人教版九年级下册数学27.2.2相似三角形的的性质课件
教学重难点
• 理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、 面积比等于相似比的平方。 • 探索相似多边形周长的比等于相似比、面积 比等于相似比的平方。
A1
A
B
C
B1
C1
C△ABC = AB+BC+CA 周长： C△A1B1C1 = A1B1+B1C1+C1A1
AB AC BC ∵ A B AC B C k 1 1 1 1 1 1 AB AC BC k（等比性质） ∴ A1B1 A1C1 B1C1
A
D
E
B
C F
习题答案
1. 其他两边的实际长度都是20m.
2. （1）相似，因对应边的比相等；
（2）不一定相似，因为相等的角的夹边的比 不相等； （3）相似，因为有两组对应角相等.
3. （1）相似；（2）相似，x=40.5，y=98.
1 1 1 1
B
D C
∴ 相似三角形面积的比等于相似比的平方。
1 k B1C1 k A1 D1 =2 2 = k 1 B1C1 A1 D1 2
同理：
相似三角形面积的比等于相似比的平方。
课堂小结
相似三角形（多边形）的性质：
对应角相等。 对应边成比例。 对应高的比等于相似比。 对应中线的比等于相似比。 对应角平分线的比等于相似比。 周长比等于相似比。 面积比等于相似比的平方。
随堂练习
1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格。
1 3
相似比
4 4 16
10 10 100
k k k2
周长比 面积比
1 3 1 9
2. 如果两个相似三角形的面积之比为1:9，则 1:3 ，对应高的比为______ 1:3 它们对应边的比为______ ， 周长的比为______ 。 1:3 3. 如果两个相似三角形的面积之比为2:7，较 大三角形一边上的高为7，则较小三角形对应边上 的高为______ 14 。
回顾旧知
相似三角形有 哪些性质？ A1
A
B
C
B1
C1
7.2.2 相似三角形的性质
（1）相似三角形对应角相等。 （2）相似三角形对应边成比例。 （3）相似三角形对应高的比等于相似比。 （4）相似三角形对应中线的比等于相似比。 （5）相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
A1
A
B
C
B1
C1 相似三角形的周长 有什么关系？
A1
A
B
C
B1
C1 相似三角形的面积 有什么关系？
教学目标
知识与能力
• 理解并掌握相似三角形周长的比等于相
似比、面积比等于相似比的平方，并能用
来解决简单的问题。
过程与方法
• 探索相似多边形周长的比等于相似比、面
积比等于相似比的平方，体验化归思想。
情感态度与价值观
•经历探索相似三角形性质的过程，并在探究 过程中发展学生积极的情感、态度、价值观， 体验解决问题策略的多样性。
4. 这是圆桌正上方的灯泡（当成一个点）发出 的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直 径为1.2米，桌面距离地面为1米，若灯泡距离地面3 米，则地面上阴影部分的面积为多少？
A
E
F'
B
F
H
F
D
B
L'
L
C
5. △ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE 和△EFC的面积分别为4和9，求△ABC的面积。
F1 E1
B1 C1 D1
相似多边形周长的比等于相似比。
A1
A
B1 D1 C1 1 S△ABC = BC AD 面积： 2 27.2.1中，我们知 1 S△A1B1C1 = B1C1 A1 D1 道对应高之比等 2 于相似比。 BC AD ∵ BC AD k
1 BC AD S△ABC 2 = 1 ∴ S△A1B1C1 B1C1 A1 D1 2
∴ 相似三角形周长的比等于相似比。
六边形ABCDEF∽六边形 A1B1C1D1E1F1,且相似比是k。
F AB BC CD DE EF FA k. A1 B1 B1C1 C1 D1 D1E1 E1 F1 F1 A1
A
B C
E
D
AB BC CD DE EF FA k 等比 . A1 B1 B1C1 C1 D1 D1 E1 E1F1 F1 A1 A1 六边形ABCDEF的周长 k. 六边形A1 B1C1 D1 E1 F1的周长
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27.2.2-相似三角形的判定(3)优秀课件
C’
B
第13页，共22页。
(2)
D
(4)
E A
E C
2、判断题：
基础演练
⑴ 所有的直角三角形都相似 .
⑵ 所有的等边三角形都相似.
⑶ 所有的等腰直角三角形都相似.
⑷ 有一个角相等的两等腰三角形相似 .
