高等数学-第八章 多元函数微分学
《高等数学B》第八章 多元函数微分学 第三节 全微分及其应用
∆ z = A∆ x + B∆ y + o( ρ ) 总成立 ,
上式仍成立， 当 ∆ y = 0 时，上式仍成立，此时 ρ = | ∆ x | ,
f ( x + ∆ x , y ) − f ( x , y ) = A ⋅ ∆ x + o(| ∆ x |) ,
所求全微分 dz = e 2dx + 2e 2dy .
y yz 例2 计算函数 u = x + sin + e 的全微分 . 2
y ∂u 1 ∂u ∂u yz yz 解 = ye , =1, = cos + ze , ∂y 2 2 ∂z ∂x
所求全微分
1 y yz yz du = dx + ( cos + ze )dy + ye dz . 2 2
例4 试证函数
1 , ( x , y ) ≠ ( 0 , 0) , xy sin 2 2 x +y f ( x , y) = 0, ( x , y ) = ( 0 , 0) .
在点 (0 , 0) 连续且偏导数存在，但偏导数在点 (0 , 0) , 0) 可微 . 不连续， (证明略) 证明略)
∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz . ∂x ∂y ∂z
例1 计算函数 z = e x y在点 ( 2 , 1) 处的全微分 . 解
∂z = ye xy , ∂x
∂z = e2 , ∂x ( 2 , 1 )
∂z = xe xy , ∂y
∂z = 2e 2 , ∂y ( 2 , 1 )
∆ z ≈ dz = f x ( x , y )∆ x + f y ( x , y )∆ y .
高等数学a1上教材第八章
高等数学a1上教材第八章第八章：多元函数微分学第一节：二元函数的极限和连续性在高等数学A1上教材的第八章中，我们将学习多元函数微分学的基础知识。
本章的第一节将介绍二元函数的极限和连续性。
1. 二元函数的极限在前几章中，我们已经学习了一元函数的极限，而二元函数的极限则更加复杂一些。
对于二元函数f(x,y)，当自变量的取值趋近于某个点(x0,y0)时，如果函数值f(x,y)也趋近于一个确定的值L，我们就说函数在点(x0,y0)处有极限，并记作lim_{(x,y)→(x0,y0)}f(x,y)=L。
2. 二元函数的连续性当一个二元函数在其定义域上的每一点处都有极限，并且极限与函数值相等时，我们称该二元函数在定义域上连续。
在这种情况下，我们可以简单地说，对于函数f(x,y)，当(x,y)→(x0,y0)时，f(x,y)→f(x0,y0)。
第二节：二元函数的偏导数与全微分在第八章的第二节中，我们将继续探讨二元函数的偏导数与全微分。
1. 二元函数的偏导数对于一个二元函数f(x,y)，我们可以对其分别关于x和y求偏导数。
偏导数衡量了函数在某一点上沿着某个方向的变化率。
偏导数分为偏导数和哥伦布第二积分。
2. 二元函数的全微分全微分指的是二元函数在某一点附近的线性逼近。
通过全微分，我们可以用一个线性函数来近似描述二元函数的变化。
全微分也可以通过偏导数来计算。
第三节：多元函数的极值与条件极值第八章的第三节将详细介绍多元函数的极值和条件极值。
1. 多元函数的极值对于一个多元函数f(x1,x2,...,xn)，如果存在一个点(x1,x2,...,xn)，使得在其附近的任意点(x1+Δx1,x2+Δx2,...,xn+Δxn)上，函数值均小于等于f(x1,x2,...,xn)，则称该点为函数f的极小值点。
同理，如果在其附近的任意点上，函数值均大于等于f(x1,x2,...,xn)，则称该点为函数f的极大值点。
2. 多元函数的条件极值有时，我们需要在一定条件下寻找多元函数的极值点。
高等数学-第八章 多元函数微分学
(ex ) e x
(loaxg)x
1 ln
a
(arcxs)in
1
1
x
2
(lnx) 1
x
(arccx)os 1
1 x2
(arcxt)an
1
1
x
2
(acrc ox)t
1
1 x
2
2. 求一点处偏导数的方法
• 利用定义: fx (x 0 ,y 0 ) lx 0 if( m x 0 x ,y 0 x ) f(x 0 ,y 0 )
第八章 多元函数微分学 知识总结
一. 多元函数的基本概念 二. 多元函数的偏导数、微分与方向导数 三. 多元函数微分法 四. 多元函数微分学的几何应用 五. 多元函数的极值和最值
一. 多元函数的基本概念
1. 区域 2. 多元函数概念
3. 多元函数的极限 4. 多元函数的连续性
1) 函数 f(P)在P0连续 P l iP 0 m f(P)f(P 0)
例.
