配方法把二次型化为标准形
举例说明将二次型化成标准型的方法
举例说明将二次型化成标准型的方法1. 使用平方配方法将二次型化简成标准型。
对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以通过将其分解为(x - y)^2 + 4y^2，得到标准型。
2. 使用线性代数的变量代换方法将二次型化简成标准型。
对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以令u = x - y和v = y，然后将原二次型转化为标准型u^2 + 2v^2。
3. 使用正交变换将二次型化简成标准型。
正交变换可以通过特征值分解或奇异值分解来实现。
对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以进行正交变换，得到标准型x'^2 + 2y'^2。
4. 使用特征值分解将二次型化简成标准型。
特征值分解可以将二次型的矩阵表示分解为特征向量和特征值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为标准型。
5. 使用奇异值分解将二次型化简成标准型。
奇异值分解可以将二次型的矩阵表示分解为奇异向量和奇异值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为标准型。
6. 使用正交变换将二次型化简成标准型的等价二次型。
正交变换不仅可以将二次型转化为标准型，还可以将其转化为等价二次型，即具有相同特征值但不同特征向量的二次型。
7. 使用特征值分解将二次型化简成标准型的等价二次型。
特征值分解可以将二次型的矩阵表示分解为特征向量和特征值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为等价二次型。
8. 使用奇异值分解将二次型化简成标准型的等价二次型。
奇异值分解可以将二次型的矩阵表示分解为奇异向量和奇异值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为等价二次型。
9. 使用主轴变换将二次型化简成标准型。
主轴变换是一种可以将二次型的矩阵表示转化为对角矩阵的变换。
10. 使用化简平方矩阵的方法将二次型化简成标准型。
化简平方矩阵是一种通过行和列的线性组合得到的矩阵，可以将二次型的矩阵表示简化为对角矩阵。
11. 使用特征值问题的解法将二次型化简成标准型。
化二次型为标准形几种方法的比较及技巧
化二次型为标准形几种方法的比较及技巧1. 引言1.1 化二次型为标准形的重要性化二次型为标准形是线性代数中一个重要的概念。
在实际问题中，我们经常会遇到涉及二次型的计算和分析，因此将二次型化为标准形可以简化计算过程，方便问题的进一步研究和解决。
化为标准形后，我们可以更清晰地看到二次型的特征，比如主轴方向、主轴长度等，这有助于我们对二次型的性质进行深入了解。
将二次型化为标准形也为后续的计算和分析提供了便利。
通过化为标准形，我们可以更方便地进行求导、求极值等操作，从而更好地研究二次型的性质和应用。
标准形也为我们提供了一种比较统一的形式，使得不同二次型之间的比较和分析更加简便和直观。
化二次型为标准形是具有重要意义的。
它不仅简化了计算过程，提供了便利的分析工具，还有助于我们深入理解二次型的性质和特征。
选择合适的方法和技巧进行化标准形的操作可以更快速地解决问题，提高工作效率，是线性代数学习中不可或缺的一环。
2. 正文2.1 方法一：通过配方法求解通过配方法求解是一种将二次型化为标准形的常用方法。
在这种方法中，我们首先将二次型中的平方项配方，使其变为完全平方，然后再通过变量替换的方法将其化为标准形。
具体步骤如下：1. 将二次型中的平方项配方。
对于二次型Q(x_1,x_2,...,x_n)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+...+a_{nn}x_n^2+2(a _{12}x_1x_2+...+a_{1n}x_1x_n+...+a_{n-1,n}x_{n-1}x_n)，我们可以将每一项中的平方项提出并进行配方，得到完全平方的形式。
2. 然后，通过适当的变量替换将配方后的二次型化为标准形。