（ ）× （ ）√
（ ）√
（ ）×
顶角相 底角相
等
等
顶角与底角 相等
第14页，共22页。
顶角相等
A
A'
B
C B' C'
第4页，共22页。
判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的
两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
A
A'
B
第5页，共22页。
C B' C'
直角三角形被斜边上的高分成的 两个直角三角形和原三角形相似。
第6页，共22页。
第7页，共22页。
A
D
B
C
例1.如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=900，BD⊥AC于D 若 AB=6 AD=2 则AC= 18 BD= 4 √2 BC= 12√2
第8页，共22页。
例2.如图直线BE、DC交于A, AD·AC=AE·BA，
求证：∠E=∠C
E
A
D
将△DAE绕A点旋转
D
A
E
B
C
B
C
如何证明∠DEA＝∠C？
数学：27.2.2相似三角形的应用举例课件(人教新课标九年级下)
（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的 视线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）； MN 20m，MD 8m ，PN 24m （2）已知： ， 求（1）中的C点到胜利 M B 街口的距离CM．
步行街 D E
建筑物
光明巷
A
胜利街
P
N
Q
练习
1.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比 例.在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿 的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高 楼的高度是多少米?
C
E
请同学们自已解答 并进行交流
D
例3：已知左，右并排的两棵大树的高分 别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距 离BD=5m。一个身高1.6m的人沿着正对 着两棵树的一条水平直路从左向右前进， 当他与左边较低的树的距离小于多少时， 就不能看见右边较高的树的顶端点C？
仰 ：视线在水平 线以 角 上的夹角。
A B
D
E
C
4、如图，一条河的两岸有一段是平行的， 在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边 每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边 15米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电 线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两 棵树之间还有三棵树，则河宽为 米．
5. 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落 在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.(设网 球是直线运动)
B
D
C
E
BD EC 120 50 解得AB 100(米) DC 60 答： 两岸间的大致距离为100米．
(方法二) 我们在河对岸选定一目标点A，在河的一边选点 D和 E，使DE⊥AD，然后选点B，作BC∥DE，与视线 EA相交于点C。此时，测得DE , BC, BD, 就可以求两岸 间的大致距离AB了。 A 此时如果测得DE＝120米， BC＝60米，BD＝50米，求 两岸间的大致距离AB． B
步行街 D E
建筑物
光明巷
A
胜利街
P
N
Q
练习
1.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比 例.在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿 的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高 楼的高度是多少米?
C
E
请同学们自已解答 并进行交流
D
例3：已知左，右并排的两棵大树的高分 别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距 离BD=5m。一个身高1.6m的人沿着正对 着两棵树的一条水平直路从左向右前进， 当他与左边较低的树的距离小于多少时， 就不能看见右边较高的树的顶端点C？
仰 ：视线在水平 线以 角 上的夹角。
A B
D
E
C
4、如图，一条河的两岸有一段是平行的， 在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边 每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边 15米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电 线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两 棵树之间还有三棵树，则河宽为 米．
5. 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落 在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.(设网 球是直线运动)
B
D
C
E
BD EC 120 50 解得AB 100(米) DC 60 答： 两岸间的大致距离为100米．
(方法二) 我们在河对岸选定一目标点A，在河的一边选点 D和 E，使DE⊥AD，然后选点B，作BC∥DE，与视线 EA相交于点C。此时，测得DE , BC, BD, 就可以求两岸 间的大致距离AB了。 A 此时如果测得DE＝120米， BC＝60米，BD＝50米，求 两岸间的大致距离AB． B
九年级数学下册272《相似三角形》PPT课件
3. 解等式求出三角形的面积。
注意事项：在解题过程中，要确保已知的三边长度是准 确的，避免因为数据不准确而导致错误。同时，要注意 选择合适的公式或方法进行计算。
典型例题四：综合应用举例
• 解题思路：综合运用相似三角形的性质和判定方法，解决 复杂的实际问题。
典型例题四：综合应用举例
解题步骤 1. 分析问题，确定需要使用的相似三角形的性质和判定方法；
利用相似三角形的面积比等于相似比的平 方性质，求解面积问题 通过已知三角形的面积和相似比，计算另 一个三角形的面积 结合图形变换和面积公式，利用相似三角 形解决复杂面积问题
利用相似三角形解决综合问题
综合运用相似三角形 的性质，解决涉及线 段、角度和面积的复 杂问题
结合多种数学方法， 如代数运算、方程求 解等，提高解决问题 的效率
通过分析问题的条件 ，选择合适的相似三 角形性质和定理进行 求解
04
典型例题分析与解题思路展示
典型例题一：已知两边求第三边长度
解题思路：利用相似三角形的性质， 即对应边成比例，可以通过已知的两
边长度求出第三边的长度。
解题步骤
2. 利用相似三角形的性质列出比例式 ；
3. 解比例式求出第三边的长度。
1. 确定已知的两边和夹角；
注意事项：在解题过程中，要确保已 知的两边和夹角是对应的，避免因为 数据不对应而导致错误。
典型例题二：已知两角求第三角大小
01
解题思路：根据三角形内角和为180°的性质，可以通过 已知的两角求出第三角的大小。
04
2. 利用三角形内角和为180°的性质列出等式；
02
解题步骤
对应角相等，对应边成比例的两 个三角形叫做相似三角形。
27.2.2 相似三角形的性质课件(共21张PPT)
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形
∴ AD//BC，AD = BC，AE：BC=2：5.
