模糊数学方法_数学建模ppt课件
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第十四章模糊数学方法建模在生产实践.科学实验以及日常生活中，人们经常会遇到模糊概念（或现象）。
例如，大与小.轻与重.快与慢.动与静.深与浅.美与丑等都包含着一定的模糊概念。
随着科学技术的发展，各学科领域对于这些模糊概念有关的实际问题往往都需要给出定量的分析，这就需要利用模糊数学这一工具来解决。
模糊数学是一个较新的现代应用数学学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。
统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定性的领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象。
在各科学领域中，所涉及的各种量总是可以分为确定性和不确定性两大类。
对于不确定性问题，又可分为随机不确定性和模糊不确定性两类。
模糊数学就是研究属于不确定性，而又具有模糊性的量的变化规律的一种数学方法。
本章对于实际中具有模糊性的问题，利用模糊数学的理论知识建立数学模型解决问题。
14. 1.1模糊集与隶属函数1.模糊集与隶属函数一般来说，我们对通常集合的概念并不陌生，如果将所讨论的对象限制在一定的范围内，并记所讨论的对象的全体构成的集合为则称之为论域（或称为全域、全集、空间、话题）。
如果U是论域,贝仏的所有子集组成的集合称之为〃的幕集，记作W）。
在此，总是假设问题的论域是非空的。
为了与模糊集相区别，在这里称通常的集合为普通集。
对于论域〃的每一个元素氏U和某一个子集AuU , 有X"或躍A,二者有且仅有一个成立。
于是，对于子集A定义映射心：U T{0,1}即小）七X：：[0, A,则称之为集合人的特征函数，集合A可以由特征函数唯一确定。
所谓论域"上的模糊集人是指：对于任意总以某个程度"A（以〔0,11）属于A ,而不能用氏人或兀e A描述。
若将普通集的特征函数的概念推广到模糊集上，即得到模糊集的隶属函数。
定义14.1设U是一个论域,如果给定了一个映射“人："一＞ [0,1 ] X I 心（x） W [ 0,1 ]则就确定了一个模糊集A ,其映射d称为模糊集人的隶属函数，“人称为*对模糊集人的隶属度。
模糊数学ppt课件
1 2
，则有rij'
பைடு நூலகம்[0,1]
。也可以
用平移—极差变换将其压缩到[0,1]上，从而得到模糊相似矩阵
R (rij )nm
（2）绝对值指数法. 令
m
rij exp{ xik x jk }(i, j 1, 2, , n) k 1
则 R (rij )nm
（3）海明距离法. 令
rij
1
d (xi , x j )
（6）主观评分法：设有N个专家组成专家组,让每一位专家对
所研究的对象 x i 与 x j 相似程度给出评价，并对自己的自信度
作出评估。如果第k位专家 Pk 关于对象 x i与 x j 的相似度评价
为 rij (k )，对自己的自信度评估为aij (k ) (i, j 1,2,, n)，则相关 系数定义为
)2
(i, j 1,2,, n)
其中E为使得所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
（5）切比雪夫距离法. 令
rij
d (xi ,
1 xj)
Q
d
m
k 1
( xi xik
,
x
j ), x jk
(i, j 1,2,, n)
其中Q为使所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
第三步. 聚类 所谓模糊聚类方法是根据模糊等价矩阵将所研究的对象进
行分类的方法。对于不同的置信水平 [0,1] ，可以得到不同 的分类结果，从而形成动态聚类图。 （一）传递闭包法
通常所建立的模糊矩阵R 只是一个模糊相似矩阵，即R 不 一定是模糊等价矩阵。为此，首先需要由R 来构造一个模糊等
模煳数学模型分析--讲义共PPT课件
模
• [0,1]上的隶属函数描述
经典数学和统计数学以经典集合论为理论基础，“非此即彼”=
统计数学把必然现象扩大到偶然； 模糊数学把清晰现象扩大到模糊。
=
模糊数学的创立及发展
Zadeh 扎德教授
– 1965年，《模糊集合论》
“隶属函数”
– “模糊数学”的诞生
基本思想
– 用属于程度代替属于或不属于 某个人属于秃子的程度为0.8, 另一个人属于 秃子的程度为0.3等.