设
f(x,y,z)xco y syco zs zco x,求 sdf 1co x s co y s co z s
(0,0,0) .
解: f(x,0,0) x 3cosx
fx(0,0,0)
x
3cosx
x0
1 4
利用轮换对称性 , 可得 fy(0,0,0)fz(0,0,0)1 4
d f( 0 ,0 ,0 ) f x ( 0 ,0 ,0 ) d x fy ( 0 ,0 ,0 ) d y f z ( 0 ,0 ,0 ) d z
(1) 检验函数是否连续,若不连续一定不可微
(2 )求 fx (x 0 ,y 0)、 fy (x 0 ,y 0) 注 ： 若 有 一 个 不 存 在 则 一 定 不 可 微
（完整版）高等数学（同济版）多元函数微分学练习题册.doc
（完整版）高等数学（同济版）多元函数微分学练习题册.doc第八章多元函数微分法及其应用第一作一、填空：1. 函数 z ln(1 2 )y x23x y 的定义域为x12. 函数 f (x, y, z) arccosz的定义域为y 2x 23. 设 f ( x, y) x 2 y 2 , (x) cos x, ( x) sin x, 则f [ (x), (x)].sin xy .4. lim xx 0二、（）： 1. 函数1的所有断点是 :sin x sin y(A) x=y=2n π（ n=1,2,3,?）；(B) x=y=n π (n=1,2,3, ?) ； (C) x=y=m π (m=0, ±1，± 2，? )；(D) x=n π ,y=m π (n=0, ± 1，± 2，?，m=0,± 1,± 2,? )。
答：（）sin 2( x 2 y 2 , x 2y 22. 函数 f (x, y)x 2 y 2在点（ 0， 0）：2 ,x 2 y 2（ A ）无定；（B ）无极限；（ C ）有极限但不；（ D ）。
答：（）三、求 lim2xy 4 .x 0 xyya四、明极限 limx 2 y 22 不存在。
2 2xx y ( x y)y 0第二节作业一、填空题：1 sin( x2 y), xy 01. 设 f ( x, y)xy ,则 f x (0,1) .x 2 ,xy2. 设 f (x, y)x ( y 1) arcsinx, 则 f x ( x,1).y二、选择题（单选）：设 z 2x y 2 , 则 z y 等于 :( A) y 2 x y 2 ln 4; (B) (x y 2 ) 2 y ln 4; (C ) 2 y( x y 2 ) e x y 2 ;(D ) 2 y 4 x y 2 .答：（）三、试解下列各题：1. 设 z ln tan x , 求 z, z .2. 设 z arctan y, 求2z .y x yxx y四、验证 rx 2 y 2 z 2 满足2r2r2r 2 .x 2 y 2 z 2r第三节作业一、填空题：1. 函数 zy 当x 2, y时的全增量z全微分值x 1, x 0.1, y0.2dz.y2. 设z e x , 则dz.二、选择题（单选）：1. 函数 z=f(x,y) 在点 P 0（ x 0,y 0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的：（ A ）充分条件；（ B ）充要条件；（ C ）必要条件；（ D ）无关条件。
高等数学第八章多元微分第四节多元复合函数求导
x yx y
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上述求导规则称为多元复合函数的链式法则. 具有 如下特点:
1. 复合后的函数有几个自变量，对应地就有几个 偏导数;
2. 有几个中间变量，就有几项相加;
3. 相加的每一项都是复合函数对某一中间变量的
偏导数和该中间变量对特定自变量的偏导数的乘积;
4. 中间变量或自变量只有一个时，公式中的求导
记号用 d ，不止一个时用偏导数记号
dx
x
5
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特例1. z f( u ,v ) ,u ( x ,y ) ,v ( y )
z z u z 0 z u x u x v u x
z z u z dv y u y v d y
特例2. z f( x ,v ) ,v ( x ,y )
2001考研
解 由题设 ( 1 ) f(1 ,f(1 ,1 ))f(1,1)1
d 3(x)
dx
x
132(x)ddx
x1
3 f1(x,f(x,x))
f 2 ( x , f ( x , x ) )
32 3(23)51
x 1
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个人观点供参考，欢迎讨论！
续的偏导数, 则复合函数
的导数为
dzzduzdv dt u dt v dt
全导数 证略（利用全增量公式）
z
uv tt
注 求多元复合函数的偏导数，只要对每一个中间
变量施行一元函数的链式法则，再相加即可. 重要的是
搞清楚函数的复合关系.
