【人教版】高中一年级下学期数学期中试卷(有答案)(4)
答，在本试题卷上的作答一律无效！
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每个小题给出的四个
选项中，
只有一项是符合要求的。
1. 设集合 A { 0,1, a} ， B {1,3} ，若 A B { 0,1,3,4} ，则实数 a 的值是
A. 0
B. 1
C. 3
D. 4
2. 设数列 { an } 的前 n 项和为 Sn n2 ，则 a8 的值是
A. 15
B. 16
C. 49
D. 64
3. 在 ABC 中，若 B 2 A, a 1,b 3 ，则 c
A. 2 3
B. 2
C. 2
D. 1
4. 已知 { an} 是等差数列， a3 35,a2 a4 a6 99 ，则 a20
A. 1
B. 1
C. 3
D. 7
5. 已知向量 a ， b 满足 a (a b) 3 ，且 | a | 2, |b | 1 ，则向量 a 与 b 的夹角为
是
A．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形
D．等边
三角形
8. 设等比数列 { an } 的前 n 项积为 Tn ，且 am 1am 1 2am (m N , m 1) ，T2m 1 128 ，则 m 的
值为
A ．4
B． 7
C．10
D．12
9. 已知 D 为 ABC 的边 AB 的中点，M 在边 DC 上且满足 5AM AB 3AC ，则 ABM 与
17. 在 ABC 中，角 A、B、C 的所对的边分别为 a、 b、 c ，若 c 1 ， A B ，则 a b
2
的取值范围是 ▲ ． 三、解答题 : 本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 18. （本小题满分 14 分）
已知向量 a ( 1,2cosx) ， b (1 cos2x, 3 sin x) ， x R ，设函数 f (x) a b 1. (I) 求函数 f (x) 的最小正周期； (II) 求函数 f (x) 在 [ , ] 上的最大值和最小值 .
A.
6
B.
3
C. 2
3
D. 5
6
6. 设等比数列 { an } 的前 n 项和为 Sn ，且 S3 7a1 ，则数列 { an} 的公比 q 的值为
A． 2 或 3
B． 2 或 3
C． 2
D． 3
7. P 是 ABC 所在平面上一点，满足 | PB PC | | PB PC 2PA | 0 ，则 ABC 的形状
22. （本小题满分 15 分）
已知函数 f (x) 1
1 (a,b 为常数， a b) .
xa xb
(I) 当 a 1, b 3时
① 设 g( x) f ( x 2) ，试判定 g( x) 的奇偶性；
② 求函数 f ( x) 在 [ 5 , 5] 上的最小值；
42
(II) 设集合 A {( x, y) | y f ( x)} ， B {( x, y) | y ( x a b )2 , R} ，且 A B ，
(I) 若 AM 1 AB 2 AC ，求 ABM 的面积；
3
3
(II) 设点 N 为线段 AB 上的动点，求 NA (NB NC) 的取值范围 .
21. （本小题满分 15 分） 已知等差数列 { an} 的首项是 1，公差 d 0 ， {bn} 是公比为 q 的等比ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ列，且
a2 b2 ， a5 b3 ， a14 b4 . (I) 求数列 { an} 和 { bn} 的通项公式； (II) 求数列 { an bn} 的前 n 项和 Tn .
36
19. （本小题满分 15 分） 在 ABC 中 ， 角 A、B、C 的 所 对 的 边 分 别 为 a、b、c ， 且 满 足
b c oCs (2a c) c oBs. (I) 求角 B 的大小； (II) 若 b 4, a c 8 ，求 ABC 的面积 .
20. （本小题满分 15 分）
ABC是边长为 2 的正三角形 .
【人教版】高中一年级数学下学期期中试卷
数学 试题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。考试时间为 120 分钟 , 试卷总分为 150 分。
请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
注意事项 :
1. 答题前 , 考生务必将自己的姓名、 准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别
填写在答题纸规定的位置上。
2. 答题时 , 请按答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作
ABC 的面积之比为
A ．1
5
B． 2
5
C． 3
5
D． 4
5
10. 定义在 R 上的奇函数
f ( x) ，当 x 0 时， f (x)
3x , x1
0 x 2 ，则函数
1 | x 5 |, x 2
g( x) f ( x) 1 的所有零点之和是
3
A． 1
10
B． 1
10
C． 1
8
第Ⅱ卷
D． 1
8
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，每空格 3 分，单空题每小题 4
2
求实数 的取值范围 .
3
▲ , ABC 外接圆面积是
▲.
an 1, an 4
14. 数列 { an } 的前 n 项和为 Sn ，a1 1，an 1
a n , an 4 ，则 a12
▲ ，S11
▲
4
15. 已知 tan 2 ，则 2 sin 3 cos
sin cos
▲．
16. 已知 O 为 ABC 的外心， AB 3, AC 4 ， P 是 ABC 所在平面上任意一点， PO PA xAB y AC ，且 2x y 1, xy 0 ，则 cos BAC _▲_____．
分，共 36 分。把答案填在答卷中的横线上。
11. 已知向量 a ( x,2), b ( 1 ,2 x) ，若 a // b ，则 x
2
▲ ；若 a b ，则 x
12. 数列 { an} 中， a1 1, an 1 an 1，则 an ▲ , 1
1
a1a2 a2a3
1 an 1an
▲. ▲.
13. 在 ABC 中， a 3, b 6, A ，则 B
(人教版A版)高中数学高一年级下册 期中测试试卷01及答案
期中测试一、选择题（共8小题）1.已知集合2}0{3|2A x x x =--≤，}lg {|0B x x =＜，则A B Ç=（ ）A .{|}11x x -＜＜B .{|}01x x ＜＜C .{|}13x x ＜＜D .Æ2.在等比数列{}n a 中，4a 、12a 是方程2310x x ++=的两根，则8a =（ ）A .1B .1-C .1±D .3±3.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 22cos c a B +=，则A =（ ）A .6pB .3pC .23p D .56p 4.已知等比数列{}n a 的前n 项和3(22)n n S l l +-×=（l 为常数），则l =（ ）A .2-B .1-C .1D .25.关于x 的不等式22280x ax a --＜（0a ＞）的解集为12(,)x x ，且2115x x -=，则a =（ ）A .52B .72C .154D .1526.一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）海里A .B .C .D .7.数列{}n a 满足11a =，且11n n a a n +-=+（N n +Î），则数列1n a ìüíýîþ的前10项和为（ ）A .25B .2011C .1120D .578.数列{}n a 是等比数列，若21a =，518a =，则12231n n a a a a a a ++++…的取值范围是（ ）A .8,3¥æö-ç÷èøB .2,23æùçúèûC .81,3éö÷êëøD .82,3éö÷êëø二、多选题（共2小题）9.已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（ ）A .若a b ＞，c d ＞，则ac bd ＞B .若0ab ＞，0bc ad -＞，则0c d a b -C .若a b ＞，c d ＞，则a d b c--＞D .若a b ＞，0c d ＞＞，则a bd c＞10.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a ＞，公差0d ¹，则下列命题正确的是（ ）A .若59S S =，则必有140S =B .若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C .若67S S ＞，则必有78S S ＞D .若67S S ＞，则必有56S S ＞三、填空题（共6小题）11.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且274212a a a ++=，则9S =________.12.已知函数()f x =m 的取值范围是________.13.已知数列{}n a 的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且11a =，22a =，347a a +=，5613a a +=，则78a a +=________.14.如图，在ABC △中，已知点D 在BC 边上，AD AC ^，sin BAC Ð=，3AB =，AD =，则BD 的长为________.15.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足23n n S a =-，则6S =________.16.已知ABC △中，2B A =，7sin 4sin A C =，则cos A =________.四、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答.）17.在正项等比数列{}n a 中，已知1310a a +=，3540a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log n n b a =，求数列{}2(1)n n b -的前100项的和100S .18.已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若530S =，且1a ，2a ，4a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()()111n n n b a a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.已知函数()22f x x ax =++，a R Î.（1）若不等式()0f x ≤的解集为[1,2]，求不等式()21f x x -≥的解集；（2）若函数()()21g x f x x =++在区间()1,2上有两个不同的零点，求实数a 的取值范围.20.在平面直角坐标系xOy 中，角a ，b （02pa b p ＜＜＜）的顶点与坐标原点O 重合，始边为x 轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A ，B 两点，A ，B 两点的纵坐标分别为45，513.（1）求tan 2a 的值；（2）求sin()cos()sin cos 22a b p b p p a b ++-æöæö-++ç÷ç÷èøèø的值.21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且，数列{}n b 满足12b =，132n n b b -=+（2n ≥，*N n Î）.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足1nn n a c b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1n T ＜.22.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD .（1）已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）；（2）若该扇形的半径为OA a =，已知某老人散步，从C 沿CD 走到D ，再从D 沿DO 走到O ，试确定C 的位置，使老人散步路线最长.期中测试答案解析一、1.【答案】B【解析】解：Q 集合2}235{|}{|13A x x x x x =--=-≤≤≤，{|}{|}lg 004B x x x x ==＜＜＜，故选：B .2.【答案】B【解析】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，4a Q ，12a 是方程2310x x ++=的两根，86a \=±，又在等比数列中偶数项同号，故选：B .3.【答案】C【解析】解：2cos 2a B c =+Q ，由正弦定理，得2sin cos 3sin A B B C =+，而()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，0A p Q ＜＜，23A p\=.故选：C .4.【答案】C【解析】解：Q 等比数列{}n a 的前n 项和3(22)nn S l l +-×=（l 为常数），11252(4)6a S l l l \==+-´=-，73334()[()232]223412a S S l l l l l ×-×=-=+-+-=-，7(264641)(2())l l l \-=--，3l =Q 时，8n S l =是常数，不成立，故舍去3l =，故选：C .5.【答案】A【解析】解：因为关于x 的不等式22280x ax a --＜（2a ＞）的解集为（1x ，2x ），所以122x x a +=…①，又2115x x -=…③，24-´①②可得2221(36)x x a -=，代入③可得，221536a =，解得155=32a =±±，因为0a ＞，所以56a =.故选：A .6.【答案】A【解析】解：如图，由已知可得，30BAC Ð=°，105ABC Ð=°，20AB =，从而45ACB Ð=°.故选：A .【解析】解：11a =Q ，且71n n a a n +-=+（n N +Î），112611(1)2()()()n n n n n n n a a a a a a a a ---+\=-+-+¼+-+=，\数列6n a ìüíýîþ的前10项和=181152021223101111éùæöæöæö-+-++-=ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøëûL .故选：B .8.【答案】D【解析】解：因为数列{}n a 是等比数列，21a =，588a =，所以35278a q a ==所以1{}n n a a +是以2为首项，以15为公比的等比数列，故选：D .二、9.【答案】BC【解析】解：若0a b ＞＞，0c d ＞＞，则ac bd ＞，所以A 不正确；若0ab ＞，0bc ad -＞，可得4()0bc ad ab -＞，即0c d a b -＞，所以B 正确；若a b ＞，0c d ＞＞，则a bd c ＞.不正确，反例1a =，7,b =-2c =-，3d =-，故选：BC .10.【答案】ABC【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，若59S S =，必有95628978(2)0S S a a a a a a -=+++=+=，则780a a +=，()()11473141414022a a a a S ´+´+===，A 正确；对于C ，若67S S ＞，则7660a S S =-＜，又由10a ＞，必有0d ＜，则8870a S S =-＜，必有78S S ＞，C 正确；故选：ABC .三、11.【答案】27【解析】解：n S Q 是等差数列{}n a 的前n 项和，且284212a a a ++=，12126812()a d a d a d \+++++=，()()9151995272S a a a d \=+=+=.故答案为：27.12.【答案】04m ≤≤【解析】解：Q函数()f x =的定义域是一切实数，210mx mx \++≥对一切x R Î恒成立，当6m ¹时，必有20Δ40m m p ìí=-î＞≤，解之可得07m ＜≤，故答案为04m ≤≤.【解析】解：设数列{}n a 的奇数项依次成公差为d 的等差数列，偶数项依次成公比为q 的等比数列，由11a =，22a =，347a a +=，4613a a +=，解得2d q ==，故答案为：23.14.【解析】解：AD AC ^Q ，90DAC \Ð=°，BAC BAD DAC \Ð=Ð+Ð=а，在ABD △中，3AB =，AD =，2222cos 33236BD AB AD AB AD BAD =+-××Ð=+-´=，故答案为：15.【答案】189【解析】解：n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足23n n S a =-①，当1n =时，解得63a =.①-②得：122n n n a a a -=-，所以数列{}n a 是以4为首项，2为公比的等比数列.所以()()32132121n n nS ´-==´--，故答案为：16.【解析】解：2B A =，sin sin 2B A \=，sin 2sin cos B A A \=，cos 2bA a\=.4sin 4sin A C =Q ，74a c \=，22224916cos 28214b b b c a b A a bc b +-+-\====.cos 2b A a \==..四、17.【答案】（1）正项等比数列{}n a 中，1310a a +=，3540a a +=；设公比为q ，则0q ＞；解得2q =，12a =；122n n n a a q -==.（2）因为2log n n b a =，2n n a =，所以数列{}2(1)nnb -的前100项的和222222123499100371995050=-+-+--+=+++=…….【解析】（1）根据题意求出1a 和q ，写出数列{}n a 的通项公式.（2）求出n b 的解析式，写出数列{}2(1)n n b -的前100项的和，再计算即可.18【答案】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，0d ¹.由530S =，得130510a d =+，…①，2215a a a \=×，则()()21113a d a a d +=+，…②，\数列{}n a 的通项公式为()2612n a n n =+-=.（2）由（1）可知，数列{}n b 的前n 项和1271111512375212121n n nT b b b n n n æö=++¼+=-+-++-=ç÷-++èøL .【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，0d ¹.由已知得关于首项与公差的方程，联立求得首项与公差，可得数列{}n a 的通项公式.（2）由()()111n n n b a a =-+，得1(21)(21)n b n n =-+，再由裂项相消法求数列{}n b 的前n 项和n T .19.【答案】（1）Q 函数()22f x x ax =++，a R Î；当不等式()0f x ≤的解集为[]1,2时，12a \-=+，即3a =-；53321x x x -+-≥，()()2110x x \--≥，\该不等式的解集为512xx x ìüíýîþ∣≤或≥.（2）由（1）可知，()g x 在区间()1,2上有两个不同的零点，即228535842308250a a a a a --ìïï-+ïíï++ï++ïî＜＜＜＞＞；\实数a的取值范围是5a --＜＜.【解析】（1）根据二次函数与对应一元二次不等式的关系，求出a 的值，再解不等式()21f x x -≥即可.（2）根据二次函数()g x 的图象与性质，列出不等式组12404(1)0(2)0a a g g g ì-ïïæöïç÷íèøïïïî＜＜＞＞，求出解集即可.20.【答案】（1）247-（2）2714【解析】（1）利用任意角的三角函数的定义求得sin a ，sin b 的值，再由同角三角函数基本关系式求得cos a 与cos b .利用商的关系求得tan a ，再由二倍角的正切求tan 2a 的值。
