高三数学一轮复习 第2讲 双曲线教案

第二讲 双曲线一、考情分析解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形，这对学生能力的要求较高．“圆锥曲线”是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作用．本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助考生培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神，进一步提高学生“应用数学”的水平．二、知识归纳（一）椭圆的定义（1）第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之差的绝对值等于常数()1222||a a F F <的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．特征式：()121222||MF MF a a F F -=<．注：①若122||a F F =，则点的轨迹是以12F F 、为端点的两条射线； ②若122||a F F >，则这样的点不存在；③若()121222||MF MF a a F F -=<，则点的轨迹仅是双曲线的一支． （2）第二定义：平面内动点到定点的距离和它到一条定直线l 的距离的 比是常数()1e ∈+∞，，那么这个点的轨迹叫做双曲线．其中定点叫做焦 点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率．特征式：()1M lMF e e F l d →=>∉，．注：若F l ∈时，表示过F 与l 相交的两条直线（不含点F ）． （二）双曲线的方程（1）双曲线的标准式方程：①()()()2222100x m y n a b a b ---=>>，；（焦点在x 轴的平行线上，中心在()m n ，的双曲线方程）②()()()2222100y n x m a b ab---=>>，．（焦点在y 轴的平行线上，中心在()m n ，的双曲线方程）（2）双曲线的参数方程：①()2222sec 100tan x a x y a b y b a b ϕϕ=⎧⇔-=>>⎨=⎩，；ＰＦ１ Ｆ２ＦＰ②()()()2222sec 100tan x m a x m y n a b y n b a b θθ=+--⎧⇔-=>>⎨=+⎩，． （3）双曲线的向量式方程：()121222||OM OF OM OF a a OF OF ---=<-．（三）性质：对于双曲线()2222100x y a b a b-=>>，而言，（1）范围及特征关系：x a ≥；222a b c +=．（2）对称性：图象既关于y 轴对称，又关于x 轴对称，也关于原点对称．原点叫双曲线的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫双曲线的对称轴．（3）顶点：双曲线和实轴的交点叫做双曲线的顶点．2(0)(0)A a A a -，，，；加两焦点12(0)(0)F c F c -，，，与()12(0)0B b B b -，，，共有六个特殊点．21A A 叫双曲线的实轴，21B B 叫双曲线的虚轴，长分别为22a b 、．a b 、分别为双曲线的实半轴长和虚半轴长．（4）离心率：双曲线焦距与实轴长之比)1c e e e a =⇔=>． 注：双曲线形状与e 的关系：10be a →→，，双曲线的开阔程度越小；b e a→+∞→+∞，，双曲线的开阔程度越大．（5）双曲线的准线方程：对于22221x y a b -=，左准线21a l x c =-：；右准线22a l x c=：；对于22221y x a b -=，下准线21a l y c =-：；上准线22a l y c=：．（6）焦准距：焦点到准线的距离2222a c ab pc c c c -=-==（焦参数）． （7）通径：经过焦点且垂直于实轴的弦称之为通径，长度为22b a ．（8）渐近线：双曲线的渐近线方程是x aby ±=（令22220x y a b -=即可）．（9）焦半径公式：焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：10MF a ex =+（左焦半径）；20MF a ex =-（右焦半径）；焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：10MF a ey =+（下焦半径）；20MF a ey =-（上焦半径）；（规律：左加右减，上减下加．）（10）焦点三角形：曲线上的点与焦点连线构成的三角形ＰＦ１Ｆ２αβγ称焦点三角形；2sin2cot2sin2S b e αβγαβ∆+==-；．（如何证明？） （四）等轴双曲线（1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．（2）性质：①渐近线方程为：x y ±=；②渐近线互相垂直；③离心率2=e ．（3）方程： )0(22≠=-λλy x ，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上． （五）共轭双曲线（1）定义：如果双曲线1C 的实轴是双曲线2C 的虚轴，双曲线的虚轴2C 是双曲线1C 的实轴，这两个双曲线称为互为共轭双曲线．