通常情况下，我们选择适当的线性变换矩阵P，使得Q(x)=x^TAX中的A 为对角矩阵，即A=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)。
这样就将二次型成功化为标准形。
通过配方法求解的优点在于操作简单直观，容易理解和掌握。
用配方法将二次型化为标准型
用配方法将二次型化为标准型首先，我们来回顾一下二次型的定义。
对于n元变量x1, x2, ..., xn，二次型可以表示为。
Q(x) = x^T A x。
其中，A是一个n阶对称矩阵，x是一个n维列向量，x^T表示x的转置。
二次型的标准型是一个比较特殊的形式，可以通过合适的线性变换将任意的二次型化为标准型。
具体来说，标准型可以表示为。
Q(x) = λ1 y1^2 + λ2 y2^2 + ... + λn yn^2。
其中，λ1, λ2, ..., λn是二次型的特征值，y1, y2, ..., yn是对应的特征向量。
接下来，我们将介绍用配方法将二次型化为标准型的步骤。
设给定的二次型为。
Q(x) = x^T A x。
我们的目标是通过合适的线性变换，将其化为标准型。
首先，我们需要求出矩阵A的特征值和对应的特征向量。
然后，我们将特征值和特征向量构成对角矩阵和正交矩阵，利用这两个矩阵进行相似变换，最终将二次型化为标准型。
具体的步骤如下：1. 求出矩阵A的特征值和对应的特征向量。
设特征值为λ1, λ2, ..., λn，对应的特征向量为v1, v2, ..., vn。
2. 将特征值和特征向量构成对角矩阵D和正交矩阵P。
其中，D的对角线元素为特征值，P的列向量为特征向量。
3. 进行相似变换。
设矩阵B = P^T A P，则二次型可以表示为。
Q(x) = x^T B x。
4. 化为标准型。
将矩阵B对角化，即将其化为对角矩阵，对角线元素为特征值。
设B的对角线元素为λ1, λ2, ..., λn，则二次型化为标准型。
Q(x) = λ1 y1^2 + λ2 y2^2 + ... + λn yn^2。
其中，y = P x。
通过以上步骤，我们可以将任意给定的二次型通过配方法化为标准型。
这样做的好处在于，标准型更容易进行分析和运算，可以更清晰地展现二次型的特性和规律。
在实际问题中，通过将二次型化为标准型，我们可以更方便地求出极值、进行分类讨论等。
6_2 配方法化二次型为标准形
②将x1, x2,…, xn正交化标准 化为h1, h2,…, hn，令 P=(h1, h2,…, hn), 仍有 P -1AP= 正交必无关 , 即有 P TAP= 因为PT=P -1.
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作业：
P128页 习题四 8， 9
《线性代数》
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现将X=PY代入二次型，得
f ( X ) X T AX
X PY
( PY )T A( PY ) Y T ( PT AP)Y ,
d1 0 0 y1 0 d 0 y2 2 T yn Y Y , 0 0 d y n n
2
(1)就是相应的满秩线性变换，其中的 满秩方阵 P 为
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P 0 0
1 0
结束
2 3 1
例2 用配方法化下列二次型为标准型．
f ( x1 , x2 , x3 ) x1 x2 x2 x3
解：f 中不含变量的平方项，但f 中含乘积项x1x2，为使f 出现平 方项可作下列变换：
上式右端除第一外，已不再含x1 ，继续对x２配方得： 4 2 y1 x1 x2 x3 f 2( x1 x2 x3 ) 2 3( x2 x2 x3 ) 3 x3 3 2 2 2 5 2 令 y2 x2 x3 2 3 2( x1 x2 x3 ) 3( x2 x3 ) x3 3 3 x3 y3
第 6章
二次型
一、二次型与二次型的化简 *二、配方法化二次型为标准形 *三、合同变换法化二次型为标准形 四、正交变换化二次型为标准形 五、惯性定律与正定二次型
配方法化二次型为标准型
1
12
2
3
23
（x1 x2）2 x22 5x32 4x2 x3
（yx21xy2）22（yx22 2x3）2 x32
1
2
3
y1 x1 x2 ,
y2
x2
2x3,
y3 x3.
x1 y1 y2 2 y3,
1 1 2
x2 y2 2y3,
C 0 1 2.
x3 y3.