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推广 设 zf(u,v,w ),而
u ( t ) ,v ( t ) ,w ( t )
上页下页返回结束dtdzdtdzdtdudtdvcoslnsinlncosln上页下页返回结束解利用全导数求导数dxdydxdydxdudxdvcossinlnlnlnlnsin上页下页返回结束引入中间变量cossin上页下页返回结束1211上页下页返回结束xyzxyxyzxy上页下页返回结束二全微分形式的不变性是自变量还是中间变量则复合函数其全微分的表达形式都一样这一性质称为全微分形式的不变性
高等数学第八章多元微分第七节方向导数与梯度
证 由于函数可微，
j
P
故增量
o
x
f(x x ,y y ) f(x ,y ) f x f y o () x y 两边同除以 , 得到
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f( x x ,y y ) f( x ,y ) f x f y o () x y
分析：在(3,2)点处，沿不同方向温度的变化率不同， 蚂蚁应沿由热变冷变化最快的方向（梯度方向）
爬行． 如何确定这个方向？ 利用方向导数！
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一、方向导数的定义与计算
意义：确定函数 zf(x,y)在点 P 处沿某一方向
的变化率．
设函数 zf(x,y)在点 P(x, y) y
l
r rr ( 2 x 3 ) i ( 4 y 2 ) j 6 z k ,
rr r 故 gu r( 1 ,1 a ,2 ) d 5 i 2 j 1 k .2
在
P0
(
3 2
,
1 2
,0)处梯度为0.
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内容小结
1. 方向导数
• 三元函数 f(x,y,z)在点 P(x,y,z)沿方向 l (方向角
2 l x
推广: 若三元函数 u = f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 可微,
则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,
l
且 ffco sfco sfco s
l x
y
z
P(x,y,z)
其中 , , 为 l 的方向角.
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f(x,y)c1
而梯度的模等于函数在该法线 o
高等数学教材第八章
高等数学教材第八章第八章：多元函数的微分学第一节：多元函数的极限与连续性在高等数学中，多元函数是指与多个自变量相关的函数。
多元函数的微分学则是研究多元函数的导数、极限和连续性的数学分支。
多元函数的极限是指当自变量趋于某一点时，函数值的变化趋势。
与一元函数类似，我们也可以讨论多元函数在某一点处的左极限、右极限，以及无穷远处的极限。
根据多元函数极限的定义，我们可以得到一元函数极限的特例。
多元函数的连续性则是指函数在某一点的极限等于函数在该点的函数值。
如果一个多元函数在定义域的每一点都是连续的，我们称其为连续函数。
与一元函数连续性的概念类似，多元函数的连续性包括点连续性和区间连续性两种情况。
第二节：多元函数的偏导数和全微分在研究多元函数的微分学时，最重要的概念之一就是偏导数。
偏导数是多元函数对于某个自变量的导数，而将其他自变量视为常数。
通过偏导数，我们可以研究多元函数在不同自变量方向上的变化情况。
与偏导数相关的概念是全导数和全微分。
全导数是指多元函数对于所有自变量的导数，而全微分则是全导数与自变量的微小增量之积。
全微分在多元函数微分学中具有重要的应用价值。
第三节：多元函数的微分多元函数的微分是指函数在某一点处的局部线性近似。
通过微分，我们可以求得函数在某点处的切线、法线以及在该点附近的变化情况。
多元函数的微分是通过偏导数和全微分推导而来的。
通过求得多变量的微分，我们可以进一步研究函数的最值、优化问题等。
第四节：多元函数的导数多元函数的导数是指函数在某一点处的变化率。
与一元函数的导数类比，多元函数的导数也可以用于求得函数的极值、切线与法线方程等问题。
多元函数的导数是通过偏导数推导而来的。
通过求得各个自变量的偏导数，并将其组合成一个向量，我们可以得到多元函数的导数。
第五节：多元函数的高阶导数多元函数的高阶导数是对多层次的导数求导的结果。
与一元函数的高阶导数类似，多元函数的高阶导数可以用于求函数的高阶变化率，进一步研究函数的性质和行为。
(完整版)多元函数微分学复习(精简版)
高等数学下册复习提纲第八章 多元函数微分学本章知识点（按历年考试出现次数从高到低排列）：复合函数求导（☆☆☆☆☆）条件极值-——拉格朗日乘数法(☆☆☆☆） 无条件极值(☆☆☆☆）曲面切平面、曲线切线(☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆）一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算(☆☆） 重极限、累次极限计算（☆☆） 函数定义域求法（☆)1. 多元复合函数高阶导数例 设),,cos ,(sin yx e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数,求xy zx z ∂∂∂∂∂2及。
解y x e f x f xz+⋅'+⋅'=∂∂31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x zx y z ++++⋅''+-⋅''+'+⋅''+-⋅''=∂∂∂=∂∂∂])sin ([cos ])sin ([33323131222析 1）明确函数的结构（树形图)这里yx e w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构图，可以知道：对x的导数，有几条线通到“树梢”上的x ,结果中就应该有几项，而每一项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是,“按线相乘，分线相加”.2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31yx y x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构相同,仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数。
所以1f '对y 求导数为zu vwxx y yy x e f y f yf +⋅''+-⋅''=∂'∂13121)sin (。
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例.
