立体几何(6)
高考数学(理)复习 立体几何-6 空间向量与立体几何(理科)
第6节 空间向量与立体几何题型97 空间向量及其运算1.（2015四川理14）如图所示，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，,E F 分别为AB ，BC 的中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为 .1.解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设1AB =，()()0,,101My y 剟，则11,,02AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,0,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,,12EM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于异面直线所成的角的范围为π0,2⎛⎤⎥⎝⎦，所以cos θ==21y -()2222214181cos 1545545y y y y y θ-+⎛⎫+=⋅=- ⎪++⎝⎭，令81y t +=，19t 剟，则281161,1814552y y t t+⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦+-，所以24cos0,25θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故cos θ的最大值为25，此时0y =.2.（2015浙江理13） 如图，三棱锥A BCD -中 3,2AB AC BD CD AD BC ======， 点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是 ．MQPFE DCBA2.解析 解法一: 连接ND ，取ND 中点E ，连接,ME CE ，如图（1）所示，则CME ∠即是,AN CM 所成的角.ME =CM =，CE=所以7cos 8CME ∠==.评注 本题也可用向量法来求. 如图（2）所示，把A BCD -放入一个长方体中，然后建立空间直角坐标系，利用cos ,AN CM AN CM AN CM⋅=⋅来计算.ENMDCB Ay图（1） 图（2）题型98 空间角的计算1.（2013山东理4）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长的正三角形，若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ）.NMDCB ABFCDAP1B A.5π12 B.π3 C. π4 D.π62.（2013辽宁理18）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上的点.（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）若211AB AC PA ===，，，求证：二面角--C PB A 的余弦值.ACB3．(2013湖南理19）如图5，在直棱柱1111//ABCD A B C D AD BC -中，，90,BAD ∠=,AC BD ⊥1,BC =1 3.AD AA ==（1）证明：1ACB D ⊥；（2）求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值.4. (2013重庆理19）如图，四棱锥-P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，2BC CD ==，4AC =，π3ACB ACD ∠=∠=，F 为PC 的中点，AF PB ⊥.（1）求PA 的长；（2）求二面角--B AF D 的正弦值.OABCDC1A1B1D1ED 1C 1B 1A 1DCBA5.(2013天津理17）如图，四棱柱1111ABCD A B C D －中．侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB DC ∥，AB AD ⊥，1AD CD ==，12AA AB ==，E 为棱1AA 的中点．(1) 证明：11B C CE ⊥；(2) 求二面角11B CE C －－的正弦值；(3) 设点M 在线段1C E 上，且直线AM 与平面11ADD A所成角的正弦值为6，求线段AM 的长．6.（2013山东理18）如图所示，在三棱锥P ABQ -中，PB ⊥平面ABQ ，BA BP BQ ==，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，2AQ BD =，PD 与EQ交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH . （1）求证：GH AB ∥；（2）求二面角D GH E --的余弦值. 7. (2013陕西理18）如图，四棱柱1111-ABCD A B C D 的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1AO ⊥平面ABCD，1AB AA ==（1）证明：1AC ⊥平面11BB D D ；（2）求平面1OCB 与平面11BB D D 的夹角θ的大小.8. (2013福建理19）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，侧棱⊥1AA 底面ABCD ，1//,1,3,AB DC AA AB k ==4,5,6,(0)AD k BC k DC k k ===>（1）求证：⊥CD 平面11A ADD（2）若直线1AA 与平面C AB 1所成角的正弦值为76，求k 的值 （3）现将与四棱柱1111D C B A ABCD -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为)(k f ，写出)(k f 的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）.9. (2013安徽理19）如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为225.，AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60. （1）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面； （2）求cos COD ∠.10．（2013四川理19）如图，在三棱柱11ABC A B C-中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AB AC AA ==，120BAC ∠=，1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点，P 是线段AD 的中点．（1）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l⊥BP1A C ABB 1C 1D 1A 1P A DC平面11ADD A ；（2）设（1）中的直线l 交AB 于点M ，交AC 于点N ，求二面角1A A M N --的余弦值．11.（2013广东理18）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，6BC =，,D E 分别是,AC AB 上的点，CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-，其中A O '=.(1) 证明:A O '⊥平面BCDE ；(2) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.12. (2013全国新课标卷理18）如图，直棱柱111-ABC A B C中，D E ，分别是1AB BB ，的中点，12AA AC CB AB ===. （1）证明：1BC ∥平面11ACD ； （2）求二面角1--D AC E 的正弦值.13.（2013江西理19）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G 为PD 的中. C O B D EA C DOBE'A图1 图2点，DAB DCB △≌△，1EA EB AB ===，32PA =，连接CE 并延长交AD 于F ．(1) 求证：AD ⊥平面CFG ；(2) 求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值．14.（2014 新课标2理11）直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，M N ，分别是11A B ，11AC 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）.A.110 B.25C.10D.215.（2014 四川理 8）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。
