2017年上海中学高考数学模拟试卷(6)(解析版)

2017年上海中学高考数学模拟试卷（6）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12小题，每题4分．1．函数y=在区间[2，5]上的值域是．2．等比数列{a n}的首项为a1=a，公比q≠1，则=．3．如果奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x﹣1，则使f （x﹣1）＜0的x的取值范围是．4．抛物线y=x2+2x的准线方程为．5．=．6．现有甲乙两船，其中甲船在某岛B的正南方A处，A与B相距7公里，甲船自A处以4公里/小时的速度向北方向航行，同时乙船以6公里/小时的速度自B 岛出发，向北60°西方向航行，问分钟后两船相距最近．7．有六根细木棒，其中较长的两条木棒长分别为a、a，其余四根木棒长均为a，请你用它们搭成一个三棱锥，其中较长的两条棱所在直线所成角的余弦值为．8．若首项为a1，公比为q（q≠1）的等比数列{a n}满足（﹣q n）=，则a1的取值范围是．9．某甲A篮球队的12名队员（含2名外援）中有5名主力队员（含一名外援），主教练要从12名队员中选5人首发上场，则主力队员不少于4人，且有一名外援上场的概率是．10．设复数z=x+yi（x，y∈R）且|z﹣4i|=|z+2|，则2x+4y的最小值为．11．如图是正方体的展开图，其中直线AB与CD在原正方体中所成角的大小是．12．集合S={1，2，3，4，5，6}，A是S的一个子集，当x∈A时，若x﹣1∉A，x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4元子集的个数是．二、选择题（本题满分16分）本大题4小题，每题4分13．已知向量={cosα，sinα}，={cosβ，sinβ}，那么（）A．B．C．D．与的夹角为α+β14．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则以下命题错误的是（）A．f（x）的图象过点B．f（x）在上是减函数C．f（x）的一个对称中心是点D．f（x）的最大值为A15．设x，y∈R+，且xy﹣（x+y）=1，则（）A．x+y≥2+2 B．xy≤+1 C．x+y≤（+1）2 D．xy≥2+216．已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），在同一坐标系中，y=f﹣1（x）与y=a|x ﹣1|的图象可能是（）A．B．C．D．三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题17．在△ABC中，角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若lga﹣lgb=lgcosB﹣lgcosA．（1）判断△ABC的形状；（2）若a、b满足：函数y=ax+3的图象与函数y=x﹣b的图象关于直线y=x对称，求边长c．18．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面边长AB=2，AB1⊥BC1，点O、O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）求正三棱柱的侧棱长；（2）若M为BC1的中点，试用基向量、、表示向量；（3）求异面直线AM与BC所成角．19．双曲线3x2﹣y2=1与直线ax﹣y+1=0相交于A、B两点．（1）求a的取值范围；（2）a为何值时，∠AOB＞90°（其中O为原点）．20．设M（k）是满足不等式log25x+log25（26×25k﹣1﹣x）≥2k﹣1的正整数x的个数，记S=M（1）+M（2）+…+M（n）n∈N．（1）求S；（2）设t=5n﹣2+5n+2+n﹣2 （n∈N），试比较S与t的大小．21．程先生买了一套总价为80万元住房，首付30万元，其余50万元向银行申请贷款，贷款月利率0.5%，从贷款后的第一个月后开始还款，每月还款数额相等，30年还清．问程先生每月应还款多少元（精确到0.01元）．（注：如果上个月欠银行贷款a元，则一个月后，程先生应还给银行固定数额x 元，此时贷款余额为a（1+0.5%）﹣x元）22．如果实系数a1、b1、c1和a2、b2、c2都是非零常数．（1）设不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0的解集分别是A、B，试问是A=B的什么条件？并说明理由．（2）在实数集中，方程a1x2+b1x+c1=0和a2x2+b2x+c2=0的解集分别为A和B，试问是A=B的什么条件？