高三数学期初考试试题文
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高三数学文科数学期初考试题一、选择题：（5*12）.1.已知集合{}{}22|lg(8)1,|,A x Z x x B x x t t A =∈-+≤==∈，A B ⋂=（ ）A ．∅B ．{}0,1C ．{}0,1,4D ．{}1,0,1,4-2.若复数32(1)i z i =+，则z 的模的为（ ）A ．22 B ．2 C ．22 D ．523.若a R ∈，则“1a <-”是“1a >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.如果直线//m 平面α，直线n ⊂平面α，则下列说法正确的为（ ）A ．有且只有一个平面β，使得m β⊥，且n β⊂B ．有无数个平面β，使得m β⊥，且n β⊂C ．不存在平面β，使得m β⊥，且n β⊂D ．至多有一个平面β，使得m β⊥，且n β⊂6.已知单位向量使得12,e e 的夹角为120°，点使得(2,0),(0,3)A B -，若12AB e ke =+，则k 的值为（）A ．3或4B ．3或-4C ．-3或4D ．-3或-47.若tan 2ϑ=，则22sin sin()2sin cos 2cos πϑϑϑϑϑ-++的值为（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．-28.已知,x y 满足不等式组21025010x y x y x y -+≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩，则123x z x y +=+-的取值范围为（ ）A ．(][),1,3,-∞-⋃+∞B ．11,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)11,00,7⎛⎤-⋃ ⎥⎝⎦D ．(][),17,-∞-⋃+∞ 9.已知变量()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的最小值为-2，最小正周期为π，(0)1f =，则()f x 在区间[]0,π上的单调递增区间为（ ）A ．0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.已知三棱锥S ABC -的四个顶点均落在球O 的表面上，且SA ⊥平面ABC ，090ABC ∠=，112SA BC AB ===，则球O 的体积与表面积的比值为（ ）A 11.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>及点(0,)B a ，过B 与椭圆相切的直线交x 轴的负半轴于点,A F 为椭圆的右焦点，则ABF ∠=（ ）A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°12.已知定义域为R 的函数()f x 满足：对任意的x R ∈，有(2)2()f x f x +=，且当[]1,1x ∈-时，()f x =ln (0)()(0)x x x g x e x >⎧=⎨≤⎩，则函数()()y f x g x =-在区间[]3,3-上的零点个数是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5二、填空题：（5分*4）13.从2名女生，4名男生中选2人参加某项活动，则抽到的2人恰好男生、女生都有的概率是________．14.将函数222cos y x x =-图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移8π个单位长度，则所得函数的最小正周期T 是________．15.若焦距为2的双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>上存在到y 轴、x 轴的距离之比为2的点P ，则双曲线实轴长的取值范围为________．16.已知正项等比数列{}n a 中，152434,64a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和n S =________．三、解答题 ：17.（12分）已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且2cos 2a A b =．（1）求角C 的大小；（2）若b =，ABC ∆2A ，求,a c 的值．18.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1111,42,2n n n n n a S a b a a ++==+=-．（1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n nb 的前n 项和n T ．19.（12分）在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//,AB CD PD AD =，E 是PB 的中点，F 是CD 上一点，且12DF AB =，PH 为PAD ∆中AD 边上的高． （1）求证：EF ⊥平面PAB ；（2）若1,1PH AD FC ===，求三棱锥E BCF -的体积．20.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，且AB =2． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆E 相交于,C D 两个不同的点，且坐标原点O 到直线l 求证：0OC OD =g ．21.（12分） 已知函数1()ln ,f x x a x a R x=--∈．（1）若(20f '=，求函数()f x 的极大值点；（2）若当1x ≥时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．22.（10分，从22或23中选 做一题）已知直线cos :sin x t m l y t =∂+⎧⎨=∂⎩（t 为参数）恒过椭圆5cos :3sin x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）在右焦点F ．（1）求m 的值；（2）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，求FA FB g 的最大值与最小值．23.已知函数()2123f x x x =++-．（1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x a <-的解集非空，求实数a 的取值范围．。
2024-2025学年黑龙江省伊春一中高三(上)期初数学试卷(含答案)
2024-2025学年黑龙江省伊春一中高三（上）期初数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合M ={−1,2,3}，N ={−1,0,2,5}，则M ∪N =( )A. {−1,2}B. {−1,2,3}C. {−1,0,2,5}D. {−1,0,2,3,5}2.若tan3α=−12，则tan (π−3α)=( )A. −12B. −112C. 12D. 1123.函数f(x)=(4x−5)e 2x 的极值点为( )A. 14 B. 34C. 12D. 544.已知a =12+ 3,b=26+2,c =a 2，则( )A. c >a >bB. b >c >aC. c >b >aD. b >a >c5.已知f(x)为幂函数，m 为常数，且m >1，则函数g(x)=f(x)+m x 2−1的图象经过的定点坐标为( )A. (1,1)B. (1,2)C. (−1,1)D. (−1,2)6.“sinα=34”是“sin α2−cos α2=12”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.如图1，现有一个底面直径为10cm 高为25cm 的圆锥容器，以2cm 3/s 的速度向该容器内注入溶液，随着时间t(单位：s)的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当t =π时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为( )A.33006πcm/s B.33005πcm/s C.31503πcm/s D.31502πcm/s 8.已知函数f(x)满足：对任意实数x ，y ，都有f(f(x +y))=f(x)+f(y)成立，且f(0)=1.给出下列四个结论：①f(1)=0；②f(x +1)的图象关于点(−1,1)对称；③若f(2024)>1，则f(−2024)<1；④∀x ∈R ，f(x)+f(−x)=f(−1).其中所有正确结论的序号是( )A. ①③B. ③④C. ②③D. ②④二、多选题：本题共3小题，共15分。
2024届厦门双十中学高三数学上学期期初考试卷附答案解析
2024届厦门双十中学高三数学上学期期初考试卷2023.9（试卷满分150分，考试时间120分钟）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．全集U =R ，能表示集合{}2,1,0A =--和{}2|20B x x x =--≤关系的Venn 图是（）A ．B ．C ．D ．2．不等式2210ax x -+>（R a ∈）恒成立的一个充分不必要条件是（）A ．a ≥1B ．a ＞1C ．102a ＜＜D ．a ＞23．已知825,log 3ab ==，则34a b -=（）A ．25B ．5C ．259D ．534．设()()322f x x a x x =---+是定义在[]2,3b b +上的奇函数，则()f a b +=（）A ．-1B ．0C ．1D ．-25．已知函数()1,2,x x x a f x x a +≤⎧=⎨>⎩，若()f x 的值域为R ,则实数a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．[0,1]C ．[0,)+∞D ．(,1]-∞6．在三棱锥P -ABC 中，点O 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为侧棱PA ，PB ，PC 的中点，若a AF =，b CE = ，c BD = ，则OP =（）A ．111333a b c++B ．111333a b c---C ．212333a b c---D ．222333a b c++7．已知函数()()22,f x x g x x =-+=，令()()()()()()(),=,<f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪⎨⎪⎩，则不等式()74h x >的解集是（）A ．1<2x x -⎧⎨⎩或17<<24x ⎫⎬⎭B ．{<1x x -或71<<4x ⎫⎬⎭C ．11<<22x x -⎧⎨⎩或7>4x ⎫⎬⎭D ．{1<<1x x -或7>4x ⎫⎬⎭8．已知半径为4的球O ，被两个平面截得圆12O O ､，记两圆的公共弦为AB ，且122O O =，若二面角12O AB O --的大小为2π3，则四面体12ABOO 的体积的最大值为（）A ．83B ．429C ．829D ．439二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．设m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论中正确的是（）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若m α⊥，n α⊥，则//m nC ．若//m α，m β⊂，则//αβD ．若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥10．已知实数a ，b ，则下面说法正确的是（）A ．若a b >，则33a ab b>B ．若a ，b 均大于0且ln ln b a a b =，则a b >C ．若0a >，0b >，2a b +=，则221111a b +++最大值为212+D ．若221a b +=，则ab 的取值范围为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11．已知函数()(),f x g x 的定义域为()()()()()()(),21,21,4f x f x g x g x g x f x f x +=++=-+R 为奇函数，则（）A ．函数()f x 的图象关于()4,0对称B ．函数()f x 是周期函数C ．()()2100f x f x -++=D ．20231()0k f k ==∑12．如图，棱长为2的正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱AD ，BC 的中点，O 为线段MN 的中点，球O 的表面正好经过点M ，则下列结论中正确的是（）A ．AO ⊥平面BCDB ．球O 的体积为2π3C ．球O 被平面BCD 截得的截面面积为4π3D ．过点O 与直线AB ，CD 所成角均为π3的直线可作4条三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．圆台的底半径为1和2，母线长为3，则此圆台的体积为．14．正实数,x y 满足142x y +=，且不等式24y x m m +≥-恒成立，则实数m 的取值范围为.15．已知函数()221ax bxf x x +=+在其定义域内为偶函数，且()112f =，则()()()111122022202220212f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.16．在OAB 中，2,120OA AB OAB ∠=== ，若空间点P 满足13PAB OAB S S = ，则OP 的最小值为；直线OP 与平面OAB 所成角的正切的最大值是.四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分,BAC ABD ∠ 面积是ADC △面积的3倍.(1)求sin sin BC；(2)若21,2AD DC ==，求BD 和AC 的长.18．如图，圆台上底面圆1O 半径为1，下底面圆2O 半径为2,AB 为圆台下底面的一条直径，圆2O 上点C 满足1,AC BC PO =是圆台上底面的一条半径，点,P C 在平面1ABO 的同侧，且1//PO BC .(1)证明：平面PAC ⊥平面ABC ；(2)若圆台的高为2，求直线1AO 与平面PBC 所成角的正弦值.19．设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n nn nb a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．(1)若2133333,21a a a S T =++=，求{}n a 的通项公式；(2)若{}n b 为等差数列，且999999S T -=，求d ．20．教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．(1)求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；(2)求第一次抽取到无支教经验的教师人数X 的分布列；(3)求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左焦点为F ，离心率为12，以坐标原点O 为圆心，OF 为半径作圆使之与直线20x y -+=相切.