九年级上册数学用待定系数法求二次函数的解析式知识点讲解与经典例题答案与解析(人教版)
待定系数法求二次函数解析式(讲义)
变式 1：已知二次函数的图象经过 A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8，求它的解析式。 解法 1:由 A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为 x=1,所以顶点为(1,-8).
设解析式为 y=a(x-h)2+k, 即 y=a(x-1)2-8. 把 x=-1,y=0 代入上式得 0=a(-2)2-8,∴a=2. 即解析式为 y=2(x-1)2-8,即 y=2x2-4x-6. 解法 2:设解析式为 y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上, 把 x=1,y=-8代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得 a=2, ∴解析式为 y=2x2-4x-6. 解法 3:∵图象过 A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a. ∵函数有最小值-8.
c 2.
∴解析式为 y=x2+2. 变式：已知一个二次函数，当 x=-1 时，y=3；当 x=1 时，y=3；当 x=2 时，y=6。求这个二次函数的 解析式。 解:设解析式为 y=ax2+bx+c,把 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得
3 a b c, 3 a b c, 6 4a 2b c.
设所求二次函数为 y＝ax2＋bx＋c，由已知，这个图象经过点(0，4)，可以得到 c＝4，又由于其图 象过(8，0)、(－2，0)两点，可以得到
64a＋8b＝－4 4a－2b＝－4
解这个方程组，得
a b
3 2
1 4
所以，所求二次函数的关系式是 y＝－1x2＋3x＋4 42
练习： 一条抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标是 3，求这条抛物线的解析式。
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(提高)
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（提高）【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1. 已知抛物线y ax bx c =++2经过A ，B ，C 三点，当x ≥0时，其图象如图1所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.图1【答案与解析】设所求抛物线的解析式为y ax bx c =++2（a ≠0）.由图象可知A ，B ，C 的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）.∴=++=++=-⎧⎨⎪⎩⎪c a b c a b c 216402553,,，解之，得a b c =-==⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪12322,,∴抛物线的解析式为y x x =-++123222 y x x x =--+=--+1232123225822()()∴该抛物线的顶点坐标为()32258，.【总结升华】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息.已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围x ≥0.2. 一条抛物线y x mx n =++142经过点()032，与()432，.求这条抛物线的解析式. 【答案与解析】抛物线y x mx n =++142经过点（032,）和(,)432， ∴这条抛物线的对称轴是直线x =2.设所求抛物线的解析式为y x h =-+1422(). 将点(,)032代入，得1402322()-+=h ，解得h =12. ∴这条抛物线的解析式为y x =-+142122()，即y x x =-+14322. 【总结升华】解析式中的a 值已经知道，只需求出m n ,的值。
人教版数学九年级上册：22.1.4 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式 (含答案)
第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是( )A ．y ＝2x 2＋x ＋2B ．y ＝x 2＋3x ＋2C ．y ＝x 2－2x ＋3D ．y ＝x 2－3x ＋22．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图22－1－27所示，那么这个函数的解析式为( )图22－1－27A ．y ＝13x 2＋23x ＋1B ．y ＝13x 2＋23x －1C ．y ＝13x 2－23x －1D ．y ＝13x 2－23x ＋13．已知A (0，3)，B (2，3)是抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上两点，则该抛物线的顶点坐标是________． 4．已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (3，0)，B (2，－3)，C (0，－3)．(1)求抛物线的解析式；(2)设D 是抛物线上一点，且点D 的横坐标为－2，求△AOD 的面积．5．已知某二次函数的图象如图22－1－28所示，则这个二次函数的解析式为( )图22－1－28A ．y ＝2(x ＋1)2＋8B ．y ＝18(x ＋1)2－8C ．y ＝29(x －1)2＋8D ．y ＝2(x －1)2－86．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的解析式可以是____________．(只需写一个)7．已知一个二次函数的图象经过点(4，－3)，并且当x ＝3时，函数有最大值4，求该二次函数的解析式．8．某抛物线的形状、开口方向与抛物线y ＝12x 2－4x ＋3相同，顶点坐标为(－2，1)，则该抛物线的函数解析式为( )A ．y ＝12(x －2)2＋1B ．y ＝12(x ＋2)2－1C ．y ＝12(x ＋2)2＋1D ．y ＝－12(x ＋2)2＋19．若y ＝ax 2＋bx ＋c ，则由表格中信息可知y 与x 之间的函数解析式是( )A.y ＝x 2－4x ＋3 B ．y ＝x 2－3x ＋4 C ．y ＝x 2－3x ＋3D ．y ＝x 2－4x ＋810．某二次函数的图象如图22－1－29所示，则其解析式为________________．图22－1－2911．如果抛物线y ＝(k ＋1)x 2＋x －k 2＋2与y 轴的交点坐标为(0，1)，那么k 的值是__________． 12．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过原点及点(－2，－2)，且图象与x 轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的解析式为________________________． 13.已知抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过点(1，0)，(0，32)．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)将抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后抛物线的函数解析式．14．[2019·永州] 如图22－1－30，已知抛物线经过A(－3，0)，B(0，3)两点，且其对称轴为直线x ＝－1.(1)求此抛物线的函数解析式；(2)若P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点(不包括点A 与点B)，求△PAB 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．图22－1－3015．如图22－1－31，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4)．(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式；(2)P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长的最大值．图22－1－3116．抛物线C：y＝ax2＋bx经过A(－4，0)，B(－1，3)两点，求抛物线C的函数解析式．17．已知抛物线经过A(－5，0)，B(0，5)两点，且其对称轴为直线x＝－2，求此抛物线的函数解析式．答案1．D [解析] 设函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0，c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，c ＝2.∴该函数的解析式为y ＝x 2－3x ＋2.2．C [解析] 根据图象可知抛物线经过点(－1，0)，(3，0)，(0，－1)，设这个二次函数的解析式是y ＝ax 2＋bx ＋c.根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－23，c ＝－1. 所以这个二次函数的解析式是y ＝13x 2－23x －1.故选C .3．(1，4)4．