立体几何题库6
立体几何题库（6）152. 与正方形各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数是________． 解析：如图中，截面ACD 1和截面ACB 1均符合题意要求，这样的截面共有8个；153. 已知矩形ABCD 的边AB=1，BC=a ，PA ⊥平面ABCD ，PA=1，问 BC 边上是否存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，并说明理由.解析：连接AQ ，因PA ⊥平面ABCD ，所以PQ ⊥QD ƒAQ ⊥QD ，即以AD 为直经的圆与BC 有交点．当AD=BC=a ≥AB=1,即a ≥1时，在BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ；．．．．．．．．．5分 当0<a<1时，在BC 边上不存在点Q ，使得PQ ⊥QD ．．． 154. 如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长的3，侧棱AA 1=,233D 是CB 延长线上一点，且BD=BC. （Ⅰ）求证：直线BC 1//平面AB 1D ；（Ⅱ）求二面角B 1—AD —B 的大小；（Ⅲ）求三棱锥C 1—ABB 1的体积.1A A（Ⅰ）证明：CD//C 1B 1，又BD=BC=B 1C 1， ∴ 四边形BDB 1C 1是平行四边形， ∴BC 1//DB 1.又DB 1⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ，∴直线BC 1//平面AB 1D.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（Ⅱ）解：过B 作BE ⊥AD 于E ，连结EB 1， ∵B 1B ⊥平面ABD ，∴B 1E ⊥AD ， ∴∠B 1EB 是二面角B 1—AD —B 的平面角， ∵BD=BC=AB ， ∴E 是AD 的中点，.2321==AC BE 在Rt △B 1BE 中，.32332311===∠BEB B BE B tg ∴∠B 1EB=60°。
即二面角B 1—AD —B 的大小为60°…………10分（Ⅲ）解法一：过A 作AF ⊥BC 于F ，∵B 1B ⊥平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，∴AF ⊥平面BB 1C 1C ，且AF=∴=⨯,323323 AF S V V C B B C BB A ABB C ⋅==∆--1111111131 .827233)323321(31=⨯⨯⨯=即三棱锥C 1—ABB 1的体积为.827…………15分解法二：在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，11111111111C B A A B AA C ABB C B AA ABB V V V S S---∆∆==∴=Θ.827233)3434(313121111=⨯⨯⨯=⋅=∆AA S C B A 即为三棱锥C 1—ABB 1的体积．155. 已知空间四边形AB C D 的边长都是1，又BD =3，当三棱锥A —B C D 的体积最大时，求二面角B —A C —D 的余弦值．解析：如图，取A C 中点E ，BD 中点F ，由题设条件知道（1）∠BED 即二面角B —A C —D 的平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 （2）当AF ⊥面B C D 时，V A —B C D 达到最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分这时ED 2=AD 2-AE 2=1-AE 2=1-2)2(AC =1-422FC AF + =1-87)431(211)41(211)(21122222=--=--=--=BD FD AD AF ， 又 BE 2=ED 2，∴ c o s 752222-=⨯-=∠BE ED BD ED BED ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分AEB F D C156. 有一矩形纸片ABCD ，AB=5，BC=2，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，且BE=CF=1，把纸片沿EF 折成直二面角． （1）求BD 的距离；（2）求证AC ，BD 交于一点且被这点平分．解析：将平面BF 折起后所补形成长方体AEFD-A 1BCD 1，则BD 恰好是长方体的一条对角线．（1）解：因为AE ，EF ，EB 两两垂直，所以BD 恰好是以AE ，EF ，EB 为长、宽、高的长方体的对角 线，（2）证明：因为AD EF ，EF BC ，所以AD BC ． 所以ACBD 在同一平面内， 且四边形ABCD 为平行四边形． 所以AC 、BD 交于一点且被这点平分157.已知△BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB ⊥平面BCD ， ∠ADB=60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且).10(<<==λλADAF ACAE（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； （Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥CD ， ∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ， ∴CD ⊥平面ABC.………………………………3分又),10(<<==λλADAF AC AE Θ∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ⊂平面BEF,∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ，∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC.………………8分 ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°， ∴,660tan 2,2===οAB BD,722=+=∴BC AB AC 由AB 2=AE ·AC 得,76,76==∴=ACAE AE λ故当76=λ时，平面BEF ⊥平面ACD.………………………………………………12分 158. 设△ABC 内接于⊙O ，其中AB 为⊙O 的直径，PA ⊥平面ABC 。
立体几何专题测试6
立体几何专题训练6学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．22．已知l ，m ，n 是不重合的直线，A ．若αβ⊥，//n α，则C ．若n αβ= ，//m 3．已知某圆锥的高为A ．23π c m 24．如图，在长方体ABCD 圆上（不含点C ，D ）A ．平面ADE ⊥平面C ．11//D C 平面ABE 5．如图，在棱长为1的正方体的中点，若直线1D P AA 二、多选题7．下列说法正确的是（）A ．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面B ．圆台的任意两条母线延长后一定交于一点C ．空间中没有公共点的两条直线一定平行D ．若直线a 和平面α满足a α∥，那么直线a 与平面α内的任何直线平行8．关于空间两条直线a ，b 和平面α，下列命题错误的是（）A ．若a α⊥，b α⊂，则a b⊥r r B ．若//a α，b α⊂，则//a b C ．若a b ⊥r r ，b α⊥，则//a αD ．若//a b ，b α⊥，则a α⊥9．如图，四棱锥S ABCD -的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中正确的是（）A ．AC SB⊥B ．//AB 平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角三、填空题10．已知A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为_______.11．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为______．12．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90 榫卯起来．若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为_____．四、解答题13．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形45CDA ∠= ，1AD AC ==，O 为AC 中点，PO ⊥平面ABCD ，2PO =，M 为PD 中点.(1)证明：//PB 平面ACM ；(2)证明：平面PAD ⊥平面PAC .14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，F 为1CC 的中点．