基本不等式知识点归纳

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基本不等式知识点归纳

1.基本不等式2

b

a a

b +≤

(1)基本不等式成立的条件:.0,0>>b a (2)等号成立的条件:当且仅当b a =时取等号. [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义?

提示:①当b a =时,ab b a ≥+2取等号,即.2

ab b

a b a =+⇒= ②仅当b a =时,

ab b a ≥+2取等号,即.2

b a ab b a =⇒=+ 2.几个重要的不等式

).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a

a b R b a ab b a

),(2

)2();,()2(2

222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤

3.算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2

b

a +,几何平均数为a

b ,基本不等式可叙述为:两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数.

4.利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则

(1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时,y x +有最小值是.2p (简记:积定和最小).

(2)如果和y x +是定值,p ,那么当且仅当y x =时,xy 有最大值是.4

2

p (简记:和定积最大).

[探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时,等号取不到时,如何处理? 提示:当等号取不到时,可利用函数的单调性等知识来求解.例如,x

x y 1

+=在2≥x 时的最小值,利用单调性,易知2=x 时.2

5min =

y

[自测·牛刀小试]

1.已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( )

"

A .18

B .36

C .81

D .243

解析:选A 因为m >0,n >0,所以m +n ≥2mn =281=18.

2.若函数)2(2

1

)(>-+

=x x x x f 在a x =处取最小值,则=a ( ) A .1+ 2 B .1+ 3 C .3 D .4 3.已知,02,0,0,0=+->>>z y x z y x 则

2

y xz

的( ) A .最小值为8 B .最大值为8 C .最小值为18 D .最大值为1

8

4.函数x

x y 1

+

=的值域为 ____________________. 5.在平面直角坐标系xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数x

x f 2

)(=的图象交于P 、Q 两点,则线段PQ 长的最小值是________.

利用基本不等式证明不等式

|

[例1] 已知,0,0>>b a ,1=+b a 求证:.9)11)(11(≥++b

a

保持例题条件不变,证明:

a +12

b +12

≤2.

>

———————————————————

利用基本不等式证明不等式的方法技巧

]

利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用

基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项、并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等.

1.已知,0,0,0>>>c b a 求证:

.c b a c

ab b ca a bc ++≥++

利用基本不等式求最值

[例2] (1)(2012·浙江高考)若,0,0>>y x 满足,53xy y x =+则y x 43+的最小值是( )

A.

245 B.28

5

C .5

D .6

(2)已知,0,0>>b a ,12

2

2

=+b a 则21b a +的最大值为________. —————

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应用基本不等式求最值的条件

利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:

(1)一正二定三相等.“一正”就是各项必须为正数;

(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;

~

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.

1.(1)函数)1,0(1≠>=-a a a

y x

的图象过定点,A 若点A 在直线)0,(01>=-+n m ny mx 上,求

n

m 1

1+的最小值;

(2)若正数b a ,满足,3++=b a ab 求ab 的取值范围.

`

利用基本不等式解决实际问题

[例3] 为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在2014年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用)0(≥t t 万元满足1

24+-

=t k

x (k 为常数).如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是1万件.已知2014年生产该产品的固定投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分).

(1)将该厂家2014年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数; %

(2)该厂家2014年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?

!

—————

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解实际应用题时应注意的问题

(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数;

(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需再利用基本不等式求得函数的最值;

3在求函数的最值时,一定要在定义域使实际问题有意义的自变量的取值范围内求. 4

有些实际问题中,要求最值的量需要用几个变量表示,同时这几个变量满足某个关系式,这时问题就变

成了一个条件最值,可用求条件最值的方法求最值.

3.某种商品原来每件售价为25元,年销售量8万件.

(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品

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