人教版八年级数学下册 18.2 特殊的平行四边形 18.2.3 正方形
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB与点D，∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB 的中点.∠ECD是多少度？为什么？ 解：∵E是斜边AB上的中点，即CE是斜边上 1 的中线，∴CE= AB=AE， 2 ∴∠A=∠ACE， ∵CD⊥AD， ∴∠B+∠BCD=90°， ∠A+∠ACD=90°，
证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=DA=BC=CD，∵BM=DN， ∴AM=AN，∵MG∥AD，NF∥AB， ∴四边形AMEN是平行四边形，又AM=AN， 所以AMEN是菱形.同理可证EFCG是菱形.
11.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8， DB=6，DH⊥AB与点H，求DH的长.
解：∵四边形ABCD是菱形. 1 ∴AC⊥BD，AO= AC=4 2 1 BO= BD=3， 2 ∴AB= AO2 BO2 =5， 1 1 1 ∵S△ABD= 2 S菱形ABCD= AC BD 12
综合应用
7.如图，把一个长方形纸片对折两次， 然后剪下一个角.要得到一个正方形，剪口与 折痕应成多少度的角？
解：剪口应与折痕成45°角.
8.如图，为了做一个无盖纸盒，小明先在一 块矩形硬纸板的四角画出四个相同的正方形，用 剪刀剪下.然后把纸板的四边沿虚线折起，并用 胶带粘好，一个无盖纸盒就做成了. 纸盒的底面 是什么形状？为什么？ B A 解：纸盒的底面是矩形. C D E 如图：∵ABCD是正方形. G ∴∠ADC=90°， F ∠EDF=90°， 同理∠E=∠F=90°，∴四边形DFGE是矩形.
连接AC，在Rt△ABC中，∠B=90°， AB=BC=20 2 （m）， AC= AB2 BC 2 = 800 800 =40（m） S正方形ABCD=BC2 = （20 2）2=800（m2） 所以正方形的对角线长40m， 面积为800m2.
误区二 考虑问题不全面，出现漏解情况
2.如图所示，在正方形ABCD中，H是DC 上一点，E是CB延长线上一点，且DH=BE，请 你判断△AEH的形状，并说明理由.
证明：∵四边形ABCD是正方形。 ∴AC＝BD，AC⊥BD， OA＝OB＝OC＝OD， ∴△ABO，△BCO，△CDO， △DAO都是等腰直角三角形， 并△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
正方形、菱形、矩形、平行四边形之间 有什么关系？与同学们讨论一下.
平 行 菱 四 形 边 形 平 行 矩 四 形 边 形
正解：△AEH为等腰三角形. 理由：∵四边形ABCD是正方形. 所以AD=AB，∠D=∠ABE=90°， H D ∴在Rt△ADH和Rt△ABE中， AD=AB，∠D=∠ABE，DH=BE， ∴Rt△ADH≌Rt△ABE（SAS）， A ∴AH=AE，∠DAH=∠BAE， ∴∠HAE=∠DAB=90° 则△AEH为等腰直角三角形.
C
B E
随堂演练
基础巩固
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质 是（ C ） A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.每一条对角线平分一组对角
2.满足下列条件的四边形是不是正方形？ 为什么？ （1）对角线互相垂直且相等的平行四边 形 .（ √ ） （2）对角线互相垂直的矩形.（ √ ） （3）对角线相等的菱形.（ √ ） （4）对角线互相垂直平分且相等的四边 形 .（ √ ）
1 ∴2
AB· DH=12， ∴DH= 5
2
2 24
12.（1）如下图（1），四边形OBCD是矩形 ，O，B，D三点的坐标分别是（0,0），（b，0） ，（0，d），求点C的坐标. 解：（1）∵四边形OBCD是矩形， ∴OD=BC，OB=DC，且CD⊥OD， CD垂直OB.∵D（0，d），B（b，0）， ∴C（b，d）
（2）如下图（2），四边形ABCD是菱形，C ，D两点的坐标分别是（c，0）（0，d），点A， B在坐标轴上，求A，B两点的坐标. 解：（2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AO=CO，BO=DO， ∵C（c，0），∴A（-c，0）， ∵D（0，d），∴B（0，-d），
（3）如下图（3），四边形OBCD是正方形 ，O，D两点的坐标分别为（0，0），（0，d）. 求B，C两点的坐标.
推进新课
知识点 1 正方形
正方形是我们熟悉的几何图形，它的四 条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形 既是矩形，又是菱形.
正方形也是矩形，所以它具有矩形的性 质，四个角相等，对角线相等.
正方形也是菱形，所以正方形也具有菱 形的性质，即正方形的四条边相等，对角线互 相垂直，并且每条对角线平分一组对角.