(1)求C 的方程；(2)设点()4,0,,P A B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，PB 交C 于另一点E ，求AEF △的内切圆半径的范围.22．已知函数()2ln 1,R f x x ax x a a =-++∈，()f x '为()f x 的导函数.(1)讨论()f x '的极值；(2)若存在[2,e]t ∈，使得不等式()0<f t 成立，求a 的取值范围.1．D【分析】化简集合B ，根据两集合的关系，即可得出答案.【详解】由已知，可得{}{}212||20B x x x x x =---≤=≤≤，所以{}1,0A B ⋂=-，根据选项的Venn 图可知选项D 符合.故选：D.2．D【分析】先求得不等式2210ax x -+>（R a ∈）恒成立的充要条件，再找其充分不必要条件.【详解】不等式2210ax x -+>（R a ∈）恒成立，显然0a =不成立，故应满足0Δ440a a >⎧⎨=-<⎩，解得1a >，所以不等式2210ax x -+>（R a ∈）恒成立的充要条件是1a >，A 、C 选项不能推出1a >，B 选项是它的充要条件，2a >可以推出1a >，但反之不成立，故2a >是1a >的充分不必要条件.故选：D 3．C【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．【详解】因为25a=，821log 3log 33b ==，即323b =，所以()()22323232452544392a aa bbb -====．故选：C.4．B【分析】由奇函数的性质可求出,a b 的值，即可求出()f a b +.【详解】因为()()322f x x a x x =---+是定义在[]2,3b b +上的奇函数，所以20230a b b -=⎧⎨++=⎩，解得：21a b =⎧⎨=-⎩，所以()3f x x x =-+，则1a b +=，则()()1110f a b f +==-+=.故选：B.5．B【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数a 的取值进行分类讨论即可.【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数1y x =+和()2x g x =的图象如下图所示：由图可知，当0x =或1x =时，两图象相交，若()f x 的值域是R ，以实数a 为分界点，可进行如下分类讨论：当0a <时，显然两图象之间不连续，即值域不为R ；同理当1a >,值域也不是R ；当01a ≤≤时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是R ；综上可知，实数a 的取值范围是01a ≤≤.故选：B 6．D【分析】根据空间向量的线性运算，结合重心的性质即可求解.【详解】取BC 中点为M ，1,21,212PF PA PC PA CE PE PC PB PC BD PD PB P a AF c A PBb ===-=-=-=-=-=-=三个式子相加可得()()122a b c PA PB PC PA PB PC a b c +=++⇒++=-++-+,又()()22113323OP AP AO PA AM PA AB AC PA PB PA PC PA=-==⨯+=-+- ------()()()111112333333PA PB PA PC PA PA PB PC PA PB PC a b c =-+----=++=+--=-+,故选：D7．C【分析】由()()()()()()(),=,<f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪⎨⎪⎩可知，()h x 的图像是()f x 与()g x 在同个区间函数值大的那部分图像，由此作出()h x 的图像，结合图像，即可求得()74h x >的解集.【详解】由()()()()()()(),=,<f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧⎪⎨⎪⎩可知，()h x 的图像是()f x 与()g x 在同个区间函数值大的那部分图像，由此作出()h x 的图像，联立2=+2=y x y x -⎧⎨⎩，解得=2=2x y --⎧⎨⎩或=1=1x y ⎧⎨⎩，故12x =-，21x =，所以()2,2=+2,2<<1,>1x x h x x x x x ≤---⎧⎪⎨⎪⎩，又由()74h x >可知，其解集为()h x 的函数值比74大的那部图像的所在区间，结合图像易得，()74h x >的解集为{34<<x x x x 或}5>x x 联立2=+27=4y x y -⎧⎪⎨⎪⎩，解得1=27=4x y -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩或1=27=4x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，故312x =-，412x =，联立=7=4y x y ⎧⎪⎨⎪⎩，解得7=47=4x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，故574x =，所以()74h x >的解集为11<<22x x -⎧⎨⎩或7>4x ⎫⎬⎭.故选：C..8．C【分析】根据圆的性质及球的截面的性质，利用正弦定理、余弦定理，均值不等式及三棱锥的体积公式求解即可.【详解】设弦AB 的中点为M ，连接12,O M O M ，依题意，可得如下图形，由圆的性质可知12,⊥⊥O M AB O M AB ，则12O MO ∠即为二面角的平面角，故122π3O MO ∠=，四面体12ABOO 的体积为121211sin 362π3MO O V AB S AB O M O M =⋅=⋅⋅⋅ 12312AB O M O M =⋅⋅，其中2221212121243O O O M O M O M O M O M O M=++⋅=≥⋅1243O M O M ⇒⋅≤，当且仅当12233O M O M ==时取等号，由球的截面性质，11OO O M ⊥，22OO O M ⊥，所以12,,,O O O M 四点共圆，则有外接圆直径2423i 23s πn R OM ===，从而2216862221633AB MB OB OM ==-=-=，1222224823339V O M O M ∴=⋅≤⨯=.故选：C 9．BD【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案.【详解】解：对A ：若//m α，//n α，则//m n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故选项A 错误；对B ：若m α⊥，n α⊥，则//m n ，故选项B 正确；对C ：若//m α，m β⊂，则//αβ或α与β相交，故选项C 正确；对D ：若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥，故选项D 正确.故选：BD.10．ACD【分析】对于A ，分0a b >≥、0a b >>、0a b >>三种情况，结合不等式的性质即可判断；对于B ，令0a b =>可判断；对于C ，由2a b +=可得2242ab ab+=-，从而2221142(1)11(1)4ab a b ab --+=++-+，令1(0)t ab t =-≤，再令()424t m m -=≥，结合基本不等式即可判断；对于D ，由221a b +=可得21ab ≤，求解即可判断.【详解】对于选项A ，若0a b >≥，则3443a a a b b b =>=，若0a b ≥>，则330a a b b ≥>，若0a b >>，则3443a a ab b b =->-=，∴若a b >，都有33a a b b >，故A 正确；对于选项B ，当0a b =>，ln ln b a a b =显然成立，故B 错误；对于选项C ，∵2a b +=，2242ab ab+=-，∴2221142(1)11(1)4ab a b ab --+=++-+，∵2a b +=，212a b ab +⎛⎫∴≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立.令1(0)t ab t =-≤，则2242(1)42(1)44ab t ab t ---=-++，令()424t m m -=≥，则42-=mt ，22424442132483228288t m t m m m m-+==≤=+-+-+-，当且仅当32m m=，即42m =时，等号成立.∴221111a b +++最大值为212+，故C 正确；对于选项D ，∵221a b +=，∴21ab ≤，1122ab -≤≤，则ab 的取值范围为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故D 正确．故选：ACD ．11．ABD【分析】根据函数的对称性可得()f x 的图象关于()4,0对称，结合函数变换可推出函数()f x 是周期为8的函数，结合对称性与周期性逐项判断即可得答案.【详解】因为()4f x +为奇函数，则()()44f x f x +=--+，所以()()8f x f x =--+，则函数()f x 的图象关于()4,0对称，故A 正确；因为()()()21f x f x g x +=+①，()()()21g x g x f x +=-②，则①+②得：()()()()()2112222f x g x g x f x +++==⨯+，即()()2g x f x =+③，②-①得：()()()()()2112222g x f x f x g x +-+=-=⨯+，即()()2f x g x =-+④，由③得()()24g x f x +=+代入④得()()4f x f x =-+，所以()()48f x f x +=-+，则()()8f x f x =+，则函数()f x 是周期为8的函数，故B 正确；由于()f x 的图象关于()4,0对称，()f x 是周期为8的函数，无法确定是否关于点()6,0对称，故C 不正确；将③代入①可得()()()212f x f x f x +=++，所以()()()2213f f f =+，()()()2324f f f =+，()()()2435f f f =+，()()()2546f f f =+，()()()2657f f f =+，()()()2768f f f =+，()()()()()287971f f f f f =+=+，()()()()()()292181082f f f f f f ==+=+，累加得：()()()()()()()()()()2123821238f f f f f f f f ++++=++++ ，故可得()()()()12380f f f f ++++= ，所以20232024202481111()()(2024)()(8253)253()(8)000k k k k f k f k f f k f f k f =====-=-⨯=-=-=∑∑∑∑，故D 正确.故选：ABD.12．ABD【分析】设,E F 分别为,AB CD 的中点，连接,,,,,,ME EN NF MF EF AN DN ，根据线面垂直的判定定理可判断A ；求出球的半径，计算球的体积，进而判断B ；求出球O 被平面BCD 截得的截面圆的半径，可求得截面面积，进而判断C ；通过平移与补形法，通过角平分线的转化寻找平面进而找出直线，从而可判断D.【详解】设,E F 分别为,AB CD 的中点，连接,,,,,,ME EN NF MF EF AN DN ，则11,,,22EM BD NF BD EM BD NF BD ==∥∥,故,EM NF EM NF =∥，则四边形MENF 为平行四边形，故,EF MN 交于一点，且互相平分，即O 点也为EF 的中点，又,AB AC DB DC ==，故,AN BC DN BC ⊥⊥,,,AN DN N AN DN =⊂ 平面AND ，故BC ⊥平面AND ，由于,O MN MN ∈⊂平面AND ，则AO ⊂平面AND ，故BC AO ⊥，结合O 点也为EF 的中点，同理可证DC AO ⊥,,,BC DC C BC DC =⊂ 平面BCD ，故AO ⊥平面BCD ，A 正确；由球O 的表面正好经过点M ，则球O 的半径为OM ,棱长为2的正四面体ABCD 中，3AN DN ==，M 为AD 的中点，则MN AD ⊥，故22312MN ND MD =-=-=,则22OM =，所以球O 的体积为33442π()π()π33322OM ⨯=⨯=，B 正确；由BC ⊥平面AND ，BC ⊂平面BCD ，故平面AND ⊥平面BCD ，平面AND ⋂平面BCD DN =，由于AO ⊥平面BCD ，延长AO 交平面BCD 于G 点，则OG ⊥平面BCD ，垂足G 落在DN 上，且G 为正BCD △的中心，故1333NG ND ==，所以2222236()()236OG ON NG =-=-=，故球O 被平面BCD 截得的截面圆的半径为22263()()263-=，则球O 被平面BCD 截得的截面圆的面积为23ππ()33⨯=，C 错误；由题意得，正四面体可以放入正方体内，如下图所示，将AB 平移至正方体的底面内，过1A FC ∠和1B FD ∠的角平分线作垂直于底面的平面，即平面O P Q ，在平面内一定存在过O 点的两条直线12,l l 使得该直线与直线AB ，CD 所成角均为π3，同理可知，过1B FC ∠和1A FD ∠的角平分线作垂直于底面的平面也存在两条直线满足题意，所以过点O 与直线AB ，CD 所成角均为π3的直线可作4条，D 正确.故选：ABD【点睛】思路点睛：本题考查立体几何的综合问题.要结合图形的特点，作出适合的辅助线，要善于观察图形特点，放入特殊图形中从而快速求解.13．1423π【分析】由圆台的底半径为1和2，母线长为3，求出圆台高为22，由此能求出此圆台体积．【详解】∵圆台的底半径为1和2，母线长为3，∴圆台高h=223(21)--=22，∴此圆台体积V=3π（r 2+R 2+Rr ）h=1423π．故答案为1423π．【点睛】本题考查圆台的体积的求法，解题关键点为在轴截面中求出圆台的高，属于基础题．14．[]1,2-【分析】将问题转化为2min ()4y x m m ≥+-，利用基本不等式求出4y x +的最小值，再解一元二次不等式即可.【详解】因为不等式24yx m m +≥-恒成立，所以2min ()34y x m m ≥+-，因为0,0x y >>，且142x y+=，所以11422()()121242488y y x y x y x x x y y x y x+=++=++≥⋅+=，当且仅当28x yy x=，即1,4x y ==时，等号是成立的，所以min ()24y x +=，所以22m m -≤，即(1)(2)0m m +-≤，解得12m -≤≤.故答案为：[]1,2-15．40432【分析】首先根据()f x 为偶函数和()112f =得到()221xf x x =+，再根据()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解即可.【详解】因为()221ax bxf x x +=+的定义域为R ，且为偶函数，所以()()f x f x -=，即222211ax bx ax bxx x -+=++，即0b =.所以()221ax f x x =+.又因为()1122a f ==，即1a =，所以()221x f x x =+.因为()2222222111111111x x x f x f x x x x x ⎛⎫+=+=+= ⎪+++⎝⎭+，所以()()()111122022202220212f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()111140432022202121202120222021222f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦故答案为：4043216．