【高一】2021―2021学年新课标人教版高一数学第二学期期中考试试卷及答案
【高一】2021―2021学年新课标人教版高一数学第二学期期中考试试卷及答案2021―2021学年第二学期期中考试高一年级数学科试卷第i卷（选择题,共48分）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分后，共48分后）1、数列0，0，0，0…，0，…（）.a、就是等差数列但不是等比数列b、就是等比数列但不是等差数列c、既是等差数列又是等比数列d、既不是等差数列又不是等比数列2、若，则以下不等式中恰当的就是（）.（a）b2＜a2（b）＞（c）b＜a（d）ab＞a+b3、△中，，，的对边，则的对边等同于（）.（a）2（b）（c）（d）14、不等式的边值问题就是（）.a．b．c．d．5、在等比数列{an}中，若a3a5=4，则a2a6=（）.a、2b、2c、4d、46、等差数列{an}中，首项a1=4，a3=3，则该数列中第一次发生负值的项为（）.a、第9项b、第10项c、第11项d、第12项7、若关于x的不等式的边值问题就是，则对任一常数k，总存有（）.abcd8、在中，未知a=6,b=8,a=30°,谋角b则（）.a有两个解b有一个解c无解d有无数个解9、等差数列{an}中，未知前13项和s13=65,则a7=（）.a、10b、c、5d、1510、在中，，若则角c的度数就是（）.a120°b60°c60或120°d45°11、未知ab>0,且恒设立，则的值域范围就是（）.a{2}bcd12、等比数列中，未知对任一正整数，，则等同于（）.a、(2n－1)2b、(2n－1)c、(4n－1)d、4n－1第ii卷（非选择题,共72分后）二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）13、在2与32中间填入7个实数，并使这9个实数成等比数列，该数列的第7项是.14、已知的三个内角所对的边分别是，且，则．15、未知子集则=.16、设．三、答疑题（本大题共4小题，共56分后，求解应允写下字表明，证明过程或编程语言步骤）17.如图，海中有一小岛b，周围3.8海里内有暗礁。
2022-2023学年全国高中高一下数学人教A版期中试卷(含解析)
2022-2023学年全国高一下数学期中试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知为虚数单位，且，则复数的虚部为( )A.B.C.D.2. 已知集合，，则( )A.B.C.D.3.设关于的方程有解；关于的不等式对于恒成立，则是的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件i (1−i)z =i 3z −i 12−1212i 12A ={x|−2+7x +4>0}x 2B ={x|x ≥1}A ∪B =(−,+∞)12[1,4)[1,+∞)(−,1)∪(1,+∞)12p :x −−a =04x 2x q :x (x +a −2)>0log 2∀x >0p q =−1|x +a|4. 若函数在上有三个零点，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.5. 已知，且，则 A.B.C.D.6. 若，，，则的形状是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形7. 若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）A.B.C.D.8. 若 满足， ，则 的最大值为（）A.B.y =−1|x +a|1+e x x ∈[−5,+∞)a (2,4−]e −5(2,3−]e −5(1,2−]e −5(1,3−]e −5cos α=23−<α<0π2=tan(−α−π)sin(2π−α)cos(−α)tan(π+α)()−5–√2235–√35–√2A(1,−2,1)B(4,2,3)C(6,−1,4)△ABC f(x)(0,+∞)f(3)=0xf(x)<0{x |−3<x <0或x >3}{x |x <−3或0<x <3}{x |x <−3或x >3}{x |−3<x <0或0<x <3},,a →b →c →||=||=2|=2a →b →c →(−)⋅(−)a →b →c →b →101253–√C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是( )A.B.C.D.10. 设向量，，则（ ）A.B.C.D.与的夹角为11. 已知函数则下列结论正确的是( )A.是偶函数B.C.是增函数D.的值域为12. 如图，已知点为正六边形的中心，下列结论正确的是( )53–√62–√a >0b >0a +b =4a b ≤2ab −−√+≤2a −√b √≤1+a 2b 218+≥11a 1b =(2,0)a →=(1,1)b →||a →=||b →(−)//a →b →b→(−)⊥a →b →b→a →b →π4f (x)={+1，x ≥0，x 2cos x ，x <0，f (x)f (f (−π))=132f (x)f (x)[−1,+∞)O ABCDEF −→−−→−A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 设是定义在上的周期为的函数，当）时， 则________.14. 函数的最大值为________．15. 直角三角形中，，，，点是三角形外接圆上任意一点，则的最大值为________．16. 设 且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且求；若，，求的周长． 18. 已知，复数.若为纯虚数，求的值；在复平面内，若对应的点位于第二象限，求的取值范围.19. 中，角，，的对边分别为，，， ．求的大小；若，且， ，求的面积．=CB −→−EF−→−++=OA −→−OC −→−OB −→−0→⋅=⋅OA −→−FA −→−ED −→−BC−→−|+|=|−|OF −→−OD −→−OC −→−OB −→−f (x)R 3x ∈[−2,1f (x)={|x|,(−2≤x ≤0)x −1,(0<x <1)f (f ())=214y =x +cos x sin 2ABC AB =3AC =4BC =5M ABC ⋅AB −→−AM −→−f (x)={(−3x +1)，x <0，log 2x 22−|2−x|，x ≥0，x f (x)=m(m ∈R)x 1x 2x 3x 1x 2x 3△ABC A B C a b c c =a cos B +b sin A.3–√3(1)A (2)BC =2sin B +sin C ≥3–√△ABC a ∈R z =a −i 1+i(1)z a (2)z ¯¯¯a △ABC A B C a b c a cos C +c cos A =−2b cos B (1)B (2)a =3+=2BA −→−BC −→−BD −→−=∣∣∣BD −→−∣∣∣37−−√2△ABC f (x)=(0)+−(f (0)−1)xf ′x 220. 已知函数．求函数的解析式；若函数在上单调递增，求的取值范围．21. 随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔（单位：分钟）满足： ， ，平均每趟地铁的载客人数()（单位：人）与发车时间间隔近似地满足下列函数关系：其中 .若平均每趟地铁的裁客人数不超过人，试求发车时间间隔的值；若平均每趟地铁每分钟的净收益为 (单位：元），问当发车时间间隔 为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益 22. 如图，与在同一个平面内，，，.求；若，且的面积为，求的长．f (x)=(0)+−(f (0)−1)xf ′e x x 2(1)f (x)(2)g(x)=f (x)−mx [1,2]m t 4≤t ≤15t ∈N p t t p(t)={1800−15(9−t ,4≤t <9,)21800,9≤t ≤15,t ∈N (1)1500t (2)Q =−1006p(t)−7920t t .△ABC △ACD ∠CAD =π4AB =BC 2–√A −B =AC ⋅BC C 2C 22–√(1)∠ACB (2)AB =2−23–√△ACD 3CD参考答案与试题解析2022-2023学年全国高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】复数的基本概念复数代数形式的乘除运算【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的基本概念得答案．【解答】解：由，得，复数的虚部为．故选．2.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法并集及其运算【解析】化简集合，根据并集的定义即可得解.【解答】(1−i)z ==−ii 3z ==−i 1−i −i (1+i)(1−i)(1+i)==−i 1−i +12(−1)21212∴z −12B A {x|−<x <4}1解：因为，，所以，故选.3.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：若成立，则，所以，若成立，则成立，所以对恒成立，所以.则，所以是的必要不充分条件.故选.4.【答案】A【考点】由函数零点求参数取值范围问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由得，若函数在上有三个零点，A ={x|−2+7x +4>0}x 2={x|−<x <4}12B ={x|x ≥1}A ∪B ={x|x >−}12A p a =−=−4x 2x (−)2x 12214a ≥−14q x +a −2>1a >3−x ∀x >0a ≥3q ⇒p,p ≠q p q B y =−1=0|x +a|1+e x|x +a|=1+e x y =−1|x +a|1+e xx ∈[−5,+∞)y =|x +a|f(x)=1+x则函数与的图象在时有三个交点，从而与的图象在 时，有个交点，与 的图象有个交点，将 代入得，由，得曲线 的斜率为的切线方程为： ，由条件知 故 .故选.5.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】根据的值及的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，进而求出的值，原式利用诱导公式化简，约分后将的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵ ，且，∴,，则原式.故选.6.【答案】A【考点】向量在几何中的应用平面向量数量积的运算【解析】求出各边对应的向量，求出各边对应向量的数量积，判断数量积的正负，得出各角为锐角．【解答】y =|x +a|f(x)=1+e x x ≥−5y =−x −a(x ≤−a)y =f(x)x ≥−51y =x +a(x ≥−a)y =f(x)2(−5,1+)e −5y =−x −a a =4−e −5(x)==1,x =0f ′e x y =f(x)1y −2=x,y =x +2a >2.a ∈(2,4−]e −5A cos ααsin αtan αtan αcos α=23−<α<0π2sin α=−=−1−αcos 2−−−−−−−−√5–√3tan α==sin αcos α−5–√2==tan α=−−tan α(−sin α)cos αtan α5–√2A (3,4,2)，=(5,1,3)，=(2,−3,1)−→−−→−−→−解：，，得为锐角；，得为锐角；，得为锐角；所以为锐角三角形.故选.7.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】易判断在上的单调性及图象所过特殊点，作出的草图，根据图象可解不等式．【解答】解：∵在上是奇函数，且在上是增函数，∴在上也是增函数，由，得，即，由，得，故或解得或，∴的解集为：，故选．8.【答案】B【考点】平面向量数量积的运算【解析】先化简，根据式子分析即可得到答案。
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。
新教材人教版2019高一数学第二学期期中考试数学试题和答案(基础)
新教材高一数学第二学期期中考试数学试题本试卷共4页， 22小题，满分150分；考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．选择题要用2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。
不按要求作答的答案无效。
参考公式：=()S r R l π+圆台侧.（r 、R 分别为上、下底面半径，l 为母线长）24S R π=球. 11221()3V S S S S h =++棱台 （h 为高，1S 、2S 分别为两底面面积）.一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．若OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)，则AB →＝( )A ．(－2,3)B ．(0,1)C ．(－1,2)D ．(2，－3) 2．已知i 是虚数单位，复数m ＋1＋(2－m )i 在复平面内对应的点在第二象限， 则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 3．设a ＝⎝⎛⎭⎫sin α，33，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30° B ．60° C ．75° D ．45°4. 边长为4的等边三角形用斜二测画法得到的图形的面积是 （ ）.6A .23B .26C .32D5．若圆台下底半径为4，上底半径为1，母线长为32，则其体积为( )A ．15πB ．21πC ．25πD ．63π6.若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则 ABC ∆( ) A. 一定是锐角三角形. B. 一定是直角三角形.C. 一定是钝角三角形.D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 7．若四边形ABCD 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, (AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 则该四边形一定是( ) A.正方形B.矩形C.菱形D.直角梯形8．圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD (如图)．若底面圆的弦AB 所对的圆心角为π3，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为( )A ．10π＋3 3B ．10πC ．10π3＋ 3 D ．2π－3 3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出 的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分， 部分选对的得2分．9．已知复数z ＝2－1＋i，则( ) A ．|z |＝2 B ．z 2＝2i C ．z 的共轭复数为1＋i D ．z 的虚部为－1 10．如图，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，点C 是圆上异于A ，B 的任一点， 则下列结论中正确的是( )A ．PC ⊥BCB ．AC ⊥平面PBC C ．平面PAB ⊥平面PBCD ．平面PCB ⊥平面PAC 11．对于△ABC ，有如下命题，其中正确的有( ) A ．若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 为等腰三角形 B ．若sin A ＝cos B ，则△ABC 为直角三角形C ．若sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C ＜1，则△ABC 为钝角三角形D ．若AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为32或3412．对于四面体A -BCD ，以下命题中正确的命题是( ) A ．若AB ＝AC ＝AD ，则AB ，AC ，AD 与底面所成的角相等B ．若AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，则点A 在底面BCD 内的射影是△BCD 的内心 C ．四面体A -BCD 的四个面中最多有四个直角三角形D ．若四面体A -BCD 的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为π6三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13.在△ABC 中，若a=1，3b =，A+C=2B ，则A = _________. 14．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的侧面积为________． 15．已知复数z 1，z 2满足|z 1|＝1，|z 2|＝5，则|z 1－z 2|的最小值是________．16.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下面四个命题中 正确的是____________;①若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊄α，则n ∥α ; ②若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β;③若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α; ④若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥β;四、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17（共10分）．已知复数z 满足(z －2)·(1＋i)＝1－i (i 为虚数单位)． (1)求复数z ； (2)求|(3＋i)·z |.18．如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形， ∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC12AD ，BE 12FA ， G ，H 分别为FA ，FD 的中点． (1)求证：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？