设
f(x,y,z)xco y syco zs zco x,求 sdf 1co x s co y s co z s
(0,0,0) .
解: f(x,0,0) x 3cosx
fx(0,0,0)
x
3cosx
x0
1 4
利用轮换对称性 , 可得 fy(0,0,0)fz(0,0,0)1 4
d f( 0 ,0 ,0 ) f x ( 0 ,0 ,0 ) d x fy ( 0 ,0 ,0 ) d y f z ( 0 ,0 ,0 ) d z
n P 14
7
6. 重要关系: 函数连续
偏导存在
函数可微 偏导数连续
• 可微
方向导数存在
偏导数存在
例. 选择题
函数 zf(x,y)在 (x0,y0)可微的充分条件是( D )
(A )f(x ,y)在 (x 0,y0)连 ; 续 ( B )f x ( x ,y ) ,fy ( x ,y ) 在 ( x 0 ,y 0 ) 的某邻域内存在 ; ( C ) z f x ( x ,y ) x f y ( x ,y ) y
当(x)2(y)2 0时是无穷小量 ; (D ) zfx(x,y) xfy (x,y) y
( x)2( y)2 当(x)2(y)2 0时是无穷小量 .
三. 多元函数微分法
1.多元复合函数一阶偏导数 2.多元复合函数高阶偏导数 3.隐函数微分法 注: 一定要分清楚谁是自变量 •自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数 •自变量与因变量由所求对象判定
例：如果 f ( x, y) 在（0,0）处连续，那么下列命题
正确的是（ ） （2019考研题）
(A)若极限 lim f (x, y) 存在，则f (x, y)在(0,0)处可微 (x,y)(0,0) | x | | y |
(B)若极限 lim (x, y)(0,0)
f (x, x2
y) y2
0
,
x2y20 x2y20
在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 .
提示: 利用2xyx2y2, 知
f(x,y)1(x2y2)12 4
lim f(x,y)0f(0,0)
x 0 y 0
故f 在 (0,0) 连续;
又 f( x ,0 ) 因 f( 0 ,y ) 0 ,所 以 fx (0 ,0 )fy (0 ,0 ) 0
例. 已知f(x,y)yx2 1, f1(x,y) yx2 2x, 求
f2(x, y) yx2.
解: 由 f(x,x2)1两边对 x 求导, 得 f1 (x ,x 2 ) f2 (x ,x 2 )2 x 0 f1(x,x2)2x f2(x,x2)1
例. 若f (x, y, z) 恒满足关系式 f(tx,ty,tz)tkf(x,y,z)
1
k k
2
ykx
k 值不同极限不同 !
故f(x,y)在 (0,0) 点极限不存在 .
例. 证明 f(x,y)
在全平面连续.
xy , (x,y)(0,0) x2y2
0 , ( x ,y ) ( 0 ,0 )
证: 在 (x,y)(0,0)处 , f (x,y)为初等函数 , 故连续.
又
0
xy x2 y2
3,
x (1,1)
y (1,1)
(x ) f(x ,f(x ,x ),求)d 3(x) dx
x
1.
(2019考研)
解: 由题设 ( 1 ) f(1 ,f(1 ,1 ))f(1,1)1
d 3(x)
dx
x
132(x)ddx
x1
3 f1(x,f(x,x))
f 2 ( x , f ( x , x ) f1(x,) x)f2(x,x) x 1 32 3(23)51
(ex ) e x
(loaxg)x
1 ln
a
(arcxs)in
1
1
x
2
(lnx) 1
x
(arccx)os 1
1 x2
(arcxt)an
1
1
x
2
(acrc ox)t
1
1 x
2
2. 求一点处偏导数的方法
• 利用定义: fx (x 0 ,y 0 ) lx 0 if( m x 0 x ,y 0 x ) f(x 0 ,y 0 )
第一次月考考点:
1. 讨论多元函数在某点处的连续性； 2. 求多元函数在某点处的偏导数； 3. 讨论多元函数在某点处的可微性； 4. 隐函数求偏导； 5. 求二元函数的二阶混合偏导； 6. 求多元函数的全微分； 7. 求多元函数的极值、最值、条件极值； 8. 求曲线的切线和法平面； 9. 求多元函数的方向导数； 10.求多元函数的梯度； 11.直角坐标系下二重积分的计算； 12.极坐标系下二重积分的计算； 13.交换累次积分顺序； 14.二重积分的分区域积分； 15.二重积分的对称性
• 求 f 'y (x, y)时, 只须将 x 看作常数,用一元函 数求导公式求即可.
