立体几何教材分析

体现数学学科核心素养的四个方面进行表述的。
从关注学生“学”的角度，整体把握教学内容
学龄前：游戏中的积木、拼图、球类等，生活中的实物，初步有形状、大小
的印象； 小学低年级：能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体； 能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体； 小学高年级：能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图，
'
'
B' A' M D'
C'
A. 直线
B. 线段
C. . 圆
D 平面
A
B
C N D
P 作垂直于平面 BB1D1D 如图，动点 P 在正方体 ABCD A 1B 1C1D 1 的对角线 BD 1 上，过点
的直线，与正方体表面相交于 M , N .设 BP x, MN y ，则函数 y f ( x) 的图象大致是 （
5 5
D
C
D
C
O
B
A
O
图1
B
A1 图2
三视图与直观图
特点： 1、光线（投射线）平行； 2、垂直于平面（投射面） 3、在俯视图中，主视图的投射
V 主视图
线向上指
平行光线（投射线）
俯视图
空间图形的直观图 斜二测投影
投影线和投影面斜交， 有两轴的变形系数不变.
正等测投影
投影线和投影面垂直， 各轴的变形系数不变.
线//面 面//面
线⊥面 面⊥面
例 7【2014 理 17】如图，正方形 AMDE 的边长为 2， B, C 分别为
AM , MD 的中点.在五棱锥 P ABCDE 中， F 为棱 PE 的中点，平
面 ABF 与棱 PD, PC 分别交于点 G , H . (Ⅰ)求证： AB / / FG ； (Ⅱ)若 PA 底面 ABCDE ，且 PA AE ，求直线 BC 与平面 ABF 所 成角的大小，并求线段 PH 的长.
通过观察、操作，认识长方体、正方体、圆柱和圆锥，认识长方体、正方体
和圆柱的展开图；结合具体情景，探索并掌握长方体、正方体、圆柱的体积 和表面积以及圆锥体积的计算方法，并能解决简单的实际问题；
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初中： ①通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线 和点等； ②通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念，会画直棱柱、 圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图， 并会根据视图描述简单的几何体； ③了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作实物模 型；
上，尺寸、线条等不作严格要求）。
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高中课标要求 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。 借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，
抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可作为推理依据的公理和
定理。（略） 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、 思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
正棱锥、正四面体
正三棱锥 底面 侧面 正三角形 等腰三角形 正四面体 正三角形 正三角形
问题：如果一个棱锥各侧面都是全等的等腰三角 形，那么它是否是正棱锥？
b b b
a
b
a
例 6. （2012 海淀一模） 在 四 棱 锥 P - ABCD 中 ， AB // CD ， AB ^ AD ，
P
AB = 4, AD = 2 2, CD = 2 ， PA ^ 平面 ABCD ， PA = 4 .
直线与平面平行的判定与性质 平面与平面平行的判定与性质 直线与平面垂直的判定与性质
空间中的垂直关系 平面与平面垂直的判定与性质
核心素养：直观想象、逻辑推理；
核心问题：空间几何体的结构特征， 空间点、线、面的位置关系；
核心能力：空间想象能力和逻辑推理能力；
核心方法：几何图形、化归转化
教学实施建议：把题目变成问题
具体——抽象——代数化
现实世界中的物体 空间几何体
构成几何体 的基本元素
直线、 平面间位置 关系的直观认识 柱、锥、台、球的 表面积和体积
平行投影与 中心投影
知 识 体 系
点、线、面之间 的位置关系
柱、锥、台、 球 的结构特征
直观图和三视图的画法
平面的基本性质
确定平面的条件 空间平行线的传递性
空间中的平行关系
④通过实物，了解上述图与展开图在现实生活中的应用。
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“高中新课程”在立体几何的结构体系： 整体——局部——整体
第一阶段：对空间几何体结构特征认识，学习几何体的三视图和直观图；
第二阶段：以长方体为载体，按位置关系划分，学习空间点、线、面的位置
关系； 第三阶段：引入空间向量，以综合几何和向量坐标几何结合的方式，比较严 格地推理论证线面的平行、垂直、度量等问题。
例 8（2017 海淀期末）如图 1，在梯形 ABCD 中， AB // CD ， ABC 90 ， AB 2CD 2 BC 4 ， O 是边 AB 的中点. 将三角形 AOD 绕边 OD 所在直线旋转到 A1OD 位置，使得 A1OB 120 ，如图 2. 设 m 为平面 A1 DC 与平面 A1OB 的交线. （Ⅰ）判断直线 DC 与直线 m 的位置关系并证明； （Ⅱ）若直线 m 上的点 G 满足 OG A1 D ，求出 A1G 的长；4 （Ⅲ）求直线 A1O 与平面 A1 BD 所成角的正弦值.