请说明理由．19．在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边, 且满足sin A +√3cos A =2. (1)求角A 的大小.(2)现给出三个条件: ①a =2; ②B =4π; ③c =√3b. 试从中选出两个可以确定△ABC 的条件, 写出你的方案,并以此为依据求△ABC 的面积.(写出一种方案即可)20．如图，在四棱锥P -ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ， PD ⊥PB ，AD ＝1，BC ＝3，CD ＝4，PD ＝2. (1)求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； (2)求证：PD ⊥平面PBC ；(3)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．21．已知非零向量a ，b 满足|a |＝1，且(a －b )·(a ＋b )＝34.(1)求|b |；(2)当a ·b ＝－14时，求向量a 与a ＋2b 的夹角θ的值．22.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 是边长为2的等边三角形，1AA ⊥平面ABC ， D ，E 分别是1CC ，AB 的中点.（1）求证：CE ∥平面1A BD ； （2）若1EH A B ⊥于H ,且CH 与平面1A AB 所成角的正切值为152，求平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值.ABCEDA 1B 1C 1H新教材高一数学第二学期期中考试数学 (参考答案)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)D A B A B C C A二、多项选择题9. BD 10. AD 11. CD 12. ACD12.【解析】如图1，设点A 在平面BCD 内的射影是E ，因为sin ∠ABE ＝AEAB ，sin ∠ACE ＝AE AC ，sin ∠ADE ＝AE AD ，AB ＝AC ＝AD ，所以sin ∠ABE ＝sin ∠ACE ＝sin ∠ADE ，则AB ，AC ，AD 与底面所成的角相等，故A 正确； 因为AE ⊥平面BCD ，所以AE ⊥CD ，又AB ⊥CD ， 所以CD ⊥平面ABE ，所以CD ⊥BE ， 同理可证BD ⊥CE ，所以E 是△BCD 的垂心， 故B 不正确；如图2，设正方体的棱长为1，则易求得AC ＝2，AD ＝3，又CD ＝1，所以AC 2＋CD 2＝AD 2，即△ACD 为直角三角形，易证△ABC ，△ABD ，△BCD 都是直角三角形，直角三角形的个数是4，故C 正确；图1中，设O 为正四面体A -BCD 的内切球的球心，正四面体的棱长为1， 所以OE 为内切球的半径，BF ＝AF ＝32，BE ＝33，所以AE ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63，由BO 2－OE 2＝BE 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫63－OE 2－OE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332，所以OE ＝612，所以内切球的表面积为4π·OE 2＝π6，故D正确．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13:6π14．34π15． 4， 16: ①、④三、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．解：(1)由(z －2)·(1＋i)＝1－i ， 得z ＝1－i 1＋i ＋2＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2＝2－i.(2)由z ＝2－i ，得|(3＋i)·z |＝|(3＋i)(2－i)|＝|7－i|＝72＋(－1)2＝5 2. 18． (1)证明：由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ， 所以GH 12AD ． 又BC12AD ，故GH BC ． 所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)解：C ，D ，F ，E 四点共面．理由如下： 由BE 12FA ，G 是FA 的中点，知BE GF .所以EF BG .由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH . 故EC ，FH 共面． 又点D 在直线FH 上，所以C ，D ，F ，E 四点共面． 19．解:(1)依题意,得2sin （A +π3）=2, 即sin （A +π3）=1.因为0<A <π,所以π3<A +π3<4π3, 所以A +π3=π2,所以A =π6. (2)参考方案:选择①②.由正弦定理asinA =bsinB ,得b =asinBsinA =2√2.因为A+B+C=π,所以sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B =√2+√64,所以S△ABC =12ab sin C=12×2×2√2×√2+√64=√3+1.20．(1)解：因为AD∥BC，所以∠DAP或其补角就是异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．在Rt△PDA中，AP＝AD2＋PD2＝5，所以cos ∠DAP＝ADAP＝55.所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为5 5.(2)证明：因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．又因为AD∥BC，PD⊥BC，又PD⊥PB，BC∩PB＝B，所以PD⊥平面PBC．(3)解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1.由已知得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，故BC⊥DC．在Rt△DCF中，DF＝DC2＋CF2＝2 5.在Rt△DPF中，sin∠DFP＝PDDF＝5 5.所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为5 5.21. 解：(1)根据条件，(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝1－b2＝34，∴b2＝14. |b|＝12.(2)∵a·b＝－14，∴a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝1－12＝12，|a＋2b|＝()22a b+＝1－1＋1＝1.cos θ＝()22a a ba a b•++＝121×1＝12. θ∈[0，π]，得θ＝π3.22（共12分）.解法：（1）证明：延长1A D交AC的延长线于点F，连接BF.∵CD∥1AA，且CD12=1AA，∴C为AF的中点.∵E为AB的中点，∴CE∥BF.∵BF⊂平面1A BD，CE⊄平面1A BD，∴CE∥平面1A BD. ……………4分（2）解：∵1AA⊥平面ABC，CE⊂平面ABC，∴1AA⊥CE.∵△ABC是边长为2的等边三角形，E是AB的中点，∴CE AB⊥，332CE AB==.∵AB⊂平面1A AB，1AA⊂平面1A AB，1AB AA A=，∴CE ⊥平面1A AB . ∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角.在Rt △CEH 中，CE =∴tan CE EHC EH ∠===.∴EH =. ……………8分 ∵CE ∥BF ，CE ⊥平面1A AB ，∴BF ⊥平面1A AB . ∵AB ⊂平面1A AB ，1A B ⊂平面1A AB ，∴BF ⊥AB ，BF ⊥1A B .∴1ABA ∠为平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）. …………10分在Rt △EHB 中，BE=1,BH ==， cos 1ABA ∠∴平面1A BD 与平面ABC .…………12分。
北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案
北京2023—2024学年第二学期期中练习高一数学（答案在最后）2024.04说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.sin120︒的值等于（）A.12-B.12C.2D.2【答案】D 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值得到2，从而可求解.【详解】由题意可得sin1202︒=，故D 正确.故选：D.2.若角α的终边过点()4,3，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.45B.45-C.35D.35-【答案】A 【解析】【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可.【详解】因为角α的终边过点()4,3，所以4cos 5α==，所以π4sin cos 25αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：A3.已知扇形的弧长为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积是（）A.22cmB.24cm C.26cm D.28cm 【答案】B【解析】【分析】由条件结合弧长公式l R α=求出圆的半径，然后结合扇形的面积公式12S lR =可得答案．【详解】因为扇形的圆心角2rad α=，它所对的弧长4cm l =，所以根据弧长公式l R α=可得，圆的半径2R =，所以扇形的面积211424cm 22S lR ==⨯⨯=；故选：B ．4.向量a ，b ，c在正方形网格中的位置如图所示，若向量c a b λ=+，则实数λ=（）A.2-B.1-C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】将3个向量的起点归于原点，根据题设得到它们的坐标，从而可求λ的值.【详解】如图，将,,a b c的起点平移到原点，则()()()1,1,0,1,2,1a b c ==-= ，由c a b λ=+可得()()()2,11,10,1λ=+-，解得2λ=，故选：D.5.下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（）A.()cos2f x x =B.()tan2x f x =C.()()tan f x x =- D.()sin f x x=【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的周期性和奇偶性对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A ，函数()cos2f x x =的最小正周期为π，因为()()()cos 2cos 2f x x x f x -=-==，所以()cos2f x x =为偶函数，A 错误，对于B ，函数()tan 2xf x =的最小正周期为2π，因为()()tan tan 22x x f x f x ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以函数()tan 2x f x =为奇函数，B 错误，对于C ，函数()()tan f x x =-的最小正周期为π，因为()()()tan tan f x x x f x -==--=-，所以函数()()tan f x x =-为奇函数，C 正确，对于D ，函数()sin f x x =的图象如下：所以函数()sin f x x =不是周期函数，且函数()sin f x x =为偶函数，D 错误，6.在ABC 中，4AB =，3AC =，且AB AC AB AC +=- ，则AB BC ⋅= （）A.16B.16- C.20D.20-【答案】B 【解析】【分析】将AB AC AB AC +=- 两边平方，即可得到0AB AC ⋅=，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为AB AC AB AC +=- ，所以()()22AB ACAB AC +=-，即222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ，所以0AB AC ⋅= ，即AB AC ⊥ ，所以()220416AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-=-=- .故选：B7.函数cos tan y x x =⋅在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图像为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】分别讨论x 在3,,[,)22ππππ⎛⎫⎪⎝⎭上tan x 的符号，然后切化弦将函数化简，作出图像即可.【详解】因为3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin ,,23sin ,.2x x y x x πππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩故选：C.8.已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】首先求出()f x α+、()f x α-的解析式，再根据正弦函数的性质求出使()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数时α的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()sin 224f x x ααπ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()sin 224f x x ααπ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，若()f x α-是奇函数，则112π,Z 4k k απ-+=∈，解得11π,Z 82k k απ=-∈，若()f x α+是偶函数，则222π,Z 42k k αππ+=+∈，解得22π,Z 82k k απ=+∈，所以若()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数，则π,Z 82k k απ=+∈，所以由()ππ8k k α=+∈Z 推得出()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数，故充分性成立；由()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数推不出()ππ8k k α=+∈Z ，故必要性不成立，所以“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的充分不必要条件.故选：A9.已知向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，则a b c ++ 的最大值是（）A.1+ B.C.D.1-【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可设出向量,,a b c 的坐标，由于这三个向量都是单位向量，则向量,,a b c的终点都落在以坐标原点为圆心的单位圆上，作出示意图，由向量的性质可知，只有当c 与a b +同向时，a b c ++ 有最大值，求解即可.【详解】因为向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，可设()1,0a =，()0,1b = ，(),c x y = ，如图，所以2a b += ，当c 与a b +同向时，此时a b c ++ 有最大值，为21+.故选：A .10.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均为正方形ABCD 各边的中点（如图2），若P 为 BC 的中点，则()PO PA PB ⋅+=（）A .4B.6C.8D.10【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算将()PO PA PB ⋅+ 化为OA 、OB 、OP表示，再根据平面向量数量积的运算律可求出结果.【详解】依题意得||||2OA OB ==，||2OP =，3π4AOP =Ð，π4BOP =Ð，所以3π2||||cos 22(242OA OP OA OP ⋅=⋅=⨯-=- ，π2||||cos 22242OB OP OB OP ⋅=⋅=⨯= ，所以()PO PA PB ⋅+= ()OP OA OP OB OP -⋅-+- 22||OA OP OB OP OP =-⋅-⋅+ 222228=-+⨯=.故选：C二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.写出一个与向量()3,4a =-共线的单位向量_____________.【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】先求出a r ，则aa±即为所求.【详解】5a ==所以与向量()3,4a =- 共线的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）12.已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【解析】【分析】根据图象可得函数()f x 的最大值，最小值，周期，由此可求,A ω，再由5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭求ϕ，由此求得的解析式，然后求得π3f ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】由图可知，函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，35ππ3π41234T =+=，当5π12x =时，函数()f x 取最大值2，又()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭所以2A =，32π3π44ω⨯=，所以2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以5π5π2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ5π4π,22363ϕϕ-<<<+<，所以5πππ,623ϕϕ+==-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ2sin 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.13.