并说明理由．（3）在复数集中，方程a1x2+b1x+c1=0和a2x2+b2x+c2=0的解集分别为A和B，证明：是A=B的充要条件．2017年上海中学高考数学模拟试卷（6）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12小题，每题4分．1．函数y=在区间[2，5]上的值域是[，3] ．【考点】34：函数的值域．【分析】由题意，求此函数的值域要先研究函数的单调性，可先对函数的解析式利用分离常数法进行恒等变形，解析式可变为y=+1，可以观察出此函数在区间[2，5]上是减函数，值域易求【解答】解：由题意y==+1，此函数在区间[2，5]上是减函数，所以有≤y≤3函数的值域是[，3]故答案为[，3]2．等比数列{a n}的首项为a1=a，公比q≠1，则=．【考点】8E：数列的求和．【分析】先求出数列的首项和公式，然后根据等比数列的前n项和进行求解，化简即可得到结论．【解答】解：是首项为=，公比为∴==故答案为：．3．如果奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x﹣1，则使f （x﹣1）＜0的x的取值范围是（﹣∞，0）∪（1，2）．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】由题意，可先研究出奇函数y=f（x）（x≠0）的图象的情况，解出其函数值为负的自变量的取值范围来，再解f（x﹣1）＜0得到答案【解答】解：由题意x∈（0，+∞）时，f（x）=x﹣1，可得x＞1时，函数值为正，0＜x＜1时，函数值为负又奇函数y=f（x）（x≠0），由奇函数的性质知，当x＜﹣1时，函数值为负，当﹣1＜x＜0时函数值为正综上，当x＜﹣1时0＜x＜1时，函数值为负∵f（x﹣1）＜0∴x﹣1＜﹣1或0＜x﹣1＜1，即x＜0，或1＜x＜2故答案为（﹣∞，0）∪（1，2）4．抛物线y=x2+2x的准线方程为y=﹣5．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先把抛物线方程化为顶点式，掌握平移规律，利用标准方程的准线方程可求解．【解答】解：由题意，y=x2+2x=由于的准线方程为y=﹣1，抛物线y=x2+2x是由的图象向左平移4个单位，再向下平移4个单位∴抛物线y=x2+2x的准线方程为y=﹣5故答案为y=﹣55．=1330．【考点】8E：数列的求和．【分析】本题考查的知识点是数列求和及组合数公式，根据已知中2，由组合，我们可得=C n+1数性质公式，我们可求出最终结果．【解答】解：原式=；记，数列{a n}的前19项和即为所求．记数列{a n}的前n项和为S n；2，注意到=C n+1∴S19=C22+C32+C42+…+C202=C213=1330；故答案为：13306．现有甲乙两船，其中甲船在某岛B的正南方A处，A与B相距7公里，甲船自A处以4公里/小时的速度向北方向航行，同时乙船以6公里/小时的速度自B 岛出发，向北60°西方向航行，问30分钟后两船相距最近．【考点】HO：已知三角函数模型的应用问题．【分析】设经过x小时距离最小，然后分别表示出甲乙距离B岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后根据二次函数求最值的方法可得到答案．【解答】解：假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至C，D如图示可知BC=7﹣4x，BD=6x，∠CBD=120°CD2=BC2+BD2﹣2BC×BD×cosCBD=（7﹣4x）2+36x2+2×（7﹣4x）×6x×=28x2﹣28x+49，当x=小时即30分钟时距离最小故答案为：30．7．有六根细木棒，其中较长的两条木棒长分别为a、a，其余四根木棒长均为a，请你用它们搭成一个三棱锥，其中较长的两条棱所在直线所成角的余弦值为．【考点】HR：余弦定理．【分析】当较长的两条棱所在直线相交时，不妨设AB=a，BC=a，AC=a，可得较长的两条棱所在直线所成角为∠ABC，再由解三角形的有关知识得到答案．当较长的两条棱所在直线异面时，无法构成满足条件的四面体．【解答】解：当较长的两条棱所在直线相交时，如图所示：不妨设AB=a，BC=a，AC=a，所以较长的两条棱所在直线所成角为∠ABC，由勾股定理可得：∠ACB=90°，所以cos∠ABC=，所以此时较长的两条棱所在直线所成角的余弦值为．当较长的两条棱所在直线异面时，无法构成满足条件的四面体．故答案为：8．