➢模糊聚类分析—根据研究对象本身的属性构
造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度 来确定其分类关系
建
➢模糊层次分析法—两两比较指标的确定
➢模糊综合评判—综合评判就是对受到多个因
素制约的事物或对象作出一个总的评价，如 产品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种
模
植适应性的评价等，都属于综合评判问题。
由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊
建
• 术语来源
Fuzzy: 毛绒绒的，边界不清楚的
模
模糊，不分明，弗齐，弗晰，勿晰
=
=
用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：
1.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律 建
性靠经典数学去刻画（指在一定条件下一定会发生的现象）
2.随机现象：如掷硬币，观看那一面向上，这种现象的规律 模
模糊数学模型分析 建
模
= =
数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。这里的
实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象，也包
涵抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。这里
的描述不但包括外在形态，内在机制的描述，也包括预测， 建 试验和解释实际现象等内容。一句话概括的讲，用数学解
第八讲模煳数学简介-PPT精品.ppt
集合的运算规律 幂等律： A∪A = A， A∩A = A； 交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )， ( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； 吸收律： A∪( A∩B ) = A， A∩( A∪B ) = A； 分配律：( A∪B )∩C = ( A∩C )∪( B∩C ); ( A∩B )∪C = ( A∪C )∩( B∪C );
1965年, 美国加利福尼亚大学自动控制专 家L. A. Zadeh第一次提出了模糊性问题, 从不 同于经典数学的角度, 研究数学的基础集合论, 给出了模糊概念的定量表示方法, 发表了著名 的论文“模糊集合” (Fuzzy sets). 这篇论文 的问世, 标志着模糊数学的诞生.
随着研究的深入, 模糊数学的内容日益丰 富, 其思想与方法正在广泛地渗透到科学和技 术的很多领域, 取得了很多重要成果, 例如: 模 糊识别、模糊决策、模糊控制、预报预测等.
与y有关系,则y与x有关系,即若R(x, y) =1，则 R(y, x) = 1；
系矩阵. 布尔矩阵是元素只取0或1的矩阵. 关系的合成
设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关 系, 则R1与 R2的合成 R1 ○ R2是 X 到 Z 上的一 个关系.
(R1 ○ R2) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y }
关系合成的矩阵表示法
例 设 X ={1, 2, 3, 4}, Y ={ 2, 3, 4}, Z = {1,
2, 3}, R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是Y 到 Z 的关系,
R1 ={(x, y) | x + y = 6} = {(2,4), (3,3), (4,2)},
数学建模-模糊数学ppt课件
0.5 0.2
0 0..3 6,B0 0 0...5 3 1
0 0..4 2,则 0.6
AB0.5 0.3
0.6 0.3
B0.1 A0.3来自0.40.2 0.3 0.5
0.2 0.3 0.5
模糊集合及其运算
〔3〕模糊矩阵的转置 定义：设 A(aij)mn, 称 AT(aijT)mn为A的
转置矩阵，其中 aijT aji 。
模糊集合及其运算
2、指派方法 这是一种客观的方法，但也是用得最普遍的一种
方法。它是根据问题的性质套用现成的某些方式的模 糊分布，然后根据丈量数据确定分布中所含的参数。
3、其它方法 德尔菲法：专家评分法；
二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序， 由此决议隶属函数的大致外形。主要有以下方法： 相对比较法、择优比较法和对比平均法等。
制约着 A* 的运动。A* 可以覆盖 u0 , 也可以不覆盖 u0 , 致使 u 0 对A的隶属关系是不确定的。
模糊集合及其运算
特点：在各次实验中，u 0 是固定的，而 A* 在随机变动。 模糊统计实验过程：
〔1〕做n次实验，计算出 u0对 A的隶属 u0 频 A* n 的 率次数
〔2〕随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为 u 0 对A的隶属度： A(u0)ln i mu0A*n的次数
模糊集合及其运算二模糊集合及其运算美国控制论专家zadeh教授正视了经典集合描述的非此即彼的清晰现象提示了现实生活中的绝大多数概念并非都是非此即彼那么简单而概念的差异常以中介过渡的形式出现表现为亦此亦彼的模糊现象
Part2: 模糊数学
一 模糊集合及其运算 二 模糊聚类分析 三 模糊综合评判 四 模糊线性规划
A:U{0,1} uA(u),
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相同 • 传递性：如果a和b的关系隶属度大于等于ⅰ，b和
c的关系隶属度大于等于ⅰ，那么a 和c的关系隶属度也大于等于ⅰ
传递性的判断
模糊数学应用
• 模糊聚类 • 模糊综合评判 • 模糊预测 • 模糊层次分析法 • 模糊推理 • 模糊控制 • 模糊约束
模糊聚类
模糊聚类
模糊综合评判
模糊预测
• 元素指标评价向量的距离或相似度
模糊关系
• 定义5 从集合A到集合B的一个模糊关系是指AXB 的一个模糊子集. 特别地
• 定义6 AXA的一个模糊子集称为A上的一个二元模 糊关系.