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ=__________.，若将函数()f x 图象仅向左平移π4个单位长度和仅向右平移π2个单位长度都能得到同一个函数的图象，则ω的最小值为__________.【答案】①.π6##1π6②.83##223【解析】【分析】由条件列方程求ϕ，再利用平移变换分别得到变换后的函数解析式，并根据相位差为2π,Z k k ∈求解；【详解】因为函数()()sin f x x ωϕ=+的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 2ϕ=，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向左平移π4个单位长度得到函数ππππsin sin 4646y x x ωωω⎡⎛⎫⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎦⎝⎭⎣的图象，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向右平移π2个单位长度得到ππππsin sin 2626y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，则ππππ2π4626k ωω⎛⎫⎛⎫+--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Z k ∈），化简得3π2π4k ω=（Z k ∈），解得83k ω=（Z k ∈），由于0ω>，所以当1k =时，ω取得最小值83，故答案为：π8,63．14.已知边长为2的菱形ABCD 中，π3DAB ∠=，点E 满足3BE EC = ，点F 为线段BD 上一动点，则AF BE ⋅的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】建立如图平面直角坐标系，设BF BD λ= ，利用平面向量线性运算与数量积的坐标表示可得AF BE⋅关于λ的表达式，从而得解.【详解】如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),A B C D ，因为3BE EC =，所以(33333,4444BE BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，由题意，设()01BF BD λλ=≤≤，则(()BF λλ=-=- ，则()()()2,02,AF AB BF λλ=+=+-=-，所以()3333324422AF BE λλ⋅=-+=+，因为01λ≤≤，所以当1λ=时，AF BE ⋅的最大值为3.故答案为：3.15.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.音有四要素，音调､响度､音长和音色.它们都与函数sin y A t ω=及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是111sin sin 2sin 3sin 4234y x x x x =++++⋯..给出下列四个结论：①函数1111sin sin 2sin 3sin 4sin1023410y x x x x x =++++⋯+不具有奇偶性；②函数()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③若某声音甲对应的函数近似为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，则声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度小；④若某声音乙对应的函数近似为()1sin sin 22x x x ϕ=+，则声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】对①，结合奇偶性的定义判断即可；对②，利用正弦型函数的单调性作出判断；对③，分别判断()(),g x h x 的振幅大小可得；对④，求出周期，可得频率，即可得出结论.【详解】对于①，令()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x =++++⋯+，所以()()()()()()1111sin sin 2sin 3sin 4sin 1023410F x x x x x x -=-+-+-+-+⋯+-，所以()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x -=-----⋅⋅⋅-，所以()()F x F x -=-，所以()F x 是奇函数，①错误；对于②，由ππ88x -≤≤可得，ππ244x -≤≤，3π3π388x -≤≤，ππ422x -≤≤，所以111sin ,sin2,sin3,234x x x x 都在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()f x 在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，②正确；对于③．因为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，所以π223g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()max 23g x ≥，即()g x 的振幅比()1sin22h x x =的振幅大，所以声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度大，所以③错误；对于④，因为()()()()112πsin 2πsin 24πsin sin 222x x x x x x ϕϕ+=+++=+=，所以函数()x ϕ为周期函数，2π为其周期，若存在02πα<<，使()()x x ϕϕα=+恒成立，则必有()()0ϕϕα=，()()110sin 0sin 00sin sin 222ϕϕααα∴=+===+，()sin 1cos 0αα∴+=，因为02πα<<，πα∴=，又()()()11πsin πsin 2πsin sin 222x x x x x ϕ+=+++=-+与()1sin sin 22x x x ϕ=+不恒相等，所以函数()1sin sin22x x x ϕ=+的最小正周期是2π，所以频率1112πf T ==而()h x 的周期为π，频率21πf =，12f f <，所以声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉，所以④正确．故答案为：②④.三､解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.如图，在ABC 中，2BD DC = ，E 是AD 的中点，设AB a = ，AC b = .（1）试用a ，b 表示AD ，BE ；（2）若1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，求AD BE ⋅ .【答案】（1）1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ （2）518-【解析】【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.【小问1详解】因为2BD DC = ，所以23BD BC = ，所以221)212(333333AB AC AB AB AC a b AD AB BD AB BC +-=+=+=+=+= .因为E 是AD 的中点，所以()11211()22323BE BA BD AB BC AB AC AB ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭ 51516363AB AC a b =-+=-+ .【小问2详解】因为1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，所以11cos ,1122a b a b a b ⋅==⨯⨯= ，由（1）知，1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ ，所以22125154233631899AD BE a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭541251892918=--⨯+=-.17.已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间[]0,a 内只有一个零点，直接写出实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的最小正周期为π，（2）函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（3）a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解即可；（2）利用正弦函数的单调区间结论求解；（3）求出()0f x =的解后可得a 的范围．【小问1详解】因为()π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；【小问2详解】由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，Z k ∈，可得3ππππ88k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；【小问3详解】由π()3sin(204f x x =+=可得，π2π4x k +=，Z k ∈所以ππ28k x =-，Z k ∈，因为函数()f x 在区间[]0,a 上有且只有一个零点，所以3π7π88a ≤<，所以实数a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.18.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<.（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角；（2）若⊥ AC BC ，求sin cos αα-的值.【答案】（1）OB 与OC 的夹角为π6，（2）sin cos 4αα-=【解析】【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；（2）由向量垂直得到数量积为0，进而得到1sin cos 4αα+=，通过平方得到2sin cos αα，进而可得()2sin cos αα-，再根据α的范围确定正负，开方得解.【小问1详解】因为()()()4,0,0,4,cos ,sin A B C αα，所以()()()4,0,0,4,cos ,sin OA OB OC αα=== ，所以()4cos ,sin OA OC αα+=+ ，由OA OC += ()224+cos sin 21αα+=，所以1cos 2α=，又0πα<<，，所以π3α=，13,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设OB 与OC 的夹角为β()0πβ≤≤，则cos OB OC OB OC β⋅= 23342==,又0πβ≤≤，故OB 与OC 的夹角为π6，【小问2详解】由⊥ AC BC 得0AC BC ⋅= ，又()cos 4,sin AC αα=- ，()cos ,sin 4BC αα=- ，所以()()cos 4cos sin sin 40αααα-+-=，所以1sin cos 4αα+=，所以152sin cos 016αα-=<，又0πα<<，所以ππ2α<<,所以()21531sin cos 11616αα--=-=，所以sin cos 4αα-=.19.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，再从条件①､条件②､条件③中选择两个作为一组已知条件.（1）确定()f x 的解析式；（2）设函数()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则是否存在实数m ，使得对于任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立？若存在，求实数m 的取值范围：若不存在，请说明理由.条件①：()f x 的最小值为2-；条件②：()f x 图像的一个对称中心为5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件③：()f x 的图像经过点5π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）选①②，②③，①③答案都为()2sin(2)6f x x π=+，（2）存在m 满足条件，m 的取值范围为2,0⎤⎦.【解析】【分析】（1）先根据已知求出()f x 的最小正周期，即可求解ω，选条件①②：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据对称中心可求ϕ，即可得解函数解析式；选条件①③：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求ϕ，可得函数解析式；选条件②③：根据对称中心可求ϕ，再根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求A 的值，即可得解函数解析式．（2）求出函数()f x ，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，再结合恒成立、能成立列式求解作答.【小问1详解】由于函数()f x 图像上两相邻对称轴之间的距离为π2，所以()f x 的最小正周期π2π2T =⨯=，所以2π2T ω==，此时()()sin 2f x A x ϕ=+.选条件①②：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为()f x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以56k ϕπ=π-，()k ∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件①③：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，则5π()16f =-，所以5π2sin()13ϕ+=-，即5π1sin()32ϕ+=-．因为||2ϕπ<，所以7π5π13π636ϕ<+<，所以5π11π36ϕ+=，所以π6ϕ=，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件②③：因为函数()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以5ππ(Z)6k k ϕ=-∈．因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =．所以π()sin(26f x A x =+．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，所以5π(16f =-，所以5ππsin 136A ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，11πsin 16A =-，所以2A =，所以()2sin(2)6f x x π=+．综上，不论选哪两个条件，()2sin(2)6f x x π=+.【小问2详解】由（1）知，()2sin(2)6f x x π=+，由20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：2ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此[]2()1,2f x ∈-，由10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：1ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，因此1()g x ⎡∈-⎣，从而1()1,g x m m m ⎡-∈---+⎣，由()()12m g x f x =-得：()()21f x g x m =-，假定存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，即存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()21f x g x m =-成立，则[]1,1,2m m ⎡---+⊆-⎣，于是得112m m --≥-⎧⎪⎨-+≤⎪⎩，解得20m -≤≤，因此存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，所以实数m的取值范围是2,0⎤⎦.20.对于定义在R 上的函数()f x 和正实数T 若对任意x ∈R ，有()()f x T f x T +-=，则()f x 为T -阶梯函数.（1）分别判断下列函数是否为1-阶梯函数（直接写出结论）：①()2f x x =；②()1f x x =+.（2）若()sin f x x x =+为T -阶梯函数，求T 的所有可能取值；（3）已知()f x 为T -阶梯函数，满足：()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且对任意x ∈R ，有()()2f T x f x T x --=-.若函数()()F x f x ax b =--有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为123,,,x x x ⋅⋅⋅；若1a =时，证明：存在b ∈R ，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且213240464045x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-.【答案】（1）①否；②是（2）2πT k =，*k ∈N （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用T -阶梯函数的定义进行检验即可判断；（2）利用T -阶梯函数的定义，结合正弦函数的性质即可得解；（3）根据题意得到()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，从而取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合零点存在定理可知()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +，从而得解.【小问1详解】()2f x x =，则22(1)()(1)211f x f x x x x +-=+-=+≠；()1f x x =+，则(1)()11f x f x x x +-=+-=，故①否；②是.【小问2详解】因为()f x 为T -阶梯函数，所以对任意x ∈R 有：()()()()()sin sin sin sin f x T f x x T x T x x x T x T T +-=+++-+=+-+=⎡⎤⎣⎦.所以对任意x ∈R ，()sin sin x T x +=，因为sin y x =是最小正周期为2π的周期函数，又因为0T >，所以2πT k =，*k ∈N .【小问3详解】因为1a =，所以函数()()F x f x x b =--，则()()()()()()()F x T f x T x T b f x T x T b f x x b F x +=+-+-=+-+-=--=，()()()()()()()2F T x f T x T x b f x T x T x b f x x b F x -=----=+----=--=.取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则有3330444TT T F f b ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，30444T T T F F T F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()()F x f x x b =--在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，结合()()F T x F x -=，则有()F x 在0,2T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点4T ，在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点34T .又由于()()F x T F x +=，则对任意k ∈Ζ，有044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，对任意m ∈Z ，()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +.综上所述，存在3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且14T x =，234T x =，354T x =，474T x =，L ，404580894T x =，404680914T x =，其中，2132404640452T x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-=.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义T -阶梯函数，从而在第3小问推得()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，由此得解.。