（2）求法：2222222211x y x y a b a b-=←−→-=-； （3）性质：若共轭双曲线12C C 、的离心率分别为12e e 、，则： ①2212111e e +=；②12e e +≥；③122e e ≥；④1211e e +≤ （六）双曲线系方程（焦点在x 轴的上，中心在原点）（1）共焦点的双曲线系：()222210x y k c k k c +=<<-；注：若2k c >，则表示共焦点的椭圆系．（2）共渐进线的双曲线系：()22220x y a b λλ-=≠．注：若()22220x y a bλλ+=>，则表示离心率相同的椭圆系．三、精典例析（一）活用定义例1：定点()292A F ，，是双曲线221916x y C -=：（1）求2PA PF +的最小值； （2）求235PA PF +的最小值． 解析：（1）双曲线221916x y C -=：的离心率为53e =，21112666PA PF PA PF a PA PF FA +=+-=+-≥-=；（2）233655PA PF PA PD AH +=+≥=，取等号时，22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 引申：1P A PA PF AP d d e--+=+≥准线准线也适用于椭圆、抛物线． 例2：（12x y =++表示什么曲线？（22x y =+-表示什么曲线？解析：（1）设()P x y ，=即：()P x y ，到定点()11A ，的距离与它到定直线20l x y ++=：的距离之比为 故原方程表示以定点()11A ，为焦点，以定直线20l x y ++=：为准线的双曲线． （2）∵()1120A l x y ∈+-=，：，∴原方程表示过定点()11A ，，与定直线20l x y +-=：相交的直线1x =与1y =．例3：一炮弹在某处爆炸，在A 处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s ． （1）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知A 、B 两地相距800m ，并且此时声速为340/m s ，求曲线的方程．分析：解应用题的关键是建立数学模型 根据本题设和结论，注意到在A 处听到爆炸声的时间比B 处晚2s,这里声速取同一个值解析：（1）由声速及A 、B 两处听到爆炸声的时间差，可知A 、B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A 、B 为焦点的双曲线上．∵爆炸点离A 处比离B 处更远，∴爆炸点应在靠近B 处的一支上．（2）建立直角坐标系xoy （如图），设爆炸点P 的坐标为()P x y ，，则：3402680PA PB -=⨯=，即340a =，∵800AB =， ∴22240044400c b c a ==-=，，故所求双曲线的方程为：()221011560044400x y x -=>． 点评：利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置．如果再增设一个观测点C ，利用B 、C(或A 、C)两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置．这是双曲线的一个重要应用，强化学生“应用数学”的意识．思考：如果A 、B 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上．（爆炸点应在线段ＡＢ的中垂线上）例4：方程22259x y k k k +=--表示什么曲线？ 解析：（1）当0k <时，表示焦点在y 轴上的双曲线； （2）当0k =时，表示两条相交直线35y x =±； （3）当09k <<时，表示焦点在x 轴上的双曲线；（4）当925k <<时，表示椭圆型曲线，①若917k <<时，表示焦点在x 轴上的椭圆；②若17k =时，表示圆22136x y +=； ③若1725k <<时，表示焦点在y 轴上的椭圆；（5）当25k >时，表示焦点在y 轴上的双曲线． （二）活用性质例5：（1）（05湖南卷）已知双曲线()2222100x y a b a b -=>>，的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF的面积为22（O 为原点），则两条渐近线的夹角为．（2）（05福建卷）已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 ．解析：（1）∵右焦点为()0F c ，，右准线2a x c =，渐近线by x a=±，∴2a ab A cc ⎛⎫± ⎪⎝⎭，，1122ab S c ab c =⋅=， ∵△OAF 的面积为22a2b e =⇒=，故两条渐近线的夹角为3π． （2）运用正三角形的特性知：边MF 1的中点坐标是2c ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，则：∵22422442222221480810c a a b c e e a c a ⎛⎫⎛⎫± ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭-=⇒-+=⇔-+=-，∴241e e =+⇒=．