福建省厦门市高考数学质检试卷(理科)(二)(解析版)(2020年最新)
2020年福建省厦门市高考数学质检试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|﹣1＜x≤0}，B＝{x|lnx＜0}，则A∪B＝（）A．{x|x＞0}B．{x|x＞1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|﹣1＜x＜1} 2．已知复数（其中i是虚数单位），则复数z的虚部为（）A．﹣1B．﹣i C．1D．i3．已知双曲线C经过点，其渐近线方程为，则C的标准方程为（）A．B．C．D．4．从编号0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是10的样本，若编号为58的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为（）A．72B．74C．76D．785．函数y＝f（x）在区间上的大致图象如图所示，则f（x）可能是（）A．f（x）＝ln|sin x|B．f（x）＝ln（cos x）C．f（x）＝﹣sin|tan x|D．f（x）＝﹣tan|cos x|6．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入⑥号球档的概率为（）A．B．C．D．7．设m＝ln2，n＝lg2，则（）A．m﹣n＞mn＞m+n B．m﹣n＞m+n＞mn C．m+n＞mn＞m﹣n D．m+n＞m﹣n＞mn 8．平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作角α与角β，它们的终边关于x轴对称．若cosα＝，则cos（α﹣β）＝（）A．B．C．D．﹣19．已知F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B 两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．10．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.001米时，乌龟爬行的总距离为（）A．米B．米C．米D．米11．一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，∠B＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠D＝45°，BC＝DE．现将两块三角板拼接在一起，取BC中点O与AC中点M，则下列直线与平面OFM所成的角不为定值的是（）A．AC B．AF C．BF D．CF12．函数f（x）＝a（x+2）e x﹣x﹣1（a＜1），若存在唯一整数x0使得f（x0）＜0，则a 的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知单位向量，满足，则与的夹角是．14．某公益基金收到甲乙丙三人的20万、25万、30万三笔捐款（一人捐一笔款），记者采访这三兄弟时，甲说：“乙捐的不是最少．”乙说：“甲捐的比丙多．”丙说：“若我捐的最少，则甲捐的不是最多．”根据这三人的回答，确定乙捐了万．15．安排4名男生和4名女生参与完成3项工作，每人参与一项，每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则不同的安排方式共有种（用数字作答）．16．一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD，在点E，F处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A处，通过击打母球，使其依次撞击点E，F处的目标球，最后停在点C处，若AE＝50cm，EF＝40cm，FC＝30cm，∠AEF＝∠CFE＝60°，则该正方形的边长为cm．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．17．已知数列{a n}满足a1＝2，a3＝24，且是等差数列．（1）求a n；（2）设{a n}的前n项和为S n，求S n．18．如图，在五面体ABCDEF中，AB⊥平面ADE，EF⊥平面ADE，AB＝CD＝2．（1）求证：AB∥CD；（2）若AD＝AE＝2，EF＝1，且二面角E﹣DC﹣A的大小为60°，求二面角F﹣BC ﹣D的大小．19．一款小游戏的规则如下：每轮游戏要进行三次，每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球，3个白球的袋中随机摸出2个球，若摸出的“两个都是红球”出现3次获得200分，若摸出“两个都是红球”出现1次或2次获得20分，若摸出“两个都是红球”出现0次则扣除10分（即获得﹣10分）．（1）设每轮游戏中出现“摸出两个都是红球”的次数为X，求X的分布列；（2）玩过这款游戏的许多人发现，若干轮游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．20．已知P（0，﹣2），点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，直线BP交E于另一点Q，△ABP为等腰直角三角形，且|PQ|：|QB|＝3：2．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设过点P的直线l与椭圆E交于M，N两点，总使得∠MON为锐角，求直线l 斜率的取值范围．21．已知函数f（x）＝lnx+﹣2ax，其中a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2（其中x2＞x1），且f（x2）﹣f（x1）的取值范围为，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数，α∈[0，π）），曲线C的参数方程（β为参数）．（1）求曲线C在直角坐标系中的普通方程；（2）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C截直线l所得线段的中点极坐标为（2，）时，求α．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|（x﹣2）+|x﹣2|（x﹣a）．（Ⅰ）当a＝2时，求不等式f（x）＜0的解集；（Ⅱ）若x∈（0，2）时f（x）≥0，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|﹣1＜x≤0}，B＝{x|lnx＜0}，则A∪B＝（）A．{x|x＞0}B．{x|x＞1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|﹣1＜x＜1}【分析】可以求出集合B，然后进行并集的运算即可．解：∵A＝{x|﹣1＜x≤0}，B＝{x|lnx＜0}＝{x|0＜x＜1}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜1}．故选：D．2．已知复数（其中i是虚数单位），则复数z的虚部为（）A．﹣1B．﹣i C．1D．i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵＝，∴z的虚部为﹣1．故选：A．3．已知双曲线C经过点，其渐近线方程为，则C的标准方程为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由双曲线的渐近线方程可以设其方程为﹣x2＝λ（λ≠0），将点（，3）代入双曲线方程，解得λ的值，即可得答案．解：根据题意，双曲线的渐近线方程为，则可以设其方程为﹣x2＝λ，（λ≠0）又双曲线C经过点，则有﹣（）2＝λ，解可得：λ＝1，则双曲线的标准方程为：﹣x2＝1；故选：D．4．从编号0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是10的样本，若编号为58的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为（）A．72B．74C．76D．78【分析】求出抽样间隔f＝＝8，由编号为58的产品在样本中，58是第8组第二个样本，由此能求出该样本中产品的最大编号．解：从编号0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是10的样本，抽样间隔f＝＝8，∵编号为58的产品在样本中，∴该样本中产品的最大编号为8×9+2＝74．故选：B．5．函数y＝f（x）在区间上的大致图象如图所示，则f（x）可能是（）A．f（x）＝ln|sin x|B．f（x）＝ln（cos x）C．f（x）＝﹣sin|tan x|D．f（x）＝﹣tan|cos x|【分析】首先观察函数图象可知f（0）＝0，由此可排除AD选项，而选项C显然不符合图象，由此可得出正确选项．解：由图象可知f（0）＝0，故排除AD；又当时，tanx＞0，故此时﹣sin|tan x|的值不可能恒小于0，即选项C错误．故选：B．6．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入⑥号球档的概率为（）A．B．C．D．【分析】小球落下要经过5次碰撞，小球最终落入⑥号球档是五次均向右，由此利用n 次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式能求出这个小球最终落入⑥号球档的概率．解：小球落下要经过5次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为，并且相对独立，小球最终落入⑥号球档是五次均向右，设这个小球最终落入⑥号球档为事件A，则小球最终落入⑥号球档的概率：P（A）＝＝．故选：A．7．设m＝ln2，n＝lg2，则（）A．m﹣n＞mn＞m+n B．m﹣n＞m+n＞mn C．m+n＞mn＞m﹣n D．m+n＞m﹣n＞mn 【分析】利用倒数，作差法，判断即可．解：∵0＜m＜1，0＜n＜1，m＞n，＝，故m﹣n＞mn，所以，故m+n＞mn，由m+n＞m﹣n故m+n＞m﹣n＞mn，故选：D．8．平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作角α与角β，它们的终边关于x轴对称．若cosα＝，则cos（α﹣β）＝（）A．B．C．D．﹣1【分析】由角α与角β终边关于x轴对称，得α+β＝2kπ（k∈Z），则cos（α﹣β）＝cos[α﹣（2kπ﹣α）]＝cos（2α﹣2kπ），再由三角函数的诱导公式，二倍角的余弦函数公式求值即可．解：由角α与角β终边关于x轴对称，得α+β＝2kπ（k∈Z），则cos（α﹣β）＝cos[α﹣（2kπ﹣α）]＝cos（2α﹣2kπ）＝2cos2α﹣1＝2×（）2﹣1＝﹣．故选：C．9．已知F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B 两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．解：由y2＝3x，得2p＝3，p＝，则F（，0）．∴过A，B的直线方程为y＝（x﹣），即x＝y+．联立，得4y2﹣12y﹣9＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝3，y1y2＝﹣．∴S△OAB＝S△OAF+S△OFB＝×|y1﹣y2|＝＝×＝．故选：C．10．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.001米时，乌龟爬行的总距离为（）A．米B．米C．米D．米【分析】根据题意是一个等比数列模型，解：设乌龟每次爬行的距离为等比数列{a n}，公比为q且a1＝100，，所以乌龟爬行的总距离为＝＝故选：A．11．一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，∠B＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠D＝45°，BC＝DE．现将两块三角板拼接在一起，取BC中点O与AC中点M，则下列直线与平面OFM所成的角不为定值的是（）A．AC B．AF C．BF D．CF【分析】由题意证明BC⊥平面MOF，可得BF，CF，AC与平面OFM所成的角，由已知可得都为定值，由此得到答案．解：∵O，M分别为BC，AC的中点，∴OM∥AB，则OM⊥BC，又CF＝BF，∴OF⊥BC，而OM∩OF＝O，∴BC⊥平面MOF，∴BF，CF与平面MOF所成的角分别为∠BFO和∠CFO，相等为45°，根据直线与平面所成角的定义可知，AC与平面MOF所成的角为∠CMO＝∠A＝60°，故只有AF与平面FOM所成的角不为定值．故选：B．12．函数f（x）＝a（x+2）e x﹣x﹣1（a＜1），若存在唯一整数x0使得f（x0）＜0，则a 的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】通过半分离法，将问题转化为函数与直线y＝a（x+2）图象之间的关系，再通过数形结合求解即可．解：由f（x）＝a（x+2）e x﹣x﹣1＜0，可得，令，易知函数g（x）在（﹣∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减，且g（0）＝1，作出函数g（x）的图象如图所示：∵y＝a（x+2）恒过定点A（﹣2，0），且，∴，∵存在唯一整数x0使得f（x0）＜0，∴当时，存在唯一的整数x0＝1使得命题成立．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知单位向量，满足，则与的夹角是．【分析】根据条件对两边平方即可得出，从而可求出的值，进而得出与的夹角．解：∵，，∴，∴，∴，且，∴与的夹角是．故答案为：．14．某公益基金收到甲乙丙三人的20万、25万、30万三笔捐款（一人捐一笔款），记者采访这三兄弟时，甲说：“乙捐的不是最少．”乙说：“甲捐的比丙多．”丙说：“若我捐的最少，则甲捐的不是最多．”根据这三人的回答，确定乙捐了30万．【分析】先阅读题意，再结合题意进行简单的合情推理，逐一检验即可得解解：①设乙捐了25万，则乙、丙回答相互矛盾，故假设不成立，②设乙捐了30万，则甲捐25万，丙捐24万，则甲、乙、丙回答都正确，故假设成立，综合①②得：答案为：3015．安排4名男生和4名女生参与完成3项工作，每人参与一项，每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则不同的安排方式共有1296种（用数字作答）．【分析】先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，然后从4个女生选2个一组，将4人分成三组，然后进行全排列即可．解：由于每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则先从4个男生选2个一组，然后进行排列得＝6×6＝36，然后从4个女生选2个一组，将4人分成三组，然后进行全排列得＝6×6＝36，则共有36×36＝1296种安排方式，故答案为：129616．一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD，在点E，F处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A处，通过击打母球，使其依次撞击点E，F处的目标球，最后停在点C处，若AE＝50cm，EF＝40cm，FC＝30cm，∠AEF＝∠CFE＝60°，则该正方形的边长为20cm．【分析】连接AF、AC，利用余弦定理求出AF，由正弦定理求出sin∠AFE，从而求出cos（∠AFE+60°），再求AC和边长AB的值．解：连接AF、AC，如图所示，△AEF中，由余弦定理得，AF2＝502+402﹣2×50×40×cos60°＝2100，解得AF＝10；由正弦定理得，＝，解得sin∠AFE＝＝，所以cos∠AFE＝，所以cos（∠AFE+60°）＝×﹣×＝﹣×2，△AFC中，由余弦定理得，AC2＝2100+900+2×10×30×2×＝4800，解得AC＝40，所以该正方形的边长为AB＝＝＝20（cm）．故答案为：20．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．17．已知数列{a n}满足a1＝2，a3＝24，且是等差数列．（1）求a n；（2）设{a n}的前n项和为S n，求S n．【分析】（1）根据已知条件求出等差数列{}的首项和第三项，再利用等差数列的通项公式求出，从而求出a n；（2）由于a n是等差数列×等比数列的形式，所以利用错位相减法即可求出S n．解：（1）∵a1＝2，a3＝24，∴，，∴等差数列{}的首项为1，公差为＝1，∴，∴；（2）∵，∴S n＝1×21+2×22+3×23+……+n?2n①，2S n＝1×22+2×23+3×34+……+n?2n+1②，∴①﹣②得：﹣S n＝2+22+23+……+2n﹣n?2n+1＝（1﹣n）×2n+1﹣2，∴S n＝（n﹣1）×2n+1+2．18．如图，在五面体ABCDEF中，AB⊥平面ADE，EF⊥平面ADE，AB＝CD＝2．（1）求证：AB∥CD；（2）若AD＝AE＝2，EF＝1，且二面角E﹣DC﹣A的大小为60°，求二面角F﹣BC ﹣D的大小．【分析】（1）由题知，AB∥EF，利用线面平行的判定定理可证得AB∥面CDEF，再利用线面平行的性质定理即可得证；（2）依据线面垂直的性质定理可证得CD⊥AD，CD⊥DE，由二面角的定义可知∠ADE 为二面角E﹣DC﹣A的平面角，即∠ADE＝60°，于是可推出△ADE为等边三角形，四边形ABCD为正方形．设AC与BD的交点为O，连接OF，分别取AD、BC的中点N、M，连接EN、MN、FM，由线面垂直的判定定理可证得EN⊥面ABCD，而EFON为平行四边形，因此OF⊥面ABCD，故∠OMF为二面角F﹣BC﹣D的平面角，再结合三角函数的知识求出tan∠OMF即可得解．【解答】（1）证明：∵AB⊥平面ADE，EF⊥平面ADE，∴AB∥EF，∵AB?面CDEF，EF?面CDEF，∴AB∥面CDEF，∵面CDEF∩面ABCD＝CD，AB?面ABCD，∴AB∥CD．（2）解：∵AB⊥平面ADE，AB∥CD，∴CD⊥面ADE，∵AD、DE?面ADE，∴CD⊥AD，CD⊥DE，∴∠ADE为二面角E﹣DC﹣A的平面角，即∠ADE＝60°，∴△ADE为等边三角形．∵AB∥CD，AB＝CD＝AD，CD⊥AD，∴四边形ABCD为正方形．设AC与BD的交点为O，连接OF，分别取AD、BC的中点N、M，连接EN、MN、FM，则EN⊥AD，MN也过点O，MN∥AB，∵AB⊥面ADE，∴MN⊥面ADE，∵EN?面ADE，∴MN⊥EN，∵MN∩AD＝N，MN、AD?面ABCD，∴EN⊥面ABCD．∵EF∥AB∥ON，EF＝1＝AB＝ON，∴四边形EFON为平行四边形，∴OF∥EN，∴OF⊥面ABCD，即点F在面ABCD内的投影为点O，∵OM⊥BC，∴∠OMF即为二面角F﹣BC﹣D的平面角，在△FOM中，OF＝EN＝，OM＝1，∴tan∠OMF＝＝，故二面角F﹣BC﹣D的大小为60°．19．一款小游戏的规则如下：每轮游戏要进行三次，每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球，3个白球的袋中随机摸出2个球，若摸出的“两个都是红球”出现3次获得200分，若摸出“两个都是红球”出现1次或2次获得20分，若摸出“两个都是红球”出现0次则扣除10分（即获得﹣10分）．（1）设每轮游戏中出现“摸出两个都是红球”的次数为X，求X的分布列；（2）玩过这款游戏的许多人发现，若干轮游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．