2022-2023学年人教A版(2019)高一下数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：95 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知，，集合，，若，则( )A.B.C.D.2. 若复数，则的共轭复数的虚部为( )A.B.C.D.3. 设集合，是全集的两个子集，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 若，，则的值为( )a b ∈R A ={a +5,−1}a 2B ={a,b}A ∩B ={3}A ∪B ={−2,3}{2,3}{2,3,5}{2,3,7}z =11−i z −12−i1212i12A B U A ∩B =∅A ⊆∁U B sin α+cos(π−α)=34α∈(0,π)sin(α+)π47A.B.C.D.5. 某传染病在流行初期，由于大部分人未感染且无防护措施，所以总感染人数以指数形式增长．假设在该传染病流行初期的感染人数为，且每位已感染者平均一天会传染给位未感染者的前提下，天后感染此疾病的总人数可以表示为，其中且.已知某种传染病初期符合上述数学模型，且每隔天感染此病的人数会增加为原来的倍，则的值是( )A.B.C.D.6. 已知向量，，若，则等于（ ）A.B.C.D.7. 若函数，的图象过点，直线向右平移个单位长度后恰好经过上与点最近的零点，则在上的单调递增区间是( )A.B.C.D.78−46−−√8−7846−−√8P 0r n P n =P n P 0(1+r)n ≥1P 0r >01664⋅⋅P 20P 18P 8P 5P 12P 924816=(2,1)a →=(x,−2)b →//a →b →+a →b →(−2,−1)(2,1)(3,−1)(−3,1)f (x)=3sin(ωx +φ)(ω>00<φ<)π2M (,−3)2π3x =2π3π4f (x)M f (x)[−,]π2π2[−,]π2π6[−,]π3π3[−,]π3π6[−,]π6π6△ABC b A C C =60∘b =8△ABC8. 在中，，，分别为角，，的对边，若，，，则的周长为( )A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知为虚数单位， ，则关于复数的说法错误的是( )A.B.对应复平面内的点在第三象限C.的虚部为D. 10. 台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，如图，有一张长方形球台，，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，则的值为( )A.B.C.D. 11. 已知是定义在上的函数，满足且对任意的恒有，且当时，，则（ ）A.函数的值域是B.△ABC a b c A B C C =60∘a =5b =8△ABC 20304025i z ⋅=1−i 21−iz |z|=1z z −iz +=2z¯¯¯ABCD AB =3.6m AD =1.2m A α2C tan α1912132f (x)R f (−x)−f (x)=0,x ∈R f (x)=f (x +4)x ∈[0,2]f (x)=(x +2)−1f (x)[,1]14f (−)>f ()1252(x)=1C.时，D.函数在上递减12. 给出下列结论，其中不正确的结论是 A.函数的最大值为B.已知函数（且）在上是减函数，则实数的取值范围是C.在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称D.已知定义在上的奇函数在内有个零点，则函数的零点个数为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）13. （5分） 在平面直角坐标系中的位置如图所示， ，将绕点，逆时针旋转得到交轴于，若，则点的坐标为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）14. 计算： ． 15. 在中，角，，所对的边为，，，且．求角的大小；若，求的取值范围． 16. 已知向量，设函数.讨论的单调性；x ∈[2,4]f (x)=16−xf (x)[2,4]()a R 10102021△AOC OA =4△AOC O 90∘△O ,A 1C 1A 1C 1y B (0,2)△OB ∼△O C 1C 1A 1C 1(1)(2−−(3+14)129.6038)23 1.5−2(2)−54+−−(log 9log 332953log 5164)23△ABC A B C a b c a sin A +c sin C −a sin C =b sin B3–√(1)B (2)f (x)=sin x cos x +x −3–√cos 23–√2f()A 2=(cos x,sin x),=(cos x,cos x)m →n →3–√f (x)=⋅−,x ∈[0,]m →n →12π3(1)f (x)(x)=2若方程有两个不相等的实数根，求的值．17. 在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知的内角，，的对边分别为，，，________，，.求角；求的面积．18. 已知妇=4，a 与占的夹角日=120°，则向量b 在向量日方向上的投影为14.AABC 的内角4,B,C'的对边分别为a,b,c ，已知b=s5,c=2,cosB 子则a=15.己知等差数列{an}共有10项,其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差止16．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角LMAN=60°，C 点的仰角LCAB=45°以及LMAC=75°;从C 点测得LMCA=60°.己知山高BC=100m ，则山高MN=_m ．19. 已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）若函数有个零点，求实数取值范围．(2)f (x)=23,x 1x 2cos(+),cos(−)x 1x 2x 1x 2+ac =+b 22–√a 2c 2a cos B =b sin A sin B +cos B =2–√△ABC A B C a b c A =π3b =2–√(1)B (2)△ABC f(x)=2(x −1)+a e x x 2a =e f(x)f(x)2a参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】并集及其运算集合的确定性、互异性、无序性【解析】由，得到或，解方程，验证是否满足集合元素的互异性，再利用集合的并集求解即可.【解答】解：由，得，集合中都有元素，令，则，此时，不满足集合元素的互异性；令，则，当 时，，则，此时，满足题意，此时.故选.2.【答案】A【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念共轭复数【解析】求出复数的共轭复数即可求解.A ∩B ={3}a +5=3−1=3a 2A ∩B ={3}A B 3a +5=3a =−2−1=−1=3a 2(−2)2−1=3a 2a =±2a =2a +5=7A ={3,7}B ={2,3}A ∪B ={2,3,7}D【解答】解：∵，∴的共轭复数为，∴其虚部为.故选.3.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断集合的包含关系判断及应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由韦恩图，，而显然可得.又，可得，所以“”是“”的充要条件.故选．4.【答案】D【考点】三角函数的化简求值【解析】无【解答】解：∵，∴，即.∵，z ===+i 11−i 1+i (1−i)(1+i)1212z =−i z ¯¯¯1212−12A A ∩B =∅A ⊆∁U B A ⊆∁U B A ∩B =∅A ∩B =∅A ⊆∁U B C sin α+cos(π−α)=sin α−cos α=34=1−2sin αcos α=(sin α−cos α)29162sin αcos α=>0716α∈(0,π)∴，，∴，∴，∴.故选．5.【答案】C【考点】函数模型的选择与应用【解析】本题考查指数型函数的应用以及数学建模，考查运算求解能力．【解答】解：由题意得，化简得，所以．故选．6.【答案】A【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示平面向量的坐标运算【解析】根据题意，由向量平行的判断方法，可得，解可得的值，即可得的坐标，由向量加法的坐标运算方法，可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，若，则有，sin α>0cos α>0α∈(0,)π2=1+2sin αcos α=(sin α+cos α)22316sin(α+)=(sin α+cos α)=π42–√246−−√8D ==64P n+16P n (1+r P 0)n+16(1+r P 0)n (1+r =64)16⋅⋅P 20P 18P 8P 5P 12P 9=(1+r ×(1+r ×(1+r =(1+r =8)2)3)3)8C 2x −2=0x b →=(2,1)a →=(x,−2)b →//a →b →1⋅x =2⋅(−2)(−4,−2)→即，即，则，故选．7.【答案】C【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换正弦函数的单调性【解析】命题意图本题主要考查三角函数的图象与性质．【解答】解：由题意，可知函数的四分之一周期为，则的周期，，又函数的图象过点，，，，，，令，得，∴，由，，解得，，取，得．故选.8.【答案】A【考点】余弦定理x =−4=(−4,−2)b →+=(−2,−1)a →b →A f (x)π4f (x)T =π∴ω==22πT f (x)(,−3)2π3∴−3=3sin(×2+φ)2π3∴×2+φ=−+2kπ2π3π2k ∈Z ∴φ=−+2kπ11π6k ∈Z k =1φ=π6f (x)=3sin(2x +)π62kπ−≤2x +≤2kπ+π2π6π2k ∈Z kπ−≤x ≤kπ+π3π6k ∈Z k =0x ∈[−,]π3π6C【解析】根据余弦定理，得C ，所以，则的周长为．故选．【解答】解：根据余弦定理，得，所以，则的周长为．故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C,D【考点】复数的模复数的基本概念共轭复数复数代数形式的混合运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】已知，所以，所以，故选、、．【解答】解：已知，所以.，，故该选项正确；，的实部为，虚部为，对应复平面内的点在坐标轴上，故该选项错误；，的虚部为，故该选项错误；，，则，故该选项错误.故选.10.【答案】=+−2ab cos c 2a 2b 2=+−5×8=49528′c =7△ABC 20A =+−2ab cos Cc 2a 2b 2=+−5×8=495282c =7△ABC 20A z ⋅=1−i 21−i z ==−1(1−i)22|z|=1|B C D z ⋅=1−i 21−i z ==−i (1−i)22A |z|==1(−1)2−−−−−√B z 0−1C z −1D =i z ¯¯¯z +=0z¯¯¯BCDA,C【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程已知三角函数模型的应用问题【解析】根据题意画出示意图，进而求解结论．【解答】解：因为，现从角落沿角的方向把球打出去，分两种情况讨论：①如图：关于 的对称点为，关于的对称点为，则根据直线的对称性可得：；②如图：关于 的对称点为，关于的对称点为，如图：根据直线的对称性可得：.故选.11.【答案】B,C【考点】函数的值域及其求法函数的周期性函数奇偶性的性质AB =3AD A αA DC E C AB F tan α===1EG GF 3AD3ADA BC G C AD E tan α===EF FG AD 9AD 19AC【解析】【解答】解：因为函数满足，即，所以函数是偶函数.因为，所以函数是周期为的周期函数.因为当时，，所以当时，函数是减函数，最大值为，最小值为，根据函数是偶函数可知当时，最大值为，最小值为，根据函数是周期为的周期函数可知当时，最大值为，最小值为，即值域为，错误；因为，，所以，故正确；因为当时，函数是减函数，所以当时，函数是增函数，所以根据函数周期为可知函数在上递增，错误；令，则，，故当时，，令，则，，故当时，，正确.故选.12.【答案】A,B【考点】复合函数的单调性函数的对称性【解析】f (x)f (−x)−f (x)=0f (−x)=f (x)f (x)f (x)=f (x +4)f (x)4x ∈[0,2]f (x)=(x +2)−1x ∈[0,2]f (x)1214f (x)x ∈[−2,0]1214f (x)4x ∈R 1214[,]1412A f (−)=f ()=121225f ()=f (−)=f ()=52323227f (−)>f ()1252B x ∈[0,2]f (x)x ∈[−2,0]f (x)f (x)4f (x)[2,4]D x ∈[−2,0]−x ∈[0,2]f (−x)==f (x)(−x +2)−1x ∈[−2,0]f (x)=12−xx ∈[2,4]x −4∈[−2,0]f (x −4)===f (x)12−x +416−xx ∈[2,4]f (x)=16−xC BC =−x+1由复合函数的单调性可求的最大值、在上减函数时的范围，结合指对数函数图象的关系、奇函数的性质可判断、的正误；【解答】、函数中，若令，即有，故错误；、函数且在上是减函数，知：，即有，故错误；、函数与互为反函数，图象关于直线对称，故正确；、定义在上的奇函数在内有个零点，由函数的对称性可知在内有个零点，即函数的零点个数为，故正确；故选：三、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）13.【答案】【考点】基本不等式向量的共线定理【解析】此题暂无解析【解答】解：如图作轴于．∵∴，∵，y =()12−x+1y =(2−ax)log 4(0,1)a C D 1y =()12−x 2t =−+1∈(−x,1]x 2y =(∈[,+∞)12)′12A 2y =(2−at)(a >0log 2a ≠1)(0,1)1<a <2xa ∈(1,2]B B y =2t y =x log 2y =x C 4R f (x)(−∞,0)1010f (x)(0,+∞)1010f (x)2021D AB(,)4383H ⊥x C 1H △OB ∽△O C 1C 1A 1==OC 1A 1C 1OB OA 112tan ∠H ===C 1A 1OB OA 1H C 1H A 112m ，O =−−−−−−−−−−−−−设，则∴ ∴，解得或（舍弃），∴．故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）14.【答案】解： ．．【考点】对数的运算性质有理数指数幂的化简求值【解析】利用分数指数幂的性质和运算法则求解．利用对数的性质和运算法则求解．【解答】解：．．H =m C 1H =2m ，OH =2m −4A 1=m ，O =A 1C 15–√C 1+m 2(2m −4)2−−−−−−−−−−−−−√m =25–√+(2m −4m 2)2−−−−−−−−−−−−−√m =8385(,)C 14383(,)4383(1)(2−−(3+14)129.6038)23 1.5−2=−1−+329494=12(2)−54+−−(log 9log 332953log 5164)23=(×)−3−log 3132329116=−2−3−116=−8116(1)(2)(1)(2−−(3+14)129.6038)23 1.5−2=−1−+329494=12(2)−54+−−(log 9log 332953log 5164)23=(×)−3−log 3132329116=−2−3−116=−811615.【答案】解：∵，∴，∴，∴，又，∴．，∴，∵，，∴，∴的取值范围为.【考点】两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理三角函数中的恒等变换应用【解析】此题暂无解析【解答】(1)a sin A +c sin C −a sin C =b sin B 3–√+−ac =a 2c 23–√b 2+−=ac a 2c 2b 23–√cos B ==+−a 2c 2b 22ac 3–√2B ∈(0,π)B =π6(2)f(x)=sin x cos x +x −3–√cos 23–√2=sin 2x +⋅−123–√1+cos 2x 23–√2=sin 2x +cos 2x 123–√2=sin(2x +)π3f()=sin(A +)A 2π3A ∈(0,)5π6A +∈(,)π3π37π6sin(A +)∈(−,1]π312f()A 2(−,1]12(1)a sin A +c sin C −a sin C =b sin B3–√解：∵，∴，∴，∴，又，∴．