D
C
4.在Rt△ABC中，∠C=90°， AB=2AC.求∠A，∠B的度数. A D 解：取AB得中点D，连接CD， ∵CD是Rt△ABC斜边上的中线， C 1 ∴CD= AB=AD， 1 2 ∵AB=2AC，∴AC= AB， 2 ∴AC=CD=AD，∴△ACD是等边三角形， ∴∠A=60°，又∵∠A+∠B=90°， ∴∠B=30°.
D.AO=CO，BO=DO，AB=BC
错解：A或B或D
正解：C
错因分析：对正方形的判定不熟练，A、B、 D只能判断四边形ABCD是平行四边形或矩形或 菱形.
知识点 1 平行四边形，矩形，菱形，正方形
例5 求证：正方形的两条对角线把这个正 方形分成四个全等的等腰直角三角形. 已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC、 BD相交于O。 求证：△ABO，△BCO， △CDO，△DAO是全等的等腰 直角三角形。
习题18.1 复习巩固
1.如图，四边形ABCD是平行四边形，对 角线AC，BD相交于点O，且∠1=∠2.它是一 个矩形吗？为什么？ 解：它是一个矩形. 理由：∵∠1=∠2，∴OB=OC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD，∴OA=OC=OB=OD， ∴AC=BD. ∴ABCD是矩形.
18.2.3
正方形
新课导入 除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四 边形吗？
正方形
正方形有什么性质？怎样判定一个四边形是 正方形？
学习目标
1.能说出正方形的意义及性质. 2.能说出正方形与其他特殊四边形的关系 （共性与个性）. 3.知道正方形的判定方法.
学习重、难点
重点：正方形的性质及与其他特殊四边形 的联系与区别. 难点：正方形的性质的运用.
那么，如何判定一个四边形是正方形呢？ 判定一个四边形为正方形的主要依据是 定义，途径有两条： （1）先证它是矩形，再证它有一组邻边相等； （2）先证它是菱形，再证它有一个角为直角.
练习
1、（1）把一个长方形纸片如图那样折一下， 就可以裁出一个正方形纸片，为什么？
解：由折叠可知： ∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝90°， ∴四边形ABCD是矩形. 又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形.
B
5.如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30° ，BD=6.求：（1）∠BAD，∠ABC
解：（1）∵四边形ABCD是菱形. ∴AC平分∠BCD. ∴∠BCD=2∠ACD=2×30°=60°， ∴∠BAD=∠BCD=60°， 又∠ABC+∠BAD=180°， ∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-60°=120°.
（2）如果是一个长方形木板，如何从中裁 出一个最大的正方形木板呢？ 解：在长方形木块较长的
一边上截取一段等于较短的一
条边长，即可得到最大的正方
形木板。
误 区
诊 断
误区一 对正方形的定义理解不深，对矩形、菱形 的判定不熟练，容易混淆 1.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下 列条件中，能判定这个四边形是正方形的是（ ∥ CD A.AD∥BC，∠B=∠D B.AD=BC，AB ） ＝ C.AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°， ∴∠A=∠BCD. ∵∠ACD=3∠BCD，∴∠ACD=3∠A， 又∠ADC=90°，∴∠A=22.5° ∴∠ECD=∠ACD-∠ECA =67.5°-22.5°=45°
10.如图，四边形ABCD是菱形，点M，N分 别在AB，AD上，且BM=DN，MG∥AD， NF∥AB；点F，G分别在BC，CD上，MG与NF相 交于点E.求证：四边形AMEN，EFCG都是菱形.
2.求证：四个角都相等的四边形是矩形.
证明：由四边形的内角和定理得， ∠A+∠B+∠C+∠D=360°， A ∵∠A=∠B=∠C=∠D， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°， B ∴四边形ABCD是矩形.
D
C
3.一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个 对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向 锯了两次。就能得到矩形踏板.为什么？ 解：如图∵AB⊥AD，CD⊥AD. ∴AB∥CD，∠A=90°， AD∥BC. A ∴四边形ABCD是矩形. B
正方形也是菱形，所以正方形也具有菱 形的性质，即正方形的四条边相等，对角线互 相垂直，并且每条对角线平分一组对角.
正方形是轴对称图形吗？有几条对称轴？
是轴对称图形，有4条对称轴.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
正方形的性质
正方形的四个角都是直角；
正方形的四条边都相等； 正方形的对角线相等，并且互相垂直平分； 正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.
正方形的四条边都相等； 正方形的对角线相等，并且互相垂直平分； 正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.
拓展延伸 如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC 上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交 AG于点F，求证：AF-BF=EF. 证明：∵∠BAF+∠DAE=90°， 又∵DE⊥AG，BF∥DE，∴BF⊥AG， ∴∠BAF+∠ABF=90°， ∴∠ABF=∠DAE. 又∵AB=DA，∠AFB=∠DEA=90°, ∴△ABF≌△DAE， ∴BF=AE，∴AF-BF=AF-AE=EF.