模糊关系的运算
模糊关系的运算
模糊关系的截集
• 模糊关系的a截集为一个经典关系. • 将模糊关系当成模糊子集来理解，其截集定义可
由模糊子集的定义来刻画. • 通过矩阵理解，a截集表示将矩阵中元素大于等于
n
模糊集合的相似度
• 用1减去相对距离，则可以得到相似度的概念. • 相似度，也可以理解为贴近度.有多种理论模型.
【0，1】区间上的算子
• [0,1]区间上的一个二元运算称为算子. • 这里的二元运算是广义的二元运算.例如常规乘法
运算，取大，取小，加法运算与1的取小复合： Min（a+b，1）. • 重要的有两类：三角模，像乘法运算，取小运算； • 三角余模：像取大， Min（a+b，1）等. • 同学们可以查其它的算子
a的数变为1，其余的变为0.
模糊关系的合成
• 一个从X到Y的模糊关系R和一个从Y到Z的关系Q 合成为一个从X到Z的模糊关系Q.R，合成规则为 将常规矩阵乘法运算中的加法用取大，乘法用取 小代替.
论域X上的模糊关系的三大性质
• 自反性：自身和自身的关系隶属度为1 • 对称性： a和b的关系隶属度与b 和a的关系隶属度
c的关系隶属度大于等于ⅰ，那么a 和c的关系隶属度也大于等于ⅰ
传递性的判断
模糊数学应用
• 模糊聚类 • 模糊综合评判 • 模糊预测 • 模糊层次分析法 • 模糊推理 • 模糊控制 • 模糊约束
模糊聚类
模糊聚类
模糊综合评判
模糊预测
• 元素指标评价向量的距离或相似度
模糊关系
• 定义5 从集合A到集合B的一个模糊关系是指AXB 的一个模糊子集. 特别地
• 定义6 AXA的一个模糊子集称为A上的一个二元模 糊关系.
模糊关系的运算
模糊关系的运算
模糊关系的截集
• 模糊关系的a截集为一个经典关系. • 将模糊关系当成模糊子集来理解，其截集定义可
由模糊子集的定义来刻画. • 通过矩阵理解，a截集表示将矩阵中元素大于等于
n
模糊集合的相似度
• 用1减去相对距离，则可以得到相似度的概念. • 相似度，也可以理解为贴近度.有多种理论模型.
【0，1】区间上的算子
• [0,1]区间上的一个二元运算称为算子. • 这里的二元运算是广义的二元运算.例如常规乘法
运算，取大，取小，加法运算与1的取小复合： Min（a+b，1）. • 重要的有两类：三角模，像乘法运算，取小运算； • 三角余模：像取大， Min（a+b，1）等. • 同学们可以查其它的算子
a的数变为1，其余的变为0.
模糊关系的合成
• 一个从X到Y的模糊关系R和一个从Y到Z的关系Q 合成为一个从X到Z的模糊关系Q.R，合成规则为 将常规矩阵乘法运算中的加法用取大，乘法用取 小代替.
