用拉格朗日配方法化二次型为标准形
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6.2 二次型的标准型
y1 = x1 + x2 + x3 , 令 y2 = x 2 + 2 x 3 , y = x3 , 3
X = CY
x1 = y1 − y2 + y3 , 即 x 2 = y2 − 2 y3 , x = y3 , 3
1 −1 1 其中 C = 0 1 − 2 . 0 0 1
其中，r 为 A 的秩， 其中， 的秩， di ≠ 0 . 证明 (略) 6
第 六 章 二 次 型
§6.2 二次型的标准形
三、二次型的的基本问题
问题一 二次型能否经过非退化线性变换一定化为标准形? 二次型能否经过非退化线性变换一定化为标准形 化为标准形 问题二 如何化二次型为标准形 如何化二次型为标准形? 常见的方法 针对二次型 拉格朗日(Lagrange)配方法。 拉格朗日( )配方法。 针对二次型所对应的对称阵 针对二次型所对应的对称阵 二次型所对应的 行列对称初等变换法； 行列对称初等变换法； 正交变换法。 正交变换法。
(3) 将 h(Z) 化为规范型
2 2 2 h( Z ) = z1 − z 2 + 16 z 3 ,
z1 = w1 , w1 = z1 , w2 = 4 z3， 即 z2 = w3 , 令 z = (1 / 4)w , w = z , 3 2 3 2
代入得 h(Z )
A B= I
64748 64 4 4 4 7 8 T Pm L P2T P1T A P1 P2 L Pm
行变换 列变换
Λ . I P1 P2 L Pm P 14 4 2 3
列变换
17
第 六 章 二 次 型
§6.2 二次型的标准形
线性代数—二次型的标准形和规范形汇总
9
2、用正交变换法化二次型为标准形
由上节定理可知，对实对称阵 A，总可找到正交 阵 P，使 P AP 为对角阵， 而由正交阵性质可知，
1
1
P
P ，故 P AP P AP 。因此这样的正交
T T
1
阵 P 正好用来作为变换 X CY 中的矩阵 C。
当 C 是正交阵时， 我们称 X CY 是一个正交变换。
2
45 4 45 5 45
14
于是所求正交变换为 X PY ,
2 2 2 f 9 y 18 y 18 y 标准形为 1 2 3 .
15
例4
用正交变换将二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x2 x4 2 x3 x4
1
2
2 ( 3)( 1)3 . 1
3 1 1 1 1 3 1 1 1 3 , 3 E A 1 1 3 1 1 1 1 3
17
3 1 1 1 1 1 13 1 1 0 1 1 E3 A 1 1 3E A 11 1 0 0 1 1 3 0 10 1 1 1 1 1 3
析可以看出， 要把一个二次型化为标准形， 只要找一个可逆阵 C，
T C AC 成为对角阵，义
如果二次型
f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX 通过可逆线性变换 X CY ，化为二次型 2 2 2 Y T BY d 1 y1 d 2 y2 d n yn ，
2 2
f 2 y 2 y 4 y1 y3 8 y2 y3 .
线性代数 第3节 化二次型为规范形
2
定理(惯性定理) 对任意二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) X AX , 无论用何种可逆线性替换把它化为标准形,其中正的系 数个数(称正惯性指数)和负的系数个数(称负惯性指数) 唯一确定. T 设二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX 通过可逆线性替换 X CY 化为下列标准形
1 dr
0 , 1 1
4
二次型化为
f z ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ z z
2 1 2 p
2 p1
z ,
2 r
称之为二次型的规范形. 定理 任一二次型都可以通过可逆线性替换化为规 范形,且规范形是唯一的. 化二次型时，所作的线性替换不一定是正交替换.
2 1 1 2 p
2 p1
dr y ,
2 r
继续作可逆线性替换
矩阵形式为 Y C1 Z ,
1 y1 d z1 1 y 1 z r r dr y z r 1 r 1 y z n n
1 d1 C1 0
6
推论
两个 n 阶实对称矩阵合同的充分必要条件是
它们的秩和正惯性指数分别相等.