23324【分析】根据空间点P 满足的条件可知点P 在以直线AB 为旋转轴，底面圆半径为33的圆柱上，即可求得OP 的最小值；建立空间直角坐标系利用空间向量求得直线OP 与平面OAB 所成角的正弦值的表达式，再利用换元及基本不等式即可求得结果.【详解】过点O 作OD AB ⊥与点D ，过点P 作PC AB ⊥与点C ，如下图所示又2OA AB ==，则3OD =，又13PAB OAB S S = ，则1333PC OD ==，即点P 为空间中到直线AB 的距离为33，所以点P 在以直线AB 为旋转轴，底面圆半径为33的圆柱上，如图所示易知当点P 与点,O D 三点共线时，OP 最小，且最小值为323333-=；以OAB 所在平面为xO z '，建立B xyz -空间直角坐标，如下图所示：则平面OAB 的法向量为()0,1,0n =，不妨设CP 与x 轴正方向夹角为α，则()3,0,3O，33cos ,sin ,33P h αα⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，即33cos 3,sin ,333OP h αα⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，22223310cos 3sin (3)2cos (3)333OP h h ααα⎛⎫⎛⎫=-++-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当3h =，且cos 1α=时，OP 最小，即当点P 与点O D ､三点共线时，OP 最小，且最小值为233；记直线OP 与平面OAB 所成角为θ，则23sin 3sin 102cos (3)3OP nOP nh αθα⋅==⋅-+-，因为2(3)0h -≥，所以23sin 31cos sin 106cos 102cos 3ααθαα-≤=--，令53cos ,28t t α=-≤≤，则5cos 3t α-=，则2(5)11169sin 10232t t t t θ--≤=--，而16161610101022t t t t t t ⎛⎫--=-+≤-⋅= ⎪⎝⎭，所以1sin 3θ≤，当且仅当4t =，等号成立，此时12tan 422θ==，故答案为：233；24【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据已知条件确定空间中点P 的轨迹，再利用空间向量解决线面角取值范围的问题.17．(1)13(2)322BD =，306AC =【分析】（1）利用三角形面积之间的关系，结合正弦定理可得结果；（2）利用三角形角平分线定理可求得BD ；设AC x =，则3AB x =，由πADB ADC ∠+∠=，知cos cos ADB ADC ∠=-∠，由余弦定理得到cos ADB ∠和cos ADC ∠，建立方程求解即可得AC .【详解】（1）11sin ,sin 22ABD ACD S AB AD BAD S AC AD CAD ∠∠=⋅⋅=⋅⋅ ，3,,3ABD ACD S S BAD CAD AB AC ∠∠==∴= ，由正弦定理可知sin 1.sin 3B AC C AB ==（2）23,2BD AB DC DC AC ===，322BD ∴=.设AC x =，则3AB x =，在ABD △与ACD 中，由余弦定理可知，22221192cos 232x AD BD AB ADB AD BD ∠-+-==⋅，222232cos 22x AD CD AC ADC AD CD ∠-+-==⋅，π,cos cos ,ADB ADC ADB ADC ∠∠∠∠+=∴=- 22113922322x x --∴=-，解得306x =，即306AC =.18．(1)证明见解析(2)23015【分析】（1）取AC 中点M ，四边形12PO O M 为平行四边形，从而得到12//PM O O ，根据12O O ⊥平面ABC 可得PM ⊥平面ABC ，从而得到需求证的面面垂直.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出1AO及平面PBC 的法向量后可求线面角的正弦值.【详解】（1）取AC 中点M ，由题意，121,22PO BC AB ===，又1//PO BC ，故1111//,22PO BC PO BC =.又2211//,22O M BC O M BC =，故1212//,PO O M PO O M =，所以四边形12PO O M 为平行四边形，则12//PM O O .由12O O ⊥平面ABC ，故PM ⊥平面ABC ，又PM ⊂面PAC ，故平面PAC ⊥平面ABC .（2）以2O 为坐标原点，2221,,O B O C O O的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则有：()()()()1222,0,0,2,0,0,0,2,0,,,2,0,0,222A BC P O ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故()12,0,2.AO =设平面PBC 的法向量(),,n x y z =而()222,2,0,,,222BC CP ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，故220222022n BC x y n CP x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1z =，得()2,2,1.n = 设所求角的大小为θ，则11122230sin cos ,1565AO n AO n AO nθ⋅+====⋅⋅ .所以直线1AO 与平面PBC 所成角的正弦值为23015.19．(1)3n a n =(2)5150d =【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；（2）由{}n b 为等差数列得出1a d =或12a d =，再由等差数列的性质可得50501ab -=，分类讨论即可得解.【详解】（1）21333a a a =+ ，132d a d ∴=+，解得1a d =，32133()6d d S a a =+==∴，又31232612923T b b b d d d d=++=++=，339621S T d d∴+=+=，即22730d d -+=，解得3d =或12d =（舍去），1(1)3n a a n d n ∴=+-⋅=.（2）{}n b 为等差数列，2132b b b ∴=+，即21312212a a a =+，2323111616()d a a a a a ∴-==，即2211320a a d d -+=，解得1a d =或12a d =，1d > ，0n a ∴>，又999999S T -=，由等差数列性质知，5050999999a b -=，即50501a b -=，505025501a a ∴-=，即2505025500a a --=，解得5051a =或5050a =-（舍去）当12a d =时，501495151a a d d =+==，解得1d =，与1d >矛盾，无解；当1a d =时，501495051a a d d =+==，解得5150d =.综上，5150d =.20．(1)36125(2)分布列见解析(3)最有可能是1人，理由见解析【分析】（1）由独立重复事件的概率公式求解即可；（2）先写出X 的可能取值，再求出每个值的概率即可求解；（3）设ξ表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数可能的取值为0、1、2，分别求出相应的概率，比较()0P ξ=、()1P ξ=、()2P ξ=的大小关系，由此可得出结论.【详解】（1）5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到的概率为25，则三次抽取中，“甲”恰有两次被抽取到的概率为2232336C 55125P ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）X 表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，X 的可能取值有0，1，2．2225C 1(0)C 10P X ===；112325C C 6(1)C 10P X ===；2325C 3(2)C 10P X ===．所以分布列为：X12P 0.10.60.3（3）设ξ表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，ξ可能的取值有0，1，2，则有：11222222333224222222555555C C C C C C C 37(0)C C C C C C 100P ξ⋅==⋅+⋅+⋅=，11111122112323233241222222555555C C C C C C C C C C 54(1)C C C C C C 100P ξ⋅==⋅+⋅+⋅=，2112223233222222255555C C C C C C 9(2)0C C C C C 100P ξ⋅==⋅+⋅+⋅=，因为(1)(0)(2)P P P ξξξ=>=>=，故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人．21．(1)22143x y +=(2)30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）由题意得22221212c OF c a a b c ⎧===⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解方程组可求出,a b ，从而可得椭圆的方程；（2）设AE 的方程为()0x my t m =+≠，代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，再由点,,P B E 三点共线且斜率一定存在，可求得1t =，得直线AE 过定点()1,0Q ，且Q 为椭圆右焦点，所求内切圆半径为r ，则12124AQ y y r ⋅-=，化简换元后可求出其范围.【详解】（1）依题意22221212c OF c a a b c ⎧===⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2,3a b ==，所以C 的方程为22143x y +=.（2）因为AE 不与x 轴重合，所以设AE 的方程为()0x my t m =+≠，设点()()()11122,0,,A x y y E x y ≠，则()11,B x y -联立22143x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2223463120m y mty t +++-=，则()222121222631248340,,3434mt t m t y y y y m m --∆=-+>+==++因为点,,P B E 三点共线且斜率一定存在，所以2112114y y y x x x +-=--，所以()1221124x y x y y y +=+，将1122,x my t x my t =+=+代入化简可得121224y y m y y t +=-，故2264312m mtt t -=--，解得1t =，满足()248330m ∆=+>所以直线AE 过定点()1,0Q ，且Q 为椭圆右焦点设所求内切圆半径为r ，因为1442AEF S a r r =⨯⋅= ，所以()22121212214312444434FQA FQEAEF AQ y y y y y y S S Sm r m ⋅-+-++=====+ 令21(1)u m u =+>，则221m u =-，所以2331313u r u u u==++，因为1u >，对勾函数13y u u=+在()1,+∞上单调递增，所以134u u +>，则304r <<.所以内切圆半径r 的范围为30,4⎛⎫⎪⎝⎭..【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.22．(1)答案见解析(2)2e 1,e 1⎛⎫++∞⎪-⎝⎭【分析】（1）求得()2(1ln )f x x a x '=-+，设2(1ln ())x a g x x -+=，求得2()x ag x x-='，分0a ≤和0a >，两种情况讨论，结合函数的单调性和极值的定义，即可求解；（2）根据题意转化为存在[2,e]t ∈，使得1ln 0at a t t +-+<，构造函数1()ln a h t t a t t+=-+，求得2(1)(1)()t t a h t t +--'=，分12a +≤、21e a <+<和1e a +≥，结合函数()h t 的单调性和极值、最值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数2()ln 1,R f x x ax x a a =-++∈，可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且()2(1ln )f x x a x '=-+，设2(1()()(0,)ln ),x a g x f x x x =-+∈'=+∞，则2()2ax ag x xx-'=-=，①当0a ≤时，可得()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以()f x '没有极值；②当0a >时，若0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0g x '<，()f x '在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，若,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()0g x '>，()f x '在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x '在2a x =处取得极小值，且极小值为ln 22a a f a ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，在(0,)+∞上没有极大值，综上，当0a ≤时，()f x '没有极值；当0a >时，()f x '的极小值为ln 2aa -，无极大值.（2）由题意知，存在[2,e]t ∈，使得2()ln 10f t t at t a =-++<，即存在[2,e]t ∈，使得1ln 0at a t t+-+<，构造函数1()ln a h t t a t t+=-+，则221(1)(1)()1a a t t a h t t t t ++--'=--=，当12a +≤，即1a ≤时，()0h t '≥在[2,e]上恒成立，()h t 单调递增，所以()20h <，可得52ln 21a >-，与1a ≤矛盾，不满足题意；21当21e a <+<，即1e 1a <<-时，若[2,1]t a ∈+，则()0h t '≤，()h t 单调递减，若[1,e]t a ∈+，则()0h t '≥，()h t 单调递增，此时min ()(1)h t h a =+，由min ()(1)0h t h a =+<，可得(1)ln(1)10a a a +-++<，所以2ln(1)a a a +<+，因为21e a <+<，所以不等式2ln(1)a a a +<+不成立；当1e a +≥，即e 1a ≥-时，()0h t '≤在[2,e]t ∈上恒成立，()h t 单调递减，所以(e)0h <，可得2e 1e 1a +>-，满足题意.综上，实数a 的取值范围为2e 1,e 1⎛⎫++∞ ⎪-⎝⎭.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。