D H C
八年级.数学下册 18.2 特殊的平行四边形 18.2.3 正方形课件下册数学课件
就可以截出面积最大的正方形
(dìngyì)
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第五页，共十三页。
1、正方形具有___菱__形的性质(xìngzhì)，同时又具有_矩__形___的性质．
边：对边___相__等___，四边_____都__相__等；
知 识 点
角：四个角都是____直__角__； 线：对角线相等，互相____平__分__，每条对角线
No 形.。（1）把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片.为什么。（2）如何从
一块长方形木板中裁出一块最大的正方形木板呢。1、正方形具有_____的性质，同时又具有 ______的性质．。角：四个角都是________
Image
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根据正方形的判定方法，知四边形CEDF是正方形
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内容(nèiróng)总结
18.2.3 正方形。理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别(qūbié)。1、四条边 _______，四个角都是_______的四边形叫做正方形.。（2）有一个角是________的菱形是正方
对边平行且相等
√
√
√
√
四边都相等
四个角都是直角
对角线互相平分
√
√
√
√
√
√
√
√
对角线互相垂直
√
√
2、对学角习线(xu相éx等í)反思：
√
√
√
______________________________________________________________
_______
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八年级数学下册第18章平行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.3正方形课件2新版新人教版
∟
四 个 角 都是直角
C
B
C
对角线互相垂直平 分且相等，每条对 角线平分一组对角
∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD,AC=BD, OA=OB=OC=OD, ∠1= ∠2= ∠3= ∠4= ∠5= ∠6= ∠7 对称轴是什么？
对角线所在直线和对边中点所确定的直线
∴∠EHM=90°即AP⊥EF.在等腰直角三角形PDF中, PD= 2 PF= 2 EC.
答案：①②④⑤
4.（红河·中考）如图，在正方形ABCD中，G是BC上的任意
一点（G与B,C两点不重合），E,F是AG上的两点（E,F与A,G 两点不重合），若AF=BF+EF，∠1=∠2，请判断线段DE与BF 有怎样的位置关系，并证明你的判断.
Ｈ
Ｄ
3 2 1
Ｇ
Ｆ Ｃ
【跟踪训练】
1.从长方形木板中怎样截出最大的正方形木板?
2.现有一条方巾，想请同学们帮助检验一
下方巾是否是正方形的.怎样检验？
通过本节课的学习，需要我们掌握： 1.有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正 方形.
2.正方形的性质与判定.
3.特殊四边形之间的关系.
1.（义乌·中考）下列说法不正确的是( A.一组邻边相等的矩形是正方形
菱 形
对角线互相 对角相等， 垂直平分， 邻角互补 每条对角线 平分一组对 角
1.掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行 有关的论证和计算.
2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区
别.
发现：
矩 形
邻边 相等
正方形
一组邻边相等的矩 形是正方形
发现：
菱 形
一个角 是直角
正方形
新人教版八年级数学下册第十八章平行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.3正方形第1课时正方形的性
正方形性质:
边 对边平行
A
D
四边相等 角 ：四个角都是直角
对角线 相等
O
B
C
互相垂直平分 每条对角线平分一组对角
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形， 也是特殊的菱形.
正方形的性质=
知识要点
(C) A
D(B)
正方形是中心对称图形,对称中心为点O.
O
它也是轴对称图形,有4条对称轴.
(D)B
C(A)
(1)它具有平行四边形的一切性质
两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分
(2)具有矩形的一切性质 四个角都是直角，对角线相等
(3)具有菱形的一切性质
四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角
正方形图形 “庐山真面目”
A
450 450
450 D
450
O
450
从图中可看出，
•
9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。21.4.4 21.4.4S unday, April 04, 2021
•
10、低头要有勇气，抬头要有低气。1 0:27:24 10:27:2 410:27 4/4/202 1 10:27:24 AM
•
11、人总是珍惜为得到。21.4.410:27:2 410:27 Apr-214 -Apr-21
EC
AC的长就是PE和PC长度和
的最小值.
课堂小结
1.正方形的概念： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形 叫做正方形.
图示：
矩形
平行四边形
有一组邻边相等 有一个角是直角
菱形
正方形
2.正方形的性质：
八年级数学下册 第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.3 正方形教学课件人教
A
D
∴正方形是矩形（矩形的定义）,
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, B
C
AB= BC=CD=AD.
课程讲授
1 正方形的性质
下面我们对上述猜想进行证明
如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC，BD相交于点O.
求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
A
D
证明：∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD.
一组对角.
新知导入
想一想： 1.矩形经过怎样的变化就成为了正方形呢？
矩形
邻边 相等
正方形
新知导入
想一想： 2.菱形经过怎样的变化就成为了正方形呢？
菱形
有一个角 是直角
正方形
定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四 边形是正方形.
