四川省成都市2018-2019学年高二下学期期末考试数学(文)试题及答案解析
四川省成都市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题一、选择题1、已知,则下列结论中错误的是（ ） A ． B ．C ．D ．2、已知，则下列结论正确的是（ ）A ．是偶函数B ．是奇函数C ．是奇函数 D ．是偶函数3、设椭圆的左、右焦点分别为 ，其焦距为，点在椭圆的内部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 （ ）A ．B ．C ．D ．5、运行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．0B ．C ．-1D ．6、若复数满足，其中为虚数单位，则（ ）A ．B ．C ．D ．7、已知集合，，下列结论成立的是（ ） A ．B ．C ．D ．8、已知函数的图象如图所示，若，且，则的值为 （ ） A ．B ．C ．1D ．0 9、函数的定义域是R ，若对于任意的正数a ，函数都是其定义域上的减函数，则函数的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．10、设实数，满足约束条件已知的最大值是7，最小值是，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 11、已知等比数列的前项和为，则的极大值为（ ）A ．2B ．3C ．D ．12、设函数若有三个不等实数根，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13、已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线交双曲线右支于两点，若是以为直角顶点的等腰三角形，则的面积为__________。
14、等比数列中，，则的前项和__________。
15、已知，在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则值为__________。
16、已知△ABC 是半径为5的圆O 的内接三角形，且，若，则的最大值是__________。
三、解答题17、已知函数。
（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）证明：若，则。
18、如图，已知抛物线：与圆：（）相交于、、、四个点。
（Ⅰ）求的取值范围； （Ⅱ）当四边形的面积最大时，求对角线、的交点的坐标。
19、选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。
（1）写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；（2）已知与直线平行的直线过点，且与曲线交于两点，试求。
20、在中，角，，所对的边分别为，，，已知。
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求。
21、“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本.法国的20本.日本的40本.犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国.礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图．问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数；（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数； （3）若从年龄在的读书者中任取2名，求恰有1名读书者年龄在的概率。
22、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC =45°，AD =AC =1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO =1，M 为PD 的中点。
（Ⅰ）证明：PB ∥平面ACM ；（Ⅱ）求多面体PMOBC 的体积和表面积。
参考答案（附答案解析）1、C2、A3、B4、D5、B6、C7、D8、C9、B10、D11、C12、D13、14、15、16、17、（1）；（2）证明见解析。
18、（1）（2）19、（1），;（2）．20、(1) ;(2)或．21、(1)30；(2)54,55；(3).22、(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)表面积：，体积：.答案解析【解析】1、试题分析：，当时，，单调递减，同理当时，单调递增，，显然不等式有正数解（如，（当然可以证明时，）），即存在，使，因此C错误．考点：存在性量词与全称量词，导数与函数的最值、函数的单调性．2、因为，所以，又，故，即答案C，D都不正确；又因为，所以应选答案A。
3、由题设可得，即，解之得，即；结合图形可得，即，应选答案B。
点睛：解答本题的关键是建构不等式（组），求解时先依据题设条件，将点代入椭圆方程得到，即，解之得，从而求得，然后再借助与椭圆的几何性质，建立了不等式，进而使得问题获解。
4、由题设中提供的三视图中的图形信息与数据信息可知该几何体是一个底面是边长分别为３,３,４的等腰三角形，高是４的三棱锥，如图，将其拓展成三棱柱，由于底面三角形是等腰三角形，所以顶角的余弦为，则，底面三角形的外接圆的半径，则三棱锥的外接球的半径，其表面积，应选答案D。
5、由题设中提供的算法流程图可知，由于的周期是，而，所以，应选答案B。
6、由，得，则，故选C.7、由已知得，，则，故选D.8、由题意得，，则，又，即，解得，所以，令，即，，解得该函数的对称轴为，则，即，所以，故选C.9、由于g(x)是减函数,所以g′(x)<0,即f′(x)<f′(x−a)，再由a>0,可得x>x−a,故f(x)的导数是减函数,即函数f(x)的切线斜率随x的增大而减小，所以f(x)是上凸型函数，本题选择B选项.10、先作出实数x,y满足的约束条件对应的平面区域如图：∵z=2x+y的最大值是7，最小值是−26，∴作出2x+y=7和2x+y=−26的图象，由图象知2x+y=7与x−y−2=0相交于A，2x+y=−26与3x−2y+4=0相交于B，求解方程组可得点的坐标为：A(3,1)，B(−8,−10)，∵A同时在直线x+ay−4=0上，∴3+a−4=0得a=1，本题选择D选项.点睛：由于约束条件中存在参数，所以可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值，来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而确定参数的值11、由题意得，，，，则，解得，则，，令，解得，当时，为增函数；，为减函数；，为增函数，所以函数的极大值为，故选C.点睛：此题主要考查了等比数列前项和、函数极值的求解等有关方面的知识，及幂运算等运算能力，属于中档题型，也是常考考点.在首先根据等比数列前项和公式求出参数的值，再利用导数方法，求出函数的极值点，通过判断极值点两侧的单调性求出极大值点，从而求出函数的极大值.12、绘制分段函数的图象如图所示：注意到对数型函数当时函数值趋向于，数形结合可得的取值范围是.本题选择D选项.13、设，根据双曲线的定义，有，即.，，故三角形面积为.点睛：本题主要考查双曲线的定义，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查数形结合的数学思想方法和化归与转化的数学思想方法.解答直线与圆锥曲线位置关系题目时，首先根据题意画出曲线的图像，然后结合圆锥曲线的定义和题目所给已知条件来求解.利用题目所给等腰直角三角形，结合定义可求得直角三角形的边长，由此求得面积.14、由题意得,当时,当时,所以或点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.15、由题意，令，，则，所以，，即，当，；当，，如图所示，由勾股定理得，解得.16、延长AO与BC相交于点D,作OA1∥DA2∥AB,OB1∥DB∥AC，设(m>0,n>0)，易知x>0，y>0，则，∴，又B, D, C三点共线,∴，∴，只需最小，就能使x+y最大，∴当OD最小即可，过点O作OM⊥BC于点M，从而OD⩾OM，又∠BOM=∠BAC=θ,由得，∴OM=3，那么.故答案为：.17、试题分析：（1）借助题设条件运用导数求解；（2）借助题设条件运用第一问中的结论分析推证。
试题解析：（1），令,得；令，得，即在上单调递减，在上单调递增，可知，解得。
（2）取,知,由（1）知,即。
考点：导数的有关知识及综合运用。
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具。
本题就是以含参数的函数解析式为背景，考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力。
本题的第一问是在不等式恒成立的前提下，求参数的取值范围问题,求解时直接对函数求导，求出了函数的最小值，将不等式巧妙转化为从而求出参数的取值范围是；第二问运用第一问中的结论，令可得，因，然后将代入并化简为，从而使得不等式简捷巧妙获证。
18、（Ⅰ）将抛物线代入圆的方程，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．（1）抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即{解这个不等式组得.（II）设四个交点的坐标分别为、、、。
则直线AC、BD的方程分别为解得点P的坐标为。
则由（I）根据韦达定理有，由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积令，则下面求的最大值。
方法1：由三次均值有：当且仅当，即时取最大值。
经检验此时满足题意。
故所求的点P的坐标为法2：令，，∴，令得，或（舍去）当时，；当时；当时，故当且仅当时，有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为19、【试题分析】（１）运用参数方程与直角坐标之间的关系进行转化，再运用极坐标与直角坐标之间的关系式进行化简求解；（２）借助直线的参数方程中参数的几何意义分析求解：（1）把直线的参数方程化为普通方程为，∵，∴直线的极坐标方程为，由，可得，∴曲线的直角坐标方程为．（2）直线的倾斜角为，∴直线的倾斜角也为，又直线过点，∴直线的参数方程为（为参数），将其代入曲线的直角坐标方程可得，设点对应的参数分别为．由一元二次方程的根与系数的关系知，∴．20、试题分析:(1)由已知利用三角形内角和定理,三角函数恒等变换的应用化简即可求值;(2)由已知利用正弦定理及(1)可得，进而可求角.试题解析:（Ⅰ），故，∴．（Ⅱ）由正弦定理得，由（Ⅰ）知，∴，∴或，∴或．21、试题分析：(1)由频率分布直方图可得年龄在[40,70）的频率为0．75，则40名读书者中年龄分布在[40,70）的人数为30．(2)利用频率分布直方图计算平均年龄为54，中位数分频率分布直方图为面积相等的两部分，据此计算可得中位数为55.(3)由题意结合排列组合相关性质可得恰有1名读书者年龄在的概率是.试题解析：（1）由频率分布直方图知年龄在[40,70）的频率为（0．020+0．030+0．025）´10 =0．75，所以40名读书者中年龄分布在[40,70）的人数为40´0.75 =30．（2）40名读书者的平均年龄为：，设中位数为，则，解得：，即40名读者中年龄的中位数为55.（3）年龄在的读书者有2人，年龄在的读书者有4人，设年龄在的读书者人数为X,.点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.22、试题分析：(1)由题意可证得OM∥PB，然后结合线面平行的判断定理即可证得题中的结论；(2)结合几何体的特征可得几何体的表面积是：，体积是：.试题解析：（Ⅰ）证明：连结OM，在△PBD中，OM∥PB，OM平面ACM，PB平面ACM，故PB∥平面ACM；（Ⅱ）多面体PMOBC的体积是，各个面的面积：,则表面积是.。
2022-2023学年四川省宜宾市校高二年级下册学期开学考试数学(文)试题【含答案】
2022-2023学年四川省宜宾市校高二下学期开学考试数学（文）试题一、单选题1．命题“存在，”的否定是（ ）0R x ∈020x ≤A ．不存在，B ．存在，0R x ∈020x >0R x ∈020x ≥C ．对任意的，D ．对任意的，x ∈R 20x<x ∈R 20x>【答案】D【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【详解】解：由题意∵特称命题的否定是全称命题，∴命题“存在，”的否定是：0R x ∈020x ≤对任意的，．x ∈R 20x>故选：D ．2．抛物线的焦点坐标为（ ）243x y=A ．B ．C ．D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭30,16⎛⎫ ⎪⎝⎭3,016⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】将抛物线化成标准形式，即可求解.【详解】由得，故焦点为，243x y =234y x =3,016⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：D3．从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：），所得数据用茎叶图cm 表示如图，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（ ）A ．甲乙两班同学身高的极差相等B ．甲乙两班同学身高的平均值相等C ．甲乙两班同学身高的中位数相等D ．乙班同学身高在以上的人数较多175cm【答案】D【分析】根据茎叶图和极差、平均数、中位数等概念逐一计算，即可判断选项是否正确.【详解】由茎叶图可知，甲班同学身高的极差为，乙班同学身高的极差为18215725-=，两班身高极差不相等，故A 错误；18315924-=甲班同学身高的平均值为，1(157158163165166170172178181182)169.210+++++++++=乙班同学身高的平均值为1(159162165167171172176178181183)171.410+++++++++=显然，甲乙两班同学身高的平均值不相等，即B 错误；根据茎叶图可知，甲班同学身高的中位数为，乙班同学身高的中位数为1661701682+=，171172171.52+=所以，甲乙两班同学身高的中位数不相等，即C 错误；由茎叶图可知，甲班同学身高在以上的人数为3人，乙班同学身高在以上的人数为4175cm 175cm 人，故D 正确.故选;D 4．若直线与直线平行，则实数a 的值为（ ）1:20l x y -+=2:230l x ay +-=A ．B ．C ．2D ．12-1-【答案】A【分析】解方程即得解.1(1)20a ⨯--⨯=【详解】解：由题得1(1)20, 2.a a ⨯--⨯=∴=-经检验，当时，满足题意.2a =-故选：A5．在区间[－2,2]内随机取一个数x ，使得不等式成立的概率为（ ）220x x +<A ．B ．C ．D ．13122334【答案】B【分析】由可得,再根据几何概型的计算方法求解即可.220x x +<20x -<<【详解】解：由可得，220x x +<20x -<<由几何概型的定义可得使不等式成立的概率为：.220x x +<20(2)2(2214)---==-故选：B.6．已知命题，使得；，使得．以下命题为真命题的为1:R p x ∃∈210x x ++<2:[1,2]p x ∀∈210x -≥A ．B ．C ．D ．12p p ⌝∧⌝12p p ∨⌝12p p ⌝∧12p p ∧【答案】D【详解】的解集为空集，故命题为假命题，22(1)430,10x x ∆=--=-<∴++< 1p 1p ⌝为真命题；，使得恒成立，故为真命210,11,x x x -≥∴≥≤ 或[1,2]x ∴∀∈210x -≥2p 题，为假命题；因为真命题，为真命题，故为真命题，答案为C ．2p ⌝1p ⌝2p 12p p ⌝∧7．圆与圆的位置关系为（ ）()221:11O x y -+=()222:39O x y -+=A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【答案】D【分析】求出两个圆的圆心与半径, 通过圆心距与两圆的半径和与差的关系, 判断两个圆的位置关系.【详解】因为圆的圆心, 半径为,()221:11O x y -+=(1,0)11r =圆的圆心, 半径为，,()222:39O x y -+=(3,0)23r =,而，2=122r r -=则圆 与圆 的位置关系为内切.1O 2O 故选: D.8．“”是“直线与直线垂直”的（ ）1m =-()()24120m x m y -+++=()130m x my +-+=A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据两直线垂直的条件，求解范围即可求解.m 【详解】若直线与直线垂直，则()()24120m x m y -+++=()130m x my +-+=或，()()()()()241104104m m m m m m m -+-+=⇒-+=⇒=1m =-故“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件，1m =-()()24120m x m y -+++=()130m x my +-+=故选：B9．直线与圆交两点.若，则的面积为:l y x =222:(1)(2)(0)C x y a a -+-=>,A B ||=AB a ABC（ ）A B C D 【答案】A【分析】由题知圆心为，半径为，进而根据几何法求弦长得()1,2C r a =，解得，再计算面积即可得答案.AB a ===a =【详解】解：由题知圆心为，半径为，()1,2C r a =所以，圆心到直线的距离为()1,2C :l y x =d ==所以，弦长，即，解得，AB a ===2320a -=a =所以的面积为ABC 1122S AB d ===故选：A10．若，，，则的最小值为（ ）0a >0b >()lg lg lg 3a b a b +=+a b +A ．B ．C ．6D ．4+3+【答案】B【分析】根据对数的运算性质，结合基本不等式进行求解即可.【详解】由，()()()lg lg lg 3lg 3lg 331a b a b a b b ab ab a b a b ⇒=⇒=+⇒=+=+-+因为，，所以，即，0a >0b >10b ->1b >所以33(1)44411b a b b b b b +=+=+-+≥+=+--当且仅当时取等号，即时取等号，311b b =--1b =故选：B11．在三棱锥中，平面，则该三棱锥外接球的-P ABC 2,90,AC AB BAC PC ︒==∠=⊥,1ABC PC =体积为（ ）A ．B ．C ．D ．36π12π8π92π【答案】D【解析】画出图形，将几何体补全为长方体，则将问题转化为求对应长方体外接球体积问题，结合体积公式即可求解【详解】如图所示，三棱锥实际上为长方体上四点组合而成，则外接球半径为，32r ==则该三棱锥外接球的体积为3442793382V r πππ==⨯=故选：D【点睛】本题考查锥体外接球体积算法，对于这类问题，我们都可考虑把锥体还原成对应的长方体或圆柱体，再求对应的外接球半径，这样会简化求解难度，属于中档题12．是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的左、12,F F ()2222:10x y C a b a b -=>>1F l C 右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）,A B 22::12:5:13AB BF AF =A B ．C D 2【答案】D【分析】根据长度关系可得，利用双曲线定义可用表示出，利用勾股定理可2AB BF ⊥a 12,BF BF 构造关于的齐次方程求得离心率.,a c 【详解】设，则，，12AB t=25BF t=213AF t=，；22222AB BF AF += 2AB BF ∴⊥由双曲线定义可知：，，211132AF AF t AF a-=-=1132AF t a ∴=-，，1212172022BF BF AF AB BF AF t t a a ∴-=+-=+=-=15t a ∴=，，11312355BF AF AB a a a ∴=+=+=2BF a=，，则.2221212BF BF F F+= 22294a a c ∴+=e ===故选：D.二、填空题13．若实数，满足约束条件则的最小值为___________.x y 4,2,2,x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩2z x y =-【答案】2-【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析求解.【详解】解析由约束条件作出可行域，如图中阴影部分（含边界）所示.由，得.2z x y =-2y x z =-令直线与直线的交点为，则.2y =2x y +=A ()0,2A 由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，则有最小值为.2y x z =-A y z 2-故答案为：-214．双曲线的焦距为______．2212x y λλ+=-【答案】【分析】由，可得，，从而即可求解.2λλ>-20a λ=>220b λ=->【详解】解：因为，所以，，2λλ>-20a λ=>220b λ=->所以，解得22222c a b λλ=+=+-=c =所以该双曲线的焦距为．2c =故答案为：15．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为A .若为正三角形，()222210x y a b a b +=>>1F 2F 12AF F △则该椭圆的离心率为______.【答案】##120.5【分析】利用题给条件求得，进而求得椭圆的离心率2a c =【详解】为正三角形，则，则椭圆的离心率12AF F △2a c =122c c e a c ===故答案为：1216．已知圆，直线与圆相交于点，且，则弦的长度为____22:4O x y +=l O ,P Q •2OP OQ =-PQ【答案】【详解】由题12cos 2cos 2OP OQ OP OQ POQ POQ ⋅=-⇒⋅∠=-⇒∠=-则由余弦定理2222cos 12PQ OP OQ OP OQ POQ PQ =+-⋅∠=∴=故答案为：三、解答题17．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准吨，一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，(x )x 超出的部分按议价收费为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年位居民每人的月均用x .100水量单位：吨，将数据按照,,分成组，制成了如图所示的频率分布直方()[)[)0,0.5,0.5,1⋯[]4,4.59图．(1)求直方图中的值；a (2)设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，并说明理由；303(3)若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准吨，估计的值，并说明理由．85％(x )x 【答案】(1)0.3a =(2)万，理由见解析3.6(3)，理由见解析2.9x =【分析】（1）根据各组的累积频率为，构造方程，可得值；1a （2）由图可得月均用水量不低于吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于吨的人数；33（3）由图可得月均用水量低于吨的频率及月均用水量低于吨的频率，进而可得值．2.53x 【详解】（1），()0.50.080.160.40.520.120.080.0421a ⨯+++++++= ；0.3a ∴=（2）由图可得月均用水量不低于吨的频率为：，3()0.50.120.080.040.12⨯++=由，得全市居民中月均用水量不低于吨的人数约为万；300.12 3.6⨯=3 3.6（3）由图可得月均用水量低于吨的频率为：；2.5()0.50.080.160.30.40.520.7385%⨯++++=<月均用水量低于吨的频率为：；3()0.50.080.160.30.40.520.30.8885%⨯+++++=>则吨．0.850.732.50.5 2.90.30.5x -=+⨯=⨯18．已知圆的圆心在直线上，经过点，且与直线相切.C 320x y +=C (2,0)A -4380x y -+=（1）求的标准方程；C （2）直线与相交于两点，求的面积.:230l x y --=C ,M N CMN 【答案】（1）（2）10()()222325x y -++=【解析】（1）不妨设圆心为，半径为，结合待定系数法和点到直线距离公式即可求解；(),C a b r （2）由圆心到直线距离公式求得弦心距，再由几何性质和勾股定理求得弦长，利用d 即可求解12S MN d =⋅【详解】（1）设圆心为，半径为，则圆的标准方程为;,由题可得(),C a b r ()()222x a y b r -+-=，解得，则圆的标准方程为；()22233202485a a b a b rr b ⎧⎪+=⎪-+⎪⎪++=⎨⎪⎪=⎩235a b r =⎧⎪=-⎨⎪=⎩C ()()222325x y -++=（2）如图，可求出圆心到直线的距离，:230l x y --=d则半弦长，2l===l =111022CMN S MN d =⨯⋅=⨯=△【点睛】本题考查待定系数法求圆的标准方程，由圆的几何性质求弦长，属于中档题19．某地级市受临近省会城市的影响，近几年高考生人数逐年下降，下面是最近五年该市参加高考人数与年份代号之间的关系统计表.y x 年份代号x12345高考人数（千人）y 3533282925（其中2018年代号为1，2019年代号为2，…2022年代号为5）(1)求关于的线性回归方程；y x (2)根据（1）的结果预测该市2023年参加高考的人数；(3)试分析该市参加高考人数逐年减少的原因.