2024-2025学年江苏省南通市如皋中学高三(上)期初数学试卷(含答案)
2024-2025学年江苏省南通市如皋中学高三（上）期初数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合U =R ，集合A ={x|−3<x <1}，B ={x|0≤x ≤2}，则图中阴影部分表示的集合为( )A. (−3,0)B. (−1,0)C. (0,1)D. (2,3)2.已知圆锥的底面半径为 2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为( )A. 63π B. 2 63π C. 4 63π D. 8 63π3.顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( )A. x 2=±3yB. y 2=±6xC. x 2=±12yD. x 2=±6y4.方程log 3x =log 6x ⋅log 9x 的实数解有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5.已知直线x−4y +9=0与椭圆x 216+y 2b 2=1(0<b <4)相交于A ，B 两点，椭圆的两个焦点是F 1，F 2，线段AB 的中点为C(−1,2)，则△CF 1F 2的面积为( )A. 2 2B. 4 2C. 2 3D. 4 36.已知圆C 的方程为x 2+(y−2)2=a ，则“a >2”是“函数y =|x|的图象与圆C 有四个公共点”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 是双曲线C 右支上一点，直线F 1M 交双曲线C 的左支于N 点.若|F 1N|=2，|F 2M|=3，|MN|=4，且△MF 1F 2的外接圆交双曲线C 的一条渐近线于点P(x 0,y 0)，则|y 0|的值为( )A. 3B. 3 22C. 3 52D. 38.F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2作直线交椭圆于A ，B 两点，已知AF 1⊥BF 1，∠ABF 1=30°，则椭圆的离心率为( )A. 6− 22 B. 6− 32 C. 6− 2 D. 6− 3二、多选题：本题共3小题，共18分。
2024-2025学年江苏省扬州市宝应中学高三(上)期初数学试卷(含答案)
2024-2025学年江苏省扬州市宝应中学高三（上）期初数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.sin(1050o)=( )A. 12B. −12C. 32D. −322.已知集合A={x|2x−1>0}，B={x|x2+2x−3<0}，则A⋂B=( )A. (0,3)B. (0,1)C. (−3,+∞)D. (−1,+∞)3.已知函数f(x)=ax−sinx(a∈R)，则“a=1”是“f(x)在区间(π2,+∞)上单调递增”的( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.已知f(x)={2x+m,x>0nx+1,x<0为奇函数，则m+n=( )A. 1B. 2C. 0D. −15.某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为2π，则该圆锥体积为( )A. 3π8B. π8C. 3π8D. 3π246.已知随机变量ξ～N(2,σ2)，且P(ξ≤1)=P(ξ≥a)，则1x +9a−x(0<x<a)的最小值为( )A. 5B. 112C. 203D. 1637.已知角α，β满足tanα=2，2sinβ=cos(α+β)sinα，则tanβ=( )A. 13B. 17C. 16D. 28.已知f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)=f′(x)，g(5.5)=2，若f(x+1)关于x=−1对称，g(2x+1)是偶函数，则g(−0.5)=( )A. −2B. 2C. 3D. −3二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a>0，b>0，a+2b=1，下列结论正确的是( )A. 1a +2b的最小值为9 B. a2+b2的最小值为55C. log2a+log2b的最小值为−3D. 2a+4b的最小值为2210.已知函数f(x)=sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ(ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，则( )A. φ=π6B. ω=2C. f(x +π6)为偶函数D. f(x)在区间[0,π2]的最小值为−1211.Sigmoid 函数S(x)=11+e −x 是一个在生物学中常见的S 型函数，也称为S 型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记S′(x)为Sigmoid 函数的导函数，则( )A. S′(x)=S(x)[1−S(x)]B. Sigmoid 函数是单调减函数C. 函数S′(x)的最大值是14D. ∑2024k =0[S(k)+S(−k)]=2025三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
江苏省镇江市2023-2024学年高三下学期期初考试数学试卷(解析版)
2023~2024学年度第二学期高三期初试卷数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一组数据从小到大的顺序排列如下：9，10，12，15，17，18，22，26，经计算，则75%分位数是（）A.18B.20C.21D.22【答案】B 【解析】【分析】根据百分位数的定义计算即可.【详解】因为875%6⨯=，故75%分位数是第6个和第7个的平均数，则1822202+=，故选：B.2.已知复数z 满足1i 1iz +=-，则20232024zz +=（）A.0B.1C.D.2【答案】C 【解析】【分析】由复数乘除法以及复数模的运算公式即可求解.【详解】由题意()()()21i 1ii 1i 1i 1i z ++===--+，所以20232024i 1z z +=+==.故选：C.3.在ABC 中，2π23A AC ==，，且ABC 的面积为2，则BC =（）A.B.C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】利用面积公式求出AB ，再由余弦定理可得答案.【详解】因为12πsin232 ABC S AC AB =创=，所以22AB ´=，解得1AB =，由余弦定理可得2222π2cos73BC AC AB AC AB =+-创=，所以BC =故选：B.4.已知正数,a b 满足1a b +=，则14a b+的最小值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】D 【解析】【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为正数,a b 满足1a b +=，所以()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即13a =、23b =时取等号.故选：D5.已知平面内的向量a 在向量b 上的投影向量为12b，且1a b == ，则2a b - 的值为（）A.B.1C.34D.2【答案】A 【解析】【分析】先根据条件，确定向量的夹角，再根据向量数量积的性质求模.【详解】因为2·1·2a b b b b = ⇒2·12a b b= ，又1a b == ，所以·12·a b a b =⇒1cos ,2a b = ⇒,60a b =︒ .所以：()2222a b a b-=-=2214·41411432a ab b -+=-⨯⨯⨯+=，所以2a b -=.故选：A6.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，若236,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前5项的和为（）A.15-B.5- C.5D.25【答案】A 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程，求得2d =-，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d 且0d ≠，且11a =，因为236,,a a a 成等比数列，可得2326a a a =，即2(12)(1)(15)d d d +=++，即2d =-或0d =（舍去），所以55451(2)152S ⨯=⨯+⨯-=-.故选：A.7.已知()()π140,cos ,sin 255βααβαβ<<<+=-=，则tan tan αβ的值为（）A.12B.35C.53D.2【答案】A 【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系式、两角和与差的余弦、正弦公式并进行弦化切求得正确答案.【详解】()1cos cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，()4sin sin cos cos sin 5αβαβαβ-=-=，1sin cos cos sin 4cos cos sin sin ααβαβαββ-=-，分子分母同时除以cos cos αβ得：1tan tan 41tan tan αβαβ=--①，由于π02βα<<<，所以0π02π02αββα⎧⎪->⎪⎪-<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩，所以π02αβ<-<，所以()3cos 5αβ-=，所以()()()sin 4tan cos 3αβαβαβ--==-，即sin cos cos sin 4cos cos sin sin 3αβαβαβαβ-=+，分子分母同时除以cos cos αβ得：即tan tan 444,tan tan tan tan 1tan tan 333αβαβαβαβ-=-=++，代入①得：14441t n a t n ta an tan 33βααβ=+-，解得1tan tan 2αβ=.故选：A.8.已知过坐标原点O 且异于坐标轴的直线交椭圆22221(0)x y a b a b +=>>于,P M 两点，Q 为OP 中点，过Q 作x 轴垂线，垂足为B ，直线MB 交椭圆于另一点N ，直线,PM PN 的斜率分别为12,k k ，若1212k k =-，则椭圆离心率为（）A.12B.3C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】由题意设出各个点的坐标，注意到22MN PN b k k a⋅=-，结合1212k k =-，两式相比结合斜率公式即可求解.【详解】如图所示：设(),P m n ，则(),,,,,0222m n m M m n Q B ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而()()2222222222222222N N N N MN PNN N N N b b a x a m y n y n y n b a a k k x m x m x m x m a---+--⋅=⋅==-+---，又因为12PM PN k k =-⋅，所以223222PMMNn a m nk b m m k ===+，解得2213b a =，所以椭圆离心率为3c e a ===.故选：D.【点睛】关键点点睛：关键是发现22MN PNb k k a⋅=-，由此即可顺利得解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知()2f x x x m =++，下列命题正确的是（）A.命题“0x ∀>，()0f x >”的否定是“0x ∃≤，使得()0f x ≤成立”B.若命题“x ∀∈R ，()0f x >恒成立”为真命题，则14m >C.“0m <”是“方程()0f x =有实数解”的充分不必要条件D.若命题“()1,1x ∃∈-，()0f x >”为真命题，则2m >-【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：根据全称命题的否定是特称命题分析判断；对于B ：根据恒成立问题结合二次函数分析求解；对于C ：根据二次方程的根的判别式结合充分、必要条件分析判断；对于D ：根据存在性问题结合二次函数的性质分析求解.【详解】对于选项A ：命题“0x ∀>，()0f x >”的否定是“0x ∃>，使得()0f x ≤成立”，故A 错误；对于选项B ：若命题“x ∀∈R ，()0f x >恒成立”为真命题，注意到()2f x x x m =++的图象开口向上，则140m ∆=-<，解得14m >，故B 正确；对于选项C ：若0m <，则1410m ∆=->>，可知方程()0f x =有实数解，即充分性成立；例如0m =，方程()20f x x x =+=有实数解1,0-，不满足0m <，即必要性不成立，所以“0m <”是“方程()0f x =有实数解”的充分不必要条件，故C 正确；对于选项D ：若命题“()1,1x ∃∈-，()0f x >”为真命题，注意到()2f x x x m =++的图象开口向上，对称轴为12x =-，则110m ++>，解得2m >-，故D 正确；故选：BCD.10.正方体1111A B C D ABCD -的8个顶点中的4个不共面顶点可以确定一个四面体，所有这些四面体构成集合V ，则（）A.V 中元素的个数为58B.V 中每个四面体的体积值构成集合S ，则S 中的元素个数为2C.V 中每个四面体的外接球构成集合O ，则O 中只有1个元素D.V 中不存在四个表面都是直角三角形的四面体【答案】ABC 【解析】【分析】由8个顶点中选取4个不共面顶点，确定V 中元素的个数判断选项A ；由每个四面体的结构特征，计算体积值判断选项B ；由每个四面体的外接球特征判断选项C ；寻找四个表面都是直角三角形的四面体判断选项D.【详解】正方体1111A B C D ABCD -的8个顶点中任取4个，共有48C 70=种情况，其中四点共面的有六个表面和六个对角面共12种情况，不构成四面体，所以V 中元素的个数为58，A 选项正确；四面体的体积有以下两种情况：第一种情况如下图所示，四面体的四点在相对面且异面的对角线上，如四面体11D B AC -，若正方体棱长为a ，则四面体体积为331114323a a a a a -⨯⨯⋅⋅=，第二种情况如下图所示，四面体的四点中有三个点在一个侧面上，另一个点在相对侧面上，如四面体1B ABC -，若正方体棱长为a ，则四面体体积为3111326a a a a ⨯⋅⋅=，所以V 中每个四面体的体积值构成集合S ，则S 中的元素个数为2，B 选项正确；每个四面体的外接球都是原正方体的外接球，O 中只有1个元素，C 选项正确；如下图，四面体1B ABD -的每个面都是直角三角形，D 选项错误.故选：ABC11.已知函数()sin cos2f x x x =+，则下列说法正确的是（）A.2π是()f x 的一个周期B.()f x 的最小值是2-C.存在唯一实数()0,2a ∈，使得()f x a +是偶函数D.