课程讲授
1 正方形的性质
探究：正方形既能由矩形变换得到又能由菱形变换得到， 那么正方形具有哪些性质？
课程讲授
1 正方形的性质
练一练： 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOE＝∠DOF＝90°，AO＝DO， ∠OBA＝45°.又∵DG⊥AE， ∴∠EAO＋∠AEO＝∠EDG＋∠GED＝90°. ∵∠AEO＝∠GED，∴∠EAO＝∠EDG＝∠FDO. ∴△AEO≌△DFO(ASA)．∴OE＝OF，∴∠OEF＝45°， ∴∠OEF＝∠OBA，∴EF∥AB.
课程讲授
2 正方形的判定
练一练： 证法一：∵DE⊥BC，AC⊥BC，∴DE∥CF.同理DF∥CE， ∴四边形CFDE是平行四边形． ∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∴▱ CFDE是菱形． ∵∠ACB＝90°，∴菱形CFDE是正方形． 证法二：∵∠ECF＝∠CFD＝∠CED＝90°， ∴四边形CFDE是矩形． ∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∴矩形CFDE是正方形．
八年级数学下册 18.2 特殊的平行四边形 18.2.3 正方形课件_1
12/13/2021
第二页，共十六页。
正方形的性质 1．如图，四边形 ABCD 是正方形，延长 AB 到 E，使 AE＝AC，则∠BCE 的 度数是 22.5° .
2．如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 为 BC 上一 7
点，CE＝5，F 为 DE 的中点．若△CEF 的周长为 18，则 OF 的长为 2 .
角形．
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正方形的判定 6．下列说法不正确的是( D ) A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形 7．已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是( D ) A．当 AB＝BC 时，它是菱形 B．当 AC⊥BD 时，它是菱形 C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当 AC＝BD 时，它是正方形
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第九页，共十六页。
1．下列判断错误的是( D )
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
2．下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是( B )
A．平行四边形
B.正方形
C．菱形
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八年级数学(shùxué)(下册)·人教版
第十八章 平行四边形
18.2.3 正方形
第一页，共十六页。
1．正方形既是特殊矩形，又是特殊菱形，它的四个角都是直角(zhíj，iǎo四) 条边 都 相等(xiā，ng对děn角g)线 互相(hùxiāng)垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角． 2．正方形是轴对称图形，它有 4 条对称轴． 3．正方形的判定方法： ①有一组邻边 相等 的矩形是正方形； ②有一个角是 直角 的菱形是正方形； ③对角线互相垂直的 矩形 是正方形； ④对角线相等的 菱形 是正方形．
人教版八年级数学RJ下册精品教案 第18章 平行四边形 特殊的平行四边形 18.2.3 正方形
18.2.3 正方形教师备课素材示例●类比导入 1.问题：矩形的性质有哪些？菱形呢？2．操作：你能将一个矩形折叠成一个正方形吗？给一个菱形框架，你能将它改成正方形吗？【教学与建议】教学：通过折叠裁剪得出正方形，使学生明白，有一组邻边相等的矩形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形．建议：从正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形入手，分别从边、角、对角线三个方面进行归纳总结．●情景导入相框、信封、明信片、田字格，还有在中国流传了数百年的神奇玩具——华容道、七巧板，都有矩形和正方形的影子，同时正方形也是最完美的图形之一．你能指出生活中的正方形吗？你能将一张长方形的纸折成一个正方形吗？正方形有哪些性质呢？【教学与建议】教学：举例折叠正方形，明白正方形的概念，对正方形产生感性认识．建议：可以引导学生借助图形的特征从边、角、对角线、对称性上分别进行探索．正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，它隐含了图形中有许多相等的线段与角、互相垂直的线段、垂直平分的线段等条件．【例1】如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ABE，则∠BED为(C)A．15°B．35°C．45°D．55°（例1题图）（例2题图）【例2】如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF ＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是(B)A．30B．34C．35D．40【例3】小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形，现有下列四种选法，你认为其中错误的是(B)A．①②B．②③C．①③D．②④【例4】如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形．证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形．又∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，∴∠E＝90°，且BE ＝CE，∴平行四边形BECF是正方形．当多个正方形有公共顶点结合在一起的时候，存在直角三角形，全等三角形，可以通过勾股定理或证明全等三角形找到相等线段来证明相关结论或解决线段长度问题．【例5】如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M，N分别是DC，DF的中点，连接MN.