7
练习：
P244 习题六
8
T
f d y d p y d p1 y
2 1 1 2 p
2 p1
dr y ,
2 r
p为正惯性指数, q r p 为负惯性指数,
正负惯性指数的差 p q 2 p r 称为二次型的符号差. 证略.
3
X CY ,
f d y d p y d p1 y
5
定理
任一实对称矩阵 A 与对角阵
定理(惯性定理) 对任意二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) X AX , 无论用何种可逆线性替换把它化为标准形,其中正的系 数个数(称正惯性指数)和负的系数个数(称负惯性指数) 唯一确定. T 设二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX 通过可逆线性替换 X CY 化为下列标准形
1 dr
0 , 1 1
4
二次型化为
f z ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ z z
2 1 2 p
2 p1
z ,
2 r
称之为二次型的规范形. 定理 任一二次型都可以通过可逆线性替换化为规 范形,且规范形是唯一的. 化二次型时，所作的线性替换不一定是正交替换.
2 1 1 2 p
2 p1
dr y ,
2 r
继续作可逆线性替换
矩阵形式为 Y C1 Z ,
1 y1 d z1 1 y 1 z r r dr y z r 1 r 1 y z n n
1 d1 C1 0
6
推论
两个 n 阶实对称矩阵合同的充分必要条件是
它们的秩和正惯性指数分别相等.
7
练习：
P244 习题六
8
T
f d y d p y d p1 y
2 1 1 2 p
2 p1
dr y ,
2 r
p为正惯性指数, q r p 为负惯性指数,
正负惯性指数的差 p q 2 p r 称为二次型的符号差. 证略.
3
X CY ,
f d y d p y d p1 y
5
定理
任一实对称矩阵 A 与对角阵
二次型化为标准型PPT课件
0 0 1 0 0 1
1 1 3 1 1 1.
0 0 1
C 2 0.
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18
3．将特征向量正交化
取 1 1, 2 2, 3 3
得正交向量组
2 ,3 2 , 2
2
,
1 (1 2,1,1)T , 2 (2,1,0)T , 3 (2 5,4 5,1)T .
Page 6
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
令
i
i i
,
i 1,2,3,
1 3
2 5
2 45
使 P1 AP ,即 PT AP .把此结论应用于二次 型,有
n
定理1 任给二次型 f aij xi x j aij a ji , 总有 i, j1
正交变换x Py, 使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 ,
其中1, 2 ,, n是 f 的矩阵A aij 的特征值.
xk yk
k 1,2,,n且k i, j
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方
法配方.
Page 11
例2 化二次型
f x12 2 x22 5 x32 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 为标 准形, 并求 所用的 变换矩 阵.
解
含有平方项
含有 x1的项配方
f x12 2x22 5x32 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3
得 1 2 3, 2 1 5 , 3 4 45 .
2 3
0
5
45
所以
1 3
P 2 3
2
3
2 5 15
0
2 45
4 45 .
1 1 3 1 1 1.
0 0 1
C 2 0.
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3．将特征向量正交化
取 1 1, 2 2, 3 3
得正交向量组
2 ,3 2 , 2
2
,
1 (1 2,1,1)T , 2 (2,1,0)T , 3 (2 5,4 5,1)T .
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4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
令
i
i i
,
i 1,2,3,
1 3
2 5
2 45
使 P1 AP ,即 PT AP .把此结论应用于二次 型,有
n
定理1 任给二次型 f aij xi x j aij a ji , 总有 i, j1
正交变换x Py, 使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 ,
其中1, 2 ,, n是 f 的矩阵A aij 的特征值.
xk yk
k 1,2,,n且k i, j
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方
法配方.
Page 11
例2 化二次型
f x12 2 x22 5 x32 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 为标 准形, 并求 所用的 变换矩 阵.
解
含有平方项
含有 x1的项配方
f x12 2x22 5x32 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3
得 1 2 3, 2 1 5 , 3 4 45 .
2 3
0
5
45
所以
1 3
P 2 3
2
3
2 5 15
0
2 45
4 45 .