补: 六类基本初等函数的求导公式
(C) 0
(x ) x1
(sixn)coxsபைடு நூலகம்
(cox)ssixn
(taxn)sec2 x
(cox)tcs2cx
(sexc)sextcaxn (csxc)csxcoxt
(ax ) ax lna
0 , x2y20
法一:
fx(0,0) lixm 0f( x,0 ) xf(0,0)
lim
x0
00 x
=0
fy(0,0) liym 0f(0,y ) yf(0,0)
lim
y 0
00 y
=0
法二:
fx(0,0)ddx
f(x,0)
0
x0
fy(0,0)ddyf(0, y) y0 0
注意：函数在原点各偏导数都存在,但在该点不连续.
存在，则f
(x,
y)在(0, 0)处可微
(C)若f (x, y)在(0,0)处可微，则极限 lim f (x, y) 存在 (x,y)(0,0) | x | | y |
(D)若f (x, y)在(0,0)处可微，则极限 lim f (x, y) 存在
x y (x,y)(0,0) 2
2
答案：B
例. 证明: f(x,y)(x2x2yy22)32,
则称它为 k 次齐次函数. 证明 k 次齐次函数满足 x f 1 ( x , y , z ) y f 2 ( x , y , z ) z f 3 ( x , y , z ) k ( x , y , z ) f
证: 记 utx,vty,w tz,
f(tx,ty,tz)tkf(x,y,z) 两边对 t 求偏导.
而
f
(0,0)
(x)2(y)2 [(x)2 (y)2
3
]2
当 x 0 ， y 0 时 ,
f (0,0) (x)2 (y)2
[((x)x2)2((yy))22]2
0
所以 f 在点(0,0)不可微 !
例: 证明函数
f(x,y)xysin
1 ,
x2y2
0,
(x,y)(0,0) (x,y)(0,0)
方向导数为:
rffcosfcosfcos
l x
y
z
梯度为: graf d xf, yf, zf
• 二元函数 f (x,y) 在点 P(x,y)
方向导数为:
rf f cosf cos
l x
y
梯度为:
grad f
f ,f x y
• 关系:
rf
grad f
uur l 0
l
例. 设 n是曲面 2x23y2z26在点 P(1, 1, 1 )处
1(dxdydz) 4
3. 求高阶偏导数的方法
• 逐次求导法
例:
nz x n1 y
( y
n
x
1 z
n 1
)
注: 混合偏导数在连续的条件下相等.
4. 微分
z fx(x,y) xfy (x,y)yo()
(x)2(y)2
d z fx(x,y)dxfy (x,y)dy
判断二元函数 z f ( x ,y ) 在 点 ( x 0 ,y 0 ) 是 否 可 微 的 步 骤 ：
指向外侧的法向量, 求函数 u 6x2 8y2 在点P 处沿
方向 n的方向导数.
z
解: n(4x,6y,2z)P2(2,3,1)
方向余弦为 cos 2 , cos 3 , cos 1
14
14
14
而
u x
6x P z 6x2 8y2
P
6 14
同理得
u 8 ,u 14 y P 14 z P
u 162831 41 11
1.多元复合函数一阶偏导数 (1). 根据函数结构的示意图分析复合结构,确定自 变量、中间变量及其关系
(2). 正确使用链式法则,写出求导公式 “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”
(3).注意正确使用求导符号
例. 设函数 zf(x,y)在点 (1,1)处可微 , 且
f f(1,1)1,
2, f
x f 1 ( u , v , w ) y f 2 ( u , v , w ) z f 3 ( u , v , w ) k t k 1 f ( x , y , z )
同乘以 t, 得
u f 1 ( u , v , w ) v f 2 ( u , v , w ) w f 3 ( u , v , w ) k t k f ( x , y , z ) 由 f ( t , t x , t 条 y ) z t k f ( x , y , z ) 件 及 u , t , v x t , w y t , 得 z