若AB＝7，BE＝5，则MN＝__6.5__．【例6】如图，E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE 绕点A逆时针旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于点H.(1)试判断四边形AFHE的形状，并说明理由；(2)已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．解：(1)四边形AFHE是正方形．理由如下：∵Rt△ABE≌Rt△ADF，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∠DAF＝∠EAB，AE＝AF，∴∠AFH＝90°.∵∠DAB ＝90°＝∠DAF＋∠FAB，∴∠EAB＋∠FAB＝90°，即∠FAE＝90°.在四边形AEHF中，∠FAE＝90°，∠AEB＝90°，∠AFH＝90°，AF＝AE，∴四边形AFHE是正方形；(2)设AE＝x，在Rt△AEB中，AB2＝AE2＋EB2，即132＝x2＋(x＋7)2，解得x＝5，∴BE＝BH＋EH＝7＋5＝12，∴DF＝BE＝12.∵DH＝DF＋FH，∴DH＝12＋5＝17.高效课堂教学设计1．掌握正方形的概念、性质，并会灵活运用．2．理解正方形与矩形、菱形、平行四边形之间的关系．3．掌握正方形的判定方法，能灵活运用正方形的性质与判定进行推理或计算．▲重点正方形的定义、性质和判定及运用方法．▲难点对正方形与其他平行四边形之间关系的理解．◆活动1 新课导入1．回顾矩形、菱形的性质和判定定理．2．用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．今天我们来学习正方形的有关知识．◆活动2 探究新知教材P58部分内容．提出问题：(1)什么样的矩形是正方形？什么样的菱形是正方形？什么样的平行四边形是正方形？(2)正方形有哪些性质？(3)正方形是轴对称图形吗？有几条对称轴？它的对称轴是什么？(4)如何判定一个四边形是正方形？你能写出相应的证明过程吗？学生完成并交流展示．◆活动3 知识归纳1．正方形的概念：(1)有一组邻边__相等__的矩形是正方形；(2)有一个角是__直角__的菱形是正方形．2．正方形的性质：既有矩形的性质，又有菱形的性质．(1)正方形的四条边都__相等__；(2)正方形的四个角都是__直角__；(3)正方形的两条对角线互相__垂直平分__且__相等__，每条对角线__平分__一组对角，它的对角线与每条边的夹角都是__45°__．3．正方形是轴对称图形，它有__4__条对称轴，对称轴是两条对角线所在直线和两组对边的垂直平分线．4．正方形的判定定理：(1)有一组__邻边相等__的矩形是正方形；(2)有一个角是__直角__的菱形是正方形；(3)对角线__互相垂直__的矩形是正方形；(4)对角线相等的__菱形__是正方形．◆活动4 例题与练习例1 教材P58例5.例2 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P 是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.(1)求证：∠ADB＝∠CDB；(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．证明：(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB；(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°.又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．∵∠ADB＝∠CDB，∴PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN，∴四边形MPND是正方形．练习1．教材P59～60练习第1，2，3题．2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( C )A．14B．15C．16D．17（第2题图）（第3题图）3．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED的度数是__45°__．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为边AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE.(1)求证：四边形AEBD是矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形．并说明理由．解：(1)∵点O为AB的中点，∴BO＝AO.又∵OE＝OD，∴四边形AEBD 是平行四边形．∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB ＝90°，∴四边形AEBD是矩形；(2)当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．理由如下：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝12BC＝AD.由(1)，得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．(答案不唯一，言之有理即可)◆活动5 完成附赠手册◆活动6 课堂小结1．正方形的概念、性质和判定定理．2．平行四边形、矩形、菱形和正方形的区别与联系．3．运用正方形的性质和判定定理解决问题．1．作业布置(1)教材P61～62习题18.2第7，12(3)题；(2)学生用书对应课时练习．2．教学反思。
人教初中数学八下 18.2.3 正方形课件2 【经典初中数学课件汇编】
ab3 (3
b )(3 2a
2a)
解：
15 2 2 (a0,b0)
（1）原式= 13 7145 3 2 15 2（2）原式=
13 ab3 b 2a
3
2a
1 7155 2 14 2
ab3 2a2a b
1 15 5 222
ab22a•2a
5 3 4
2ab a
a 0,b 0
2ab 0
原式 2ab a
例1 计算：
(1) 100 00.1(2) 3 2 23
解：原式 1000 0 1 100 10
原式 3 2 23
1 1
18
（默2）
二次根式乘除运算的一般步骤： 1.运用法则,化归为根号内的实数运算; 2.完成根号内相乘,相除(约分)等运算; 3.化简二次根式.