【分析】（1）每次游戏，出现“两个都是红球”的概率为．X可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）设每轮游戏的得分为Y．则Y的取值为﹣10，20，200，求出Y的分布列和数学期望，从而得到获得分数Y的期望为负，多次游戏之后大多数人的分数减少了．解：（1）每轮游戏要进行三次，每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球，3个白球的袋中随机摸出2个球，∴每次游戏，出现“两个都是红球”的概率为．X可能的取值为0，1，2，3，，，，．所以X的分布列为：X0123P（2）摸出的“两个都是红球”出现3次获得200分，若摸出“两个都是红球”出现1次或2次获得20分，若摸出“两个都是红球”出现0次则扣除10分（即获得﹣10分）．设每轮游戏得分为Y．则Y的取值为﹣10，20，200，由（1）知，Y的分布列为：Y﹣1020200PY的数学期望为．这表明，获得分数Y的期望为负．因此，多次游戏之后大多数人的分数减少了．20．已知P（0，﹣2），点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，直线BP交E于另一点Q，△ABP为等腰直角三角形，且|PQ|：|QB|＝3：2．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设过点P的直线l与椭圆E交于M，N两点，总使得∠MON为锐角，求直线l 斜率的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据题意可知a＝2，B（2，0），由|PQ|：|QB|＝3：2，得，可求出点Q的坐标，代入椭圆方程可求出b的值，从而得到椭圆E的方程；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），根据题意，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：y＝kx﹣2，与椭圆方程联立，由△＞0得到①，再利用韦达定理代入x1x2+y1y2＞0，得k2＜4 ②，由①②即可求出k的取值范围．解：（Ⅰ）根据题意△ABP是等腰直角三角形，∴a＝2，B（2，0），设Q（x0，y0），由|PQ|：|QB|＝3：2，得，则，代入椭圆方程得b2＝1，∴椭圆E的方程为：；（Ⅱ）根据题意，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：y＝kx﹣2，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程，消去y得：（1+4k2）x2﹣16kx+12＝0，∴△＝（﹣16k）2﹣4×12×（1+4k2）＞0，解得①，且，，∵∠MON为锐角，则cos∠MON＞0，∴，∴x1x2+y1y2＞0，∵x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1﹣2）（kx2﹣2）＝（1+k2）x1x2﹣2k（x1+x2）+4＞0，即，∴k2＜4 ②，由①②得或，故直线l斜率的取值范围为：∪．21．已知函数f（x）＝lnx+﹣2ax，其中a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2（其中x2＞x1），且f（x2）﹣f（x1）的取值范围为，求a的取值范围．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论即可求解；（2）结合函数极值与导数零点关系进行转化后，结合题目特点进行合理的构造，然后结合导数与单调性关系即可求解．解：（1）．令g（x）＝x2﹣2ax+1，则△＝4a2﹣4．①当a≤0或△≤0，即a≤1时，f'（x）≥0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．②当，即a＞1时，由f'（x）＞0，得或；由f'（x）＜0，得，∴f（x）在和上单调递增，在上单调递减．综上所述，当a≤1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，f（x）在和上单调递增，在上单调递减．（2）由（1）得，当a＞1时，f（x）有两极值点x1，x2（其中x2＞x1）．由（1）得x1，x2为g（x）＝x2﹣2ax+1＝0的两根，所以x1+x2＝2a，x1x2＝1．所以，＝．令，则，因为，所以h（t）在（1，+∞）上单调递减，而＞0，＜0，所以2＜t＜4，又＝t．t∈（2，4），易知在（2，4）上单调递增，所以，所以实数a的取值范围为（）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数，α∈[0，π）），曲线C的参数方程（β为参数）．（1）求曲线C在直角坐标系中的普通方程；（2）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C截直线l所得线段的中点极坐标为（2，）时，求α．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用三角函数关系式的变换和直线与椭圆位置关系的应用，利用一元二次方程根和系数关系式的应用和中点坐标公式的应用求出结果解：（1）直线l的参数方程（t为参数，α∈[0，π）），转换为直角坐标方程为：当时，x＝，当时，．曲线C的参数方程（β为参数），转换为直角坐标方程为．（2）把直线的参数方程代入得到：，整理得：，所以，曲线C截直线l所得线段的中点极坐标为（2，）时故，所以，则．一、选择题23．已知函数f（x）＝|x﹣a|（x﹣2）+|x﹣2|（x﹣a）．（Ⅰ）当a＝2时，求不等式f（x）＜0的解集；（Ⅱ）若x∈（0，2）时f（x）≥0，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）将a＝2代入，分类讨论解不等式即可；（Ⅱ）利用绝对值不等式的性质进一步可得|x﹣a|≤x﹣a，由此得解．解：（I）当a＝2时，f（x）＝|x﹣2|（x﹣2）+|x﹣2|（x﹣2），由f（x）＜0得|x﹣2|（x﹣2）+|x﹣2|（x﹣2）＜0．①当x≥2时，原不等式可化为：2（x﹣2）2＜0，解之得：x∈？．②当x＜2时，原不等式可化为：﹣2（x﹣2）2＜0，解之得x∈R且x≠2，∴x＜2．因此f（x）＜0的解集为：{x|x＜2}．（II）当x∈（0，2）时，f（x）＝|x﹣a|（x﹣2）+|x﹣2|（x﹣a）＝（x﹣2）[|x﹣a|﹣（x ﹣a）]．由f（x）≥0得（x﹣2）[|x﹣a|﹣（x﹣a）]≥0，∴|x﹣a|≤x﹣a，∴x﹣a≥0，∴a≤x，x∈（0，2），∴a≤0，∴a的取值范围为（﹣∞，0]．。
福建省厦门市2020—2020学年高二下学期质量检测(数学理)
福建省厦门市2020—2020学年高二下学期质量检测（数学理）福建省厦门市2018—2018学年〔下〕高二质量检测数学试题〔理科〕试卷分A 卷和B 卷两部分，其中B 卷分甲卷和乙卷，供学校选用，总分值为150分，考试时刻120分钟。
参考公式：线性回来方程1122211()()ˆˆˆˆˆˆ:,()nnii i ii i n i i i i xx y y x ynx yya bxb ay bx x x x nx====---=+===---∑∑∑∑中 2×2列联表K 2公式：222,))()()(()(K d b c a d c b a bc ad n K ++++-=的临界值表：A 卷〔共100分〕一、选择题：本大题10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1．复数在复平面的,221i z =积的对应点位于〔 〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．函数3)(2==x x x f 在处的导数等于 〔 〕A ．3B ．9C ．4D ．63．将一枚质地平均的硬币抛掷三次，设X 为正面向上的次数，那么)30(<<X P 等于〔 〕A ．0.1B ．0.25C ．0.75D ．0.54．一质点的运动规律为]3,3[,32t t x ∆++=则其在时间段上的平均速度为 〔 〕A ．t ∆+6B ．tt ∆+∆+96 C ．t ∆+3 D ．t ∆+95．黑白两种颜色的六方边形地砖按图示的规律拼成假设干个图案，那么第n 个图案中白色地砖的块数是〔 〕A ．43+nB ．24+nC ．15-nD ．n 66．曲线l P l x x x y 到直线则点处的切线为在)2,4(,123--=-=的距离为〔 〕A ．2B ．223 C ．22 D ．237．从7人中选3人作为代表，其中甲当选且乙不当选的选法种数有 〔 〕A ．10B ．14C ．15D ．208．自由落体运动的速率)(为重力加速度g gt v =，那么物体在下落的过程中，从0=t 到0t t =所走的路程为 〔 〕A ．2021gt B ．20gtC ．2031gt D ．2041gt 9．随机变量)42(,3.0)2(),,3(2<<=<ξξσξP P N 则且服从正态分布的值等于〔 〕A ．0.5B ．0.2C ．0.3D ．0.410．假设关于任意的实数x ，都有23322103,)2()2()2(a x a x a x a a x 则-+-+-+=的值是〔 〕 A ．3 B ．6 C ．9 D ．12二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分，在答题卷上相应题目的答题区域内作答。
2020年福建省厦门市高考数学质检试卷2(二)(5月份) (含答案解析)
2020年福建省厦门市高考数学质检试卷2（二）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x<0}，集合B={x|(x+1)(x−2)<0}，则A∪B等于()A. (−1,0)B. (−∞,2)C. (−1,2)D. (−∞,0)2.复数z=4+3i1+2i的虚部为()A. iB. −iC. 1D. −13.过点(3,2)的双曲线C的渐近线方程为x±y=0，则C的方程为()A. x2−y2=1B. x2−y2=5C. y2−x2=1D. y2−x2=54.从编号为001，002，…，400的400个产品中用系统抽样的方法抽取一个容量为16样本，已知样本中最小的编号为007，则样本中最大的编号应该为()A. 382B. 483C. 482D. 4835.函数在[−π2,π2]上的图象为()A. B.C. D.6.箱子里放有编号分别为1，2，3，4，5的5个小球，5个小球除编号外其他均相同，从中随机摸出2个小球，则摸到1号球的概率为()A. 15B. 25C. 825D. 9257.若，，则a，b满足的关系为( )A. a>1,b>1B. 0<a<1,b>1C. a>1,0<b<1D. 0<a<1,0<b<18.α,β∈(0,π2)，且α，β的终边关于直线y=x对称，若sinα=35，则sinβ=()A. 35B. 45C. 7√210D. 3√3+4√2109.已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2=8x的焦点，过F作直线l与C交于A，B两点．若|AB|=10，则△OAB重心的横坐标为()A. 43B. 2C. 83D. 310. 古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺”根据上题的已知条件，该女子第二天织布多少尺？( )A. 531B. 1031C. 9D. 1011. 如图，在三棱锥O −ABC 中，OA =OB =OC =1，∠AOB =90°，OC ⊥平面AOB ，D 为AB 中点，则OD 与平面OBC 所成的角为( )A. π4B. π3C. π2D. 3π412. 已知函数f(x)=(x −3)e 2x ，则( ) A. f(x)在x =3处取得极小值B. f(x)没有极值C. f(x)在x =52处取得极小值D. f(x)在x =52处取得极大值 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知|a ⃗ |=2，e ⃗ 为单位向量，当向量a ⃗ ，e ⃗ 的夹角为2π3时，a ⃗ +e ⃗ 在a ⃗ 上的投影为______ ． 14. 甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．三人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙三人的预测结果有且只有一个正确，则可判断获得第一名的是________． 15. 从4名男生、3名女生中任选3人参加一次公益活动，其中男生、女生均不少于1人的选法有中______ .(用数字作答)16.如图，在平面四边形ABCD中，△ACD的面积为√3，AB=2，BC=√3−1，∠ABC=120°，∠BCD=135°，则AD=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知首项都是2的两个数列{a n}，{b n}(b n≠0,n∈N∗)满足a n b n+1−a n+1b n+3b n+1b n=0．}为等差数列．(1)求证：数列{a nb n(2)若b n=2n，求数列{a n}的前n项和S n．18.如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB=2，AC=AD=DE=4，F为CD的中点．(Ⅰ)求证：AF//平面BCE；(Ⅱ)若∠CAD=60°，求二面角F−BE−D的余弦值．19.已知甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共4个球．若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖．每次摸球结束后将球放回原箱中．(1)求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；(2)若连续摸奖2次，求获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A、B，它的右焦点是F(1,0).椭圆上一动点P(x0,y0)(不是顶点)满足k PA⋅k PB=−12．(1)求椭圆的方程；(2)设过点P且与椭圆相切的直线为m，直线m与椭圆的右准线l交于点Q，试证明∠PFQ为定值．21. 已知函数f(x)=2x 2+alnx(a ∈R)．⑴讨论函数f(x)的单调性；⑴若g(x)=f(x)−4x +2存在两个极值点，且x 0是函数g(x)的极小值点，求证：g(x 0)>12−ln222. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=2√2，两线交于A ，B 两点．(1)求A ，B 两点的极坐标；(2)P 为曲线C 2：{x =2cosφy =sinφ(φ为参数)上的动点，求△PAB 的面积的最小值．23. 已知函数f(x)=｜x −1｜−｜x +a ｜，a ∈R ．(1)若a =2，解不等式f(x)≥1；(2)若x∈(2,4)时，｜f(x)｜<｜2x+a−1｜，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：B={x|(x+1)(x−2)<0}，即B={x|−1<x<2}，又A={x|x<0}，∴A∪B=(−∞,2)，故选：B．本题主要考查集合的并集，是基础题．解出集合B，然后根据并集的定义求解即可．2.答案：D解析：【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则答案可求．【解答】解：z=4+3i1+2i =(4+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=10−5i5=2−i，则复数z=4+3i1+2i的虚部为：−1．故选D．3.答案：B解析：【分析】本题考查双曲线的标准方程的求法，考查了双曲线的性质，属于基础题.根据条件可求出a=b，故可设C的方程为x2−y2=λ，将点(3,2)代入求出λ的值，即可求出答案．【解答】解：∵双曲线C的渐近线方程为x±y=0，∴a=b，设C的方程为x2−y2=λ，又∵点(3,2)在双曲线C上，则解得λ=5，故C的方程x2−y2=5，。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ð（）A.{−2，3}B.{−2，2，3}C.{−2，−1，0，3}D.{−2，−1，0，2，3}【答案】A 【解析】【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得： 1,0,1,2A B ，则 U 2,3A B ð.故选：A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.2.若α为第四象限角，则（）A.cos2α>0 B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<0【答案】D 【解析】【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.【详解】当6时，cos 2cos 03，选项B 错误；当3时，2cos 2cos 03，选项A 错误；由 在第四象限可得：sin 0,cos 0 ，则sin 22sin cos 0 ，选项C 错误，选项D 正确；故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B 【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900 ，故需要志愿者9001850名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C 【解析】【分析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S ，解方程即可得到n ，进一步得到3n S .【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n ，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S ，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S ，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n 即29729n ，解得9n ，所以32727(9927)34022n S S .故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.5.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y 的距离为（）A.55B.255C.355D.455【答案】B 【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ,,0a a a ，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点 2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y 的距离.【详解】由于圆上的点 2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必第一象限，设圆心的坐标为,a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为 222x a y a a .