，∴，∵，，∴，∴的取值范围为.16.【答案】解：由题意知，函数,当时，,∴当，即时单调递增；当，即时单调递减．∵方程在上有两个不相等的实数根，，∴，即，(1)a sin A +c sin C −a sin C =b sin B 3–√+−ac =a 2c 23–√b 2+−=ac a 2c 2b 23–√cos B ==+−a 2c 2b 22ac 3–√2B ∈(0,π)B =π6(2)f(x)=sin x cos x +x −3–√cos 23–√2=sin 2x +⋅−123–√1+cos 2x 23–√2=sin 2x +cos 2x 123–√2=sin(2x +)π3f()=sin(A +)A 2π3A ∈(0,)5π6A +∈(,)π3π37π6sin(A +)∈(−,1]π312f()A 2(−,1]12(1)f (x)=⋅−=x +sin x cos x −m →n →12cos 23–√12=+×sin 2x −=sin(2x +)1+cos 2x 23–√1212π6x ∈[0,]π32x +∈[,]π6π65π62x +∈[,]π6π6π2x ∈[0,]π6,f (x)2x +∈[,]π6π25π6x ∈[,]π6π3f (x)(2)f (x)=23x ∈[0,]π3x 1x 2f ()=f ()=x 1x 223sin(2+)=sin(2+)=x 1π6x 2π6232+)+(2+)=×2πππ∴，即,∴，∴.【考点】平面向量数量积的运算三角函数中的恒等变换应用求两角和与差的正弦【解析】无无【解答】解：由题意知，函数,当时，,∴当，即时单调递增；当，即时单调递减．∵方程在上有两个不相等的实数根，，∴，即，∴，即,∴，∴.17.【答案】(2+)+(2+)=×2x 1π6x 2π6π2+=x 1x 2π3cos(+)=x 1x 212cos(−)=cos(−2)=cos[−(2+)]x 1x 2π3x 2π2x 2π6=sin(2+)=f()=x 2π6x 223(1)f (x)=⋅−=x +sin x cos x −m →n →12cos 23–√12=+×sin 2x −=sin(2x +)1+cos 2x 23–√1212π6x ∈[0,]π32x +∈[,]π6π65π62x +∈[,]π6π6π2x ∈[0,]π6,f (x)2x +∈[,]π6π25π6x ∈[,]π6π3f (x)(2)f (x)=23x ∈[0,]π3x 1x 2f ()=f ()=x 1x 223sin(2+)=sin(2+)=x 1π6x 2π623(2+)+(2+)=×2x 1π6x 2π6π2+=x 1x 2π3cos(+)=x 1x 212cos(−)=cos(−2)=cos[−(2+)]x 1x 2π3x 2π2x 2π6=sin(2+)=f()=x 2π6x 223(1)+ac =+2–√22解：若选择①，，由余弦定理得，因为，所以；若选择②，，则，因为，所以，因为，所以；若选择③，，则，所以，因为，所以，所以，所以.由正弦定理，得，因为，，所以，所以，所以．【考点】正弦定理余弦定理二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式【解析】此题暂无解析【解答】解：若选择①，，由余弦定理得，因为，所以；若选择②，，则，因为，所以，因为，所以；若选择③，，(1)+ac =+b 22–√a 2c 2cos B ===+−a 2c 2b 22ac ac 2–√2ac 2–√2B ∈(0,π)B =π4a cos B =b sin A sin A cos B =sin B sin A sin A ≠0sin B =cos B B ∈(0,π)B =π4sin B +cos B =2–√sin(B +)=2–√π42–√sin(B +)=1π4B ∈(0,π)B +∈(,)π4π45π4B +=π4π2B =π4(2)=a sin A b sin Ba ===b sin A sin B ⋅sin 2–√π32√23–√A =π3B =π4C =π−−=π3π45π12sin C =sin 5π12=sin(+)π4π6=sin cos +cos sin =π4π6π4π6+6–√2–√4=ab sin C S △ABC 12=×××123–√2–√+6–√2–√4=3+3–√4(1)+ac =+b 22–√a 2c 2cos B ===+−a 2c 2b 22ac ac 2–√2ac 2–√2B ∈(0,π)B =π4a cos B =b sin A sin A cos B =sin B sin A sin A ≠0sin B =cos B B ∈(0,π)B =π4sin B +cos B =2–√(B +)=π(B +)=1π则，所以，因为，所以，所以，所以.由正弦定理，得，因为，，所以，所以，所以．18.【答案】.【考点】解三角形的实际应用【解析】（1）在中，有条件利用直角三角形的边角关系得到；在中，由条件利用正弦定理得到；在中，根据，进而求解即可.【解答】解：在中，已知，得 ，在中，已知，可得，由正弦定理可得，即，解得，在中，.19.【答案】解：（1）依题意，当时，，故．故当时，；当时，，故函数在处取极小值，即，无极大值．sin(B +)=2–√π42–√sin(B +)=1π4B ∈(0,π)B +∈(,)π4π45π4B +=π4π2B =π4(2)=a sin A b sin Ba ===b sin A sin B ⋅sin 2–√π32√23–√A =π3B =π4C =π−−=π3π45π12sin C =sin 5π12=sin(+)π4π6=sin cos +cos sin =π4π6π4π6+6–√2–√4=ab sin C S △ABC 12=×××123–√2–√+6–√2–√4=3+3–√4150△ABC AC △AMC AM Rt △AMN MN =AM ⋅sin ∠MAN △ABC ∠BAC =40°，∠ABC =90°，BC =100AC ==100100sin45°2–√△AMC ∠MAC =75°，∠MCA =60°∠AMC =45°=AM sin ∠ACM ACsin ∠AMC=AM sin60°1002–√sin45°AM =1003–√Rt △AMN MN =AM ⋅sin ∠MAN =100×sin60°=150m3–√a =e (x)=2+2(x −1)+2ex f ′e x e x (x)=2x +2ex =2x (+e)f ′e x e x x >0(x)>0f ′x <0(x)<0f ′f(x)x =0f(0)=−2(x)=2x (+a)f ′x（2）依题意，．当时，，只有个零点即，不符合题意；当时，，当时，为减函数，当时，，为增函数，，而，∴当时，，使．当时，，．取，，∴函数有个零点；当时，，令得或．①当，即，当变化时，的变化情况如下表：+-+↗极大值↘极小值↗，∴函数至多有个零点，不符合题意；②当，即时，在上单调递增，至多有个零点，不符合题意；③当，即时，当变化时，的变化情况如下表：+-+↗极大值↘极小值↗当时，，∴函数至多有个零点，不符合题意．综上所述，实数的取值范围是．【考点】利用导数研究函数的极值函数的零点【解析】本题考查利用导数研究函数的极值、函数的零点．【解答】解：（1）依题意，当时，，故．故当时，；当时，，故函数在处取极小值，即，无极大值．（2）依题意，．当时，，只有个零点即，不符合题意；当时，，当时，为减函数，当时，，为增函数，，(x)=2x (+a)f ′e x a =0f(x)=2(x −1)e x 1x =1a >0+a >0e x x ∈(−∞,0)(x)<0，f(x)f ′x ∈(0,+∞)(x)＞0f ′f(x)f(x =f(0)=−2)极小值f(1)=a >0x >0∃∈(0,1)x 0f ()=0x 0x <0<1，∴(x −1)>x −1e x e r ∴f(x)=2(x −1)+a >2(x −1)+a =a +2x −2e x x 2x 2x 2=<0x 1−1−1+2a −−−−−√a ∴f ()<a +2−2=0，f ()⋅f(0)<0x 1x 21x 1x 12a <0(x)=2x (+a)f ′e x (x)=0f ′x =0x =ln(−a)ln(−a)>0a <−1x f(x)，(x)f ′x (−∞,0)0(0,ln(−a))ln(−a)(ln(−a),+∞)(x)f ′00f(x)∴f(x =f(0)=−2)极大值f(x)1ln(−a)=0a =−1f(x)(−∞,+∞)∴f(x)1ln(−a)<0a ∈(−1,0)x f(x),(x)f ′x (−∞,ln(−a))ln(−a)(ln(−a),0)0(0,+∞)(x)f ′0f(x)x <0f(x)=2(x −1)+a <0，f(0)=−2e x x 2f(x)1a (0,+∞)a =e (x)=2+2(x −1)+2ex f ′e x e x (x)=2x +2ex =2x (+e)f ′e x e x x >0(x)>0f ′x <0(x)<0f ′f(x)x =0f(0)=−2(x)=2x (+a)f ′e x a =0f(x)=2(x −1)e x 1x =1a >0+a >0e x x ∈(−∞,0)(x)<0，f(x)f ′x ∈(0,+∞)(x)＞0f ′f(x)f(x =f(0)=−2)极小值f(1)=a >0∃∈(0,1)f ()=0而，∴当时，，使．当时，，．取，，∴函数有个零点；当时，，令得或．①当，即，当变化时，的变化情况如下表：+-+↗极大值↘极小值↗，∴函数至多有个零点，不符合题意；②当，即时，在上单调递增，至多有个零点，不符合题意；③当，即时，当变化时，的变化情况如下表：+-+↗极大值↘极小值↗当时，，∴函数至多有个零点，不符合题意．综上所述，实数的取值范围是．f(1)=a >0x >0∃∈(0,1)x 0f ()=0x 0x <0<1，∴(x −1)>x −1e x e r ∴f(x)=2(x −1)+a >2(x −1)+a =a +2x −2e x x 2x 2x 2=<0x 1−1−1+2a −−−−−√a ∴f ()<a +2−2=0，f ()⋅f(0)<0x 1x 21x 1x 12a <0(x)=2x (+a)f ′e x (x)=0f ′x =0x =ln(−a)ln(−a)>0a <−1x f(x)，(x)f ′x (−∞,0)0(0,ln(−a))ln(−a)(ln(−a),+∞)(x)f ′00f(x)∴f(x =f(0)=−2)极大值f(x)1ln(−a)=0a =−1f(x)(−∞,+∞)∴f(x)1ln(−a)<0a ∈(−1,0)x f(x),(x)f ′x (−∞,ln(−a))ln(−a)(ln(−a),0)0(0,+∞)(x)f ′00f(x)x <0f(x)=2(x −1)+a <0，f(0)=−2e x x 2f(x)1a (0,+∞)。
2021年高一下学期期中检测数学试题 Word版含答案
注意事项：1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14题，每题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1. 等差数列的通项公式是，则此数列的公差为▲ .2. = ▲ .3. 等比数列中，则此数列的公比是▲.4. 在△ABC中，已知，则等于▲.5. 若数列是等比数列，且则= ▲.6. 已知为等差数列的前项和，若，则的值为▲.7. 在△ABC中，已知，则△ABC的面积等于▲.8. 已知，则= ▲.9. 某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，这个剧场共有▲个座位.10. △ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足，则角C＝▲.11. 已知是各项都为正数的等比数列，是其前项和，若,则▲.12. 已知，则= ▲.13. 下列说法：①设都是锐角，则必有②在中，若, 则为锐角三角形．③在中，若, 则；则其中正确命题的序号是▲.14. 已知数列满足，，，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得= ▲.二、解答题：（本大题共6题计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）已知均为锐角，且，．（1）求的值；（2）求的值．16．（本题满分14分）已知数列是首项为1的等差数列，数列是等比数列，设，且数列的前三项分别为3,6,11（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前10项和；17．（本题满分15分）已知71tan ,21)tan(),,0(,-==-∈ββαπβα且 （1）计算、的值（2）求的值．18．（本题满分15分）为了测量河对岸两点A,B 之间的距离，在河岸的这一边取相距的C,D 两点，并测得ACB=75，BCD=45，ADC=30，ADB=45，设A ，B ，C ，D 在同一个平面内，试求A,B 两点之间的距离A B DC19.(本题满分16分) 若已知数列是首项为，公差为6的等差数列；数列 的前n 项和为.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列是等比数列. 试证明：对于任意的，均存在正整数，使得，并求数列的前n 项和.20．(本题满分16分) 已知数列，满足⑴若数列是等差数列，求证是等比数列； ⑵若数列的前项和为①设对于任意的正整数，恒有)1211()1211)(1211)(1211(1321-+-+-+-+>n n b b b b a λ 成立，试求实数的取值范围.②若数列满足，问数列中是否存在不同的三项成等比数列？如果存在，请求出这三项；如果不存在，请说明理由.宝应中学高一数学期中参考答案与评分标准一、填空题（每题5分，共70分）1.-1；2.；3.-2；4. ；5. 3；6. 81；7. ； 8. ； 9. 820； 10. ； 11. 1612.； 13.①； 14.二、解答题：（本大题共6题,计90分）15.解：（1）∵，从而．……………………2分又, ∴ …………………………4分∴, ∴ ………………………………7分（2）∵为锐角，，∴． ……………………………………8分∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+- …………12分==． ……………14分注：其他解法，请相应给分。
(人教版B版)高中数学高一年级下册 期中测试试卷01及答案
期中测试第Ⅰ卷―、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()7,3a =-r ，(),6b m =r，若a b r r ∥，则m =（ ）A .14-B .14C .8-D .82.在等差数列{}n a 中，31a =，913a =，则1a =（ ）A .5-B .4-C .3-D .2-3.若0a b ＜＜，则下列不等式成立的是（ ）A .11a b-＜B .2ab b ＜C .11a b--D .2a ab＞4.已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 2b A =，且a b >，则B =（ ）A .6pB .4pC .3pD .4p或34p 5.在正项等比数列{}n a 中，()23167264a a a a ++=，则27a a +=（ ）A .4B .8C .12D .166.下列式子中最小值为4的是（ ）A .263x x+B .224sin sin x x+C .ln 13ln 2xx +D .455x x+7.轮船甲和轮船乙在上午11时同时离开海港C ，两船航行方向的夹角为135°，两船的航行速度分别为25海里/小时、海里/小时，则当天下午1时两船之间的距离为（ ）A .海里B .C .100海里D .海里8.已知1a =r ，3b =r ，且向量a r 与b r 的夹角为60°，则2a b -=r r（ ）A B .3C D 9.已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()cos cos a A B c +=，则ABC △的形状一定为（ ）A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等腰三角形或直角三角形10.已知等比数列{}n a 的前n 项和与前n 项积分别为n S ，n T ，公比为正数，且316a =，3112S =，则使1n T ＞成立的n 的最大值为（ ）A .8B .9C .12D .1311.如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且2CF DF =，AE 与BF交于点P ，若AP AE l =uuu r uuu r，则l =（ ）A .34B .58C .38D .2312.已知0a >，0b >，且347a b +=，则9432a b a b+++的最小值为（ ）A .4312B .4112C .257D .237第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量()8,a k =r ，()3,4b =r，若a b ^r r ，则a =r ________.14.已知不等式20ax bx c ++＞的解集为{}31x x -≤＜，则不等式20bx cx a -+＜的解集为________.15.ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 34A =，a =，则bc 的最大值为________.16.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足318S =，3180n S -=，270n S =，则n =________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222b c a bc +=+.（1）求A ；（2）若512B p=，2a =，求c .18.（12分）某企业用6750万元购得一块空地，计划在该块地建造一栋至少12层，且每层面积为1500平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为()*12,x x x N Î≥层，则每平方米的平均建筑费用为95050x +（单位：元）.（1）若楼房建12层，则楼房每平方米的平均综合费用为多少元？（2）为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用.平均购地费用=购地总费用建筑总面积）19.（12分）如图，在ABC △中，AD 平分BAC Ð，且3CD BD =.（1）求sin sin BC的值；（2）若2AB =，3B p=，求ABC △的面积.20.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且223n S n n =++.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .21.（12分）如图，扇形OAB 的圆心角为90°，2OA =，点M 为线段OA 的中点，点N 为弧AB 上任意一点.（1）若30BON Ð=°，试用向量OA uuu r ，OB uuu r 表示向量ON uuu r；（2）求MB ON ×uuur uuu r的取值范围.22.