2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明 教学案 3

2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明

教学案 3

教学目标：

1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；

2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法. 教学重点:

一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式.

教学难点:

应用一般形式柯西不等式证明不等式.

教学过程：

一、课前回顾(知识链接)

定理1：(柯西不等式的代数形式)设d c b a ,,,均为实数，则

22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立.

定理2：(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα⋅≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立.

二、新课学习

1、问题探究

类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β|.将空间向量的坐标代入，可得到什么样的不等关系？

2、发现定理

定理4：一般形式的柯西不等式(教师引导学生推导)

学生齐读记忆定理

记清楚简写形式：211212)(∑∑∑===≥n i i i n i i n i i

b a b a 其中等号当且仅当n

n a b a b a b === 2211时成立(当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ).

三、应用举例：

例3 已知a 1，a 2，…， a n 都是实数， 求证：22221221)(1n n a a a a a a n

+++≤+++ 分析：用n 乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式. 例4已知a ，b ，c ，d 是不全相等的实数，

证明：a 2 + b 2 + c 2 + d 2 > ab + bc + cd + da (学生用不同的方法证明)

的最小值. 求1,32 例5、已知222z y x z y x ++=++

四、巩固练习：

1．设x ，y ，z 为正实数，且x +y +z =1，求

z y x 941++的最小值. 五、课堂小结：

本节课你有什么收获？(本节课的知识点、其中一道例题的其他解法、那些知识点有困惑)

2．已知a +b +c +d =1，求a 2+b 2+c 2+d 2的最小值.

3．已知a ，b ，c 为正实数，且a +2b +3c =9，求c b a ++

23的最大值.

4．已知x +y +z =52，则m =x 2+2y 2+z 2的最小值是____________.

本节课重点掌握三维柯西不等式的运用.

六：课后作业：

P 41习题3.2 2，3，4，5.

选做：1．已知a ，b ，c 为正实数，且a 2+2b 2+3c 2=6，求a +b +c 的最小值. 2．已知a ，b ，c 为正实数，且a +2b +c =1，求c b a 111++的最小值.