（参考公式：）()()()121,niii nii a y bxx x y y b x x ==--==--∑∑【答案】(1) 2.437.2y x =-+(2)22.8千人(3)答案见解析【分析】（1）根据题中数据计算得即可解决；（2）根据（1）中回归方程计算即可；22.4,37.a b =-=（3）言之有理，客观分析即可.【详解】（1）设回归方程为，由表中数据知，y bx a =+，.3x =30y =所以，25(1)30(2)1(1)2(5)122.441415b -⨯+-⨯+⨯-+⨯-+⨯-==-=-+++所以，()30 2.4337.2a y bx =-=--⨯=所以关于的回归方程.y x 2.437.2y x =-+（2）由（1）得关于的回归方程.y x 2.437.2y x =-+令，（千人），6x = 2.4637.222.8y =-⨯+=所以预测该市2023年参加高考的人数为22.8千人.（3）①该市经济发展速度慢；②该市人口数量减少；③到省会城市求学人数增多.20．如图，桌面上摆放了两个相同的正四面体和.PABD QABC (1)求证：；PQ AB ⊥(2)若，求四面体的体积.2AB =APQB 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）连接与相交于点，证得为的中点，连接，，利用线面垂直的CD AB O O AB PO QO 判定定理证得平面，即可得到；AB ⊥POQ PQ AB ⊥（2）过点分别作，得到分别为和的中心，分别求得,P Q 11,PP CD QQ CD ⊥⊥11,PQ ABD △ABC 的长度，结合平面，及，即可求解.1,,PP PQ OA AO ⊥POQ 2A PQB A POQ V V --=【详解】（1）证明：因为与共面，所以连接与相交于点，ABD △ABC CD AB O 因为和是相同的正四面体，所以四边形为菱形，则为的中点，PABD QABC ACBD O AB 连接，，因为，，所以，PO QO PA PB =QA QB =,Q PO AB O AB ⊥⊥又因为，所以平面，所以；PO QO O ⋂=AB ⊥POQ PQ AB ⊥（2）解：在四边形中，过点分别作，垂足分别为，DPQC ,P Q 11,PP CD QQ CD ⊥⊥11,P Q 如图所示，可得分别为等边和等边的中心，11,P Q ABD △ABC因为，在等边中，可得2AB =ABD △OD =1DP =1OP =在直角中，可得1DPP 1PP ==同理可得，1OQ =1111PQ PQ OQ OP ==+=由（1）知，平面，可得平面，AB ⊥POQ AO ⊥POQ所以1223A PQB A POQ POQ V V S OA --==⨯⨯⨯=△21．已知平面上动点P 到定点的距离比P 到直线的距离大1.记动点P 的轨迹为曲线C .(2,0)F =1x -（1）求曲线C 的方程；（2）过点的直线交曲线C 于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点是D ，证明：直线恒(2,0)-l BD 过点F .【答案】（1）（2）证明见解析28y x =【解析】(1)先分析出点P 在直线的右侧，然后利用抛物线的定义写出方程即可=1x -(2)设出直线的方程和A 、B 两点坐标，联立方程求出的范围和A 、B 两点纵坐标之和和积，写l m 出直线的方程，然后利用前面得到的关系化简即可.BD 【详解】（1）不难发现，点P 在直线的右侧，=1x -∴P 到的距离等于P 到直线的距离.(2,0)F 2x =-∴P 的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，(2,0)F 2x =-∴曲线C 的方程为.28y x =（2）设直线的方程为，l 2x my =-()()1122,,,A x y B x y 联立，得，，解得或.228x my y x =-⎧⎨=⎩28160y my -+=264640m ∆=->1m >1m <-∴，.128y y m +=1216y y =又点A 关于x 轴的对称点为D ，()11,D x y -则直线的方程为BD ()212221y y y y x x x x +-=--即()()()22122221218228y y y y y x x x my my y y ⎛⎫+-=-=- ⎪----⎝⎭令，得.0y =22211222888y y y y y x y -=-⋅==∴直线恒过定点，而点.BD (2,0)(2,0)F 【点睛】本题考查了抛物线的定义和综合问题，属于较难题，设而不求法是解决直线与抛物线交点问题的常见方法.22．椭圆的左顶点为2222:1(0)x y M a b a b +=>>()2,0A -(1)求椭圆的方程；M (2)已知经过点的直线交椭圆于两点，是直线上一点.若四边形为平⎛ ⎝lM ,B C D 4x =-ABCD 行四边形，求直线的方程.l 【答案】(1)；2214x y +=(2)或y x =+y =【分析】（1）直接由顶点和离心率求出椭圆方程即可；（2）设，由表示出直线的斜率，进而写出直线的方程，联立椭圆求出弦长(4,)D t -AD BC k k =l l ，由求出，即可求得直线的方程.BC BC AD =t l 【详解】（1）由题意知：，故椭圆的方程为；2,c a a ==2221b a c =-=M 2214x y +=（2）设，又，故，又直线经过点，故的方程1122(4,),(,),(,)D t B x y C x y -(2,0)A -2AD BC tk k =-=l ⎛ ⎝l 为2t y x =-联立椭圆方程可得，显然，22214t y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()22110t x +--=0∆>，1212211x x x x t +==-+==，由，可得BC AD ==解得或，t =0=t 故直线的方程为或l y x =+y =。
2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题(带答案)
2018-2019学年高二下学期期末考试一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4{|0}2x A x Z x -=∈≥+，1{|24}4x B x =≤≤，则A B I =（） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{1,0,1,2}-C ．{2,1,0,1,2}--D ．{0,1,2}2.已知i 为虚数单位，若复数11tiz i-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（） A ．[1,1]- B ．(1,1)- C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞3.若命题“∃x 0∈R ，使x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．1≤a ≤3 B ．－1≤a ≤3 C ．－3≤a ≤3D ．－1≤a ≤14.已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（）A.它们的焦距相等B ．它们的焦点在同一个圆上C.它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等5.在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知直线l 过点P (1，0，－1)，平行于向量a ＝(2，1，1)，平面α过直线l 与点M (1，2，3)，则平面α的法向量不可能是( ) A.(1，－4，2)B.⎝⎛⎭⎫14，－1，12 C.⎝⎛⎭⎫－14，1，－12 D.(0，－1，1)7.在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成的图形的面积为( )A.14 B.3－34 C.2－34 D.138.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 9.设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 10.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050110由K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d算得，K 2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8.附表：P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”11.焦点为F 的抛物线C ：28y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C.22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12.定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，224,23,()2,34,x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩()1g x ax =+，对1[2,0]x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围为（）A ．11(,)[,)88-∞-+∞UB ．11[,0)(0,]48-U C.(0,8]D ．11(,][,)48-∞-+∞U二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知(1,)a λ=r ，(2,1)b =r，若向量2a b +r r 与(8,6)c =r 共线，则a r 和b r 方向上的投影为．14.将参数方程⎩⎨⎧x ＝a2⎝⎛⎭⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝⎛⎭⎫t －1t (t 为参数)转化成普通方程为________．15.已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)，且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X >2)＝________. 16.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，23AB =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(10分)已知直线l 的参数方程为24,222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点.（1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求ABP ∆的面积的最大值18.(12分)设函数()1f x x x =+-的最大值为m .（1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a b b a +++的最小值.19.(12分)点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为AOC ∆的垂心. （1）求证：平面OPG ⊥平面PAC ；（2）若22PA AB AC ===，求二面角A OP G --的余弦值.20.(12分)2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？21. (12分)已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1 (a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .(1)求椭圆的方程；(2)是否存在实数m ，使直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在圆 x 2＋y 2＝5上？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.22. (12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋k2x2(k≥0)．(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．参考答案一、选择题1-5:BBBDA 6-10:DBDBC 11-12：AD 二、填空题13.35514：x 2a 2－y 2b 2＝1 . 15.0.1 16.[2,4]ππ三、解答题17.解：（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，所以2240x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.将直线l 的参数方程代入圆:C 22(2)4x y -+=，并整理得2220t t +=，解得10t =，222t =-.所以直线l 被圆C 截得的弦长为12||22t t -=. （2）直线l 的普通方程为40x y --=.圆C 的参数方程为22cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），可设曲线C 上的动点(22cos ,2sin )P θθ+，则点P 到直线l 的距离|22cos 2sin 4|2d θθ+--=|2cos()2|4πθ=+-，当cos()14πθ+=-时，d 取最大值，且d 的最大值为22+. 所以122(22)2222ABP S ∆≤⨯⨯+=+， 即ABP ∆的面积的最大值为22+.18.解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤－1，2x ＋1，－1＜x ＜1，1， x ≥1，由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )有最大值1．所以m ＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1，a 2b ＋1＋b 2a ＋1＝13(a 2b ＋1＋b 2a ＋1)[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝13[a 2＋b 2＋a 2(a ＋1)b ＋1＋b 2(b ＋1)a ＋1]≥13(a 2＋b 2＋2a 2(a ＋1)b ＋1·b 2(b ＋1)a ＋1) ＝13(a ＋b )2＝13．当且仅当a ＝b ＝12时取等号． 即a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值为13． 19.解：（1）延长OG 交AC 于点M .因为G 为AOC ∆的重心，所以M 为AC 的中点. 因为O 为AB 的中点，所以//OM BC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥. 因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥. 又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA AC A =I ， 所以OM ⊥平面PAC .即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ， 所以平面OPG ⊥平面PAC .（2）以点C 为原点，CB u u u r ，CA u u u r ，AP u u u r方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则(0,0,0)C ，(0,1,0)A ，(3,0,0)B ，31(,,0)22O ，(0,1,2)P ，1(0,,0)2M ，则3(,0,0)2OM =-u u u u r ，31(,,2)22OP =-u u u r .平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则30,23120,22n OM x n OP x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-++=⎪⎩r u u u u r r u u u r 令1z =，得(0,4,1)n =-r . 过点C 作CH AB ⊥于点H ，由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥，又PA AB A =I ，所以CH ⊥平面PAB ，即CH u u u r为平面PAO 的一个法向量.在Rt ABC ∆中，由2AB AC =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒，1322CH CB ==. 所以3cos 4H x CH HCB =∠=，3sin 4H y CH HCB =∠=. 所以33(,,0)44CH =u u u r .设二面角A OP G --的大小为θ，则||cos ||||CH n CH n θ⋅==⋅u u u r r u u ur r 2233|0410|251441739411616⨯-⨯+⨯=+⨯+. 20.解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则333101()120C P A C ==，所以两位顾客均享受到免单的概率为1()()14400P P A P A =⋅=.（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0，600，700，1000.333101(0)120C P X C ===，21373107(600)40C C P X C ===， 123731021(700)40C C P X C ===，373107(1000)24C P X C ===， 故X 的分布列为，所以17217()06007001000120404024E X =⨯+⨯+⨯+⨯17646=（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-，由已知可得3~(3,)10Y B ，故39()31010E Y =⨯=， 所以()(1000200)E Z E Y =-=1000200()820E Y -=（元）.因为()()E X E Z <，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.21.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2＝2b ，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1，故椭圆的方程为x 2＋y22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0). 联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，所以Δ＝(2m )2－4×3×(m 2－2)＞0，即m 2＜3， 且x 0＝x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m3， 即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3，2m 3，又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 32＝5，解得m ＝±3，与m 2＜3矛盾.故实数m 不存在.22. 解： (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2， f ′(x )＝11＋x－1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.(2)f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x，x ∈(－1，＋∞)．当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x .所以，在区间(－1,0)上，f ′(x )>0； 在区间(0，＋∞)上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是(－1,0)， 单调递减区间是(0，＋∞)．当0<k <1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk>0.所以，在区间(－1,0)和(1－kk，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(0，1－kk)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1,0)和(1－kk，＋∞)，单调递减区间是(0，1－kk )．当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x .故f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)．当k >1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝1－kk∈(－1,0)，x 2＝0.所以，在区间(－1，1－kk)和(0，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(1－kk，0)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1，1－kk)和(0，＋∞)，单调递减区间是(1－kk ，0)．。
四川省内江市2018-2019学九年级(上)期末数学试卷 含解析
2018-2019学年四川省内江市九年级（上）期末数学试卷一、选择题：12小题，每小题4分，共48分．1．（4分）下列计算不正确的是（）A．B．C．D．2．（4分）下列二次根式中与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．3．（4分）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃C．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数4．（4分）用配方法解方程x2+4x+1＝0，配方后的方程是（）A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣2）2＝5 D．（x+2）2＝5 5．（4分）如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简﹣|a+c|+的结果是（）A．2c﹣b B．﹣b C．b D．﹣2a﹣b6．（4分）在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c＝3a，tan A 的值为（）A．B．C．D．37．（4分）2019年元旦节期间班上数学兴趣小组的同学互发微信祝贺，每两个同学都互相发一次，小明统计全组共互发了90次微信，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（）A．x（x﹣1）＝90 B．x（x﹣1）＝2×90C．x（x﹣1）＝90÷2 D．x（x+1）＝908．（4分）若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜且k≠﹣2 B．k C．k≤且k≠﹣2 D．k9．（4分）如图，A、B两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB 外选一他点C，然后测出AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为18m，由此他就知道了A、B间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（）A．AB＝36m B．MN∥AB C．MN＝CB D．CM＝AC 10．（4分）如图，在平行四边形ABCB中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE 并延长交AD于点F，已知△AEF的面积为4，则△OBE的面积为（）A．4 B．8 C．10 D．1211．（4分）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（）A．（3，2）B．（3，1）C．（2，2）D．（4，2）12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为（）A．B．C．D．2二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）13．（4分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．14．（4分）设a、b是方程x2+x﹣2018＝0的两实数根，则a2+3a+ab+2b＝．15．（4分）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形，小明同学向一个如图所示的“赵爽弦图”的飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）．若飞镖板中直角三角形的两条直角边的长分别为1和2，则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域的概率是．16．（4分）如图，正方形ABCD的顶点A（6，0）、B（6，2）、C（8，2）、D（8，0），OC分别交AB、BD于点E、F，则△BEF的面积为．三、解答题（6小题共56分.）17．（10分）（1）计算：﹣3tan30°+（π﹣4）0+2sin30°﹣（﹣）﹣1（2）解方程：（x+1）2﹣2（x+1）＝018．