()f x 在[]0,π上有3个极大值点【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，直接验算()()2π,f x f x +是否相等即可；对于B ，通过放缩即可判断；对于C ，利用偶函数性质求解并建议即可；对于D ，设()()sin cos 2,sin cos 2p x x x q x x x =+=-，通过连续求导来说明()f x 在ππ3π3π0,,,,,π4444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上各有一个极大值点即可.【详解】对于A ，()()()()s 2π2πsin cos2in cos 2π2f x x x x x f x +=+++=+=，所以2π是()f x 的一个周期；对于B ，()sin cos2sin 12f x x x x =+≥≥->-，故B 错误；对于C ，若()()f a x f a x +=-，则ππ22f a f a ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即cos cos2cos cos2a a a a +=-+，所以cos 0a =，又()0,2a ∈，所以π2a =，经检验符合题意，故C 正确；对于D ，设()()sin cos 2,sin cos 2p x x x q x x x =+=-，则()()cos 2sin 2,cos 2sin 2p x x x q x x x ''=-=+，令()()()(),m x p x n x q x ''==，则()sin 4cos 2m x x x '=--在π3π0,,,π44⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭上的函数值小于0，()sin 4cos 2n x x x '=-+在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭上的函数值小于0，故所有上面的极值点都是极大值点，同时，()ππ3π0102,202244224p p q q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''=>>-==+>>--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()3π201π42p p ⎛⎫''=-+>>-= ⎪⎝⎭，所以()f x 在ππ3π3π0,,,,,π4444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上各有一个极大值点，从而有三个极大值点，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：判断D 选项的关键是连续求导，由此即可顺利得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.与圆221x y +=和圆22((9x y -+-=都相切的直线方程是______．【答案】0x y +=【解析】【分析】根据题意，判断两圆的位置关系内切，联立方程组求得公切线方程.【详解】设圆221x y +=的圆心为1C ，半径为r ，则()10,0C ，1r =，设圆((229x y +-=的院系为2C ，半径为R，则2C ，3R =，所以122C C R r ==-，所以两圆内切.联立方程((222219x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得0x y +=，所以两圆的公切线方程为0x y ++=.故答案为：0x y +=.13.已知AB 是圆锥PO 的底面直径，C是底面圆周上的一点，2,PC AB AC ===，则二面角A PBC --的余弦值为______．【答案】5【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系利用向量法求解.【详解】如图，以点O 为坐标原点，,OB OP 分别为,y z 轴，过点O 垂直AB 为x 轴，建立空间直角坐标系，点C 为底面圆周上一点，则o 90ACB ∠=，又AC =2AB PC ==，1BC ∴=，PO =，()0,1,0A ∴-，()0,1,0B，(P，1,,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，(0,1,PB =，1,,22PC ⎛= ⎝ ，设平面CPB 的一个法向量为(),,m x y z = ，则0m PB m PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即01022y x y ⎧=+=⎩，令1z =，得1x =，y =()m ∴= ，又易知平面APB 的一个法向量为()1,0,0n =，cos ,5m nm n m n ⋅∴====，如图，锐二面角A PB C --的余弦值为5.故答案为：14.如果函数()f x 在区间[],a b 上为增函数，则记为[],()a b f x ，函数()f x 在区间[],a b 上为减函数，则记为[],()a b f x ．已知[],34m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则实数m 的最小值为______；函数()3223121f x x ax x =-++，且[][]2,31,2(),()f x f x ，则实数=a ______．【答案】①.2②.3【解析】【分析】第一空：由对勾函数性质即可得解；第二空由取极值的必要条件即可得解.【详解】对于第一空：由题意()4g x x x=+在[],3m 上单调递增，首先有03m <<，（若0m ≤，则当0x =时，()f x 无意义），由对勾函数性质得当0x >时，()4g x x x=+的单调递增区间为()2,+∞，所以23m ≤<，即实数m 的最小值为2；对于第二空：()f x 显然可导，()26612f x x ax '=-+，由题意()f x 在[]1,2上单调递减，在[]2,3上单调递增，即2x =是函数()f x 的极值点，所以()()642202f a '=-+=，解得3a =，经检验3a =满足题意.故答案为：2，3.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在如图所示的圆台中，AB 是下底面圆O 的直径，11A B 是上底面圆1O 的直径，11AB A B ∥，1124AB A B ==，1OO =，ACD 为圆O 的内接正三角形.（1）证明：1OO ∥平面1B CD ；（2）求直线CD 与平面1AB D 所成角的正弦值.【答案】15.证明见解析16.7【解析】【分析】(1)记AB 与CD 交于点F ，连接1,B F OC ，要证明1OO ∥平面1B CD ，只需证明11//OO FB ;(2)建立空间直角坐标系，找到平面1AB D 的法向量为(m =，利用线面角的向量算法求解即可.【小问1详解】记AB 与CD 交于点F ，连接1,B F OC ，因为AB 是下底面圆O 的直径，且ACD 为圆O 的内接正三角形，所以AB 垂直平分CD，2,4sin 60ACOC AC CF ==⇒== ，Rt OCF 中，1OF ==,因为11AB A B ∥，1124AB A B ==，所以1111//,,OF O B OF O B =故四边形11OFB O 为平行四边形，故11//OO FB ，又1OO ⊄平面1B CD ,1FB ⊂平面1B CD ,故1//OO 平面1B CD .【小问2详解】由（1）知，11//OO FB ，则1FB ⊥面ACBD ,如图建立空间直角坐标系：则()()()1030,,,A B C D ，，,(),CD=-设平面1AB D 的法向量为()111,,,m x y z =则11111300030y AB m AD m y ⎧⎧-+=⋅=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⋅=-=⎪⎪⎩⎩令11y =，则(m =，记直线CD 与平面1AB D 所成角为θ，则sin cos ,7CD m CD m CD mθ⋅===⋅，故直线CD 与平面1AB D 所成角的正弦值为7.16.为了释放学生压力，某校进行了一个投篮游戏．甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛每人各投一次为一轮．每人投一次篮，两人中只有1人命中，命中者得1分，未命中者得1-分；两人都命中或都未命中，两人均得0分．设甲每次投篮命中的概率为13，乙每次投篮命中的概率为12，且各次投篮结果互不影响．（1）经过1轮投篮，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）用i p 表示经过第i 轮投篮后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率，求23,p p ．【答案】（1）X 的分布列见详解，()16E X =-（2）2736p =，343216p =【解析】【分析】（1）X 的可能取值为1,0,1-．由独立乘法、互斥加法以及对立事件概率公式分别求得对应的概率，由此即可得分布列以及数学期望；（2）如果经过两轮，甲的累计得分高于乙的累计得分，则120X X +>，由此可得此时有二种情况：一是甲两轮都得1分；二是两轮中有一轮甲得1分而另一轮甲得0分，从而可得相应的概率，如果经过三轮，甲的累计得分高于乙的累计得分，同理123X X X ++有四种情况：()111,110,111,100++++++-++，由此即可求解.【小问1详解】X 的可能取值为1,0,1-．()11111323P X ⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭；()1111101123232P X ⎛⎫⎛⎫==⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()11111326P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭．所以X 的分布列为：X1-01P131216则X 的数学期望为()11111013266E X =-⨯+⨯+⨯=-．【小问2详解】设每轮比赛甲乙得分分别为(),1,2,3i i X Y i =，则0i i X Y +=，如果经过两轮，甲的累计得分高于乙的累计得分，则1212X X Y Y +>+，代入0i i X Y +=，即120X X +>，而i X 的可能取值为1,0,1-．所以1211X X +=+，或者1210X X +=+．此时有二种情况：一是甲两轮都得1分；二是两轮中有一轮甲得1分而另一轮甲得0分．所以12211117C 666236p =⨯+⨯⨯=．如果经过三轮，甲的累计得分高于乙的累计得分，同理有得1230X X X ++>，同理123X X X ++有四种情况：()111,110,111,100++++++-++．所以32222213333111111143C C C 6626362216p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．17.已知函数()()cos ln 11f x x x =++-．（1）判断函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上极值点和零点的个数，并给出证明；（2）若()f x ax ≤恒成立，求实数a ．【答案】（1）一个零点，一个极大值点，证明见详解（2）1a =【解析】【分析】（1）令()()1sin 1h x f x x x '==-++，可得()21cos (1)h x x x =--+'，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，则()f x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又()00'>f ，02f π⎛⎫< ⎪⎝⎭'，则存在唯一零点00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00f x '=，进而得到()f x 的单调性，从而得到极值点和零点个数；（2）由()f x ax ≤，得()cos ln 110x x ax ++--≤，令()()cos ln 11g x x x ax =++--，()1,x ∈-+∞，则()00g =，只需0x =是()g x 的一个极大值点，由()1sin 1g x x a x'=-+-+，则()010g a ='-=，解得1a =，从而证明当1a =时，()()cos ln 110g x x x x =++--≤恒成立即可.【小问1详解】由题可得()1sin 1f x x x=-++'令()()1sin 1h x f x x x'==-++，则()21cos (1)h x x x =--+'因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0x >，2(1)0x +>,则()0h x '<．所以()f x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．()010'=>f ，110212f ππ⎛⎫='-+< ⎪⎝⎭+且()f x 和()f x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上连续，由零点存在定理知存在唯一零点00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00f x '=．所以()00,x x ∈时，()00f x '>，()f x 在()00,x 单调递增；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()00f x '<，()f x 在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个极值点，且为极大值点．因为()00,x x ∈时，()()00f x f >=，则()00,x x ∈时，()f x 无零点．又因为()()000f x f >=，且20ln 11ln ln10222e f πππ+⎛⎫⎛⎫=++-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()f x 在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，则存在唯一零点10,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()10f x =．所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个零点，只有一个极大值点．【小问2详解】令()()()cos ln 11g x f x ax x x ax =-=++--，()1,x ∈-+∞由()0g x ≤恒成立，得max ()0g x ≤．因为()()00,g g x =图象在定义域上连续不间断，只需0x =是()g x 的一个极大值点．因为()1sin 1g x x a x'=-+-+，则()010g a ='-=，解得1a =．下证：当1a =时，()()cos ln 110g x x x x =++--≤恒成立．因为()1sin 1sin 11x g x x x x x =-+=-+'--+．（1）当(]1,0x ∈-时，sin 0x -≥，01xx -≥+，()0g x '≥，()g x 在(]1,0-上单调递增，所以()()00g x g ≤=．（2）当[)0,x ∈+∞时，()()()cos 1ln 1g x x x x =-++-⎡⎤⎣⎦令()()ln 1x x x ϕ=+-，[)0,x ∈+∞，()1101x x ϕ=-≤+'则()x ϕ在[)0,∞+单调递减，则()()00x ϕϕ≤=．