某几何体下的三视图如图所示，均是边长为1的正方形， 则其体积为_________
正视图
侧视图
俯视图
侧视图
俯视图
某几何体下的三视图如图所示，均是边长为1的正方形， 则其体积为_________
,
正视图
侧视图
俯视图
侧视图
俯视图
例 9. （2014 届朝阳第一学期期末）一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积 是 ；表面积是 ．
2 6
3 正视图
3
2 3 侧视图
3
俯视图
例 10. （2014 届西城第一学期期末）已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视 图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．
“以长方体为载体”
例 13. （2014 届海淀第一学期期末）已知某四棱锥，底面是边长为 2 的正方形，且俯视图如右图所示. （1） 若该四棱锥的左视图为直角三角形， 则它的体积为__________； （2）关于该四棱锥的下列结论中： ①四棱锥中至少有两组侧面互相垂直； ②四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形； ③四棱锥中不 可能存在四组互相垂直的侧面. ． 所有正确结论的序号是___________.
三视图的特征：
“长对正，高平齐，宽相对”
“主左一样高、主俯一样长，俯左一样宽” 要求：（1）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱 等的简易组合）的三视图 （2）能识别上述的三视图所表示的立体模型 （3）了解画三视图的规则
高中课程学习三视图的几个层次：
第一层次：帮助学生理解虚线在视图（某一方向）中的作用（这 一点在初中虽已涉及但并不强调）；“眼见为实遮为虚” 第二层次：对于由简单几何体构成的简单复合几何体的三视图的 认识； 第三层次：在简单复合体的三视图中，三种视图之间的关系以及 在绘制过程中应当注意的问题； 第四层次：利用三视图来辨别和绘制直观图（注意把握“度”）
问题１：用一个平面去截一
个正方体，可以得到几边形？ 题目形式：选择、计算、证明、 作图等
问题２
长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着 长方体的表面从点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路径．
B 5cm
4cm
A
8cm
C A
（2006年江西卷）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面 为直角三角形，ACB＝90，AC＝6，BC＝CC1＝ 2， P是BC1上一动点，则CP＋PA1最小值是___________
B
P A1 B1 C1
认识空间几何体的结构特征
例 1. 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点． ⑤各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱； 四 ⑥有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； 棱 其中真命题的序号是________． 直 四 棱 柱
（Ⅰ）设平面 PAB 平面 PCD m ，求证： CD // m ； （Ⅱ）求证： BD 平面 PAC ； （Ⅲ）设点 Q 为线段 PB 上一点，且直线 QC 与平面 PAC 所成
A C B D
ห้องสมุดไป่ตู้
PQ 3 角的正弦值为 ，求 的值． PB 3
公理4
文字 语言
图形 语言
线⊥线
线//线
符号 语言
1 1
2
问题
（1）向边长为2的正方体盒子中塞一个球，球的最大半径为_____； （2）向边长为2的正方体框架中塞一个球，球的最大半径为_____； （3）将边长为2的正方体盒子塞进一个球，球的最小半径为____．
静中生动，动中有静
例 15（2013 西城一模）如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， P 为底面 ABCD 上的动点，PE⊥A1C 于 E，且 PA=PE，则点 P 的轨迹是（ ） A．线段 B．圆弧 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分
教之道在于“度”，学之道在于“悟”
例 14. (06 北京理科改编)平面 α 的斜线 AB 交 α 于点 B，过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直， 且交 α 于点 C，则动点 C 的轨迹是