解：(1)把A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝－3，c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.则抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3.(2)把x ＝－2代入抛物线的解析式，得y ＝5，即D(－2，5)． ∵A(3，0)，即OA ＝3，∴S △AOD ＝12×3×5＝152.5．D [解析] 因为抛物线的顶点坐标是(1，－8)， 所以设抛物线的函数解析式是y ＝a(x －1)2－8. 因为点(3，0)在这个二次函数的图象上， 所以0＝a(3－1)2－8，解得a ＝2.所以这个二次函数的解析式为y ＝2(x －1)2－8.6．答案不唯一，如y ＝2x 2－1 [解析] ∵二次函数图象的顶点坐标为(0，－1)，∴设该二次函数的解析式为y ＝ax 2－1.又∵二次函数的图象开口向上，∴a ＞0.∴这个二次函数的解析式可以是y ＝2x 2－1(答案不唯一)．7．解：∵当x ＝3时，函数有最大值4， ∴函数图象的顶点坐标为(3，4)． 故设此函数的解析式是y ＝a(x －3)2＋4.再把(4，－3)代入函数解析式，得a×(4－3)2＋4＝－3，解得a ＝－7. 故二次函数的解析式是y ＝－7(x －3)2＋4， 即y ＝－7x 2＋42x －59.8．C [解析] 已知抛物线的顶点坐标，可以设顶点式y ＝a(x ＋2)2＋1.又因为该抛物线的形状、开口方向与抛物线y ＝12x 2－4x ＋3相同，所以a ＝12，所以该抛物线的函数解析式是y＝12(x ＋2)2＋1. 9．A [解析] ∵当x ＝1时，ax 2＝1，∴a ＝1. 将(－1，8)，(0，3)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝8，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3. ∴y 与x 之间的函数解析式是y ＝x 2－4x ＋3.故选A .10．y ＝－x 2＋2x ＋3 [解析] 由图象可知，抛物线的对称轴是直线x ＝1，与y 轴交于点(0，3)，与x 轴交于点(－1，0)，设其解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b2a＝1，c ＝3，a －b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3.故二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.11．1 [解析] ∵抛物线y ＝(k ＋1)x 2＋x －k 2＋2与y 轴的交点坐标为(0，1)， ∴－k 2＋2＝1.解得k ＝±1. 又∵k ＋1≠0，∴k ＝1.故答案为1. 12．y ＝12x 2＋2x 或y ＝－16x 2＋23x[解析] ∵二次函数图象与x 轴的另一个交点到原点的距离为4， ∴这个交点坐标为(－4，0)或(4，0)， ①若这个交点坐标为(－4，0)，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，4a －2b ＋c ＝－2，16a －4b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝2，c ＝0，∴该二次函数的解析式为y ＝12x 2＋2x ；②若这个交点坐标为(4，0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，4a －2b ＋c ＝－2，16a ＋4b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－16，b ＝23，c ＝0，∴该二次函数的解析式为y ＝－16x 2＋23x.故这个二次函数的解析式为y ＝12x 2＋2x 或y ＝－16x 2＋23x.13．解：(1)把(1，0)，(0，32)代入抛物线的解析式得⎩⎨⎧－12＋b ＋c ＝0，c ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝32.则抛物线的函数解析式为y ＝－12x 2－x ＋32.(2)y ＝－12x 2－x ＋32＝－12(x ＋1)2＋2，可将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，其顶点恰好落在原点(平移方法不唯一)，平移后抛物线的函数解析式为y ＝－12x 2.14．解：(1)∵抛物线的对称轴是直线x ＝－1且经过点A(－3，0)， ∴抛物线还经过点(1，0)．设抛物线的函数解析式为y ＝a(x －1)(x ＋3)． 把B(0，3)代入，得3＝－3a.解得a ＝－1.∴抛物线的函数解析式为y ＝－(x －1)(x ＋3)＝－x 2－2x ＋3. (2)设直线AB 的函数解析式为y ＝kx ＋b. ∵A(－3，0)，B(0，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝0，b ＝3，解得{k ＝1，b ＝3. ∴直线AB 的函数解析式为y ＝x ＋3.过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，交直线AB 于点M. 设P(x ，－x 2－2x ＋3)，则M(x ，x ＋3)， ∴PM ＝－x 2－2x ＋3－(x ＋3)＝－x 2－3x.∴S △PAB ＝12(－x 2－3x)×3＝－32(x ＋32)2＋278.∴当x ＝－32时，S △PAB 有最大值，为278，此时y P ＝－(－32)2－2×(－32)＋3＝154，∴△PAB 面积的最大值为278，此时点P 的坐标为(－32，154)．15．解：(1)∵抛物线的顶点C 的坐标为(1，4)， ∴设二次函数的顶点式为y ＝a(x －1)2＋4. 把B(3，0)代入，得0＝a(3－1)2＋4. 解得a ＝－1.∴二次函数的解析式为y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3. 令x ＝0，则y ＝3，∴点D 的坐标为(0，3)．设直线BD 的解析式为y ＝mx ＋n ，把B(3，0)，D(0，3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝3m ＋n ，3＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝3.∴直线BD 的解析式为y ＝－x ＋3.(2)设点P 的横坐标为x ，则点P 的坐标为(x ，－x ＋3)，点M 的坐标为(x ，－x 2＋2x ＋3)． ∵点P 在第一象限，∴线段PM 的长为y M －y P ＝－x 2＋2x ＋3－(－x ＋3)＝－x 2＋3x ＝－(x －32)2＋94.∴当x ＝32时，线段PM 的长有最大值，最大值是94.16．解：(1)将A(－4，0)，B(－1，3)代入y ＝ax 2＋bx中，得⎩⎪⎨⎪⎧16a －4b ＝0，a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－4，∴抛物线C 的函数解析式为y ＝－x 2－4x. 17．解：设抛物线的函数解析式为y ＝a(x ＋2)2＋k. 代入A ，B 两点的坐标，得⎩⎪⎨⎪⎧（－5＋2）2a ＋k ＝0，4a ＋k ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，k ＝9. 所以此抛物线的函数解析式为y ＝－(x ＋2)2＋9，即y ＝－x 2－4x ＋5.。
最新人教版九年级数学上册《第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式》精品教学课件
状元成才路
4.已知函数图象过已知三点，求出函数的解析式： (1) (1, 1),(0, 2),(1,1); (2) (1,0),(3,0),(1, 5).
解：（1）选用一般式求解析式： y 2x2 x 2
（2）选用交点式求解析式：
y 5 x 12 5
4
状元成才路
根据已知条件选设函数解析式： 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择 适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况： ①已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； ②已知抛物线顶点坐标或对称轴或最大（小）值，一般选用顶 点式； ③已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式； ④已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式（可求出对 称轴）.
a-b+c=10 由已知得： a+b+c=4
4a+2b+c=7
第一步:设出解析式的形式； 第二步:代入已知点的坐标； 第三步：解方程组。
∴解方程组得：a=2, b= -3, c=5 因此，所求二次函数是：y=2x2-3x+5.
状元成才路
任意两点的连 线不与y轴平行
归纳
求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定 系数a，b，c的值。
状元成才路
已知抛物线顶点为(1,-4)，且又过点(2,-3)，求其解析式. 解：∵抛物线顶点为(1,-4)
∴设其解析式为y=a(x-1)2-4， 又抛物线过点(2,-3)， 则-3=a(2-1)2-4，则a=1. ∴其解析式为y=(x-1)2-4＝x2-2x-3.
状元成才路
归纳
已知顶点坐标和一点，求二次函数解析式的一般 步骤: 第一步：设解析式为y=a(x-h)2+k. 第二步：将已知点坐标代入求a值得出解析式.