∵△AEF∽△CBF， ∴ S△AEF：S△CBF = 4：25.
注意：
②当 AE：ED = 3：2时，AE：AD = 3：5，
AE： ED要分两种
同理可得， S△AEF：S△CBF = 9：25.
情况讨论.
27.2.2 相似三角形的性质
D'
C
C'
27.2.2 相似三角形的性质
（2）玻璃样品的角平分线和图纸上的角平分线相对应吗？如图，△ABC
∽△A′B′C′，相似比为 k，求它们对应角平分线的比.
A
解：如图，分别作出 △ABC 和△A' B' C' 的角平分线
AD 和 A'D'，则∠BAD =∠B' A' D'
∵△ABC ∽△A′B′C′
∵△CEB的面积为9,∴△FDE的面积为1,∴△ABF的面积为4,
∴▱ABCD的面积＝9－1＋4＝12.
27.2.2 相似三角形的性质
课堂小结
对应角相等
相
似
三
角
形
的
性
质
对应边成比例
对应边的比叫做相似比
对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于
相似比.
周长的比等于相似比
面积的比等于相似比的平方
(5)图纸中图形与三角形玻璃样品面积比也等于相似比吗？为什么？
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的面积比是多少？
A
B
A'
C
B'
C'
27.2.2 相似三角形的性质
∴ AD//BC，AD = BC，AE：BC=2：5.
∵△AEF∽△CBF， ∴ S△AEF：S△CBF = 4：25.
注意：
②当 AE：ED = 3：2时，AE：AD = 3：5，
AE： ED要分两种
同理可得， S△AEF：S△CBF = 9：25.
情况讨论.
27.2.2 相似三角形的性质
D'
C
C'
27.2.2 相似三角形的性质
（2）玻璃样品的角平分线和图纸上的角平分线相对应吗？如图，△ABC
∽△A′B′C′，相似比为 k，求它们对应角平分线的比.
A
解：如图，分别作出 △ABC 和△A' B' C' 的角平分线
AD 和 A'D'，则∠BAD =∠B' A' D'
∵△ABC ∽△A′B′C′
∵△CEB的面积为9,∴△FDE的面积为1,∴△ABF的面积为4,
∴▱ABCD的面积＝9－1＋4＝12.
27.2.2 相似三角形的性质
课堂小结
对应角相等
相
似
三
角
形
的
性
质
对应边成比例
对应边的比叫做相似比
对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于
相似比.
周长的比等于相似比
面积的比等于相似比的平方
(5)图纸中图形与三角形玻璃样品面积比也等于相似比吗？为什么？
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的面积比是多少？
A
B
A'
C
B'
C'
27.2.2 相似三角形的性质
27.2.1相似三角形的判定(2)课件2024-2025学年人教版数学九年级下册
二、要熟悉该定理的几种基本图形
A
D
DA
B
E
BE
C
F
C
F
三、注意该定理在三角形中的应用
四、平行于三角形一边的直线和其他两边(或延 长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
1、 如图 请尽可能多地找出下列图中的
相似三角形，并说明理由。
A
A
A
B
D
E
D
E
O
F
G
E
F
B
F
C
图1
DE∥BC ，DF∥AC
B 图2
DE∥FG//BC
CC
D
图3
AB∥EF∥CD,
如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB，
DE、ＧＦ交于点Ｏ，则图中与△ABC相 似的三角形共有多少个?请你写出来.