拉格朗日配方法(将二次型转化为标准型)
得标准形
2 2 f z1 z2 z3 , 2
所用可逆线性变换为 x1 z1 z 2 z 3 , x 2 z1 z 2 z 3 , x3 z3 .
1 1 0 1 0 1 C 1 1 0 0 1 2 0 0 1 0 0 1 3 1 1 1 1 1. 0 0 1
C
2 0.
二、小结
将一个二次型化为标准形，可以用正交变换 法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法， 这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩 阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一 个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用． 正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就 班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二 次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而 比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所 得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项 数必定相同，项数等于所给二次型的秩．
思考题
化二次型 f x1 , x 2 , x 3 x1 x 2 x1 x 3 x 2 x 3 为标准形, 并写出所作的可逆线性 变换 .
思考题解答
解 由于所给二次型不含平 方项, 故令 x1 y1 y 2 , x 2 y1 y 2 , x y , 3 3 2 2 2 有 f ( y1 y 3 ) y 2 y 3 , z1 y1 y 2 , y1 z1 z 3 , 再令 z 2 y 2 , 或 y2 z2 , z y , y z , 3 3 3 3
拉格朗日配方法的步骤 1. 若二次型含有 xi 的平方项，则先把含有 x i 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形; 2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0 ( i j ),则先作可逆线性变换 x i yi y j k 1,2,, n且k i , j x j yi y j x y k k 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方.
线性代数 第六章第二节 二次型化为标准型的三种方法
零多项式，故 可化为标准型.
含有平方项，这归结为情形 1，
推论1 任意n阶对称矩阵A都与对角形矩阵合同. 证明 由定理4，存在非退化线性变换X=CY，使得
右端标准型的矩阵为
新旧变量二次型的矩阵A与B满足CTAC=B，即A与对角形矩阵 B合同.
3 初等变换法 根据实对称矩阵及合同变换的特征得到.
只作列 变换
即：
求逆 矩阵
记Y=DZ
所用变换矩阵为
定理4 对于任一n元二次型 都存在非退化的线性变换 X=CY ，使之成为标准型（平方和） 证明 对变量个数进行归纳。 平方项的系数不全为零，不妨设
是n-1元二次型或零多项式。由归纳假设，存在非退化线性变换
则非退化线性变换为
情形2
不含平方项，必有
是非退化的线性变换，使得
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
与上一 章化相 似标准 型的做 法基本 一致， 也可以 作组内 正交化
用正交变换将二次型化为标准形的方法 例1 求一个正交变换x=Ty,把二次型
化为标准形,并指出方程f =1表示何种二 次曲面.
解 写出 f 的系数矩阵A，求出A的特征 值和特征向量
由
,
得
当
时,解方程组
得基础解系
当
时,解方程组
得基础解系
将特征向量正交化、单位化
再对α1,β2, β3单位化,得
写出正交变换的矩阵
由
构成正交矩阵
则二次型经正交变换x=Ty化为标准形
显然,f =1表示的二次曲面为单叶双曲面. 注意：化f为标准形的正交变换不唯一.
例2 解
拉格朗日配方法的具体步骤
C为所 求
思考
1、化二次型为标准形的正交变换是否 唯一？
5.6用配方法化二次型成标准形
相似矩阵及二次型用配方法化二次型成标准形用正交变换化二次型成标准形,具有保持几何形状不变的优点.如果不限于用正交变换,那么还可以有多种方法(对应有多个可逆的线性变换)把二次型化成标准形.这里只介绍拉格朗日配方法.例 化二次型成标准形，并求所用的变换矩阵，其中22212312132325226f x x x x x x x x x =+++++.解 由于f 中含变量1x 的平方项， 故把含1x 的项归并起来， 22211213232322256f x x x x x x x x x =+++++()22222123232323232256x x x x x x x x x x x =++---+++()222123223344x x x x x x x =+++++上式右端除第一项外已不再含1x .f ()222123223344x x x x x x x =+++++()()22123232x x x x x =++++令112322333,2,,y x x x y x x y x =++⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 即112322333,2,,x y y y x y y x y =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 2212f y y =+， 所用变换矩阵为 ()11101210001C C -⎛⎫⎪=-=≠ ⎪⎪⎝⎭.例 将二次型化成规范形，并求所用的变换矩阵，其中121323226f x x x x x x =+-.解 在f 中不含平方项，由于含有12x x 乘积项， 令11221233,,,x y y x y y x y =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 代入可得221213232248f y y y y y y =--+.再配方，得 ()()222132332226f y y y y y =---+.令()()113223332,22,6,z y yz y yz y⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩即1132233311,2612,261,6y z zy z zy z⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩222123f z z z=-+.()()222132332226f y y y y y =---+.1132261112261006⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,1102611012110026001106C ⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭ 106C ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭.一般地，任何二次型都可用上面两例的方法找到可逆变换，把二次型化成标准形（或规范形）.谢谢。
8-2-用配方法化二次型为标准型
f x12 2 x22 5 x32 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 为标准形,并求所用的变换矩阵 .