()ln 10x x +-≤，又因为cos 10x -≤所以当[)0,x ∈+∞时，()()()cos 1ln 10g x x x x =-++-≤⎡⎤⎣⎦综上，当1a =时，()f x ax ≤恒成立．18.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别为12,,l l C上一点(A 到12,l l 的距离之积为45．（1）求双曲线C 的方程；（2）设双曲线C 的左、右两个顶点分别为12,,A A T 为直线:1l x =上的动点，且T 不在x 轴上，直线1TA 与C 的另一个交点为M ，直线2TA 与C 的另一个交点为N ，直线MN 与x 轴的交点为P ，直线l 与MN 的交点为Q ，证明PM QM PNQN=．【答案】（1）2214x y -=（2）证明见详解【解析】【分析】（1）根据点到直线距离分别求出点A 到1l ，2l的距离可得45=，即2222163b a a b -=，再结合点(A 在双曲线上，从而可求解.（2）分别设()()()11221,,,,,T s M x y N x y ，求出相应斜率后可得1214MA MA k k ⋅=，再设直线:MN x my t =+，然后与2214x y -=联立利用韦达定理得到()()()2326328320t t t m t +-+--+=，从而求得4t =，然后结合条件从而求解.【小问1详解】因为(A 在22221x y a b-=上，则221631a b -=①．因为12,l l 的方程分别为0,0bx ay bx ay -=+=．(A 到12,l l 的距离之积为4545=②，由①②解得224,1a b ==，所以双曲线C 的方程为2214x y -=③．【小问2详解】因为()()122,0,2,0A A -，设()()()11221,,,,,T s M x y N x y ，则11221212,2321MA A T NA A T y y s sk k k k x x ======+--，所以213NA MA k k =-④，因为1221112111224MA MA y y y k k x x x ⋅=⨯=+--，且M 在双曲线上，则221114x y =-，代入上式得：1214MA MA k k ⋅=，把④代入上式得：2234NA MA k k ⋅=-⑤．设直线:MN x my t =+，代入③得：()2224240m y mty t -++-=，则：12224mt y y m -+=-⑥，212244t y y m -=-⑦，由⑤得：12123422y y x x --⋅=-，即：()()()22121234323(2)0m y y m t y y t ++-++-=，把⑥⑦代入上式得：()()()()222222234323(2)044t t mtm m t t m m +--+⨯+-⨯+-=--，因为2t ≠，所以()()()2326328320t t t m t +-+--+=，则832,4t t ==．则:4MN l x my =+，所以P 点坐标为()4,0．不妨设12,0y y >，因1PM ==，同理2PN =，令41x my =+=，则3Q y m=-，同理：1233,QM y QN y m m ⎫⎫=--=+⎪⎪⎭⎭，要证明PM QM PN QN =，只需证明：112233y y m y y m--=+，即证明：()1212320y y y y m++=，将4t =和⑥⑦代入上式显然成立，所以PM QM PNQN=．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y ,()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.19.对于数列{}()*n a n ∈N，记1Δnn n aa a +=-，称数列{}Δn a 为数列{}n a 的一阶差分数列；记()21ΔΔΔΔΔn n n n a a a a +==-，称数列{}2Δn a 为数列{}n a 的二阶差分数列，…，一般地，对于k ∈N ，记()11ΔΔΔΔΔk k k k n n n n a a a a ++==-，规定：01Δ,ΔΔn n n n a a a a ==，称{}Δk n a 为数列{}n a 的k 阶差分数列．对于数列{}n a ，如果Δ0kn a d =≠（d 为常数），则称数列{}n a 为k 阶等差数列．（1）数列{}2n是否为k 阶等差数列，如果是，求k 值，如果不是，请说明为什么？（2）请用231111,Δ,Δ,Δ,a a a a 表示34,a a ，并归纳出表示n a 的正确结论（不要求证明）；（3）请你用（2）归纳的正确结论，证明：如果数列{}n a 为k 阶等差数列，则其前n 项和为123211111C C ΔC ΔC Δk k n n n n n S a a a a +=++++ ；（4）某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，巧合用了2024个球．第1层有1个球，第2层有3个，第3层有6个球，…，每层都摆放成“正三角形”，从第2层起，每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球，问：这位同学共堆积了多少层？【答案】（1）数列{}2n是二阶等差数列，2（2）231112ΔΔa a a a =++，4a =2311113Δ3ΔΔa a a a +++，1221111111ΔC ΔC Δk k n n n n a a C a a a ---=++++ （3）证明见详解（4）22【解析】【分析】（1）由新定义可直接证明数列{}2n 是二阶等差数列；（2）由()12112111ΔΔΔΔ0,ΔΔ0k k k k n a a a a a ++-=-==== 的关系，递推可得答案；（3）首先证明数列1230,,,,,n S S S S ⋅⋅⋅为1k +阶等差数列，再结合（2）可得123211111C C ΔC ΔC Δk k n n n n n S a a a a +=++++ ；（4）由（3）得：2222123n ++++ ()()11216n n n =++，方法一：结合等差数列的前n 项和公式可得答案；方法二：结合组合数的性质可得答案.【小问1详解】因为221Δ(1)21n n n a a a n n n +=-=+-=+，而()()()()2ΔΔΔΔ212112120n n a a n n n ==+=++-+=≠，所以2k =，数列{}2n 是二阶等差数列．【小问2详解】因为数列{}n a 为k 阶等差数列，则Δ0kn a d =≠，则()12112111ΔΔΔΔ0,ΔΔ0k k k k n a a a a a ++-=-==== ，则211Δa a a =+，()()223221111111ΔΔΔΔ2ΔΔa a a a a a a a a a =+=+++=++，()()2243311122Δ2ΔΔΔΔa a a a a a a a =+=++++()()()222311111112ΔΔΔΔΔΔa a a a a a a =++++++2311113Δ3ΔΔa a a a =+++．归纳得一般结论：1221111111C ΔC ΔC Δkkn n n n a a a a a ---=++++ ①．【小问3详解】设数列：1230,,,,,n S S S S ⋅⋅⋅，因为()11111Δ2,Δ0n n n n a S S S n S S a --=-=≥=-=，所以数列1230,,,,,n S S S S ⋅⋅⋅为1k +阶等差数列，由（2）中①得：122111110C ΔC ΔC Δk k n n n n S S S S ++=-+++ ，因为()1111ΔΔΔΔk k k S S a +==所以123211111C C ΔC ΔC Δk kn n n n n S a a a a +=++++ ．【小问4详解】由（1）知数列{}2n为二阶等差数列，且()()()()211213221Δ413,ΔΔΔ94412a a a a a a a a =-==-=---=---=，则由（3）得：2222123n ++++ ()()()123112C 1C 3C 23226n n n n n n n n n ---=⨯+⨯+⨯=+⨯+⨯()()11216n n n =++②．设共堆积了n 层，第n 层共有n a 个球，第1层有1个球，因为每层的“边”比上一层多1个球，所以第n 层的“边”共有n 个球，则第n 层的球数为()11232n n n a n +=++++=．则这n 层所有球的个数为()11362n n n S +=++++ ．【法一】由②式得：()()()22221113612312322n n n S n n +⎡⎤=++++=++++++++⎣⎦ ()()()111211202462n n n n n =++++=．解得：22n =．答：这位同学共堆积了22层．【法二】()222223411136C C C C 2n n n n S ++=++++=++++ 32223223223341441551C C C C C C +C C C C n n n +++=++++=++⋅⋅⋅=+++ ()()3221C 20246n n n n+++==== ．解得：22n =．答：这位同学共堆积了22层．【点睛】涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.。
高三数学下学期期初考试试题 文 试题
二中2021—2021学年第二学期期初考试制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日高三年数学〔文科〕试卷〔考试时间是是：120分钟 总分：150分〕一、选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
请将正确之答案填涂在答题卡上。
〕1.集合{123}A =，，，2{|9}B x x =<，那么A B =〔A 〕{210123}--，，，，， 〔B 〕{21012}--，，，， 〔C 〕{123}，， 〔D 〕{12}，2.设复数z 满足i 3i z +=-，那么z =〔A 〕12i -+ 〔B 〕12i - 〔C 〕32i + 〔D 〕32i - 3.函数=sin()y A x ωϕ+的局部图像如下图，那么〔A 〕2sin(2)3y x π=- 〔B 〕2sin(2)6y x π=-〔C 〕2sin(2+)6y x π= 〔D 〕2sin(2+)3y x π=4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，那么该球的外表积为 〔A 〕12π 〔B 〕323π〔C 〕8π 〔D 〕4π 5.双曲线2222:1x y C a b-=〔0,0a b >>〕的离心率为2，那么C 的渐近线方程为〔A 〕〔B 〕〔C 〕 〔D 〕6. 函数1()1x f x x +=-的图像在点2,(2)f 处的切线与直线10ax y 平行，那么 2y x =±y =y =y =实数a〔A 〕2 〔B 〕12 〔C 〕12-〔D 〕2-7.等比数列的前项和为，假设，，那么〔 〕〔A 〕 18 〔B 〕 10 〔C 〕 -14 〔D 〕 -22 8.函数的局部图像大致为〔 〕〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕9.函数在单调递增，那么的最大值是( )〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕 10. 假设实数x ，y 满足不等式组()()125002x y x y x --+-≥⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，，那么2z x y =-的取值范围是〔A 〕[]5,5- 〔B 〕[]5,1- 〔C 〕[]1,3 〔D 〕[]5,3- 11.在边长为1的正方形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上.假设，那么的最大值是〔 〕〔A 〕3 〔B 〕 〔C 〕〔D 〕 4 12.函数，对于任意，，恒成立，那么的取值范围是〔 〕〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕 13．132a =，那么()2log 2a = ．CNABM14.向量，，假设，那么__________．15.设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩那么使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________．16.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．山高100BC m =，那么山高MN =________m ．三、解答题：〔本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕17．〔本小题12分〕a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，3sin cos c a C c A =-.(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)假设a =2，ABC ∆3，求b ，c .18．〔本小题12分〕〔17〕〔本小题满分是12分〕设正项数列{}n a 的前n 项和为{}n S ，且11a =，当2n ≥时，1n n n a S S -=〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕设数列{}n b 满足1121212222n nn n n b b b b a --+++=，求{}n b 的前n 项和n T .19.〔本小题12分〕如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90ABC ∠=︒，222BC AD AB ===，,2PB PC PD ⊥=.(Ⅰ)求证：平面PBC ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)假设PC PB =,求点D 到平面PAB 的间隔 .20.〔本小题满分是12分〕动圆C 过定点(1,0)F ，且与定直线1x =-相切． 〔1〕求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；〔2〕过点()2,0M -的任一条直线l 与轨迹E 交于不同的两点,P Q ，试探究在x 轴上是否存在定点N〔异于点M 〕，使得QNM PNM π∠+∠=？假设存在，求点N 的坐标；假设不存在，说明理由．21. 〔本小题满分是12分〕 函数. 〔1〕求曲线在点处的切线方程；〔2〕函数与函数的图像总有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为，.〔ⅰ〕求的取值范围； 〔ⅱ〕求证：.选考题：请考生在第22、23两题中任选一题答题。
江苏省镇江市2024-2025学年高三上学期期初考试数学试卷(解析版)