由题意可得 22221a a a ，可得2650a a ，解得1a 或5a ，所以圆心的坐标为 1,1或 5,5，圆心到直线230x y 距离均为22555d；所以，圆心到直线230x y 的距离为255.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.6.数列{}n a 中，12a ，m n m n a a a ，若155121022k k k a a a ，则k （）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】分析】取1m ，可得出数列 n a 是等比数列，求得数列 n a 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k 的等式，由k N 可求得k 的值.【详解】在等式m n m n a a a 中，令1m ，可得112n n n a a a a ，12n na a，所以，数列 n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n n n a ，1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a，1522k ，则15k ，解得4k .故选：C.【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（）A.EB.FC.GD.H【答案】A 【解析】【分析】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得M 点在侧视图中对应的点.【详解】根据三视图，画出多面体立体图形，图中标出了根据三视图M 点所在位置，可知在侧视图中所对应的点为E 故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题.8.设O 为坐标原点，直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（）A.4B.8C.16D.32【答案】B 【解析】【分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b ，可得双曲线的渐近线方程是b y x a，与直线x a 联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2222c a b ，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】∵2222:1(0,0)x y C a b a b双曲线的渐近线方程是by x a∵直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a，解得x a y b故(,)D a b 联立x ab y x a，解得x a y b故(,)E a b ||2ED bODE 面积为：1282ODE S a b ab△∵双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b其焦距为2222222168c a b ab 当且仅当22a b 取等号C 的焦距的最小值：8故选：B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9.设函数()ln |21|ln |21|f x x x ，则f (x )（）A.是偶函数，且在1(,)2 单调递增B.是奇函数，且在11(,)22单调递减C.是偶函数，且在1(,)2单调递增D.是奇函数，且在1(,)2单调递减【答案】D 【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断出 f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x时，利用函数单调性的性质可判断出 f x 单调递增，排除B ；当1,2x时，利用复合函数单调性可判断出 f x 单调递减，从而得到结果.【详解】由 ln 21ln 21f x x x 得 f x 定义域为12x x，关于坐标原点对称，又 ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x ，f x 为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x时， ln 21ln 12f x x x ， ln 21y x Q 在11,22 上单调递增， ln 12y x 在11,22上单调递减，f x 在11,22上单调递增，排除B ；当1,2x时， 212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x，2121x∵在1,2上单调递减， ln f 在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知： f x 在1,2上单调递减，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据 f x 与 f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.10.已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（）A.3B.32C.1D.32【答案】C【解析】【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离22d R r.【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ，解得：2R .设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC ∵ 是面积为934的等边三角形，21393224a ，解得：3a ，22229933434a r a ，球心O 到平面ABC 的距离22431d R r .故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.11.若2233x y x y ，则（）A.ln(1)0y x B.ln(1)0y x C.ln ||0x y D.ln ||0x y 【答案】A 【解析】【分析】将不等式变为2323x x y y ，根据 23t tf t 的单调性知x y ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y 得：2323x x y y ，令 23ttf t ，2x y ∵为R 上的增函数，3x y 为R 上的减函数， f t 为R 上的增函数，x y ，0y x Q ，11y x ， ln 10y x ，则A 正确，B 错误；x y Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12n a a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i 的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12n a a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k 的序列是（）A 11010 B.11011C.10001D.11001【答案】C 【解析】【详解】由i m i a a 知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m ，511(),1,2,3,45i i k i C k a a k 对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；故选：C【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________.【答案】22【解析】【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值.【详解】由题意可得：211cos 452a b ，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a，即：2202k a a b k ，解得：22k .故答案为：22．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.【答案】36【解析】【分析】根据题意，采用捆绑法，先取2名同学看作一组，现在可看成是3组同学分配到3个小区，即可求得答案.【详解】∵4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：246C 现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636 种故答案为：36.【点睛】本题主要考查了计数原理的实际应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15.设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，123i z z ，则12||z z =__________.【答案】23【解析】【分析】令12cos 2sin z i ，22cos 2sin z i ，根据复数的相等可求得1cos cos sin sin 2，代入复数模长的公式中即可得到结果.【详解】122z z ∵，可设12cos 2sin z i ，22cos 2sin z i ， 122cos cos 2sin sin 3z z i i ，2cos cos 32sin sin 1，两式平方作和得： 422cos cos 2sin sin 4 ，化简得：1cos cos sin sin 2122cos cos 2sin sin z z i224cos cos 4sin sin 88cos cos sin sin 8423 故答案为：23.【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；关键是能够采用假设的方式，将问题转化为三角函数的运算问题.16.设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ②12p p ③23p p ④34p p 【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为 ；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面 内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面 内，所以，AB ，即3l ，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m 平面 ，则m 垂直于平面 内所有直线，∵直线l 平面 ， 直线m 直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，14p p 为真命题，12p p 为假命题，23p p 为真命题，34p p 为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C.（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23；（2）323 .【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）利用余弦定理可得到 29AC AB AC AB ，利用基本不等式可求得AC AB 的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB ，2221cos 22AC AB BC A AC AB ， 0,A ∵，23A .（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB ，即 29AC AB AC AB .22AC AB AC AB∵（当且仅当AC AB 时取等号）， 22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB ，解得：23AC AB （当且仅当AC AB 时取等号），ABC 周长323L AC AB BC ，ABC 周长的最大值为323 .【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i i x ，2011200i i y，2021)80i i x x （，2021)9000i i y y （，201))800i i i x y x y （（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r =12211))))ni i i i i n n i i x y x x y y y x（（（（，2=1.414.【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式20120202211()()()()ii i i i i i x x y y r x x y y 计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.【详解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000（2）样本(,)i i x y 的相关系数为20120202211()()800220.943809000()()i i i i i i i x x y y r x x y y （3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.19.已知椭圆C 1：22221x y a b(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.【答案】（1）12；（2）221:13627x y C ，22:12C y x .【解析】【分析】（1）求出AB 、CD ，利用43CD AB可得出关于a 、c 的齐次等式，可解得椭圆1C 的离心率的值；（2）由（1）可得出1C 的方程为2222143x y c c，联立曲线1C 与2C 的方程，求出点M 的坐标，利用抛物线的定义结合5MF 可求得c 的值，进而可得出1C 与2C 的标准方程.【详解】（1） ,0F c ∵，AB x 轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x c ，联立22222221x c x y a b a b c，解得2x c b y a ，则22b AB a，抛物线2C 的方程为24y cx ，联立24x c y cx，解得2x c y c ，4CD c ，43CD AB ∵，即2843b c a，223b ac ，即222320c ac a ，即22320e e ，01e Q ，解得12e ，因此，椭圆1C 的离心率为12；（2）由（1）知2a c ，3b c ，椭圆1C 的方程为2222143x y c c，联立222224143y cx x y c c，消去y 并整理得22316120x cx c ，解得23x c 或6x c （舍去），由抛物线的定义可得25533c MF c c ，解得3c .因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y ，曲线2C 的标准方程为212y x .【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.20.如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（1）证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）1010.【解析】【分析】（1）由,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN CC ，根据条件可得11//AA BB ，可证1MN AA //，要证平面11EB C F 平面1A AMN ，只需证明EF 平面1A AMN 即可；（2）连接NP ，先求证四边形ONPA 是平行四边形，根据几何关系求得EP ，在11B C 截取1B Q EP ，由（1）BC ⊥平面1A AMN ，可得QPN 为1B E 与平面1A AMN 所成角，即可求得答案.【详解】（1）∵,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB 又11//AA BB 1//MN AA 在ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM又∵侧面11BB C C 为矩形，1BC BB 1//MN BB ∵MN BC由MN AM M ，,MN AM 平面1A AMNBC ⊥平面1A AMN又∵11//B C BC ，且11B C 平面ABC ，BC 平面ABC ，11//B C 平面ABC又∵11B C 平面11EB C F ，且平面11EB C F 平面ABC EF 11//B C EF//EF BC又BC ∵平面1A AMNEF 平面1A AMNEF ∵平面11EB C F平面11EB C F 平面1A AMN（2）连接NP∵//AO 平面11EB C F ，平面AONP 平面11EB C F NP //AO NP根据三棱柱上下底面平行，其面1A NMA 平面ABC AM ，面1A NMA 平面1111A B C A N //ON AP故：四边形ONPA 是平行四边形设ABC 边长是6m (0m )可得：ON AP ，6NP AO AB m∵O 为111A B C △的中心，且111A B C △边长为6m 16sin 6033ON m 故：3ON AP m∵//EF BC AP EP AM BM3333EP 解得：EP m在11B C 截取1B Q EP m ，故2QN m∵1B Q EP 且1//B Q EP四边形1B QPE 是平行四边形，1//B E PQ由（1）11B C 平面1A AMN故QPN 为1B E 与平面1A AMN 所成角在Rt QPN △，根据勾股定理可得： 222226210PQ QN PN m m m 210sin 10210QN m QPN PQ m 直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值：1010.【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和线面角的定义，考查了分析能力和空间想象能力，属于难题.21.已知函数f (x )=sin 2x sin2x .（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性；（2）证明：33()8f x ；（3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤34nn .【答案】（1）当0,3x时， '0,f x f x 单调递增，当2,33x 时， '0,f x f x 单调递减，当2,3x时， '0,f x f x 单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin 2sin 2sin 2n n n f x x x x x x x x x ，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.