论域X上的模糊关系的三大性质
• 自反性：自身和自身的关系隶属度为1 • 对称性： a和b的关系隶属度与b 和a的关系隶属度
模糊数学方法2PPT课件
图2.6 重叠指数定义
14
2. 确定隶属函数的方法 ① 模糊统计法
对论域U上的一个确定元素u0，考虑n个有 模糊集合A属性的普通集合A*以及元素u0对 A*的归属次数。u0对A*的归属次数和n的比 值就是元素u0对模糊集合A的隶属度：
A(u0)ln i mu0A*n的次数（2.4）
15
② 专家经验法：有专家的实际经验给出模糊信息的 处理算式或相应权系数来确定函数的方法。
模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法。是 把模糊的问题化为确定性问题的基础，是数据处理常用 的方法。
模糊数学应用广泛 农业，林业，气象，环境，地 质勘探，医学，经济管理等
4
从精确到模糊
精确
答案确定：要么是，要么不是 f : A → {0,1} 他是学生？他不是学生？
模糊
答案不定：也许是，也许不是，也许介于之间 μA : U → [0,1] 他是成年人？他不是成年人？他大概是成年人？
1
“年轻”（u）＝
1u52521
0u25 25u120
1
“年老”（u）＝
1u52521
0u50 50u120
9
一、模糊集合论的基础知识
隶属函数图
10
模糊集合的隶属函数
1. 确定隶属函数的原则 隶属函数的确定应遵守一些基本原则。 ① 表示隶属函数的模糊集合必须是凸模糊集合 通常，某一模糊概念的隶属函数的确定应首先从
常见隶属函数有以下类型：
偏小型
中间型
偏大型
1.矩形型
Ax
1 0
xa xa
Ax
Ax10
xa或xb axb
Ax
A
x
0 1
xa xa
模糊数学方法_数学建模ppt课件
；
eA,B n AxiBxi2
i1
• 相对欧几里得距离：
A,B 1 eA,B
n
-
12
模糊集合的相似度
• 用1减去相对距离，则可以得到相似度的概念. • 相似度，也可以理解为贴近度.有多种理论模型.
-
13
【0，1】区间上的算子
• [0,1]区间上的一个二元运算称为算子. • 这里的二元运算是广义的二元运算.例如常规乘法
• 设以人的岁数作为论域U＝[0,120]，单位是“岁”， 那么“年轻”，“年老”，都是U上的模糊子集。 隶属函数如下：
• “年轻”（u）＝ 1
1u52521
0u25 25u120
• “年老”（u）＝ 1 1u52521
0u50 50u120
-
8
模糊集合与经典集合的联系
• 一就般叫λ地截，集用或Aλλ表 水示平集. Ax的x的集合，这个集合
• 支撑集，即所有λ>0的λ截集的并集 .
-
9
模糊集合的一个实际例子
• 假定有甲乙两个顾客商 场买衣服，他们主要考
虑三个因素：
• 花色式样（x1）； • 耐穿程度（x2）； • 价格（x3）；
顾客甲 确定的 隶属度
顾客乙 确定的 隶属度
花色 式样 x1 0.8
0.6
耐穿 程度 x2 0.4
0.6
价格 x3 0.7
模糊数学方法
理学院 韩邦合
-
1
模糊数学：程度化 思想解决模糊概念
• 一个人有了10万根头发，当然不能算秃头。不是秃头的人， 掉了一根头发，仍然不是秃头。按照这个道理，让一个不 是秃头的人一根一根地减少头发，就得出一条结论：没有 一根头发的光头也不是秃头！
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模糊数学方法
理学院 韩邦合
模糊数学：程度化 思想解决模糊概念
• 一个人有了10万根头发，当然不能算秃头。不是秃头的人， 掉了一根头发，仍然不是秃头。按照这个道理，让一个不 是秃头的人一根一根地减少头发，就得出一条结论：没有 一根头发的光头也不是秃头！
• 降水概率 • 百分制 • 150分制 • 高考排名 • 火险等级
a1
a2
n
A
A ai
1
ai
A ai
ai
A an
an
• 注意是表示方法，不是 真正的加法
模糊集合的表示
•例
E x1, x2, x3, x4
0.5 0.3 0.4 0.2 A
x1 x2 x3 x4 B 0.2 0 0.6 1
x1 x2 x3 x4
模糊集合的表示
• 设以人的岁数作为论域U＝[0,120]，单位是“岁”， 那么“年轻”，“年老”，都是U上的模糊子集。 隶属函数如下：
模糊关系
• 定义5 从集合A到集合B的一个模糊关系是指AXB 的一个模糊子集. 特别地
• 定义6 AXA的一个模糊子集称为A上的一个二元模 糊关系.