（8分）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字﹣3、﹣1、0、2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀．（1）从中任取一球，将球上的数字记为a，则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+a+3＝0有实数根的概率；（2）从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标，记为x（不放回）；再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y，试用画树状图（或列表法）表示出点（x，y）所有可能出现的结果，并求点（x，y）落在第二象限内的概率．19．（8分）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，有一艘小船停在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向，BP＝6km．（1）求A、B两观测站之间的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向前行，求观测站B与小船的最短距离．20．（8分）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF ⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD＝3，AB＝5，求的值．21．（10分）因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．（1）求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；（2）为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？22．（12分）如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝6cm，D是BC的中点．点E 从A出发，以a cm/s（a＞0）的速度沿AC匀速向点C运动，点F同时以1cm/s的速度从C出发，沿CB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，过点E作AC的垂线，交AD于点G，连接EF，FG．设它们运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t＝2时，△ECF∽△BCA，求a的值；（2）当a＝时，以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，求t的值；（3）当a＝2时，是否存在某个时间t，使△DFG是直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．2018-2019学年四川省内江市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：12小题，每小题4分，共48分．1．（4分）下列计算不正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则计算可得．【解答】解：A．﹣＝2﹣＝，此选项正确；B．×＝＝4，此选项正确；C．+＝2+＝3，此选项不正确；D．÷＝＝2，此选项正确；故选：C．2．（4分）下列二次根式中与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．求解即可．【解答】解：A、＝，与不是同类二次根式，本选项错误；B、＝3，与不是同类二次根式，本选项错误；C、＝2，与不是同类二次根式，本选项错误；D、＝2，与是同类二次根式，本选项正确．故选：D．3．（4分）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃C．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数【分析】利用折线统计图可得出试验的频率在0.5左右，进而得出答案．【解答】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意；B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任意抽出一张的花色是红桃的概率为，不符合题意；C、袋子中有1个红球和2个黄球，它们除颜色外都相同，从中任取一球是黄球的概率为，不符合题意；D、掷一枚质地均匀的骰子，向上的面的点数是偶数的概率为，符合题意；故选：D．4．（4分）用配方法解方程x2+4x+1＝0，配方后的方程是（）A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣2）2＝5 D．（x+2）2＝5【分析】方程常数项移到右边，两边加上4变形后，即可得到结果．【解答】解：方程移项得：x2+4x＝﹣1，配方得：x2+4x+4＝3，即（x+2）2＝3．故选：A．5．（4分）如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简﹣|a+c|+的结果是（）A．2c﹣b B．﹣b C．b D．﹣2a﹣b【分析】首先根据数轴可以得到a＜b＜0＜c，然后则根据绝对值的性质，以及算术平方根的性质即可化简．【解答】解：根据数轴可以得到：a＜b＜0＜c，且|a|＞|c|，则c﹣b＞0，则原式＝﹣a+（a+c）+（c﹣b）＝﹣a+a+c+c﹣b＝2c﹣b．故选：A．6．（4分）在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c＝3a，tan A 的值为（）A．B．C．D．3【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：sin A＝＝＝，∴tan A＝＝，故选：B．7．（4分）2019年元旦节期间班上数学兴趣小组的同学互发微信祝贺，每两个同学都互相发一次，小明统计全组共互发了90次微信，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（）A．x（x﹣1）＝90 B．x（x﹣1）＝2×90C．x（x﹣1）＝90÷2 D．x（x+1）＝90【分析】设数学兴趣小组人数为x人，则每人需发送（x﹣1）条微信，由全组共互发了90次微信，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设数学兴趣小组人数为x人，则每人需发送（x﹣1）条微信，依题意，得：x（x﹣1）＝90．故选：A．8．（4分）若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜且k≠﹣2 B．k C．k≤且k≠﹣2 D．k【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k+2≠0且△＝（﹣3）2﹣4（k+2）•1≥0，求出即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，∴k+2≠0且△＝（﹣3）2﹣4（k+2）•1≥0，解得：k且k≠﹣2，故选：C．9．（4分）如图，A、B两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一他点C，然后测出AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为18m，由此他就知道了A、B间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（）A．AB＝36m B．MN∥AB C．MN＝CB D．CM＝AC【分析】根据三角形的中位线定理即可判断；【解答】解：∵CM＝MA，CN＝NB，∴MN∥AB，MN＝AB，∵MN＝18m，∴AB＝36m，故A、B、D正确，故选：C．10．（4分）如图，在平行四边形ABCB中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE 并延长交AD于点F，已知△AEF的面积为4，则△OBE的面积为（）A．4 B．8 C．10 D．12【分析】根据平行是四边形的性质得到AD∥BC，OA＝OC，得到△AFE∽△CEB，根据点E 是OA的中点，得到AE＝EC，△AEB的面积＝△OEB的面积，计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴△AFE∽△CEB，∴＝（）2，∵点E是OA的中点，∴AE＝EC，△AEB的面积＝△OEB的面积，∴＝，∴△CEB的面积＝36，∴△OBE的面积＝×36＝12，故选：D．11．（4分）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（）A．（3，2）B．（3，1）C．（2，2）D．（4，2）【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，∴＝，∵BG＝6，∴AD＝BC＝2，∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴＝，∴＝，解得：OA＝1，∴OB＝3，∴C点坐标为：（3，2），故选：A．12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为（）A．B．C．D．2【分析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，然后根据△P′OC和△ABC相似，利用相似三角形的性质即可求出PQ的最小值．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO＝QO，CO＝AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线OP′，∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，∴△CAB∽△CP′O，∴，∴，∴OP′＝，∴则PQ的最小值为2OP′＝，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）13．（4分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥2019 ．【分析】直接利用二次根式的性质得出答案．【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴x﹣2019≥0，解得：x≥2019．故答案为：x≥2019．14．（4分）设a、b是方程x2+x﹣2018＝0的两实数根，则a2+3a+ab+2b＝﹣2 ．【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a＝2018，a+b＝﹣1，ab＝﹣2018，将其代入a2+3a+ab+2b＝（a2+a）+2（a+b）+ab中即可求出结论．【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2018＝0的两实数根，∴a2+a＝2018，a+b＝﹣1，ab＝﹣2018，∴a2+3a+ab+2b＝（a2+a）+2（a+b）+ab＝2018﹣2﹣2018＝﹣2．故答案为﹣2．15．（4分）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形，小明同学向一个如图所示的“赵爽弦图”的飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）．若飞镖板中直角三角形的两条直角边的长分别为1和2，则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域的概率是．【分析】求出大小正方形的面积，根据面积比即可解决问题；【解答】解：由题意大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，∴投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域的概率是．故答案为．16．（4分）如图，正方形ABCD的顶点A（6，0）、B（6，2）、C（8，2）、D（8，0），OC分别交AB、BD于点E、F，则△BEF的面积为．【分析】由BC∥AD，推出＝＝，可得S△BCF＝•S△BDC＝，由BE∥CD，推出＝＝，可得S△BEF＝S△BCF解决问题．【解答】解：∵A（6，0）、B（6，2）、C（8，2）、D（8，0），∴OA＝6，OD＝8，AB＝AD＝CD＝BC＝2，∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD，AB∥CD，∴＝＝，∴S△BCF＝•S△BDC＝，∵BE∥CD，∴＝＝，∴S△BEF＝S△BCF＝，故答案为．三、解答题（6小题共56分.）17．（10分）（1）计算：﹣3tan30°+（π﹣4）0+2sin30°﹣（﹣）﹣1（2）解方程：（x+1）2﹣2（x+1）＝0【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂的定义、特殊角的三角函数、二次根式的运算法则化简即可．（2）利用因式分解法解方程即可．【解答】解：（1）原式＝＝2+1+1+2＝+4；（2）（x+1）2﹣2（x+1）＝0，（x+1）（x+1﹣2）＝0，∴x+1＝0或x﹣1＝0，∴x1＝﹣1，x2＝1．18．（8分）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字﹣3、﹣1、0、2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀．（1）从中任取一球，将球上的数字记为a，则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+a+3＝0有实数根的概率；（2）从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标，记为x（不放回）；再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y，试用画树状图（或列表法）表示出点（x，y）所有可能出现的结果，并求点（x，y）落在第二象限内的概率．【分析】（1）先求出方程ax2﹣2ax+a+3＝0有实数根时a＜0，再求出从中任取一球，得a＜0的概率即可得出答案，（2）先列表，再求出所有等可能的情况，和点（x，y）落在第二象限内的情况，再根据概率公式列式计算即可．【解答】解：（1）∵方程ax2﹣2ax+a+3＝0有实数根，∴△＝4a2﹣4a（a+3）＝﹣12a≥0，且a≠0，解得a＜0，∵从中任取一球，得a＜0的概率是＝，∴方程ax2﹣2ax+a+3＝0有实数根的概率为．故答案为：．（2）列表如下：所有等可能的情况有12种，其中点（x，y）落在第二象限内的情况有（﹣1，2），（﹣3，2）2种，则点（x，y）落在第二象限内的概率＝＝．19．（8分）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，有一艘小船停在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向，BP＝6km．（1）求A、B两观测站之间的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向前行，求观测站B与小船的最短距离．【分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，先解Rt△PBD，得到BD和PD的长，再解Rt△PAD，得到AD和AP的长，然后根据BD+AD＝AB，即可求解；（2）过点B作BF⊥AC于点F，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D，设PD＝x，所以∠PBD＝45°即km因为∠PAD＝90°﹣60°＝30°，所以km所以A、B观测站距离：km（2）∵小船在北偏西60°的方向，∴∠FAB＝30°，∴BF＝km．20．（8分）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF ⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD＝3，AB＝5，求的值．【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE＝∠AGC＝90°，从而可证明∠AED＝∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；（2）△ADE∽△ABC，，又易证△EAF∽△CAG，所以，从而可知．【解答】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AGC＝90°，∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AED＝∠ACB，∵∠EAD＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC，（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，∴＝由（1）可知：∠AFE＝∠AGC＝90°，∴∠EAF＝∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴，∴＝另解：∵AG⊥BC，AF⊥DE，△ADE∽△ABC，∴＝＝21．（10分）因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．（1）求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；（2）为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？【分析】（1）可设年平均增长率为x，根据等量关系：2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次，列出方程求解即可；（2）可设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，根据利润的等量关系列出方程求解即可．【解答】解：（1）可设年平均增长率为x，依题意有20（1+x）2＝28.8，解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：年平均增长率为20%；（2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，依题意有（y﹣6）[300+30（25﹣y）]＝6300，解得y1＝20，y2＝21，∵每碗售价不得超过20元，∴y＝20．答：当每碗售价定为20元时，店家才能实现每天利润6300元．22．（12分）如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝6cm，D是BC的中点．点E 从A出发，以a cm/s（a＞0）的速度沿AC匀速向点C运动，点F同时以1cm/s的速度从C出发，沿CB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，过点E作AC的垂线，交AD于点G，连接EF，FG．设它们运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t＝2时，△ECF∽△BCA，求a的值；（2）当a＝时，以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，求t的值；（3）当a＝2时，是否存在某个时间t，使△DFG是直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先表示出CF，AE，EC，由相似三角形的性质得出比例式建立方程求解即可得出结论；（2）先判断出△AEG∽△ACD，得出EG，再判断出EG＝DF，最后分两种情况讨论，建立方程求解即可得出结论；（3）先表示出AG＝厘米，EG＝，DF＝3﹣t厘米，DG＝5﹣（厘米），再分两种情况讨论，建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）∵t＝2，∴CF＝2厘米，AE＝2a厘米，∴EC＝（4﹣2a）厘米，∵△ECF∽△BCA．∴．（2分）∴．∴．（4分）（2）由题意，AE＝厘米，CD＝3厘米，CF＝t厘米．∵EG∥CD，∴△AEG∽△ACD．∴，．∴EG＝．（5分）∵以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，∴EG＝DF．当0≤t＜3时，，∴．（7分）当3＜t≤6时，，∴．综上，或（9分）（3）∵点D是BC中点，∴CD＝BC＝3，在Rt△ACD中，根据勾股定理得，AD＝5，由题意，AE＝2t厘米，CF＝t厘米，由（2）知，△AEG∽△ACD，∴＝＝，∴∴AG＝厘米，EG＝，DF＝3﹣t厘米，DG＝5﹣（厘米）．若∠GFD＝90°，则EG＝CF，＝t．∴t＝0，（舍去）（11分）若∠FGD＝90°，则△ACD∽△FGD．∴，∴．∴t＝．（13分）综上：t＝，△DFG是直角三角形．。
2018-2019学年四川省广安市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年四川省广安市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择題（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．（5分）已知空间直角坐标系中A（2，﹣1，﹣2），B（3，2，1），则|AB|＝（（）A．B．C．D．2．（5分）直线的倾斜角大小为（）A．30°B．60°C．120°D．150°3．（5分）以x＝1为准线的抛物线的标准方程为（）A．y2＝2x B．y2＝﹣2x C．y2＝4x D．y2＝﹣4x 4．（5分）“若x＜1，则x2﹣3x+2＞0”的否命题是（）A．若x≥1，则x2﹣3x+2≤0B．若x＜l，则x2﹣3x+2≤0C．若x≥1，则x2﹣3x+2＞0D．若x2﹣3x+2≤0，则x≥15．（5分）已知直线l：x+ay+1＝0与圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相切，则a为（）A．﹣B．C．D．﹣6．（5分）设某高中的学生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为＝0.67x ﹣60.9，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该高中某学生身高为170cm，则可断定其体重必为53kgD．若该高中某学生身高增加1cm，则其体重约增加0.67kg7．（5分）“2＜m＜6”是“方程+＝1为椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）从甲、乙两种棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm）组成一个样本，得到如图所示的茎叶图．若甲、乙两种棉花纤维的平均长度分别用，表示，标准差分别用s1，s2表示，则（）A．＞，s 1＞s2B．＞，s1＜s2C．＜，s 1＞s2D．＜，s1＜s29．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为（）A．16B．18C．48D．14310．（5分）小华和小明两人约定在7：30到8：30之间在“思源广场”会面，并约定先到者等候另一人30分钟，过时离去，则两人能会面的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F（0，﹣6），点A（﹣，0），点P为双曲线第二象限内的点，则当点P的位置变化时，△P AF周长的最小值为（）A．16B．7+3C．14+D．1812．（5分）已知A，B是以F为焦点的抛物线y2＝4x上两点，且满足＝5，则弦AB 中点到准线距离为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）把二进制数10011（2）转化为十进制的数为．14．（5分）已知双曲线x2﹣y2＝1，则它的右焦点到它的渐近线的距离是．15．（5分）若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为．16．（5分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，抛物线y2＝4cx（c2＝a2﹣b2且c＞b）与椭圆C在第一象限的交点为P，若cos∠PF1F2＝，则椭圆C的离心率为．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知直线l1：kx﹣2y+k﹣8＝0（k∈R），l2：2x+y+1＝0．（Ⅰ）若l1∥l2，求l1，l2间的距离；（Ⅱ）求证：直线l1必过第三象限．18．（12分）已知命题p：实数m满m2﹣2am﹣3a2＜0，其中a＞0；命题q：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣10＝0的内部．（Ⅰ）当a＝1，p∧q为真时，求m的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求a的取值范围．19．（12分）已知线段AB的端点B在圆C1：x2+（y﹣4）2＝16上运动，端点A的坐标为（4，0），线段AB中点为M，（Ⅰ）试求M点的轨迹C2方程；（Ⅱ）若圆C1与曲线C2交于C，D两点，试求线段CD的长．20．（12分）随着2018年央视大型文化节目《经典咏流传》的热播，在全民中掀起了诵读诗词的热潮广安某社团调查了广安某校300名学生每天诵读诗词的时间（所有学生诵读时间都在两小时内，并按时间（单位：分钟）将学生分成六个组：[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），[100，120]经统计得到了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生每天诵读诗词的时间的平均数和中位数．