第12课 用待定系数法求二次函数解析式(顶点式或交点式) -2020年中考数学专项突破课之二次函数
中考专项突破课 二次函数第12课 用待定系数法求二次函数解析式(顶点式或交点式)一、典例分析例1：对称轴为2x =-，顶点在x 轴上，并与y 轴交于点(0,3)的抛物线解析式为 ．【解析】设抛物线解析式为2(2)y a x =+，把(0,3)代入可得43a =，解得34a =， 所以抛物线解析式为23(2)4y x =+， 故答案为：23(2)4y x =+． 例2：已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(3,0)-、(1,0)，且与y 轴的交点为(0,3)-，求这个函数解析式和抛物线的顶点坐标．【解析】设抛物线解析式为(3)(1)y a x x =+-，把(0,3)-代入得3(1)3a -=-g g ，解得1a =，所以抛物线解析式为2(3)(1)23y x x x x =+-=+-，而2223(1)4y x x x =+-=+-，所以抛物线得顶点坐标为(1,4)-．二、知识点小结：三、知识点检测1．抛物线的顶点为(1,4)-，与y 轴交于点(0,3)-，则该抛物线的解析式为( )A ．223y x x =--B ．223y x x =+-C ．223y x x =-+D ．2233y x x =--【解析】设抛物线的解析式为2(1)4y a x =--，将(0,3)-代入2(1)4y a x =--，得：23(01)4a -=--，解得：1a =，∴抛物线的解析式为22(1)423y x x x =--=--．故选：A ．2．已知抛物线的顶点为(1,3)--，与y 轴的交点为(0,5)-，求抛物线的解析式．【解析】根据题意设2(1)3y a x =+-，将(0,5)-代入得：35a -=-，解得：2a =-，则抛物线解析式为222(1)3245y x x x =-+-=---．故抛物线的解析式为2245y x x =---．3．已知二次函数2286y x x =-+．（1） 把它化成2()y a x h k =-+的形式为： 22(2)2y x =-- ．（2） 直接写出抛物线的顶点坐标： ；对称轴： ．（3） 求该抛物线于坐标轴的交点坐标 ．【解析】 （1）2222862(44)862(2)2y x x x x x =-+=-+-+=--；（2）22(2)2y x =--Q ， ∴抛物线的顶点坐标是：(2,2)-；对称轴是：2x =；（3）2286y x x =-+Q ， ∴当0y =时，22860x x -+=，解得11x =，23x =，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)；当0x =时，6y =，∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0,6)．故答案为22(2)2y x =--；(2,2)-，2x =．4．已知抛物线2y ax bx c =++顶点坐标为(4,1)-，与y 轴交于点(0,3)，求这条抛物线的解析式．【解析】设这条抛物线的解析式为2(4)1y a x =--，把点(0,3)代入2(4)1y a x =--得14a =， ∴这条抛物线的解析式为21(4)14y x =-- 即21234y x x =-+． 5．已知抛物线的顶点坐标是(3,1)-，与y 轴的交点是(0,4)-，求这个抛物线的关系式．【解析】根据抛物线的顶点坐标是(3,1)-，设抛物线解析式为：2(3)1y a x =--，把y 轴的交点是(0,4)-代入得：13a =-， ∴抛物线的关系式为21(3)13y x =---． 6．已知某二次函数图象与x 轴交于点(3,0)A 与点(2,0)B -，且函数图象与y 轴交于(0,3)，求二次函数的解析式．【解析】设抛物线解析式为(3)(2)y a x x =-+，把(0,3)代入得(3)23a -=g g ，解得12a =-， 所以抛物线解析式为2111(3)(2)3222y x x x x =--+=-++． 7．已知抛物线的顶点坐标为(1,2)M -，且经过点(2,3)N ，求此二次函数的解析式及抛物线与y 轴的交点坐标．【解析】设2()y a x h k =++过顶点(1,2)M -，得：2(1)2y a x =-- Q 经过点(2,3)N ，23(21)2a ∴=--，5a ∴=，25(1)2y x ∴=--，当0x =时，25(01)23y =--= ∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0,3)．8．已知二次函数的图象以(1,4)A -为顶点，且过点(2,5)B -．（1）求该二次函数的表达式；（2）求该二次函数图象与y 轴的交点坐标．【解析】（1）由顶点(1,4)A -，可设二次函数关系式为2(1)4(0)y a x a =++≠．Q 二次函数的图象过点(2,5)B -， ∴点(2,5)B -满足二次函数关系式， 25(21)4a ∴-=++，解得1a =-． ∴二次函数的关系式是2(1)4y x =-++；（2）令0x =，则2(01)43y =-++=， ∴图象与y 轴的交点坐标为(0,3)．。
部编数学九年级上册待定系数法求二次函数解析式(讲+练)【7种题型】2023考点题型精讲 解析版含答案
22.1.5待定系数法求二次函数解析式二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)．注意：确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．题型1：一般式求二次函数解析式-一个或两个参数未知1.若抛物线y ＝x 2+bx +c 的对称轴为y 轴，且点P （2，6）在该抛物线上，则c 的值为（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．4【答案】C 【解析】【解答】解：∵抛物线y ＝x 2+bx+c 的对称轴为y 轴，∴b ＝0，∵点P （2，6）在该抛物线上，∴6＝4+c ，解得：c ＝2．题型2：一般式求二次函数解析式-a、b、c未知2.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，8）、B（2，﹣1），与y轴交于点C（0，3），求二次函数的表达式．【答案】解：把A（﹣1，8）、B（2，﹣1），C（0，3）都代入y＝ax2+bx+c中，得a−b+c=84a+2b+c=−1c=3，解得a=1b=−4c=3，的三元一次方程组，解出a、b、c的值即得y=−x+6x−5，然后将其化为顶点式，即可得出结论.题型3：顶点式求二次函数解析式3.已知抛物线的顶点是A（2，﹣3），且交y 轴于点B（0，5），求此抛物线的解析式.应的y值，则可得点A的坐标.【变式3-2】已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.【答案】解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为(1，−4)，∴设抛物线的函数关系式为y=a(x−1)2−4，又∵抛物线过点C(0，-3)，∴-3=a(0−1)2−4，解得a=1，∴抛物线的函数关系式为y=(x−1)2−4，即y=x2−2x−3；（ 2 ）令y=0，得：x2−2x−3=0，解得x1=3，x2=−1.所以坐标为A（-1，0），B（3，0）.【解析】【分析】（1）设出抛物线方程的顶点式，将点C的坐标代入即可求得抛物线方程；（2）对该抛物线令y=0，解二元一次方程即可求得点A，B的坐标.题型4：交点式求二次函数解析式4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点，求这个二次函数的解析式．【答案】解：设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），把C（0，-3）代入得a×1×（-3）=-3，解得a=1，所以这个二次函数的解析式为y=（x+1）（x-3）=x2-2x-3【解析】【分析】根据A，B，C三点的坐标特点，设出所求函数的交点式，再将C点的坐标代入即可求出a的值，从而得出抛物线的解析式。
第09讲 待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一元二次方程-九年级数学(解析版)
第09讲待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一元二次方程【人教版】·模块一用待定系数法求二次函数解析式·模块二二次函数与一元二次方程·模块三课后作业用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：y=ax²+bx+c，已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式；（2）顶点式：y=a（x-h)²+k，已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式；（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y=a（x-x1)（x-x2).【考点1用“一般式”求二次函数解析式】【例1.1】已知点A(1，2)、B(2，3)、C(2，1)，那么抛物线=B2+B+1可以经过的点是（）A．点A、B、C B．点A、B C．点A、C D．点B、C【答案】C【分析】先把o1，2)，o2，1)代入抛物线的解析式，求解抛物线的解析式为：=−2+ 2+1，再判断不在抛物线上，从而可得答案．【详解】解：把o1，2)，o2，1)代入抛物线的解析式，∴{++1=24+2+1=1即：{+=12+=0解得：{=−1=2,∴抛物线为：=−2+2+1,当=2时，=−4+4+1=1≠3,∴o2，3)不在抛物线=−2+2+1上，∴抛物线=B2+B+1可以经过的点是s u故选：u【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线上点的坐标特点，掌握以上知识是解题的关键．【例1.2】二次函数=B 2+B +自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表．