（1）证明：//EF 平面1AC D ；（2）若2AD =，3AB =，14AA =，求点E 到平面1AC D 的距离．（Ⅰ）证明：平面AEF ⊥平面（Ⅱ）若2AB EC ==，求三棱锥16．已知M ，N 是长方体（1）若1AA AB =，求异面直线MN （2）若异面直线MN 与1AB 所成角的大小为参考答案：2．D【分析】根据空间中线面、面面位置关系的判定定理与性质定理判断即可；【详解】解：对于A ，若αβ⊥，对于B ，若//m α，//m β，则//α对于C ，若n αβ= ，//m n ，则m 对于D ，若m ，n 是异面直线，m 则由线面垂直的判定定理得l α⊥，故故选：D ．3．B【分析】由圆锥的体积和高，得到底面半径，勾股定理得母线长，由圆锥的侧面积公式计算结果.【详解】设该圆锥的底面半径与母线长分别为故选：D．5．BAD CD的中点为【分析】取,括边界）的轨迹为线段GH因为E ，F 分别为棱,AB BC 的中点，所以所以11A C FE 四点共面，直线1D P 与平面1EFC 无公共点，所以因为,G H 为,AD CD 的中点，所以正方体中，11//D G C F ，1D G ⊂/又1D G GH G = ，所以平面1D GH P 在正方形ABCD 内（包括边界）的轨迹为线段因为11D G D H =，所以当P 为GH 此时，2111()12D G D H ==+=所以221154D P D H PH =-=-故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由平面（包括边界）的轨迹为线段GH 6．D【分析】先根据线面关系以及三棱锥垂直，最终证得PC ⊥面AMN ，再利用长方体模型求三棱锥【详解】解：由题可知ABC 中，则该长方体的外接球即三棱锥P AMN -故24==PA R ，所以2R =三棱锥P AMN -外接球的体积为：4π3故选：D.7．AB【分析】由截面的性质判断A ，由圆台的概念判断C ，由线面平行的性质判断D.【详解】对A ，用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面，故对B ，由圆台的概念知圆台的任意两条母线延长后一定交于一点，故对C ，空间中没有公共点的两条直线可能异面，不一定是平行，故C 错误；对D ，若直线a 和平面α满足a α∥，那么a 与α内的任何直线平行或异面，故D 错误.故选：AB8．BC【解析】根据空间点线面的位置关系和各判定定理逐项判断即可.【详解】对于B 选项：若//a α，b α⊂，则a 与b 平行或异面，所以B 选项错误；对于C 选项：若a b ⊥r r ，b α⊥，则//a α或a α⊂，故C 选项错误.故选：BC .【点睛】判断空间点线面的位置关系可以借助长方体模型来排除.9．ABC【分析】证明AC ⊥面SBD 即可判断A ；由线面平行的判定定理可判断B ；由线面角的定义求出两个线面角即可判断C ；根据异面直线所成的角可判断D ，进而可得正确选项【详解】解：对于A ：因为SD ⊥底面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，所以SD AC ⊥，因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，因为SD BD D = ，,SD BD ⊂平面SBD ，所以AC ⊥平面SBD ，因为SB ⊂平面SBD ，所以AC SB ⊥，故A 正确；对于B ：因为底面ABCD 是正方形，所以//AB CD ，因为AB ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD ，由线面平行的判定定理可得//AB 平面SCD ，故B 正确；对于C ：设AC BD O = ，连接SO ，因为AC ⊥平面SBD ，SO ⊂平面SBD ，所以ASO ∠即为SA 与平面SBD 所成的角，CSO ∠即为SC 与平面SBD 所成的角，AC SO ⊥，因为AO CO =，SO SO =，且AC SO ⊥，所以tan tan ASO CSO ∠=∠，可得ASO CSO ∠=∠，所以SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角，故C 正确；对于D ：因为//AB CD ，所以SCD ∠即为AB 与SC 所成的角，SAB ∠即为DC 与SA 所成的角，因为AB AD ⊥，AB SD ⊥，AD SD D ⋂=，,AD SD ⊂平面SAD ，所以AB ⊥平面SAD ，因为SA ⊂平面SAD ，所以AB SA ⊥，所以90SAB ∠= ，因为90SDC ∠= ，所以90SCD ∠≠ ，所以SCD SAB ∠≠∠，所以AB 与SC 所成的角不等于DC 与SA 所成的角，故D 不正确；故选：ABC10．212/1212【分析】作出直观图，根据几何关系求出球心到平面【详解】∵,AC BC AC ⊥则ABC 外接圆圆心是AB 又球的半径为OB ＝1，设∴1133O ABC ABC V S d -=⋅=⨯ 故答案为：212.11．①【分析】对面图案相同的正方体礼品盒,则两个相同图案一定不能相邻【详解】图①正确；图②，③，④均有相邻图案相同，故均错误，14．（1）证明见解析；（【分析】（1）取1C D 的中点2CD GF =，又E 为AB 定定理，即可得证；（2）根据题意，可求得V 即可求得答案.【详解】（1）证明：取C ∵G 为1C D 的中点，F 为CC ∴//GF CD 且2CD GF =，∵E 为AB 的中点，AB CD =∴//AE GF 且AE GF=∴四边行AEFG 为平行四边形，∴//AG EF ，又AG ⊂平面∴//EF 平面1AC D .（2）由长方体1ABCD A B -16．（1）60︒；（2）arctan 【分析】（1）连接11,B D D （2）设1AA t =，由已知条件求出可【详解】（1）连接11,B D D 易知11//MN B D ，所以D ∠因为1111B D B A AD ==，所以1160D B A ∠=︒，所以异面直线MN 与1AB （2）设1AA t =，则1B A =因为异面直线MN 与1AB 所以22111110102B A B D B A AD +-=⋅解得2t =，又//CD AB ，所以1B AB ∠为异面直线CD。
新教材高中数学第6章立体几何初步6简单几何体的再认识 球的表面积和体积课件北师大版必修第二册
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
球的表面积
例 1 一个球内有相距9 cm的两个平行截面,面积分别为49π cm2和400π cm2,试求球的表面积．
[分析] 求球的表面积或体积只需要求出球的半径,要求球的半径只 需解球的半径、截面圆半径和球心到截面的距离组成的直角三角形．
[解析] (1)当球心在两个截面同侧时,如右图,设OD＝x,由题意知 π·CA2＝49π,
(B)
4．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为
A．R
B．2R
(D)
C．3R
D．4R
[解析] 设圆柱的高为h，则πR2h＝3·43πR3，∴h＝4R.
4π 5．球的表面积为4πcm2,则其体积为______3_cm3.
[解析] 设球的半径为r，则4πr2＝4π，∴r＝1(cm)． ∴V＝43πr3＝43π(cm3)．
知识点2 球的表面积和体积公式 S球面＝__4_π_R__2 __,V球＝_____43_π_R_3.其中R为球的半径．
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)球心和球的小圆圆心的连线和球的小圆垂直．
(2)球的表面积S和体积V的大小是关于半径R的函数．
2．球的体积是323π，则此球的表面积是
知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为 4
3 ，底面周长
为3，那么这个球的体积为___3_π__.
[分析] 要求球的体积，关键是求出其半径R，而正六棱柱外接球的 直径恰好是正六棱柱的体对角线长．
[解析] ∵底面是正六边形， ∴边长为12.∴AD＝1． AD1为球直径，其长度为 3＋1＝2，∴R＝1． ∴V＝43πR3＝43π.
[精]高三第一轮复习全套课件9立体几何：第6课时 二面角(一)
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（ A ）
π 2 π 3 2π
3 π
（A）
（B）
（C）
（D）
4
5.
在二面角α-a-β内，过a作一个半平面γ，使二面角 α-a-γ=45°，二面角γ-a-β=30°，则γ内的任意一
点P到平面α与平面β的距离之比为(
2 2
A)
(A)
(B)
2
(C)
3 2
(D)
3
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能力·思维·方法
1.在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE 垂直平分SC ，且分别交AC、SC于D、E，又 SA=AB= a，BC=2a， (1)求证：SC⊥平面BDE； (2)求平面BDE与平面BDC所成的二面角大小.