【详解】(1)由函数的解析式可得： 32sin cos f x x x ，则： 224'23sin cos sin f x x x x2222sin 3cos sin x x x 222sin 4cos 1x x 22sin 2cos 12cos 1x x x ，'0f x 在 0,x 上的根为：122,33x x，当0,3x时， '0,f x f x 单调递增，当2,33x时， '0,f x f x 单调递减，当2,3x时， '0,f x f x 单调递增.(2)注意到 22sinsin 2sin sin 2f x x x x x f x ，故函数 f x 是周期为 的函数，结合(1)的结论，计算可得： 00f f ，233333228f ，2233333228f ，据此可得： max 338f x， min 338f x ，即 338f x .(3)结合(2)的结论有：2222sin sin 2sin 4sin 2n x x x x 233333sin sin 2sin 4sin 2n x x x x2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin 2sin 2sin 2n n n x x x x x x x x 232333333sin sin 2888n x x 23338n 34n .【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y ，（θ为参数），C 2：1,1x t t y t t（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）1:4C x y ；222:4C x y ；（2）17cos 5.【解析】【分析】（1）分别消去参数 和t 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由22cos sin 1 得1C 的普通方程为：4x y ；由11x t t y t t 得：2222221212x t t y t t，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y .（2）由2244x y x y 得：5232x y ，即53,22P ；设所求圆圆心的直角坐标为 ,0a ，其中0a ，则22253022a a，解得：1710a ， 所求圆的半径1710r ， 所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ，即22175x y x ， 所求圆的极坐标方程为17cos 5.【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数2()|21|f x x a x a .（1）当2a 时，求不等式()4f x 的解集；（2）若()4f x ，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x或112x；（2） ,13, .【解析】【分析】（1）分别在3x 、34x 和4x 三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到 21f x a ，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a 时， 43f x x x .当3x 时， 43724f x x x x ，解得：32x ≤；当34x 时， 4314f x x x ，无解；当4x 时， 43274f x x x x ，解得：112x；综上所述： 4f x 的解集为32x x或112x .（2） 22222121211f x x a x a x ax a a a a （当且仅当221a x a 时取等号）， 214a ，解得：1a 或3a ，a 的取值范围为 ,13, .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.祝福语祝你马到成功，万事顺意!。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)-解析版
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合U={−2,−1,0,1,2,3}，A={−1,0,1},B={1,2},则C U(A⋃B)=()A. {−2,3}B. {−2,2,3}C. {−2,−1,0,3}D. {−2,−1,0,2,3}2.若α为第四象限角，则()A. cos2α>0B. cos2α<0C. sin2α>0D. sin2α<03.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者()A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为()A. √55B. 2√55C. 3√55D. 4√556.数列{a n}中，a1=2，a m+n=a m a n，若a k+1+a k+2+⋯+a k+10=215−25，则k=()A. 2B. 3C. 4D. 57.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个断点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为()A. EB. FC. GD. H8.设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D、E两点，若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A. 4B. 8C. 16D. 329.设函数f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|，则f(x)()A. 是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B. 是奇函数，且在(−12,12)单调递减C. 是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D. 是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减10.已知▵ABC是面积为9√34的等边三角形，且其顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为16π，则球O到平面ABC的距离为()A. √3B. 32C. 1 D. √3211.若2x−2y<3−x−3−y，则()A. ln(y−x+1)>0B. ln(y−x+1)<0C. ln|x−y|>0D. ln|x−y|<012.0−1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列a1a2…a n…满足a i∈(0,1)(i=1,2,…)，且存在正整数m，使得a i+m=a i(i=1,2,…)成立，则称其为0−1周期序列，并称满足a i+m=a i(i=1,2,…)的最小正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0−1序列a1a2…a n…，C(k)=1m ∑a i a i+k(k=1,2,…,m−1)mi=1是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0−1序列中，满足C(k)≤15(k=1,2,3,4)的序列是()A. 11010…B. 11011…C. 10001…D. 11001…二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知单位向量a,b的夹角为45°，ka−b与a垂直，则k=_______．14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．15.设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=√3+i，则|z1−z2|=______．16.设有下列四个命题：P1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．P2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．P3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．P4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．则下述命题中所有真命题的序号是________．①p1∧p4②p1∧p2③¬p2∨p3④¬p3∨¬p4三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17. ▵ABC 中，sin 2A −sin 2B −sin 2C =sinBsinC ．(1)求A ；(2)若BC =3，求▵ABC 周长的最大值．18. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ,y i )(i =1,2,…,20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得∑x i =6020i=1，∑y i =120020i=1，∑(x i −x )2=8020i=1，∑(y i −y )2=900020i=1，∑(x i −x )(y i −y )=8020i=10．(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(x i ,y i )(i =1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数，√2≈1.414．19. 已知椭圆C 1:x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与的C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． (1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．20.如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC 于F．(1)证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO//平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．21.已知函数f(x)=sin2xsin2x．(1)讨论f(x)在区间(0,π)的单调性；(2)证明：|f(x)|≤3√38；(3)设n∈N∗，证明：sin2xsin22xsin24x⋯sin22n x≤3n4n．22.已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：{x=4cos 2θy=4sin2θ(θ为参数)，C2：{x=t+1ty=t−1t(t为参数)．(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．23.已知函数f(x)=|x−a2|+|x−2a+1|．(1)当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的运算，属基础题.先求出A∪B，再求补集．【解答】解：∵A∪B={−1,0,1,2}，∴∁U(A∪B)={−2,3}.故选A．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数在各象限的正负，属于基础题．根据所给角是第四象限角，写出角α的范围，求出2α的范围，进而可判断出三角函数值的正负．【解答】+2kπ<α<2kπ,∴−π+4kπ<2α<4kπ,解：∵−π2∴2α是第三象限或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上，∴sin2α<0.故选D．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查对概率的理解，通过条件容易得出第二天需配送的总订单数，进而可求出所需至少人数．【解答】解：因为公司可以完成配货1200份订单，=18名.则至少需要志愿者为1600+500−120050故选B．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列前n项和的性质，属于中档题．由S n,S2n−S n,S3n−S2n成等差数列，可得每一层的环数，通过等差数列前n项和公式可求得三层扇形石板的总数．【解答】解：设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差d=9，a1=9，由等差数列性质知S n,S2n−S n,S3n−S2n成等差数列，且(S3n−S2n)−(S2n−S n)=n2d，则9n2=729，得n=9，×9=3402块.则三层共有扇形面石板为S3n=S27=27a1+27×262故选C．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系及点到直线的距离计算，属基础题．由圆与坐标轴相切，可得圆心坐标及半径，再用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：设圆心为(a,a)，则半径为a，圆过点(2,1)，则(2−a)2+(1−a)2=a2，解得a=1或a=5，.所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线的距离都是d=2√55故选B．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的判定及等比数列前n项求和，属基础题．取m=1，知数列是等比数列，再由等比数列前n项和公式可求出k的值．【解答】解：取m=1，则a n+1=a1a n，=2，又a1=2，所以a n+1a n所以{a n}是等比数列，则a n=2n，所以，得k=4.故选C．7.【答案】A【解析】【分析】本题三视图，考查空间想象能力，属基础题．由三视图，通过还原几何体，观察可知对应点．【解答】解：该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A．8.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查双曲线的几何性质及双曲线的渐近线，属于中档题．【解答】x，解：双曲线C的两条渐近线分别为y=±ba由于直线x=a与双曲线的两条渐近线分别交于D、E两点，则易得到|DE|=2b，则S△ODE=ab=8，c2=a2+b2⩾2ab=16，即c⩾4，所以焦距2c⩾8．故选B．9.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，属于中档题． 【解答】解：函数f(−x)=ln |−2x +1|−ln |−2x −1|=ln |1−2x |−ln |2x +1|=−f(x)， 则f(x)为奇函数，x ∈(−12,12)时，f(x)=ln(2x +1)−ln(1−2x)，单调递增； x ∈(−∞,−12)时，f(x)=ln(−2x −1)−ln(1−2x)=ln 2x+12x−1=ln(1+22x−1)，单调递减． 故选D ．10.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查点到平面的距离求法，属于中档题． 【解答】解：设△ABC 的外接圆圆心为O 1，设OO 1=d ，圆O 1的半径为r ，球O 的半径为R ， △ABC 的边长为a ，则S △ABC =√34a 2=9√34，可得a =3，于是r =3=√3， 由题意知，球O 的表面积为16π，则R =2，由R 2=r 2+d 2，求得d =1，即O 到平面ABC 的距离为1． 故选C ．11.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查对数函数与指数函数，考查函数的单调性，属于较难题． 【解答】解：2x−3−x<2y−3−y，设f(x)=2x−3−x，则f′(x)=2x ln2+3−x ln3>0，所以函数f(x)在R上单调递增，因为f(x)<f(y)，所以x<y，则y−x+1>1，ln(y−x+1)>0．故选A．12.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查新定义类型的问题，属于较难题．【解答】解：对于A选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+0)=15，C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+1+0+1+0)=25>15，不满足，排除；对于B选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+1+1)=35>15，不满足，排除；对于C选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(0+0+0+0+1)=15，C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+0+0+0+0)=0，C(3)=15∑a i5i=1a i+3=15(0+0+0+0+0)=0，C(4)=15∑a i5i=1a i+4=15(1+0+0+0+0)=15，满足；对于D选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+1)=25>15，不满足，排除；故选C．13.【答案】√22【解析】【分析】本题主要考查平面向量的运算以及向量间的垂直关系，属于基础题．【解答】解：由单位向量a⃗,b⃗ 的夹角为45∘，k a⃗−b⃗ 与a⃗垂直，=0，所以(k a⃗−b⃗ )⋅a⃗=k−√22则k=√2．2．故答案为√2214.【答案】36【解析】【分析】本题考查计数原理，属于基础题．【解答】解：由题意，先将4名同学分成三组，一组两人，其余两组各一人，再将3组分到3个小区，可得不同的安排方法有：C42A33=36．答案：36．15.【答案】2√3【解析】【分析】本题考查复数的运算及复数的模，属于基础题．【解答】解：在复平面内，用向量方法求解，原问题即等价于平面向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗|=|b⃗ |=2，a⃗+b⃗ =(√3,1)，求|a⃗−b⃗ |，由(a⃗+b⃗ )2+(a⃗−b⃗ )2=2|a⃗|2+2|b⃗ |2，可得4+(a⃗−b⃗ )2=16，故|a⃗−b⃗ |=2√3．故答案为2√3．16.【答案】①③④【解析】【分析】本题考查含逻辑联结词的命题真假的判断以及立体几何相关知识，属于中档题．【解答】解：对于p1：可设l1与l2，所得平面为α.若l3与l1相交，则交点A必在平面α内.同理l2与l3的交点B在平面α内，故直线AB在平面α内，即l3在平面α内，故p1为真命题．对于p2:过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数个平面，故p2为假命题．对于p3:空间中两条直线的位置关系有平行，相交，异面，故p3为假命题．对于p4:若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，故m⊥l，故p4为真命题．综上可知，p1∧p4为真命题，¬p2∨p3为真命题，¬p3∨¬p4为真命题．故答案为①③④．17.【答案】解：(1)在▵ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，因为sin2A−sin2B−sin2C=sinBsinC，由正弦定理得，a2−b2−c2=bc，即b2+c2−a2=−bc，由余弦定理得，cosA=b2+c2−a22bc =−12，因为0<A<π，所以A=2π3．(2)由(1)知，A=2π3，因为BC=3，即a=3，由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccosA，所以9=b2+c2+bc=(b+c)2−bc，由基本不等式可得bc≤(b+c)24，所以9=(b+c)2−bc≥34(b+c)2,所以b+c≤2√3(当且仅当b=c=√3时取得等号)，所以▵ABC周长的最大值为3+2√3．【解析】本题主要考查利用正余弦定理解三角形的问题，属于中档题．(1)直接利用正余弦定理即可求解；(2)利用余弦定理与基本不等式即可求解．18.【答案】解：(1)由题可知，每个样区这种野生动物数量的平均数为120020=60，所以该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12000(2)根据公式得r=i −x)(y i−y)ni=1√∑(x i−x)∑(y i−y)i=1i=1=√80×9000=3√2≈0.94(3)为了提高样本的代表性，选用分层抽样法更加合理，因为分层抽样可以按照规定的比例从不同的地块间随机抽样，其代表性较好，抽样误差更小。