19
例根1号计外算的：系数与系数相乘，积为结果的系数
对折两次，能完全重合
四边相等
对角线垂直且平分
菱形
四、归纳总结
一个角是直角
一组邻边相等
对角线互相垂直相等
一组邻边相等
一个角是直角
五、巩固新知
判断对错：
（1）如果一个菱形的两条对角线相等，那么它 一定是正方形. 对
（2）如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那 么它一定是正方形. 对
（3）两条对角线互相垂直平分且相等的四边 形，一定是正方形. 对
204339
20(233)2
2 018 360
21
分析
二次根式的乘法：根式和根式按公 式相乘。
manbmn a（ba≥0，b≥0）
根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数。
22
计算： 24 32 （默3）
人教版八下数学18.2.3正方形 课时1 正方形的性质教案+学案
人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.3 正方形课时1正方形的性质教案【教学目标】知识与技能目标1．理解并运用正方形的定义计算和证明；2．理解并运用正方形的性质进行计算和证明；3．体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系,理解一般与特殊的关系．过程与方法目标经历正方形的定义及其性质的探究过程,丰富认识图形的经验,进一步发展学生的逻辑推理能力和表达能力．情感、态度与价值观目标让学生在发现、归纳、概括中逐步提高思维能力,培养用数学的思想和方法来思考和分析问题的习惯．【教学重点】正方形性质定理的运用．【教学难点】正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系．【教学准备】教师准备：教学中出示的教学插图、问题和例题.学生准备：复习平行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定.【教学过程设计】一、情境导入做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？二、合作探究知识点一：正方形的性质【类型一】特殊平行四边形的性质的综合例1菱形，矩形，正方形都具有的性质是()A．对角线相等且互相平分B．对角线相等且互相垂直平分C．对角线互相平分D．四条边相等，四个角相等解析：选项A不正确，菱形的对角线不相等；选项B不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不互相垂直；选项C正确，三者均具有此性质；选项D 不正确，矩形的四条边不相等，菱形的四个角不相等．故选C.方法总结：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有性质．【类型二】利用正方形的性质解决线段的计算或证明问题例2如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F.(1)求证：BE＝CF；(2)求BE的长．解析：(1)由角平分线的性质可得到BE＝EF，再证明△CEF为等腰直角三角形，即可证BE＝CF；(2)设BE＝x，在△CEF中可表示出CE.由BC＝1，可列出方程，即可求得BE.(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°.∵EF⊥AC，∴∠EF A＝90°.∵AE平分∠BAC，∴BE＝EF.又∵AC是正方形ABCD的对角线，∴AC平分∠BCD，∴∠ACB＝45°，∴∠FEC＝∠FCE＝45°，∴EF＝FC，∴BE＝CF；(2)解：设BE＝x，则EF＝CF＝x，CE＝1－x.在Rt△CEF中，由勾股定理可得CE＝2x.∴2x＝1－x，解得x＝2－1，即BE的长为2－1.方法总结：正方形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决．【类型三】利用正方形的性质解决角的计算或证明问题例3 在正方形ABCD 中，点F 是边AB 上一点，连接DF ，点E 为DF 的中点．连接BE 、CE 、AE .(1)求证：△AEB ≌△DEC ；(2)当EB ＝BC 时，求∠AFD 的度数．解析：(1)根据“正方形的四条边都相等”可得AB ＝CD ，根据“正方形每一个角都是直角”可得∠BAD ＝∠ADC ＝90°，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得AE ＝EF ＝DE ＝12DF ，根据“等边对等角”可得∠EAD ＝∠EDA ，再得出∠BAE ＝∠CDE ，然后利用“SAS ”证明即可；(2)根据“全等三角形对应边相等”可得EB ＝EC ，再得出△BCE 是等边三角形．根据等边三角形的性质可得∠EBC ＝60°，然后求出∠ABE ＝30°.再根据“等腰三角形两底角相等”求出∠BAE ，然后根据“等边对等角”可得∠AFD ＝∠BAE .(1)证明：在正方形ABCD 中，AB ＝CD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°.∵点E 为DF中点，∴AE ＝EF ＝DE ＝12DF ，∴∠EAD ＝∠EDA .∵∠BAE ＝∠BAD －∠EAD ，∠CDE ＝∠ADC －∠EDA ，∴∠BAE ＝∠CDE .在△AEB 和△DEC 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，∠BAE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，∴△AEB ≌△DEC (SAS)；(2)解：∵△AEB ≌△DEC ，∴EB ＝EC .∵EB ＝BC ，∴EB ＝BC ＝EC ，∴△BCE 是等边三角形，∴∠EBC ＝60°，∴∠ABE ＝90°－60°＝30°.∵EB ＝BC ＝AB ，∴∠BAE ＝12×(180°－30°)＝75°.又∵AE ＝EF ，∴∠AFD ＝∠BAE ＝75°.方法总结：正方形是最特殊的平行四边形，在正方形中进行计算时，要注意计算出相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些相等的线段等．探究点二：正方形性质的综合应用【类型一】 利用正方形的性质解决线段的倍、分、和、差关系例4 如图，AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，AE 分别交BD 、BC 于F 、E ，AC 、BD 相交于O .求证：(1)BE ＝BF ；(2)OF ＝12CE . 解析：(1)根据正方形的性质可求得∠ABE ＝∠AOF ＝90°.由于AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，根据“等角的余角相等”即可求得∠AFO ＝∠AEB .