证明柯西不等式的向量形式

三个几何解释

2 2 a b 2ab(a, b R) 的几何解释 重要不等式
基本不等式 绝对值不等式的几何解释
ab ab(a , b 0) 2
的几何解释
四个应用

不等式基本性质的应用 基本不等式的应用 绝对值三角形不等式的应用 绝对值不等式的应用
五个证明
教学难点： （1）三个正数的算术—几何平均不等式及其应用、 绝对值不等式的解法； （2）用反证法、放缩法证明不等式的思考过程； （3）一般形式的柯西不等式和排序不等式的证明思 路；运用两个经典的不等式证明不等式； （4）认识数学归纳法的证明思路；运用数学归纳法 时，在“假设与递推”的步骤中发现具体问题中的 递推关系。
定 理2 （ 柯 西 不 等 式 的 向 量式 形） 设 ， 是 两 个 向 量 ， 则

②
当且仅当 是 零 向 量 ， 或 存 在 实 k 数 ， 使 k 时 ， 等 号 成 立 。
( x1 x3 ) 2 ( y1 y3 )2 ( x2 x3 )2 ( y2 y3 )2 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2④
二、内容安排介绍
• 与本专题相关的知识介绍 • 本专题的知识结构和内容
与本专题相关的知识介绍
• 初中课标要求：不等式与不等式组 ①能够根据具体问题中的大小关系了解不等式 的意义，并探索不等式的基本性质。 ②会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上 表示出解集。会解由两个一元一次不等式组成的不 等式组，并会用数轴确定解集。 ③能够根据具体问题中的数量关系，列出一元 一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题。
2 2 2 a b ( a b ) i i ii i 1 i 1 i 1 n n n
5．用向量递归方法讨论排序不等式。 6．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学 归纳法证明一些简单问题。 7．会用数学归纳法证明贝努利不等式： (1＋x)n＞1＋nx（x＞-1,n为正整数）。 了解当n为实数时贝努利不等式也成立。 8．会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平 均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。 9．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法： 比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。 10．完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内 容：（1）知识的总结。对本专题介绍的不等式中 蕴涵的数学思想方法和数学背景进行总结；（2） 拓展，通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立 思考，
选修4-5《不等式选讲》解读
余杭高级中学 吴寅静
主要内容
• 教学目标解读 • 教学内容介绍 • 课时安排 • 教学建议
一、教学目标解读
1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式。 2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何 意义证明以下不等式： （1）∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣； （2）∣a－ b∣≤∣a－c ∣＋∣c－b∣； （3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： ∣ax＋b∣≤c ;∣ax＋b∣≥c ；∣x－c∣＋∣x－b∣≥a。 3．认识柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义。 （1）证明柯西不等式的向量形式：|α||β|≥|α· β|。 （2）证明：（a2+b2）(c2+d2)≥(ac+bd)2。 （3）证明： ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( x2 x3 )2 ( y2 y3 )2 ( x1 x3 )2 ( y1 y3 )2 4．用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：
第一讲 不等式和绝对值不等式
不等式的基本性质
绝对值三角不等式
基本不等式
解含有绝对值 的简单不等式
三个正数的 算术—几何不等式
第一讲 不等式和绝对值不等式
“一个推广，两个类比，三个几何解释，四个证明，五个应用”
一个推广： 把基本不等式推广到三个正数的算术 —几何平均不等式， 再推广到一般形式的均值不等式 两个类比: 通过类比等式的性质得到不等式的基本性质 通过类比不等式基本性质的得出过程，猜想绝对值不等 式的性质
与本专题相关的知识介绍
• 必修5 （1）不等关系； （2）一元二次不等式； （3）二元一次不等式组与简单线性规划问题； （4）基本不等式。 • 文科选修1-2中第2．2节用综合法和分析法证 明不等式 • 理科选修2-2中第2．2节用综合法和分析法证 明不等式，数学归纳法的基本原理。
本专题的知识结构
谢谢！ 欢迎各位批评指正！