福建省厦门市2020届高三数学第二次质量检查6月试题文
第8题A第10题图2第10题图1福建省厦门市2020届高三数学第二次质量检查（6月）试题 文(试卷满分:150分考试时间:120分钟)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1已知集合{123}A =，，，{|2}B x x =≥，则()R A C B ⋂= A.{1} B.{1,2} C.{1,3} D.{}2,32.已知复数|(|1z i i i =++为虚数单位)，则z = ( )A ．12i -+ B.12i - C.i i3.已知向量(),(2)11a b m ==，，，且a b ⊥，则||=b （） A ．2 B.544、已知椭圆222():104x y C b b +=>的一个焦点为(1，0)，则b=( )5.已知 1.21.10.42054a b c -===，，，则( )A. c b a <<B. b a c <<C. b c a <<D. a b c <<6.△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，已知cos cosA 4cosC 34a B b c a c +=-==，，，则b= A.32 B.2 C.3 D.727.在数列{}n a 中，12213,3n n a a a a +=-=-=-，，则20192020a a +=( )A.4-B.-2C.2D.48.如图，圆柱1OO 中，1121OO OA OA O B ==⊥，，，则AB 与下底面所成角的正切值为( )D.129.已知函数()()2,x x ae b f x a b R =+∈的图象如图，则( ) A.0,0a b <> B.0,0a b << C.0,0a b >> D.0,0a b ><10.我国古代重要建筑的室内上方，通常会在正中部位做出向上凸起的窟窿状装饰，这种装饰称为藻井.北京故宫博物院内的太和殿上方即有藻井(图1)，全称为龙风角蝉云龙随瓣枋套方八角深金龙藻井.它展示出精美的装饰空间和造型艺术，是我国古代丰富文化的体现，从分层构造上来看，太和殿藻井由三层组成:最下层为方井，中为八角井，上为圆井.图2是由图1抽象出的平面图形，若在图2中随机取一点，则此点取自圆内的概率为（ ）A.8π B.8 C.4πD.411．已知函数()sin(2)(0)2f x x πϕϕ=-<≤在区间[0,]3π单调递增，下述三个结论：①ϕ的取值范国是[,]62ππ；②()f x 在[0,]3π存在零点； ③()f x 在()0.2π至多有4个极值点；其中所有正确结论的编号是( )A. ①②B.①③C.②③D. ①②③12.已知双曲线22221()0,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别1F 、2F , 过2F 的直线交双曲线右支于A,B 两点.12F AF ∠的平分线交1BF 于D ，若1212AD AF AF =+，则双曲线的离心率为( )二．填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()12-，，则2cos α= ;14.某地区中小微企业中，员工人数50人以下的企业占总数的65％，员工人数50～100人的企业占总数的15％，员工人数100～500人的企业占总数的15％，员工人数500人及以上的企业占总数的5％，现在用分层抽样的方式从中抽取40个企业调查生产情况，员工人数100～500人的企业应抽取的个数为 .15.曲线()3f x x a =+在(1(1))f ，处的切线过原点，则实数a = ; 16.已知四面体ABCD 的所有顶点在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，45,AB CD CBD ==∠=︒则球O 的表面积为 .三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(一)必考题:共60分17.(本小题满分12分)己知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，834222a S a a ==-，。
2020年厦门市高考数学二模试卷(文)含答案解析
2020年福建省厦门市高考数学二模试卷（文科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|2x＞1}，则A∩B=（）A．{﹣1，2} B．{0，1}C．{1，2}D．{0，1，2}2．幂函数y=f（x）的图象经过点（2，4），则f（x）的解析式为（）A．f（x）=2x B．f（x）=x2C．f（x）=2x D．f（x）=log2x+33．一个口袋中装有大小和形状完全相同的2个红球和2个白球，从这个口袋中任取2个球，则取得的两个球中恰有一个红球的概率是（）A．B．C．D．4．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴为A1A2，虚轴的一个端点为B，若三角形A1A2B 的面积为b2，则双曲线的离心率（）A．B．C．D．5．若2sin2α=1﹣cos2α，则tanα等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣2或0 D．2或06．已知向量=（1，m），=（3，），若向量，的夹角为，则实数m的值为（）A．﹣B．﹣C．D．7．执行如图所示的程序框图，则输出s的值等于（）A．1 B．C．0 D．﹣8．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）①若m⊥α，α⊥β，则m∥β②若m⊥α，α∥β，n⊂β，则m⊥n③若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β④若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αA．①②B．③④C．①③D．②④9．若实数x，y满足约束条件，则z=的最大值为（）A．B．1 C．D．10．若函数f（x）=cosωx（ω＞0）在区间（﹣，）上有且只有两个极值点，则ω的取值范围是（）A．[2，3）B．（2，3]C．（3，4]D．[3，4）11．已知定点M（1，0），A、B是椭圆+y2=1上的两动点，且•=0，则•的最小值是（）A．B．C．1 D．212．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（f（x））=0有且只有一个实数解，则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，1）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共16分．把答案填写在答题卡的相应位置．13．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z在复平面内所对应的点位于第象限．14．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（﹣∞，+∞）上单调递减，若f（3x+1）+f（1）≥0，则x的取值范围是．15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积是．16．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，若A=135°，c=1，sinBsinC=，则b等于．三.解答题17．已知等差数列{a n}满足a4﹣a2=2，且a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前项和．18．某商场对甲、乙两种品牌的牛奶进行为期100天的营销活动，威调查这100天的日销售情况，用简单随机抽样抽取10天进行统计，以它们的销售数量（单位：件）作为样本，样本数据的茎叶图如图．已知该样本中，甲品牌牛奶销量的平均数为48件，乙品牌牛奶销量的中位数为43件，将日销量不低于50件的日期称为“畅销日”．（Ⅰ）求出x，y的值；（Ⅱ）以10天的销量为样本，估计100天的销量，请完成这两种品牌100天销量的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为品牌与“畅销日”天数相关．附：K2=（其中n=a+b+c+d为样本容量）P（K2≥0.050 0.010 0.001k0）k0 3.841 6.635 10.828畅销日天数非畅销日天数合计甲品牌乙品牌合计19．如图所示的几何体为一简单组合体，在底面ABCD中，∠DAB=60°，AD⊥DC，AB⊥BC，QD⊥平面ABCD，PA∥QD，PA=1，AD=AB=QD=2．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面QBC；（Ⅱ）求该组合体的体积．20．已知函数f（x）=（x﹣2）lnx+1．（1）判断f（x）的导函数f′（x）在（1，2）上零点的个数；（2）求证f（x）＞0．21．已知点F为抛物线E：x2=4y的焦点，直线l为准线，C为抛物线上的一点（C在第一象限），以点C为圆心，|CF|为半径的圆与y轴交于D，F两点，且△CDF为正三角形．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设P为l上任意一点，过P作抛物线x2=4y的切线，切点为A，B，判断直线AB与圆C的位置关系．四.选考题（请考生在22，23，24三题中任选一题作答，注意：只能做所选的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AD，CF分别是△ABC的中线和高线，PB，PC是△ABC外接圆O的切线，点E是PA与圆O的交点．（1）求证：AC•CD=AF•PC；（2）求证：DC平分∠ADE．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x2﹣2x+y2=0，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R）．（Ⅰ）写出C的极坐标方程，并求l与C的交点M，N的极坐标；（Ⅱ）设P是椭圆+y2=1上的动点，求△PMN面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|．（1）求不等式f（x）＜2+|x+1|的解集；（2）已知m，n∈R+且+=2mn，求证：mf（n）+nf（﹣m）≥6．2020年福建省厦门市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|2x＞1}，则A∩B=（）A．{﹣1，2} B．{0，1}C．{1，2}D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：2x＞1=20，即x＞0，∴B=（0，+∞），又∵A={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B={1，2}，故选：C．2．幂函数y=f（x）的图象经过点（2，4），则f（x）的解析式为（）A．f（x）=2x B．f（x）=x2C．f（x）=2x D．f（x）=log2x+3【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设出幂函数的解析式，利用待定系数法求出解析式即可．【解答】解：设幂函数为f（x）=x a，且y=f（x）的图象经过点（2，4），可得4=2a，解得a=2，∴幂函数的解析式为f（x）=x2．故选：B．3．一个口袋中装有大小和形状完全相同的2个红球和2个白球，从这个口袋中任取2个球，则取得的两个球中恰有一个红球的概率是（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出取得的两个球中恰有一个红球包含的基本事件个数，由此能求出取得的两个球中恰有一个红球的概率．【解答】解：一个口袋中装有大小和形状完全相同的2个红球和2个白球，从这个口袋中任取2个球，基本事件总数n==6，取得的两个球中恰有一个红球包含的基本事件个数m==4，∴取得的两个球中恰有一个红球的概率p==．故选：D．4．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴为A1A2，虚轴的一个端点为B，若三角形A1A2B 的面积为b2，则双曲线的离心率（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据三角形的面积建立方程关系，建立a，b，c的关系进行求解即可得到结论．【解答】解：设B（0，B），则|A1A2|=2a，∵三角形A1A2B的面积为b2，∴S==ab=b2，即a=b，则离心率e====，故选：B．5．若2sin2α=1﹣cos2α，则tanα等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣2或0 D．2或0【考点】二倍角的正弦．【分析】由条件利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．【解答】解：∵2sin2α=1﹣cos2α，即4sinαcosα=1﹣（1﹣2sin2α）=2sin2α，∴sinα=0 或2cosα=sinα，∴tanα=0 或tanα=2，故选：D．6．已知向量=（1，m），=（3，），若向量，的夹角为，则实数m的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出两向量的模，根据向量数量积的不同计算方法列方程解出m．【解答】解：||=，||==2，=3+m，∵向量，的夹角为，∴3+m=•2•，解得m=﹣．故选：B．7．执行如图所示的程序框图，则输出s的值等于（）A．1 B．C．0 D．﹣【考点】程序框图．【分析】模拟执行如图所示的程序框图，得出该程序输出的是计算S的值，分析最后一次循环过程，即可得出结论．【解答】解：执行如图所示的程序框图，得：该程序输出的是计算S的值；当k=0时，满足条件，计算S=cos+cos+cos+cos+cos+cos+cos0=1，当k=﹣1时，不满足条件，输出S=1．故选：A．8．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）①若m⊥α，α⊥β，则m∥β②若m⊥α，α∥β，n⊂β，则m⊥n③若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β④若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αA．①②B．③④C．①③D．②④【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间线面位置关系的判定定理或性质进行判断或举反例说明．【解答】解：①当m⊂β时，显然结论不成立．故①错误；②∵m⊥α，α∥β，∴m⊥β，又n⊂β，∴m⊥n．故②正确；③当α与β相交时，设交线为l，则当m∥l，∥l时，有m∥n，但α，β不平行，故③错误；④∵n⊥β，m⊥β，∴m∥n，又n⊥α，∴m⊥α．故④正确．故选：D．9．若实数x，y满足约束条件，则z=的最大值为（）A．B．1 C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线的斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，z=的几何意义是区域内的点到点D（﹣1，0）的斜率，由图象知AD的斜率最大，由得，即A（1，3），此时z==，故选：A．10．若函数f（x）=cosωx（ω＞0）在区间（﹣，）上有且只有两个极值点，则ω的取值范围是（）A．[2，3）B．（2，3]C．（3，4]D．[3，4）【考点】余弦函数的图象．【分析】根据f（x）的对称性可知f（x）的一个极值点必定落在区间（﹣，﹣]上．从而得出f（x）的周期的范围，列出不等式解出即可．【解答】解：∵f（x）是偶函数，且x=0为f（x）的一个极值点，∴f（x）的另一个极值点在（﹣，﹣]取得，设f（x）的周期为T，则，即，解得3＜ω≤4．故选：C．11．已知定点M（1，0），A、B是椭圆+y2=1上的两动点，且•=0，则•的最小值是（）A．B．C．1 D．2【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用•=0，可得•=•（）=，设A（2cosα，sinα），把用含有α的三角函数表示，配方后可求•的最小值．【解答】解：∵•=0，∴•=•（）=，设A（2cosα，sinα），则+sin2α=3cos2α﹣4cosα+2=3（cosα﹣）2+，∴当cosα=时，的最小值为．即•的最小值是．故选：B．12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（f（x））=0有且只有一个实数解，则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，1）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据函数与方程之间的关系，利用换元法设设t=f（x），则条件等价为f（t）=0，作出对应的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由选项知k≠0，设t=f（x），则由f（f（x））=0得f（t）=0，∵当x≤0时，f（x）=≠0，∴当x＞0时，由f（x）=lnx=0得x=1，若f（t）=0，则t=1，则若关于x的方程f（f（x））=0有且只有一个实数解，则等价为f（x）=1有唯一解．作出函数f（x）的图象，由图象知当x＞0时，f（x）=lnx=1有一个解，则等价为当x≤0时，f（x）==1无解，即若k＞0，满足=1无解，若k＜0，则函数f（x）=在x≤0时为增函数，则函数的最大值为f（0）=﹣k，此时只要满足﹣k＜1，即﹣1＜k＜0，即可，综上实数k的取值范围是（﹣1，0）∪（0，+∞），故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共16分．把答案填写在答题卡的相应位置．13．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z在复平面内所对应的点位于第二象限．