2024~2025学年度上学期高三期初试卷数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【答案】C【解析】借助百分位数定义计算即可得. 【详解】由60.53⨯=，故这组数据的中位数为7982+=. 故选：C.2. 已知集合{}2340A x x x =--≤，{}20B x x =∈->N ，则A B =（ ）A. {3,4}B. {0,1}C. {}1,0,1-D. {2,3,4}【答案】B【解析】由题意可得{}14A x x =-≤≤，{}|2B x x =∈<N ，则{0,1}A B =.故选：B.3. 已知0x >，0y >，4xy =，则2x y +的最小值为（ ）．A. 4B.C. 6D. 【答案】B【解析】由于0x >，0y >，所以2x y +≥=，当且仅当2x y ==2x y +的最小值为故选：B4. 由数字2，3，4组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（ ） A.23B.56C.34D.12【答案】A【解析】将234，，组成没有重复数字的三位数，共有33A 6=种， 而其中偶数有两种情况：①以为个位数的三位数，是342342，，共有2种 ②以为个位数的三位数，是234324，，共有2种 所以，这个三位数是偶数的情况共有224+=种， 所以，这个三位数是偶数的概率为事件，则()4263P A ==. 故选：A.5. 若正三棱锥的所有棱长均为3，则该正三棱锥的体积为（ ）B.C.D.【答案】C【解析】如图，正三棱锥P ABC -，3PA PB PC AB AC BC ======， 取BC 中点，连接AD ABC 的中心，连接PO ， 由正四面体的性质可知，顶点与底面中心连线垂直底面， ∴⊥PO 平面ABC即三棱锥P ABC -的高为PO ， ∵3AB AC BC ===，∴AD =，∴AO =∴OP ==∴111·33332P ABC ABCV S OP -==⨯⨯⨯= 故选：C6. 随机变量服从2N μσ（，），若13P X P X ≥≤（）＝（）， 则下列选项一定正确的是（ ） A 31P X ≥（）＝ B.1σ＝C. 2μ＝D. 311P X P X ≥≤（）＋（）＝【答案】C【解析】因为13P X P X ≥≤（）＝（），由正态分布的对称性，可得2μ=，正态分布方差无法判断，()31P X ≥<，()()311P X P X ≥+≤<，所以ABD 错误. 故选:：C7. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为，点为侧面四边形11CDD C 的中心，则四面体11NCB C 的外接球的体积为（ ）A. 2πB. 4πC.D.3【答案】D【解析】如图：取1B C 中点，连结11111,,,,,NO NC NC NB ND B D ， 因为1111ABCD A B C D -的棱长为的正方体，所以11OC OB OC ===1112ON B D ==所以四面体11NCB C 的外接球的球心为为，且外接球半径R =所以四面体11NCB C 的外接球的体积34π3V ==. 故选：D.8. 已知定义域为R 的函数()f x ，满足()()()()()11f x f y f x y f x f y --++=，且()()00,10f f ≠-=，则以下选项错误的是（ ）A. ()10f =B. ()f x 图象关于()2,0对称C. ()f x 图象关于()1,0对称D. ()f x 为偶函数【答案】B【解析】对于A ，令1,0x y ==，则()(0)1(1)(1)(0)f f f f f +=，所以f (1)=0，故A 正确； 对于B ，令0x y ==，则()(1)1(0)(0)(0)f f f f f +=，即2(0)(0)f f =， 解得：()00f =或()01f =，因为()00f ≠，所以()01f =， 令1x y ==，()(0)0(2)(1)(1)f f f f f +=，所以(2)1f =-， 所以()f x 图象不关于(2,0)对称，故B 错误；对于C ，令1y =，则有()()()()()1011f x f f x f x f -++= 即()()110f x f x -++=，故()f x 图象关于(1,0)对称，故C 正确. 对于D ，令1y =-，则有()()()()()1211f x f f x f x f -+-=- 即()()110f x f x --+-=，即()()11f x f x -=-，即()()()11f x f x f x =--=-，因为函数()f x 的定义域为R ， 所以()f x 为偶函数，故D 正确. 故选：B .公众号：高中试卷君二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列求导运算正确的是（ ）A. 3(e 3e x x '=)B. 221x x x '⎛⎫= ⎪+⎝⎭C. (2sin 3)2cos x x '-=D. ()2ln 22x x x x '⎛⎫= ⎪--⎝⎭ 【答案】CD【解析】对于A 选项，()()'333e e 33e xx x x '=⋅=，A 错误；对于B 选项，()()()()()()()()22222222212122122221212121x x x x x x x xx xx x x x '''⋅+-⋅+⋅+-⎛⎫+==⎪++++⎝⎭＝，B 错误；对于C 选项，()2sin 32cos x x '-=，C 正确；对于D 选项，()()()221122ln 22222x x x x x x x x x x x x x''--⋅--⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭--，D 正确. 故选：CD.10. 已知事件A 与B 发生的概率分别为()()34,55P A P B ==，则下列说法正确的是（ ） A. ()1225P AB = B. ()2|5P A B >C. ()2325P A B +=D. ()2|13P B A ≤≤【答案】BD【解析】对于A ，由于题目中没确定事件A 与B 是否相互独立，所以()()()34125525P AB P A P B =⋅=⨯=，不一定成立，故A 错误； 对于B ，由于()()()()()34155P A B P A P B P AB P AB +=+-=+-≤，则()25P AB ≥，则()()()2125|4255P AB P A B P B =≥=>，故B 正确； 对于C ，由于题目中没确定事件A 与B 是否相互独立， 所以()()()()341223552525P A B P A P B P AB +=+-=+-=，也不一定成立，故C 错误； 对于D ，()()()225|335P AB P B A P A =≥=，故()2|13P B A ≤≤，故D 正确； 故选：BD.11. 函数y =f (x )的定义域为，区间D I ⊆，对于任意1x ，()212x D x x ∈≠，恒满足()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则称函数()f x 在区间上为“凸函数”.下列函数在定义域上为凸函数的是（ ） A. ()ln f x x = B. ()e xf x =C ()2f x x =D. ()f x =【答案】AD【解析】对A ：1x ，()20,x ∞∈+，()()12121212ln ln ln ln 2222f x f x x x x x x x f ++++⎛⎫≥⇔≥= ⎪⎝⎭由()ln f x x =在(0,+∞)上单调递增，故其等价于122x x +≥化简可得20≥，故满足题意，故A 正确；对B ：1x ，2x ∈R ，()()121212122e e e 222x x x xf x f x x x f ++++⎛⎫≥⇔≥ ⎪⎝⎭， 取11x =-，21x =，可得1202ee 1x x +==，121e e ee 22x x ++=，又11e e 2<+，故此时不满足题意，故B 错误；对C ：1x ，2x ∈R ，()()222121212122222f x f x x x x x x x f ++++⎛⎫⎛⎫≥⇔≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得()2120x x -≤恒成立，不满足题意，故C 错误； 对D ：1x ，[)20,x ∈+∞，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥⇔≥ ⎪⎝⎭左右平方后化简可得20≥，故满足题意，故D 正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为______.【答案】516【解析】解：某人参加考试，4道题目中，答对的题目数满足二项分布1~4,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()()()44341153342216P X P X P X C ⎛⎫⎛⎫≥==+==+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：51613. 已知二次函数()f x 从1到1x +∆的平均变化率为23x ∆+，请写出满足条件的一个二次函数的表达式()f x =_______．【答案】22x x -（答案不唯一） 【解析】设f (x )=ax 2+bx +c ， 则()()()()()21Δ11Δ1ΔΔ21Δ1Δf x f a x b x c a b c a x a b x x+-++++-++==+++-，由题意知223a a b =⎧⎨+=⎩，解之得21a b =⎧⎨=-⎩，显然c 的取值不改变结果，不妨取0c =，则()22f x x x =-.故答案为：22x x -14. 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间像球一样来回自由滚动，并且始终保持与两平面都接触（如图）．勒洛四面体是以一个正四面体的四个顶点分别为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分围成的几何体．若构成勒洛四面体ABCD 的正四面体ABCD 的棱长为2，在该“空心”勒洛四面体ABCD 内放入一个球，则该球的球半径最大值是_______．【答案】2 【解析】勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切，即为勒洛四面体内切球， 由对称性知，勒洛四面体ABCD 内切球球心是正四面体ABCD 的内切球、外接球球心，正BCD △外接圆半径13O B =，正四面体ABCD的高13AO ==，设正四面体ABCD 的外接球半径为，在1Rt BOO △中，222()()33R R =-+，解得2R =， 因此，勒洛四面体ABCD内切球半径为2故答案为：2四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有8折、8.5折、9折的奖券各2张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取2张奖券，最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算．（1）求一位顾客抽到的2（2）若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ．【答案】（1）45（2）答案见详解 【解析】【小问1详解】从6张奖券中，任取2张奖券共有2615C =种选法，抽到的两张奖券相同的有3种选法， 所以一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率为1534155P -==. 【小问2详解】的所有可能取值为80，85，90，()1122261C C 2380C 5P X +⋅⨯===，()1122261C C 185C 3P X +⋅===， ()261190C 15P X ===， X ∴的分布列为：()80859053153E X ∴=⨯+⨯+⨯=. 16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA =//AD BC ，1AD =，2AB BC==，AD ⊥平面PAB ，PD AB ⊥，E ，F 分别是棱PB ，PC 的中点．（1）证明：//DF 平面ACE ； （2）求二面角A CE B --的正弦值． 【答案】（1）证明见详解 （2【解析】【小问1详解】如图，连接EF ，因为,E F 分别为,PB PC 的中点，所以//EF BC ，12EF BC =， 又//AD BC ，12AD BC =， 所以//EF AD ，EF AD =，所以四边形ADFE 是平行四边形，则//DF AE ， 因为AE ⊂平面ACE ，DF ⊄平面ACE ， 所以//DF 平面ACE . 【小问2详解】因为AD ⊥平面PAB ，,PA AB ⊂平面PAB ， 所以AD AP ⊥，AD AB ⊥，又AB PD ⊥，,AD PA 是平面PAD 内两条相交直线，AB ∴⊥平面PAD ，又PA ⊂，AB PA ∴⊥，所以,,AB AP AD 两两互相垂直，以为坐标原点，AB ，AP ，AD 的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则A (0,0,0)，()2,0,0B ，()2,0,2C ，()0,0,1D ，()E ，()2,0,2AC =，()AE =，()0,0,2BC =，()BE =-，设平面ACE 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，则1100n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11112200x z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令11y =-，得1x =1z =(13,1,n ∴=-， 设平面BCE 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则2200n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200z x =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令21y =，得2x =，20z =， ()23,1,0n ∴=， 设二面角A CE B --的平面角为，12123cos77n n n n θ⋅-∴===⋅，则sin 7θ=. 所以二面角A CE B --的正弦值为7. 17. 我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”：()222,a b ab a b +≥∈R ，当且仅当a b=时，222a b ab +=等号成立．公众号：高中试卷君（1）证明“三元不等式”：3333a b abc +≥+[)(),,0,a b c ∞∈+ ．（2）已知函数()22f x x x=+． ①解不等式()5f x ≥；②对任意x ∈(0,+∞)，()22f x m m ≥+恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）①((][),10,12,x ∞∞∈--⋃⋃+；②[]3,1-.【解析】小问1详解】因为[),,0,a b c ∞∈+，则()()()3322323222a b a b b a a a b b b a a a b b b a +-+=-+-=-+-()()()()2220a b a b a b a b =--=-+≥（当且仅当a b =时取等），所以3322a b a b b a +≥+（当且仅当a b =时取等），同理3322a c a c c a +≥+（当且仅当a c =时取等），3322b c b c c b +≥+（当且仅当c b =时取等）， 三式相加可得：()()()()3332222222222222a b c a b b a a c c a b c c b a b c b c a c a b ++≥+++++=+++++， 又因为2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥，所以()33322226a b c abc abc abc abc ++≥++=，所以3333a b c abc +≥+（当且仅当a b c ==时取等）.