2 2 a b 2ab(a, b R) 证明重要不等式

证明基本不等式 证明三个正数的算术—几何平均不等式 abc 3 abc(a , b, c R ) 3 证明绝对值三角不等式
ab ab(a , b R ) 2
a b a b (a, b R)
学习总结报告：
一、知识的总结 对本专题介绍的知识及其中蕴涵的数学思想 方法和数学背景进行总结； 二、拓展 通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立 思考，进一步探讨不等式的应用； 三、学习体会 学习本专题的感受、体会和看法。
三、课时安排
本专题教学约需18课时，具体分配如下（仅供参考）： 第一讲 不等式和绝对值不等式 一、不等式 二、绝对值不等式 第二讲 证明不等式的基本方法 一、比较法 二、综合法与分析法 三、反证法与放缩法 第三讲 柯西不等式与排序不等式 一、二维形式的柯西不等式 二、一般形式的柯西不等式 三、排序不等式 单元小结 约1课时 第四讲 数学归纳法证明不等式 一、数学归纳法 二、用数学归纳法证明不等式 学习总结报告 约2课时 约2课时 约1课时 约2课时 约2课时 约1课时 约1课时 约1课时
过程二： “探究——猜想——证明——应用”
本讲教学应注意的5个方面: 1. 2. 3. 4. 5. 强调过程 强化数形 模型意识 关注运用 控制难度
第四讲 数学归纳法证明不等式
数学归纳法
用数学归纳法证明不等式
学习总结报告
本讲教学应强调的几个方面:
1. 体会用有限证明无限的思想； 2.关注步骤； 3.关注适用范围； 4.合理使用归纳假设； 5.恰当介绍贝努利不等式； 6.控制难度。
一般形式的柯西不等式
排序不等式
本讲教学应注意的5个方面: 1. 强调过程
过程一：
“数形结合的强化”
定 理1 （ 二 维 形 式 的 柯 西 不式 等） 若 a , b, c , d都 是 实 数 ， 则(a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2 ① 当且仅当 ad bc时 ， 等 号 成 立 。

证明绝对值三角不等式的一般形式
a c a b b c (a, b, c R)
本讲教学应注意的7个方面: 1、重视基本性质； 2、把握基本不等式 ； 3、多角度认识绝对值三角不等式； 4、把握绝对值不等式的要求； 5、关注条件； 6、重视几何背景； 7、关注思想方法。
数的运算
（三）重视引导学生学习方式和教学方 式的改进
改进教学方式，鼓励学生主动探究，引导学生通过类比 提出问题及其解决方法，对于数学结论进行特殊化、作推 广 。如： “对于三个正数会有怎样的不等式成立呢？”
“对比二维形式三维形式的柯西不等式，你能猜想一般形式 的柯西不等式吗？” “一般形式的三角不等式应该是怎样的？如何应用一般形式 的柯西不等式证明它？请同学自己探究。”
绝对值三 角不等式
向量形式
代数形式
第二讲
证明不等式的基本方法
证明不等式 的基本方法
比较法
分析法与综合法
反证法与放缩法
本讲教学注意的3个方面:
1. 关注五法的教学特点和要求； 2. 关注证明思路和方法的选择；
3. 适当增加练习，避免过多技巧。
第三讲 柯西不等式与排序不等式
二维形式的柯西不等式
三维形式的柯西不等式
约2课时 约2课时 约1课时
四、教学建议
•把握教学要求 •重视思想方法 •重视学生方式和教学方式的改进
（一）注意把握教学要求
• 不随意拓展、延伸 • 不随意加深难度 • 不过于追求技巧性 • 抓住重点、难点
教学重点： （1）不等式的基本性质、基本不等式及其应用、绝对值 三角不等式； （2）用比较法、分析法、综合法证明不等式； （3）认识柯西不等式的几种形式，理解其几何意义、用 向量递归方法讨论排序不等式、通过运用这两种不等式 分析解决一些简单问题、体会运用经典不等式的一般方 法（发现具体问题与经典不等式之间的联系，经过适当 的变形，以经典不等式为依据得出具体问题中的不等关 系）； （4）了解数学归纳法的原理及其使用范围和基本步骤、 会用数学归纳法证明含有任意正整数n的不等式（包括 贝努利不等式）。
（二）重视数学思想方法的教学
本专题的内容包涵了丰富的数学思想方法，如应用重 要不等式解决实际问题中体现出来的优化思想，在重要 不等式的呈现过程中的数形结合思想，在解不等式中体 现的转化的思想，函数思想，以及证明不等式的比较法、 综合与分析法、放缩法、反证法、数学归纳法，在证明 柯西不等式中的配方法等，对于这些数学思想和方法， 教科书都及时作归纳和总结，使学生能够结合具体的问 题加以理解和体会。