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由（1﹣i）z=2i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z在复平面内所对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由（1﹣i）z=2i，得，则z在复平面内所对应的点的坐标为：（﹣1，1），位于第二象限．故答案为：二．14．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（﹣∞，+∞）上单调递减，若f（3x+1）+f（1）≥0，则x的取值范围是（﹣∞，﹣]．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性可得f（3x+1）≥﹣f（﹣1），由3x+1≤﹣1，求得x的范围．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（﹣∞，+∞）上单调递减，若f（3x+1）+f（1）≥0，即f（3x+1）≥﹣f（1）=f（﹣1），则3x+1≤﹣1，求得x≤﹣，即x的取值范围（﹣∞，﹣]，故答案为：（﹣∞，﹣]．15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积是32π．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】首先由三视图还原几何体为三棱柱，根据图中数据求外接球的表面积．【解答】解：由已知三视图得到几何体是三棱柱，底面是斜边为4，高为2的等腰直角三角形，其外接圆半径为2，棱柱的高为4，所以其外接球半径为，所以外接球表面积为4π=32π．故答案为：32π．16．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，若A=135°，c=1，sinBsinC=，则b等于或．【考点】正弦定理．【分析】根据题意和正弦定理表示出sinC、sinB，代入已知的式子列方程，由余弦定理再列出一个方程，两个方程联立求出b．【解答】解：由正弦定理得，，把A=135°，c=1代入得，，则sinC=，sinB=，∵sinBsinC=，∴，①由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA，∴，②由①②得，解得b=或，故答案为：或．三.解答题17．已知等差数列{a n}满足a4﹣a2=2，且a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前项和．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）公差为d由已知可得：即，解得即可．（Ⅱ）根据裂项求和法即可求出．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d由已知可得：即解得：a1=2，d=1所以a n=n+1（Ⅱ）b n===（﹣）所以S n=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1+﹣﹣）=﹣18．某商场对甲、乙两种品牌的牛奶进行为期100天的营销活动，威调查这100天的日销售情况，用简单随机抽样抽取10天进行统计，以它们的销售数量（单位：件）作为样本，样本数据的茎叶图如图．已知该样本中，甲品牌牛奶销量的平均数为48件，乙品牌牛奶销量的中位数为43件，将日销量不低于50件的日期称为“畅销日”．（Ⅰ）求出x，y的值；（Ⅱ）以10天的销量为样本，估计100天的销量，请完成这两种品牌100天销量的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为品牌与“畅销日”天数相关．附：K2=（其中n=a+b+c+d为样本容量）P（K2≥0.050 0.010 0.001k0）k0 3.841 6.635 10.828畅销日天数非畅销日天数合计甲品牌5050100乙品牌3070100合计80120200【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）由甲品牌牛奶销量的平均数为48件，乙品牌牛奶销量的中位数为43件，能求出x，y的值．（Ⅱ）作出2×2列联表，结合列联表求出K2=≈8.333＞6.635，从而有99%的把握认为品牌与“畅销日”天数有关．【解答】解：（Ⅰ）因为甲品牌牛奶销量的平均数为48件所以（31+33+42+42+43+51+57+63+65+50+x）=48，…解得x=3，…又因为乙品牌牛奶销量的中位数为43件所以，…解得y=4．…（Ⅱ）作出2×2列联表，得：畅销日天数非畅销日天数合计甲50 50 100乙30 70 100合计80 120 200…结合列联表可算得K2==≈8.333＞6.635，…所以有99%的把握认为品牌与“畅销日”天数有关．…19．如图所示的几何体为一简单组合体，在底面ABCD中，∠DAB=60°，AD⊥DC，AB⊥BC，QD⊥平面ABCD，PA∥QD，PA=1，AD=AB=QD=2．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面QBC；（Ⅱ）求该组合体的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定． 【分析】（I ）由PA ⊥平面ABCD 得出PA ⊥BC ，结合BC ⊥AB 推出BC ⊥平面PAB ，于是平面PAB ⊥平面QBC ；（II ）连接BD ，过B 作BO ⊥AD 于O ，分别求出四棱锥B ﹣PADQ 和三棱锥Q ﹣BCD 的体积即可．【解答】证明：（Ⅰ）∵QD ⊥平面ABCD ，PA ∥QD ，∴PA ⊥平面ABCD ， 又∵BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BC ．又BC ⊥AB ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，PA ∩AB=A ， ∴BC ⊥平面PAB ．又∵BC ⊂平面QBC ， ∴平面PAB ⊥平面QBC ．（Ⅱ）连接BD ，过B 作BO ⊥AD 于O ． ∵PA ⊥平面ABCD ，BO ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥BO ，又BO ⊥AD ，AD ⊂平面PADQ ，PA ⊂平面PADQ ，PA ∩AD=A ， ∴BO ⊥平面PADQ ，∵AD=AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD 是等边三角形，∴BO=． ∴V B ﹣PADQ =S 梯形PADQ •BO==．∵∠ADC=∠ABC=90°，∴∠CBD=∠CDB=30°，又BD=AB=2， ∴BC=CD=，∴S △BCD ==． ∵QD ⊥平面ABCD ，∴V Q ﹣BCD ===．∴该组合体的体积V=V B ﹣PADQ +V Q ﹣BCD =．20．已知函数f （x ）=（x ﹣2）lnx +1．（1）判断f （x ）的导函数f ′（x ）在（1，2）上零点的个数； （2）求证f （x ）＞0．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出f（x）的定义域，求出f′（x）的单调性，从而得到f′（x）在（1，2）的零点个数；（2）求出f（x）的单调性，得到f（x）的最小值，求出其最小值是正数，从而证出结论．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=lnx﹣+1，f″（x）=+＞0，∴f′（x）在（0，+∞）递增，而f′（1）=﹣1＜0，f′（2）=ln2＞0，∴f′（x）在（1，2）上零点的个数是1个；（2）由（1）得f′（x）在（0，+∞）递增，而零点在（1，2）上，设零点是x0，则1＜x0＜2，则f（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，f（x）min=f（x0）=（x0﹣2）lnx0+1，而﹣1＜x0﹣2＜0，0＜lnx0＜1，∴﹣1＜（x0﹣2）lnx0＜0，0＜（x0﹣2）lnx0+1＜1，故f（x）＞0．21．已知点F为抛物线E：x2=4y的焦点，直线l为准线，C为抛物线上的一点（C在第一象限），以点C为圆心，|CF|为半径的圆与y轴交于D，F两点，且△CDF为正三角形．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设P为l上任意一点，过P作抛物线x2=4y的切线，切点为A，B，判断直线AB与圆C的位置关系．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）求出点C的坐标，再代入到抛物线的解析式中求出半径，问题得以解决；（Ⅱ）设P（t，﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），根据导数和几何意义，求出A，B为切点的切线方程，即可得到直线AB的方程，再利用点到直线的距离，和半径的关系判断直线和圆的位置关系．【解答】解：（I）由已知F（0，1），设圆C的半径为r，因为△CDF为正三角形，C（r，|r﹣1|），因为点C在抛物线x2=4y上，得r2=4r﹣4 即3r2﹣16r+16=0，解得r=4或r=所以圆C的方程为C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=16，或C2：（x﹣）2+（y﹣）2=（II）（方法一）因为准线l为y=﹣1，设P（t，﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），因为y=，所以y′=，A（x1，y1）为切点的切线方程为：y﹣y1=（x﹣x1），y1=，即y=x﹣y1，因为切线过P（t，﹣1），得﹣1=t﹣y1，①同理可得﹣1=t﹣y2，②所以直线AB方程为﹣1=xt﹣y，即tx﹣2y+2=0，圆心C1（2，3），r1=4，C1到直线距离d1=可得d12﹣16=≤0所以t=﹣2时，d1=4，直线AB与圆C1相切．t≠﹣2时，d1＜4直线AB与圆C1相交．所以直线AB与圆C2相交或相切．同理可证，直线AB与圆C2相交或相切．所以直线AB与圆C1，C2相交或相切．（注：因为直线AB过定点f（0，1），且斜率∈R因为F（0，1）在圆C1，C2相上，所以直线AB与圆C1，C2相交或相切．这样答扣1分）（方法二）设设P（t，﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+b，代入抛物线E的方程得x2﹣4kx﹣4b=0 所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，因为y=，所以y′=，A（x1，y1）为切点的切线方程为：y﹣y1=（x﹣x1），y1=，即y=x﹣，①B（x2，y2）为切点的切线方程为y=x﹣②联立①②得所以所以，所以直线AB方程为y=xt+1，以下与（方法一）相同四.选考题（请考生在22，23，24三题中任选一题作答，注意：只能做所选的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AD，CF分别是△ABC的中线和高线，PB，PC是△ABC外接圆O的切线，点E是PA与圆O的交点．（1）求证：AC•CD=AF•PC；（2）求证：DC平分∠ADE．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）证明△AFC∽△CDP，即可证明AC•CD=AF•PC；（2）延长AD交圆O于点G，连结GE，BG，EC，证明，△BDG≌△CDE，可得∠BDG=∠CDE，∠ADC=∠BDG=∠CDE，即可证明：DC平分∠ADE．【解答】证明：（1）由PC为圆O切线，知∠CAF=∠DCP，∵PB，PC是圆O的切线，D为BC中点，∴O，D，P三点共线，且OP⊥BC，∴∠AFC=∠CDP=90°，△AFC∽△CDP，∴，即AC•CD=AF•CP．（2）∵CF⊥AB，D为BC中点，∴，∠DFB=∠DBF，∴，于是，又∵∠AFD=180°﹣∠DFB=180°﹣∠ABC=∠ACP，∴△AFD∽△ACP，延长AD交圆O于点G，连结GE，BG，EC，由△AFD∽△ACP，知∠DAF=∠PAC，∴BG=EC，∠CBG=∠BCE，又D为BC中点，DB=DC，∴△BDG≌△CDE，∴∠BDG=∠CDE，∠ADC=∠BDG=∠CDE，∴DC平分∠ADE．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x2﹣2x+y2=0，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R）．（Ⅰ）写出C的极坐标方程，并求l与C的交点M，N的极坐标；（Ⅱ）设P是椭圆+y2=1上的动点，求△PMN面积的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ写出C的极坐标方程，并求l与C的交点M，N的极坐标；（Ⅱ）设P点坐标为（cosθ，sinθ），则P到直线y=x的距离d=，利用三角形的面积公式，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的直角坐标方程为y=x，联立方程组，解得或，所以点M，N的极坐标分别为（0，0），（，）．（Ⅱ）由（Ⅰ）易得|MN|=因为P是椭圆+y2=1上的点，设P点坐标为（cosθ，sinθ），则P到直线y=x的距离d=，所以S△PMN==≤1，当θ=kπ﹣，k∈Z时，S△PMN取得最大值1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|．（1）求不等式f（x）＜2+|x+1|的解集；（2）已知m，n∈R+且+=2mn，求证：mf（n）+nf（﹣m）≥6．【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式．【分析】（1）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论的思想进行求解即可．（2）利用基本不等式，结合绝对值的性质进行证明即可．【解答】解：（1）由f（x）＜2+|x+1|得|x﹣3|＜2+|x+1|，即|x﹣3|﹣|x+1|＜2，即当x＜﹣1时，不等式等价为﹣x+3+x+1＜2，即4＜2，此时不等式无解，当﹣1≤x≤3时，不等式等价为﹣x+3﹣x﹣1＜2，即﹣2x+2＜2，得x＞0，此时0＜x≤3，当x＞3时，不等式等价为x﹣3﹣x﹣1＜2，即﹣4＜2，成立，此时x＞3，综上不等式的解为x＞0，即不等式的解集为（0，+∞）；（2）已知m，n∈R+且+=2mn，∴2mn≥2=，则mn≥1，则mf（n）+nf（﹣m）=m|n﹣3|+n|﹣m﹣3|=|mn﹣3n|+|mn+3n|≥|（mn﹣3n﹣（mn+3m）|=3|m+n|≥6≥6．2020年8月22日。
2020年福建省厦门市高考数学二模试卷1 (含答案解析)
2020年福建省厦门市高考数学二模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知m∈R，复数z1=1+3i，z2=m+2i，且z1⋅z2−为实数，则m=()A. 23B. −23C. 3D. −32.向量a⃗=(−4,5),b⃗ =(λ,1)，若(a⃗−b⃗ )//b⃗ ，则λ的值是()A. −54B. −43C. −45D. −23.已知抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(−1,−1)，则抛物线的焦点坐标为()A. (0,1)B. (0,2)C. (1,0)D. (2,0)4.若x，y满足约束条件{3x−y+2≥02x−y+1≥0x+y−1≤0，则z=y−x的最大值为()A. 32B. 1 C. 12D. 05.若△ABC的周长为20，面积为10√3，A=60°，则a的值为()A. 5B. 6C. 7D. 86.如图，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，已知小正方形的外接圆恰好是大正方形的内切圆，现在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A. 2π−12B. π−24C. π−12D. π−147.曲线f(x)=2asinx在x=5π3处的切线倾斜角为π4，则a等于()A. 1B. −12C. 12D.−18.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1ACC1所成的角为()A. π2B. π3C. π4D. π69. 已知函数f(x)是定义在区间[1−3m,2m]上的偶函数，且当x ∈(0,+∞)时，f(x)单调递增，若a =f(m)，b =f(2−0.4)，c =f(log 415)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a >c >bB. a >b >cC. b >c >aD. c >a >b10. 设F 是双曲线C:x 216−y 29=1的右焦点，P 是双曲线C 左支上的点，已知A(1,3)，则△PAF 周长的最小值是( )A. 3√5B. 3√5+13C. 2√5+13D. 2√5 11. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +S n =1，则S n 的取值范围是( )A. (0,1)B. (0,+∞)C. [12,1)D.[12,+∞)12. 函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，则f(π)=( )A. √3B. −√3C. 1D. −1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知tan(α−5π4)=15，则tan α=_________． 14. 已知底面是正方形的长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面边长AB =6，侧棱长AA 1=2√7，它的外接球的球心为O ，点E 是AB 的中点，点P 是球O 上任意一点，有以下判断： ①PE 长的最大值是9；②三棱锥P −EBC 体积最大值是15+3√7； ③存在过点E 的平面，截球O 的截面面积是8π；④Q 是球O 上另一点，PQ =8，则四面体ABPQ 体积的最大值为56； ⑤过点E 的平面截球O 所得截面面积最大时，B 1C 垂直于该截面． 其中判断正确的序号是______ ． 15. 如果函数f(x)=a⋅3x +4−a 4(3x −1)是奇函数，则a =______．16. 如表记录了某公司投入广告费x 与销售额y 的统计结果，由表可得线性回归方程为y =b ̂x +a ̂，据此方程预报当x =6时，y =______． x 4 2 3 5 y 49 26 39 54 附：参考公式：b̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i n i=1y i −nxy−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y ̂−b̂x 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)求1S1+1S2+1S3+⋯+1S10的值．18.如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，点O为CD的中点，连接OM．(Ⅰ)求证：OM//平面ABD；(Ⅱ)若AB=BC=2，求三棱锥A−BDM的体积．19.