（Ⅱ）若两个同学诵读诗词的时间x，y满足|x﹣y|＞60，则这两个同学组成一个“Team”，已知从每天诵读时间小于20分钟和大于或等于80分钟的所有学生中用分层抽样的方法抽取了5人，现从这5人中随机选取2人，求选取的两人能组成一个“Team”的概率．21．（12分）已知椭圆C：+y2＝1（a＞0），过椭圆C右顶点和上顶点的直线l与圆x2+y2＝相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2＝2，证明：直线AB过定点．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）＝2．（Ⅰ）求l的直角坐标方程和C的直角坐标方程；（Ⅱ）若l和C相交于A，B两点，求|AB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣1|，g（x）＝|2x﹣4|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞g（x）的解集．（Ⅱ）若存在x∈R，使得不等式2f（x+1）+g（x）＜ax+1成立，求实数a的取值范围．2018-2019学年四川省广安市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择題（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．【解答】解：∵空间直角坐标系中A（2，﹣1，﹣2），B（3，2，1），∴|AB|＝＝．故选：B．2．【解答】解：由题意，直线的斜率为k＝，即直线倾斜角的正切值是又倾斜角大于或等于0°且小于180°，故直线的倾斜角为30°，故选：A．3．【解答】解：以x＝1为准线的抛物线，开口向左，可得p＝2，所以抛物线的标准方程为：y2＝﹣4x．故选：D．4．【解答】解：若p则q的否命题为若￢p则￢q，即命题的否命题为：若x≥1，则x2﹣3x+2≤0，故选：A．5．【解答】解：根据题意，直线l：x+ay+1＝0与圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相切，则有＝1，解可得：a＝﹣；故选：D．6．【解答】解：根据y与x的线性回归方程为＝0.67x﹣60.9，则b＝0.67＞0，y与x具有正的线性相关关系，A正确；回归直线过样本点的中心（），B正确；该高中某学生身高为170cm，则可预测其体重必为53kg，C错误；若该高中某学生身高增加1cm，则其体重约增加0.67kg，D正确．∴不正确的结论是C．故选：C．7．【解答】解：若方程+＝1为椭圆方程，则，解得：2＜m＜6，且m≠4，故“2＜m＜6”是“方程+＝1为椭圆方程”的必要不充分条件，故选：B．8．【解答】解：由茎叶图得：甲的数据相对分散，而乙的数据相对集中于茎叶图的右下方，∴＜，s 1＞s2．故选：C．9．【解答】解：初始值n＝3，x＝3，程序运行过程如下表所示：v＝1i＝2，v＝1×3+2＝5i＝1，v＝5×3+1＝16i＝0，v＝16×3+0＝48i＝﹣1，不满足条件，跳出循环，输出v的值为48．故选：C．10．【解答】解：设记7：30为0，则8：30记为60，设小华到达“思源广场”为x时刻，小明小华到达“思源广场”为y时刻，则0≤x≤60，0≤y≤60，记“两人能会面”为事件A，则事件A：|x﹣y|≤30，由图知：两人能会面的概率是：＝＝，故选：B．11．【解答】解：双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F（0，﹣6），可得，c＝＝6，a＝2，b＝4．双曲线方程为，设双曲线的上焦点为F'（0，6），则|PF|＝|PF'|+4，△P AF的周长为|PF|+|P A|+|AF|＝|PF'|+2a+|P A|+AF，当P点在第二象限时，|PF'|+|P A|的最小值为|AF'|＝7，故△P AF的周长的最小值为14+4＝18．故选：D．12．【解答】解：设BF＝m，由抛物线的定义知AA1＝5m，BB1＝m，∴△ABC中，AC＝4m，AB＝6m，kAB＝，直线AB方程为y＝（x﹣1），与抛物线方程联立消y得5x2﹣26x+5＝0，所以AB中点到准线距离为+1＝+1＝．故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：10011（2）＝1+1×2+1×24＝19故答案为：1914．【解答】解：双曲线x2﹣y2＝1，可得a＝1，b＝1，c＝，则右焦点（1，0）到它的渐近线y＝x的距离为d＝＝．故答案为：．15．【解答】解：∵命题“∃x0∈R，x+（a﹣1）x0+1＜0”是假命题，∴命题“∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1≥0”是真命题，即对应的判别式△＝（a﹣1）2﹣4≤0，即（a﹣1）2≤4，∴﹣2≤a﹣1≤2，即﹣1≤a≤3，故答案为：[﹣1，3]．16．【解答】解：抛物线y2＝4cx的焦点为F2（c，0），如下图所示，作抛物线的准线l，则直线l过点F1，过点P作PE垂直于直线l，垂足为点E，由抛物线的定义知|PE|＝|PF2|，易知，PE∥x轴，则∠EPF1＝∠PF1F2，所以，＝，设|PF1|＝5t（t＞0），则|PF2|＝4t，由椭圆定义可知，2a＝|PF1|+|PF2|＝9t，在△PF1F2中，由余弦定理可得，整理得，解得，或．∵c＞b，则c2＞b2＝a2﹣c2，可得离心率．当时，离心率为，合乎题意；当时，离心率为，不合乎题意．综上所述，椭圆C的离心率为．故答案为：．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（Ⅰ）若l1∥l2，直线l1：kx﹣2y+k﹣8＝0（k∈R），l2：2x+y+1＝0，则有＝≠，求得k＝﹣4，故直线l1即：2x+y+6＝0，故l1，l2间的距离为＝．（Ⅱ）证明：直线l1：kx﹣2y+k﹣8＝0（k∈R），即k（x+1）﹣2y﹣8＝0，必经过直线x+1＝0和直线﹣2y﹣8＝0的交点（﹣1，﹣4），而点（﹣1，﹣4）在第三象限，直线l1必过第三象限．18．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1，命题p：m2﹣2m﹣3＜0，﹣1＜m＜3，命题q：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣10＝0的内部，∴m2﹣4＜0，∴﹣2＜m＜2，∵p∧q为真，∴m的取值范围为（﹣1，3）∩（﹣2，2）＝（﹣1，2）；（Ⅱ）命题p：（m﹣3a）（m+a）＜0，∵a＞0，∴﹣a＜m＜3a，设A＝（﹣a，3a）命题q：﹣2＜m＜2，设B＝（﹣2，2）∵￢p是￢q的充分不必要条件，∴￢p⇒￢q，￢q推不出￢p，∴q⇒p，p推不出q，∴B⊊A，∴，∴a≥2，∴a的取值范围为[2，+∞）．19．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），B（x′，y′），则由题意可得：，解得：，∵点B在圆C1：x2+（y﹣4）2＝16上，∴（x′）2+（y′﹣4）2＝16，∴（2x﹣4）2+（2y﹣4）2＝16，即（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4．∴轨迹C2方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4；（Ⅱ）由方程组，解得直线CD的方程为x﹣y﹣1＝0，圆C1的圆心C1（0，4）到直线CD的距离为，圆C1的半径为4，∴线段CD的长为．20．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：（a+a+6a+8a+3a+a）×20＝1，解得a＝0.0025．该校学生每天诵读诗词的时间的平均数为：0.05×10+0.05×30+0.3×50+0.4×70+0.15×90+0.05×110＝64．[0，60）的频率为：0.05+0.05+0.3＝0.4，[60，80）的频率为：0.4，∴估计该校学生每天诵读诗词的时间的中位数为：60+＝65．（Ⅱ）从每天诵读时间小于20分钟和大于或等于80分钟的所有学生中用分层抽样的方法抽取了5人，则从每天诵读时间小于20分钟的学生中抽取：5×＝1人，从每天诵读时间大于或等于80分钟的所有学生中抽取：5×＝4人，现从这5人中随机选取2人，基本事件总数n＝＝10，两个同学诵读诗词的时间x，y满足|x﹣y|＞60，则这两个同学组成一个“Team”，选取的两人能组成一个“Team”包含的基本事件个数m＝＝4．∴选取的两人能组成一个“Team”的概率p＝＝＝．21．【解答】解：（1）椭圆C的右顶点（a，0），上顶点（0，1），设直线l的方程为：+y＝1，化为：x+ay﹣a＝0，∵直线l与圆x2+y2＝相切，∴＝，a＞0，解得a＝．∴椭圆C的方程为．（2）当直线AB的斜率不存在时，设A（x0，y0），则B（x0，﹣y0），由k1+k2＝2得，得x0＝﹣1．当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝kx+m（m≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），，得，∴，即，由m≠1，（1﹣k）（m+1）＝﹣km⇒k＝m+1，即y＝kx+m＝（m+1）x+m⇒m（x+1）＝y﹣x，故直线AB过定点（﹣1，﹣1）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴l的直角坐标方程为+＝0，∵曲线C的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）＝2，即ρ2+ρ2sin2θ＝2，∴C的直角坐标方程为x2+y2+y2＝2，即＝1．（2）联立，得7x2+12x+4＝0，△＝144﹣4×7×4＝32＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴|AB|＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）由|x﹣1|＞|2x﹣4|，得：x2﹣2x+1＞4x2﹣16x+16，解得：＜x＜3，故不等式的解集是（，3）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得不等式2f（x+1）+g（x）＜ax+1成立，即存在x∈R，使得2|x|+|2x﹣4|＜ax+1成立，当x＜0时，﹣4x+4＜ax+1即a＜﹣4在（﹣∞，0）上有解，故a＜﹣4，当x＝0时，4＜1不成立，当0＜x≤2时，4＜ax+1即a＞在（0，2]上有解，故a＞，当x＞2时，4x﹣4＜ax+1即a＞4﹣在（2，+∞）上有解，故a＞，综上，a＞或a＜﹣4．。
安徽省黄山市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版含解析
黄山市2018～2019学年度第一学期期末质量检测高二（文科）数学试题第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.若直线a平行于平面α，则下列结论错误．．的是( )A. 直线a上的点到平面α的距离相等B. 直线a平行于平面α内的所有直线C. 平面α内有无数条直线与直线a平行D. 平面α内存在无数条直线与直线a成90°角【答案】B【解析】【分析】由题意，根据两直线的位置关系的判定，以及直线与平面的位置关系，逐一判定，即可得到答案.【详解】由题意，直线a平行于平面α，则对于A中，直线a上的点到平面α的距离相等是正确的；对于B中，直线a与平面α内的直线可能平行或异面，所以不正确；对于C中，平面α内有无数条直线与直线a平行是正确的；对于D中，平面α内存在无数条直线与直线a 成90°角是正确的，故选D.【点睛】本题主要考查了空间中两直线的位置关系的判定，其中解答中熟记空间中两条直线的三种位置关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.2.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】空间直角坐标系中任一点关于坐标平面的对称点为，即可求得答案【详解】根据空间直角坐标系中点的位置关系可得点关于平面的对称点是故选【点睛】本题考查了对称点的坐标的求法，解决此类问题的关键是熟练掌握空间直角坐标系，以及坐标系中点之间的位置关系，属于基础题。
3.已知，则“”是“直线与直线垂直”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】当时，判断两直线是否垂直，由此判断充分性，当两直线垂直时，根据两直线垂直的性质求出的值，由此判断必要性，从而得到答案【详解】充分性：当时，两条直线分别为：与此时两条直线垂直必要性：若两条直线垂直，则，解得故“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件故选【点睛】本题是一道有关充分条件和必要条件的题目，需要分别从充分性和必要性两方面分析，属于基础题。
2018-2019学年四川省乐山市高二(下)期末数学试卷(理科)(含答案)
高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是（）A. 随机抽样B. 分层抽样C. 系统抽样D. 以上都是2.在复平面内，复数6+5i，-2+3i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（）A. 4+8iB. 8+2iC. 4+iD. 2+4i3.从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是（）A. 18B. 24C. 30D. 364.设i为虚数单位，则（x-i）6的展开式中含x4的项为（）A. -15x4B. 15x4C. -20ix4D. 20ix45.掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）A. B. C. D.6.曲线f（x）=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1，则P点的坐标为（）A. （1，3）B. （-1，3）C. （1，3）和（-1，3）D. （1，-3）7.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x=0，则一开始输入的x的值为（）A.B.C.D.8.p设η=2ξ+3，则E（η）的值为（）A. 4B.C.D. 19.在区间[0，1]上任取两个实数a，b，则函数f（x）=x2+ax+b2无零点的概率为（）A. B. C. D.10.根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）x345678y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0A. a＞0，b＞0B. a＞0，b＜0C. a＜0，b＞0D. a＜0，b＜011.若函数f（x）=x3-tx2+3x在区间[1，4]上单调递减，则实数t的取值范围是（）A. （-∞，]B. （-∞，3]C. [，+∞）D. [3，+∞）12.已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A. (－∞，0)B.C. (0,1)D. (0，＋∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为______．14.已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则|z|=______．15.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为______．16.若曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x在（0，+∞）上存在公共点，则a的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x+b（a，b∈R）（1）若函数f（x）的导函数为偶函数，求a的值；（2）若曲线y=f（x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围18.为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下面是该生7次考试的成绩．数学888311792108100112物理949110896104101106（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；（2）已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．参考公式：方差公式：，其中为样本平均数==，=-19.已知函数，．（1）求f（x）在区间（-∞，1）上的极小值和极大值点；（2）求f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．20.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，以AE为折痕将△DAE向上折起，D变为D'，且平面D'AE⊥平面ABCE．（Ⅰ）求证：AD'⊥EB；（Ⅱ）求二面角A-BD'-E的大小．21.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T，其范围为[0，10]，分为五个级别，T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．早高峰时段（T≥3），从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如右图．（Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？（Ⅱ）据此估计，早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？（III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．22.已知函数f（x）=（ax-1）e x（x＞0，a∈R）（e为自然对数的底数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a=1时，f（x）＞kx-2恒成立，求整数k的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵学生人数比较多，∵把每个班级学生从1到最后一号编排，要求每班编号是5的倍数的同学留下进行作业检查，这样选出的样本是采用系统抽样的方法，故选：C．学生人数比较多，把每个班级学生从1到最后一号编排，要求每班学号是5的倍数的同学留下进行作业检查，这样选出的样本是具有相同的间隔的样本，是采用系统抽样的方法．本题考查系统抽样，当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分即将总体分段，分段的间隔要求相等，系统抽样又称等距抽样．2.【答案】D【解析】解：因为复数6+5i，-2+3i对应的点分别为A（6，5），B（-2，3）．且C为线段AB的中点，所以C（2，4）．则点C对应的复数是2+4i．故选：D．写出复数所对应点的坐标，有中点坐标公式求出C的坐标，则答案可求．本题考查了中点坐标公式，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①，选出的3人为2男1女，有C42C31=18种选法；②，选出的3人为1男2女，有C41C32=12种选法；则男女生都有的选法有18+12=30种；故选：C．根据题意，分2种情况讨论：①，选出的3人为2男1女，②，选出的3人为1男2女，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：（x-i）6的展开式的通项公式为T r+1=•x6-r•（-i）r，令6-r=4，求得r=2，故展开式中含x4的项为•（-i）2•x4=-15x4，故选：A．在二项式展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求得r的值，可得展开式中含x4的项．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．5.【答案】B【解析】【分析】这是一个古典概率模型，求出所有的基本事件数N与事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”包含的基本事件数n，再由公式求出概率得到答案本题是一个古典概率模型问题，解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”，由列举法计算出事件所包含的基本事件数，判断出概率模型，理解求解公式是本题的重点，正确求出事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件数是本题的难点．【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是=，故选B．6.【答案】C【解析】解：设P的坐标为（m，n），则n=m3-m+3，f（x）=x3-x+3的导数为f′（x）=3x2-1，在点P处的切线斜率为3m2-1，由切线平行于直线y=2x-1，可得3m2-1=2，解得m=±1，即有P（1，3）或（-1，3），故选：C．设P的坐标为（m，n），则n=m3-m+3，求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得m的方程，求得m的值，即可得到所求P的坐标．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题．7.【答案】C【解析】【分析】求出对应的函数关系，由题输出的结果的值为0，由此关系建立方程求出自变量的值即可．解答本题，关键是根据所给的框图，得出函数关系，然后通过解方程求得输入的值．本题是算法框图考试常见的题型，其作题步骤是识图得出函数关系，由此函数关系解题，得出答案．【解答】解：第一次输入x=x，i=1第二次输入x=2x-1，i=2，第三次输入x=2（2x-1）-1=4x-3，i=3，第四次输入x=2（4x-3）-1=8x-7，i=4＞3，第五次输入x=2（8x-7）-1=16x-15，i=5＞4，输出16x-15=0，解得：x=，故选：C．8.【答案】B【解析】解：由题意可知E（ξ）=-1×+0×+1×=-．∵η=2ξ+3，所以E（η）=E（2ξ+3）=2E（ξ）+3=+3=．故选：B．求出ξ的期望，然后利用η=2ξ+3，求解E（η）即可．本题考查有一定关系的两个变量之间的期望之间的关系，本题也可以这样来解，根据两个变量之间的关系写出η的分布列，再由分布列求出期望．9.【答案】B【解析】解：∵a，b是区间[0，1]上的两个数，∴a，b对应区域面积为1×1=1若函数f（x）=x2+ax+b2无零点，则△=a2-4b2＜0，对应的区域为直线a-2b=0的上方，面积为1-=，则根据几何概型的概率公式可得所求的概率为．故选：B．函数f（x）=x2+ax+b2无零点的条件，得到a，b满足的条件，利用几何概型的概率公式求出对应的面积即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率计算，根据二次函数无零点的条件求出a，b满足的条件是解决本题的关键．10.【答案】B【解析】解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b ＜0，且回归方程经过（3，4）与（4，2.5）附近，所以a＞0．故选：B．通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a的符号．本题考查回归方程的应用，基本知识的考查．11.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=x3-tx2+3x，∴f′（x）=3x2-2tx+3，若函数f（x）=x3-tx2+3x在区间[1，4]上单调递减，则f′（x）≤0即3x2-2tx+3≤0在[1，4]上恒成立，∴t≥（x+）在[1，4]上恒成立，令y=（x+），由对勾函数的图象和性质可得：函数在[1，4]为增函数，当x=4时，函数取最大值，∴t≥，即实数t的取值范围是[，+∞），由题意可得f′（x）≤0即3x2-2tx+3≤0在[1，4]上恒成立，由二次函数的性质可得不等式组的解集．本题主要考查函数的单调性和导数符号间的关系，二次函数的性质，属于中档题．12.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．先求导函数，函数f（x）=x（ln x-ax）有两个极值点，等价于f′（x）=ln x-2ax+1有两个零点，等价于函数y=ln x与y=2ax-1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x（ln x-ax），则f′（x）=ln x-ax+x（-a）=ln x-2ax+1，令f′（x）=ln x-2ax+1=0得ln x=2ax-1，函数f（x）=x（ln x-ax）有两个极值点，等价于f′（x）=ln x-2ax+1有两个零点，等价于函数y=ln x与y=2ax-1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax-1与y=ln x的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=ln x与y=2ax-1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．简解：函数f（x）=x（ln x-ax），则f′（x）=ln x-ax+x（-a）=ln x-2ax+1，令f′（x）=ln x-2ax+1=0得ln x=2ax-1，可得2a=有两个不同的解，设g（x）=，则g′（x）=，当x＞1时，g（x）递减，0＜x＜1时，g（x）递增，可得g（1）取得极大值1，作出y=g（x）的图象，可得0＜2a＜1，即0＜a＜，13.