【小问2详解】①由()5f x ≥可得：225x x +≥， 所以3250x x x +-≥，即32222420x x x x x x -+--+≥，即()()()222220x x x x x x -+---≥，则()()22210x x x x -+-≥，所以()(21100x x x x x ⎧-+++≥⎪⎨≠⎪⎩，解得：((][),10,12,x ∞∞∈--⋃⋃+②因为当x ∈(0,+∞)时，()2221133f x x x x x x =+=++≥=， 当且仅当211x x x ==，即1x =时取等，所以当x ∈(0,+∞)时，()min 3f x =，对任意x ∈(0,+∞)，()22f x m m ≥+恒成立，则()()2min 213m m f x f +≤==，所以2230m m +-≤，解得：31m -≤≤.所以实数的取值范围为：[]3,1-.18. 在如图所示的平行六面体1111ABCD A B C D -中，1145A AB A AD ∠=∠=，160,1,2,BAD AB AD AA ∠====（1）求1AC 的长度；（2）求二面角1B AA D --的大小；（3）求平行六面体1111ABCD A B C D -的体积．【答案】（1）（2）π2（3）【解析】【小问1详解】根据图形可知：111AC AB BC CC AB AD AA =++=++， 则2222211111222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AD AA AB AA =++=+++⋅+⋅+⋅ 148212cos60222cos452222cos45=+++⨯⨯+⨯+⨯⨯=【小问2详解】公众号：高中试卷君作11,BE AA DF AA ⊥⊥，则,EB FD 等于二面角1B AA D --的一个平面角，因为1145A AB A AD ∠=∠=，11,2,AB AD AA ===则2cos 45,cos 45222AE AB AF AD BE DF =⋅==⋅=⇒== 易知()()EB FD EA AB FA AD EA FA EA AD AB FA AB AD ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅12cos13521cos13512cos602=+⨯+⨯⨯+⨯⨯0=， 所以cos ,0EB FD EB FD EB FD ⋅==⋅，所以π,2EB FD =， 即二面角1B AA D --的大小为π2； 【小问3详解】由（2）知BE ⊥平面11ADD A ，而四边形11ADD A 的面积14S AA DF =⨯=，则平行六面体1111ABCD A B C D -的体积4V BE =⋅=.19. 已知函数()2e 1e x xf x ax -=+．（1）函数()y f x =是否具有奇偶性?为什么?（2）当1a =-时，求()f x 的单调区间；（3）若()f x 有两个不同极值点1x ，2x ，证明：()()1278f x f x +<．【答案】（1）函数()y f x =不具有奇偶性（2）()f x 的单调递增区间为(),0-∞，单调递减区间为()0,∞+（3）证明见解析【解析】【小问1详解】()22e 1e e e x x x x f x ax ax ----=-=--，而()2e e x xf x ax --=-+，显然()()f x f x -≠，且()()f x f x -≠-，所以()f x 既不是奇函数，也不是偶函数，故函数y =f (x )不具有奇偶性.【小问2详解】1a =-时，()2e 1e x xf x x -=-，()()()()222422e e 2e e 1e 2e 12e e 1e e e x xx x x x x x x x x f x ---+---=-=='，故当0x <时，f ′(x )>0，()f x 在(),0∞-上单调递增，当0x >时，f ′(x )<0，()f x 在(0,+∞)上单调递减，故()f x 的单调递增区间为(),0∞-，单调递减区间为(0,+∞)【小问3详解】()222e e ex xx a f x -+'=， 因为()f x 有两个不同极值点1x ，2x ，故()0f x '=即202e e x x a -+=有两个不等的实根， 令e x t =，所以202a t t -+=有两个不等的正数根12,t t ， 所以1212Δ1801020a t t a t t a ⎧⎪=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩，得108a <<，且1212e ,e x x t t ==， 所以()()()12121212121222221211e 1e 1ln ln e e x x x x t t f x f x ax ax a t t t t ----+=+++=+++ ()()()2212121212122212221142221ln ln 44t t t t t t t t a a a a a t t a a a t t a a a ⋅-++-++=+=+=++， 设()21ln 4g a a a a =++，()221ln 1ln 0g a a a -='=+>， 所以()g a 在10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()11113ln 2317ln16888482828g a g ⎛⎫<=++=+<+= ⎪⎝⎭， 故()()1278f x f x +<. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是能根据题意转化为202a t t -+=有两个不等的正数根12,t t ，进而得108a <<，且1212e ,e x x t t ==，再得 ()()1221ln 4f x f x a a a +=++，利用单调性可证()()1278f x f x +<.。
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2015—2016学年度上学期期初考试高三 数学（文）考试时间：120分钟 试卷分数：150分 命题人：卷Ⅰ一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{x |y ＝21x -}，B ＝{x |x =2m ，m ∈A }，则 ( ) A ．A =B B ．B I A φ= C ．A ⊆B D ．B ⊆A2. 设x ∈R ，则“x ＝±1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 若命题“∀x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1>0”是真命题，则实数a 的取值范围是 ( )A ．B ．(－1,3)C ．(－∞，－1]∪，则y ＝f (x )的定义域是 （ ）A.[21,4] B.(][)+∞-∞-,21,Y C.[]2,1- D.(][)+∞-∞-,12,Y 7. 已知)(x f 是奇函数，且0<x 时，x x x f 2sin cos )(+=，则当0>x 时，)(x f 的表达式是 ( ) A. x x 2sin cos +- B. x x 2sin cos + C.x x 2sin cos - D.x x 2sin cos -- 8.已知函数2)(3-+=ax x x f 在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围 是 ( ) A ．[3，＋∞) B ．(－3，＋∞) C ．[)+∞-,3 D ．（－∞，－3) 9. 从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量(单位：克)数据分布如下表： 分组 [90,100)[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)频数123101A ．70%B ．60%C ．80%D ．40%10. 将函数x x f y sin )(=的图象向左平移4π个单位，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 可能是（ ）A ．x cosB ．2x cosC ．x sinD ．2x sin11. 已知θθθππθtan ),1,0(,cos sin ),2,2(则关于其中且∈=+-∈a a 的值，以下四个答案中，可能正确的是 （ ）A ．－3B ．3或31C ．－31 D ．－3或－31 12. 已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，)()(/x f x xf -0<，若e e f a )(=，2ln )2(ln f b =，3)3(--=f c ，则,,a b c 的大小关系正确的是 （ ）A. a c b <<B. b c a <<C. c a b <<D. a b c <<第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13．某校开展“爱我祖国、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中x)无法看清．若记分员计算无误，则数字x 应该是____．14.已知函数3,0,()(1),0,x x f x f x x ≤⎧=⎨->⎩那么5()6f 的值为 ．15.对于函数f x x ()sin =+⎛⎝⎫⎭⎪223π给出下列结论： （1）图象关于原点成中心对称；（2）图象关于直线x =π12成轴对称；（3）图象可由函数y x =22sin 的图象向左平移π3个单位得到；（4）图象向左平移π12个单位，即得到函数y x =22cos 的图象。
其中正确结论的个数为16. 设函数.)(,3)(2a x x g a ax x x f -=++-=若不存在．．．R x ∈0，使得0)(0<x f 与0)(0<x g 同时成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（17题10,其余每题12分）17.已知函数xx x x f 2cos 4sin 5cos 6)(24-+=，求：函数)(x f 的定义域及周期.18.已知函数6)2()1(2131)(23++-++=x a x a ax x f 的极大值是15)3(=-f , （1）是否存在极小值？若存在求出极小值.若不存在说明理由； （2）求函数)(x f 的单调区间.19.已知二次函数()x f 满足(1)()2,f x f x x +-=且()10=f . （Ⅰ）求()x f 的解析式.（Ⅱ）在区间[]1,1-上, ()x f 的图象恒在m x y +=2的图象上方，试确定实数m 的范围. 20. 设函数)(cos sin 322cos )(R x x x x x f ∈+=的最大值为M ，最小正周期为T. （1）求M 、T ；（2）若有10个互不相等的正数,)(M x f x i i =满足且)10,,2,1(10Λ=<i x i π，求：1021x x x +++Λ的值.21. 设)(x f 是定义在]3,(-∞上的减函数，已知))(cos 1()sin (22x a f x a f ++≤- 对于R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.22. 已知函数ax ax x f 313)(23-+-= （I ）若函数)(x f 在1-=x 时取到极值，求实数a 的值； （II ）试讨论函数)(x f 的单调性；（III ）当1>a 时，在曲线)(x f y =上是否存在这样的两点A ，B ，使得在点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，若存在，试求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．一、DCBDB,CACAB,CD 13、1 14、21-15、2 16、63≤≤-a 17、解：解：2202cos ππ+≠⇒≠k x x …………2分 得)(22Z k k x ∈+≠ππ …4分 化简得 ).42(212cos 23)(ππ+≠+=k x x x f .……8分 所以 周期T=π……10分18、解：（1）由y极大值=f (－3)=15, 得a =1. …………2分得y ′=x 2+2x －3，令y ′=0，得x =－3, 或x =1, ……4分 判断 ,313)1(==f y 极小值 ……8分（2）),1()1,3(),3,(+∞---∞和分别是函数的增区间、减区间和增区间.……12分.19、解： (Ⅰ)设f （x ）=ax 2+bx+c ，由f （0）=1得c=1，故f （x ）=ax 2+bx+1...2分∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax 2+bx+1)=2x.即2ax+a+b=2x,所以221,01a a ab b ==⎧⎧∴⎨⎨+==-⎩⎩,∴f(x)=x 2-x+1. …6分(Ⅱ)由题意得x 2-x+1>2x+m 在上恒成立.即x 2-3x+1-m>0在上恒成立.设g(x)= x 2-3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=32 ,所以g(x) 在上递减.故只需g(1)>0,即12-3×1+1-m>0,解得m<-1…12分20、解：)62sin(22cos 2sin 3cos sin 322cos )(π+=+=+=x x x x x x x f …2分（1）M=2，ππ==22T …………6分 （2）∵2)62sin(2,2)(=+=πi i x x f 即∴)(6,2262Z k k x k x i i ∈+=+=+πππππ…………9分又9,,2,1,0,100Λ=∴<<k x i π∴πππ3140610)921(1021=⨯++++=+++ΛΛx x x …………12分 21、⎪⎩⎪⎨⎧++≥-≤++≤-x a x a x a x a 2222cos 1sin 3cos 13sin 由①得：22sin 32≤≤-+≤a xa 得由②得1cos 22≤-≤a xa由③得：49)21(sin 2sin sin cos sin 12222+--=++-=++≥-x x x x x a a492≥-∴a a 2101210109442-≤+≥⇒≥--a a a a 或 ①②③取交集得：]21021,2[--∈a22、解：x ax x f 63)(2-=' （0≠a ）（I ）∵函数)(x f 在1-=x 时取到极值 ∴063)1(=+=-'a f 解得2-=a经检验2-=a 函数)(x f 在1-=x 时取到极小值 ∴实数a 的值－2 …3 （2）由0)(='x f 得0=x 或ax 2= ①当0<a 时，02<a 由0)(>'x f 得02<<x a由0)(<'x f 得02><x ax 或∴函数)(x f 得单调增区间为)0,2(a ，单调减区间为),0()2,(+∞-∞和a②当0>a 时，02>a ，同理可得函数)(x f 得单调增区间为()⎪⎭⎫⎝⎛+∞∞-,2,0,a ，单调减区间为⎪⎭⎫⎝⎛a 2,0 … 7 （3）假设存在满足要求的两点A ，B ，即在点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，则0==B A k k 即063)(2=-='x ax x f 解得0=x 或ax 2= ∴A )31,0(a -,B )314,2(2aa a -+- 又线段AB 与x 轴有公共点，∴0≤⋅B A y y ，即0)314)(312≤-+--a aa （ 又1>a ，解得43≤≤a 所以当43≤≤a 时，存在满足要求的点A 、 B ． (12)。