针对某地区的一种传染病与饮用水进行抽样调查发现：饮用干净水得病5人，不得病50人；饮用不干净水得病9人，不得病22人．(1)作出2×2列联表(2)能否有90%的把握认为该地区中得传染病与饮用水有关？P(K2≥k)0.100.050.0250.0100.0050.001k 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820.已知F(1,0)，P是动点，以PF为直径的圆与圆O：x2+y2=4内切(1)求P的轨迹E的方程；(2)设A，B是圆O与x轴的交点，过点Q(12,0)的直线与E交于M，N两点，直线AM交直线x=8于点T，求证：B，N，T三点共线．21.讨论函数f(x)=x−2x+2e x的单调性，并证明当x>0时，(x−2)e x+x+2>0．22.在直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程是{x=√ty=√3t3(t为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，求曲线C1与C2的交点在直角坐标系中的直角坐标．23.设函数f(x)=|x−2|+|2x−a|．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)≥3的解集；(Ⅱ)当f(x)=|x−a+2|时，求实数x的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．把z1=1+3i，z2=m+2i代入z1⋅z2−，再由复数代数形式的乘除运算化简，利用虚部为0求得m 值．【解答】解：∵z1=1+3i，z2=m+2i，∴z1⋅z2−=(1+3i)(m−2i)=(m+6)+(3m−2)i，．则3m−2=0，即m=23故选：A．2.答案：C解析：【分析】由平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值．本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理应用问题，是基础题．【解答】解：向量a⃗=(−4,5)，b⃗ =(λ,1)，则a⃗−b⃗ =(−4−λ,4)，又(a⃗−b⃗ )//b⃗ ，所以−4−λ−4λ=0，．解得λ=−45故选：C．3.答案：A解析：解：∵抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(−1,−1)，∴p=1，2∴该抛物线焦点坐标为(0,1)．故选A．利用抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(−1,−1)，求得p2=1，即可求出抛物线焦点坐标．本题考查抛物线焦点坐标，考查抛物线的性质，比较基础．4.答案：B解析：【分析】本题考查简单线性规划，画出可行域，分析z的几何意义求解即可．【解答】解：由约束条件作出可行域如下图，目标函数z=y−x可化为y=x+z，由图可知，当直线y=x+z过(1,0)时，z取得最大值，则目标函数的最大值为z=1−0=1．故选B．5.答案：C解析：解：∵A=60°，S=10√3，∴S△ABC=12bcsinA=10√3，即√34bc=10√3，解得bc=40由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，得a2=(b+c)2−3bc=(b+c)2−120∵△ABC的周长a+b+c=20∴b+c=20−a，得a2=(20−a)2−120，解得a=7故选C．根据三角形面积公式，结合A=60°算出bc=40.利用余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，化简得出a2=(b+c)2−120，结合三角形的周长为20得到关于a的方程，解之可得边a的长．本题考查了利用正余弦定理解三角形、三角形的面积公式等知识，正确运用余弦定理是关键，属于中档题．6.答案：B解析：【分析】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．设大正方形的边长为1，其内切圆直径为1，则小正方形边长为√22，从而阴影部分的面积S阴影部分=S 圆−S小正方形，由此利用几何概型能求出在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率．【解答】解：设大正方形的边长为1，其内切圆直径为1，则小正方形边长为√22，∴阴影部分的面积S阴影部分=S圆−S小正方形=π4−12=π−24，∴在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率：．故选：B．7.答案：A解析：解：∵f(x)=2asinx，∴f′(x)=2acosx，则f′(5π3)=2acos5π3=a．∴a=tanπ4=1．故选：A．求出原函数的导函数，得到f′(5π3)=a，进一步可得a=tanπ4．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的导数值，就是曲线在该点处的切线的斜率，是基础题．8.答案：D解析：【分析】本题主要考查了直线与平面所成的角，考查正方体的性质，正确作出线面角是关键，属于中档题．连接BD，BD∩AC=O，连接OC1，确定∠BC1O为直线BC1与平面A1ACC1所成的角，从而可得结论．解：连接BD，BD∩AC=O，连接OC1，由正方体的性质可得BO⊥AC，BO⊥AA1，且AA1、AC为平面AA1C1C内两条相交直线，∴BO⊥平面AA1C1C，∴∠BC1O为直线BC1与平面A1ACC1所成的角，设正方体的棱长为a，则OB=√22a，BC1=√2a，在Rt△BC1O中，sin∠BC1O=OBBC1=√22a√2a=12，，∴∠BC1O=π6，故选D．9.答案：D解析：【分析】本题考查函数的奇偶性及单调性，是一般题．由偶函数的定义域关于原点对称得m，然后比较自变量的大小，利用函数的奇偶性和单调性求解即可．【解答】解：因为函数f(x)是定义在区间[1−3m,2m]上的偶函数，所以1−3m+2m=0，解得m=1，又2−0.4∈(0,1)，，则，又当时，f(x)单调递增，，所以，即c>a>b．故选D．10.答案：B【分析】根据双曲线的定义以及几何性质求解即可得结果，属于一般题．【解答】解：设左焦点为F 1，由题意可知，c =√16+9=5，则F 1(−5,0)，F(5,0)， 又A(1,3)，则|AF|=5，根据双曲线的定义可知，|PF|=2a +|PF 1|， 所以△PAF 的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PF 1|+|PA|+13．当A ，P ，F 1三点共线时，|PF 1|+|PA|取得最小值，即△PAF 的周长取得最小值． |AF 1|=√(1+5)2+32=3√5，故△PAF 周长的最小值为3√5+13.故选B ．11.答案：C解析： 【分析】根据条件进行化简，得到{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，求出S n 的表达式，即可得到结论． 本题主要考查递推数列的应用，利用条件判断数列{a n }是等比数列是解决本题的关键． 【解答】解：n =1时，a 1+S 1=2a 1=1， 解得a 1=12， n ≥2时，S n =1−a n ，S n−1=1−a n−1， 两式相减的S n −S n−1=1−a n −1+a n−1， 即a n =a n−1−a n ， 则2a n =a n−1， 即a nan−1=12，为定值．数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列． 则S n =12[1−(12)n ]1−12=1−(12)n ，则1−12≤S n <1，即12≤S n <1，则S n 的取值范围是[12,1)， 故选：C12.答案：B解析：解：由函数f(x)的图象经过点(0,1)，(2π3,−1)， 所以A =2，T =2π3×2=4π3，所以ω=2π4π3=32，所以1=2sinφ，且|φ|<π，所以φ=π6；所以f(x)=2sin(32x+π6)f(π)=2sin(32π+π6)=−2cosπ6=−√3．故选：B．根据函数f(x)的图象与性质，求出f(x)的解析式，再计算f(π)的值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．13.答案：32解析：【分析】本题主要考查liang两角和与差公式和简单的三角恒等变换．【解答】解：tan(α−5π4)=tan(α−5π4+π)=tan(α−π4)，则tan(α−π4)=15，而tan(α−π4)=tanα−tanπ41+tanαtanπ4=15，即tanα−11+tanα=15，解得tanα=32．故答案为32．14.答案：①②④解析：解：①∵底面是正方形的长方体ABCD−A1B1C1D1的底面边长AB=6，侧棱长AA1=2√7，∴外接球的直径为√36+36+28=10，半径为5，∵点E是AB的中点，∴OE=4，∴PE长的最大值是4+5=9，故正确；②P到平面EBC的最大值为5+√7，∵△EBC的面积为9，∴三棱锥P−EBC体积最大值是15+3√7，故正确；③过点E的平面，截球O的截面面积最小是9π，故不正确；④当PQ中点与C1D1中点重合，且PQ垂直于平面ABC1D1时，则四面体ABPQ体积为56，故正确；⑤过侧面C1CB1B是矩形，CB1不垂直C1B，BC1不可能垂直于ABC1D1，故不正确．故答案为：①②④．①求出外接球的直径为√36+36+28=10，半径为5，可得OE=4，从而PE长的最大值是4+5=9，故正确；②P到平面EBC的最大值为5+√7，利用体积公式，可求三棱锥P−EBC体积最大值；③过点E 的平面，截球O 的截面面积最小是9π；④当PQ 中点与C 1D 1中点重合，且PQ 垂直于平面ABC 1D 1时，则四面体ABPQ 体积为56；⑤当过E 点且平行于侧面C 1CB 1B 时，此时可以满足截球O 的截面面积最大，此时B 1C 平行于该截面． 本题考查命题的真假判断，考查学生分析解决问题的能力，综合性强，有难度．15.答案：2解析：【分析】本题考查函数的奇偶性及运用，考查定义法求参数的方法，考查运算能力，属于中档题． 由奇函数的定义可得，f(−x)+f(x)=0，再化简整理，即可得到a ．【解答】解：函数f(x)=a⋅3x +4−a4(3x −1)是奇函数，则f(−x)+f(x)=0，即有a⋅3−x +4−a 4(3−x −1)+a⋅3x +4−a 4(3x −1)=0， 则a 2+13−x −1+13x −1=0，化简得到，a 2+3x 1−3x +13x −1=0，即a 2=1，故a =2．故答案为：2 16.答案：65.5解析：解：根据表中数据，计算x −=14×(4+2+3+5)=3.5，y −=14×(49+26+39+54)=42； ∑(4i=1x i −x −)(y i −y −)=(4−3.5)(49−42)+(2−3.5)(26−42)+(3−3.5)(39−42)+(5−3.5)(54−42)=47；∑(4i=1x i −x −)2=(4−3.5)2+(2−3.5)2+(3−3.5)2+(5−3.5)2=5；∴b ̂=475=9.4，a ̂=y −−b ̂x −=42−9.4×3.5=9.1； 所以y 关于x 的线性回归方程为ŷ=9.4x +9.1； 当x =6时，y =9.4×6+9.1=65.5；故答案为：65.5．根据表中数据计算x −、y −，求出回归直线方程的系数，由回归直线方程计算x =6时对应y 的值即可． 本题考查了线性回归直线方程的求法与应用问题，是中档题． 17.答案：解：(1)∵数列{a n }是等差数列，由a1+a2+a3=12，得3a2=12，a2=4，又a1=2，∴d=a2−a1=4−2=2，∴数列{a n}的通项公式为：a n=a1+(n−1)d=2+2(n−1)=2n，数列{a n}的前n项和为：S n=n(a1+a n)2=n(2+2n)2=n(n+1)；(2)∵1S n =1n(n+1)=1n−1n+1，∴求1S1+1S2+1S3+⋯+1S10=(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(110−111)=1−111=1011．解析：(1)由已知借助于等差数列的性质求出a2，由等差数列的定义得到公差，则数列{a n}的通项公式及前n项和S n可求；(2)把1S n进行裂项，然后利用裂项相消法求和．本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．18.答案：(Ⅰ)证明：∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，点O为CD的中点，∴OM⊥CD．∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD=CD，OM⊂平面CMD，∴OM⊥平面BCD．∵AB⊥平面BCD，∴OM//AB．又∵AB⊂平面ABD，OM⊄平面ABD，∴OM//平面ABD．(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知OM//平面ABD，∴点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离过O作OH⊥BD，垂足为点H，∵AB⊥平面BCD，OH⊂平面BCD，∴OH⊥AB．∵AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，AB∩BD=B，∴OH⊥平面ABD．∵AB=BC=2，△BCD是等边三角形，∴BD=2，OD=1，OH=OD⋅sin60°=√32．∴V A−BDM =V M−ABD =V O−ABD =13×12×AB ⋅BD ⋅OH =13×12×2×2×√32=√33． ∴三棱锥A −BDM 的体积为√33．解析：(I)由平面CMD ⊥平面BCD 可得OM ⊥平面BCD ，又AB ⊥平面BCD ，得出OM//AB ，从而得出OM//平面ABD ；(II)过O 作OH ⊥BD ，则可证OH ⊥平面ABD.于是V A−BDM =V M−ABD =V O−ABD ．本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．19.答案：解(1)：作出2×2列联表−(2)计算随机变量K 2的观测值k =86×(5×22−50×9)255×31×14×72≈5.785>2.706，所以有90%的把握认为该地区中得传染病与饮用水有关．解析：(1)根据题目数据作出2×2列联表(2)计算观测值k 2，根据临界值表可得结论．本题考查了独立性检验，属中档题．20.答案：解：(1)设PF 中点为G ，由内切可知，|OG|=2−|PF|2， 即|PF|+2|OG|=4，取F′(−1,0)，连接P ，F′，由中位线可知，|PF′|=2|OG|，∴|PF′|+|PF|=4，故P 的轨迹E 是以F′，F 为焦点的椭圆，a =2，c =1，b =√3，其方程为：x 24+y 23=1；(2)证明：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由题意知，A(−2,0)，B(2,0)，则BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−2,y 2)，∵直线AM 的方程为y =y 1x1+2(x +2)， ∴T(8,10y 1x 1+2)，∴BT ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,10y 1x 1+2)， 由题意可设直线MN 的方程为：x =my +12，由{x =my +12x 24+y 23=1 得(3m 2+4)y 2+3my −454=0， y 1+y 2=−3m 3m 2+4，y 1y 2=−454(3m 2+4)，∵(x 2−2)×10y 1x 1+2−6y 2 =10y 1(my 2−32)−6y 2(my 1+52)x 1+2=4my 1y 2−15(y 1+y 2)x 1+2=4m ×−454(3m 2+4)−15×−3m 3m 2+4x 1+2=0，∴BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //BT⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴B ，N ，T 三点共线．解析：(1)设PF 中点为G ，由内切得|OG|，|PF|的关系，再利用中位线转化为|PF|与|PF′|(F′(−1,0))的和，由椭圆定义可得方程；(2)设M ，N 的坐标，并求得T 的坐标，由直线MN 的方程与椭圆方程联立得根与系数关系，然后向量共线的条件去证BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //BT⃗⃗⃗⃗⃗ 即可． 此题考查了轨迹方程的求法，直线与椭圆的综合，三点共线的证明等，难度较大．21.答案：解：f(x)=x−2x+2e x ，f′(x)=e x (x−2x+2+4(x+2)2)=x 2e x(x+2)2，∵当f′(x)>0时，x <−2或x >−2，∴f(x)在(−∞,−2)和(−2,+∞)上单调递增，证明：因为x >0时，x−2x+2e x >f(0)=−1∴(x −2)e x +x +2>0．解析：求导，f′(x)=x 2e x(x+2)2，令f′(x)>0，即可求得f(x)的单调递增区间，由当x >0时，根据函数单调性可知x−2x+2e x >f(0)=−1，即可证，(x −2)e x +x +2>0．本题考查了导数在函数单调性上的应用，考查复合函数的求导法则以及导数代表的意义，考查计算能力，属于中档题．22.答案：解：曲线C 1的参数方程是{x =√t y =√3t 3(t 为参数)，化为直角坐标方程：y=√33x.(x ≥0)．曲线C 2的极坐标方程是ρ=2，化为x 2+y 2=4．联立{y =√33x x 2+y 2=4，解得{x =√3y =1 ∴曲线C 1与C 2的交点在直角坐标系中的直角坐标为(√3,1)．解析：分别把曲线C 1的参数方程化为直角坐标方程，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标方程，联立解出即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程及其应用、曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.答案：(1)当a =1时，f (x )={−3x +3,x ⩽12x +1,12<x <23x −3,x ⩾2，不等式f (x )⩾3可化为{−3x +3⩾3x ⩽12 或{x +1⩾312<x <2 或{3x −3⩾3x ⩾2 ， 解得：x ≤0或x ≥2，∴不等式的解集为(−∞,0]∪[2,+∞)．(2)f (x )⩾|2x −a −(x −2)|=|x −a +2| ，当且仅当(2x −a )(x −2)⩽0时，取“=”当a ⩽4时，x 的取值范围为a2⩽x ⩽2；当a >4时，x 的取值范围为2⩽x ⩽a 2．解析：本题考查绝对值不等式的解法以及绝对值不等式的性质，属于中档题．(1)对x 分类讨论，去绝对值，再解不等式，即可得到答案;(2)运用绝对值不等式的性质，求出f(x)的最小值，验证等号成立条件，即可得到答案．。
厦门市2020届高中毕业班5月质量检查(理科)数学试卷参考答案
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2020年高考理科数学(全国卷Ⅱ真题)——(含答案和解析)
【答案】B
【解析】
【分析】
算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】由题意，第二天新增订单数为 ，
故需要志愿者 名.