【答案】【解析】解：根据题意，简单随机抽样中每个个体被抽到的概率是相等的，若在含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率P==；故答案为：．根据题意，由简单随机抽样的性质以及古典概型的计算公式可得个体m被抽到的概率P=，化简即可得答案．本题考查古典概型的计算，涉及随机抽样的性质，属于基础题．14.【答案】【解析】解：∵（1+2i）z=4+3i，∴z=，则|z|=||=．故答案为：．把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．15.【答案】【解析】解：将三棱锥D1-EDF选择△D1ED为底面，F为顶点，则=，其==，F到底面D1ED的距离等于棱长1，所以=××1=S故答案为：将三棱锥D1-EDF选择△D1ED为底面，F为顶点，进行等体积转化V D 1-EDF=V F -D1ED后体积易求．本题考查了三棱柱体积的计算，等体积转化法是常常需要优先考虑的策略．16.【答案】[，+∞）【解析】解：根据题意，函数y=ax2（a＞0）与函数y=e x在（0，+∞）上有公共点，令ax2=e x得：，设则，由f'（x）=0得：x=2，当x＞2时，f'（x）＞0，函数在区间（2，+∞）上是增函数，所以当x=2时，函数在（0，+∞）上有最小值，所以．故答案为：．由题意可得，ax2=e x有解，运用参数分离，再令，求出导数，求得单调区间、极值和最值，即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查函数方程的转化思想的运用，属于中档题．17.【答案】解：（1）：f（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2），由题因为f（x）为偶函数，∴2（1-a）=0，即a=1．（2）∵曲线y=f（x）存在两条垂直于y轴的切线，∴关于x的方程f′（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）有两个不相等的实数根，∴△=4（1-a）2+12a（a+2）＞0，即4a2+4a+1＞0，∴，∴a的取值范围为（）∪（）．【解析】（1）求出导函数，利用函数的奇偶性求出a即可．（2）求出函数的导数，利用曲线y=f（x）存在两条垂直于y轴的切线，通过△＞0求解即可．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．18.【答案】解：（1）根据题意，由表中的数据可得：=100+=100，=100+=100，则有，从而，故物理成绩更稳定；（2）由于x与y之间具有线性相关关系，则==0.5，则=100-0.5×100=50，则线性回归方程为=0.5x+50，当y=115时，x=130；建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高．【解析】（1）根据题意，由数据计算数学、物理的平均数、方差，进而分析可得答案；（2）根据题意，求出线性回归方程，据此分析可得答案．本题考查线性回归方程的计算，涉及数据的平均数、方差的计算，属于基础题．19.【答案】解：（1）当x＜1时，f′（x）=-3x2+2x=-x（3x-2），令f′（x）=0，得x=0或x=．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（-∞，0） 0（0，）（，1）f′（x）- 0+ 0-f（x）极小值极大值∴当x=0时，函数f（x）取得极小值f（0）=0，函数f（x）取得极大值点为x=．（2）①当-1≤x＜1时，f（x）=-x3+x2，由（1）知，函数f（x）在[-1，0]和[，1）上单调递减，在[0，]上单调递增．∵，∴f（x）在[-1，1）上的最大值为2．②当1≤x≤e时，f（x）=a ln x．当a≤0时，f（x）在[1，e]，上单调递增，∴f（x）max=a．综上所述，当a≥2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为a；当a＜2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为2．【解析】（1）当x＜1时，求导函数，确定函数的单调性，可得f（x）在区间（-∞，1）上的极小值和极大值点；（2）分类讨论，确定函数的单调性，即可得到f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．本题考查导数知识的应用，考查函数的单调性与极值、最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．20.【答案】证明：（Ⅰ）∵，AB=4，∴AB2=AE2+BE2，∴AE⊥EB，取AE的中点M，连结MD'，则AD=D'E=2⇒MD'⊥AE，∵平面D'AE⊥平面ABCE，∴MD'⊥平面ABCE，∴MD'⊥BE，从而EB⊥平面AD'E，∴AD'⊥EB；解：（Ⅱ）以C为原点，CE为x轴，CB为y轴，过C作平面ABCE的垂线为z轴，如图建立空间直角坐标系，则A（4，2，0）、C（0，0，0）、B（0，2，0）、，E（2，0，0），从而=（4，0，0），，．设为平面ABD'的法向量，则，取z=1，得设为平面BD'E的法向量，则，取x=1，得因此，，有，即平面ABD'⊥平面BD'E，故二面角A-BD'-E的大小为90°．【解析】（Ⅰ）推导出AE⊥EB，取AE的中点M，连结MD'，则MD'⊥BE，从而EB⊥平面AD'E，由此能证明AD'⊥EB；（Ⅱ）以C为原点，CE为x轴，CB为y轴，过C作平面ABCE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BD'-E的大小．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）（0.2+0.16）×1×50=18，这50路段为中度拥堵的有18个．（Ⅱ）设事件A“一个路段严重拥堵”，则P（A）=0.1，事件B至少一个路段严重拥堵”，则P=（1-P（A））3=0.729．P（B）=1-P（）=0.271，所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是0.271．（III）由频率分布直方图可得：分布列如下表：X30364260P0.10.440.360.1E（X）=30×0.1+36×0.44+42×0.36+60×0.1=39.96．此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟．【解析】（Ⅰ）利用（0.2+0.16）×1×50即可得出这50路段为中度拥堵的个数．（Ⅱ）设事件A“一个路段严重拥堵”，则P（A）=0.1，事件B至少一个路段严重拥堵”，则P=（1-P（A））3．P（B）=1-P（）=0.271，可得三个路段至少有一个是严重拥堵的概率．（III）利用频率分布直方图即可得出分布列，进而得出数学期望．本题考查了频率分布直方图的应用、互斥事件的概率计算公式、数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）f′（x）=[ax-（1-a）]e x（x＞0，a∈R），当a≥1时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上递增；当0＜a＜1时，f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增；当a≤0时，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上递减．（2）依题意得（x-1）e x＞kx-2对于x＞0恒成立，方法一：令g（x）=（x-1）e x-kx+2（x≥0），则g′（x）=xe x-k（x≥0），当k≤0时，f（x）在（0，+∞）上递增，且g（0）=1＞0，符合题意；当k＞0时，易知x≥0时，g′（x）单调递增．则存在x0＞0，使得，且g（x）在（0，x0]上递减，在[x0，+∞）上递增，∴，∴，，由得，0＜k＜2，又k∈Z，∴整数k的最大值为1．另一方面，k=1时，，g′（1）=e-1＞0∴x0∈（，1），∈（1，2），∴k=1时成立．方法二：恒成立，令，则，令t（x）=（x2-x+1）e x-2（x＞0），则t′（x）=x（x+1）e x＞0，∴t（x）在（0，+∞）上递增，又t（1）＞0，，∴存在x0∈（，1），使得，且h（x）在在（0，x0]上递减，在[x0，+∞）上递增，∴，又x0∈（，1），∴∈（1，），∴h（x0）∈（，2），∴k＜2，又k∈Z，∴整数k的最大值为1．【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，函数恒成立问题，是一道综合题．（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）方法一：令g（x）=（x-1）e x-kx+2（x≥0），通过讨论k的范围，求出g（x）的最小值，从而确定k的最大值；方法二：分离参数k，得到恒成立，令，根据函数的单调性求出k的最大值即可．。
2021-2022学年四川省成都市高二(上)期末数学试卷(文科)_20220122190805
2021-2022学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“∀x∈N，e x＞sin x”的否定是（）A．∀x∈N，e x≤sin x B．∀x∈N，e x＜sin xC．∃x0∈N，＞sin x0D．∃x0∈N，≤sin x02．（5分）抛物线y2＝4x的准线方程是（）A．B．C．x＝﹣1D．x＝13．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，﹣1，1）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（1，1，1）B．（1，1，﹣1）C．（﹣1，﹣1，﹣1）D．（1，﹣1，﹣1）4．（5分）设直线l1：ax+（a﹣2）y+1＝0，l2：x+ay﹣3＝0．若l1⊥l2，则a的值为（）A．0或1B．0或﹣1C．1D．﹣15．（5分）下列有关命题的表述中，正确的是（）A．命题“若a+b是偶数，则a，b都是偶数”的否命题是假命题B．命题“若a为正无理数，则也是无理数”的逆命题是真命题C．命题“若x＝2，则x2+x﹣6＝0”的逆否命题为“若x2+x﹣6≠0，则x≠2”D．若命题“p∧q”，“p∨（￢q）”均为假命题，则p，q均为假命题6．（5分）执行如图所示的算法框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．7．（5分）方程表示椭圆的充分不必要条件可以是（）A．m∈（﹣3，1）B．m∈（﹣3，﹣1）∪（﹣1，1）C．m∈（﹣3，0）D．m∈（﹣3，﹣1）8．（5分）如图，是对某位同学一学期8次体育测试成绩（单位，分）进行统计得到的散点图，关于这位同学的成绩分析，下列结论错误的是（）A．该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且8次测试成绩的极差超过15分B．该同学8次测试成绩的众数是48分C．该同学8次测试成绩的中位数是49分D．该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关9．（5分）若椭圆的弦AB恰好被点M（1，1）平分，则AB所在的直线方程为（）A．3x﹣4y+1＝0B．3x+4y﹣7＝0C．4x﹣3y﹣1＝0D．4x+3y﹣7＝0 10．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔社”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中随机地取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2．若双曲线右支上存在点P，使得PF1与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点Q，且PF2⊥PQ，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．D．12．（5分）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2＝|x|+|y|流是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C围成的图形的面积是2+π；②曲线C上的任意两点间的臥离不超过2；③若P（m，n）是曲线C上任意一点，则|3m+4n﹣12|的最小值是．其中正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分，把答案13．（5分）椭圆x2+2y2＝4的长轴长为．14．（5分）某班有40位同学，将他们从01至40编号，现用系统抽样的方法从中选取5人参加文艺演出，抽出的编号从小到大依次排列，若排在第一位的编号是05，那么第四位的编号是．15．（5分）根据某市有关统计公报显示，随着“一带一路”经贸合作持续深化，该市对外贸易近几年持续繁荣，2017年至2020年每年进口总额x（单位：千亿元）和出口总额y （单位：千亿元）之间的一组数据如下：2017年2018年2019年2020年x 1.8 2.2 2.6 3.0y 2.0 2.8 3.2 4.0若每年的进出口总额x，y满足线性相关关系，则＝；若计划2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为千亿元．16．（5分）已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1和F2，设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，P为两曲线的一个公共点，且（O为坐标原点）．若，则e2的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3）．（Ⅰ）求AC边所在的直线方程；（Ⅱ）求经过AB边的中点，且与AC边平行的直线l的方程．18．（12分）某班主任对全班50名学生进行了作业量多少与手机网游的调查，数据如下表：认为作业多认为作业不多总数喜欢手机网游201030不喜欢手机网游51520列总数252550（Ⅰ）若随机抽问这个班的一名学生，分别求事件“认为作业不多”和事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率；（Ⅱ）若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了5名学生．现要从这5名学生中任取2名学生了解情况，求其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率．19．（12分）已知圆C的圆心为C（1，2），且圆C经过点P（5，5）．（Ⅰ）求圆C的一般方程；（Ⅱ）若圆O：x2+y2＝m2（m＞0）与圆C恰有两条公切线，求实数m的取值范围．20．（12分）为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对中国共产党的热爱，某学校举办了一场党史竞赛活动，共有500名学生参加了此次竞赛活动．为了解本次竞赛活动的成绩，从中抽取了50名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这50名学生的得分进行分组，第一组[60，70），第二组[70，80），第三组[80，90），第四组[90，100]（单位：分），得到如下的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中m的值，估计此次活动学生得分的中位数；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计此竞赛活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖．21．（12分）已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，直线y＝3与抛物线E在第一象限的交点为A，且|AF|＝4．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）经过焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线E相交于P，Q两点，l2与抛物线E相交于M，N两点．若C，D分别是线段PQ，MN的中点，求|FC|•|FD|的最小值．22．（12分）已知点P是圆上任意一点，是圆C内一点，线段AP的垂直平分线与半径CP相交于点Q．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程；（Ⅱ）设不经过坐标原点O，且斜率为的直线l与曲线E相交于M，N两点，记OM，ON的斜率分别是k1，k2，当k1，k2都存在且不为0时，试探究k1k2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．2021-2022学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“∀x∈N，e x＞sin x”的否定是（）A．∀x∈N，e x≤sin x B．∀x∈N，e x＜sin xC．∃x0∈N，＞sin x0D．∃x0∈N，≤sin x0【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x0∈N，≤sin x0，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．（5分）抛物线y2＝4x的准线方程是（）A．B．C．x＝﹣1D．x＝1【分析】由已知抛物线方程以及求出p的值，进而可以求解．【解答】解：由已知抛物线方程可得：2p＝4，所以p＝2，所以准线方程为x＝−＝−1，即x＝﹣1，故选：C．【点评】本题考查了抛物线的性质以及准线方程，属于基础题．3．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，﹣1，1）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（1，1，1）B．（1，1，﹣1）C．（﹣1，﹣1，﹣1）D．（1，﹣1，﹣1）【分析】根据所给的点的坐标，知一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变，写出点的坐标．【解答】解：∵点A（1，﹣1，1），一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变，∴点A（1，﹣1，1）关于x轴对称的点的坐标为（1，1，﹣1）故选：B．【点评】本题考查空间中点的对称，是一个基础题，注意点在空间中关于坐标轴和坐标平面对称的点的坐标，这种题目通常单独作为一个知识点出现．4．（5分）设直线l1：ax+（a﹣2）y+1＝0，l2：x+ay﹣3＝0．若l1⊥l2，则a的值为（）A．0或1B．0或﹣1C．1D．﹣1【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．【解答】解：∵直线l1：ax+（a﹣2）y+1＝0，l2：x+ay﹣3＝0，l1⊥l2，∴a×1+（a﹣2）×a＝0，解得a＝0或a＝1．故选：A．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（5分）下列有关命题的表述中，正确的是（）A．命题“若a+b是偶数，则a，b都是偶数”的否命题是假命题B．命题“若a为正无理数，则也是无理数”的逆命题是真命题C．命题“若x＝2，则x2+x﹣6＝0”的逆否命题为“若x2+x﹣6≠0，则x≠2”D．若命题“p∧q”，“p∨（￢q）”均为假命题，则p，q均为假命题【分析】直接利用四种命题的转换和命题真假的判定的应用求出结果．【解答】解：对于A：命题“若a+b是偶数，则a，b都是偶数”的逆命题是：“若a，b 都是偶数，则a+b是偶数”，该命题为真命题，由于逆命题和否命题等价，故否命题为真命题，故A错误；对于B：命题“若a为正无理数，则也是无理数”的逆命题是：若是无理数，则a 也为无理数”是假命题，故B错误；对于C：命题“若x＝2，则x2+x﹣6＝0”的逆否命题为“若x2+x﹣6≠0，则x≠2”，故C正确；对于D：若命题“p∧q”，“p∨（￢q）”均为假命题，则p为假命题，q为真命题，故D 错误．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：命题真假的判定，四种命题的转换，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．6．（5分）执行如图所示的算法框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．【分析】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝++...+的值，进而根据裂项法即可求解．【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝++...+的值，S＝++...+＝（1﹣）+（）+...+（﹣）＝1﹣＝．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7．（5分）方程表示椭圆的充分不必要条件可以是（）A．m∈（﹣3，1）B．m∈（﹣3，﹣1）∪（﹣1，1）C．m∈（﹣3，0）D．m∈（﹣3，﹣1）【分析】求得方程表示椭圆的条件，根据利用充分条件和必要条件的定义判断．【解答】解：若方程表示椭圆，则，解得：﹣3＜m＜1且m≠﹣1，则方程表示椭圆的充要条件是{m|：﹣3＜m＜1且m≠﹣1}，则：方程表示椭圆的充分不必要条件所对应的集合必须是{m|：﹣3＜m＜1且m≠﹣1}的真子集，选项D，m∈（﹣3，﹣1）符合条件．故选：D．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及椭圆的方程，属于基础题．8．（5分）如图，是对某位同学一学期8次体育测试成绩（单位，分）进行统计得到的散点图，关于这位同学的成绩分析，下列结论错误的是（）A．该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且8次测试成绩的极差超过15分B．该同学8次测试成绩的众数是48分C．该同学8次测试成绩的中位数是49分D．该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关【分析】利用散点图、极差、众数、中位数、相关性直接求解．【解答】解：由散点图得：对于A，该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且8次测试成绩的极差为：56﹣38＝18，超过15分，故A正确；对于B，该同学8次测试成绩的众数是48分，故B正确；对于C，该同学8次测试成绩的中位数是：＝48分，故C错误；对于D，该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关，故D正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查散点图、极差、众数、中位数、相关性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（5分）若椭圆的弦AB恰好被点M（1，1）平分，则AB所在的直线方程为（）A．3x﹣4y+1＝0B．3x+4y﹣7＝0C．4x﹣3y﹣1＝0D．4x+3y﹣7＝0【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），利用平方差法求出直线的斜率，然后求解直线方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，两式相减得：+＝0，因为弦AB恰好被点M（1，1）平分，所以有x1+x2＝2，y1+y2＝2．所以直线AB的斜率k＝＝﹣•＝﹣，因此直线AB的方程为y﹣1＝﹣（x﹣1），即4x+3y﹣1＝0，故选：D．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的简单性质的应用，平方差法的应用，考查计算能力，属于中档题．10．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔社”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中随机地取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为（）A．B．C．D．【分析】设大正方形的边长为2，求出白色部分的面积，利用几何概型能求出在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率．【解答】解：如图，设大正方形的边长为2，则最大的三角形是腰长为的等腰直角三角形，角上的三角形是腰长为1的等腰直角三角形，最小的三角形是腰长为的等腰直角三角形，∴白色部分的面积为：S白＝22﹣×﹣××﹣×1×1＝，∴在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率为：P＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查概率的运算，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2．若双曲线右支上存在点P，使得PF1与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点Q，且PF2⊥PQ，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．D．【分析】利用已知条件求出P的坐标，代入双曲线方程，推出a，b的关系，即可得到渐近线方程．【解答】解：PF1的方程：y＝，PF2的方程为：y＝﹣（x﹣c），联立，解得P（，），点P在双曲线上，可得，可得：b4﹣3a2b2﹣4a4＝0，可得：b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12．