若首项为a1，公比为q（q≠1）的等比数列{a n}满足（﹣q n）=，则a1的取值范围是（0，）∪（，3）．【考点】6F：极限及其运算；8G：等比数列的性质．【分析】由题意可得|q|＜1且q≠0，即﹣1＜q＜1 且q≠0，=，化简可得a1=，由不等式的性质可得a1的取值范围．【解答】解：由题意可得=，=0．故有﹣1＜q＜1 且q≠0，=．化简可得a1=，故有0＜a1＜3 且a1≠，故答案为：．9．某甲A篮球队的12名队员（含2名外援）中有5名主力队员（含一名外援），主教练要从12名队员中选5人首发上场，则主力队员不少于4人，且有一名外援上场的概率是．【考点】C7：等可能事件的概率．【分析】由题意可得：基本事件总数为C125=792，主力队员不少于4人，即5名队员中有主力队员4人或者5人，并且其选法分别为25种、1种，进而根据等可能事件的概率公式可得答案．【解答】解：由题意可得：主教练要从12名队员中选5人首发上场不同的选法有：C125=792种．因为主力队员不少于4人，所以5名队员中有主力队员4人或者5人，当从12名队员中选5人首发上场其中主力队员为4人并且有一名外援上场时，不同的选法共有1+C43C61=25种；当从12名队员中选5人首发上场其中主力队员为5人并且有一名外援上场时，不同的选法共有1种，所以主力队员不少于4人，且有一名外援上场的选法共有26种，所以主力队员不少于4人，且有一名外援上场的概率为：．故答案为：．10．设复数z=x+yi（x，y∈R）且|z﹣4i|=|z+2|，则2x+4y的最小值为．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的几何意义可得：|复数对应的点的轨迹方程为：x+2y﹣3=0，结合题中的条件与均值不等式可得：2x+4y=2x+22y≥2．故答案为：．【解答】解：根据复数的几何意义可得：|z﹣4i|=|z+2|表示平面内一点A到（0，4）的距离与到（﹣2，0）的距离相等，所以点A的轨迹方程为：x+2y﹣3=0．2x+4y=2x+22y≥2=2=4．故答案为：．11．如图是正方体的展开图，其中直线AB与CD在原正方体中所成角的大小是60°．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】如图：由于AB∥MC 且AB=MC，故直线AB与CD成的角等于CD与CM 成的角，根据由△CMD为等边三角形，可得∠MCD=60°即为所求．【解答】解：原正方体如图所示：由于AB∥MC 且AB=MC，故直线AB与CD成的角等于CD与CM成的角．由△CMD为等边三角形，∴∠MCD=60°，故直线AB与CD在原正方体中所成角的大小是60°．故答案为：60°．12．集合S={1，2，3，4，5，6}，A是S的一个子集，当x∈A时，若x﹣1∉A，x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4元子集的个数是6．【考点】12：元素与集合关系的判断．【分析】由S={1，2，3，4，5，6}，结合x∈A时，若有x﹣1∉A，且x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案．【解答】解：∵S={1，2，3，4，5，6}，其中不含“孤立元”的集合4个元素必须是：共有{1，2，5，6}，{2，3，5，6}，{3，4，5，6}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}共6个那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集A的个数是6个．故答案为6．二、选择题（本题满分16分）本大题4小题，每题4分13．已知向量={cosα，sinα}，={cosβ，sinβ}，那么（）A．B．C．D．与的夹角为α+β【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据向量的模的计算公式可知与都是单位向量，方向任意，可判定B、D的真假，根据向量数量积可判定选项A、D的真假．【解答】解：∵=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），∴•=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α﹣β），•不一定为0，故选项A不正确；与都是单位向量，方向任意，故选项B不正确；=0，故选项C正确；与的夹角任意，故选项D不正确．故选C．14．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则以下命题错误的是（）A．