0 0 1
例2
:
设二次型f
(x , 1
x, 2
x) 3
x2 1
x2 2
8x 2 3
4x x 13
4x2x3,
1.求一可逆变换将该二次型化为标准形;
2. f (x1, x2, x3) 1是什么曲面?
1. f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 8x32 4x1x3 4x2x3 ( x1 2x3 )2 ( x2 2x3 )2 y12 y22.
y1 x1 2x3,
y2
x2
2x3,
y3 x3.
x1 y1 2 y3 , x2 y2 2 y3 , x3 y3.
1 0 2
C
0 0
1 0
12 .
2.由 A E 0 A的特征值为1 0, 2 1,3 9.
在正交变换下，可将 f 1化为 y 2 9y 2 1. 为椭圆
2
3
柱面。
正交变换保持向量长度不变,只有在正交变换下将二次 型化为标准形，才能确定它所表示的曲面类型。 注：设 Y=QX，Q为正交矩阵，则有
||Y||2=YTY=(QX)T(QX)=XTQTQX=XTX=||X||2.
注：配方法化二次型为标准形一般有两种情形：
正交变换法和配方法化二次型标准形
正交变换法和配方法化二次型标准形-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN正交变换法和配方法化二次型标准形的优劣研究摘要二次型的研究起源于解析几何，在平面解析几何中，通常需要把二次曲线与二次曲面方程化为标准方程．从代数学的观点看，这种变化过程就是通过变量的线性替换化简一个二次多项式，使之只含有各个变量的平方项的过程．这类问题在数学的各个分支及物理、力学和网络计算中都有重要应用.本文在对二次型概念的理解基础上，将二次型化为标准形的方法进行归纳整理，并做进一步的研究与讨论．总结出正交变换法和配方法化二次型标准形的优劣之处.关键词：二次型；标准形；配方法；正交变换法AbstractQuadratic study originated in analytic geometry. In graphic analytic geometry, usually need to second curve and surface equation into standard equation. From the point of view of algebra, the change process of replacement is through simplifying linear variable, a quadratic multinomial only contains the square of variables. This kind of question in each branch of mathematics, physics,mechanics and network computing have important applications.Based on the understanding of quadratic basis, induce the method of transform quadratic form into standard form, and further generalization of the research and discussion. Summarize the advantage and disadvantage of orthogonal transformation method and the method of completing square.Keywords: Quadratic form; Standard form; Method of completing square; Method of orthogonal transformation目录摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)目录 (Ⅲ)1．引言 (1)2．定义 (1)3．定理及其证明 (2)4．方法步骤及例题 (5)配方法化二次型标准形 (5)正交变换法化二次型标准形 (7)两种方法的比较研究 (9)5．小结 (10)致谢 (12)参考文献 (13)1. 引言线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容，随着科学技术的发展，特别是电子计算机使用的日益普遍，作为重要的数学工具之一，线性代数的应用已经深入到了自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理等各个领域.二次型理论在线性代数中占有举足轻重的地位,从对平方数的注意到对特殊二次型的研究，再到对一般二次型的探索与发展，中间经历了一个漫长曲折的历史过程,而实二次型的标准形与代数数论、数的几何等都有密切的联系，利用二次型可以把任何一个方阵JORDAN标准化,对研究矩阵是非常有用的，因此讨论化二次型为标准形的问题就成为教学的一个很重要的内容.文献[1]-[3]具体介绍了二次型的定义以及对二次型的研究情况，提出了化二次型为标准型的重要性.文献[4]-[6]提出了用正交变换法化二次型标准形的步骤及应用．文献[7]-[8]提出了用配方法化二次型标准形的步骤及应用.本文对化二次型为标准形的方法进行了归纳和总结，并做进一步的研究与讨论，这在理论上和应用上都有着十分重要的意义.2. 定 义定义 1：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式()n x x x f ,,,21 =11a 21x +22112x x a +…+2n n x x a 11+2222x a +…2n n x x a 22+…2n nn x a称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型.