（5分）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2＝|x|+|y|流是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C围成的图形的面积是2+π；②曲线C上的任意两点间的臥离不超过2；③若P（m，n）是曲线C上任意一点，则|3m+4n﹣12|的最小值是．其中正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】由曲线方程知曲线关于原点，x，y轴对称，当x≥0，y≥0时，可得x2+y2﹣x﹣y＝0，可得（x﹣）2+（y﹣）2＝，所以可得是以C（，）为圆心，r＝为半径的半圆，由此可作出曲线C的图象，从而通过运算可判断命题①②③的真假．【解答】解：曲线C：x2+y2＝|x|+|y|可知曲线关于原点，x，y轴对称，当x≥0，y≥0时，可得x2+y2﹣x﹣y＝0，可得（x﹣）2+（y﹣）2＝，所以可得是以C（，）为圆心，r＝为半径的半圆，由此可作出曲线C的图象，如图所示，所以曲线C围成的图形的面积是×+2×π×（）2＝2+π，故命题①正确；曲线上任意两点间距离的最大值为4×＝2，故命题②错误；设圆心C到直线3x+4y﹣12＝0的距离为d＝＝，故曲线上任意一点P（m，n）到直线l的距离的最小值为最小值为﹣，故|3m+4n﹣12|的最小值是，故命题③正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，以及考查由曲线方程研究曲线的相关性质，属中档题．二、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分，把答案13．（5分）椭圆x2+2y2＝4的长轴长为4．【分析】化简椭圆方程为标准方程，然后求解长轴长即可．【解答】解：椭圆x2+2y2＝4，可得，可得a＝2，所以椭圆长轴长为：4．故答案为：4．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．14．（5分）某班有40位同学，将他们从01至40编号，现用系统抽样的方法从中选取5人参加文艺演出，抽出的编号从小到大依次排列，若排在第一位的编号是05，那么第四位的编号是29．【分析】求出系统抽样间隔，根据抽取的第一位编号即可写出第四位的编号．【解答】解：系统抽样间隔为40÷5＝8，且抽取的第一位编号是05，所以第四位的编号是5+8×3＝29．故答案为：29．【点评】本题考查了系统抽样应用问题，是基础题．15．（5分）根据某市有关统计公报显示，随着“一带一路”经贸合作持续深化，该市对外贸易近几年持续繁荣，2017年至2020年每年进口总额x（单位：千亿元）和出口总额y （单位：千亿元）之间的一组数据如下：2017年2018年2019年2020年x 1.8 2.2 2.6 3.0y 2.0 2.8 3.2 4.0若每年的进出口总额x，y满足线性相关关系，则＝ 1.6；若计划2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为 3.65千亿元．【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，求解，然后代入计划2022年出口总额达到5千亿元，求解即可．【解答】解：由题意可得：＝2.4．＝＝3．因为样本中心满足回归直线方程，可得3＝2.4﹣0.84，解得＝1.6．，2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为x，则5＝1.6x﹣0.84，解得x＝3.65．故答案为：1.6；3.65．【点评】本题考查回归直线方程的求法与应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．16．（5分）已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1和F2，设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，P为两曲线的一个公共点，且（O为坐标原点）．若，则e2的取值范围是[，+∞）．【分析】设椭圆C1：+＝1（a1＞b1＞0），双曲线C2：﹣＝1（a2＞0，b2＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0）为C1与C2的共同焦点，则c2＝a12﹣b12，c2＝a22+b22，由|﹣|＝2||，得|PO|＝c，则∠F1PF2＝90°（P为C1与C2的一个公共点），设|PF1|＝m，|PF2＝n，可得m2+n2＝4c2①，m+n＝2a1②，|m﹣n|＝2a2③，进一步求出e2的取值范围．【解答】解：设椭圆C1：+＝1（a1＞b1＞0），双曲线C2：﹣＝1（a2＞0，b2＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0）为C1与C2的共同焦点，则c2＝a12﹣b12，c2＝a22+b22，由|﹣|＝2||，得||＝2||，所以2c＝2|PO|，所以|PO|＝c，所以|OF1|＝|OP|＝|OF2|＝c，所以∠F1PF2＝90°（P为C1与C2的一个公共点），设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m2+n2＝4c2，①m+n＝2a1，②，|m﹣n|＝2a2，③②2+③2，得2m2+2n2＝4（a12+a22），代入①，得2×4c2＝4（a12+a22），所以2c2＝a12+a22，所以+＝2，④又e1＝，e2＝，所以＝，＝，所以④化为+＝2，即＝2﹣，因为e1∈（，]，所以＜e12≤，所以≤＜2，所以﹣2＜﹣≤﹣，所以0＜2﹣≤2﹣＝，即0＜≤，则e22≥，又e2＞1，所以e2≥，所以e2的取值范围为[，+∞），故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查椭圆与双曲线的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3）．（Ⅰ）求AC边所在的直线方程；（Ⅱ）求经过AB边的中点，且与AC边平行的直线l的方程．【分析】（Ⅰ）由A、C两点坐标可以写出直线AC斜率，再代入A、C中的一个点就可以求出AC方程．（Ⅱ）求出AB中点，l与AC平行，从而斜率相等，即可设出l，代入A、C中点求得l．【解答】解：（Ⅰ）由题意知AC斜率为k＝＝﹣，所以AC边所在直线方程为y﹣0＝﹣（x﹣4），即3x+4y﹣12＝0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知l可设为3x+4y+m＝0，又AB边中点为（5，），将点（5，）代入直线l的方程得3×5+4×+m＝0，解得m＝﹣29，所以l方程为3x+4y﹣29＝0．【点评】本题考查了直线方程的求解和两直线平行的关系，属于简单题．18．（12分）某班主任对全班50名学生进行了作业量多少与手机网游的调查，数据如下表：认为作业多认为作业不多总数喜欢手机网游201030不喜欢手机网游51520列总数252550（Ⅰ）若随机抽问这个班的一名学生，分别求事件“认为作业不多”和事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率；（Ⅱ）若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了5名学生．现要从这5名学生中任取2名学生了解情况，求其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率．【分析】（Ⅰ）利用古典概型直接求解．（Ⅱ）采用分层抽样方法抽取5人，其中“不喜欢手机网游”的有1人，“喜欢手机网游”有4 人，记“不喜欢手机网游”的1名学生为B，“喜欢手机网游”的4名学生分别为B1，B2，B3，B4，从5名学生中抽取2名学生的所有可能情况有n＝＝10，利用列举法求出恰有1名“不喜欢手机网游”学生的情况有4种，由此能求出其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率．【解答】解：：（Ⅰ）用A表示“认为作业不多”，用B表示“喜欢手机网游且认为作业多”，则P（A）＝＝，P（B）＝＝．（Ⅱ）若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了5名学生，“不喜欢手机网游”与“喜欢手机网游”的人数的比值为＝，∴采用分层抽样方法抽取5人，其中“不喜欢手机网游”的有1人，“喜欢手机网游”有4 人，记“不喜欢手机网游”的1名学生为B，“喜欢手机网游”的4名学生分别为B1，B2，B3，B4，从5名学生中抽取2名学生的所有可能情况有n＝＝10，恰有1名“不喜欢手机网游”学生的情况有：{B，B1}，{B，B2}，{B，B3}，{B，B4}，共4种，∴其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率P＝．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）已知圆C的圆心为C（1，2），且圆C经过点P（5，5）．（Ⅰ）求圆C的一般方程；（Ⅱ）若圆O：x2+y2＝m2（m＞0）与圆C恰有两条公切线，求实数m的取值范围．【分析】（I）设圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r为圆C的半径），再将点P （5，5）代入圆C方程，即可求解．（II）将已知条件转化为两圆相交，再结合圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解．【解答】解：（I）设圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r为圆C的半径），∵圆C经过点P（5，5），∴（5﹣1）2+（5﹣2）2＝r2，即r2＝25，∴圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25．（II）由（I）知圆C的圆心为C（1，2），半径为5，∵圆O：x2+y2＝m2（m＞0）与圆C恰有两条公切线，∴圆O与圆C相交，∴|5﹣m|＜|OC|＜5+m，∵，∴，故m的取值范围是．【点评】本题主要考查两圆之间的位置关系，属于基础题．20．（12分）为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对中国共产党的热爱，某学校举办了一场党史竞赛活动，共有500名学生参加了此次竞赛活动．为了解本次竞赛活动的成绩，从中抽取了50名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这50名学生的得分进行分组，第一组[60，70），第二组[70，80），第三组[80，90），第四组[90，100]（单位：分），得到如下的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中m的值，估计此次活动学生得分的中位数；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计此竞赛活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖．【分析】（Ⅰ）所有组频率之和为1，每个小长方形面积为该组对应的频率，这样让1减去其它组频率即为所求组频率，所求组频率即为对应长方形面积，面积除以宽得到高就是m值．频率分布直方图中的中位数是频率0.5位置为应的x的值．（Ⅱ）平均值是各组中点值乘以对应的频率之和，不低于平均值的学生人数为总数500乘以不低于平均值的频率．【解答】（Ⅰ）由图知第三组频率为1﹣（0.01+0.04+0.02）×10＝0.30，所以第三组矩形的高为m＝＝0.03．因为前两组的频率为（0.01+0.03）×10＝0.4＜0.5，前三组的频率为（0.01+0.03+0.04）×10＝0.8＞0.5，所以得分的中位数在第三组内，设中位数为x，（0.01+0.03）×10+（x﹣80）×0.04＝0.5，解得x＝82.5，所以估计此次得分的中位数是82.5分．（Ⅱ）由频率分布直方图知，学生得分的平均值为＝65×10×0.01+75×10×0.03+85×10×0.04+95×10×0.02＝82．参赛的500名学生中得分不低于82分的人数为500×[0.02×10+（90﹣82）×0.04]＝260，所以估计此次参加比赛活动学生得分的平均值为82分，参赛的500名学生中有260名学生获奖．【点评】本题考查了频率直方图中的频率、中位数、平均数，频数的求解，考查较基础难度不大．21．（12分）已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，直线y＝3与抛物线E在第一象限的交点为A，且|AF|＝4．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）经过焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线E相交于P，Q两点，l2与抛物线E相交于M，N两点．若C，D分别是线段PQ，MN的中点，求|FC|•|FD|的最小值．【分析】（Ⅰ）由题意可得|AF|＝3+＝4，求得p，则抛物线E的方程可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）知焦点为F（0，1）．由已知可得两直线PQ、MN的斜率都存在且均不为0．设直线PQ的斜率为k，则直线MN的斜率为﹣，可得直线PQ与MN的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得C与D的坐标，再求出|FC|与|FD|的值，作积后整理，再由基本不等式求最值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，|AF|＝3+＝4，得p＝2．∴抛物线E的方程为x2＝4y；（Ⅱ）由（Ⅰ）知焦点为F（0，1）．由已知可得两直线PQ、MN的斜率都存在且均不为0．设直线PQ的斜率为k，则直线MN的斜率为﹣，故直线PQ的方程为y＝kx+1，联立方程组，消去y，整理得x2﹣4kx﹣4＝0，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2＝4k，∵C（x C，y C）为弦PQ的中点，∴x C＝（x1+x2）＝2k．由y C＝kx C+1＝2k2+1，故点C（2k，2k2+1），同理，可得D（﹣，），故|FC|＝＝2，|FD|＝＝2．∴|FC|•|FD|＝4＝．当且仅当，即k＝±1时，等号成立．∴|CF|•|FD|的最小值为8．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系的应用，考查化简运算能力和推理能力，训练了利用基本不等式求最值，属于中档题．22．（12分）已知点P是圆上任意一点，是圆C内一点，线段AP的垂直平分线与半径CP相交于点Q．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程；（Ⅱ）设不经过坐标原点O，且斜率为的直线l与曲线E相交于M，N两点，记OM，ON的斜率分别是k1，k2，当k1，k2都存在且不为0时，试探究k1k2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由题意知|PQ|＝|AQ|，又|CP|＝|CQ|+|PQ|＝4，|CQ|+|AQ|＝4＞|AC|＝2，由椭圆定义知Q点的轨迹是椭圆，进而可得答案．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+b，M（x1，y1），N（x2，y2），联立椭圆的方程，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，再计算k1k2＝•，即可得出答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意知|PQ|＝|AQ|，又因为|CP|＝|CQ|+|PQ|＝4，所以|CQ|+|AQ|＝4＞|AC|＝2，由椭圆定义知Q点的轨迹是椭圆，所以2a＝4，即a＝2，2c＝2，即c＝，所以b2＝a2﹣c2＝1，所以点Q的轨迹方程为+y2＝1．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+b，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得2x2+4bx+4b2﹣4＝0，所以x1+x2＝﹣2b，x1x2＝2b2﹣2，所以k1k2＝•＝＝＝＝＝，所以k1k2为定值．【点评】本题考查椭圆的方程，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．。
四川省成都市数学高二下学期文数期末考试试卷
四川省成都市数学高二下学期文数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一上·黑龙江期中) 集合A={y|y=x2﹣2x，x∈R}，B={x|y= }，则A∩B=（）A . [﹣1， ]B . （﹣1， ]C . [1，+∞）D . （﹣∞，）2. （2分）(2012·全国卷理) 复数 =（）A . 2+iB . 2﹣iC . 1+2iD . 1﹣2i3. （2分）从三个红球、两个白球中随机取出两个球，则取出的两个球不全是红球的概率是（）A .B .C .D .4. （2分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A .B .C .D .5. （2分）tan120°=（）A .B . ﹣C . ﹣D .6. （2分） (2016高一下·揭阳期中) 已知| |=| |=2，向量与的夹角为60°，则| ﹣ |等于（）A .B .C . 2D . 47. （2分） (2018高二上·合肥期末) 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积是（）A .B .C .D .8. （2分）已知函数满足，当，，若在区间内，函数有三个不同零点，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A .B .C .D .10. （2分）下图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A . i>8B . i>9C . i>10D . i>1111. （2分）直线y﹣1=k（x﹣3）被圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4所截得的最短弦长等于（）A .B . 2C . 2D .12. （2分）(2018·中原模拟) 已知函数，若在区间上存在，使得，则的取值不可能为（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·河北月考) 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数的取值范围为________．14. （1分）直线y=kx﹣k+1与椭圆的交点个数有________ 个．15. （1分）(2017·桂林模拟) 若x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为________．16. （1分） (2016高一下·临川期中) 在△ABC中，AB=8cm，BC=7cm，AC=5cm，内心为I，则AI的长度为________ cm．三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分）(2017·黑龙江模拟) 已知数列{an}满足，（n∈N+）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{bn}的前n项和Sn ，求证：．18. （10分） (2017高三上·徐州期中) 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a+2c=2bcosA．（1）求角B的大小；（2）若b=2 ，a+c=4，求△ABC的面积．19. （15分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB=2，F为CD的中点．（1）求证：AF⊥平面CDE；（2）求证：AF∥平面BCE；（3）求四棱锥C﹣ABED的体积．20. （10分）假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如表的统计资料：使用年限x（年）23456维修费用y（万元） 2.2 3.8 5.5 6.57.0若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求：（1）线性回归直线方程；（2）根据回归直线方程，估计使用年限为20年时，维修费用是多少？回归直线方程 = x+ 的系数为：．21. （10分） (2017高二上·靖江期中) 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px （p＞0），若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．（1）求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；（2）求p的取值范围．22. （10分） (2015高二下·射阳期中) 如图，在半径为3m的圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A、C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长AB=xm，圆柱的体积为Vm3 ．（1）写出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？最大体积是多少？参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2022-2023学年四川省成都市高二年级下册学期4月月考数学(文)试题【含答案】
2022-2023学年四川省成都市树德中学（宁夏校区）高二下学期4月月考数学（文）试题一、单选题1．若，则的虚部为（ ）(1i)1i z +=-z A ．1B ．C ．D ．1-i-i【答案】A【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可得到，再根据复数的定义判断即可.z z 【详解】因为，所以，所以，(1i)1i z +=-()()()21i 1ii 1i 1i 1i z --===-++-i z =所以的虚部为.z 1故选：A2．为迎接2023年成都大运会，大运会组委会采用按性别分层抽样的方法从某高校报名的200名学生志愿者中抽取30人组成大运会志愿小组.若30人中共有男生12人，则这200名学生志愿者中女生可能有（ ）A ．12人B ．18人C ．80人D ．120人【答案】D【分析】根据分层抽样等比例性质即可求女生人数.【详解】由题设，若200名学生志愿者中女生有人，则，x 301220030x -=所以人.1820012030x =⨯=故选：D3．的两个顶点为,周长为16，则顶点C 的轨迹方程为（ ）.ABC (3,0),(3,0)A B -ABC A ．B ．()22102516x y y +=≠()22102516y x y +=≠C ．D ．()2210169x y y +=≠()2210169y x y +=≠【答案】A【分析】根据题意,可知点C 到A 、B 两点的距离之和为10,故轨迹为椭圆,同时注意取值范围.【详解】由题知点C 到A 、B 两点的距离之和为10,故C 的轨迹为以为焦点,长轴长(3,0),(3,0)A B -为10的椭圆,.故.所以方程为.222210,3,16a c b a c ===-=2212516x y +=又故三点不能共线,所以ABC ,,A B C ()22102516x y y +=≠故选A【点睛】本题主要考查椭圆的定义与椭圆的标准方程,注意求轨迹时结合实际情景进行特殊点排除.4．已知是曲线上的任一点，若曲线在点处的切线的倾斜角均是不小于的M 21ln 2y x x ax =++M π4锐角，则实数的取值范围是（ ）a A ．B ．C ．D ．[)2,+∞[)1,-+∞(],2-∞(],1-∞-【答案】B【分析】分析可知对任意的恒成立，结合参变量分离法以及基本不等1πtan 14y x a x '=++≥=0x >式可求得实数的取值范围.a 【详解】函数的定义域为，且，21ln 2y x x ax =++()0,∞+1y x a x '=++因为曲线在其上任意一点点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，21ln 2y x x ax =++M π4所以，对任意的恒成立，则，1πtan 14y x a x '=++≥=0x >11a x x -≤+当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，0x >12x x +≥=1x =所以，，解得.12a -≤1a ≥-故选：B.5．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是A ．B ．C ．(1,0)D ．(1，)(1,)2π(1,)2π-π【答案】B【详解】由题圆，则可化为直角坐标系下的方程,2sin ρθ=-，，22sin ρρθ=-222x y y +=-，2220x y y =++圆心坐标为（0，-1），则极坐标为，故选B.1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】直角坐标与极坐标的互化.6．下列有关回归分析的说法中不正确的是（ ）A ．回归直线必过点(),x y B ．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线C ．当相关系数时，两个变量正相关0r >D ．如果两个变量的线性相关性越弱，则就越接近于r【答案】B【分析】根据线性回归直线的性质可判断选项AB ；根据相关系数的性质可判断CD ，进而可得正确选项.