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误解分析
1. 二面角是立体几何的重点、热点、难点，求二面角 的大小方法多，技巧性强．但一般先想定义法，再想 三垂线定理法，如课前热身4，及能力•思维•方法1中， 如果盲目作垂线，则会干扰思维． 2. 实施解题过程仍要注意“作、证、指、求”四环节， 计算一般是放在三角形中，因此，“化归”思想很重 要.
【解题回顾】①先由第(1)小题的结论易知BC⊥AA1， 再利用作出棱AA1的垂面BNC来确定平面角∠BNC.
②将题设中“AA1 与底面ABC所成的角为60°”改为
“ BA1⊥AC1 ” 仍可证得三角形AA1C为正三角形，所 求
arctan 2 3 3
二面角仍为
.
③本题的解答也可利用三垂线定理来推理.
3.如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，侧棱 长为
2 2 a
，若经过对角线AB1且与对角线BC1平行的平
面交上底面一边A1C1于点D. (1)确定点D的位置，并证明 你的结论； (2)求二面角A1-AB1-D的大小.
高中数学知识点总结(第八章 立体几何 第六节 直线、平面平行与垂直的综合问题) -
第六节 直线、平面平行与垂直的综合问题考点一 立体几何中的探索性问题[典例] (2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC .(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．[解] (1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，所以BC ⊥DM .因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径， 所以DM ⊥CM .又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC .因为DM ⊂平面AMD ，所以平面AMD ⊥平面BMC . (2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD . 证明如下： 连接AC 交BD 于O . 因为四边形ABCD 为矩形， 所以O 为AC 的中点．连接OP ，因为P 为AM 的中点， 所以MC ∥OP .又MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ， 所以MC ∥平面PBD . [题组训练]1.如图，三棱锥P ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P ABC 的体积；(2)在线段PC 上是否存在点M ，使得AC ⊥BM ，若存在，请说明理由，并求PMMC 的值．解：(1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P ABC 的高，又P A ＝1，所以三棱锥P ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝36.(2)在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，证明如下：如图，在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM .由P A ⊥平面ABC ，知P A ⊥AC ， 所以MN ⊥AC .因为BN ∩MN ＝N ，所以AC ⊥平面MBN ， 又BM ⊂平面MBN ， 所以AC ⊥BM .在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32，由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝13.2.如图，在四棱锥P ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC ＝PD ＝2，E 为PC 的中点，CB ＝3CG .(1)求证：PC ⊥BC ；(2)AD 边上是否存在一点M ，使得P A ∥平面MEG ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥BC .因为四边形ABCD 是正方形，所以BC ⊥CD . 又PD ∩CD ＝D ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD .因为PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥BC .(2)连接AC ，BD 交于点O ，连接EO ，GO ，延长GO 交AD 于点M ，连接EM ，则P A ∥平面MEG . 证明如下：因为E 为PC 的中点，O 是AC 的中点， 所以EO ∥P A .因为EO ⊂平面MEG ，P A ⊄平面MEG ，所以P A ∥平面MEG . 因为△OCG ≌△OAM ，所以AM ＝CG ＝23，所以AM 的长为23.考点二 平面图形的翻折问题[典例] (2018·全国卷Ⅲ)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°.以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝D Q ＝23DA ，求三棱锥QABP 的体积．解：(1)证明：由已知可得，∠BAC ＝90°，即BA ⊥AC . 又因为BA ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， 所以AB ⊥平面ACD . 因为AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝3，DA ＝3 2. 又BP ＝D Q ＝23DA ，所以BP ＝2 2.如图，过点Q 作Q E ⊥AC ，垂足为E ，则Q E 平行且等于13DC .由已知及(1)可得，DC ⊥平面ABC ， 所以Q E ⊥平面ABC ，Q E ＝1.因此，三棱锥QABP 的体积为V QABP ＝13×S △ABP ×Q E ＝13×12×3×22sin 45°×1＝1.[题组训练]1．(2019·湖北五校联考)如图1所示，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝12AB ＝2，E 为AC 的中点，将△ACD 沿AC 折起，使折起后的平面ACD 与平面ABC 垂直，得到如图2所示的几何体D ABC .(1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)点F 在棱CD 上，且满足AD ∥平面BEF ，求几何体F BCE 的体积． 解：(1)证明：∵AC ＝AD 2＋CD 2＝22， ∠BAC ＝∠ACD ＝45°，AB ＝4，∴在△ABC 中，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ×AB ×cos 45°＝8， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2＝16，∴AC ⊥BC .∵平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD ∩平面ABC ＝AC ， ∴BC ⊥平面ACD .(2)∵AD ∥平面BEF ，AD ⊂平面ACD ，平面ACD ∩平面BEF ＝EF ，∴AD ∥EF ， ∵E 为AC 的中点，∴EF 为△ACD 的中位线，由(1)知，几何体F BCE 的体积V F BCE ＝V B CEF ＝13×S △CEF ×BC ，S △CEF ＝14S △ACD ＝14×12×2×2＝12，∴V F BCE ＝13×12×22＝23.2．