f（x）的图象过点B．f（x）在上是减函数C．f（x）的一个对称中心是点D．f（x）的最大值为A【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，由函数的图象的对称性求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的周期是π，∴=π，∴ω=2．再根据函数的图象关于直线x=对称，可得2•+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=，∴函数f（x）=Asin（2x+）．由于A不确定，故不能确定f（x）的图象过点，故A错误；在上，2x+∈[π，]，故f（x）在上是减函数，故B正确；令x=，求得f（x）=0，可得f（x）的一个对称中心是点，故C正确；显然，f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的最大值为A，故D 正确，故选：A．15．设x，y∈R+，且xy﹣（x+y）=1，则（）A．x+y≥2+2 B．xy≤+1 C．x+y≤（+1）2 D．xy≥2+2【考点】7F：基本不等式．【分析】先根据均值不等式可知xy≤，代入xy=1+x+y中，转化为关于x+y的一元二次不等式，进而求得x+y的最小值，同理求得xy的最小值，即可得到答案．【解答】解：∵x，y∈R+，∴xy≤（当且仅当x=y时成立）．∵xy=1+x+y，∴1+x+y≤，解得x+y≥2+2或x+y≤2﹣2（舍），A符合题意，可排除C；同理，由xy=1+x+y，得xy﹣1=x+y≥2（当且仅当x=y时成立），解得≥1+或≤1﹣（舍），即xy≥3+2从而排除B，D．故选A．16．已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），在同一坐标系中，y=f﹣1（x）与y=a|x ﹣1|的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】4A：指数函数的图象变换．【分析】先求出f﹣1（x）=ax+1，图象为斜率为a，在y轴上截距为1的直线，可排除A和D，B、C中由直线可知a＞1，对函数y=a|x﹣1|，分x≥1和x＜1讨论去绝对值，可选出图象．【解答】解：f﹣1（x）=ax+1，在y轴上的截距为1，排除D；又因为a≠1，排除A；B、C中由直线可知a＞1，y=a|x﹣1|，当x≥1时变为y=a x﹣1，在[1，+∞）上为增函数，故选C三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题17．在△ABC中，角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若lga﹣lgb=lgcosB﹣lgcosA．（1）判断△ABC的形状；（2）若a、b满足：函数y=ax+3的图象与函数y=x﹣b的图象关于直线y=x对称，求边长c．【考点】GZ：三角形的形状判断；4R：反函数．【分析】（1）由lg及正弦定理得，则可得sin2A=sin2B，结合三角函数的性质可判断（2）由题意可得y=ax+3的反函数与函数重合，可求a，b，解答（1）的直角三角形利用勾股定理可求c【解答】解：（1）由lg得，于是sin2A=sin2B …所以三角形ABC为等腰三角形或直角三角形．…（2）因为y=ax+3的反函数与函数重合，所以a=3，b=1 …由（1）可知△ABC为直角三角形从而…18．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面边长AB=2，AB1⊥BC1，点O、O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）求正三棱柱的侧棱长；（2）若M为BC1的中点，试用基向量、、表示向量；（3）求异面直线AM与BC所成角．【考点】MP：用空间向量求直线间的夹角、距离；MK：点、线、面间的距离计算．【分析】（1）利用坐标表示点，进而表示向量，借助于AB1⊥BC1，可建立方程，从而可求正三棱柱的侧棱长；（2）利用M为BC1的中点，可得，从而可解；（3）先求的坐标，利用其数量积，可求异面直线AM与BC所成角．【解答】解：（1）设侧棱长为b，则A（0，﹣1，0），B1（，0，b），B（，0，0），C1（0，1，b）={，1，b}，={﹣，1，b}…3 分∵AB1⊥BC1∴﹣3+1+b2=0，b=…（2）∵M为BC1的中点，∴…（3）设异面直线AM与BC所成角为α，，…，∴α=90°…19．双曲线3x2﹣y2=1与直线ax﹣y+1=0相交于A、B两点．