根据“对顶角相等”即可求得∠BFE ＝∠AEB ，BE ＝BF ；(2)连接O 和AE 的中点G .根据三角形的中位线的性质即可证得OG ∥BC ，OG ＝12CE .根据平行线的性质即可求得∠OGF ＝∠FEB ，从而证得∠OGF ＝∠AFO ，OG ＝OF ，进而证得OF ＝12CE .证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∴∠ABE ＝∠AOF ＝90°，∴∠BAE ＋∠AEB ＝∠CAE ＋∠AFO ＝90°.∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠CAE ＝∠BAE ，∴∠AFO ＝∠AEB .又∵∠AFO ＝∠BFE ，∴∠BFE ＝∠AEB ，∴BE ＝BF ；(2)连接O 和AE 的中点G .∵AO ＝CO ，AG ＝EG ，∴OG ∥BC ，OG ＝12CE ，∴∠OGF ＝∠FEB .∵∠AFO ＝∠AEB ，∴∠OGF ＝∠AFO ，∴OG ＝OF ，∴OF ＝12CE .方法总结：在正方形的条件下证明线段的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定理、角平分线、等腰三角形等知识来证明，有时也利用全等三角形来解决．【类型二】 有关正方形性质的综合应用题例5 如图，正方形AFCE 中，D 是边CE 上一点，B 是CF 延长线上一点，且AB ＝AD ，若四边形ABCD 的面积是24cm 2.则AC 长是________cm.解析：∵四边形AFCE 是正方形，∴AF ＝AE ，∠E ＝∠AFC ＝∠AFB ＝90°.在Rt △AED 和Rt △AFB 中，⎩⎨⎧AD ＝AB ，AE ＝AF ，∴Rt △AED ≌Rt △AFB (HL)，∴S △AED ＝S△AFB.∵S四边形ABCD＝24cm2，∴S正方形AFCE＝24cm2，∴AE＝EC＝26cm.根据勾股定理得AC＝（26）2＋（26）2＝43(cm)．故答案为4 3.方法总结：在解决与面积相关的问题时，可通过证三角形全等实现转化，使不规则图形的面积转变成我们熟悉的图形面积，从而解决问题．三、教学小结师生共同归纳小结.1.本节课,我们学习了正方形的性质和判定,弄清了正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系:2.分小组进行讨论,整理所学的性质:正方形是特殊的平行四边形,它也是特殊的矩形、特殊的菱形,因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.请回忆学过的内容,回答下面的问题(从边、角、对角线、轴对称性四方面考虑):(1)平行四边形有哪些性质?(2)矩形有哪些性质?(3)菱形有哪些性质?(4)正方形有哪些性质?图形对边对角对角线对称性平行四边形平行、相等相等互相平分不是轴对称图形矩形平行、相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称图形,有两条对称轴菱形平行、四条边都相等相等互相垂直且平分,每条对角线平分一组对角轴对称图形,有两条对称轴正方形平行、四条边四个角都是直互相垂直、平分且相轴对称图形,有四条对称都相等角等,每条对角线平分一轴组对角四、学习检测1.下列命题是真命题的是( )A.矩形的对角线互相垂直B.菱形的对角线相等C.正方形的对角线相等且互相垂直D.四边形的对角线互相平分解析:根据矩形的对角线相等,可判断选项A错;根据菱形的对角线互相垂直,可判断选项B错;根据正方形的对角线互相垂直、平分且相等,可判断选项C正确;四边形的对角线无特性,可判断选项D错.故选C.2.如图所示,E是正方形ABCD的边AD上任意一点,EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,若AB=10 cm,则四边形EFOG的周长是.解析:先由题意证明四边形EFOG是矩形,进而可知矩形EFOG的周长为OD 的长的2倍,然后根据勾股定理得OD的长为5 cm.故填10 cm.3.如图,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,EF与BC交于点G.(1)求证AE=CF.(2)若∠ABE=55°,求∠EGC的大小.【解析】本题考查了等腰直角三角形、正方形的性质,“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”,全等三角形的性质与判定,解题的关键是证明△ABE≌△CBF.(1)用SAS证明△ABE≌△CBF.(2)∠EGC=∠EBG+∠BEF,而∠EBG=90°-∠ABE,△BEF是等腰直角三角形,从而可求∠EGC的度数.证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=90°.∵BE⊥BF,∴∠EBF=90°,从而可知∠ABE=∠CBF.∵AB=BC,∠ABE=∠CBF,BE=BF,∴△ABE≌△CBF,∴AE=CF.解:(2)∵BE=BF,∠EBF=90°,∴∠BEF=45°,∵∠ABC=90°,∠ABE=55°,∴∠GBE=35°,∴∠EGC=∠EBG+∠BEG=80°.[归纳总结]证明线段相等,通常转化成证明这两条线段所在的三角形全等得到对应线段相等.本题要充分利用正方形的性质“四条边相等;四个内角都等于90°;对角线互相垂直平分且相等,每一条对角线平分一组对角;正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形等”,并根据题意选取合适的性质加以运用.等腰直角三角形的两锐角相等,为45°,底边上的高、中线、顶角的平分线重合.三角形全等的判定方法:SAS,ASA,AAS,SSS,HL(只适用于直角三角形),根据图中的条件选取合适的方法证明三角形全等是关键.【板书设计】18.2 特殊的平行四边形 18.2.3 正方形课时1 正方形的性质1．正方形的定义和性质四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形．对边平行，四条边都相等；四个角都是直角；对角线互相垂直、平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角．2．正方形性质的综合应用3．学习检测【教学反思】在本节数学课的教学中，通过学生动手操作得出的结论归纳矩形和菱形的性质，继而得到正方形的性质，激起了学生的学习热情和兴趣．创设有意义的数学活动，使枯燥乏味的数学变得生动活泼．让学生觉得学习数学是快乐的，使学生保持一颗健康、好学、进取的心及一份浓厚的学习兴趣．人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.3 正方形课时1正方形的性质学案【学习目标】1．理解正方形的概念；2．