(2018·合肥二检)如图1，在平面五边形ABCDE 中，AB ∥CE ，且AE ＝2，∠AEC ＝60°，CD ＝ED ＝7，cos ∠EDC ＝57.将△CDE 沿CE 折起，使点D 到P 的位置，且AP ＝3，得到如图2所示的四棱锥P ABCE .(1)求证：AP ⊥平面ABCE ；(2)记平面P AB 与平面PCE 相交于直线l ，求证：AB ∥l . 证明：(1)在△CDE 中，∵CD ＝ED ＝7，cos ∠EDC ＝57，由余弦定理得CE ＝ 72＋72－2×7×7×57＝2.连接AC ，∵AE ＝2，∠AEC ＝60°， ∴AC ＝2. 又AP ＝3，∴在△P AE 中，AP 2＋AE 2＝PE 2， 即AP ⊥AE . 同理，AP ⊥AC .∵AC ∩AE ＝A ，AC ⊂平面ABCE ，AE ⊂平面ABCE ， ∴AP ⊥平面ABCE .(2)∵AB ∥CE ，且CE ⊂平面PCE ，AB ⊄平面PCE ， ∴AB ∥平面PCE .又平面P AB ∩平面PCE ＝l ，∴AB ∥l .[课时跟踪检测]1.如图，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是圆内接四边形(记此圆为W )，且P A ⊥平面ABCD .(1)当BD 是圆W 的直径时，P A ＝BD ＝2，AD ＝CD ＝3，求四棱锥P ABCD 的体积．(2)在(1)的条件下，判断在棱P A 上是否存在一点Q ，使得B Q ∥平面PCD ？若存在，求出A Q 的长；若不存在，请说明理由．解：(1)因为BD 是圆W 的直径，所以BA ⊥AD ， 因为BD ＝2，AD ＝3，所以AB ＝1. 同理BC ＝1，所以S 四边形ABCD ＝AB ·AD ＝ 3. 因为P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，所以四棱锥P ABCD 的体积V ＝13S 四边形ABCD ·P A ＝233.(2)存在，A Q ＝23.理由如下．延长AB ，DC 交于点E ，连接PE ，则平面P AB 与平面PCD 的交线是PE . 假设在棱P A 上存在一点Q ，使得B Q ∥平面PCD ， 则B Q ∥PE ，所以A Q P A ＝ABAE.经计算可得BE ＝2，所以AE ＝AB ＋BE ＝3，所以A Q ＝23.故存在这样的点Q ，使B Q ∥平面PCD ，且A Q ＝23.2.如图，侧棱与底面垂直的四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AA 1＝4，DC ＝2AB ，AB ＝AD ＝3，点M 在棱A 1B 1上，且A 1M ＝13A 1B 1.已知点E 是直线CD 上的一点，AM ∥平面BC 1E .(1)试确定点E 的位置，并说明理由； (2)求三棱锥M BC 1E 的体积．解：(1)点E 在线段CD 上且EC ＝1，理由如下：在棱C 1D 1上取点N ，使得D 1N ＝A 1M ＝1，连接MN ，DN ， 因为D 1N ∥A 1M ，所以四边形D 1NMA 1为平行四边形， 所以MN 平行且等于A 1D 1平行且等于AD .所以四边形AMND 为平行四边形，所以AM ∥DN . 因为CE ＝1，所以易知DN ∥EC 1，所以AM ∥EC 1， 又AM ⊄平面BC 1E ，EC 1⊂平面BC 1E ，所以AM ∥平面BC 1E . 故点E 在线段CD 上且EC ＝1. (2)由(1)知，AM ∥平面BC 1E ，所以V M BC 1E ＝V A BC 1E ＝V C 1ABE ＝13×⎝⎛⎭⎫12×3×3×4＝6. 3．(2019·湖北武汉部分学校调研)如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 是CD 的中点，将△ADE 沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥D 1ABCE ，其中平面D 1AE ⊥平面ABCE .(1)证明：BE ⊥平面D 1AE ；(2)设F 为CD 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使得MF ∥平面D 1AE ，若存在，求出AMAB的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形且AD ＝DE ＝EC ＝BC ＝2， ∴∠AEB ＝90°，即BE ⊥AE ，又平面D 1AE ⊥平面ABCE ，平面D 1AE ∩平面ABCE ＝AE ， ∴BE ⊥平面D 1AE . (2)当AM AB ＝14时，MF ∥平面D 1AE ，理由如下： 取D 1E 的中点L ，连接FL ，AL ， ∴FL ∥EC ，又EC ∥AB ， ∴FL ∥AB ，且FL ＝14AB ，∴M ，F ，L ，A 四点共面， 又MF ∥平面AD 1E ，∴MF ∥AL . ∴四边形AMFL 为平行四边形， ∴AM ＝FL ＝14AB ，AM AB ＝14.4．如图1所示，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为AC 的中点，AE ⊥BD 于点E (不同于点D )，延长AE 交BC 于点F ，将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥A 1BCD ，如图2所示．(1)若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF.(2)求证：BD⊥A1F.(3)若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？请说明理由．解：(1)证明：∵D，M分别为AC，FC的中点，∴DM∥EF，又∵EF⊂平面A1EF，DM⊄平面A1EF，∴DM∥平面A1EF.(2)证明：∵EF⊥BD，A1E⊥BD，A1E∩EF＝E，A1E⊂平面A1EF，EF⊂平面A1EF，∴BD⊥平面A1EF，又A1F⊂平面A1EF，∴BD⊥A1F.(3)直线A1B与直线CD不能垂直．理由如下：∵平面BCD⊥平面A1BD，平面BCD∩平面A1BD＝BD，EF⊥BD，EF⊂平面BCD，∴EF⊥平面A1BD，又∵A1B⊂平面A1BD，∴A1B⊥EF，又∵DM∥EF，∴A1B⊥DM.假设A1B⊥CD，∵DM∩CD＝D，∴A1B⊥平面BCD，∴A1B⊥BD，与∠A1BD为锐角矛盾，∴直线A1B与直线CD不能垂直．5．(2019·河南名校联考)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，四边形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，点M在线段EF上．(1)求证：BC⊥平面ACFE；(2)当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．解：(1)证明：在梯形ABCD中，因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，所以四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，所以∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，所以AC⊥BC.又平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE.(2)当EM ＝33a 时，AM ∥平面BDF ，理由如下： 如图，在梯形ABCD 中，设AC ∩BD ＝N ，连接FN .由(1)知四边形ABCD 为等腰梯形，且∠ABC ＝60°，所以AB ＝2DC ，则CN ∶NA ＝1∶2.易知EF ＝AC ＝3a ，所以AN ＝233a .