x …−10123…y…105212…则当=5时，y 的值为（）A ．2B ．1C ．5D ．10【答案】D【分析】先任选三组数据，利用待定系数法求出二次函数解析式，再计算当=5时的函数值.【详解】由表可知，二次函数y =B 2+B +o ≠0)的图象经过0,5,1,2,2,1，则=5++=24+2+=1，解得：=1=−4=5，∴二次函数解析式为：=2−4+5当=5时，函数值=2−4+5=52−4×5+5=10.故选：D【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用待定系数法求二次函数解析式.【例1.3】已知抛物线=B 2+B +≠0经过点（2，），（3，），（4，2），那么++的值是（）A ．2B ．3C ．4D ．【答案】A【分析】把点（2，），（3，），（4，2）代入抛物线，解三元一次方程组即可求解．【详解】解：∵抛物线=B 2+B +≠0经过点（2，），（3，），（4，2），∴4+2+=9+3+=16+4+=2，解得，=1−12=52−5=6−2，∴++=1−12+52−5+6−2=2，故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数与三元一次方程组的综合，掌握二次函数的代入法，解三元一次方程组的方法是解题的关键．【变式1.1】已知：二次函数=B 2+B +的图象经过点−1,0、3,0和0,3，当=2时，y 的值为__________．【答案】3【分析】根据题意可得交点式=−3+1，然后把0,3代入求出a 值，即可求出二次函数表达式．【详解】解：∵二次函数=B 2+B +的图象经过点−1,0、3,0∴抛物线的解析式为=−3+1，把0,3代入得：−3=3，解得：=−1，∴函数的解析式为=−−3+1，即=−2+2+3，∴当=2时，=−22+2×2+3=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．【变式1.2】二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A ．=2+2−3B ．=2−2−3C ．=−2+2−3D ．=−2−2+3【答案】B【分析】根据题意，由函数图像的对称轴及与x 轴的一个交点，则可以知道函数与x 轴的另一个交点，再根据待定系数法求解函数解析式即可．【详解】根据题意，二次函数对称轴为=1，与x 轴的一个交点为(−1,0)，则函数与x 轴的另一个交点为(3,0)，故设二次函数的表达式为=B 2+B +，函数另外两点坐标(−1,0)，(1,−4)可得方程组0=9+3+0=−+−4=++，解得方程组得=1=−2=−3，所以二次函数表达式为=2−2−3．故答案为B．【点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法和二次函数的对称轴的问题，同时考查学生解方程组的知识，是比较常见的题目．【变式1.3】已知二次函数=B2+B+（a，b，c为常数）的部分取值如下表，该二次函数图象上有三点−4,1，−2,2，2,3，则1，2，3的大小关系是（）x-5-11y151A．1<2<3B．1<3<2C．3<1<2D．2<1<3【答案】C【分析】先根据表格数据，用待定系数法求出二次函数解析式，再把−4,1，−2,2，2,3，分别代入二次函数解板式，求出1，2，3的值，即可求解．【详解】解：把当=−5，=1，当=−1，=5，当=1，=1，代入=B2+B+，得25−5+=1−+=5++=1，解得：=−12=−2 =72，∴=−122−2+72，把−4,1，−2,2，2,3，分别代入=−122−2+72，得1=−12×−42−2×−4+72=72，2=−12×−22−2×−2+72=32，3=−12×22−2×2+72=−52，∴3<1<2，故选：C．【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．【考点2用“顶点式”求二次函数解析式】【例2.1】已知，二次函数的图像过点（1，18），顶点是（−1，−2），则此二次函数的表达式是（）．A．=52+10+3B．=52+10−2C．=52+10+7D．=52−10−3【答案】A【分析】设二次函数的解析式为=−ℎ2+，顶点是（−1，−2），则=+12−2，把（1，18）代入，即18=1+12−2，=5，那么=5+12−2=52+10+3．【详解】根据题意设二次函数的解析式为=+12−2，把（1，18）代入，即18=1+12−2，=5，那么=5+12−2=52+10+3，故选：A．【点睛】本题主要考查是二次函数的顶点式、一般式等知识内容，熟练掌握二次函数的顶点式y=a x−ℎ2+k，顶点是（ℎ，k）是解题的关键．【例2.2】已知一个二次函数的图象经过点（2，2），顶点为（−1，−1），将该函数图象向右平移，当他再次经过点（2，2）时，所得抛物线表达式为（）A．=−13(−5)2+1B．=13(−5)2−1C．=−13(+4)2−10D．=3(−7)2−1【答案】B【分析】根据题意，求出平移距离，即可求出平移后抛物线的顶点坐标，设平移后，二次函数的解析式为=o−5)2−1，将（2，2）代入即可求出结论．【详解】解：由题意可知：平移前，点（2，2）关于抛物线的对称轴直线x=-1的对称点为（-4，2）向右平移后，点（-4，2）平移到（2，2）∴抛物线向右平移了2－（-4）=6个单位长度∴平移后抛物线的顶点坐标为（5，-1）设平移后，二次函数的解析式为=o−5)2−1将（2，2）代入，得2=o2−5)2−1解得：a=13∴平移后，二次函数的解析式为=13(−5)2−1故选B．【点睛】此题考查的是抛物线的平移和求抛物线解析式，根据题意求出平移距离是解题关键．【例2.3】已知二次函数图象的对称轴是直线=2，函数的最小值为3，且图象经过点−1,5，则此二次函数的解析式是_____．【答案】=292−89+359【分析】由题意可知二次函数的图象的顶点坐标为2,3，所以设其解析式为“顶点式”，再代入点−1,5，即可求出解析式．【详解】根据题意，设二次函数的解析式为=−22+3，将点−1,5代入得，5=−1−22+3，整理得：9=2，解得：=29−22+3=292−89+359，∴二次函数的解析式为：=故答案为：=292−89+359．【点睛】本题考查二次函数的解析式，解题的关键是理解题意，设出解析式的“顶点式”．【变式2.1】某二次函数的图象与函数y＝12x2﹣4x＋3的图象形状相同、开口方向一致，且顶点坐标为（﹣2，1），则该二次函数表达式为（）A．y＝12（x﹣2）2＋1B．y＝12（x﹣2）2﹣1C．y＝12（x＋2）2＋1D．y＝﹣12（x＋2）2＋1【答案】C【分析】设二次函数的解析式为=o−ℎ)2+o≠0)，根据顶点坐标为（﹣2，1）以及与函数y＝12x2﹣4x＋3的图象形状相同、开口方向一致，可确定函数的解析式．【详解】解：设二次函数的解析式为=o−ℎ)2+o≠0)，∵二次函数的图像顶点坐标为（﹣2，1），∴二次函数的解析式为=o+2)2+1，∵二次函数的图象与函数y＝12x2﹣4x＋3的图象形状相同、开口方向一致，∴二次函数的解析式为：=12(+2)2+1，故选：C．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，读懂题意，熟练掌握二次函数的几种形式是解本题的关键．【变式2.2】一个二次函数的图象的顶点坐标是2,−3，与y轴的交点是0,5，这个二次函数的解析式是（）A．=22−4+11B．=22−4+5C．=22−8+5D．=22+8+5【答案】C【分析】根据顶点坐标，可设二次函数解析式为=−22−3，然后将0,5代入解析式中，求出a的值，并将顶点式化为一般式即可得出结论．【详解】解：根据题意，设二次函数解析式为=−22−3，将0,5代入=−22−3中，得5=0−22−3解得：a=2∴二次函数解析式为=2−22−3=22−8+5故选C．【点睛】此题考查的是求二次函数解析式，掌握利用待定系数法求二次函数解析式是解题关键．【变式2.3】二次函数与y轴的交点到原点的距离为8，它的顶点坐标为(−1,2)，那么它的解析式为_________．【答案】=6(+1)2+2或=−10(+1)2+2【分析】根据二次函数的顶点坐标设出顶点式，然后根据二次函数与y轴的交点到原点的距离为8，得出二次函数经过(0,8)或(0,−8)，分别代入求解即可．【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为(−1,2)，∴设二次函数解析式为=o+1)2+2，∵二次函数与y轴的交点到原点的距离为8，∴二次函数经过(0,8)或(0,−8)，∴8=+2或−8=+2，解得：=6或=−10，∴二次函数的解析式为=6(+1)2+2或=−10(+1)2+2，故答案为：=6(+1)2+2或=−10(+1)2+2．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的几种形式是解本题的关键．【考点3用“交点式”求二次函数解析式】【例3.1】已知抛物线与轴交点的横坐标为−3和2，且过点(1,−8)，它对应的函数解析式为（）A．=2+−6B．=−2−+6C．=−22−2+12D．=22+ 2−12【答案】D【分析】设函数解析式为=o+3)(−2)，将点(1,−8)代入即可求得a的值，可得结果．【详解】解：设抛物线函数解析式为：=o+3)(−2)，∵抛物线经过点(1,−8)，∴−8=o1+3)(1−2)，解得：=2，∴抛物线解析式为：=2(+3)(−2)，整理得：=22+2−12，故选：D．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，设出二次函数的交点式是解题的关键．【例3.2】二次函数图象如图所示，则其解析式是（）A．=−432+83+4B．=432+83+4C．=−432−83+4D．=−432+83+3【答案】A【分析】设=o+1)(−3)，把（0，4）代入求出a的值，即可得出结论．【详解】设=o+1)(−3)，把（0，4）代入得：4=－3a，解得：=−43，∴=−43(+1)(−3)，整理得：=−432+83+4．故选A．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．