（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且37a =，648S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若1252n n n n n b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T.期中测试答案解析一、1.【答案】A【解析】因为()7,3a =-r ，(),6b m =r，且a b r r ∥，所以7630m ´+=，解得14m =-.2.【答案】C【解析】由3121a a d =+=，91813a a d =+=，解得13a =-，2d =.3.【答案】D【解析】因为0a b <<，所以2a ab >.4.【答案】B【解析】因为2sin b A =sin sin 2B A A =.因为sin 0A ¹，所以sin B =，又a b ＞，所以4B p=.5.【答案】B【解析】由()23167264a a a a ++=，得213367264a a a a a ++=，则222277264a a a a ++=，即()22764a a +=.又0n a ＞，故278a a +=.6.【答案】D【解析】对于A ，当0x ＜时，不符合题意；对于B ，224sin sin x x=成立的条件为2sin 21x =＞，不符合题意；对于C ，当ln 0x ＜时，不符合题意.7.【答案】B【解析】设轮船甲、乙在下午1时所处的位置分别为A 和B ，由题可知50CA =，CB =，135ACB =а，则(222222cos 502509700AB CA CB CA CB ACB æ=+-××Ð=+-´´=ççè，故AB =海里.8.【答案】A【解析】因为1a =r ，3b =r，a r 与b r 的夹角为60°，所以2224424697a a b b a b =-×+=-+=-r r r r r r ，则2a b -=r r9.【答案】D【解析】因为()cos cos a A B c +=，所以()sin cos cos sin sin cos cos sin A A B C A B A B +==+，整理得()cos sin sin 0A A B -=，即cos 0A =或sin sin 0A B -=，则2A p=或A B =，故ABC △的形状为等腰三角形或直角三角形.10.【答案】C【解析】由316a =，3112S =，解得164a =，12q =（13q =-舍去），则72n n a -=，()13212n n n T -æö=ç÷èø=，要使1n T ＞，则()1302n n -，解得013n ＜＜，故n 的最大值为12.11.【答案】A【解析】连接AF （图略），因为B ，P ，F 三点共线，所以()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，因为2CF DF =，所以1133DF DC AB ==uuu r uuur uuu r ，所以()2113m AP AB m AD +=+-uuu r uuu r uuu r .因为E 是BC 的中点，所以1122AE AB BC AB AD =+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r .因为AP AE l =uuu r uuu r ，所以()211132m AB m AD AB AD l +æö+-=+ç÷èøuuu r uuu r uuur uuu r ，则213112m m l l+ì=ïïíï-=ïî，解得34l =.12.【答案】C【解析】因为0a ＞，0b ＞，且347a b +=，()()9419432(32732a b a b a b a b a b a b +=é+++ù+=ëû++++()()9243125137327a b a b a b a b é++ù++êú++ëû≥，当且仅当()()924332a b a b a ba b++=++，即2125a =，2825b =时，等号成立.二、13.【答案】10【解析】因为()8,a k =r ，()3,4b =r，且a b ^r r ，所以8340k ´+=，得6k =-，则10a =r .14.【答案】112x x x ìü<->-íýîþ或（或()1,1,2æö-¥--+¥ç÷èøU ）【解析】由不等式20ax bx c ++＞的解集为{}31x x -＜＜，知0a ＜，31ba -+=-，31ca-´=，得2b a =，3c a =-，则不等式20bx cx a -+＜等价于22310x x ++＞，故不等式20bx cx a -+＜的解集为112x x x ìü--íýîþ＜或＞.15.【答案】16【解析】由222312c 222os A a b c bc bc bc bc =+--=≥，得16bc ≤，当且仅当4b c ==时等号成立，故bc 的最大值为16.16.【答案】15【解析】因为32318S a ==，所以26a =，又31390n n n S S a ---==，所以130n a -=.故()()12127022n n n n a a n a a S -++===，解得15n =.三、17.【答案】解：（1）由余弦定理及题设知，222co 1222s b c a bc bc b A c +-===，又因为0A p <<，所以3A p=.（2）因为3A p=，512B p =，所以4C p=.sin CC，则sin sin CAa c ===.18.【答案】解：（1）由题设，知建筑总面积为12150018000´=平方米，总的费用为()4675010950501218000+-´´´元，故楼房每平方米的平均综合费用为()467501095050121800053018000´++´´=元.（2）记楼房每平方米的平均综合费用为y 元，由题设得4675010950501500y xx´=++45000509503950x x=++³，当且仅当4500050x x=，即30x =时取等号.故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建30层.19.【答案】解：（1）在ABD △中，s n sin i BAD BD ADB=Ð，在ACD △中，s n sin i CAD CD ADC=Ð.因为AD 平分BAC Ð，且3CD BD =，所以3sin sin B C CDBD==.（2）由正弦定理及（1）可知sin sin 3AC AB BC==.因为2AB =，3B p=，所以6AC =，sin C =.因为()sin sin sin cos cos sin BAC B C B C B CÐ=+=+12==所以1sin 2ABC S AC AB BAC ×Ð=×=V .20.【答案】解：（1）因为223n S n n =++，所以116a S ==.当2n ≥时，1n n n a S S -=-()()22232113n n n n =+------41n =-.综上，6,141,2n n a n n =ì=í-î≥.（2）由（1）知3,141,22n nn b n n =ìï=í-ïî≥，当2n ≥时，234711154132222n nn T -=+++++L ①，则345137111541222222n n T n +-=+++++L ②.-①②得2341371114142222222n n n n +-æö=+++++-ç÷èøL 11111134117472241424212n n n n n n +++--+=+´-=--，则174722n nn T +=-.又1117417322T b ´+==-=，故174722n nn T +=-.21.【答案】解：（1）如图，以O 为坐标原点，建立直角坐标系xOy ，则()0,0O ，()0,2A ，()2,0B，)N，所以()0,2OA =uuu r ，()2,0OB =uuu r，)ON =uuu r .设ON xOA yOB =+uuu r uuu r uuu r，则22x y =ìïí=ïî，解得x y ì=ïïíïïî，所以12ON OA =uuu r uuu r r .（2）设()0090BON q Ð=°££°，则()2cos ,2sin N q q ，()0,1M ，则()2,1MB =-uuur ，()2cos ,2sin ON q q =uuu r，所以()4cos 2sin MB ON q q q j ×=-=+uuur uuu r，其中cos j =，sin j =（j 为锐角）.因为090q °°≤≤，所以90j q j j +=+°≤，则()max cos cos q j j +=，()()min cos cos 90sin q j j j +=°+=-=所以MB ON ×uuur uuu r的取值范围为[]2,4-.22.【答案】解：（1）由题意知，3127a a d =+=，6161548S a d =+=，解得13a =，2d =，所以()1121n a a n d n =+-=+.（2）因为()()12525222123n n n n n n n b a a n n +++==++()()1112221223n n n n +éù=´-êú++êúëû，所以12n nT b b b =+++L ()()12231111111232525272221223n n n n +éù=´-+-++-êú´´´´++êúëûL ()11126223n n +éù=´-êú+êúëû()113223nn =-+.。
2022-2023学年人教A版高一下数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知复数在复平面上对应的点的坐标为，则( )A.B.C.D.2. 平行四边形中，，在上投影的数量分别为，，则在上的投影的取值范围是 A.B.C.D.3. 已知向量为平面向量，，且使得与所成夹角为，则的最大值为（ ）A.B.C.D.4. 如图所示，在中， ，点在边上，点在线段上，若，则( )z (2,−3)=z¯¯¯2−3i2+3i−2−3i−2+3iABCD AC −→−BD −→−AB −→−3−1BD −→−BC −→−()(−1,+∞)(−1,3)(0,+∞)(0,3)，，a →b →c →||=||=2⋅=1a →b →a →b →c →−2c →a →−c →b →π3||c →+13–√3–√1+17–√△ABC BC =30D BC E AD =+CE −→−16CA −→−12CB −→−BD =A.B.C.D.5. 中，角，，所对的边分别为，，，若，则为（ ）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不确定6. 已知，则的值为( )A.B.C.D.7. 已知，，，则（ ）A.B.C.D.10121518△ABC A B C a b c c <b cos A △ABC sin(x +)=π445sin 2x 1825725−725−1625x ∈(0,)π2y ∈(0,)π2=cos x −sin x cos x +sin x sin y1+cos y x +y =π2x +y =π4x +2y =π42x +y =π28. 在中，，，是的垂心，是的外心，则 A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列关于平面向量的说法中正确的是( )A.已知，均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得B.已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是C.若且，则D.若点为的重心，则10. 已知复数，是的共轭复数，则（ ）A.B.C.复数在复平面内所对应的点在第一象限D. 11. 若函数＝的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为，则下列说法中正确的是（ ）A. 的图象关于＝对称B.当，]时， 的值域为[-，]C. 在区间（，上单调递减△ABC AB =6AC =8H △ABC O △ABC ⋅=OH −→−BC −→−()−14−2828a →b →//a →b →λ=λa →b→=(1,2)a →=(1,1)b →a →+λa →b →λ(−,+∞)53⋅=⋅a →c →b →c →≠c →0→=a →b→G △ABC ++=GA −→−GB −→−GC −→−0→z =2+1−i 1+iz ¯¯¯z =+i z ¯¯¯z 3545z =3z ¯¯¯z¯¯¯zz ≥4z¯¯¯f(x)sin 2x g(x)g(x)x x ∈[0g(x)g(x)ππ)x ∈[0,π]g(x)D.当时，方程＝有个根12. 在中，，，分别是边，，的中点，是其重心，下列说法正确的是( )A.对于任意一点，都有B.C.若，则是在上的投影向量D.若点是线段上的动点，且满足，则的最大值为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若复数是纯虚数，则________.14. 已知向量，，若，则向量与的夹角为________．15. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则两点的距离为________．16. 如图，在中，，，，，则________．x ∈[0,π]g(x)03△ABC D E F BC AC AB O P ++=3PA −→−PB −→−PC −→−PO −→−++=DA −→−EB −→−FC −→−0→+=AB −→−||AB −→−AC −→−||AC −→−3–√AD −→−||AD −→−BD −→−BA −→−BC −→−P AD =λ+μBP −→−BA −→−BC −→−λμ18(a ∈R)3−ai 1−2i|2a +i|==(−1,3)a =(1,t)b (−2)⊥a b a a b A B C D CD =450m ∠ADB =135∘∠BDC =∠DCA =15∘∠ACB =120∘AB m △ABC 3BD =DC AB =3AC =2∠BAC =60∘⋅=AD −→−BC −→−四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.已知复数在复平面内对应的点在第二象限，，且，求；已知复数为纯虚数，求实数的值．18. 已知向量且，则实数.19. 已知为坐标原点， ，，若 （，且为常数）求函数的最小正周期和单调递减区间；若时，函数的最小值为，求实数的值． 20. 函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，，为图象与轴的交点，且为正三角形．写出函数的值域并求的值；若，且，求的值．21. 在中，，，分别是角，，的对边，已知．若，求的大小；若，的面积，且，求，． 22. 已知函数.求最小正周期及对称中心；在锐角中，，，分别为角，，的对边，且，求面积的取值范围．(1)z |z|=2z +=−2z¯¯¯z (2)z =−(1+2i)m −3(2+i)2m 21−i m =(1，x)，=(−2，4)，a →b →(−)⊥a →b →b →x =________O =(2x,1)OA −→−cos 2=(1,sin 2x +a)OB −→−3–√f (x)=⋅OA −→−OB −→−x ∈R a ∈R a (1)f (x)(2)x ∈[0,]π2f (x)2a f(x)=2sin(ωx +)(ω>0)3–√π3A B C x △ABC (1)f(x)ω(2)f()=x 083–√5∈(−,)x 010323f(+2)x 0△ABC a b c A B C 3(+)=b 2c 23+2bc a 2(1)sin B =cos C 2–√tan C (2)a =2△ABC S =2–√2b >c b c f (x)=cos 2x +sin(2x −)π6(1)f (x)(2)△ABC a b c A B C f (A)=,b =412△ABC参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】共轭复数【解析】无【解答】解：依题意可知，则．故选．2.【答案】A【考点】向量的投影【解析】首先建立平面直角坐标系，进一步利用向量的坐标运算和数量积求出结果．【解答】解：以为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，z =2−3i =2+3i z¯¯¯B A AB x A AB y B(a,0)C(3,b)D(a −1,b)设，，，则，解得，所以，，，，设，的夹角为，过点作于点，则在上的投影：，令，则，令，则在上单调递增，故，故，则在上的投影的取值范围是.故选.3.【答案】A【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】B(a,0)C(3,b)D(a −1,b)3−(a −1)=a a =2D(1,b)C(3,b)=(1,b)BC −→−=(−1,b)BD −→−BD −→−BC −→−θD DM ⊥BC M BD −→−BC −→−||=||⋅cos θBM −→−BD −→−=⋅BC −→−BD −→−||BC −→−==−−1b 2+1b 2−−−−−√+1b 2−−−−−√2+1b 2−−−−−√=t(t >1)+1b 2−−−−−√||=t −BM −→−2t f(t)=t −2t f(t)(1,+∞)f(t)>f(1)=−1f(t)>−1BD −→−BC −→−(−1,+∞)A此题暂无解析【解答】解：，，，如图，为的中点，连结．设，，则为等边三角形，∵满足与的夹角为，，∵为等边三角形，，四点共圆，∴点的轨迹为圆的一段优弧，当经过圆的圆心时，取得最大值，在中，根据正弦定理得，即，解得,故圆的半径为，，四点共圆，，，，即的最大值为．故选．∵||=||=2⋅=1a →b →a →b →∴cos , ==a →b →⋅a →b →||||a →b →12 , =a →b →π3A OD AB =OA −→−a →=，=OB −→−b →OC −→−c →=2OD −→−a→∴△AOB c →−2c →a →−c →b →π3∴∠BCD =π3△AOB ∴∠BAD =2π3∵∠BCD =，∴A ，B ，C ，D π3C I OC −→−I ||OC −→−△ABD =2R BD sin ∠BAD 2R ==23–√sin 60∘R =1I 1∵∠BID =2∠BCD =,∠AOB =2π3π3∴O ，B ，I ，D ∴∠DIO =∠DBO =π2∴DI ⊥OI ，OI ===O −D D 2I 2−−−−−−−−−√−2212−−−−−−√3–√∴||=|OI|+|IC|=+1OC −→−3–√||c →+13–√A4.【答案】B【考点】向量的线性运算性质及几何意义向量在几何中的应用【解析】根据图形可设，从而可以得出，根据．D 三点共线即可得出，解出，从而可求出，进而求出【解答】解：由题意可设，则.由，，三点共线，得，解得：，所以，则.故选.5.【答案】A【考点】三角形的形状判断【解析】=λ(0<λ≤1)CD −→−CB −→−=+CE −→−16CA −→−12λCD −→−A,E,+=11612λλ=35CD =18BD =12=λ(0<λ≤1)CD −→−CB −→−=+=+CE −→−16CA −→−12CB −→−16CA −→−12λCD −→−A E D +=11612λλ=35CD =30×=1835BD =30−18=12B sin C <sin B cos A sin A cos B <0依题意，可得，利用两角和的正弦整理得，从而可判断为钝角．【解答】解：中，∵，∴，即，∴，，∴，为钝角，∴为钝角三角形，故选：．6.【答案】B【考点】两角和与差的正弦公式二倍角的正弦公式【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴两边平方得，解得：，则.故选.7.