因为EM ＝33a ， 所以MF ＝23EF ＝233a ，所以MF 平行且等于AN ， 所以四边形ANFM 是平行四边形， 所以AM ∥NF ，又NF ⊂平面BDF ，AM ⊄平面BDF ， 所以AM ∥平面BDF .6.如图所示的五面体ABEDFC 中，四边形ACFD 是等腰梯形，AD ∥FC ，∠DAC ＝60°，BC ⊥平面ACFD ，CA ＝CB ＝CF ＝1，AD ＝2CF ，点G 为AC 的中点．(1)在AD 上是否存在一点H ，使GH ∥平面BCD ？若存在，指出点H 的位置并给出证明；若不存在，说明理由；(2)求三棱锥G ECD 的体积．解：(1)存在点H 使GH ∥平面BCD ，此时H 为AD 的中点．证明如下． 取点H 为AD 的中点，连接GH ， 因为点G 为AC 的中点，所以在△ACD 中，由三角形中位线定理可知GH ∥CD ， 又GH ⊄平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以GH ∥平面BCD .(2)因为AD ∥CF ，AD ⊂平面ADEB ，CF ⊄平面ADEB ， 所以CF ∥平面ADEB ，因为CF ⊂平面CFEB ，平面CFEB ∩平面ADEB ＝BE ， 所以CF ∥BE ，又CF ⊂平面ACFD ，BE ⊄平面ACFD ， 所以BE ∥平面ACFD ， 所以V G ECD ＝V E GCD ＝V B GCD .因为四边形ACFD 是等腰梯形，∠DAC ＝60°，AD ＝2CF ＝2AC ，所以∠ACD ＝90°，又CA ＝CB ＝CF ＝1，所以CD ＝3，CG ＝12，又BC ⊥平面ACFD ，所以V B GCD ＝13×12CG ×CD ×BC ＝13×12×12×3×1＝312.所以三棱锥G ECD 的体积为312.。
高中数学立体几何总结
高中数学立体几何总结立体几何是高中数学中一个重要的内容，大致内容包括立体几何基本概念、体积、体积计算公式、侧棱、正三棱柱、正四棱锥、正八棱锷、台面等等。
（一）立体几何基本概念1、三视图：即从三个不同的视角把物体有条不紊的绘出来的文字图形，可以根据它来确定物体的三维形状。
2、几何体：是由把平面图形几何关系组合而成的任何在空间中由一致点构成的物体。
3、棱：即立体几何中各几何体的侧面所围成的线段或面称为棱，如正三棱柱的侧棱。
（二）体积1、体积的定义：体积是立体图形的面积之和，反映物体内部空间的容积大小。
2、体积的计算公式：几何体的体积可用面积的乘积公式计算，比如正三棱柱的体积的表示公式：V=ah；正四棱锥的体积的表示公式：V=1/3bh；正八棱锷的表示公式为：V=1/3πr²h。
（三）正三棱柱1、正三棱柱，是一种方形底面，面积相同的三角柱体，它有三个直角，等边的三个棱，以及一个正方形的底部。
2、侧棱：正三棱柱的侧棱可以分别表示为a，b，c三条线段，表示a=b=c，它们在同一平面且互相垂直。
3、体积计算：正三棱柱的体积可以用面积乘积公式来计算：V=ah；其中，a表示正三棱柱的侧棱，h表示高度。
（四）正四棱锥1、正四棱锥是由正方形底面、顶面和棱构成的三角锥体，它有四个直角棱，棱之间相互垂直，底面和顶面也相互垂直。
2、侧棱：正四棱锥的侧棱只有一条，用a表示，它的四条边都要等于。
（五）正八棱锷1、正八棱锷是一种八个棱组成的几何体，其四条边中有三条边为互相垂直的折线，其余五条边为圆形弧线。
2、侧棱：正八棱锷有八个侧棱，用a1，a2，a3…a8表示，但它们互相之间不相等，作用上也不是等距的。
（六）台面1、台面，又称台体，是由一个小三角形共同构成的平面图形。
当该平面图形在三维空间中展开时，可以形成一个台体，它由三个等高的并列棱构成。
2、台体体积计算：台体的体积可以由其三角面积和三边长共同确定，台体的体积公式为：V=1/3(A1+A2+A3)H；其中，A1，A2，A3表示三个三角面积，H表示高度。
立体几何专题6：棱柱
立体几何专题6：棱柱一．选择题（共18小题）1．（2020秋•西城区期末）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为1BD ，11B C 的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP CN ⊥，则下列说法正确的是( )A ．点P 可以是棱1BB 的中点 B ．线段MP 的最大值为32C ．点P 的轨迹是正方形D ．点P 轨迹的长度为25+答案：D ．2．（2005秋•普陀区校级期末）设{P =斜棱柱}，{Q =直棱柱}，{M =正棱柱}，{N =棱柱}，则(QM = )A ．{斜棱柱}B ．{直棱柱}C ．{正棱柱}D ．{棱柱}答案：B ．3．（2020秋•浦东新区校级期中）长方体1111ABCD A B C D -中，110AB AA ==，25AD =，P 在左侧面11ADD A 上．已知P 到11A D 、1AA 的距离均为5，则过点P 且与1A C 垂直的长方体截面的形状为( )A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形答案：B ．4．（2018春•闵行区校级期中）一个棱柱是正四棱柱的一个充要条件是( ) A ．底面是正方形，有两个侧面是矩形B ．底面是正方形的平行六面体C ．底面是正方形且两个相邻侧面是矩形D ．每个侧面都是全等的矩形 答案：C ．5．（2018•杨浦区二模）已知长方体的表面积为452，棱长的总和为24，则长方体的体对角线与棱所成角的最大值为( ) A ．1arccos 3B ．2arccos3C ．3arccos9D ．6arccos9答案：D ．6．（2017秋•徐汇区期末）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，点P ，Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C 上动点，则PEQ ∆周长的最小值为( )A ．22B ．10C ．11D ．12答案：B ．7．（2017秋•临漳县校级月考）如图，球内切于正方体，B 、C 为所在棱的中点，过A ，B ，C 三点的截面图象为( )A ．B ．C ．D ．8．（2016•闸北区二模）若一个长方体共顶点的三个面的对角线长分别是a ，b ，c ，则长方体的对角线长是( ) A ．222a b c ++ B ．2222a b c ++C ．ab bc ac ++D ．3(2)2b bc ac ++答案：B ．9．（2014春•虹口区校级期末）棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -及其内部一动点P ，集合{|||1}Q P PA =，则集合Q 构成的几何图形为( ) A ．圆 B ．四分之一圆 C ．球 D ．八分之一球答案：D ．10．（2014•松江区三模）在正方体1AC 中，若点P 在对角线1AC 上，且P 点到三条棱CD 、11A D 、1BB 的距离都相等，则这样的点共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个答案：D ．11．（2009•静安区一模）已知长方体的表面积是224cm ，过同一顶点的三条棱长之和是6cm ，则它的对角线长是( ) A 14cm B ．4cmC ．32cmD ．23cm答案：D ．12．（2008•闵行区二模）若点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中异于A 的一个顶点，则AP AB 的所有可能值的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：B ．13．（2008•普陀区二模）若正方体的一个截面恰好截这个正方体为等体积的两部分，则该截A ．一定通过正方体的中心B ．一定通过正方体一个表面的中心C ．一定通过正方体的一个顶点D ．一定构成正多边形 答案：A ．14．（2006秋•浦东新区期末）一个棱柱为正四棱柱的充要条件是( ) A ．