【变式3.1】已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），则该抛物线的解析式为__________．【答案】y＝﹣x2﹣2x+3【分析】由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y=a（x+3）（x-1），然后把C 点坐标代入求出a的值即可．【详解】设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-1），把C（0，3）代入得a•3•（-1）=3，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-（x+3）（x-1），即y=-x2-2x+3．故答案为y=-x2-2x+3．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．【变式3.2】某二次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），（4，0），且它的形状与y＝﹣x2形状相同．则这个二次函数的解析式为_____．【答案】y＝﹣x2+3x+4或y＝x2﹣3x﹣4．【分析】根据图象与x轴交于点（﹣1，0），（4，0）可设两点式解答，根据形状与y＝﹣x2形状相同，可知二次项系数为﹣1或1，于是可得二次函数解析式．【详解】∵函数图象与x轴交于点（﹣1，0），（4，0），∴设解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），又因为图象的形状与y＝﹣x2形状相同，故a＝﹣1或1，所以解析式为y＝±（x+1）（x﹣4），整理得，y＝﹣x2+3x+4或y＝x2﹣3x﹣4．故答案为y＝﹣x2+3x+4或y＝x2﹣3x﹣4．【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式，由于知道二次函数图象与x轴交点，故设两点式较为简便．直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线y=ax²+bx+c的交点为(0,c);（2）与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax²+bx+c有且只有一个交点(h,ah²+bh+c).（3）抛物线与x轴的交点二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，就是对应一元二次方程y=ax²+bx+c的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔Δ＞0⇔抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）⇔Δ=0⇔抛物线与x轴相切；③没有交点⇔Δ＜0⇔抛物线与x轴相离.【考点1抛物线与x轴的交点】【例1.1】抛物线=2−4−5交轴于，两点，则B长为______．【答案】6【分析】根据抛物线y=x2-4x-5与x轴分别交于A、B两点，可以令y=0求得点A、B的坐标，从而可以求得AB的长．【详解】解：∵y=x2-4x-5，∴y=0时，x2-4x-5=0，解得，x1=-1，x2=5．∵抛物线y=x2-4x-5与x轴分别交于A、B两点，∴点A的坐标为(-1，0)，点B的坐标为(5，0)，∴AB的长为：5-(-1)=6．故答案为：6．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，以及数轴上两点间的距离，解题的关键是明确抛物线与x轴相交时，y=0．【例1.2】抛物线=−1+3与x轴的两个交点之间的距离是（）A．72B．2C．12D．4【答案】D【分析】先求出函数图像与x轴交点的坐标，进而即可求解．【详解】解：当=0时，−1+3=0，解得：1=−3，2=1，∴抛物线与x轴的交点坐标为−3,0和1,0，∴抛物线与x轴的两个交点之间的距离：1−−3=4，故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，解一元二次方程；正确理解题意，求出抛物线与x轴交点坐标是解题的关键．【例1.3】抛物线的部分图像如图所示，它与轴的一个交点坐标为−3,0，对称轴为=−1，则它与轴的另一个交点坐标为（）A．4,0B．3,0C．2,0D．1,0【答案】D【分析】直接根据二次函数与轴的交点关于=−1对称可得结果．【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点坐标为−3,0，对称轴为J−1，∴−1−(−3)=2，∴−1+2=1，∴它与轴的另一个交点坐标为1,0，故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．【变式1.1】二次函数J2−+1的图象与坐标轴的交点有_____个．【答案】1【分析】计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与轴的交点，再解方程2−+1=0，可判断抛物线与轴的交点，从而可判断抛物线与坐标轴的交点个数．【详解】解：当J0时，J2−+1=1，则抛物线与轴的交点坐标为0，1；当J0时，2−+1=0，方程无解；所以二次函数J2−+1的图象与坐标轴有1交点．故答案为：1．【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数JB2+B+（，，是常数，≠0）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程是解题关键．【变式1.2】已知函数=2−6+5的部分图象（如图），满足<0的的取值范围是____．【答案】1<<5【分析】首先由图象可求得该抛物线与x轴的另一个交点的横坐标，再根据图象即可求解．【详解】解：由=2−6+5，当=0时，2−6+5=0解得：1=1,2=5∴该抛物线与x轴的交点的横坐标1，5，∵该抛物线的开口向上，∴当<0时，的取值范围是1<<5，故答案为：1<<5．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，从图象中获取相关信息是解决本题的关键．【变式1.3】抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（3，0），则点Q的坐标为______．【答案】（-1，0）【分析】根据抛物线的对称轴结合点P的横坐标，即可求出点Q的横坐标，此题得解．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，点P的坐标为（3，0），∴点Q的横坐标为1×2-3=-1，∴点Q的坐标为（-1，0）．故答案为：（-1，0）．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，牢记抛物线的对称性是解题的关键．【考点2用二次函数解一元二次方程】【例2.1】已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（）A．x1＝﹣4，x2＝2B．x1＝﹣3，x2＝﹣1C．x1＝﹣4，x2＝﹣2D．x1＝﹣2，x2＝2【答案】A【分析】关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根即为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标．【详解】解：根据图象知，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的一个交点是（2，0），对称轴是直线x＝−1．设该抛物线与x轴的另一个交点是（x，0）．则r22=−1，解得，x＝－4，即该抛物线与x轴的另一个交点是（－4，0）．所以关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根为x1＝−4，x2＝2．故选：A．【例2.2】已知二次函数=B2+B+≠0图像上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表：x…01234…y…－3－4－305…请根据上表直接写出方程B2+B+=0≠0的解为______．【答案】1=−1，2=3【分析】由表格信息可知，二次函数的对称轴为=1，当=3时，函数值为零，根据函数的对称性，即可求解．【详解】解：据题意得，当=0时，=−3；当=2时，=−3，∴对称轴为=1，当=3时，=0，根据函数关于对称轴对称可知，当=−1时，=0，∴方程B2+B+=0≠0的解为1=−1，2=3，故答案为：1=−1，2=3．【点睛】本题主要考查二次函数图像与一元二次方程解的综合，掌握二次函数图像的性质解一元二次方程是解题的关键．【例2.3】已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解为_____．【答案】x1＝﹣4，x2＝2【分析】根据图象可知，二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象经过点（﹣4，0），把该点代入方程，求得m值；然后把m值代入关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0，求根即可．【详解】解：根据图象可知，二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象经过点（﹣4，0），所以该点适合方程y＝﹣x2﹣2x+m，代入，得（﹣4）2+2×（﹣4）+m＝0解得，m＝8①把①代入一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0，得﹣x2﹣2x+8＝0，②解②，得x1＝﹣4，x2＝2∴关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解为x1＝﹣4，x2＝2故答案为x1＝﹣4，x2＝2．【点睛】本题考查的是关于二次函数与一元二次方程，在解题过程中，充分利用二次函数图象，求出m的值是解题关键．【变式2.1】若二次函数=B2+B+的图象如图所示，则方程B2+B+=0的解为（）A．1=0,2=3B．1=1,2=3C．1=1,2=0D．