解
具有平方项
含有 x1的项配方
f x12 2 x22 5 x32 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
x12
2 x1 x2
2 x1 x3
2 x22
5
y1
y2
y ,
2
,
或
z3 y3 ,
y1 y2
z1
z2
z ,
3
,
y3 z3 ,
得标准形
f
z12
z
2 2
z
2 3
,
所用可逆线性变换为
x1 z1 z2 z3,
x2
z1
z2
z3
,
x3 z3 .
思索题
化二次型
f x1 , x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
为标准形,并写出所作的可逆线性 变换 .
思索题解答
解 由于所给二次型不含平 方项,故令
x1 x2
y1 y1
y2, y2,
x3 y3 ,
有
f
( y1 y3)2
y
2 2
y
2 3
,
再令
z1
z2
样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
性变换，就得到原则形; 2. 若二次型中不具有平方项，但是 aij 0
(i j),则先作可逆线性变换
xi xj
yi yi
yj yj
k 1,2,,n且k i, j
xk yk
化二次型为具有平方项旳二次型，然后再按1中方
法配方.
例1 化二次型
解
具有平方项
含有 x1的项配方
f x12 2 x22 5 x32 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
x12
2 x1 x2
2 x1 x3
2 x22
5
y1
y2
y ,
2
,
或
z3 y3 ,
y1 y2
z1
z2
z ,
3
,
y3 z3 ,
得标准形
f
z12
z
2 2
z
2 3
,
所用可逆线性变换为
x1 z1 z2 z3,
x2
z1
z2
z3
,
x3 z3 .
思索题
化二次型
f x1 , x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
为标准形,并写出所作的可逆线性 变换 .
思索题解答
解 由于所给二次型不含平 方项,故令
x1 x2
y1 y1
y2, y2,
x3 y3 ,
有
f
( y1 y3)2
y
2 2
y
2 3
,
再令
z1
z2
样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
性变换，就得到原则形; 2. 若二次型中不具有平方项，但是 aij 0
(i j),则先作可逆线性变换
xi xj
yi yi
yj yj
k 1,2,,n且k i, j
xk yk
化二次型为具有平方项旳二次型，然后再按1中方
法配方.
例1 化二次型
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2 2 = ( x1 + x2 + x3 )2 + x2 + 4 x2 x3 + 4 x3 ,
继续配方， 上式右端除第一项外已不再含 x1 , 继续配方，可得
f = ( x1 + x2 + x3 )2 + ( x2 + 2 x3 )2 .
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f = ( x1 + x2 + x3 ) + ( x2 + 2 x3 ) .