【详解】对于A 选项，回归直线必过点，A 对；(),x y 对于B 选项，线性回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，B 错；对于C 选项，当相关系数时，两个变量正相关，C 对；0r >对于D 选项，如果两个变量的线性相关性越弱，则就越接近于，D 对.r0故选：B.7．是的导函数，若的图象如图所示，则的图象可能是（ ）()f x '()f x ()f x '()f xA ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先利用题给导数图像得到的正负情况，再利用导数几何意义即可求得单调性，()f x '()f x 进而得到的可能图象.()f x 【详解】由的图象可得，()f x '当时，，则单调递增；0x <()0f x ¢>()f x 当时，，则单调递减；10x x <<()0f x '<()f x 当时，，则单调递增.1x x >()0f x ¢>()f x 则仅有选项C 符合以上要求.故选：C8．已知是椭圆的右焦点，过椭圆的下顶点且斜率为的直线与以点F ()2222:10x y C a b a b+=>>C 34为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆的离心率为（ ）F C A B ．CD 12【答案】A【分析】求得过椭圆的下顶点且斜率为的直线，利用圆心到此直线的距离列方程，化简求得离C 34心率.【详解】过椭圆的下顶点且斜率为的直线方程为，C ()0,b -3433,044yx b x y b =---=，由点到直线距离公式，得(),0F c c 即，，则.2232c bc b =+()()220c b c b -+=20,2c b b c -==又，即，222ab c =+()222225a c c c =+=解得c a =故选：A9．已知，若不是函数的极小值点，则下列选项符合的是,R a b ∈x a =21()()()(1)x f x x a x b e -=---（ ）A ．B ．C ．D ．1b a ≤<1b a <≤1a b<≤1a b <≤【答案】B【分析】利用数轴标根法，画出的草图，对选项A ，B ，C ，D 逐一分析.()f x 【详解】解：令，得.21()()()(1)0x f x x a x b e -=---=123,,1x a x b x ===下面利用数轴标根法画出的草图，借助图象对选项A ，B ，C ，D 逐一分析.()f x 对选项A ：若，由图可知是的极小值点，不合题意；1b a ≤<x a =()f x 对选项B ：若，由图可知不是的极小值点，符合题意；1b a <≤x a =()f x 对选项C ：若，由图可知是的极小值点，不合题意；1a b <≤x a =()f x 对选项D ：若，由图可知是的极小值点，不合题意；1a b <≤x a =()f x 故选：B.【点睛】方法点睛：利用数轴标根法，口诀 “自上而下，从右到左，奇穿偶不穿”，画出的草()f x 图，结合极小值点的定义，对选项A ，B ，C ，D 逐一分析，即可求解.10．已知椭圆，过原点的直线交椭圆于、（在第一象限）由向轴()2222:10x y a b a b Γ+=>>A B A A x 作垂线，垂足为，连接交椭圆于，若三角形为直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）C BCD ABDA ．BCD 12【答案】B 【分析】设点、，其中，，则、，分析可知()00,A x y ()11,D x y 00x >00y >()00,B x y --()0,0C x，利用点差法可得出，可求得，由可求得该椭圆的离心率的1DA AB k k =-22DA DBb k k a =-22b a e =值.【详解】如下图所示，设点，其中，，则、，()00,A x y 00x >00y >()00,B x y --()0,0C x则，，00AB y k x =02BC y k x =设点，则，作差可得，()11,D x y 22112222002211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22221010220x x y y a b --+=所以，，2221022210y y b x x a -=--所以，，则不互相垂直，2221010102221010101DA DBy y y y y y b k k x x x x x x a -+-=⋅==-≠--+-,AD BD 所以，则，所以，，AD AB ⊥1AD ABk k =-001AD AB x k k y =-=-又因为，所以，，000122DA DB DA BC xy k k k k y x ==-⋅=-2212b a =所以，该椭圆的离心率为c e a =====故选：B.11．已知，，，且，，，则04a <<02b <<03c <<216ln ln 4a a =24ln ln 2b b =29ln ln 3c c =（ ）．A ．B ．C ．D ．c b a >>c a b>>a c b>>b c a>>【答案】D 【分析】构造函数，利用导数判断函数单调性，作出图象，数形结合求解即可.()()2ln 0xf x x x =>【详解】由题意，得，，．22ln ln 44a a =22ln ln 22b b =22ln ln 33c c =设，则，()()2ln 0x f x x x =>()1232ln ln x e f x x ⎛⎫'- ⎪⎝⎭=-当时，；当时，，120x e <<()0f x ¢>12x e >()0f x '<所以在上为增函数，在上为减函数，()f x ()120,e ()12,e +∞结合，时，；时，，()10f =1x <()0f x <1x >()0f x >易画出的草图（如下图），()f x 又，，，结合a ，b ，c 的取值范围及的图象，可得()()4f a f =()()2f b f =()()3f c f =()f x ，b c a >>故选：D 12．设是定义在R 上的奇函数，在上有，且()f x (),0∞-2023(2023)(2023)0xf x f x '+<，则不等式的解集为（ ）()20230f =()ln 20230x f x ⋅<A ．B ．C ．D ．()(),10,1-∞-⋃()(),11,0-∞-- ()()1,00,1- ()()1,01,-⋃+∞【答案】B 【分析】构造函数，利用题给条件求得在上单调性，再利用奇()()2023,0k x x f x x =⋅<()k x (,0)-∞函数满足求得，进而得到在上的函数值的正负情()f x ()20230f =()20230f -=()2023f x (,0)-∞况，再利用奇函数的性质即可求得不等式的解集.()ln 20230x f x ⋅<【详解】令，则()()2023,0k x x f x x =⋅<()()()2023202320230k x f x x f x ''=+⋅<则在上单调递减，()()2023k x x f x =⋅(,0)-∞又是定义在R 上的奇函数，，则，()f x ()20230f =()20230f -=则，()(1)120230k f -=-⨯-=则当时，，，；1x <-()0k x >()20230f x <()ln 20230x f x ⋅<当时，，，.10x -<<()0k x <()20230f x >()ln 20230x f x ⋅<又由是定义在R 上的奇函数，可得()f x 当时，，；1x >()20230f x >()ln 20230x f x ⋅>当时，，01x <<()20230f x <()ln 20230x f x ⋅>综上，不等式的解集为()ln 20230x f x ⋅<()(),11,0-∞-- 故选：B二、填空题13．如图，若向量对应的复数为z ，则表示的复数为______．OZ 4z z +【答案】##3i +i 3+【分析】先由图中得到，再利用复数的运算规则即可求得表示的复数.1i z =-4z z +【详解】由图可得，，1i z =-则()()()()41i 441i 1i 1i 21i 3i 1i 1i 1i z z ++=-+=-+=-++=+--+故答案为：3i +14．已知曲线在点P 处的切线与直线垂直，则P 点的横坐标为()33f x x x =-+210x y +-=___________.【答案】1±【分析】由题设知P 处的切线斜率为，应用导数几何意义列方程求P 点的横坐标.2【详解】由题设在P 处的切线斜率为，而，22()31x f x '=-所以，则，即.2()312P P f x x '=-=233P x =1P x =±故答案为：1±15．已知椭圆C ：，过右焦点的直线交椭圆于，若满足22221(1)1x y a a a +=>-,A B，则的取值范围______．OA OB OA OB -=+a 【答案】⎛ ⎝【分析】根据椭圆方程得右焦点坐标为，设直线方程为，，联()1,0AB 1x ny =+()()1122,,,A x y B x y 立得交点坐标关系，由得，即OA OB OA OB -=+ 0OA OB ⋅= ，整理得关于得方程有解，即可得的取值范围.()()21212110OA OB n y y n y y ⋅=++++=n a 【详解】已知椭圆C ：，则其右焦点坐标为，22221(1)1x y a a a +=>-()1,0过右焦点的直线交椭圆于，若满足，所以，,A B OA OB OA OB -=+ 0OA OB ⋅= 则设直线方程为，AB 1x ny =+()()1122,,,A x y B x y 则，所以，2222111x y a a x ny ⎧+=⎪-⎨⎪=+⎩()()()222222212110n a a y n a y a ⎡⎤-++---=⎣⎦显然恒成立，所以，0∆>()()()()212222221222221111n a y y n a a a y y n a a ⎧-⎪+=--+⎪⎪⎨-⎪=-⎪-+⎪⎩则()()()()21212121212121111OA OB x x y y ny ny y y n y y n y y ⋅=+=+++=++++()()()()()222222222212111011a n a n n n a an a a ----=+⋅+⋅+=-+-+整理得，所以，()()()22222111a a a a n a a +---=--()()()22221101a a a a a a +---≥--又，所以，解得，1a >2101a a a ⎧--≤⎨>⎩1<≤a所以的取值范围为.a ⎛ ⎝故答案为：.⎛ ⎝【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.16．若函数的最大值为，则实数的取值范围为___________.()()()2ln 2010a x x x f x x a x x ⎧-->⎪=⎨++<⎪⎩()1f -a 【答案】30,2e ⎡⎤⎣⎦【分析】求得，由题意可得在恒成立，讨论的范围，分，(1)f -222alnx x a ---+ 0x >x x e =，，运用参数分离和构造函数，求得导数和单调区间，可得最值，进而得到的范0<<x e >x e a 围．【详解】解：当时，，则，则当0x <()1f x x ax =++()()()222211111x x x f x x x x -+-'=-==时，即在上单调递增，当时，即在(),1x ∈-∞-()0f x ¢>()f x (),1-∞-()1,0x ∈-()0f x '<()f x 上单调递减，所以当时取得极大值，即当时的最大值；()1,0-=1x -0x <由，可得在恒成立，(1)2f a -=-+222alnx x a ---+ 0x >即为，2(1)a lnx x -- 当时，显然成立；x e =20e >-当时，有，可得，0<<x e 10lnx ->21x a lnx -设，，2()1x g x lnx =-0<<x e ，222(1)(23)()(1)(1)x lnx x x lnx g x lnx lnx ---'==--由时，，则，在递减，0<<x e 223lnx <<()0g x '<()g x (0,)e 且，()0g x <可得；0a 当时，有，可得，>x e 10lnx -<21x a lnx -设，，2()1x g x lnx =->x e，222(1)(23)()(1)(1)x lnx x x lnx g x lnx lnx ---'==--由时，，在递减，32e x e <<()0g x '<()g x 32(,)e e 由时，，在，递增，32x e >()0g x '>()g x 32(e )∞+即有在处取得极小值，且为最小值，()g x 32x e =32e 可得，32a e 综上可得．302a e 故答案为：30,2e ⎡⎤⎣⎦三、解答题17．已知函数.21()2ln (2)2f x x a x a x =-+-(1)当时，求函数的单调区间；1a =-()f x (2)若函数在上单调递增，求实数a 的取值范围.()()g x f x ax=-()0,∞+【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为()0,1()2,+∞()1,2(2)1,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【分析】（1）对求导得到，令，，解不等式即可得到单调区间；()f x ()f x '()0f x ¢>()0f x '<（2）把在上单调递增转化成在上大于等于零恒成立，再求出最值即可得()f x ()0,∞+()0,∞+()f x '到的取值范围.a 【详解】（1）当时，，1a =-21()2ln 32f x x x x=+-则.()()212232()3(0)x x x x f x x x x x x ---+'=+-==>当或时，，单调递增；当时，，单调递减.01x <<2x >()0f x ¢>()f x 12x <<()0f x '<()f x 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为.()f x ()0,1()2,+∞()1,2（2）在上单调递增，()()g x f x ax=-()0,∞+则在上恒成立.2()()20ag x f x a x x ''=-=--≥()0,x ∈+∞即在上恒成立，2220x x ax --≥()0,x ∈+∞所以在上恒成立，2220x x a --≥()0,x ∈+∞所以恒成立.()221112(1)222a x x x ≤-=--令，，211()(1)22x x ϕ=--()0,x ∈+∞当时，有最小值为，1x =()ϕx 12-故.12a ≤-所以实数a 的取值范围是.1,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦18．当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．年初中毕业生2022升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、分钟跳绳三项测试，三项考试满分分，150其中立定跳远分，掷实心球分，分钟跳绳分．某学校在初三上期开始时要掌握全年级学1515120生每分钟跳绳的情况，随机抽取了名学生进行测试，得到下边频率分布直方图，且规定计分规100则如表：每分钟跳绳个数[)155,165[)165,175[)175,185[)185,∞+得分17181920(1)请估计学生的跳绳个数的中位数和平均数（保留整数）；(2)若从跳绳个数在、两组中按分层抽样的方法抽取人参加正式测试，并从中任[)155,165[)165,1756意选取人，求两人得分之和大于分的概率．234【答案】(1)中位数为，平均数为184185(2)1415【分析】（1）设学生的跳绳个数的中位数为，利用中位数的定义可得出关于的值；将每个矩形m m 底边的中点值乘以对应矩形的面积，相加可得出平均数；（2）计算可得出在内抽取人，分别记为、，在内抽取人，分别记为、[)155,1652a b [)165,1754A 、、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件的基本事件，利用古典概型的概率公式可求B C D 得所求事件的概率.【详解】（1）解：设学生的跳绳个数的中位数为，m 因为，则，()()0.0060.012100.180.50.0060.0120.03410+⨯=<<++⨯()175,185m ∈由中位数的定义可得，解得，()()0.0060.012101750.0340.5m +⨯+-⨯=0.321751840.034m =+≈平均数（个）．1600.061700.121800.341900.32000.12100.08185x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）解：跳绳个数在内的人数为个，跳绳个数在内的人数为[)155,1651000.066⨯=[)165,175个，1000.1212⨯=按分层抽样的方法抽取人，则在内抽取人，分别记为、，6[)155,1652a b 在内抽取人，分别记为、、、，[)165,1754A B C D 从这人中任意抽取人，所有的基本事件有：、、、、、62(),a b (),a A (),a B (),a C (),a D 、、、、、、、、、，共种，(),b A (),b B (),b C (),b D (),A B (),A C (),A D (),B C (),B D (),C D 15两人得分之和大于分包含的基本事件有：、、、、、34(),a A (),a B (),a C (),a D (),b A 、、、、、、、、，共种，(),b B (),b C (),b D (),A B (),A C (),A D (),B C (),B D (),C D 14则两人得分之和大于分的概率．341415P =19．已知曲线的方程为，的方程为，是一条经过原点且斜率大于1C ()2211x y -+=2C 3x y +=3C 的直线．0（1）以直角坐标系原点为极点，轴正方向为极轴建立极坐标系，求与的极坐标方程；O x 1C 2C（2）若与的一个公共点（异于点），与的一个公共点为，当时，1C 3C A O 2C 3C B 3OA OB+=求的直角坐标方程．3C 【答案】（1），；（2）.1:2cos C ρθ=2:cos sin 30C ρθρθ+-=13y x =【分析】（1）将曲线的方程化为，即可将曲线的方程化为极坐标方程，利用1C 2220x y x +-=1C ，可将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程；cos x ρθ=sin y ρθ=2C （2）设曲线的极坐标方程为，将曲线与、与极坐标方程分别联立，3C 02πθαα⎛⎫=<<⎪⎝⎭1C 3C 2C 3C 可求出和关于的表达式，并代入等式，求出的值，即可得出曲线OAOBα3OA OB+=tan α的直角坐标方程.3C 【详解】（1）曲线的方程为，整理得，1C ()2211x y -+=2220x y x +-=转换为极坐标方程为，即.22cos 0ρρθ-=2cos ρθ=曲线的方程为，转换为极坐标方程为；2C 3x y +=cos sin 30ρθρθ+-=（2）因为曲线是一条经过原点且斜率大于的直线，3C 0设曲线极坐标方程为，3C 02πθαα⎛⎫=<<⎪⎝⎭由于与的一个公共点（异于点），故，所以，1C 3C A O 2cos ρθθα=⎧⎨=⎩2cos OA α=与的一个公共点为，，所以．2C 3C B cos sin 3ρθρθθα+=⎧⎨=⎩3cos sin OB αα=+由于，所以3OAOB+=2cos cos sin ααα++=即，()sin 3cos αααβ+=+=锐角满足，此时，，βcos β=sin β=()sin 1αβ+=，，，则，02πα<< 02βπ<<0αβπ∴<+<2παβ+=sin sin cos 2παββ⎛⎫∴=-==⎪⎝⎭cos cos sin 2παββ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，因此，曲线的直角坐标方程为．sin 1tan cos 3ααα∴==3C 13y x =【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，同时也考查了利用极坐标方程求解过原点的线段长度的问题，要充分利用三角恒等变换思想求解，考查计算能力，属于中等题.20．设函数，（）.2()ln (21)1f x ax x x a x a =---+-a ∈R (1)当时，求函数的最大值；0a =()f x (2)对任意的函数恒成立，求实数a 的取值范围.[)1,x ∞∈+()0f x ≥【答案】(1)0(2)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）把代入函数解析式，通过导数讨论函数的单调性得出结果；0a =（2）求出函数的导函数，导函数在处的导数为零，由，对导数进行放缩，再()f x 1x =ln 1≤-x x 分成，，三种情况讨论函数的单调性得出结果.0a ≤102a <<12a ≥【详解】（1）当时，，0a =()ln 1f x x x x =-+-，()()ln 0f x x x '=->由，解得；则在上单调递增；()0f x ¢>01x <<()f x ()0,1由，解得；则在上单调递减.()0f x ¢>1x >()f x ()1,+∞所以在处取最大值，最大值为.()f x 1x =()10f =（2），()21ln (21)2(1)ln ax x a x xf x a =----=--'下面证明，ln 1≤-x x 设，()n (0)l 1x g x x x -+=>，11()1xg x x x -'=-=当时，，单调递增；01x <<()0g x '>()g x 当时，，单调递减；1x >()0g x '<()g x 所以，即.()(1)0g x g ≤=ln 1≤-x x 则，()2(1)(1)(21)(1)x x x f x a a ≥---=--'当时，即时，由得恒成立，210a -≥12a ≥[)1,x ∞∈+()0f x '≥在上单调递增，符合题意.所以.()f x [)1,+∞()()10f x f ≥=12a ≥当时，由得恒成立，在上单调递减，显然不0a ≤[)1,x ∞∈+()0f x '≤()f x [)1,+∞()()10f x f ≤=成立，舍去.0a ≤当时，由，得，即，102a <<ln 1≤-x x 11ln 1x x ≤-1ln 1x x ≥-则，11()2(1)1(21)x f x a x ax x x -⎛⎫⎛⎫'≤---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以.时，恒成立，102a <<112a >11,2x a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()0f x '≤在上单调递减，显然不成立，舍去.()f x [)1,+∞()()10f x f ≤=102a <<综上可得：.1,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭21．已知椭圆的焦距为，且过点.()2222:10x y C a b a b +=>>2⎛ ⎝(1)求椭圆方程；(2)为椭圆的上顶点，三角形是椭圆内接三角形，若三角形是以为直角顶点的等腰A AEF C AEF A 直角三角形，求三角形的面积.AEF 【答案】(1)2212x y +=(2)169【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出椭圆的2a 2b C 方程；（2）分析可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，将直线的方程与AE AE 1y kx =+AE 椭圆的方程联立，求出点的坐标，可得出的表达式，同理可得出的表达式，设，C E AEAF0k >由求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积.AE AF=k AEF △【详解】（1）解：因为椭圆的焦距为，则，可得，C 222c =1c =由题意可得，解得，222222111ab a b ⎧⎪⎪⎝⎭⎨+=⎪⎪-=⎩2221a b ⎧=⎨=⎩因此，椭圆的方程为.C 2212x y +=（2）解：易知点，若直线的斜率不存在，则直线轴，此时与椭圆相切，()0,1A AE AF y ⊥AF C 不合乎题意，同理可知，若直线的斜率存在，则直线的斜率不为零，AE AE 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，其中，AE AE 1y kx =+0k ≠联立可得，解得或，22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222140k x kx ++=01x y =⎧⎨=⎩2224211212k x k k y k ⎧=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩故点222412,2112k k E k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，=由题知得：，AE AF =221122k kk =++不妨设，化简方程知：，解得，0k >()()2110k k k --+=1k =，因为三角形是以为直角顶点的等腰直角三角形，故.AEF A 1629AEF AE AF S ⋅==△22．已知.2()e 2x a f x x x =--(1)若在x =0处取得极小值，求实数a 的取值范围；()f x (2)若有两个不同的极值点（），求证：（为的二阶导数）()f x 12,x x 12x x <1202x x f +⎛⎫''< ⎪⎝⎭()f x ''()f x .【答案】(1)(),1-∞(2)证明见解析【分析】（1）求出函数导数，讨论，，和四种情况，根据导数情况讨论函数0a ≤01a <<1a =1a >的单调性即可得出；（2）根据题意可得，构造函数，122x x f +⎛⎫'' ⎪⎝⎭()2121122121e 1e e x x x x x x x x x --⎡⎤-+-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦2()2e 1e (0)t t g t t t =+->利用导数即可证明.【详解】（1）由题意得，，，()e 1xf x ax =--'()00f '=()e x f x a ''=-①当时，在上单调递增，0a ≤()f x '(),-∞+∞所以当x ＜0时，，在单调递减；()()00f x f ''<=()f x (),0∞-当x ＞0时，，在单调递减；()()00f x f ''>=()f x ()0,∞+所以在x ＝0处取得极小值，符合题意．()f x 当时，由可得，由可得，0a >()0f x ''>ln x a >()0f x ''<ln x a <②当0＜a ＜1时，，在单调递增，在单调递减，ln 0a <()f x '()ln ,a +∞()ln ,0a 所以当时，，在单调递减；()ln ,0x a ∈()()00f x f ''<=()f x ()ln ,0a 当时，，在单调递增；()0,x ∈+∞()()00f x f ''>=()f x ()0,∞+所以在x ＝0处取得极小值，符合题意．()f x ③当a ＝1时，知在区间单调递减，在区间单调递增，()f x '(),ln a -∞()f x '()ln ,a +∞所以在处取得最小值，即，()f x 'ln x a =()()()ln 00f x f a f '''≥==所以函数在R 上单调递增，()f x 所以在x ＝0处无极值，不符合题意．()f x ④当a ＞1时，，由①知的减区间为，ln 0a >()f x '(),ln a -∞所以当时，，在单调递增；当时，(),0x ∈-∞()()00f x f ''>=()f x (),0∞-()0,ln x a ∈，在单调递减；()()00f x f ''<=()f x ()0,ln a 所以在x ＝0处取得极大值，不符合题意，()f x 综上可知，实数a 的取值范围为．(),1-∞（2）为的零点，则，，，12,x x ()e 1xf x ax =--'1212e 10e 10x x ax ax ⎧--=⎨--=⎩1212e e x x a x x -=-()e x f x a ''=-，121212122212e e e e2x x x x x x x x f a x x +++-⎛⎫''=-=-⎪-⎝⎭()212121211122121221e 1e 1ee ee x x x x x x x x x x x x x x x x ----⎡⎤⎛⎫-+--⎢⎥=-= ⎪⎢⎥--⎝⎭⎢⎥⎣⎦令，构造函数，212x x t -=2()2e 1e (0)t tg t t t =+->由②知，当时，，即.1a =()()e 100x f x ax f ''=--≥=e 1x x ≥+则，()2()2e 2e 2e 2e 1e 0t t t t t g t t t '=+-=+-<所以在单调递减，故．()g t ()0,∞+()()00g t g <=故，故原不等式得证．''1202x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题考查函数极值点的辨析，解题的关键是求出导数，根据导数形式正确分类讨论函数的单调性，结合极值的定义得出参数情况.。