1=−1,2=3【答案】D【分析】由抛物线与x轴的交点横坐标可得方程B2+B+=0的解．【详解】解：由图象可得抛物线=B2+B+经过−1,0,3,0，∴方程B2+B+=0的解为1=−1,2=3．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．【变式2.2】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答下列问题：（1）点B的坐标为；（2）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为；（3）方程ax2+bx+c=0的两个根为【答案】（1）（3，0）；（2）x＞1；（3）x1=-1，x2=3【分析】（1）由图象可得：A、B到直线x=1的距离相等，根据A的坐标，即可求出B点坐标；（2）利用图象得出函数对称轴进而得出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（3）根据方程ax2+bx+c=0，即图象与x轴交点，进而得出方程的两个根【详解】解：（1）由图象可得：A、B到直线x=1的距离相等，∵A（-1，0）∴B点坐标为：（3，0）故答案为（3，0）；（2）由图象可得：y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是：x＞1；故答案为x＞1；（3）∵方程ax2+bx+c=0，即图象与x轴交点，∴方程ax2+bx+c=0的两个根是：x1=-1，x2=3；故答案为x1=-1，x2=3【考点3用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】【例3.1】在求解方程B2+B+=0(≠0)时，先在平面直角坐标系中画出函数=B2+ B+的图象，观察图象与轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析右图中的信息，方程的近似解是（）A．1=−3，2=2B．1=−3，2=3C．1=−2，2=2D．1=−2，2=3【答案】D【分析】由题意观察=B2+B+的图象，进而根据与轴的两个交点的横坐标进行分析即可.【详解】解：因为两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，两个交点的横坐标为：1=−2，2=3，所以方程的近似解是1=−2，2=3.故选：D.【点睛】本题考查二次函数图象与轴的交点问题，熟练掌握并结论方程思想可知与轴的两个交点的横坐标可以看作是方程B2+B+=0(≠0)的近似解进行分析.【例3.2】根据下表列出的函数=B2+B+的几组与的对应值，判断方程B2+B+ =0一个解的范围是（）3.23 3.24 3.253.26−0.37−0.110.090.28A．3<<3.23B．3.23<<3.24C．3.24<<3.25D．3.25<<3.26【答案】C【分析】根据表格数据，便可求值根的范围．【详解】解：由表格数据可知：当=3.24时，=−0.11；当=3.25，=0.09∴一个根的范围是：3.24<<3.25故选：C．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程根之间的关系，属于基础题，准确理解题意是解题关键．【变式3.1】根据表中二次函数=B2+B+的自变量与函数值的对应值，判断一元二次方程B2+B+=0的一个根的取值范围是（）6.17 6.18 6.196.20−0.03−0.010.020.04A．6<<6.17B．6.17<<6.18C．6.18<<6.19D．6.19<<7【答案】C【分析】根据一元二次方程B2+B+=0的根即为函数=B2+B+与轴交点的横坐标解答即可．【详解】解：∵当=6.18时，=−0.01，当=6.19时，=0.02，∴一元二次方程B2+B+=0的一个根的取值范围是6.18<<6.19，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与二次函数的关系，熟知一元二次方程B2+B+= 0的根即为函数=B2+B+与轴交点的横坐标是解答本题的关键．【变式3.2】已知二次函数y=-x2-2x+2.(1)填写下表,并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象;x……-4-3-2-1012……y…………(2)结合函数图象,直接写出方程-x2-2x+2=0的近似解(指出在哪两个连续整数之间即可).【答案】(1)见解析；（2）近似解是-3<x<-2或0<x<1.【分析】（1）计算填写表格后利用描点法画出函数图象即可；（2）观察图象，看交点的横坐标在哪两个整数之间，由此即可解答.【详解】(1)x……-4-3-2-1012……y……-6-1232-1-6……所画图象如图.(2)由图象可知,方程-x2-2x+2=0的近似解是-3<x<-2或0<x<1.【点睛】本题考查用二次函数图象的画法及利用函数图象法求一元二次方程的解，解题的关键是看函数图象与x轴交点的位置．【考点4用二次函数的图象解不等式】【例4.1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线=B2+B+<0经过点−1,0，对称轴为直线=1．若<0，则x的取值范围是（）A．<1B．<−1C．−1<<1D．<−1或>3【答案】D【分析】由抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一交点为3,0，根据图象可得出答案．【详解】解：∵抛物线=B2+B+<0经过点−1,0，对称轴为直线=1，∴抛物线与x轴的另一交点为3,0，由图象可知，<0时，x的取值范围是<−1或>3．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，准确识图是解题的关键．【例4.2】已知二次函数=2−4+3的图象与轴交于点o1,0)，o3,0)，则当<0时，的取值范围是（）A．>1B．<3C．<1或>3D．1<<3【答案】D【分析】根据题意确定函数的开口方向，画出函数的大致图，即可确定x的取值范围.【详解】∵a=1∴函数的开口向上∵图象与轴交于点o1,0)，o3,0)∴函数的图象如下：通过图象可知，当1<<3时<0，故选D.【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，有关图象性质得问题，画出大致图更加直观，能根据题意画出函数的大致图并根据图象分析是解决此题的关键.【例4.3】如图，一次函数1=B+≠0与二次函数2=B2+B+≠0的图象相交于−1，5、9，2两点，则关于的不等式B+≤B2+B+的解集为______．【答案】≤−1或≥9【分析】由求关于的不等式B+≤B2+B+的解集，即求一次函数1=B+≠0的图象在二次函数2=B2+B+≠0的图象下方时（包括交点），x的取值范围，再结合图象即可得解．【详解】解：∵求关于的不等式B+≤B2+B+的解集，即求一次函数1=B+≠0的图象在二次函数2=B2+B+≠0的图象下方时（包括交点），x的取值范围，又∵结合图象可知当≤−1和≥9时，一次函数1=B+≠0的图象在二次函数2=B2+B+≠0的图象下方，∴关于的不等式B+≤B2+B+的解集为≤−1或≥9．故答案为：≤−1或≥9．【点睛】本题考查根据交点确定不等式的解集．利用数形结合的思想是解题关键．【变式4.1】已知函数=2−6+5的部分图象（如图），满足<0的的取值范围是____．【答案】1<<5【分析】首先由图象可求得该抛物线与x轴的另一个交点的横坐标，再根据图象即可求解．【详解】解：由=2−6+5，当=0时，2−6+5=0解得：1=1,2=5∴该抛物线与x轴的交点的横坐标1，5，∵该抛物线的开口向上，∴当<0时，的取值范围是1<<5，故答案为：1<<5．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，从图象中获取相关信息是解决本题的关键．【变式4.2】一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝－1；当x＝－2与12时，y＝0（1）求这个二次函数的解析式（2）当y＞0时，x的取值范围是__________（直接写出结果）【答案】（1）=2+32−1；（2）>12或<−2【分析】（1）设二次函数为=o−1)(−2)，由题意可得，1=−2，2=12，将(0,−1)代入求解即可；（2）由（1）得=1>0，开口向上，即可求解．【详解】解：（1）设二次函数为=o−1)(−2)，由题意可得，1=−2，2=12，即二次函数为=o+2)(−12)将(0,−1)代入=o+2)(−12)得×2×(−12)=−1解得=1即=(+2)(−12)=2+32−1故答案为：=2+32−1（2）由（1）得=1>0，开口向上，由题意可得：当x＝－2与12时，y＝0∴当>12或<−2时，>0故答案为：>12或<−2【点睛】此题考查了待定系数法求解二次函数解析式，以及二次函数的性质，解题的关键是根据题意正确求得函数解析式并掌握二次函数的有关性质．【变式4.3】二次函数=B2+B+o≠0)的图象如图所示，根据图象回答下列问题：（1）写出方程B2+B+=0的根；（2）写出不等式B2+B+＜0的解集；（3）若方程B2+B+=无实数根，写出的取值范围．【答案】（1）1=0，2=2；（2）<0或>2；（3）>2【分析】（1）找到抛物线与x轴的交点，即可得出方程ax2+bx+c=0的两个根；（2）找出抛物线在x轴下方时，x的取值范围即可；（3）根据图象可以看出k取值范围．【详解】解：（1）观察图象可知，方程B2+B+=0的根，即为抛物线与轴交点的横坐标，∴1=0，2=2．（2）观察图象可知：不等式B2+B+<0的解集为<0或>2．（3）由图象可知，>2时，方程B2+B+=无实数根．【点睛】本题考查了二次函数的图象与方程和不等式的关系，求方程ax2+bx+c=0的两个根，即为抛物线与x轴的交点的横坐标；判断y＞0，y=0，y＜0时，x的取值范围，要结合开口方向，图象与x轴的交点而定；方程ax2+bx+c=k有无实数根，看顶点坐标的纵坐标即可．1．已知抛物线与二次函数=−32的的图象形状相同，开口方向相同，且顶点坐标为−1,3，它对应的函数表达式为（）A．=−3−12+3B．=3−12+3C．=3+12+3D．