定义 2：设n x x ,,1 ；n y y ,,1 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x22112222211212121111(1)称为由n x x ,,1 到n y y ,,1 的一个线性替换，简称线性替换.如果系数行列式 0≠ij c ，那么，线性替换(1)就称为非退化的.定义 3：在n 维欧式空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基.3. 定理及其证明定理 1：数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化线性替换变成平方和2222211n n x d x d x d +++ 的形式.证明：对变量的个数n 作归纳法.对于n=1，二次型就是()21111x a x f =，已经是平方和了，现假定对n-1元的二次型，定理的结论成立.再设()∑∑===ni nj j i ij n x x a x x x f 2221,,, （ji ij a a =）分三种情形来讨论：1）ij a （n i ,,2,1 =）中至少有一个不为零，例如011≠a ，这时()n x x x f ,,,21 =∑∑∑∑====+++ni nj j i ij ni i i nj j j x x a x x a x x a x a 222112112111=∑∑∑===++n i nj j i ij n j j j x x a x x a x a 2221121112= 212111111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=-j j n j x a a x a -221111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=-n j j j x a a +∑∑==n i n j j i ij x x a 22= 212111111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=-j j n j x a a x a +∑∑==n i n j j i ij x x b 22这里 ∑∑==ni nj j i ij x x b 22=-221111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=-n j j j x a a +∑∑==n i n j j i ij x x a 22是一个n x x x ,,,32 的二次型. 令 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=∑=-n n nj jj x y x y x a a x y 222111111即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=∑=-n n nj jj x y x y x a a y x 222111111 这是一个非退化线性替换，它使()n x x x f ,,,21 =∑∑==+ni nj j i ij y y b y a 222111由归纳法假定，对∑∑==n i nj j i ij y y b 22有非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c z y c y c y c z y c y c y c z 33223333232323232222能使它变成平方和2233222n n z d z d z d +++于是非退化线性变换 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++==nnn n n nn y c y c z y c y c z y z 222222211就使()n x x x f ,,,21 变成()n x x x f ,,,21 =22222111n n z d z d z a +++ ， 即变成平方和了.根据归纳法原理，定理得证.2）所有0=ii a ，但是至少有一01≠j a （j>1）,不失普遍性，设012≠a令 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=+=nn z x z x z z x z z x 33212211它是非退化线性变换，且使 ()n x x x f ,,,21 = +21122x x a=()() +-+2121122z z z z a= +-2212211222z a z a ， 这时上式右端是n z z z ,,,21 的二次型，且21z 的系数不为零，属于第一种情况，定理成立.3)011211====n a a a由于对称性，有013121====n a a a这时()n x x x f ,,,21 =∑∑==ni nj j i ij x x a 22是n-1元二次型，根据归纳法假定，它能用非退化线性替换变成平方和.定理2：对于任一个n 级实对称矩阵A ，都存在正交矩阵Q ，使得AQ Q 1-=AQ Q '=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21其中n λλλ,,,21 是A 的n 个特征值.定理 3：对于n 维欧式空间中任意一组基n εεε,,,21 ，都可以找到一组标准正交基n ηηη,,,21 ，使L ()i εεε,,,21 =L ()i ηηη,,,21 ，n i ,,2,1 =.证明：设n εεε,,,21 是一组基，我们来逐个地求出向量n ηηη,,,21 . 首先，可取1111εεη=.一般地，假定已经求出m ηηη,,,21 ，它们是单位正交的，具有性质 L ()i εεε,,,21 =L ()i ηηη,,,21 ，m i ,,2,1 =.