模糊关系的运算
模糊关系的运算
模糊关系的截集
• 模糊关系的a截集为一个经典关系. • 将模糊关系当成模糊子集来理解，其截集定义可
由模糊子集的定义来刻画. • 通过矩阵理解，a截集表示将矩阵中元素大于等于
i 1
• 相对欧几里得距离：
A, B 1 e A, B
n
模糊集合的相似度
• 用1减去相对距离，则可以得到相似度的概念. • 相似度，也可以理解为贴近度.有多种理论模型.
【0，1】区间上的算子
• [0,1]区间上的一个二元运算称为算子. • 这里的二元运算是广义的二元运算.例如常规乘法
运算，取大，取小，加法运算与1的取小复合： Min（a+b，1）. • 重要的有两类：三角模，像乘法运算，取小运算； • 三角余模：像取大， Min（a+b，1）等. • 同学们可以查其它的算子
明距B离定义如下：
• 绝对汉明距离：
n
；
d A, B A xi B xi
i 1
• 相对汉明距离： A, B 1 d A, B
n
，其A 汉
模糊集合之间的距离
• 定义4 在有限论域X上有两个模糊子集和 ，其欧A 几里B得距离定义如下：
• 绝对欧几里得距离：
；
e A, B n A xi B xi 2
相同 • 传递性：如果a和b的关系隶属度大于等于ⅰ，b和
c的关系隶属度大于等于ⅰ，那么a 和c的关系隶属度也
• 模糊聚类 • 模糊综合评判 • 模糊预测 • 模糊层次分析法 • 模糊推理 • 模糊控制 • 模糊约束
模糊聚类
模糊聚类
模糊综合评判
模糊预测
• 元素指标评价向量的距离或相似度
模糊集合的一个实际例子
• 假定有甲乙两个顾客商 场买衣服，他们主要考 虑三个因素：
• 花色式样（x1）； • 耐穿程度（x2）； • 价格（x3）；
顾客甲 确定的 隶属度
顾客乙 确定的 隶属度
花色 式样 x1 0.8
0.6
耐穿 程度 x2 0.4
0.6
价格 x3 0.7
0.5
模糊集合之间的距离
• 定义3 在有限论域X上有两个模糊子集和
模糊集合论的基础知识
• 定义1 从论域U到集合｛0,1｝的任意一 个映射f称为U的一个子集，映射f称为该 子集的特征函数.
• 定义2 从论域U到闭区间【0,1】的任意
一个映射 称为U的一个模糊子集，映 射 称为该模糊子集的隶属度函数.
模糊集合基本运算：点式运算
A A x 0
A U A x 1
• “年轻”（u）＝ 1
1
u
25 5
2
1
0 u 25 25 u 120
• “年老”（u）＝ 1
1
u
25 5
2
1
0 u 50 50 u 120
模糊集合与经典集合的联系
• 一般地，用Aλ表示 就叫λ截集或λ水平集.
A x的 x的集合，这个集合
• 支撑集，即所有λ>0的λ截集的并集 .
A B A x B x A B A x B x A A x 1 A x A B C C x max A x, B x A B D D x min A x, B x
模糊集合的表示
• 假设给定有限论域 U={a1,a2,…,an },它的模 糊子集表示为：
A A a1 A a2
a的数变为1，其余的变为0.
模糊关系的合成
• 一个从X到Y的模糊关系R和一个从Y到Z的关系Q 合成为一个从X到Z的模糊关系Q.R，合成规则为 将常规矩阵乘法运算中的加法用取大，乘法用取 小代替.
论域X上的模糊关系的三大性质
• 自反性：自身和自身的关系隶属度为1 • 对称性： a和b的关系隶属度与b 和a的关系隶属度
模糊层次分析法FAHP
模糊层次分析法FAHP
模糊推理
模糊推理
大家辛苦了
理学院 韩邦合
模糊数学：程度化 思想解决模糊概念
• 一个人有了10万根头发，当然不能算秃头。不是秃头的人， 掉了一根头发，仍然不是秃头。按照这个道理，让一个不 是秃头的人一根一根地减少头发，就得出一条结论：没有 一根头发的光头也不是秃头！
• 降水概率 • 百分制 • 150分制 • 高考排名 • 火险等级
a1
a2
n
A
A ai
1
ai
A ai
ai
A an
an
• 注意是表示方法，不是 真正的加法
模糊集合的表示
•例
E x1, x2, x3, x4
0.5 0.3 0.4 0.2 A
x1 x2 x3 x4 B 0.2 0 0.6 1
x1 x2 x3 x4
模糊集合的表示
• 设以人的岁数作为论域U＝[0,120]，单位是“岁”， 那么“年轻”，“年老”，都是U上的模糊子集。 隶属函数如下：
模糊关系
• 定义5 从集合A到集合B的一个模糊关系是指AXB 的一个模糊子集. 特别地
• 定义6 AXA的一个模糊子集称为A上的一个二元模 糊关系.