解： 与△ABC相似的三角形有3个: A
A
D E F
B
G H I
C
新知应用
如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，
OC上，且DF∥AC，EF∥BC．
求证：OD∶OA＝OE∶OB
证明： ∵ DF∥AC，
OD OA
OF OC
.
EF∥BC，
OF OC
OE ， OB
OD OE . OA OB
课堂小结
一、平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. （关键要能熟练地找出对应线段）
符号语言：
∵DE//BC,
∴△ABC∽△A’B’C’
思考
如图 DE//BC，△ADE与△ABC有什么关系？
方法一：过点E作EF//DB交BC 的延长线于F
初中数学人教版九年级下册 27.2.1相似三角形的判定(课时1) 课件(共32张PPT)
1 k
B′
A C
A′ C′
探究新知
如图，任意画两条直线 l1，l2，再画三条与 l1，l2，都相交的平 行线 l3，l4，l5. 分别度量在 l1 上截得的两条线段 AB，BC 和在 l2 上截得的两条线段 DE，EF 的长度
（1）AB 与 DE 相等吗？
BC EF
l1 A
（2）任意平移
l5，BACB
归纳总结
把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面
两种情况.
l1A D
l2 l3
E l4
l1
l2
E D l3
A
l4
B
C l5
B
C l5
平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线截其他 两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
探究新知
思考：如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点
A E C
要想利用前面学到的结论来证明三角形相似，需将DE平移
到BC边上去，使BF=DE，再证明
AE AC
BF BC
就可以了.
探究新知
证明：先证明两个三角形的角分别相等 在 △ADE与 △ABC中，∠A =∠A.
平行于三角形一边的 直线截其他两边(或两 边的延长线)，所得的
对应线段成比例
∵ DE∥BC，∴ ∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴. DE AD 2 1 BC AB 2 4 3
故选：C.
练习 6 如图, DC//EF//AB ,若 EG 1 , DC 6 ,则 GF 的长为 AB 2
( B)
A.2
B.3
C.4
D.1.5
解析：∵ EF//AB , ∴△DEG∽△DAB , ∴ DG EG 1 ,即点 G 为 DB 的中点,
九年级数学下册(人教版)课件 27.2.2 相似三角形的性质
◆知识导航 ◆典例导学 ◆反馈演练 （ ◎第一阶 ◎第二阶 ◎第三阶 ）
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27.2.2 相似三角形的性质 九年级数学下册人教版课件
AB BC CA k， A'B' B'C' C' A'
因此 AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，
从而
AB BC CA kA' B ' kB 'C ' kC ' A' k. A' B ' B 'C ' C ' A' A' B ' B 'C ' C ' A'
归纳：相似三角形周长的比等于相似比.
∵△ABC∽△A'B'C'
AD AB k AE AB
B/
A
D
C
A/
D/
C/
归纳
由此我们可以得到： 相似三角形对应高的比等于相似比. 类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也 等于相似比.
一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.
1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对 应角平分线的比是 2 : 3 ，对应边上的中线的比是 __2_:_3__ .
2. 相似三角形有哪些性质？ 对应角相等，对应边成比例
三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度， 三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、 面积等。如果两个三角形相似，那么它们的这些量之间有 什么关系呢？
1. 理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并 运用其解决问题 2. 理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其 解决问题.
2. 已知△ABC ∽ △A'B'C' ，相似比为3 : 4，若 BC 边 上的高 AD＝12 cm，则 B'C' 边上的高 A'D' ＝_1_6_c_m__ .
27相似三角形的性质PPT课件数学九年级下册(人教版)
合作探究
新知二 相似三角形面积的比
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k，它 们的面积比是多少？
A
A'
B
C
B'
C'
由前面的结论，我们有
S△ABC
1 BC AD 2
BC
AD k k k 2.
S△A'B'C' 1 B 'C ' A' D ' B 'C ' A' D '
2
A
A'
BD
C
B' D'
D 通过实践体会相似三角形的性质，会用性质与判定解决相关的问题。
∵ AB=2DE，AC=2DF， 典例精析1 利用相似三角形面积的比求面积或线段
例2 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，
DE DF 1 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.
例1 已知 △ABC∽△DEF，BG、EH BG∶GH∶HC＝4∶6∶5，求△ADE与△FGH的面积之比．
∴ AF = AH－FH = 2 (米)，DF = 1.