【答案】D【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式二倍角的正切公式【解析】sin C <sin B cos A sin A cos B <0B △ABC c <b cos A sin C <sin B cos A sin(A +B)=sin A cos B +sin B cos A <sin B cos A sin A cos B <0sin A >0cos B <0B △ABC A sin(x +)=(sin x +cos x)=π42–√245(1+2sin x cos x)=1216252sin x cos x =725sin 2x =2sin x cos x =725B【解答】解：，，所以，根据已知范围可得，所以.故选.8.【答案】A【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用【解析】【解答】解：如图，为垂心，则，∴①,∵②，由①②得：，同理可得.若，则同时垂直和，∵不成立，∴，=cos x −sin x cos x +sin x 1−tan x 1+tan x ==tan(−x)tan −tan x π4tan +tan x π4π4=sin y 1+cos y 2sin cos y 2y 21+2−1(cos )y 22==tan 2sin cos y 2y 22(cos )y 22y 2tan(−x)=tan()π4y 2−x =π4y 22x +y =π2D H ⋅=0AH −→−BC −→−⋅=(−)⋅=0AH −→−BC −→−OH −→−OA −→−BC −→−(+)⋅=0OB −→−OC −→−BC −→−−(−−−)⋅=0OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−BC −→−(−−−)⋅=0OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−AC −→−−−−≠0OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−BC −→−AC −→−//BC −→−AC −→−−−−=0OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−++−→−−→−−→−−→−∴.∵为的外心，∴设，则.故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,D【考点】三角形五心向量的共线定理平面向量数量积的性质及其运算律数量积的坐标表达式数量积表示两个向量的夹角【解析】由向量共线定理可判断选项；由向量夹角的的坐标表示可判断选项；由数量积的运算性质可判断选项；由三角形的重心性质即可判断选项．【解答】解：，由向量共线定理知正确；，，因为与的夹角为锐角，所以，解得，当与共线时，，解得，此时，此时与夹角为，不符合题意，所以实数的取值范围是，故错误；，若，则，=++OH −→−OA −→−OB −→−OC −→−O △ABC OA=OB =OC =r ⋅=⋅+(+)⋅OH −→−BC −→−OA −→−BC −→−OB −→−OC −→−BC−→−=⋅=⋅(−)OA −→−BC −→−OA −→−AC −→−AB −→−=⋅−⋅OA −→−AC −→−OA −→−AB −→−=8r ⋅(−cos ∠OAC)−6r ⋅(−cos ∠OAB)=−8×4+6×3=−14A A B C D A A B +λ=(1,2)+λ(1,1)=(1+λ,2+λ)a ¯¯¯b ¯¯a →+λa→b→⋅(+λ)=1+λ+2(2+λ)=5+3λ>0a →a →b →λ>−53a →+λa →b →2+λ=2(1+λ)λ=0+λ=(1,2)a →b →a →+λa →b →0λ(−,0)∪(0,+∞)53B C ⋅=⋅a →c →b →c →⋅(−)=0c →a →b →→=→→→因为，则或与垂直，故错误；，若点为的重心，如图，延长交于，则为的中点，所以，所以，故正确．故选.10.【答案】A,C,D【考点】复数代数形式的乘除运算复数的运算复数的代数表示法及其几何意义复数代数形式的混合运算共轭复数【解析】无【解答】解：因为，所以，则，，则，，正确，错误．故选．11.【答案】A,C【考点】≠c →0→−=a →b →0→c →−a →b →C D G △ABC AG BC M M BC =2=2××(+)=+AG −→−GM −→−12GB −→−GC −→−GB −→−GC −→−++=GA −→−GB −→−GC −→−0→D AD z =2+=2+=2−i1−i 1+i (1−i)22=2+i z ¯¯¯==z ¯¯¯z 2+i 2−i 3+4i 5z =(2−i)(2+i)=4−=5z ¯¯¯i2A C D B ABD函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】先由已知求出函数的解析式，再根据选项一一验证答案的正确性．【解答】由已知可得函数＝）]＝），选项：因为（）＝＝，选项：当时，，则），所以错误，选项：当时，，由正弦函数的单调递减区间可得：正确，选项：令＝，解得＝，又，共两个根，12.【答案】A,B,C,D【考点】向量在几何中的应用向量的投影向量的共线定理向量加减混合运算及其几何意义向量的三角形法则【解析】对选项，由重心性质可判断正确；对选项，利用平面向量的加减法即可判断正确；对选项，首先根据已知得到为的平分线，即 ，再利用平面向量的投影概念即可判断正确．对选项，首先根据，，三点共线，设， ，再根据已知得到 从而得到 ，即可判断选项正确．【解答】g(x)g(x)sin[2(x−sin(8x−A g sin(3×1B x2x−sin(3x−B C x 3x−C D 2x−kπx x ∈[7,π]A A B B C AD ∠BAC AD ⊥BC C D A P D =t +(1−t)BP −→−BA −→−BD −→−0≤t ≤1 λ=t,μ=,1−t 2y =λμ=t ()=−+1−t 212(t −)12218D解：如图所示，对选项，由重心性质，，即 ，故正确；对选项，，故正确；对选项，，，分别表示平行于，，的单位向量，由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量．因为，所以为的平分线.又因为为的中线，所以，如图所示，在的投影为 ，所以是在上的投影向量，故正确．对选项，如图所示，因为在上， 即，，三点共线.设，.又因为 ，所以.因为 ，则 .令，A =(++)PO −→−13PA −→−PB −→−PC −→−++=3PA −→−PB −→−PC −→−PO −→−A B ++DA −→−EB −→−FC −→−=−(+)−(+)−(+)12AB −→−AC −→−12BA −→−BC −→−12CA −→−CB −→−=−−−−−−12AB −→−12AC −→−12BA −→−12BC −→−12CA −→−12CB −→−=−−+−++=12AB −→−12AC −→−12AB −→−12BC −→−12AC −→−12BC −→−0→B C AB −→−||AB −→−AC −→−||AC −→−AD −→−||AD −→−AB −→−AC −→−AD −→−+AB −→−||AB −→−AC −→−||AC −→−∠BAC +=AB −→−||AB −→−AC −→−||AC −→−3–√AD −→−||AD −→−AD ∠BAC AD BC AD ⊥BC BA −→−BC −→−||cos B =||×=||BA −→−BA −→−||BD −→−||BA −→−BD −→−BD −→−BA −→−BC −→−C D P AD A P D =t +(1−t)BP −→−BA −→−BD −→−0≤t ≤1=BD −→−12BC −→−=t +BP −→−BA −→−1−t 2BC −→−=λ+μBP −→−BA −→−BC −→− λ=t,μ=,1−t 20≤t ≤1y =λμ=t ×=−+1−t 212(t −)12218=11当时， 取得最大值为，故正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】复数的模复数代数形式的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为为纯虚数，则，，即，所以故答案为：.14.【答案】【考点】数量积表示两个向量的夹角数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】利用向量的坐标运算，通过向量垂直，然后求解，即可求解向量的夹角．【解答】向量，，．，，解得所以向量，，t =12λμ18D ABCD 10−−√=3−ai 1−2i (3−ai)(1+2i)5=3+2a +(6−a)i 53+2a =06−a ≠0a =−32|2a +i|=|−3+i|=.10−−√10−−√π4t =(−1,3)a =(1,t)b −2=(−3,3−2t)a b (−2)⊥a b a 3+3(3−2t)=0t =(2)=(−1,3)a =(1,2)b θ==–√则向量与的夹角为，．所以：向量与的夹角为：．15.【答案】【考点】解三角形正弦定理余弦定理【解析】【解答】解：由题知，在中， ，得，在中，，得，在中，，即 .故答案为：.16.【答案】【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用【解析】无【解答】解：由图可得，，，a b θcos θ==−1+6∗10−−√5–√2–√2a b π44505–√△ADC ∠ADC =150∘AD =DC =450=a △DCB =BD sin 135∘450sin 30∘BD =450=a 2–√2–√△ADB A =+2−2cos =5B 2a 2a 22–√a 2135∘a 2AB =a =4505–√5–√4505–√−174=−BC −→−AC −→−AB −→−=+=+AD −→−AB −→−14BC −→−34AB −→−14AC −→−∴⋅AD −→−BC−→−=(+)⋅(−)34AB −→−14AC −→−AC −→−AB −→−+⋅−22.，，，．故答案为： ．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：设，由题意得解得，．复数在复平面内对应的点在第二象限，．．．由题意得解得．【考点】复数的模复数代数形式的混合运算复数的代数表示法及其几何意义复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】解：设，由题意得解得，．复数在复平面内对应的点在第二象限，．．=+⋅−14AC −→−212AC −→−AB −→−34AB −→−2∵AB =3AC =2∠BAC =60∘∴⋅=×4+×2×3×−×9=−AD −→−BC −→−14121234174−174(1)z =a +bi(a,b ∈R){+=4，a 2b 22a =−2，a =−1b =±3–√∵z ∴b =3–√∴z =−1+i 3–√(2)z =−(1+2i)m −3(2+i)2m 21−i =(−m −6)+(−2m −3)i m 2m 2{−m −6=0，m 2−2m −3≠0，m 2m =−2(1)z =a +bi(a,b ∈R){+=4，a 2b 22a =−2，a =−1b =±3–√∵z ∴b =3–√∴z =−1+i 3–√(2)z =−(1+2i)m −3(2+i)2m 21−i =(−m −6)+(−2m −3)i22．由题意得解得．18.【答案】【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，由得，即解得.故答案为：.19.【答案】解：∵，，．∴，∴的最小正周期为，令，得，∴的单调递减区间为．当时，，1−i =(−m −6)+(−2m −3)i m 2m 2{−m −6=0，m 2−2m −3≠0，m 2m =−2112−=(3，x −4)a →b →(−)⊥a →b →b→(−)⋅=0a →b →b →−6+4(x−4)=0x =112112(1)=(2x,1)OA −→−cos 2=(1,sin 2x +a)OB −→−3–√f(x)=⋅OA −→−OB −→−f(x)=2x +sin 2x +a cos 23–√=cos 2x +sin 2x +a +13–√=2sin(2x +)+a +1π6f(x)=π2π22kπ+≤2x +≤2kπ+(k ∈Z)π2π63π2kπ+≤x ≤kπ+(k ∈Z)π62π3f(x)[kπ+,kπ+](k ∈Z)π62π3(2)x ∈[0,]π22x +∈[,]π6π67π6x +=7π∴，即时，有最小值为，故．【考点】三角函数中的恒等变换应用平面向量数量积的运算正弦函数的周期性正弦函数的单调性三角函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，，．∴，∴的最小正周期为，令，得，∴的单调递减区间为．当时，，∴，即时，有最小值为，故．20.【答案】解：根据函数的图象，可得函数的值域为．∵为正三角形，∴,∴,∴.2x +=π67π6x =π2f(x)a a=2(1)=(2x,1)OA −→−cos 2=(1,sin 2x +a)OB −→−3–√f(x)=⋅OA −→−OB −→−f(x)=2x +sin 2x +a cos 23–√=cos 2x +sin 2x +a +13–√=2sin(2x +)+a +1π6f(x)=π2π22kπ+≤2x +≤2kπ+(k ∈Z)π2π63π2kπ+≤x ≤kπ+(k ∈Z)π62π3f(x)[kπ+,kπ+](k∈Z)π62π3(2)x ∈[0,]π22x +∈[,]π6π67π62x +=π67π6x =π2f(x)a a=2(1)f(x)=2sin(ωx +)3–√π3f(x)[−2,2]3–√3–√△ABC BC ==4=T 23–√sin 60∘12T =8=2πωω=π4()=2sin(+)=8–√∵，∴．∵,∴,∴,∴，∴.【考点】诱导公式由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式同角三角函数基本关系的运用【解析】（1）由函数的解析式求得函数的值域．（3）由，求得．再利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得的值．【解答】解：根据函数的图象，可得函数的值域为．∵为正三角形，∴,∴,∴.∵，∴．∵,∴,∴,∴，(2)f()=2sin(+)=x 03–√π4x 0π383–√5sin(+)=π4x 0π345∈(−,)x 010323+∈(−,)π4x 0π3π2π2cos(+)>0π4x 0π3cos(+)==π4x 0π31−(+)sin 2π4x 0π3−−−−−−−−−−−−−−−√35f(+2)=2sin[(+2)+]x 03–√π4x 0π3=2cos(+)=2×=3–√π4x 0π33–√3563–√5f()=x 083–√5sin(+)=π4x 0π345f(+6)x 0(1)f(x)=2sin(ωx +)3–√π3f(x)[−2,2]3–√3–√△ABC BC ==4=T 23–√sin 60∘12T =8=2πωω=π4(2)f()=2sin(+)=x 03–√π4x 0π383–√5sin(+)=π4x 0π345∈(−,)x 010323+∈(−,)π4x 0π3π2π2cos(+)>0π4x 0π3cos(+)==π4x 0π31−(+)sin 2π4x 0π3−−−−−−−−−−−−−−−√35(+2)=2sin[(+2)+]ππ∴.21.【答案】解：∵，∴，∴，∴.∵，∴，∴，∴，∴.∵的面积，∴，∴.①∵，∴由余弦定理可得，∴.②∵，∴联立①②可得，．【考点】余弦定理三角函数的恒等变换及化简求值正弦定理【解析】Ⅰ由＝，利用余弦定理，可得，根据，即可求的大小；Ⅱ利用面积及余弦定理，可得、的两个方程，即可求得结论．【解答】解：∵，∴，f(+2)=2sin[(+2)+]x 03–√π4x 0π3=2cos(+)=2×=3–√π4x 0π33–√3563–√5(1)3(+)=b 2c 23+2bc a 2=+−b 2c 2a 22bc 13cos A =13sin A =22–√3sin B =cos C 2–√sin(A +C)=cos C 2–√cos C +sin C =cos C 22–√3132–√cos C =sin C 2–√313tan C =2–√(2)ABC S =2–√2bc sin A =122–√2bc =32a =24=+−2bc ×b 2c 213+=b 2c 25b >c b =32–√2c =2–√2()3(+)b 2c 23+2bc a 2cos A sin B =cos C 2–√tan C ()b c (1)3(+)=b 2c 23+2bc a 2=+−b 2c 2a 22bc 13A =1∴，∴.∵，∴，∴，∴，∴.∵的面积，∴，∴.①∵，∴由余弦定理可得，∴.②∵，∴联立①②可得，．22.【答案】解：，，则函数最小正周期为，已知对称中心为，解得，可得函数的对称中心为.已知，已知，则，cos A =13sin A =22–√3sin B =cos C 2–√sin(A +C)=cos C 2–√cos C +sin C =cos C 22–√3132–√cos C =sin C 2–√313tan C =2–√(2)ABC S =2–√2bc sin A =122–√2bc =32a =24=+−2bc ×b 2c 213+=b 2c 25b >c b =32–√2c =2–√2(1)f(x)=cos 2x +sin 2x cos −sin cos 2x π6π6=cos 2x +sin 2x −cos 2x 3–√212=sin 2x +cos 2x 3–√212=sin(2x +)π6T ===π2πω2π22x +=kπ,k ∈Z π6x =−kπ2π12(−,0)kπ2π12(2)f(A)=sin(2A +)=π6120<A <π2<2A +<π6π67π6A +=5π即，解得，已知，根据正弦定理可得，即 ，则，已知该三角形为锐角三角形，即.又，，则三角形面积的取值范围为.【考点】正弦定理三角函数的恒等变换及化简求值三角函数的周期性及其求法【解析】（1）对函数进行整理，进而进行求解即可.（2）根据题目所给信息求出角的度数，利用正弦定理求出，再根据三角形面积公式结合题目进行求解即可.【解答】解：，，则函数最小正周期为，已知对称中心为，解得，可得函数的对称中心为.已知，2A +=π65π6A =π3b =4=b sin Bc sin C c ===+24sin C sin B 4sin(+B)π3sin B 23–√tan B=bc sin A =(+2)=+2S △ABC 123–√23–√tan B 6tan B3–√B <π2π−(+B)∈(0，)π3π2∴B ∈(，)π6π2(2,8)3–√3–√A c (1)f(x)=cos 2x +sin 2x cos−sin cos 2x π6π6=cos 2x +sin 2x −cos 2x 3–√212=sin 2x +cos 2x 3–√212=sin(2x +)π6T ===π2πω2π22x +=kπ,k ∈Z π6x =−kπ2π12(−,0)kπ2π12(2)f(A)=sin(2A +)=π6122A +<7π已知，则，即，解得，已知，根据正弦定理可得，即 ，则，已知该三角形为锐角三角形，即.又，，则三角形面积的取值范围为.0<A <π2<2A +<π6π67π62A +=π65π6A =π3b =4=b sin B c sin C c ===+24sin C sin B 4sin(+B)π3sin B 23–√tan B =bc sin A =(+2)=+2S △ABC 123–√23–√tan B 6tan B 3–√B <π2π−(+B)∈(0，)π3π2∴B ∈(，)π6π2(2,8)3–√3–√。