探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；3．会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题．【学习重点】探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别．【学习难点】会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题．【自主学习】一、知识回顾1．你还记得长方形有哪些性质吗？2.菱形的性质又有哪些？二、新知探究知识点1：正方形的性质想一想 1.矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？邻边_____2.菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？一个角是_____要点归纳：正方形定义：有一组邻边_____并且有一个角是_____的__________叫正方形.想一想正方形是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.那你能说出正方形的性质吗？1.正方形的四个角都是_________,四条边_________.2.正方形的对角线________且互相______________.证一证已知：如图,四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.证明：∵四边形ABCD是正方形.∴∠A=____°, AB_____AC.又∵正方形是平行四边形.∴正方形是______,亦是______.∴∠A___∠B___∠C___∠D =____°,AB___BC___CD___AD.已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.证明：∵正方形ABCD是矩形,∴AO___BO___CO___DO.∵正方形ABCD是菱形.∴AC___BD.想一想请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?要点归纳：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：正方形的性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. 【典例探究】例1如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形.求证：∠EAD＝∠EDA＝15°.DAB CE变式题 1 四边形ABCD是正方形,以正方形ABCD的一边作等边△ADE,求∠BEC的大小．易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．变式题2 如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．（1）求证：△APB≌△DPC；（2）求证：∠BAP=2∠PAC．例3 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.方法总结：在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.【跟踪练习】1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )A.四个角相等B.对角线互相垂直平分C.对角互补D.对角线相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等3.如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相交于点O,AO＝2,求正方形的周长与面积．三、知识梳理内容正方形的性质定义：有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.性质：1.四个角都是直角2.四条边都相等3.对角线相等且互相垂直平分四、学习过程中我产生的疑惑【学习检测】1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直且相等2.如图,正方形ABCD中,CE⊥MN,∠MCE=35°,那么∠ANM是()A.45°B.55°C.65°D.75°B(解析:因为CE⊥MN,所以∠MCE+∠NMC=90°.所以∠NMC=90°-∠MCE=55°.由题意得AD∥BC,所以∠ANM=∠NMC=55°.故选B.)3.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（）A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm24. 在正方形ABC中,∠ADB=________,∠DAC=_________, ∠BOC=__________.5. 在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是___________.6.如图,正方形ABCD中,AC是对角线,E是BC延长线上一点,CE=AC,则∠E=度.22.5(解析:由正方形的性质得∠ACB=45°,又CE=AC,所以∠E=∠EAC,因为∠E+∠EAC=45°,所以∠E=∠EAC=22.5°.)第4题图第5题图7.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．8. 如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,∠OCF=∠OBE.试猜想OE与OF的大小关系,并说明理由.解:OE=OF.理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,OB=OC,∴∠AOB=∠BOC=90°.又∵∠OCF=∠OBE,∴△OCF≌△OBE,∴OE=OF.9. 如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.10.如左下图,正方形ABCD中,M是BC上任意一点,E在BC的延长线上,MN⊥AM,MN交∠DCE的平分线于N,试猜想AM与MN有怎样的数量关系,并说明理由.【解析】猜想AM=MN,要证AM=MN,如右上图,只需构造并证明△APM≌△MCN即可.解:AM=MN.理由如下:在AB上取一点P,使BP=BM,连接PM,如右上图.∵AB=BC,BP=BM,∴AP=MC,∠BPM=45°,∴∠APM=135°.∵CN平分∠DCE,∴∠MCN=∠APM=135°.∵MN⊥AM,∴∠AMB+∠CMN=90°.∵∠AMB+∠BAM=90°,∴∠BAM=∠CMN.∴△APM≌△MCN.∴AM=MN.。