底面是正方形，有两个侧面垂直与底面B ．底面是正方形，有两个侧面是矩形C ．底面是菱形，且过一个顶点的三条棱两两垂直D ．各个面都是矩形的平行六面体 答案：C ．15．（2005秋•宝安区校级期末）一个棱柱是正四棱柱的条件是( ) A ．底面是正方形，有两个侧面是矩形B ．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C ．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D ．每个侧面都是全等矩形的四棱柱 答案：C ．16．下述棱柱中为长方体的是( ) A ．各个面都是平行四边形的直棱柱 B ．对角面是全等矩形的四棱柱 C ．侧面都是矩形的直四棱柱 D ．底面是矩形的直棱柱 答案：D ．17．（2020秋•普陀区期末）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长2AB =，高14A A =，E 为棱1A A 的中点，设BAD α∠=，BED θ∠=，1B ED γ∠=，则α、β、γ之间的关系正确的是( )A ．αγθ=>B ．γαθ>>C ．θγα>>D ．αθγ>>答案：B ．18．（2019•西湖区校级模拟）如图，ABCD A B C D -''''为正方体，任作平面α与对角线AC '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则( )A ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值答案：B ．二．填空题（共11小题）19．（2018•虹口区二模）长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++=_______答案：2．20．（2015春•杨浦区校级期中）斜棱柱侧棱长为1，侧面积为2，则直截面（垂直于侧棱且每一条侧棱都相交的截面）的周长为_______ 答案：2．21．（2019春•虹口区期中）在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 分别是正方形ABCD 、正方形11BB C C 和正方形11ABB A 的中心，则过点M 、N 、P 的平面截正方体的截面面积为_______答案：232a ．22．（2018春•黄浦区校级月考）如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为1AA 、11C D 的中点，过D ，M ，N 三点的平面与直线11A B 交于点P ，则线段1PB 的长为_______答案：34a ．23．（2018•上海模拟）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 和N 分别是矩形ABCD 和11BB C C 的中心，则过点A 、M 、N 的平面截正方体的截面面积为_______ 答案：3224．（2017春•闵行区校级期末）如图在平行六面体ABCD A B C D -''''中，4AB =，3AD =，5AA '=，90BAD ∠=︒，60BAA DAA ∠'=∠'=︒，则AC '的长是_______答案8525．（2006秋•普陀区期中）已知点M 是棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，则过A ，B ，M 三点的截面积是_______ 答案25． 26．（2005秋•普陀区校级期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交1AA 于点E ，交1CC 于F ，①四边形1BFD E 一定是平行四边形 ②四边形1BFD E 有可能是正方形③四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④四边形1BFD E 点有可能垂直于平面1BB D以上结论正确的为_______（写出所有正确结论的编号）答案：①③④．27．（2017秋•南开区校级期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 分别是11B C 、1D D 和AB 的中点，则下列关系：①BM AB ⊥； ②//BM 平面11A PC ； ③1BM C P ⊥；④1B N 和⊥平面11A PC ， 正确的编号为_______答案：①②④28．（2016•嘉定区三模）小李同学在研究长方体时发现空间有一条直线与长方体的所有棱所在直线所成的角都相等，那么这个角的大小是_______（结果用反三角函数值表示）． 答案：3， 29．（2016•上海）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan3，则该正四棱柱的高等于_______答案：22．三．解答题（共3小题）30．（2021春•杨浦区校级期中）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若M ，N 分别是1CC ，11A D 的中点，作出过M ，N ，B 三点的截面，并求出这截面的周长．答案：周长5135525351353322623BM ME EN NF FB =++++=++++=++．31．（2020春•宝山区校级期中）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1122AB AA BC ===，P ，Q 分别为11B C 与1BB 中点．（1）经过P ，Q 作平面α，平面α与长方体1111ABCD A B C D -六个表面所截的截面可能是n 边形，请根据n 的不同的取值分别作出截面图形形状（每种情况找一个代表类型，例如3n =只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹； （2）若R 为直线AD 上的一点，且2AR =，求过PQR 截面图形的周长；答案：（1）平面α与长方体1111ABCD A B C D -表面所截的截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形． 如图：其中三角形时，四边形，六边形时，点均取所在棱的中点；五边形时，G 取11C D 的四等分点（靠近1)C ，E 为AB 的四等分点（靠近)B ，F 为CD 的四等分点（靠近)D ．（2）若R 为直线AD 上的一点，且2AR =，过PQR 截面图形的周长22224212114522++32．（2017•闵行区校级二模）如图，把长为6，宽为3的矩形折成正三棱柱111ABC A B C -，三棱柱的高度为3，矩形的对角线和三棱柱的侧棱1BB ，1CC 的交点记为E ，F ． （1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）求三棱柱中异面直线AE 与1A F 所成角的大小．答案：（1）33V =（2）1arccos 4．。
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故OH SB， CHO为二面角C－ＳＢ－Ｄ的平面角.
设AD=a，则BC=CD=2a于是SA=AB= a，
故SD= =2a则CO= a
则CH=
而sin CHO
故 CHO 二面角C－SB－D为
另解：……三角形SBO是三角形SBC在平面SBD上的射影.
设二面角C－SB－D的平面角为
∴∠AA1B=∠AA1C=90°即AA1⊥A1B,AA1⊥A1C
∴AA1⊥平面A1BC
（1）连AO并延长交BC于D,则AD⊥BC，连A1D,
则∠ADA1为所求的角.由已知可得AD＝Absin60°＝,
AA1=Absin45°=,∴sin∠ADA1=
（2）在Rt△AA1D中，A1D=∴A1O=
∴V柱＝S△ABC·A1O=·4·sin60°·.