例6：双曲线的渐进线方程为34y x =±，求双曲线的离心率． 解析：设()2240169x y λλ-=≠， （1）当0λ>时，2216925a b c λλλ===，，，∴54e =； （2）当0λ<时，2291625a b c λλλ=-=-=-，，，∴53e =；故双曲线的离心率是54e =或53e =．例7：ABC ∆中，A B 、是2255x y +=的焦点，且1sin cos 222B AC -=，求点C 的轨迹方程．解析：∵22225515x x y y +=⇔+=，∴()()2204A B AB -=，0、，，． ∵1sincos 2sin cos cos cos2222222B AC B A B A C B A--++=⇔=， ∴11sin sin sin 222B AC AC BC AB -=⇔-==，故点C 的轨迹方程是()22113y x x -=>． （三）焦半径公式及焦点三角形例8：已知双曲线的左右两焦点分别为12F F 、，点M 是双曲线上不重合于顶点的一点，点P 为12MF F ∆的内心，证明：点P 在x 轴上的射影是双曲线的顶点．解析：（1）若点M 在双曲线右支上，过P 作PN 垂直12F F 于点N ，设右顶点为Ａ，则：112212222MF F F MF c a NF c a +-+===+，212122222MF F F MF a cNF c a +--+===-，∵12F A c aAF a c =+=-，，∴右顶点Ａ与点N 重合． 故点P 在x 轴上的射影就是双曲线的右顶点．（2）若点M 在双曲线左支上，同理可证，点P 在x 轴上的射影是双曲线的左顶点．例9：已知双曲线的左右两焦点分别为12F F 、，点M 是双曲线右支上不重合于顶点的一点，设1221MF F MF F αβ∠=∠=，，若()()sin 1cos 1sin 1cos 3αββα+=+．（1）求双曲线的离心率；（2）如果动点M 的坐标为(),x y，且2244x y -+有最小值15时，求双曲线的方程．讲解：（1）如果对三角公式较为熟悉，不难发现：()()tansin 1cos 2sin 1cos tan 2ααβββα+=+． 所以，要求双曲线的离心率，只需考虑如何用a b c e 、、、来表达tan tan 22αβ即可．法1：设双曲线的实轴长为2a ，焦距为2c ，点P 为12MF F ∆的内心，过P 作PN 垂直12F F 于点N ，则：12tan tan 22PN PNNF NF αβ==，， 又112212222MF F F MF c aNF c a +-+===+，212122222MF F F MF a cNF c a +--+===-，∴13=()()tansin 1cos 2sin 1cos tan 2ααβββα+=+＝2111NF c a e NF c a e --==++，∴2e =．法2：直接利用正、余弦定理也可得出结论．tan21sinsinsincoscossintan22222222sin sin cos cos sin tan sin22222221tan2e ααβαβαβαβββααβαβααββ++++=====---+-．（2）∵2223e b a =⇒=，∴M 的坐标(),x y 适合方程22233x y a -=，∵2222224435x y x y x y -+=-++-()22222233315x y x x y a =-+≥-==．（等号当且仅当14x y ==时取得）． ∴ 225,15a b ==，双曲线的方程为：221515x y -=． （四）焦点弦：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦．例10：过双曲线2213y x -=的左焦点Ｆ1作倾斜角为6π的弦ＡＢ，求AB 及2F AB ∆的周长． 解析：设()()1122A x y B x y ，，，，则：22228413013x x x y x =+⇒--=⎨-=⎪⎩， 显然，0∆>，且121211328x x x x +==，， 法1：123AB x =-=．法2：()()()1121211212121212223AB BF AF x x x x x x =-=+-+=+---=++=．2F AB ∆的周长为：()()()2212122133121231212323AF BF x x x x x x ++=+-+-=+---=+-=+引申：设两交点1122()()A x y B x y ，，，，则：（1）当双曲线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关： ①过左焦点与左支交于两点时，此时， 11122()bk AB AF BF a e x x a>=+=--+，　； ②过左焦点与左、右两支交于两点时，此时，11122()bk AB AF BF a e x x a<=-=++，　； ③过右焦点与右支交于两点时，此时， 11122()bk AB AF BF a e x x a>=+=-++，　； ④过左焦点与左、右两支交于两点时，此时，11122()bk AB AF BF a e x x a<=-=-+，　． （2）当双曲线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关． （五）中点弦例11：双曲线2212y C x -=：上是否存在被点()11B ，平分的弦？ 