=−3+12+3【答案】D【分析】设此抛物线的解析式为=o−ℎ)2+，根据抛物线与二次函数=−32的的图象形状相同，开口方向相同，可知=−3，再代入顶点坐标即可．【详解】解：设此抛物线的解析式为=o−ℎ)2+，∵抛物线与二次函数=−32的的图象形状相同，开口方向相同，∴=−3，∵顶点坐标为−1,3，∴ℎ=−1，=3，∴=−3+12+3，故选D．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2．一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（）A．y＝4x2+3x﹣5B．y＝2x2+x+5C．y＝2x2﹣x+5D．y＝2x2+x﹣5【答案】A【分析】设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），然后由当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，得到a，b，c的三元一次方程组，解方程组确定a，b，c的值即可．【详解】解：设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，∴c＝﹣5①，a﹣b+c＝﹣4②，4a﹣2b+c＝5③，解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝3，c＝﹣5，所以二次函数的关系式为：y＝4x2+3x﹣5．故选：A．【点睛】本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式．设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），通过解方程组确定a，b，c的值．3．若二次函数=2+3+−1的图象经过原点，则的值为（）A．0B．1C．−1D．1或−1【答案】B【分析】将点0,0代入函数解析式求解即可得．【详解】解：把0,0代入=2+3+−1可得：−1=0，解得：=1，故选：B．【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．4．若二次函数=B2+B+的图象经过点−1,0，2,0，则关于x的方程B2+B+=0的解为（）A．1=−1，2=2B．1=−2，2=1C．1=1，2=2D．1=−1，2=−2【答案】A【分析】根据一元二次方程的根为二次函数与x轴的交点即可解答．【详解】解：∵=B2+B+的图象经过点−1,0，2,0，∴方程B2+B+=0的解为1=−1，2=2．故选：A．【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是正确应用两者的关系．5．若二次函数=B2+B+的部分图象如图所示，则关于的方程B2+B+=0的解为（）A．1=−2，2=3B．1=−1，2=3C．1=0，2=3D．1=1，2=3【答案】B【分析】先利用抛物线的对称性写出抛物线与轴的一个交点坐标为−1,0，然后根据抛物线与轴的交点问题可得到关于的方程B2+B+=0≠0的解．【详解】解：抛物线的对称轴为直线=1，抛物线与轴的一个交点坐标为3,0，所以抛物线与轴的一个交点坐标为−1,0，。
人教九年级数学上册- 用待定系数法求二次函数的解析式(附习题)
新课导入
问题：如果一个二次函数的图象经过(-1,10)，(1,4)，(2,7) 三点，能求出这个二次函数的解析式吗？
会用待定系数法求二次函数的解析式.
推进新课
知识点1 用二次函数一般式y=ax2+bx+c 求函数解析式
b=-3
由③-①可得：3a+3b=-3
a+b=-1
a=2
将a=2，b=-3代入①可得：2+3+c=10 c=5
∴解方程组得：a=2, b=-3, c=5
已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)， 求这个函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.
a-b+c=10 由已知得： a+b+c=4
的解析式.
两种方法的结果
一样吗？哪种方
方法1：设y=a(x-1)(x-3)+1,把C(0法，更3)代简入捷其？中求出 a的值.
方法2：设y=ax2+bx+c，把A(1，1)，B(3，1)，C(0， 3)代入其中列方程组求a，b，c的值.
已知二次函数的图象经过点(-1,3), (1,3),(2,6),求这个 二次函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知得： a-b+c=10 a+b+c=4
三个未知数，两个 等量关系，这个方
程组能解吗？
第一步:设出解析式的形式； 第二步:代入已知点的坐标； 第三步：解方程组。
已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)， 求这个函数的解析式.
九年级上-待定系数法求二次函数的解析式
待定系数法求二次函数的解析式知识集结知识元利用一般式求二次函数的解析式知识讲解已知三个点求二次函数的解析式，一般选择一般式，基本的作法是：（1）设出二次函数的一般式；（2）将三个点的值分别代入到解析式中，得到一个三元一次方程组；（3）解方程组得出三个字母的值，即可得到为此函数的解析式.例题精讲利用一般式求二次函数的解析式例1.'二次函数y=ax2+bx+c的变量x与变量y的部分对应值如下表：求此二次函数的解析式．'例2.'y=ax2+b与y=x+2交于A、B两点，A点横坐标为﹣1，B点横坐标为2，求二次函数解析式．'例3.'已知：抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，8）、B（3，0）、C（0，3）三点（1）求抛物线的表达式；（2）写出该抛物线的顶点坐标．'利用顶点式求二次函数的解析式知识讲解当已知条件中出现二次函数的顶点或者顶点的横、纵坐标之一等顶点相关的内容时，会考虑用顶点式来求解二次函数的解析式.例题精讲利用顶点式求二次函数的解析式例1.一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为（）A．y=﹣2（x﹣1）2+3 B．y=﹣2（x+1）2+3C．y=﹣（2x+1）2+3 D．y=﹣（2x﹣1）2+3例2.二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+3C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2+4例3.将y=2x2﹣12x﹣12变为y=a（x﹣m）2+n的形式，则m•n=．例4.'已知抛物线y1=﹣x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．（1）求y1的解析式；（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．'利用两点式（也叫交点式、双根式）求二次函数的解析式知识讲解当已知的点中出现与x轴的交点时，常会考虑设成两点式求二次函数的解析式，此类问题已知点的坐标的形式比较多，除了可以直接已知与x轴的两个交点坐标外，还可以已知其中一个与x轴的交点的坐标及对称轴等其他形式.例题精讲利用两点式（也叫交点式、双根式）求二次函数的解析式例1.若抛物线经过（0，1）、（-1，0）、（1，0）三点，则此抛物线的解析式为（）A．B．C．D．例2.抛物线与轴的两个交点为（-1，0），（3，0），其形状与抛物线相同，则的函数关系式为（）B．C．D．A．例3.过（﹣1，0），（3，0），（1，2）三点的抛物线的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（1，）C．（﹣1，5）D．（2，）例4.'已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣5，0）、（﹣1，0）、（1，12），求这个抛物线的表达式及其顶点坐标．'顶点在原点的二次函数解析式的求法知识讲解2（a≠0）的形式，其中一次项系数和顶点在原点的二次函数的解析式的结构一定是形如y=ax常数项都为0，所以顶点在原点是一个非常强大的已知条件，接下来再找到一个等量关系即可.例题精讲顶点在原点的二次函数解析式的求法例1.若二次函数函数的图象是顶点在原点，则的值为（）A．-2 B．2C．±2 D．4例2.'抛物线的顶点在原点，且经过点（﹣2，8），求该抛物线的解析式．'例3.'一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且经过点M（﹣2，4），（1）求出这个抛物线的函数表达式，并画出函数图象；（2）写出抛物线上点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出△MON的面积．'顶点在 y 轴上的二次函数的解析式的求法知识讲解顶点在y轴上的抛物线的解析式的形式是b=0，即一次项系数为0.例题精讲顶点在 y 轴上的二次函数的解析式的求法与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线对应的函数是（）.A．B．C．D．例2.已知一抛物线的顶点在y轴上，且过二点（1，2）、（2，5），则此抛物线的解析式为．例3.对称轴是y轴且过点A（1，3）、点B（﹣2，﹣6）的抛物线的解析式为．顶点在 x 轴上的二次函数的解析式的求法知识讲解顶点在x轴上的二次函数可以有多种表述方法：（1）与x轴只有唯一的交点；（2）判别式等于0；（3）图象不在x轴上方（或下方）；（4）对应的一元二次方程有两个相等的实根等.例题精讲顶点在 x 轴上的二次函数的解析式的求法已知抛物线的顶点在轴上，则等于（）A．4B．8C．-4D．16例2.若函数的图象顶点在轴上，则的值为（）A．B．-1C．D．或例3.'如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点在x轴上，且OA=1，与一次函数y=﹣x﹣1的图象交于y轴上一点B和另一交点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为线段BC上一点，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，交抛物线于点F，请求出线段DF的最大值．'