A．矩形B．菱形C．圆外切四边形D．圆内接四边形
5．三棱柱的底是边长为4的正三角形,侧棱长为8，一条侧棱和底面的两边成45°
角，则这三棱柱的侧面面积为（）A．32 B．4（ +1）C．16（ +1）D．32（ +1）
6．如图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后，图形是（）
ABCD
7．正三棱锥S－ABC的高SO＝h，斜高SM＝l,点P在SO上且
20．(14分)证明：（１） 平面ABCD， .又 ，
故 平面SCD， 平面SBC，故平面SBC 平面SCD.
（2） 时，AE//平面SCD.
法一：取SB的中点E，BC的中点F，连结AF，则AF//CD，EF//SC.
故EF//平面SCD，AF//平面SCD；平面AEF//平面SCD.
而AE 平面AEF， AE//平面SCD
平面 ，证明你的结论；
（3）若 ，求二面角 的大小．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
C
D
B
A
B
B
D
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11． 12． 13．30°14．
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．(12分)解：如图，设顶点A在平面PBC上的射影
17．(12分)解（1）延长ED交CB延长线于F，
为截面与底面所成二面角的平面角.在Rt△AEC中，EC=AC，故得∠EAC=45°.
（2）设AB=a，则 ，
.
18．(12分)解：设有x个五边形和有y个六边形，则F=x+y,V=70,E=
答：略。
19．（14分）由已知可得A1-ABC为正三棱锥，∠A1AB=45°
多面体
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．一个棱柱为正四棱柱的条件是（ ）
A．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面
B．底面是正方形，有两个侧面是矩形
C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直
D．每个底面是全等的矩形
2．下列命题中正确的一个是（）
A．四棱柱是平行六面体B．直平行六面体是长方体
C．底面是矩形的四棱柱是长方体D．六个面都是矩形的六面体是长方体
3．在底面边长与侧棱长均为a的正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知M为A1B1的中点，则M
到BC的距离是（）
A． aB． aC． aD． a
4．若四棱锥的四个侧面与底面所成的角都相等，则其底面四边形必是（ ）
11．长方体高为ｈ，底面积为Ｑ，垂直于底面的对角面面积为Ｍ，则长方体的全面积为．
12．直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1与CC1上的点，且AP=C1Q，则四棱锥B－APQC的体积=．
13．已知正四棱锥S－ABCD的侧面与底面所成的角为60°，过边BC的截面垂直于平面ASD，交平面ASD于EF，则二面角S－BC－E的平面角为．
14．矩形ABCD的边长分别为a，b(a<2b)，
E是DC的中点，把矩形沿AE、BE折成
一个三棱锥的三个侧面(C、D重合)，则
最大的侧面与底面所成的二面角的正弦
值是．
三、解答题：本大题满分76分．
15．（12分）在棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两成60°角，PA=a，PB=b，PC=c，求三
棱锥P—ABC的体积.
法二：取SB、SC的中点分别为E、G，连结EG、DG.则GE//BC，GE= BC，
又AD//BC，AD= BC，故AD//GE且AD=GE.
于是四边形AEGD为平行四边形。故AE//DG，又DG 平面SCD，
故AE//平面SCD.
（3）作CO BD于O，又SD 平面BCD，故SD CO，
从而CO 平面SBD，作CH SB于H，
∴tanAMO＝＝．
(3)解：∵EO∥PC，PC平面PBC，∴EO∥平面PBC∴E到平面PBC的距离就是O到平面PBC的距离
∵平面PBC⊥平面ABCD交线为BC，过O作OF⊥BC于F
∴OF⊥平面PBC，OF即为所求
∵菱形ABCD中，ABC＝60
∴OF＝OB·sinOBF＝×＝
即点E到平面PBC的距离为．
则cos = ,故 =
分SO所成的比是l2－h2)B． (l2－h2)C． (l2－h2)D． (l2－h2)
8．将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（）
A． B．12a2C．18a2D．24a2
9．两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部
∴EO⊥平面ABCD∵EO平面EDB∴平面EDB⊥平面ABCD．
(2)解：∵平面EDB⊥平面ABCD，交线为BD，又AO⊥BD∴AO⊥平面EDB
过O作OM⊥BE于M，连AM，则AM⊥BE∴AMO为二面角A－BE－D的平面角
在Rt△EOB中，OB＝，EO＝PC＝
∴EB＝1∵BE×OM＝OE×OB
∴OM＝＝∵在Rt△AOM中，OA＝
是△ABC的中心，异面直线AB与CC1所成的角为45°.
（1）求证：AA1⊥平面A1BC；
（2）求二面角A1－BC—A的平面角的正弦值；
（3）求这个斜三棱柱的体积.
20．（14分）如图，四棱锥 的底面 是直角梯形，已知 垂直底面 ，
且 ， ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 为侧棱 上的一点，当 为何值时，
为O，连结PO，由题知PA、PB、PC两两成60°角，
∴PO是∠BPC的平分线，在平面PBC上，过O作OE⊥PB，
连结AE，则AE⊥PB
16．(12分)(1)证明：连结AC交BD于O，连EO∵O是AC中点，E是PA中点
∴EO∥PC∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥AO，PC⊥BO∴EO⊥AO，EO⊥BO
且EC=BC=2BD，过A、D、E作一截面，求：
（1）截面与底面所成的角；
（2）截面将三棱柱分成两部分的体积之比.
18．（12分）C70分子是与C60分子类似的球状多面体结构，它有70个顶点，以每个顶点为一端都有3条棱，各面都是五边形或六边形。求C70分子中五边形和六边形的个数．
19．（14分）斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，顶点A1在底面的射影O
16．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC＝60，
PC⊥平面ABCD，PC＝1，E为PA的中点．
（1）求证：平面EDB⊥平面ABCD；
（2）求二面角A－EB－D的正切值；
（3）求点E到平面PBC的距离．
17．（12分）正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=2AB，D、E分别是侧棱BB1、CC1上的点，
分的体积的比是（）
A．1∶2∶3B．1∶7∶19C．3∶4∶5D．1∶9∶27
10．设正多面体的每个面都是正n边形，以每个顶点为端点的棱有m条，棱数是E，面数是
F，则它们之间的关系不正确的是（）
A．nF=2EB．mV=2EC．V+F=E+2D．mF=2E
二、填空题：本大题满分24分，每小题6分，各题只要求直接写出结果．