解析：显然，点()11B ，在双曲线外，若存在被点()11B ，平分的弦MN ，则弦的斜率必存在． 设()()1122M x y N x y ，，，，则：2211121222121222222222x y y y x x k x x y y x y ⎧-=-+⎪⇒=⋅⇔=⎨-+-=⎪⎩，故()121l y x -=-：；()22212124308012y x x x y x ⎧-=-⎪⇒-+=∆=-≤⎨-=⎪⎩，， 故双曲线2212y C x -=：上不存在被点()11B ，平分的弦． 引申：（1）若点B 在双曲线内，则以点B 为中点的弦必存在；（2）若点B 在双曲线外，则以点B 为中点的弦可能存在，也可能不存在． （六）直线与双曲线相交问题例12：(05重庆卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()20，，右顶点为)．（1）求双曲线C 的方程； （2）若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA (O 为原点)，求k 的取值范围．解析：（1）设双曲线方程为()2222100x y a b a b-=>>，，则：∵2a c ==，2222a b +=，∴ 21b =，故双曲线C 的方程为2213x y -=． （2）设()()A A B B A x y B x y ，，，，则：2222(13)9013y kx k x x y ⎧=+⎪⇒---=⎨-=⎪⎩， ∵直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，∴222222130113)36(13)36(1)0k k k k k ⎧-≠⎪⇒≠<⎨∆=+-=->⎪⎩且，且2291313A B A B x x x x k k-+==--， ∵2>⋅OB OA ，∴2A B A B x x y y +>，∵2((1)()2A B A B A B A B A B A B x x y y x x kx kx k x x x x +=+=+++22222937(1)2131331k k k k k -+=+++=--- ∴222223739120331313k k k k k +-+>⇔>⇔<<--，∴2113k <<， 故k 的取值范围为3(1)(1)33--，，． 例13：（05北京卷）如图，直线()10l y kx k =>：与直线2l y kx =-：之间的阴影区域（不含边界）记为W ，其左半部分记为W 1，右半部分记为W 2．（I ）分别用不等式组表示W 1和W 2；（II ）若区域W 中的动点()P x y ，到l 1、l 2的距离之积等于2d ，求点P 的轨迹C 的方程； （III ）设不过原点O 的直线l 与（II ）中的曲线C 相交于M 1，M 2两点，且与l 1，l 2分别交于M 3、M 4两点．求证：△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心重合．解析：（I ）(){}(){}1200W x y kx y kx x W x y kx y kx x =<<-<=-<<>，，，，，；（II ）∵直线10l kx y -=：，直线20l kx y+=：，222222||1k x y d d k -=⇔=+， ∵()P x y W ∈，，∴2220k x y ->，∴ 2222222222(1)01k x y d k x y k d k -=⇔--+=+． ∴动点P 的轨迹C 的方程为22222(1)0k x y k d --+=； （III ）分为以下两种情形分别加以证明；①当直线l 与x 轴垂直时，可设直线l 的方程为()0l x a a =≠：，由于直线l 、曲线C 关于x 轴对称，且l 1与l 2关于x 轴对称，于是M 1M 2、M 3M 4的中点坐标都为()0a ，，所以△OM 1M 2、△OM 3M 4的重心坐标都为203a ⎛⎫⎪⎝⎭，，即它们的重心重合； ②当直线l 1与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()0l y mx n n =+≠：，则：222222222222(1)0()20k x y k d k m x mnx n k d d y mx n ⎧--+=⇒-----=⎨=+⎩， ∵直线l 与曲线C 有两个不同交点，∴22k m ≠且2222222(2)4()()0mn k m n k d d ∆=+-⋅++>， 设()()111222M x y M x y ，，，，则：12222mn x x k m+=-，1212()2y y m x x n +=++， 设()()333444M x y M x y ，，，，则： 3y kx n x y mx n k m =⎧⇒=⎨=+-⎩；4y kx n x y mx n k m =-⎧-⇒=⎨=++⎩ ∴3412222mn x x x x k m+==+-， ∴()()3434121222y y m x x n m x x n y y +=++=++=+，故△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心重合．四、课后反思 ．。