过原点的二次函数的解析式的求法知识讲解2（a≠0）的形式，其中一次项系数和顶点在原点的二次函数的解析式的结构一定是形如y=ax常数项都为0，所以顶点在原点是一个非常强大的已知条件，接下来再找到一个等量关系即可.例题精讲过原点的二次函数的解析式的求法例1.如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是（）D．±2A．2B．-2C．例2.'二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣2，0）．求此二次函数的解析式．'例3.'已知抛物线经过原点，点（1，﹣4）和（﹣1，2），求抛物线解析式．'例4.'如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B，求△OAB的面积S．'与长度相关的解析式的求法知识讲解在利用线段的长度或者线段之间的等量关系求二次函数解析式时，可以先通过已知条件求出所需的点的坐标，再将点的坐标代入到设出的二次函数的解析式中求出字母的值即可.例题精讲与长度相关的解析式的求法例1.'已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，﹣6），对称轴是直线x=3，与x轴交于A、B 两点，且AB=8．求函数解析式．'例2.'如图，已知Rt△ABC的斜边AB在x轴上，斜边上的高CO在y轴的正半轴上，且OA=1，OC=2，求经过A、B、C三点的二次函数解析式．'例3.'在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴的负半轴相交于点C （如图），点C的坐标为（0，﹣3），且BO=CO．（1）求出B点坐标和这个二次函数的解析式；（2）若顶点为D，求四边形ABDC的面积．'与面积相关的解析式的求法知识讲解在利用几何图形的面积求二次函数解析式时，可以先通过已知条件求出所需的点的坐标，再将点的坐标代入到设出的二次函数的解析式中求出字母的值即可.例题精讲与面积相关的解析式的求法例1.'已知二次函数y=ax2+2ax﹣4（a≠0）的图象与x轴交于点A，B（A点在B点的左侧），与y 轴交于点C，△ABC的面积为12，求此二次函数的解析式．'例2.'在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=﹣x2+kx+4与y轴交于A，与x轴的负半轴交于B，且△ABO的面积是8．（1）求点B的坐标和此二次函数的解析式；（2）当y≤4时，直接写出x的取值范围．'例3.'已知抛物线y=ax2﹣2x+c的对称轴为直线x=﹣1，顶点为A，与y轴正半轴交点为B，且△ABO的面积为1．（1）求抛物线的表达式；（2）若点P在x轴上，且PA=PB，求点P的坐标．'利用几何综合性质求函数解析式知识讲解利用几何性质求函数解析式是求解析式中的较难问题，其难点在于对几何性质的探究，并通过几何性质找到所需的点或列出所需的等式.例题精讲利用几何综合性质求函数解析式例1.'如图，抛物线的顶点M在x轴上，抛物线与y轴交于点N，且OM=ON=4，矩形ABCD的顶点A、B在抛物线上，C、D在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）设点A的横坐标为t（t＞4），矩形ABCD的周长为l，求l与t之间函数关系式．'例2.'如图，已知点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（﹣1，﹣），菱形ABCD的对角线交于坐标原点O．（1）求C、D两点的坐标；（2）求菱形ABCD的面积；（3）求经过A、B、D三点的抛物线解析式，并写出其对称轴方程与顶点坐标．'例3.'已知抛物线y=a（x﹣h）2﹣2（a，h，是常数，a≠0），x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点M为抛物线顶点．（Ⅰ）若点A（﹣1，0），B（5，0），求抛物线的解析式；（Ⅱ）若点A（﹣1，0），且△ABM是直角三角形，求抛物线的解析式；（Ⅲ）若抛物线与直线y1=x﹣6相交于M、D两点①用含a的式子表示点D的坐标；②当CD∥x轴时，求抛物线的解析式．'当堂练习单选题练习1.顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是（）A．y=（x+6）2B．y=（x﹣6）2C．y=﹣（x+6）2D．y=﹣（x﹣6）2练习2.若抛物线经过（0，1）、（-1，0）、（1，0）三点，则此抛物线的解析式为（）A．B．C．D．练习3.与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线对应的函数是（）.A．B．C．D．练习4.如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是（）D．±2A．2B．-2C．练习5.二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+3C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2+4练习1.已知一抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（3，﹣3），则该抛物线的函数解析式为．练习2.对称轴是y轴且过点A（1，3）、点B（﹣2，﹣6）的抛物线的解析式为．练习3.若抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值为．练习4.将y=2x2﹣12x﹣12变为y=a（x﹣m）2+n的形式，则m•n=．解答题练习1.'如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=1，求点B的坐标．'练习2.'一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且经过点M（﹣2，4），（1）求出这个抛物线的函数表达式，并画出函数图象；（2）写出抛物线上点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出△MON的面积．'练习3.'如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B，求△OAB的面积S．'练习4.'如图，二次函数y=﹣x2+mx+3的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且△AOB的面积为6．（1）求该二次函数的表达式；（2）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．'练习5.'已知，抛物线的顶点为P（3，﹣2），且在x轴上截得的线段AB=4．求抛物线的解析式．'练习6.'如图，一个二次函数的图象经过点A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C在y轴的正半轴上，且AB=OC．求这个二次函数的解析式．'练习7.'直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点，它与二次函数y=ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP=，求二次函数关系式．'练习8.'如图，二次函数y=﹣x2+mx+3的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且△AOB的面积为6．求该二次函数的表达式．'练习9.'如图，已知点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（﹣1，﹣），菱形ABCD的对角线交于坐标原点O．（1）求C、D两点的坐标；（2）求菱形ABCD的面积；（3）求经过A、B、D三点的抛物线解析式，并写出其对称轴方程与顶点坐标．'练习10.'y=ax2+b与y=x+2交于A、B两点，A点横坐标为﹣1，B点横坐标为2，求二次函数解析式．'练习11.'已知：抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，8）、B（3，0）、C（0，3）三点（1）求抛物线的表达式；（2）写出该抛物线的顶点坐标．'。
九年级数学待定系数法求二次函数的解析式
y -27 -13 -3 3 5 3
则当x=1时，y的值为 A.5 B.-3 C.-13 D.-27
5. 已知二次函数中，其函数与自变量之间 的部分对应值如下表所示：
．
x …0 1 2 3 4 …
y …4 1 0 1 4 …
点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，
部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程
x2 2x k 0 的一个解x1 3，另一个
解 x2 ；
y
O1 3
x
(第15题图)
22.1.4二次函数 y=ax2+bx+c的图象
8 6 4 2
－4 －2
24
1.完成下列表格:
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上 直线x=－3 (－3,5)
y 1 (x 4)2 4 2
x
如何平移：
y 3 (x 1)2 4
y 3 (x 1)2 2 4
y 3 (x 3)2 3 4
y 3 (x 5)2 2 4
发展性训练
1.由y=3(x+2)2+4的图像经过怎样的平移 变换，可以得到y=3x2的图像.
右移2单位，下移4单位
2.把函数y=x2-2x的图像向右平移２个单 位，再向下平移３个单位所得图像对应 的函数解析式为
（1）请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析 式：
伴随抛物线的解析式： y=-2x2+1 。
伴随直线的解析式： y=-2x+1 。
（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y= -x2-3和y= -