{x | x 5} ， 使分式 1 有意义的实数 x 的集合是{x | x 2} ，
x2
所以函数 f (x) 的定义域是{x | x 5 | {x∣x 2} {x∣x 5且x 2} .
二次函数： y ax2 bx c(a 0) 的定义域是 R，值域是 B.
当
a>0
时，
B
y
y
4ac b2 4a
；
当
a<0
时，
B
y
y
4ac b2 4a
.
对应关系 f 把 R 中的任意一个数 x，对应到 B 中唯一确定的数 ax2 bx c(a 0) .
反比例函数： y k (k 0) 的定义域为x x 0 ，对应关系为“倒数的 k 倍”，值域为y y 0.
第 三 章 函数概念与性质
3.1.1 函数的概念
学习目标
通过具体教学实例，在体会两个变量之间依赖关系的基础上， 引导学生运用集合思想与对应的语言刻画函数概念.
人教A版高中数学必修第一册第三章函数的定义域和值域课件
/人A数学/ 必修 第一册
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求函数的函数值、值域 1．求函数的函数值问题，首先要确定函数的对应关系f的具体含义，再 _代__入___求值． 2．求函数值域时应先确定相应的_定__义__域__，再根据函数的具体形式及 其运算确定其值域．
/人A数学/ 必修 第一册
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f(2x＋1)中 x 的取值范围(定义域)可由 2x＋1∈(－1，2)求得．
/人A数学/ 必修 第一册
[解] (1)要使函数有意义，即 x2－2x－3>0，
解不等式得 x<－1 或 x>3， 函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞).
(2)由题意得x2＋x－1≠3≠00，，
x≠－1， 即x≠32．
/人A数学/ 必修 第一册
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1.集合{x|2≤x<5}用区间表示为__[_2_，__5_) _；集合{x|x≤－1， 或3<x<4}用区间表示为_(_－__∞_，__－__1_]_∪__(3_，__4_)_．
/人A数学/ 必修 第一册
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函数的定义域 函数的定义域是使 函数有意义 的所有 自变量 的集合；若函数的解析
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(3)求函数 y＝x＋ 2x＋1的值域； 解：(3)(换元法)令 2x＋1＝t，t≥0，
t2－1 ∴x＝ 2 ，
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∴y＝t2－2 1＋t＝12t2＋t－12＝12(t＋1)2－1. ∵t≥0，∴y≥－12， ∴函数的值域为[－12，＋∞).
式是由两个或两个以上式子的和、差、积、商构成的，则其定义域是 使每个式子有意义的自变量取值的 公共部分 的集合．
新教材高中数学第三章函数概念与性质 单调性与最大小值课件新人教A版必修第一册
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 或fxx11－ －fx2x2>0.对减函数的判断，对任意 x1<x2，都 有 f(x1)>f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 或 fxx11－ －fx2x2<0.
3.函数的最值与值域、单调性之间的联系 (1)对一个函数来说,其值域是确定的,但它不一定有最值,如函数y＝ .如果有最值, 则最值一定是值域中的一个元素. (2)若函数f(x)在闭区间[a,b]上单调,则f(x)的最值必在区间端点处取得.即最大值是 f(a)或f(b),最小值是f(b)或f(a). 4.二次函数在闭区间上的最值 探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y＝f(x)的草图,然后根据图 象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系,它是 求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据,并且最大(小)值不一定在顶点处 取得.
（3）区间A一定是连续的,如果中间有断裂,则无法称 作单调递增或者单调递减.如图示的函数.
单调性的定义
函数单调性定义的等价形式(对于任意的
)：
【1】
在D上为增函数；
【2】
在D上为减函数；
【3】
在D上为增函数；
【4】
在D上为减函数.
即自变量之差与函数值之差的乘积同号,函数为增函数； 自变量之差与函数值之差的乘积同号,函数为减函数；
反之,函数在区间端点处无定义时,书写单调区间时就 不能包括端点.
单调性的应用 【例题1】根据定义,研究函数
的单调性.
【解】函数 ,
的定义域是R,对于任意的
且
由
知
,所以：
①当
时,
3.函数的最值与值域、单调性之间的联系 (1)对一个函数来说,其值域是确定的,但它不一定有最值,如函数y＝ .如果有最值, 则最值一定是值域中的一个元素. (2)若函数f(x)在闭区间[a,b]上单调,则f(x)的最值必在区间端点处取得.即最大值是 f(a)或f(b),最小值是f(b)或f(a). 4.二次函数在闭区间上的最值 探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y＝f(x)的草图,然后根据图 象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系,它是 求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据,并且最大(小)值不一定在顶点处 取得.
（3）区间A一定是连续的,如果中间有断裂,则无法称 作单调递增或者单调递减.如图示的函数.
单调性的定义
函数单调性定义的等价形式(对于任意的
)：
【1】
在D上为增函数；
【2】
在D上为减函数；
【3】
在D上为增函数；
【4】
在D上为减函数.
即自变量之差与函数值之差的乘积同号,函数为增函数； 自变量之差与函数值之差的乘积同号,函数为减函数；
反之,函数在区间端点处无定义时,书写单调区间时就 不能包括端点.
单调性的应用 【例题1】根据定义,研究函数
的单调性.
【解】函数 ,
的定义域是R,对于任意的
且
由
知
,所以：
①当
时,