分别是
△ABC和
∴AB=kA′B′，BC=kB′C′，AC=kA′C′
△DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4cm，BG = 4.8 cm. 2．一张等腰三角形纸片，底边长15 cm，底边上的高为22.
人教版 ·数学· 九年级（下）
第27章 相似图形 27.2.2 相似三角形的性质
学习目标
1.在理解相似三角形特征的基础上，掌握相似三角 形对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积的 比等性质，并运用其进行计算与推理。
人教版九年级数学下册课件相似三角形的性质ppt
探究归纳
相似三角 为k，问对题应：线如段果的△比A呢BC？∽△A′B′C形 什′，的么相周关似长系比有？
对应边的比
对应高的比
对应中线的比
＝相似比k
对应角平分线的比
……
推广：相似三角形对应线段的比等于相似比． 结论：相似三角形的周长比等于相似比．
在 日 常 生 活 中，随 处都可 以看到 浪费粮 食的现 象。也 许你并 未意识 到自己 在浪费 ，也许 你认为 浪费这 一点点 算不了 什么
∴△DEF的边 EF 上的高为 1 6 3 ,
面积为 (1)212 53 5.
2
2
在 日 常 生 活 中，随 处都可 以看到 浪费粮 食的现 象。也 许你并 未意识 到自己 在浪费 ，也许 你认为 浪费这 一点点 算不了 什么
应用提高
1．判断
（1）一个三角形的各边长扩大为原来
√ 的5倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来
在 日 常 生 活 中，随 处都可 以看到 浪费粮 食的现 象。也 许你并 未意识 到自己 在浪费 ，也许 你认为 浪费这 一点点 算不了 什么
情境引入
三角形中有各种各样的几何量． 如： 三条边的长度 三个内角的度数 高、中线、角平分线的长度 周长、面积等等
如果两个三角形相似， 那么它们的这些几何量之 间有什么关系呢？
拓展提升
1．两个相似三角形的周长之比是2:3，它们 的面积之差是60cm2 ，那么它们的面积之和是 多少？
解：∵两个三角形的周长之比是2:3， ∴它们的相似比是2:3， ∴它们的题
意得：9x﹣4x＝60
解得 x＝12，∴9x+4x＝156
答：它们的面积之和是156cm2.
应用提高
例：如图，在△ABC 和△DEF 中，AB＝2DE， AC＝2DF，∠A＝∠D．若△ABC 的边 BC 上的高是 6，面积为1 2 5 ，求△DEF 的边 EF上的高和面积．
相似三角 为k，问对题应：线如段果的△比A呢BC？∽△A′B′C形 什′，的么相周关似长系比有？
对应边的比
对应高的比
对应中线的比
＝相似比k
对应角平分线的比
……
推广：相似三角形对应线段的比等于相似比． 结论：相似三角形的周长比等于相似比．
在 日 常 生 活 中，随 处都可 以看到 浪费粮 食的现 象。也 许你并 未意识 到自己 在浪费 ，也许 你认为 浪费这 一点点 算不了 什么
∴△DEF的边 EF 上的高为 1 6 3 ,
面积为 (1)212 53 5.
2
2
在 日 常 生 活 中，随 处都可 以看到 浪费粮 食的现 象。也 许你并 未意识 到自己 在浪费 ，也许 你认为 浪费这 一点点 算不了 什么
应用提高
1．判断
（1）一个三角形的各边长扩大为原来
√ 的5倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来
在 日 常 生 活 中，随 处都可 以看到 浪费粮 食的现 象。也 许你并 未意识 到自己 在浪费 ，也许 你认为 浪费这 一点点 算不了 什么
情境引入
三角形中有各种各样的几何量． 如： 三条边的长度 三个内角的度数 高、中线、角平分线的长度 周长、面积等等
如果两个三角形相似， 那么它们的这些几何量之 间有什么关系呢？
拓展提升
1．两个相似三角形的周长之比是2:3，它们 的面积之差是60cm2 ，那么它们的面积之和是 多少？
解：∵两个三角形的周长之比是2:3， ∴它们的相似比是2:3， ∴它们的题
意得：9x﹣4x＝60
解得 x＝12，∴9x+4x＝156
答：它们的面积之和是156cm2.
应用提高
例：如图，在△ABC 和△DEF 中，AB＝2DE， AC＝2DF，∠A＝∠D．若△ABC 的边 BC 上的高是 6，面积为1 2 5 ，求△DEF 的边 EF上的高和面积．