（1）求a的取值范围；（2）a为何值时，∠AOB＞90°（其中O为原点）．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】（1）把直线方程y=ax+1代入双曲线方程得（3﹣a2）x2﹣2ax﹣2=0，利用交于A、B两点，可知判别式大于0，故可求；（2）因为∠AOB＞900，所以原点在以AB为直径的圆外，先求圆的方程，进而可解．【解答】解：（1）把直线方程y=ax+1代入双曲线方程得（3﹣a2）x2﹣2ax﹣2=0△=24﹣4a2＞0∴a∈（…（2）因为∠AOB＞90°，所以原点在以AB为直径的圆内，AB中点（圆方程为…∴（1+a2）即4（a2+9）＞（24﹣4a2）（1+a2）…得1＜a2＜3所以…20．设M（k）是满足不等式log25x+log25（26×25k﹣1﹣x）≥2k﹣1的正整数x的个数，记S=M（1）+M（2）+…+M（n）n∈N．（1）求S；（2）设t=5n﹣2+5n+2+n﹣2 （n∈N），试比较S与t的大小．【考点】4T：对数函数图象与性质的综合应用．【分析】（1）先将原不等式化简得x2﹣26•25k﹣1x+252k﹣1≤0，利用换元法解出x 的范围，从而得出正整数x的个数M（k）=25k﹣25k﹣1+1 再利用等比数列的求和公式求得S=++…+（25n﹣25n﹣1+1）即可；（2）因S﹣t=（52n﹣，只要5n＞25或5n＜，求得其等价的条件，从而得出S与t的大小与相应的n的值．【解答】解：（1）化简得x2﹣26•25k﹣1x+252k﹣1≤0∴25k﹣1≤x≤25k…∴M（k）=25k﹣25k﹣1+1 …S=++…+（25n﹣25n﹣1+1）=25n+n﹣1…（2）要S﹣t=（52n﹣…只要5n＞25或5n＜即：n＞2或n＜﹣2 …∴当n＞2 时s＞t；当n=2时s=t；当n=1时s＜t …21．程先生买了一套总价为80万元住房，首付30万元，其余50万元向银行申请贷款，贷款月利率0.5%，从贷款后的第一个月后开始还款，每月还款数额相等，30年还清．问程先生每月应还款多少元（精确到0.01元）．（注：如果上个月欠银行贷款a元，则一个月后，程先生应还给银行固定数额x 元，此时贷款余额为a（1+0.5%）﹣x元）【考点】8B：数列的应用．【分析】设程先生在第n 个月时还欠银行贷款a n万元，每月固定还款x万元，然后根据题意建立递推关系，构造新数列为等比数列，求出通项公式，根据a360=0建立方程，求出x即可得到所求．【解答】解：设程先生在第n 个月时还欠银行贷款a n万元，每月固定还款x万元，则a n=a n（1+0.5%）﹣x，a0=50 …﹣1a n+k=1.005（a n+k）﹣1a n=1.005a n+0.005k﹣1所以k=﹣200x，{ a n﹣200x }是公比为1.005的等比数列…即a n﹣200x=（a0﹣200x）•1.005n．由a360=0得0﹣200x=（50﹣200x）•1.005360．…利用计算器可以求得x=0.299775万元，即每月还款2997.75元…22．如果实系数a1、b1、c1和a2、b2、c2都是非零常数．（1）设不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0的解集分别是A、B，试问是A=B的什么条件？并说明理由．（2）在实数集中，方程a1x2+b1x+c1=0和a2x2+b2x+c2=0的解集分别为A和B，试问是A=B的什么条件？并说明理由．（3）在复数集中，方程a1x2+b1x+c1=0和a2x2+b2x+c2=0的解集分别为A和B，证明：是A=B的充要条件．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）通过举反例判断出推不出A=B，反之A=B也推不出，根据充要条件的有关定义得到结论．（2）通过举反例判断出A=B，推不出两个方程的系数之间有关系，反之当两个方程的系数对应成比例，两个方程式同解方程，利用充要条件的有关定义得到结结论．（3）两个方程的系数对应成比例，所以两个方程是同解方程．充分性得证；由韦达定理可以证明必要性．【解答】解：（1）若a=b=c=1，a1=b1=c1=﹣1，则A≠B …若A=B=Φ，则两个不等式的系数之间没有关系．…是A=B的既不充分也不必要条件．…（2）若A=B=Φ，则两个方程的系数之间没有关系．…由于两个方程的系数对应成比例，所以两个方程式同解方程． (10)是A=B的充分不必要条件…（3）是A=B的充要条件…由于两个方程的系数对应成比例，所以两个方程是同解方程．充分性得证．…由韦达定理可以证明必要性．…2017年7月5日。