模糊关系的运算
模糊关系的运算
模糊关系的截集
• 模糊关系的a截集为一个经典关系. • 将模糊关系当成模糊子集来理解，其截集定义可
由模糊子集的定义来刻画. • 通过矩阵理解，a截集表示将矩阵中元素大于等于
i 1
• 相对欧几里得距离：
A, B 1 e A, B
n
模糊集合的相似度
• 用1减去相对距离，则可以得到相似度的概念. • 相似度，也可以理解为贴近度.有多种理论模型.
【0，1】区间上的算子
• [0,1]区间上的一个二元运算称为算子. • 这里的二元运算是广义的二元运算.例如常规乘法
运算，取大，取小，加法运算与1的取小复合： Min（a+b，1）. • 重要的有两类：三角模，像乘法运算，取小运算； • 三角余模：像取大， Min（a+b，1）等. • 同学们可以查其它的算子
明距B离定义如下：
• 绝对汉明距离：
n
；
d A, B A xi B xi
i 1
• 相对汉明距离： A, B 1 d A, B
n
，其A 汉
模糊集合之间的距离
• 定义4 在有限论域X上有两个模糊子集和 ，其欧A 几里B得距离定义如下：
• 绝对欧几里得距离：
；
e A, B n A xi B xi 2
相同 • 传递性：如果a和b的关系隶属度大于等于ⅰ，b和
c的关系隶属度大于等于ⅰ，那么a 和c的关系隶属度也
• 模糊聚类 • 模糊综合评判 • 模糊预测 • 模糊层次分析法 • 模糊推理 • 模糊控制 • 模糊约束
模糊聚类
模糊聚类
模糊综合评判
模糊预测
• 元素指标评价向量的距离或相似度
模糊集合的一个实际例子
• 假定有甲乙两个顾客商 场买衣服，他们主要考 虑三个因素：
• 花色式样（x1）； • 耐穿程度（x2）； • 价格（x3）；
顾客甲 确定的 隶属度
顾客乙 确定的 隶属度
花色 式样 x1 0.8
0.6
耐穿 程度 x2 0.4
0.6
价格 x3 0.7
0.5
模糊集合之间的距离
• 定义3 在有限论域X上有两个模糊子集和
模糊集合论的基础知识
• 定义1 从论域U到集合｛0,1｝的任意一 个映射f称为U的一个子集，映射f称为该 子集的特征函数.
• 定义2 从论域U到闭区间【0,1】的任意
一个映射 称为U的一个模糊子集，映 射 称为该模糊子集的隶属度函数.
模糊集合基本运算：点式运算
A A x 0
A U A x 1
• “年轻”（u）＝ 1
1
u
25 5
2
1
0 u 25 25 u 120
• “年老”（u）＝ 1
1
u
25 5
2
1
0 u 50 50 u 120
模糊集合与经典集合的联系
• 一般地，用Aλ表示 就叫λ截集或λ水平集.
A x的 x的集合，这个集合
• 支撑集，即所有λ>0的λ截集的并集 .
A B A x B x A B A x B x A A x 1 A x A B C C x max A x, B x A B D D x min A x, B x
模糊集合的表示
• 假设给定有限论域 U={a1,a2,…,an },它的模 糊子集表示为：
A A a1 A a2
a的数变为1，其余的变为0.
模糊关系的合成
• 一个从X到Y的模糊关系R和一个从Y到Z的关系Q 合成为一个从X到Z的模糊关系Q.R，合成规则为 将常规矩阵乘法运算中的加法用取大，乘法用取 小代替.
论域X上的模糊关系的三大性质
• 自反性：自身和自身的关系隶属度为1 • 对称性： a和b的关系隶属度与b 和a的关系隶属度
模糊层次分析法FAHP
模糊层次分析法FAHP
模糊推理
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