2022-2023学年四川省成都市简阳市阳安中学高二年级下册学期3月月考数学(文)试题【含答案】
2022-2023学年四川省成都市简阳市阳安中学高二下学期3月月考数学（文）试题一、单选题1．已知全集，集合，则（ ）{}1,2,3,4,5U ={}{}1,3,2,3A B ==()U A B ⋃=A ．B ．C ．D ．{}5{}4,5{}1,2,3{}1,2,4,5【答案】B【分析】先求出，再由补集运算得出答案.A B ⋃【详解】，则，{}1,2,3A B = (){}4,5U A B ⋃= 故选：B ．2．已知函数，则（ ）()221f x x =+()()22limx f x f x ∆→+∆-=∆A ．3B ．5C ．7D ．8【答案】D【分析】根据导数的定义求解即可.【详解】解：根据题意，，则，()4f x x'=()28f '=又．()()()022lim28x f x f f x ∆→+∆-'==∆故选：D ．3．已知，若，则x 0等于（ ）()ln f x x x=()02f x '=A ．e 2B ．eC ．ln 22D ．ln 2【答案】B【分析】利用乘法求导法则求导，代入即可求解.【详解】由可得：，所以，()ln f x x x=()ln 1f x x ='+()000ln 12ef x x x '=+=⇒=故选：B4．点的直角坐标为，则点的极坐标为（ ）M (-M A ．B ．C ．D ．2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭22,3π⎛⎫⎪⎝⎭1,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭52,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解.【详解】由题意，点的直角坐标为，M (-根据，可得点极坐标为．222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩M 22,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B.5．下列函数中，在内为增函数的是（ ）(0,)+∞A ．B ．C ．D ．sin y x =xy xe =3y x x =-ln y x x=-【答案】B【分析】选项A 根据正弦函数的性质进行判断，选项BCD 通过导数进行判断即可.【详解】A ：因为当时，函数单调递减，故本选项不符合题意；3[,22x ππ∈sin y x =B ：，因为时，，所以函数在内为增函数，故本选'(1)x x y xe y x e =⇒=+0x >'0>y xy xe =(0,)+∞项符合题意；C ：，当时，，此时函数单调递减，故本选项不符3'231y x x y x =-⇒=-x ∈'0<y 3y x x =-合题意；D ：，当时，，此时函数单调递减，故本选项不'11ln 1xy x x y x x -=-⇒=-=1x >'0<y ln y x x =-符合题意，故选：B6．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（ ）2sin 2cos y x x =-π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭10x ay -+=a A ．B ．C ．D ．1-12-2-2【答案】C【分析】由导数的几何意义求解即可.【详解】∵，∴，2sin 2cos y x x =-2cos 2sin y x x '=+∴曲线在点处的切线的斜率，2sin 2cos y x x =-π,22⎛⎫⎪⎝⎭π2ππ2cos 2sin 222x k y ===+='∵切线与直线垂直，∴直线的斜率为，10x ay -+=10x ay -+=112a -=--∴.2a =-7．若，满足约束条件则的最大值为x y 032742,x x y x y ，，≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩2z x y =+A ．-2B ．C ．4D ．572【答案】C【详解】分析：由题意作出其平面区域，当x ，y 都取到最大值时z 有最大值，代入即可．详解：由题意作出其平面区域，由解得A （1，2），32742x y x y +=⎧⎨-=⎩因为z=2x+y ，所以y=-2x+z,所以直线y=-2x+z 经过可行域A 时，纵截距z 最大，z 取得最大值，此时x=1，y=2，z=2x+y 有最大值2×1+2=4，故答案为：C点睛：（1）本题主要考查线性规划，意在考查学生对线性规划等基础知识的掌握能力. (2)解答线性规划时，要理解，不是纵截距最小，z 最小，要看函数的解析式，如：y=2x-z,直线的纵截距为-z,所以纵截距-z 最小时，z 最大.8．已知直线方程的一个参数方程可以是（ ）．3410x y ++=A ．B ．315415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩415315x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩C ．D ．315415x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩415315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩【分析】对各选项消去参数，将参数方程化为普通方程，即可判断.【详解】解：对于A ：消参得；315415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩4310x y +-=对于B ：消参得；415315x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩3470x y --=对于C ：消参得；315415x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩4310x y +-=对于D ：消参得.415315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩3410x y ++=故选：D ．9．“”是“函数是上的单调增函数”的（ ）4a ≤()()e 33x f x a x =---R A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据单调性得到恒成立，计算得到，根据范围的大小关系得到答案.e 3xa +≥3a ≤【详解】函数是上的单调增函数，故恒成立.()()e 33x f x a x =---R ()()e 30x f x a '=--≥即恒成立，，故.e 3x a +≥e 33x+>3a ≤故“”是“函数是上的单调增函数”的必要不充分条件.4a ≤()()e 33x f x a x =---R 故选：B 10．已知函数在处取得极值为10，则（ ）()322f x x ax bx a =+++1x ==a A ．4或－3B ．4或－11C ．4D ．－3【答案】C【分析】根据函数在处有极值10，可知（1）和（1），可322()f x x ax bx a =+++1x =f '0=f 10=求出.a 【详解】由，得，322()f x x ax bx a =+++2()32f x x ax b '=++函数在处取得极值10，322()f x x ax bx a =+++1x =（1），（1），f ∴'0=f 10=，∴2230110a b a a b ++=⎧⎨+++=⎩或，∴411a b =⎧⎨=-⎩33a b =-⎧⎨=⎩当 时，，在处不存在极值；33a b =-⎧⎨=⎩2()3(1)0f x x '=- ∴1x =当时，411a b =⎧⎨=-⎩2()3811(311)(1)f x x x x x '=+-=+-，，，，，符合题意.11(3x ∴∈-1)()0f x '<(1,)x ∈+∞()0f x '>∴故选：C【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．函数的部分图像大致为（ ）()2e xx xf x +=A．B ．C ．D ．【答案】C【分析】利用特殊值及极限思想即可分析得出.【详解】由，故D 错误，1110242f ⎛⎫⎫-=-< ⎪⎪⎝⎭⎭当时，，A ，B 错误．x →+∞()0f x →故选：C.12．设，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）22e a =ln22b =1e c =【答案】D 【分析】构造函数，研究其单调性，进而可以比较a ，b ，c 的大小.ln ()(0)xf x x x =>【详解】令，，ln ()(0)xf x x x =>21ln ()x f x x -'=所以时，，单调递增，()0,e x ∈()0f x '>()f x 时，，单调递减，()e,+x ∈∞()0f x '<()f x ，，，22222ln e (e )e e a f ===ln22ln2ln4(4)2224b f ====⨯1ln ee e c ==因为，所以.2e 4e <<a b c <<故选：D.二、填空题13．曲线在点处的切线方程是__________．e cos xy x =()0,1【答案】10x y -+=【分析】对函数求导，求出斜率，再利用点斜式求解即可.【详解】因为，e cos xy x =所以，e sin e cos x xy x x '=-+所以切线的斜率为：，000|e sin 0e cos 01x y ='=-+=所以曲线在点处的切线方程为：e cos xy x =()0,1，即，()110y x -=⨯-10x y -+=故答案为：.10x y -+=14．直线被曲线（为参数）截得的弦长为的值为20ax y -+=22cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩θa _______【答案】或043-【分析】化圆的参数方程为直角坐标方程，求出圆的圆心坐标和半径，利用直线被圆截得的弦长求出圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式列式可求的值.a【详解】由得，22cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩()()22214x y -+-=所以曲线表示以为圆心，以2为半径的圆，()2,1因为直线被曲线（为参数）截得的弦长为20ax y -+=22cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩θ解得或0a =43a =-15．已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所()3,3-()y f x =()f x '0x ≥()y f x =示，则关于x 的不等式的解集为______.()f x x '>【答案】()()3,10,1-- 【分析】先判断出的单调性，然后求得的解集.()f x ()0f x x '>【详解】依题意是奇函数，图象关于原点对称，()f x 由图象可知，在区间递减，；()f x ()()()3,1,1,3,f x --()'0f x <在区间递增，.()f x ()()()1,0,0,1,f x -()'0f x >所以的解集.()0f x x '>()()3,10,1-- 故答案为：()()3,10,1-- 16．已知偶函数，对任意的都有，且，则不等式()f x x ()()2'6f x xf x +>()12f =的解集为_________．()2231x f x x >-【答案】，或，或{1x x <-0x =}1x >【分析】由已知条件构造函数，求导后可判断出在上单调递增，22()()31g x x f x x =-+()g x (0,)+∞在上单调递减，由，可得，由为偶函数，可判断出为偶(,0)-∞()12f =(1)(1)0g g -==()f x ()g x 函数，而不等式转化为，偶函数的性质可得，从而可求出的范围，()2231x f x x >-()0g x >1x >x 再由可得，进而可求出不等式的解集(0)10g =>0x =【详解】解：令，则，22()()31g x x f x x =-+'2''()2()()6[2()()6]g x xf x x f x x x f x xf x =+-=+-因为对任意的都有，x ()()2'60f x xf x -+>所以当，，当，，0x >'()0g x >0x <'()0g x <所以在上单调递增，在上单调递减，()g x (0,)+∞(,0)-∞因为，所以，()12f =(1)(1)0g g -==因为为偶函数，所以，()f x ()()f x f x -=所以，2222()()()3()1()31()g x x f x x x f x x g x -=----+=-+=所以为偶函数，()g x 所以由，所以，所以，解得或，()0g x >()(1)g x g >1x >1x <-1x >因为，所以，(0)10g =>0x =综上，，或，或，1x <-1x >0x =所以不等式的解集为，或，或.{1x x <-0x =}1x >故答案为：，或，或{1x x <-0x =}1x >三、解答题17．已知函数()2395f x x x =-+.(1)求函数的单调递减区间；()f x (2)求函数的极值.()f x 【答案】(1)3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭(2)的极小值为，无极大值.()f x 74-【分析】（1）求导，由导函数小于0求出单调递减区间；（2）求出函数的递增区间，结合第一问求出极小值，无极大值.【详解】（1），令，解得：，()69f x x '=-()690f x x -'=<32x <故函数的单调递减区间是()f x 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（2）令得：()0f x ¢>32x >故在单调递减，在单调递增，()f x 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以在处取得极小值，，()f x 32x =39373952424f ⎛⎫=⨯-⨯+=- ⎪⎝⎭所以的极小值为，无极大值.()fx 74-18．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),,[80,90),[90,100]⋯（1）求频率分布直方图中的值；a （2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.[40,60)[40,50)【答案】（1）0.006；（2）；（3）.0.4110【分析】（1）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为，可求；1a （2）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为，由频率与概率关系可0.4得该部门评分不低于80的概率的估计值为；0.4（3）受访职工评分在[50，60)的有3人，记为，受访职工评分在[40，50)的有2 人，记为123,,A A A ，列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率.12,B B所以0.006a =（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为，(0.0220.018)100.4+⨯=所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4（3）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，即为；123,,A A A 受访职工评分在[40，50)的有： 50×0.004×10=2(人)，即为.12,B B 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{}{}{}{}12131112,,,,,,,A A A A A B A B {}{}{}{}{}{}232122313212,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B B B 又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即，{}12,B B 故所求的概率为110P =【点睛】本题考查频率分布直方图､概率与频率关系､古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重､漏的情况.19．在平面直角坐标系中，已知直线：（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，xxOy 12:2x t l y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求的值．(0,2)||||MA MB +【答案】(1)22x y y +-=(2)【详解】（1）由,得.2sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12sin 2ρθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭两边同乘,即.ρ2sin cos ρρθθ=cos ,sin x y ρθρθ==C 22x y y +-=（2）将代入,得,122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩220x y y +-=220t ++=设A,B 对应的参数分别为12,t t则12122t t t t +=-=所以.120,0t t <<由参数的几何意义得t 12||||MA MB t t +=+=20．设函数，其中，为自然对数的底数.()()21ln ,x e f x ax a x g x x e =--=-a R ∈e 2.71828= (1)讨论的单调性；()f x (2)证明：当时，.1x >()0g x >【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【分析】（1）求导数，分和，两种情况讨论，即可求得的单调性；()221ax f x x -'=0a ≤0a >()f x （2）令，利用导数求得单调递增，结合，得到，进而证得()1e -=-x s x x()s x ()10s =1e 0x x -->.()0g x >【详解】（1）由函数，可得，()2ln f x ax a x =--()21212ax f x ax x x -'=-=当时，，在内单调递减；0a ≤()0f x '<()f x (0,)+∞当时，由有0a >()0f x '=x =当时，，单调递减；x ∈()0f x'<()f x 当时，，单调递增.)x ∈+∞()0f x ¢>()f x (2)证明：令，则，()1e -=-x s x x ()1e 1-'=-x s x 当时，，单调递增，1x >()0s x '>()s x 因为，所以，即，()10s =()()10s x s >=1e 0x x -->当时，可得，即1x >()1111e 11e 0e e e x x x x x g x x x x ----=-=-=>()0g x >【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数()()()h x f x g x =-导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.21．已知函数图象上点处的切线方程为.()2ln f x a x bx =+()()1,1P f 230x y --=（1）求函数的解析式;()y f x =（2）函数，若方程在上恰有两解,求实数的取值范围()()ln 4g x f x m =+-()0g x =1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 【答案】（1）；（2）.2()4ln y f x x x ==-242ln 2m <≤-【分析】（1）求函数导函数，根据导数的几何意义和题意可知，，建立关()f x ()()12,11f f '==-于的方程组，求出，从而可得函数的解析式；,a b ,a b ()y f x =（2）求出函数的导函数，根据导数确定函数的单调性与最值，再结合函数的零点个数，列出()g x 不等式组，即可确定实数m 的取值范围．【详解】（1）由题意可知（）()2a f x bx x +'=0x >∵函数图象上点处的切线方程为()2ln f x a x bx =+()()1,1P f 230x y --=∴()()12,11f f '==-∴221a b b +=⎧⎨=-⎩∴，4,1a b ==-∴；()24ln f x x x =-（2）函数（），()()2ln 44ln ln 4g x f x m x x m -=+-=+-0x >则（）()42g x x x '=-0x >∴当时，；当时，；1e x ⎡∈⎢⎣()0g x '>x ⎤∈⎦()0g x '<∴函数在上单调增，在上单调减1e ⎡⎢⎣⎤⎦∵方程在上恰有两解，()0g x =12e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴，∴，解得.()10e 020g g g ⎧⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪>⎨⎪≤⎪⎪⎩214ln 40e 204ln 24ln 40m m m ⎧--+-≤⎪⎪-+>⎨⎪-+-≤⎪⎩242ln 2m <≤-22．已知椭圆与直线有且只有一个交点，点分别为椭圆的上顶()2222:10x y C a b a b +=>>2x b =11,B F 点和右焦点，且．112B F =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线不经过点且与椭圆交于两点，当直线l 1B ,M N 11,B M B N 线过定点．l 【答案】（1）；（2）证明见解析．22142x y +=【分析】（1）根据椭圆的有关概念即可求得椭圆的标准方程；（2）设出直线方程和椭圆方程联立，结合韦达定理代入后得出与参数无关，从而得出定点.t 【详解】（1）由题意，2,2a a b a ⎧=⎪⇒==⎨=⎪⎩所以椭圆方程为22142x y +=（2）当直线的斜率存在时，不妨设的方程为：，联立直线与楠圆的方程(10B l l y kx t =+()222214240k x ktx t +++-=方程组的解为()()1122,,,M x y N x y 由书达定理，2121222244,2121tkt x x x xk k --=+=++1112122(B M B N x x k k k t xx +∴+==+=从而，故直线过定点2k t =(2,-当直线的斜率不存在时，()()1111,,,M x yN x y -11B M B N k k ∴+==从而与椭圆只有一个交点，不合题意2x =-综上直线过定点.(2,-【定点】方法点睛：探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.。