2 2
y1 = x1 + x2 + x3 , 令 y2 = x2 + 2 x3 , y = x , 3 3
x1 = y1 − y2 + y3 , 即 x2 = y2 − 2 y3 , x = y , 3 3
2 2 就把f化成标准形 = y1 + y2 , 所用的变换是: f
2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 3
= ( x1 − 2 x2 + 2 x3 ) + 2( x − 2 x2 x3 + x ) − x 2 = ( x1 − 2 x2 + 2 x3 )2 + 2( x2 − x3 )2 − x3
2 2 2 2 3
2 3 2 3
上页
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2 = ( x1 − 2 x2 + 2 x3 )2 + 2( x2 − x3 )2 − x3
1 C = 0 0
−1 1 1 − 2 , ( C = 1 ≠ 0). 0 1
上页
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例15
化二次型
f = 2 x1 x2 Leabharlann 2 x1 x3 − 6 x2 x3
成标准形，并求所用的变换矩阵。 成标准形，并求所用的变换矩阵。
x1 = y1 + y2 , x2 = y1 − y2 , x = y , 3 3
令
x1 − 2 x2 + 2 x3 = y1 , x2 − x3 = y2 ,即 x3 = y3 .
x1 = y1 + 2 y2 , x2 = y2 + y3 , x = y . 3 3
2 2 2 得f = y1 + 2 y2 − y3 .
一般地， 一般地，任何二次型都可用拉格朗日配方法找 到可逆线性变换，把二次型化成标准形， 到可逆线性变换，把二次型化成标准形，且由定理 9可知，标准形中含有的项数，就是二次型的秩。 可知， 可知 标准形中含有的项数，就是二次型的秩。
成标准形，并求所用的变换矩阵。 成标准形，并求所用的变换矩阵。 解
f = x + 2 x + 5 x + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3
2 1 2 2 2 3
2 2 2 2 = ( x1 + x2 + x3 )2 − x2 − x3 − 2 x2 x3 + 2 x2 + 5 x3 + 6 x2 x3
§6
用配方法化二次型成 标准形
★用拉格朗日配方法化二次型为标准形
化二次型为标准型的方法有多种， 化二次型为标准型的方法有多种，本节主要 介绍拉格朗日配方法。 介绍拉格朗日配方法。
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例14 化二次型
2 2 2 f = x1 + 2 x2 + 5 x3 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3
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Ex.10
用配方法化二次型
2 1 2 2 2 3
f = x + 6 x + 5 x − 4 x1 x2 + 4 x1 x3 − 12 x2 x3
成标准形，并求所用的变换矩阵。 成标准形，并求所用的变换矩阵。 解
f = x + 6 x + 5 x − 4 x1 x2 + 4 x1 x3 − 12 x2 x3 = [ x − 4 x1 ( x2 − x3 ) + 4( x2 − x3 ) ] + 2 x + x − 4 x2 x3
即
y1 = z1 + z3 , y2 = z2 + 2z3 , y = z , 3 3
2 2 2 即有f = 2z1 − 2z2 + 6z3 .所用的变换矩阵是
1 1 1 1 0 1 0 C = 1 − 1 0 1 − 1 − 1 = 1 0 0 1 0 0 1 0 (| C |= −2 ≠ 0). 上页
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1 3 − 1 − 1, 0 1
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由例1和例 可知 由例 和例2可知，用拉格朗日配方法化二次型 和例 可知， 为标准形的一般步骤是： 为标准形的一般步骤是： 的平方项， （1）若二次型中含有 xi 的平方项，则先把含 xi ） 的各项配成平方项，然后再依此法对其它变量配方， 的各项配成平方项，然后再依此法对其它变量配方， 直到都配成平方项； 直到都配成平方项； （2）若二次型中不含任何平方项，但有 aij ≠ 0 ）若二次型中不含任何平方项， ( i ≠ j ) ，则作一可逆线性变换 xi = yi + y j , x j = yi − y j , xk = yk , k ≠ i , j 使二次型化为含有平方项的形式， 使二次型化为含有平方项的形式，再按上面的方法配 方。
2 2 f = 2 y1 − 2 y2 − 4 y1 y3 + 8 y2 y3 .
解 令
代入可得
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2 2 f = 2 y1 − 2 y2 − 4 y1 y3 + 8 y2 y3 .
2 再配方, 得f = 2( y1 − y3 )2 − 2( y2 − 2 y3 )2 + 6 y3 .
令
z1 = y1 − y3 , z2 = y2 − 2 y3 , z = y , 3 3