故选：B
【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）
A. B. C. D.
8.设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点，若 的面积为8，则 的焦距的最小值为（）
A. 4B. 8C. 16D. 32
9.设函数 ，则f(x)（）
A.是偶函数，且在 单调递增B.是奇函数，且在 单调递减
C.是偶函数，且在 单调递增D.是奇函数，且在 单调递减
（一）必考题：共60分.
17. 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.
（1）求A；
（2）若BC=3，求 周长的最大值.
18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得 ， ， ， ， .
10.已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）
2020年高考真题——数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)(解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ð（）A.{−2，3}B.{−2，2，3}C.{−2，−1，0，3}D.{−2，−1，0，2，3}【答案】A 【解析】【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得： 1,0,1,2A B ，则 U 2,3A B ð.故选：A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.2.若α为第四象限角，则（）A.cos2α>0 B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<0【答案】D 【解析】【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.【详解】当6时，cos 2cos 03，选项B 错误；当3时，2cos 2cos 03，选项A 错误；由 在第四象限可得：sin 0,cos 0 ，则sin 22sin cos 0 ，选项C 错误，选项D 正确；故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B 【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900 ，故需要志愿者9001850名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C 【解析】【分析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S ，解方程即可得到n ，进一步得到3n S .【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n ，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S ，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S ，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n 即29729n ，解得9n ，所以32727(9927)34022n S S .故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.5.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y 的距离为（）A.5B.5C.5D.455【答案】B 【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ,,0a a a ，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点 2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y 的距离.【详解】由于圆上的点 2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必第一象限，设圆心的坐标为,a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为 222x a y a a .由题意可得 22221a a a ，可得2650a a ，解得1a 或5a ，所以圆心的坐标为 1,1或 5,5，圆心到直线230x y 距离均为255d；所以，圆心到直线230x y 的距离为5.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.6.数列{}n a 中，12a ，m n m n a a a ，若155121022k k k a a a ，则k （）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】分析】取1m ，可得出数列 n a 是等比数列，求得数列 n a 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k 的等式，由k N 可求得k 的值.【详解】在等式m n m n a a a 中，令1m ，可得112n n n a a a a ，12n na a，所以，数列 n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n n n a ，1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a，1522k ，则15k ，解得4k .故选：C.【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（）A.EB.FC.GD.H【答案】A 【解析】【分析】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得M 点在侧视图中对应的点.【详解】根据三视图，画出多面体立体图形，图中标出了根据三视图M 点所在位置，可知在侧视图中所对应的点为E 故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题.8.设O 为坐标原点，直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（）A.4B.8C.16D.32【答案】B 【解析】【分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b ，可得双曲线的渐近线方程是b y x a，与直线x a 联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2c ，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】∵2222:1(0,0)x y C a b a b双曲线的渐近线方程是by x a∵直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a，解得x a y b故(,)D a b 联立x ab y x a，解得x a y b故(,)E a b ||2ED bODE 面积为：1282ODE S a b ab△∵双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b其焦距为28c当且仅当a b C 的焦距的最小值：8故选：B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9.设函数()ln |21|ln |21|f x x x ，则f (x )（）A.是偶函数，且在1(,)2 单调递增B.是奇函数，且在11(,)22单调递减C.是偶函数，且在1(,)2单调递增D.是奇函数，且在1(,)2单调递减【答案】D 【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断出 f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x时，利用函数单调性的性质可判断出 f x 单调递增，排除B ；当1,2x时，利用复合函数单调性可判断出 f x 单调递减，从而得到结果.【详解】由 ln 21ln 21f x x x 得 f x 定义域为12x x，关于坐标原点对称，又 ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x ，f x 为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x时， ln 21ln 12f x x x ， ln 21y x Q 在11,22 上单调递增， ln 12y x 在11,22上单调递减，f x 在11,22上单调递增，排除B ；当1,2x时， 212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x，2121x∵在1,2上单调递减， ln f 在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知： f x 在1,2上单调递减，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据 f x 与 f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.10.已知△ABC 是面积为4的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（）A.B.32C.1D.2【答案】C【解析】【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离d【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ，解得：2R .设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC ∵ 是面积为4的等边三角形，21393224a ，解得：3a ，2233r球心O 到平面ABC 的距离1d .故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.11.若2233x y x y ，则（）A.ln(1)0y x B.ln(1)0y x C.ln ||0x y D.ln ||0x y 【答案】A 【解析】【分析】将不等式变为2323x x y y ，根据 23t tf t 的单调性知x y ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y 得：2323x x y y ，令 23ttf t ，2x y ∵为R 上的增函数，3x y 为R 上的减函数， f t 为R 上的增函数，x y ，0y x Q ，11y x ， ln 10y x ，则A 正确，B 错误；x y Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12n a a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i 的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12n a a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k 的序列是（）A 11010 B.11011C.10001D.11001【答案】C 【解析】【详解】由i m i a a 知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m ，511(),1,2,3,45i i k i C k a a k 对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；故选：C【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________.【答案】2【解析】【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值.【详解】由题意可得：211cos 452a b ，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a，即：202k a a b k ，解得：2k .故答案为：2．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.【答案】36【解析】【分析】根据题意，采用捆绑法，先取2名同学看作一组，现在可看成是3组同学分配到3个小区，即可求得答案.【详解】∵4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：246C 现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636 种故答案为：36.【点睛】本题主要考查了计数原理的实际应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15.设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z ，则12||z z =__________.【答案】【解析】【分析】令12cos 2sin z i ，22cos 2sin z i ，根据复数的相等可求得1cos cos sin sin 2，代入复数模长的公式中即可得到结果.【详解】122z z ∵，可设12cos 2sin z i ，22cos 2sin z i ，122cos cos 2sin sin z z i i ，2cos cos 2sin sin 1，两式平方作和得： 422cos cos 2sin sin 4 ，化简得：1cos cos sin sin 2122cos cos 2sin sin z z i故答案为：.【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；关键是能够采用假设的方式，将问题转化为三角函数的运算问题.16.设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ②12p p ③23p p ④34p p 【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为 ；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面 内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面 内，所以，AB ，即3l ，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m 平面 ，则m 垂直于平面 内所有直线，∵直线l 平面 ， 直线m 直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，14p p 为真命题，12p p 为假命题，23p p 为真命题，34p p 为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C.（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23；（2）3 【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）利用余弦定理可得到 29AC AB AC AB ，利用基本不等式可求得AC AB 的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB ，2221cos 22AC AB BC A AC AB ， 0,A ∵，23A .（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB ，即 29AC AB AC AB .22AC AB AC AB∵（当且仅当AC AB 时取等号）， 22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB ，解得：AC AB （当且仅当AC AB 时取等号），ABC周长3L AC AB BC ，ABC周长的最大值为3 .【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i i x ，2011200i i y，202180i i x x （，20219000i i y y （，201))800i i i x y x y （（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r)ni i x y x y（（=1.414.【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式20()()ii x x y y r 计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.【详解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000（2）样本(,)i i x y的相关系数为20()()0.943i i x x y y r （3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.19.已知椭圆C 1：22221x y a b(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.【答案】（1）12；（2）221:13627x y C ，22:12C y x .【解析】【分析】（1）求出AB 、CD ，利用43CD AB可得出关于a 、c 的齐次等式，可解得椭圆1C 的离心率的值；（2）由（1）可得出1C 的方程为2222143x y c c，联立曲线1C 与2C 的方程，求出点M 的坐标，利用抛物线的定义结合5MF 可求得c 的值，进而可得出1C 与2C 的标准方程.【详解】（1） ,0F c ∵，AB x 轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x c ，联立22222221x c x y a b a b c，解得2x c b y a ，则22b AB a，抛物线2C 的方程为24y cx ，联立24x c y cx，解得2x c y c ，4CD c ，43CD AB ∵，即2843b c a，223b ac ，即222320c ac a ，即22320e e ，01e Q ，解得12e ，因此，椭圆1C 的离心率为12；（2）由（1）知2a c，b ，椭圆1C 的方程为2222143x y c c，联立222224143y cx x y c c，消去y 并整理得22316120x cx c ，解得23x c 或6x c （舍去），由抛物线的定义可得25533c MF c c ，解得3c .因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y ，曲线2C 的标准方程为212y x .【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.20.如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（1）证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）10.【解析】【分析】（1）由,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN CC ，根据条件可得11//AA BB ，可证1MN AA //，要证平面11EB C F 平面1A AMN ，只需证明EF 平面1A AMN 即可；（2）连接NP ，先求证四边形ONPA 是平行四边形，根据几何关系求得EP ，在11B C 截取1B Q EP ，由（1）BC ⊥平面1A AMN ，可得QPN 为1B E 与平面1A AMN 所成角，即可求得答案.【详解】（1）∵,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB 又11//AA BB 1//MN AA 在ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM又∵侧面11BB C C 为矩形，1BC BB 1//MN BB ∵MN BC由MN AM M ，,MN AM 平面1A AMNBC ⊥平面1A AMN又∵11//B C BC ，且11B C 平面ABC ，BC 平面ABC ，11//B C 平面ABC又∵11B C 平面11EB C F ，且平面11EB C F 平面ABC EF 11//B C EF//EF BC又BC ∵平面1A AMNEF 平面1A AMNEF ∵平面11EB C F平面11EB C F 平面1A AMN（2）连接NP∵//AO 平面11EB C F ，平面AONP 平面11EB C F NP //AO NP根据三棱柱上下底面平行，其面1A NMA 平面ABC AM ，面1A NMA 平面1111A B C A N //ON AP故：四边形ONPA 是平行四边形设ABC 边长是6m (0m )可得：ON AP ，6NP AO AB m∵O 为111A B C △的中心，且111A B C △边长为6m 16sin 603ON故：ON AP ∵//EF BC AP EP AM BM3EP 解得：EP m在11B C 截取1B Q EP m ，故2QN m∵1B Q EP 且1//B Q EP四边形1B QPE 是平行四边形，1//B E PQ由（1）11B C 平面1A AMN故QPN 为1B E 与平面1A AMN 所成角在Rt QPN △，根据勾股定理可得：PQsin10QN QPN PQ 直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值：1010.【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和线面角的定义，考查了分析能力和空间想象能力，属于难题.21.已知函数f (x )=sin 2x sin2x .（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性；（2）证明：()8f x ；（3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤34nn .【答案】（1）当0,3x时， '0,f x f x 单调递增，当2,33x 时， '0,f x f x 单调递减，当2,3x时， '0,f x f x 单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin 2sin 2sin 2n n n f x x x x x x x x x ，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.【详解】(1)由函数的解析式可得： 32sin cos f x x x ，则： 224'23sin cos sin f x x x x2222sin 3cos sin x x x 222sin 4cos 1x x 22sin 2cos 12cos 1x x x ，'0f x 在 0,x 上的根为：122,33x x，当0,3x时， '0,f x f x 单调递增，当2,33x时， '0,f x f x 单调递减，当2,3x时， '0,f x f x 单调递增.(2)注意到 22sinsin 2sin sin 2f x x x x x f x ，故函数 f x 是周期为 的函数，结合(1)的结论，计算可得： 00f f ，233333228f ，2233333228f ，据此可得： max 338f x， min 338f x ，即 338f x .(3)结合(2)的结论有：2222sin sin 2sin 4sin 2n x x x x 233333sin sin 2sin 4sin 2n x x x x2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin 2sin 2sin 2n n n x x x x x x x x232sin sin 2888n x x 23338n 34n .【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y ，（θ为参数），C 2：1,1x t t y t t（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）1:4C x y ；222:4C x y ；（2）17cos 5.【解析】【分析】（1）分别消去参数 和t 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由22cos sin 1 得1C 的普通方程为：4x y ；由11x t t y t t 得：2222221212x t t y t t，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y .（2）由2244x y x y 得：5232x y ，即53,22P ；设所求圆圆心的直角坐标为 ,0a ，其中0a ，则22253022a a，解得：1710a ， 所求圆的半径1710r ， 所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ，即22175x y x ， 所求圆的极坐标方程为17cos 5.【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数2()|21|f x x a x a .（1）当2a 时，求不等式()4f x 的解集；（2）若()4f x ，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x或112x；（2） ,13, .【解析】【分析】（1）分别在3x 、34x 和4x 三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到 21f x a ，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a 时， 43f x x x .当3x 时， 43724f x x x x ，解得：32x ≤；当34x 时， 4314f x x x ，无解；当4x 时， 43274f x x x x ，解得：112x；综上所述： 4f x 的解集为32x x或112x .（2） 22222121211f x x a x a x ax a a a a （当且仅当221a x a 时取等号）， 214a ，解得：1a 或3a ，a 的取值范围为 ,13, .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.祝福语祝你马到成功，万事顺意!。