下一步求1+m η因为L ()m εεε,,,21 =L ()m ηηη,,,21 ，所以1+m ε不能被m ηηη,,,21 线性表出. 作向量()∑=+++-=mi i i m m m 1111,ηηεεξ.显然，01≠+m ξ，且()0,11=+ηξm ，m i ,,2,1 =令 111+++=m m m ξξη ，121,,,,+m m ηηηη 就是一单位正交向量组. 同时 L ()121,,,+m εεε =L ()121,,,+m ηηη 由归纳法原理，定理得证.定理 4：任意一个n 元二次型()n x x x f ,,,21 =AX X '(A 实对称)，总可以经过正交变换QY X =（Q 为正交矩阵）化为标准形2222211n n y y y f λλλ+++= ，式中，n λλλ,,,21 是矩阵A =(ij a )的全部特征值，2222211n n y y y f λλλ+++= 称为二次型在正交变换下的标准形.证明：因为矩阵A 是实对称阵，由定理4可知，一定存在正交矩阵Q ，使得 AQ Q 1-=AQ Q '=A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21其中n λλλ,,,21 是矩阵A 的全部特征值.作正交变换QY X =,则()n x x x f ,,,21 =AX X '=()Y AQ Q Y ''=AY Y '=2222211n n y y y λλλ+++4. 方法步骤及例题配方法化二次型标准形用配方法化二次型为标准形的关键是消去交叉项，分如下两种情形处理： 情形1: 如果二次型()n x x x f ,,,21 含某文字例如1x 的平方项，而011≠a ,则集中二次型中含1x 的所有交叉项，然后与21x 配方，并作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+++=nn n n x y x y x c x c x c y 2212121111（P c ij ∈）则()n y y g y d f ,,2211 +=,其中()n y y g ,2是n y y ,,2 的二次型。
配方法化二次型为标准型
配方法化二次型为标准型方法化二次型为标准型的步骤如下：1. 首先，判断二次型的矩阵是否为对称矩阵。
若不是对称矩阵，则进行对称化处理。
2. 对称化处理：对于二次型$Q(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsym bol{x}$，若矩阵$\boldsymbol{A}$不是对称矩阵，则可以构造对称矩阵$\boldsymbol{B}$，使得$\boldsymbol{A}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^T)$。
这样，二次型可表示为$Q(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T(\frac{1}{2}\boldsymbol {B}+\frac{1}{2}\boldsymbol{B}^T)\boldsymbol{x}$。
3. 根据对称性质，可以知道对称矩阵可以进行正交对角化，即存在正交矩阵$\boldsymbol{P}$，使得$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{D}$。
这里，$\boldsymbol{D}$为对角矩阵，其对角元素为特征值，即$\boldsymbol{D}=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)$。
4. 将二次型进行变量替换，令$\boldsymbol{y}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{x}$，则有$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{y}$，代入二次型得到$Q(\boldsymbol{y})=\boldsymbol{y}^T(\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P})\boldsymbol{y}=\boldsymbol {y}^T\boldsymbol{D}\boldsymbol{y}$。
第五章二节二次型的标准形和规范形
将 a3单位化： 1 1 1 1 T g3 = a 3 = ( ,, ) a3 3 3 3
令矩阵
轾1 犏 犏2 犏 犏1 Q = (g1, g2 , g3 ) = 犏 犏 2 犏 犏 犏0 犏 臌
1 6 1 6 2 6
1 3 1 3 1 3
Q为正交矩阵，且所作正交变换为 X = QY.
2 2 2 = 2(x1 + x1x2 - x1x3 ) + 2x2 + 2x3 + 2x2 x3 1 1 2 3 2 3 2 = 2(x1 + x2 - x3 ) + x2 + x3 + 3x2 x3 2 2 2 2 1 1 2 3 = 2(x1 + x2 - x3 ) + (x2 + x3 )2 2 2 2
2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = y1 + y2 + y3
但是，上面线性变换的矩阵 轾 1 0 1 犏 C= 犏 1 1 0 犏 犏 0 -1 1 臌 而det C = 0，即此线性变换是退化的，上述解法也是错误的。 正确的解法应利用可逆线性变换化二次型为标准形。 解 由已知条件，二次型可用配方法标准化 2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = 2x1 + 2x2 + 2x3 + 2x1x2 + 2x2 x3 - 2x1x3
1 类似可得对应于特征值l 2 = l 3 = - 的线性无关的特征向量 2 a 2 = (- 1,1,0)T , a3 = (- 1,0,1)T .
利用施密特正交化方法，将 a 2 , a3 正交化：令
T a3 b2 1 1 b2 = a 2 = (- 1,1,0)T , b3 = a3 - T b2 = (- ,- ,1)T b2 b2 2 2 将a1, b2 , b3单位化，有
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1 1 3 1 1 1.
0 0 1
C 20 .
二、小结
将一个二次型化为标准形，可以用正交变换 法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法， 这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩 阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一 个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用． 正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就 班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二 次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而 比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所 得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项 数必定相同，项数等于所给二次型的秩．
再配方，得
f 2 y 1 y 3 2 2 y 2 2 y 3 2 6 y 3 2 .
令
zz21
y1 y2
y3 2 y3
z3 y3
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
即
y1 y2
1 0
0 1
令 yy12xx12x22x3 x3 y3 x3
xx12
y1 y2 y2 2y3
y3
x3 y3
x1 1 1 1 y1 x20 1 2y2
x3 0 0 1 y3
f x 1 2 2 x 2 2 5 x 3 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 6 x 2 x 3 y12y22.
x1x2x32
去掉配方后多出来的项
x2 2x3 22x2x32x2 25x3 26x2x3
x 1 x 2 x 3 2 x 2 2 4 x 3 2 4 x 2 x 3
x 1 x 2 x 3 2 x 2 2 x 3 2 .
所用变换矩阵为
1 C0
1 1 1 2,
C10.
0 0 1
例2 化二次型
f 2x1x2 2x1x3 6x2x3
成标准形 ,并求所用的变换.矩阵
解 由于所给二次型中无平方项，所以
令
xx12
y1 y1
y2 y2 ,
即xx12
1 1
1 1
0 y1 0 y2
x3 y3
x3
0
0
1 y3
代 f 2 x 1 x 入 2 2 x 1 x 3 6 x 2 x 3 ,
得 f 2 y 1 2 2 y 2 2 4 y 1 y 3 8 y 2 y 3 .
法配方.
例1 化二次型
f x122x225x322x1x22x1x36x2x3 为标准 ,并形 求所用的.变换矩阵
解
含有平方项
含有x1的项配方
f x 1 2 2 x 2 2 5 x 3 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 6 x 2 x 3
x 1 22x 1x 22x 1x 3 2 x 2 2 5 x 3 2 6 x 2x 3
一、拉格朗日配方法的具体步骤
用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变．
问题 有没有其它方法，也可以把二次型化 为标准形？
问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法——拉格朗日配方法．
拉格朗日配方法的步骤
1. 若二次型含有 x i 的平方项，则先把含有 x i 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同
1z1 2z2
y3 z3
y3
0 0 1z3
得 f 2 z 1 2 2 z 2 2 6 z 3 2 .
所用变换矩阵为
1 1 01 0 1 C1 1 00 1 2
0 0 10 0 1
样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
性变换，就得到标准形; 2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0
(i j),则先作可逆线性变换
x x
i j
yi yi
yj yj
Hale Waihona Puke k 1 , 2 , , n 且 k i ,j
x k y k
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方
再 令 z1z2y1 y2y,2, z3y3,
或 y1y2z1z2z,3, y3z3,
得标准形 fz1 2z2 2z2 3,
所用可逆线性变换为
x1 x2
z1 z1
z2 z2
z3, z3,
x3 z3.
思考题
化二次型
fx1,x2,x3 x1x2 x1x3 x2x3
为标准,并 形写出所作的可变 逆换 线. 性
思考题解答
解 由于所给二次型方不项 ,故 含令 平
x1 x2
y1 y1
y2, y2,
x 3 y 3 ,
有 f (y 1 y 3 ) 2 y 2 2 y 2 3 ,